मूल बिंदु से रेखा युग्म 12x^2+25xy+12y^2+10x+ | vedclass

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Question

(B) दिए गए रेखा युग्म का समीकरण: $12x^2+25xy+12y^2+10x+11y+2=0$ ... $(i)$ सबसे पहले,समीकरण $(i)$ के समघातीय भाग पर विचार करते हैं: $12x^2+25xy+12y^2 =

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$\frac{2}{25}$

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(B) दिए गए रेखा युग्म का समीकरण: $12x^2+25xy+12y^2+10x+11y+2=0$ ... $(i)$ सबसे पहले,समीकरण $(i)$ के समघातीय भाग पर विचार करते हैं: $12x^2+25xy+12y^2 = 0$ $\Rightarrow (3x+4y)(4x+3y) = 0$ मान लीजिए कि रेखाएं $(3x+4y+c_1)(4x+3y+c_2) = 0$ द्वारा निरूपित हैं। इसका विस्तार करने पर: $12x^2+25xy+12y^2+(4c_1+3c_2)x+(3c_1+4c_2)y+c_1c_2 = 0$ समीकरण $(i)$ से तुलना करने पर: $4c_1+3c_2 = 10$ ... (ii) $3c_1+4c_2 = 11$ ... (iii) $c_1c_2 = 2$ ... (iv) (ii) और (iii) को हल करने पर: (ii) और (iii) को जोड़ने पर: $7(c_1+c_2) = 21 \Rightarrow c_1+c_2 = 3$ (iii) को (ii) से घटाने पर: $c_1-c_2 = -1$ इन दोनों को जोड़ने पर: $2c_1 = 2 \Rightarrow c_1 = 1$. अतः $c_2 = 2$. जाँच: $c_1c_2 = 1 	imes 2 = 2$,जो (iv) को संतुष्ट करता है। रेखाएं $3x+4y+1=0$ और $4x+3y+2=0$ हैं। मूल बिंदु $(0,0)$ से इन रेखाओं पर लंब दूरियां हैं: $p_1 = \frac{|0+0+1|}{\sqrt{3^2+4^2}} = \frac{1}{5}$ $p_2 = \frac{|0+0+2|}{\sqrt{4^2+3^2}} = \frac{2}{5}$ दूरियों का गुणनफल $p_1 \cdot p_2 = \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{25}$.

मूल बिंदु से रेखा युग्म $12x^2+25xy+12y^2+10x+11y+2=0$ पर डाले गए लंब दूरियों का गुणनफल है

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