$\left|\begin{array}{ccc}x+y & y+z & z+x \\ z & x & y \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right|=$ . . . . . . .

વિધાન-$1$: $3$ કક્ષાના વિસંમિત શ્રેણિક (skew-symmetric matrix) નો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોય છે.
વિધાન-$2$: $n$ કક્ષાના કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે,$\det(A^T) = \det(A)$ અને $\det(-A) = (-1)^n \det(A)$ થાય છે.

નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શોધો: $\left| \begin{array}{ccc} 1/a & 1 & bc \\ 1/b & 1 & ca \\ 1/c & 1 & ab \end{array} \right|$

નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શોધો: $\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{b^2} - ab}&{b - c}&{bc - ac}\\{ab - {a^2}}&{a - b}&{{b^2} - ab}\\{bc - ac}&{c - a}&{ab - {a^2}}\end{array}} \right|$

નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શોધો: $\left| \begin{array}{ccc} \sin^2 x & \cos^2 x & 1 \\ \cos^2 x & \sin^2 x & 1 \\ -10 & 12 & 2 \end{array} \right|$

નિશ્ચાયક $\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{1 + a + x}&{a + y}&{a + z}\\{b + x}&{1 + b + y}&{b + z}\\{c + x}&{c + y}&{1 + c + z}\end{array}} \right|$ ની કિંમત શોધો.