AP EAMCET 2005 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) फिशर-रिंगे विधि में,नमी और $CO_2$ से मुक्त हवा को लोहे की नली में $90 \% CaC_2 + 10 \% CaCl_2$ के गर्म मिश्रण $(800^{\circ} C)$ के ऊपर से गुजारा जाता है।
निम्नलिखित अभिक्रियाएँ होती हैं:
$CaC_2 + N_2 \xrightarrow{800^{\circ} C} CaCN_2 + C$
$2 C + O_2 \longrightarrow 2 CO$
$C + O_2 \longrightarrow CO_2$
$2 CaC_2 + 3 CO_2 \longrightarrow 2 CaCO_3 + 5 C$
$CuO + CO \longrightarrow Cu + CO_2$
अंत में,$CO_2$ गैस को $KOH$ के घोल द्वारा अवशोषित कर लिया जाता है,जिससे उत्कृष्ट गैसों का मिश्रण प्राप्त होता है।

(C) माना $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n^2+n+1}{n!}$.
अंश को $2n(n-1) + 3n + 1$ के रूप में लिखने पर:
$S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n(n-1)}{n!} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3n}{n!} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!}$.
$S = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{2}{(n-2)!} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{(n-1)!} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!}$.
श्रेणी $e = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}$ का उपयोग करने पर:
$S = 2e + 3e + (e-1) = 6e-1$.

(B) दिया गया है कि $b = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{a^k}{k}$.
हम जानते हैं कि $-\ln(1-a) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{a^k}{k}$ जहाँ $|a| < 1$ है।
अतः,$b = -\ln(1-a)$.
इसका अर्थ है कि $e^{-b} = 1-a$,इसलिए $a = 1 - e^{-b}$.
$e^{-b}$ के लिए टेलर श्रेणी का उपयोग करने पर: $e^{-b} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-b)^k}{k!} = 1 - b + \frac{b^2}{2!} - \frac{b^3}{3!} + \dots$.
इस मान को $a$ के समीकरण में रखने पर:
$a = 1 - (1 - b + \frac{b^2}{2!} - \frac{b^3}{3!} + \dots) = b - \frac{b^2}{2!} + \frac{b^3}{3!} - \dots$.
इसे $a = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1} b^k}{k!}$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(A) दी गई रेखा $5x - 2y = 7$ है। इस रेखा की ढाल $m_1 = \frac{5}{2}$ है।
इस रेखा के लंबवत रेखा की ढाल $m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{2}{5}$ होगी।
अतः,अभीष्ट रेखा का समीकरण $2x + 5y = \lambda$ $(i)$ के रूप में होगा।
अब,$2x + 3y = 1$ (ii) और $3x + 4y = 6$ (iii) रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।
(ii) को $3$ से और (iii) को $2$ से गुणा करने पर:
$6x + 9y = 3$
$6x + 8y = 12$
दोनों समीकरणों को घटाने पर,$y = -9$ प्राप्त होता है।
$y = -9$ को (ii) में रखने पर: $2x + 3(-9) = 1$ $\Rightarrow 2x - 27 = 1$ $\Rightarrow 2x = 28$ $\Rightarrow x = 14$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $(14, -9)$ है।
चूंकि रेखा $(i)$ बिंदु $(14, -9)$ से गुजरती है,इसलिए:
$2(14) + 5(-9) = \lambda$
$28 - 45 = \lambda$
$\lambda = -17$.
$\lambda = -17$ को $(i)$ में रखने पर,$2x + 5y = -17$ प्राप्त होता है,जो $2x + 5y + 17 = 0$ है।

(C) माना $M$ के निर्देशांक $(x_1, y_1)$ हैं।
चूंकि $PM$,रेखा $x+y=3$ पर लंब है,इसलिए $PM$ की ढाल दी गई रेखा की ढाल की ऋणात्मक व्युत्क्रम होगी।
रेखा $x+y=3$ की ढाल $-1$ है,अतः $PM$ की ढाल $1$ होगी।
इस प्रकार,$\frac{y_1-3}{x_1-2} = 1$ $\Rightarrow y_1-3 = x_1-2$ $\Rightarrow x_1-y_1 = -1$ (समीकरण $i$)।
चूंकि $M(x_1, y_1)$ रेखा $x+y=3$ पर स्थित है,इसलिए $x_1+y_1=3$ (समीकरण $ii$)।
समीकरण $i$ और $ii$ को जोड़ने पर: $(x_1-y_1) + (x_1+y_1) = -1+3$ $\Rightarrow 2x_1 = 2$ $\Rightarrow x_1 = 1$।
$x_1=1$ को समीकरण $ii$ में रखने पर: $1+y_1=3 \Rightarrow y_1=2$।
अतः,$M$ के निर्देशांक $(1, 2)$ हैं।

(C) माना $P$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं। दी गई शर्त के अनुसार,$P(x, y)$ से $A(1, 1)$ की दूरी और $P(x, y)$ से रेखा $x+y+2=0$ की दूरी समान है।
$\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2} = \frac{|x+y+2|}{\sqrt{1^2+1^2}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(x-1)^2+(y-1)^2 = \frac{(x+y+2)^2}{2}$
$2(x^2-2x+1+y^2-2y+1) = x^2+y^2+4+2xy+4x+4y$
$2x^2+2y^2-4x-4y+4 = x^2+y^2+2xy+4x+4y+4$
$x^2+y^2-2xy-8x-8y = 0$
यह समीकरण $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ के रूप का है जहाँ $h^2-ab = (-1)^2 - (1)(1) = 0$ है। चूँकि $h^2=ab$ है और बिंदु $A$ रेखा $x+y+2=0$ पर स्थित नहीं है,इसलिए बिंदुपथ एक परवलय को दर्शाता है।

(B) दिया गया ध्रुवीय समीकरण $\theta = \tan^{-1} 2$ है।
दोनों पक्षों का टेंजेंट लेने पर,हमें $\tan \theta = 2$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि कार्तीय निर्देशांक में,$\tan \theta = \frac{y}{x}$ होता है।
इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{y}{x} = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$y = 2x$।

