मान लीजिए कि f(x) अंतराल (0, infty) पर अवकलनी | vedclass

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Question

(A) दी गई सीमा $\lim _{t \rightarrow x} \frac{t^2 f(x)-x^2 f(t)}{t-x}=1$ है। $t$ के सापेक्ष $L$'$H$ôpital नियम लागू करने पर: $\lim _{t \rightarrow x}

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$\frac{1}{3x} + \frac{2x^2}{3}$

Vedclass · Answer

(A) दी गई सीमा $\lim _{t \rightarrow x} \frac{t^2 f(x)-x^2 f(t)}{t-x}=1$ है। $t$ के सापेक्ष $L$'$H$ôpital नियम लागू करने पर: $\lim _{t \rightarrow x} \frac{2t f(x) - x^2 f'(t)}{1} = 1$. $t=x$ रखने पर,हमें $2x f(x) - x^2 f'(x) = 1$ प्राप्त होता है। पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $f'(x) - \frac{2}{x} f(x) = -\frac{1}{x^2}$. यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\frac{2}{x}$ और $Q(x) = -\frac{1}{x^2}$ है। समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int -\frac{2}{x} dx} = e^{-2 \ln x} = \frac{1}{x^2}$ है। हल $f(x) \cdot \frac{1}{x^2} = \int (-\frac{1}{x^2}) \cdot \frac{1}{x^2} dx = \int -x^{-4} dx = \frac{x^{-3}}{3} + C = \frac{1}{3x^3} + C$ है। अतः,$f(x) = \frac{1}{3x} + Cx^2$ है। चूंकि $f(1) = 1$ दिया गया है,हमारे पास $1 = \frac{1}{3} + C$ है,जिसका अर्थ है $C = \frac{2}{3}$। इसलिए,$f(x) = \frac{1}{3x} + \frac{2x^2}{3}$ है।

मान लीजिए कि $f(x)$ अंतराल $(0, \infty)$ पर अवकलनीय है,इस प्रकार कि $f(1)=1$,और प्रत्येक $x>0$ के लिए $\lim _{t \rightarrow x} \frac{t^2 f(x)-x^2 f(t)}{t-x}=1$ है। तब $f(x)$ है

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