ધારો કે $P(n)$ એ વિધાન દર્શાવે છે કે $n^2 + n$ એકી સંખ્યા છે. તે જોવામાં આવે છે કે $P(n) \Rightarrow P(n + 1)$. $P(n)$ એ તમામ માટે સાચું છે:

જો $P(n): 2^{n} < n!$ હોય,તો $n$ ની સૌથી નાની ધન પૂર્ણાંક કિંમત કઈ છે જેના માટે $P(n)$ સત્ય છે?

જ્યારે $P$ એક પ્રાકૃતિક સંખ્યા હોય,ત્યારે ${P^{n + 1}} + {(P + 1)^{2n - 1}}$ એ કોના વડે વિભાજ્ય છે?

ધારો કે $P(n): 2+2^2+2^3+\ldots+2^n=2^{n+1}-2, n \in N$. તો,

ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને તમામ $n \in N$ માટે નીચેનાનું પ્રમાણ આપો:
$1 \cdot 3 + 2 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3^{3} + \ldots + n \cdot 3^{n} = \frac{(2n - 1) 3^{n+1} + 3}{4}$

બધા $n \in N$ માટે ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે:
$2^{3n}-1$ એ $7$ વડે વિભાજ્ય છે.