(B) दिए गए रेखा युग्म का समीकरण: $12x^2+25xy+12y^2+10x+11y+2=0$ ... $(i)$
सबसे पहले,समीकरण $(i)$ के समघातीय भाग पर विचार करते हैं:
$12x^2+25xy+12y^2 = 0$
$\Rightarrow (3x+4y)(4x+3y) = 0$
मान लीजिए कि रेखाएं $(3x+4y+c_1)(4x+3y+c_2) = 0$ द्वारा निरूपित हैं।
इसका विस्तार करने पर:
$12x^2+25xy+12y^2+(4c_1+3c_2)x+(3c_1+4c_2)y+c_1c_2 = 0$
समीकरण $(i)$ से तुलना करने पर:
$4c_1+3c_2 = 10$ ... (ii)
$3c_1+4c_2 = 11$ ... (iii)
$c_1c_2 = 2$ ... (iv)
(ii) और (iii) को हल करने पर:
(ii) और (iii) को जोड़ने पर: $7(c_1+c_2) = 21 \Rightarrow c_1+c_2 = 3$
(iii) को (ii) से घटाने पर: $c_1-c_2 = -1$
इन दोनों को जोड़ने पर: $2c_1 = 2 \Rightarrow c_1 = 1$. अतः $c_2 = 2$.
जाँच: $c_1c_2 = 1 \times 2 = 2$,जो (iv) को संतुष्ट करता है।
रेखाएं $3x+4y+1=0$ और $4x+3y+2=0$ हैं।
मूल बिंदु $(0,0)$ से इन रेखाओं पर लंब दूरियां हैं:
$p_1 = \frac{|0+0+1|}{\sqrt{3^2+4^2}} = \frac{1}{5}$
$p_2 = \frac{|0+0+2|}{\sqrt{4^2+3^2}} = \frac{2}{5}$
दूरियों का गुणनफल $p_1 \cdot p_2 = \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{25}$.

(C) माना दिए गए वृत्त $S_1 \equiv x^2+y^2+2x+3y+2=0$ और $S_2 \equiv x^2+y^2+2x-3y-4=0$ हैं।
उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा प्राप्त होता है।
$(x^2+y^2+2x+3y+2) - (x^2+y^2+2x-3y-4) = 0$
$6y + 6 = 0 \Rightarrow y = -1$.
$y = -1$ को $S_1$ के समीकरण में रखने पर:
$x^2 + (-1)^2 + 2x + 3(-1) + 2 = 0$
$x^2 + 1 + 2x - 3 + 2 = 0$
$x^2 + 2x = 0$ $\Rightarrow x(x+2) = 0$ $\Rightarrow x = 0, -2$.
व्यास के अंतिम बिंदु $(0, -1)$ और $(-2, -1)$ हैं।
व्यास के अंतिम बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ होता है।
$(x-0)(x-(-2)) + (y-(-1))(y-(-1)) = 0$
$x(x+2) + (y+1)^2 = 0$
$x^2 + 2x + y^2 + 2y + 1 = 0$
$x^2 + y^2 + 2x + 2y + 1 = 0$.

(A) दिए गए समीकरण:
$x-y+1=0 \implies y=x+1$ $(i)$
$x^2+y^2+y-1=0$ (ii)
$(i)$ को (ii) में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2+(x+1)^2+(x+1)-1=0$
$x^2+x^2+2x+1+x=0$
$2x^2+3x+1=0$
$(2x+1)(x+1)=0$
अतः,$x=-\frac{1}{2}$ या $x=-1$.
$x=-\frac{1}{2}$ के लिए,$y=-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}$. बिंदु $A$ $(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ है।
$x=-1$ के लिए,$y=-1+1=0$. बिंदु $B$ $(-1, 0)$ है।
व्यास के अंत बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0$ होता है।
$(x+\frac{1}{2})(x+1)+(y-\frac{1}{2})(y-0)=0$
$(x+\frac{1}{2})(x+1)+y(y-\frac{1}{2})=0$
$2$ से गुणा करने पर:
$(2x+1)(x+1)+2y(y-\frac{1}{2})=0$
$2x^2+2x+x+1+2y^2-y=0$
$2(x^2+y^2)+3x-y+1=0$.

(A) रेखा $y-3x=0$ वृत्त की स्पर्श रेखा है। त्रिज्या $r$,केंद्र $(1,1)$ से रेखा $3x-y=0$ की लंबवत दूरी है।
$r = \frac{|3(1) - 1(1)|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{|3-1|}{\sqrt{9+1}} = \frac{2}{\sqrt{10}}$.
मान लीजिए कि मूल बिंदु $(0,0)$ से गुजरने वाली दूसरी स्पर्श रेखा $y=mx$ है,अर्थात $mx-y=0$ है।
केंद्र $(1,1)$ से इस रेखा की लंबवत दूरी भी त्रिज्या $r$ के बराबर होनी चाहिए।
$\frac{|m(1) - 1(1)|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{2}{\sqrt{10}}$
$\frac{|m-1|}{\sqrt{m^2+1}} = \frac{2}{\sqrt{10}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{(m-1)^2}{m^2+1} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$
$5(m^2 - 2m + 1) = 2(m^2 + 1)$
$5m^2 - 10m + 5 = 2m^2 + 2$
$3m^2 - 10m + 3 = 0$
$3m^2 - 9m - m + 3 = 0$
$3m(m-3) - 1(m-3) = 0$
$(3m-1)(m-3) = 0$
अतः,$m=3$ या $m=\frac{1}{3}$ है।
$m=3$ दी गई स्पर्श रेखा $y=3x$ है। दूसरी स्पर्श रेखा $y=\frac{1}{3}x$ है,जो $3y=x$ है।

(A) वृत्त का समीकरण ज्ञात करने के लिए,हम ध्रुवीय समीकरणों को कार्तीय निर्देशांकों में बदलते हैं,जहाँ $x = r \cos \theta$,$y = r \sin \theta$ और $r^2 = x^2 + y^2$ है।
विकल्प $A$ के लिए: $r = 2 \sin \theta$
दोनों पक्षों को $r$ से गुणा करने पर: $r^2 = 2r \sin \theta$
$r^2 = x^2 + y^2$ और $y = r \sin \theta$ प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2 + y^2 = 2y$
$x^2 + y^2 - 2y = 0$
यह एक वृत्त का समीकरण है जिसका केंद्र $(0, 1)$ और त्रिज्या $1$ है।

(B) परवलय का दिया गया समीकरण $y^2=4ax$ है।
माना रेखा का समीकरण $y=mx+c$ है।
यदि यह रेखा परवलय को स्पर्श करती है,तो स्पर्शज्या की शर्त $c = \frac{a}{m}$ है।
इसे रेखा के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,$y = mx + \frac{a}{m}$ प्राप्त होता है।
$m$ से गुणा करने पर,$my = m^2x + a$ प्राप्त होता है।
$m$ को $\frac{1}{m}$ से बदलने पर,हमें $x - my + am^2 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) माना $P(x, y)$ परवलय पर कोई बिंदु है।
परवलय की परिभाषा के अनुसार,$P$ से नाभि $S(1, 0)$ की दूरी,$P$ से नियता $x+2y-1=0$ की लंबवत दूरी के बराबर होती है।
$PS = PM$
$\sqrt{(x-1)^2 + (y-0)^2} = \frac{|x+2y-1|}{\sqrt{1^2+2^2}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(x-1)^2 + y^2 = \frac{(x+2y-1)^2}{5}$
$5(x^2 - 2x + 1 + y^2) = x^2 + 4y^2 + 1 + 4xy - 2x - 4y$
$5x^2 - 10x + 5 + 5y^2 = x^2 + 4y^2 + 4xy - 2x - 4y + 1$
$4x^2 - 4xy + y^2 - 8x + 4y + 4 = 0$

(B) हमारे पास बहुपदीय विस्तार का सूत्र है:
$(xy+yz+zx)^6 = \sum_{r+s+t=6} \frac{6!}{r!s!t!} (xy)^r (yz)^s (zx)^t$
$= \sum_{r+s+t=6} \frac{6!}{r!s!t!} x^{r+t} y^{r+s} z^{s+t}$
$x^3 y^4 z^5$ पद के लिए,घातांकों की तुलना करने पर:
$r+t = 3$
$r+s = 4$
$s+t = 5$
इन समीकरणों को जोड़ने पर: $2(r+s+t) = 12$,अतः $r+s+t = 6$.
हल करने पर:
$s = 6 - 3 = 3$
$t = 6 - 4 = 2$
$r = 6 - 5 = 1$
गुणांक $\frac{6!}{1!3!2!} = \frac{720}{12} = 60$ है।

(D) हमारे पास व्यंजक $\frac{1+2x}{(1-2x)^2} = (1+2x)(1-2x)^{-2}$ है।
ऋणात्मक घातांक के लिए द्विपद विस्तार का उपयोग करते हुए,$(1-y)^{-n} = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{n+k-1}{k} y^k$।
$(1-2x)^{-2}$ के लिए,$n=2$ और $y=2x$ लेने पर,$(1-2x)^{-2} = \sum_{k=0}^{\infty} (k+1) 2^k x^k$ प्राप्त होता है।
अब,$(1+2x)$ से गुणा करने पर:
$(1+2x) \sum_{k=0}^{\infty} (k+1) 2^k x^k = \sum_{k=0}^{\infty} (k+1) 2^k x^k + \sum_{k=0}^{\infty} 2(k+1) 2^k x^{k+1}$।
$x^r$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,पहले योग से $k=r$ वाला पद और दूसरे योग से $k+1=r$ (अर्थात $k=r-1$) वाला पद लेने पर:
$x^r$ का गुणांक $= (r+1) 2^r + 2((r-1)+1) 2^{r-1}$।
$= (r+1) 2^r + 2(r) 2^{r-1} = (r+1) 2^r + r 2^r$।
$= (r+1+r) 2^r = (2r+1) 2^r$।

(C) दिया गया है कि $(1+x)^{15} = \sum_{r=0}^{15} {}^{15}C_r x^r = a_0 + a_1 x + \ldots + a_{15} x^{15}$।
गुणांकों की तुलना करने पर,$a_r = {}^{15}C_r$ प्राप्त होता है।
हमें $\sum_{r=1}^{15} r \frac{a_r}{a_{r-1}}$ का मान ज्ञात करना है।
गुणधर्म $\frac{{}^{n}C_r}{{}^{n}C_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ का उपयोग करने पर,$\frac{a_r}{a_{r-1}} = \frac{15-r+1}{r} = \frac{16-r}{r}$ प्राप्त होता है।
अतः,$r \frac{a_r}{a_{r-1}} = r \cdot \frac{16-r}{r} = 16-r$।
इसलिए,$\sum_{r=1}^{15} (16-r) = (16-1) + (16-2) + \ldots + (16-15) = 15 + 14 + \ldots + 1$।
यह प्रथम $15$ प्राकृतिक संख्याओं का योग है: $\frac{15(15+1)}{2} = \frac{15 \times 16}{2} = 15 \times 8 = 120$।

(B) इस सीमा (limit) का मूल्यांकन करने के लिए हम स्क्वीज़ प्रमेय (Squeeze Theorem) का उपयोग करते हैं।
हम जानते हैं कि सभी $x \neq 0$ के लिए,$-1 \leq \sin \left(\frac{\pi}{x}\right) \leq 1$ होता है।
असमिका को $x^2$ से गुणा करने पर (चूंकि $x \neq 0$ के लिए $x^2 > 0$ है),हमें प्राप्त होता है:
$-x^2 \leq x^2 \sin \left(\frac{\pi}{x}\right) \leq x^2$।
अब,दोनों तरफ $x \rightarrow 0$ सीमा लेने पर:
$\lim _{x \rightarrow 0} (-x^2) \leq \lim _{x \rightarrow 0} x^2 \sin \left(\frac{\pi}{x}\right) \leq \lim _{x \rightarrow 0} x^2$।
चूंकि $\lim _{x \rightarrow 0} (-x^2) = 0$ और $\lim _{x \rightarrow 0} x^2 = 0$,स्क्वीज़ प्रमेय के अनुसार:
$\lim _{x \rightarrow 0} x^2 \sin \left(\frac{\pi}{x}\right) = 0$।

(B) दिया गया है कि $\frac{\tan 3A}{\tan A} = a$ है।
सूत्र $\tan 3A = \frac{3\tan A - \tan^3 A}{1 - 3\tan^2 A}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{3\tan A - \tan^3 A}{\tan A(1 - 3\tan^2 A)} = a$
$\Rightarrow \frac{3 - \tan^2 A}{1 - 3\tan^2 A} = a$
$\Rightarrow 3 - \tan^2 A = a - 3a\tan^2 A$
$\Rightarrow \tan^2 A(3a - 1) = a - 3$
$\Rightarrow \tan^2 A = \frac{a - 3}{3a - 1}$
अब,$\frac{\sin 3A}{\sin A} = \frac{3\sin A - 4\sin^3 A}{\sin A} = 3 - 4\sin^2 A$ है।
$\sin^2 A = \frac{\tan^2 A}{1 + \tan^2 A}$ का उपयोग करने पर:
$\sin^2 A = \frac{\frac{a-3}{3a-1}}{1 + \frac{a-3}{3a-1}} = \frac{a-3}{3a-1+a-3} = \frac{a-3}{4a-4} = \frac{a-3}{4(a-1)}$ प्राप्त होता है।
इस मान को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{\sin 3A}{\sin A} = 3 - 4\left(\frac{a-3}{4(a-1)}\right) = 3 - \frac{a-3}{a-1}$
$= \frac{3(a-1) - (a-3)}{a-1} = \frac{3a - 3 - a + 3}{a-1} = \frac{2a}{a-1}$।

(D) दिया गया है कि $A+C=2B$ ... $(i)$
हमें व्यंजक का मान ज्ञात करना है:
$\frac{\cos C-\cos A}{\sin A-\sin C}$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हुए:
$\cos C - \cos A = 2 \sin \left(\frac{A+C}{2}\right) \sin \left(\frac{A-C}{2}\right)$
$\sin A - \sin C = 2 \cos \left(\frac{A+C}{2}\right) \sin \left(\frac{A-C}{2}\right)$
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{2 \sin \left(\frac{A+C}{2}\right) \sin \left(\frac{A-C}{2}\right)}{2 \cos \left(\frac{A+C}{2}\right) \sin \left(\frac{A-C}{2}\right)}$
समान पदों $2$ और $\sin \left(\frac{A-C}{2}\right)$ को काटने पर:
$= \frac{\sin \left(\frac{A+C}{2}\right)}{\cos \left(\frac{A+C}{2}\right)}$
चूंकि $A+C=2B$,इसलिए $\frac{A+C}{2} = B$ प्राप्त होता है:
$= \frac{\sin B}{\cos B} = \tan B$

(A) दिया गया है कि $A+B=C$ है।
हमें व्यंजक $E = \cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C - 2 \cos A \cos B \cos C$ का मान ज्ञात करना है।
सर्वसमिका $\cos^2 \theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$E = \frac{1+\cos 2A}{2} + \frac{1+\cos 2B}{2} + \cos^2 C - 2 \cos A \cos B \cos C$
$E = 1 + \frac{1}{2}(\cos 2A + \cos 2B) + \cos^2 C - 2 \cos A \cos B \cos C$
$\cos 2A + \cos 2B = 2 \cos(A+B) \cos(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$E = 1 + \cos(A+B) \cos(A-B) + \cos^2 C - 2 \cos A \cos B \cos C$
चूँकि $A+B=C$,इसलिए $\cos(A+B) = \cos C$:
$E = 1 + \cos C \cos(A-B) + \cos^2 C - 2 \cos A \cos B \cos C$
$E = 1 + \cos C [\cos(A-B) + \cos C] - 2 \cos A \cos B \cos C$
चूँकि $C = A+B$,इसलिए $\cos C = \cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$:
$E = 1 + \cos C [\cos(A-B) + \cos(A+B)] - 2 \cos A \cos B \cos C$
$\cos(A-B) + \cos(A+B) = 2 \cos A \cos B$ का उपयोग करने पर:
$E = 1 + \cos C [2 \cos A \cos B] - 2 \cos A \cos B \cos C$
$E = 1 + 2 \cos A \cos B \cos C - 2 \cos A \cos B \cos C = 1$.

(A) प्रक्षेप सूत्र (projection formula) का उपयोग करने पर: $c \cos C + b \cos B = a$.
इस मान को व्यंजक में रखने पर:
$a(\cos^2 B + \cos^2 C) + a \cos A$
$= a(\cos^2 B + \cos^2 C + \cos A)$
चूंकि $A + B + C = \pi$,इसलिए $\cos A = -\cos(B + C)$.
सरल करने पर,व्यंजक का मान $a$ प्राप्त होता है।

(D) हम नेपियर के सादृश्य (Napier's analogy) का उपयोग करते हैं: $\tan \left(\frac{B-C}{2}\right) = \frac{b-c}{b+c} \cot \frac{A}{2}$.
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$(b+c) \tan \frac{A}{2} \tan \left(\frac{B-C}{2}\right) = (b+c) \tan \frac{A}{2} \left[ \frac{b-c}{b+c} \cot \frac{A}{2} \right]$.
चूंकि $\tan \frac{A}{2} \cot \frac{A}{2} = 1$,इसलिए व्यंजक सरल होकर $(b-c)$ हो जाता है।
अब,चक्रीय क्रम में योग करने पर:
$\Sigma(b-c) = (b-c) + (c-a) + (a-b) = 0$.

(D) दिया गया समीकरण $x^2-5x+6=0$ है। \\ $x$ के लिए हल करने पर: $(x-3)(x-2)=0$,जिससे $x=3$ और $x=2$ प्राप्त होता है। \\ मान लीजिए कि दो भुजाएँ $a=3$ और $b=2$ हैं,और उनके बीच का कोण $C=\frac{\pi}{3}$ है। \\ कोसाइन नियम का उपयोग करने पर: $\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$. \\ मान रखने पर: $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{3^2+2^2-c^2}{2 \times 3 \times 2}$. \\ $\frac{1}{2} = \frac{9+4-c^2}{12} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{13-c^2}{12}$. \\ $6 = 13-c^2$ $\Rightarrow c^2 = 7$ $\Rightarrow c = \sqrt{7}$. \\ त्रिभुज का परिमाप $a+b+c = 3+2+\sqrt{7} = 5+\sqrt{7}$ है।

(D) दिया गया है कि,$m \begin{bmatrix} -3 & 4 \end{bmatrix} + n \begin{bmatrix} 4 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 & -11 \end{bmatrix}$
अदिश $m$ और $n$ का आव्यूह के साथ गुणा करने पर:
$\begin{bmatrix} -3m & 4m \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 4n & -3n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 & -11 \end{bmatrix}$
आव्यूहों को जोड़ने पर:
$\begin{bmatrix} -3m + 4n & 4m - 3n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 & -11 \end{bmatrix}$
संगत अवयवों की तुलना करने पर,हमें निम्नलिखित रैखिक समीकरण प्राप्त होते हैं:
$-3m + 4n = 10 \quad \dots (i)$
$4m - 3n = -11 \quad \dots (ii)$
इस प्रणाली को हल करने के लिए,समीकरण $(i)$ को $3$ से और समीकरण $(ii)$ को $4$ से गुणा करें:
$-9m + 12n = 30 \quad \dots (iii)$
$16m - 12n = -44 \quad \dots (iv)$
समीकरण $(iii)$ और $(iv)$ को जोड़ने पर:
$7m = -14 \Rightarrow m = -2$
$m = -2$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$-3(-2) + 4n = 10 \Rightarrow 6 + 4n = 10 \Rightarrow 4n = 4 \Rightarrow n = 1$
अब,$3m + 7n$ का मान ज्ञात करें:
$3m + 7n = 3(-2) + 7(1) = -6 + 7 = 1$

(A) दिया गया है कि,$A = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$।
सबसे पहले,हम $A^2$ की गणना करते हैं:
$A^2 = A \cdot A = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (-1)(-1) + (0)(0) & (-1)(0) + (0)(2) \\ (0)(-1) + (2)(0) & (0)(0) + (2)(2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$।
इसके बाद,हम $A^3$ की गणना करते हैं:
$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1)(-1) + (0)(0) & (1)(0) + (0)(2) \\ (0)(-1) + (4)(0) & (0)(0) + (4)(2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 8 \end{bmatrix}$।
अब,$A^3 - A^2$ की गणना करते हैं:
$A^3 - A^2 = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 8 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 - 1 & 0 - 0 \\ 0 - 0 & 8 - 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$।
हम देख सकते हैं कि $2A = 2 \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$।
अतः,$A^3 - A^2 = 2A$।

(C) माना $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 1 & -2 \\ 0 & 2 & 1 \end{bmatrix}$ है। आव्यूह का एड्जॉइंट (adj) सहखंडज आव्यूह का परिवर्त (transpose) होता है,अर्थात $\operatorname{adj}(A) = [C_{ij}]^T$।
सहखंड $C_{ij}$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$C_{11} = + \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 - (-4) = 5$
$C_{12} = - \begin{vmatrix} -1 & -2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -(-1 - 0) = 1$
$C_{13} = + \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = -2 - 0 = -2$
$C_{21} = - \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -(0 - 4) = 4$
$C_{22} = + \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 0 = 1$
$C_{23} = - \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = -(2 - 0) = -2$
$C_{31} = + \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = 0 - 2 = -2$
$C_{32} = - \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -2 \end{vmatrix} = -(-2 - (-2)) = 0$
$C_{33} = + \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 0 = 1$
सहखंड आव्यूह $\begin{bmatrix} 5 & 1 & -2 \\ 4 & 1 & -2 \\ -2 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ है।
इसका परिवर्त लेने पर,हमें $\operatorname{adj}(A) = \begin{bmatrix} 5 & 4 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \\ -2 & -2 & 1 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना दिए गए आव्यूह $\begin{bmatrix} 5 & a & -2 \\ 1 & 1 & 0 \\ -2 & -2 & b \end{bmatrix}$ से करने पर,हमें $a = 4$ और $b = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$\begin{bmatrix} a & b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 1 \end{bmatrix}$।

(C) हम सर्वसमिका $2 \tanh^{-1} x = \tanh^{-1} \left( \frac{2x}{1+x^2} \right)$ का उपयोग करेंगे।
$x = \frac{1}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2 \tanh^{-1} \left( \frac{1}{2} \right) = \tanh^{-1} \left( \frac{2 \cdot \frac{1}{2}}{1 + (\frac{1}{2})^2} \right) = \tanh^{-1} \left( \frac{1}{1 + \frac{1}{4}} \right) = \tanh^{-1} \left( \frac{1}{\frac{5}{4}} \right) = \tanh^{-1} \left( \frac{4}{5} \right)$.
अब,हम लघुगणकीय रूप $\tanh^{-1} x = \frac{1}{2} \log \left( \frac{1+x}{1-x} \right)$ का उपयोग करेंगे।
$x = \frac{4}{5}$ रखने पर:
$\tanh^{-1} \left( \frac{4}{5} \right) = \frac{1}{2} \log \left( \frac{1 + \frac{4}{5}}{1 - \frac{4}{5}} \right) = \frac{1}{2} \log \left( \frac{\frac{9}{5}}{\frac{1}{5}} \right) = \frac{1}{2} \log 9 = \frac{1}{2} \log 3^2 = \log 3$.

(C) दिया गया व्यंजक: $\sin ^{-1} \frac{4}{5} + 2 \tan ^{-1} \frac{1}{3}$.
सबसे पहले,सूत्र $2 \tan ^{-1} x = \tan ^{-1} \frac{2x}{1-x^2}$ का उपयोग करें:
$2 \tan ^{-1} \frac{1}{3} = \tan ^{-1} \frac{2(1/3)}{1-(1/3)^2} = \tan ^{-1} \frac{2/3}{1-1/9} = \tan ^{-1} \frac{2/3}{8/9} = \tan ^{-1} \left( \frac{2}{3} \times \frac{9}{8} \right) = \tan ^{-1} \frac{3}{4}$.
अब,व्यंजक $\sin ^{-1} \frac{4}{5} + \tan ^{-1} \frac{3}{4}$ हो जाता है।
माना $\tan ^{-1} \frac{3}{4} = \theta$,तो $\tan \theta = \frac{3}{4}$,जिसका अर्थ है कि $\sin \theta = \frac{3}{5}$ और $\cos \theta = \frac{4}{5}$।
अतः,$\tan ^{-1} \frac{3}{4} = \cos ^{-1} \frac{4}{5}$।
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\sin ^{-1} \frac{4}{5} + \cos ^{-1} \frac{4}{5}$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करने पर,उत्तर $\frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) व्यंजक $f(x) = x - |x|$ पर विचार करें।
स्थिति $1$: यदि $x \geq 0$ है,तो $|x| = x$। अतः,$f(x) = x - x = 0$।
स्थिति $2$: यदि $x < 0$ है,तो $|x| = -x$। अतः,$f(x) = x - (-x) = 2x$।
चूंकि $x < 0$ है,इसलिए $2x < 0$ होगा।
अतः,$x - |x|$ का मान या तो $0$ ($x \geq 0$ के लिए) है या एक ऋणात्मक संख्या ($x < 0$ के लिए) है।
यह कभी भी $5$ के बराबर नहीं हो सकता।
इसलिए,समुच्चय $\{x \in R : [x - |x|] = 5\}$ एक रिक्त समुच्चय है,जिसे $\phi$ द्वारा दर्शाया जाता है।

(A) दिया गया है कि $x = \frac{1}{2} \left( \sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{3+1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{4}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
अतः $x^2 = \left( \frac{2}{\sqrt{3}} \right)^2 = \frac{4}{3}$.
अब,$x^2 - 1 = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$.
इसलिए,$\sqrt{x^2 - 1} = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
इन मानों को व्यंजक $\frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x - \sqrt{x^2 - 1}}$ में रखने पर:
$= \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{\frac{2}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 1$.

(A) दी गई अभिव्यक्ति: $\frac{x^3}{(2 x-1)(x+2)(x-3)} = A+\frac{B}{2 x-1}+\frac{C}{x+2}+\frac{D}{x-3}$ है।
सबसे पहले,हर का विस्तार करने पर: $(2x-1)(x+2)(x-3) = (2x-1)(x^2-x-6) = 2x^3 - 3x^2 - 11x + 6$ प्राप्त होता है।
चूंकि अंश की घात $(3)$ और हर की घात $(3)$ समान है,इसलिए अचर $A$ का मान ज्ञात करने के लिए हम बहुपद का भाग करेंगे।
$x^3$ को $2x^3 - 3x^2 - 11x + 6$ से विभाजित करने पर:
$\frac{x^3}{2x^3 - 3x^2 - 11x + 6} = \frac{1}{2} \left( \frac{2x^3}{2x^3 - 3x^2 - 11x + 6} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{2x^3 - 3x^2 - 11x + 6 + 3x^2 + 11x - 6}{2x^3 - 3x^2 - 11x + 6} \right) = \frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{2}x^2 + \frac{11}{2}x - 3}{(2x-1)(x+2)(x-3)}$ प्राप्त होता है।
दिए गए रूप $A+\frac{B}{2 x-1}+\frac{C}{x+2}+\frac{D}{x-3}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $A = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $f(x) = \frac{x+2}{x^2+3x+2} = \frac{x+2}{(x+2)(x+1)} = \frac{1}{x+1}$ जहाँ $x \neq -1, -2$.
$x = -2$ के लिए,$f(-2) = -1$.
$x = -2$ पर सांतत्य की जाँच करने पर:
$\lim_{x \rightarrow -2} f(x) = \lim_{x \rightarrow -2} \frac{1}{x+1} = \frac{1}{-2+1} = -1$.
चूंकि $\lim_{x \rightarrow -2} f(x) = f(-2) = -1$,इसलिए $f$ बिंदु $x = -2$ पर सतत है।
$x = -1$ पर सांतत्य की जाँच करने पर:
$\lim_{x \rightarrow -1^+} f(x) = \lim_{x \rightarrow -1^+} \frac{1}{x+1} = \infty$ और $\lim_{x \rightarrow -1^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow -1^-} \frac{1}{x+1} = -\infty$.
चूंकि $x = -1$ पर सीमा का अस्तित्व नहीं है,इसलिए $f$ बिंदु $x = -1$ पर असतत है।
अतः,$f$ समुच्चय $R-\{-1\}$ पर सतत है।

(C) दिया गया है कि $f(x)$ एक सम फलन है,परिभाषा के अनुसार $f(x) = f(-x)$ सभी $x \in R$ के लिए।
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें $f^{\prime}(x) = -f^{\prime}(-x)$ प्राप्त होता है।
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $f^{\prime \prime}(x) = f^{\prime \prime}(-x)$ प्राप्त होता है।
यह दर्शाता है कि एक सम फलन का द्वितीय अवकलज भी एक सम फलन होता है।
चूंकि $f^{\prime \prime}(x)$ एक सम फलन है,इसलिए $f^{\prime \prime}(-\pi) = f^{\prime \prime}(\pi)$।
दिया गया है कि $f^{\prime \prime}(\pi) = 1$,अतः $f^{\prime \prime}(-\pi) = 1$ होगा।

(A) दिया गया है $u = \sin^{-1}\left(\frac{x}{y}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)$.
सबसे पहले,हम $x$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन ज्ञात करते हैं:
$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{1}{\sqrt{1 - (x/y)^2}} \cdot \frac{1}{y} + \frac{1}{1 + (y/x)^2} \cdot \left(-\frac{y}{x^2}\right)$
$= \frac{1}{\sqrt{(y^2 - x^2)/y^2}} \cdot \frac{1}{y} - \frac{x^2}{x^2 + y^2} \cdot \frac{y}{x^2}$
$= \frac{y}{\sqrt{y^2 - x^2}} \cdot \frac{1}{y} - \frac{y}{x^2 + y^2} = \frac{1}{\sqrt{y^2 - x^2}} - \frac{y}{x^2 + y^2}$
$x$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{y^2 - x^2}} - \frac{xy}{x^2 + y^2} \quad \dots(i)$
अब,हम $y$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन ज्ञात करते हैं:
$\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{1}{\sqrt{1 - (x/y)^2}} \cdot \left(-\frac{x}{y^2}\right) + \frac{1}{1 + (y/x)^2} \cdot \left(\frac{1}{x}\right)$
$= \frac{y}{\sqrt{y^2 - x^2}} \cdot \left(-\frac{x}{y^2}\right) + \frac{x^2}{x^2 + y^2} \cdot \frac{1}{x}$
$= -\frac{x}{y \sqrt{y^2 - x^2}} + \frac{x}{x^2 + y^2}$
$y$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{x}{\sqrt{y^2 - x^2}} + \frac{xy}{x^2 + y^2} \quad \dots(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$x \frac{\partial u}{\partial x} + y \frac{\partial u}{\partial y} = \left(\frac{x}{\sqrt{y^2 - x^2}} - \frac{xy}{x^2 + y^2}\right) + \left(-\frac{x}{\sqrt{y^2 - x^2}} + \frac{xy}{x^2 + y^2}\right) = 0$.

(A) कथन $I$ के लिए:
$f(x) = a x^{41} + b x^{-40}$
$f^{\prime}(x) = 41 a x^{40} - 40 b x^{-41}$
$f^{\prime \prime}(x) = 41 \times 40 a x^{39} + 40 \times 41 b x^{-42} = 1640 a x^{39} + 1640 b x^{-42}$
$\frac{f^{\prime \prime}(x)}{f(x)} = \frac{1640(a x^{39} + b x^{-42})}{a x^{41} + b x^{-40}} = \frac{1640 x^{-2}(a x^{41} + b x^{-40})}{a x^{41} + b x^{-40}} = 1640 x^{-2}$
अतः,कथन $I$ सही है।
कथन $II$ के लिए:
माना $y = \tan ^{-1}\left(\frac{2 x}{1-x^2}\right)$. $|x| < 1$ के लिए,हम $x = \tan \theta$ प्रतिस्थापित करते हैं,इसलिए $y = \tan ^{-1}(\tan 2 \theta) = 2 \theta = 2 \tan ^{-1} x$.
तब $\frac{d y}{d x} = \frac{2}{1+x^2}$.
चूंकि दिया गया व्यंजक $\frac{1}{1+x^2}$ है,इसलिए कथन $II$ गलत है।

(B) माना $BC = x$ टॉवर की ऊँचाई है और $CD = h$ ध्वजदंड की ऊँचाई है। बिंदु $A$,आधार $B$ से $y$ मीटर की दूरी पर है।
$\triangle ABC$ में,$\tan \theta = \frac{BC}{AB} = \frac{x}{y}$।
$\triangle ABD$ में,कुल कोण $2\theta$ है,इसलिए $\tan 2\theta = \frac{BD}{AB} = \frac{x+h}{y}$।
सूत्र $\tan 2\theta = \frac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{2(x/y)}{1-(x/y)^2} = \frac{x+h}{y}$
$\frac{2xy}{y^2-x^2} = \frac{x+h}{y}$
$2xy^2 = (y^2-x^2)(x+h)$
$h = \frac{x(x^2+y^2)}{y^2-x^2}$।

(A) माना $I = \int \sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right) d x$.
$x = \tan \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$d x = \sec ^2 \theta d \theta$ प्राप्त होता है।
समाकलन $I = \int \sin ^{-1}(\sin 2 \theta) \cdot \sec ^2 \theta d \theta$ हो जाता है।
$|x| \le 1$ मानते हुए,$I = 2 \int \theta \sec ^2 \theta d \theta$ प्राप्त होता है।
खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करने पर: $I = 2 \left[ \theta \tan \theta - \int \tan \theta d \theta \right]$.
$I = 2 [\theta \tan \theta + \log |\cos \theta|] + C$.
चूंकि $\tan \theta = x$,इसलिए $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$,अतः $\log |\cos \theta| = \log (1+x^2)^{-1/2} = -\frac{1}{2} \log (1+x^2)$.
मान वापस रखने पर: $I = 2 [x \tan ^{-1} x - \frac{1}{2} \log (1+x^2)] + C$.
$I = 2 x \tan ^{-1} x - \log (1+x^2) + C$.
इसकी तुलना $f(x) - \log (1+x^2)$ से करने पर,$f(x) = 2 x \tan ^{-1} x$ प्राप्त होता है।

(A) माना $I = \int \frac{\sin x}{\cos x(1+\cos x)} dx$.
$\cos x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$-\sin x dx = dt$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\sin x dx = -dt$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{-dt}{t(1+t)}$.
आंशिक भिन्न का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{t(1+t)} = \frac{1}{t} - \frac{1}{1+t}$.
अतः,$I = -\int \left( \frac{1}{t} - \frac{1}{1+t} \right) dt$.
$I = -(\log |t| - \log |1+t|) + c$.
$I = \log |1+t| - \log |t| + c = \log \left| \frac{1+t}{t} \right| + c$.
$t = \cos x$ वापस रखने पर,$I = \log \left| \frac{1+\cos x}{\cos x} \right| + c$.
चूंकि $I = f(x) + c$,इसलिए $f(x) = \log \left| \frac{1+\cos x}{\cos x} \right|$ प्राप्त होता है।

(C) माना $I = \int \frac{x^{49} \tan ^{-1}\left(x^{50}\right)}{1+x^{100}} d x$.
प्रतिस्थापन $t = x^{50}$ का उपयोग करने पर,$dt = 50x^{49} dx$,जिसका अर्थ है $x^{49} dx = \frac{1}{50} dt$.
अतः समाकलन $I = \frac{1}{50} \int \frac{\tan ^{-1} t}{1+t^2} dt$ हो जाता है।
अब,$u = \tan ^{-1} t$ रखने पर,$du = \frac{1}{1+t^2} dt$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर,$I = \frac{1}{50} \int u du = \frac{1}{50} \cdot \frac{u^2}{2} + c = \frac{u^2}{100} + c$.
$u$ का मान वापस रखने पर,$I = \frac{(\tan ^{-1} x^{50})^2}{100} + c$.
दिए गए व्यंजक $k(\tan ^{-1} x^{50})^2 + c$ के साथ तुलना करने पर,हमें $k = \frac{1}{100}$ प्राप्त होता है।

(D) माना $I = \int_0^\pi \frac{\theta \sin \theta}{1+\cos ^2 \theta} d \theta$ ... $(i)$
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^\pi \frac{(\pi-\theta) \sin (\pi-\theta)}{1+\cos ^2(\pi-\theta)} d \theta$
चूँकि $\sin(\pi-\theta) = \sin\theta$ और $\cos(\pi-\theta) = -\cos\theta$,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_0^\pi \frac{(\pi-\theta) \sin \theta}{1+\cos ^2 \theta} d \theta$ ... (ii)
$(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^\pi \frac{\theta \sin \theta + (\pi-\theta) \sin \theta}{1+\cos ^2 \theta} d \theta = \int_0^\pi \frac{\pi \sin \theta}{1+\cos ^2 \theta} d \theta$
$2I = \pi \int_0^\pi \frac{\sin \theta}{1+\cos ^2 \theta} d \theta$
माना $\cos \theta = t$,तब $-\sin \theta d \theta = dt$. जब $\theta = 0, t = 1$ और जब $\theta = \pi, t = -1$.
$2I = \pi \int_1^{-1} \frac{-dt}{1+t^2} = \pi \int_{-1}^1 \frac{dt}{1+t^2}$
$2I = \pi [\tan^{-1} t]_{-1}^1 = \pi (\tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(-1)) = \pi (\frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4})) = \pi (\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi^2}{2}$
$2I = \frac{\pi^2}{2} \Rightarrow I = \frac{\pi^2}{4}$

(C) माना $I = \int_0^{\pi / 2} \frac{200 \sin x+100 \cos x}{\sin x+\cos x} d x$.
हम अंश को $100(\sin x + \cos x) + 100 \sin x$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$I = \int_0^{\pi / 2} \frac{100(\sin x + \cos x) + 100 \sin x}{\sin x + \cos x} d x = 100 \int_0^{\pi / 2} 1 d x + 100 \int_0^{\pi / 2} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} d x$.
माना $I_1 = \int_0^{\pi / 2} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} d x$.
गुणधर्म $\int_0^a f(x) d x = \int_0^a f(a-x) d x$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $I_1 = \int_0^{\pi / 2} \frac{\sin(\pi/2 - x)}{\sin(\pi/2 - x) + \cos(\pi/2 - x)} d x = \int_0^{\pi / 2} \frac{\cos x}{\cos x + \sin x} d x$.
$I_1$ के दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2I_1 = \int_0^{\pi / 2} \frac{\sin x + \cos x}{\sin x + \cos x} d x = \int_0^{\pi / 2} 1 d x = \frac{\pi}{2}$.
इस प्रकार,$I_1 = \frac{\pi}{4}$.
$I$ के समीकरण में मान रखने पर: $I = 100[x]_0^{\pi/2} + 100(I_1) = 100(\frac{\pi}{2}) + 100(\frac{\pi}{4}) = 50\pi + 25\pi = 75\pi$.

(B) दिए गए वक्र हैं:
$y^2 = 4x$ ...$(i)$
$x^2 = 4y$ ...$(ii)$
$(ii)$ से,$y = \frac{x^2}{4}$ प्राप्त होता है। इसे $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\frac{x^2}{4})^2 = 4x \implies \frac{x^4}{16} = 4x \implies x^4 = 64x \implies x(x^3 - 64) = 0$.
अतः,$x = 0$ या $x = 4$ है। प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,0)$ और $(4,4)$ हैं।
अभीष्ट क्षेत्रफल $x=0$ से $x=4$ तक ऊपरी वक्र और निचले वक्र के अंतर का समाकलन है:
$Area = \int_0^4 (\sqrt{4x} - \frac{x^2}{4}) dx$
$= \int_0^4 (2\sqrt{x} - \frac{x^2}{4}) dx$
$= [2 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^3}{12}]_0^4$
$= [\frac{4}{3} x^{3/2} - \frac{x^3}{12}]_0^4$
$= [\frac{4}{3} (4)^{3/2} - \frac{4^3}{12}] - [0]$
$= [\frac{4}{3} \cdot 8 - \frac{64}{12}]$
$= \frac{32}{3} - \frac{16}{3} = \frac{16}{3}$ वर्ग इकाई।

(B) ऑप्टिकल फाइबर के माध्यम से प्रकाश का संचरण वास्तव में पूर्ण आंतरिक परावर्तन $(TIR)$ के सिद्धांत पर आधारित है।
$TIR$ होने के लिए,प्रकाश को उच्च अपवर्तनांक वाले माध्यम से कम अपवर्तनांक वाले माध्यम में जाना चाहिए,और आपतन कोण क्रांतिक कोण से अधिक होना चाहिए।
ऑप्टिकल फाइबर में,कोर का अपवर्तनांक $(n_1)$ क्लैडिंग $(n_2)$ से अधिक होता है। कोर और क्लैडिंग के बीच के इंटरफेस पर ही $TIR$ होता है।
कारण कथन में उल्लेख है कि कोर का अपवर्तनांक हवा से अधिक है। हालांकि यह सत्य है,लेकिन यह वह कारण नहीं है कि कोर-क्लैड इंटरफेस पर $TIR$ क्यों होता है। $TIR$ इसलिए होता है क्योंकि कोर का अपवर्तनांक क्लैडिंग के अपवर्तनांक से अधिक होता है।
इसलिए,$(A)$ और $(R)$ दोनों सत्य हैं,लेकिन $(R)$,$(A)$ की सही व्याख्या नहीं है।

(A) लेंस मेकर का सूत्र $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ है।
सम-उत्तल लेंस के लिए,$R_1 = R$ और $R_2 = -R$ होता है।
इन मानों को रखने पर,$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right) = (\mu - 1) \left( \frac{2}{R} \right)$.
अतः,$f = \frac{R}{2(\mu - 1)}$.
प्रश्न के अनुसार,फोकस दूरी $f$,वक्रता त्रिज्या $R$ से अधिक है,यानी $f > R$.
$f$ का मान रखने पर,$\frac{R}{2(\mu - 1)} > R$.
इसे सरल करने पर $\frac{1}{2(\mu - 1)} > 1$,जिसका अर्थ है कि $2(\mu - 1) < 1$.
इसलिए,$\mu - 1 < 0.5$,जिसका अर्थ है कि $\mu < 1.5$.
हवा में अभिसारी लेंस के लिए अपवर्तनांक $\mu$ का मान $1$ से अधिक होना चाहिए,इसलिए सीमा $1 < \mu < 1.5$ है। दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर शून्य से अधिक लेकिन $1.5$ से कम है।

(B) $300^{\circ} C$ पर सोडियम की ऑक्सीजन के साथ अभिक्रिया से सोडियम पेरोक्साइड $(X)$ बनता है: $2Na + O_2 \xrightarrow{300^{\circ} C} Na_2O_2$ $(X)$.
सोडियम पेरोक्साइड $(X)$,कार्बन डाइऑक्साइड के साथ अभिक्रिया करके सोडियम कार्बोनेट और ऑक्सीजन $(Y)$ बनाता है: $2Na_2O_2 + 2CO_2 \longrightarrow 2Na_2CO_3 + O_2$ $(Y)$.
अतः,$Y$,$O_2$ है।

(B) $Mg$ की तनु $HNO_3$ के साथ अभिक्रिया में मैग्नीशियम नाइट्रेट और हाइड्रोजन गैस उत्पन्न होती है: $Mg + 2HNO_3 \longrightarrow Mg(NO_3)_2 + H_2 \uparrow$.
अन्य अभिक्रियाओं में:
$2Mg + CO_2 \longrightarrow 2MgO + C$
$2Mg + 2NO \longrightarrow 2MgO + N_2$
$3Mg + B_2O_3 \longrightarrow 3MgO + 2B$
अतः,तनु $HNO_3$ के साथ अभिक्रिया में $MgO$ नहीं बनता है।

(C) कॉमन-एमिटर $(C-E)$ विन्यास में, ट्रांजिस्टर एक एम्पलीफायर के रूप में कार्य करता है।
$1$. धारा लाभ $(\beta)$ को कलेक्टर धारा $(I_C)$ और आधार धारा $(I_B)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो आमतौर पर $1$ से काफी अधिक होता है।
$2$. वोल्टेज लाभ $(A_V)$ को धारा लाभ $(\beta)$ और आउटपुट प्रतिरोध तथा इनपुट प्रतिरोध के अनुपात $(R_{out}/R_{in})$ के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$3$. चूंकि $C-E$ एम्पलीफायर में धारा लाभ और वोल्टेज लाभ दोनों $1$ से अधिक होते हैं, इसलिए यह उपकरण धारा और वोल्टेज दोनों का प्रवर्धन प्रदान करता है।
$4$. परिणामस्वरूप, यह महत्वपूर्ण पावर प्रवर्धन भी प्रदान करता है।

(C) दिया गया है कि $dx + dy = (x + y)(dx - dy)$।
$dx$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है:
$1 + \frac{dy}{dx} = (x + y)(1 - \frac{dy}{dx})$
$1 + \frac{dy}{dx} = x + y - (x + y)\frac{dy}{dx}$
$\frac{dy}{dx}(1 + x + y) = x + y - 1$
$\frac{dy}{dx} = \frac{x + y - 1}{x + y + 1} \quad \dots(i)$
माना $x + y = t$। तब $1 + \frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx}$,अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx} - 1$।
समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dt}{dx} - 1 = \frac{t - 1}{t + 1}$
$\frac{dt}{dx} = \frac{t - 1}{t + 1} + 1 = \frac{t - 1 + t + 1}{t + 1} = \frac{2t}{t + 1}$
चरों को अलग करने पर:
$\frac{t + 1}{2t} dt = dx$
$\frac{1}{2}(1 + \frac{1}{t}) dt = dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\frac{1}{2}(t + \log|t|) = x + C_1$
$t + \log|t| = 2x + 2C_1$
$t = x + y$ रखने पर:
$x + y + \log(x + y) = 2x + C$
$\log(x + y) = x - y + C$

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{y + x \tan(\frac{y}{x})}{x} \quad (i)$
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है।
माना $y = vx$,तब $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$v + x \frac{dv}{dx} = \frac{vx + x \tan(v)}{x}$
$v + x \frac{dv}{dx} = v + \tan(v)$
$x \frac{dv}{dx} = \tan(v)$
चरों को पृथक करने पर:
$\cot(v) dv = \frac{1}{x} dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \cot(v) dv = \int \frac{1}{x} dx$
$\log|\sin(v)| = \log|x| + \log|c|$
$\log|\sin(v)| = \log|cx|$
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर:
$\sin(v) = cx$
$v = \frac{y}{x}$ वापस रखने पर:
$\sin(\frac{y}{x}) = cx$