AP EAMCET 2005 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $x^2 y - x^3 \frac{dy}{dx} = y^4 \cos x$.
दोनों पक्षों को $x^3 y^4$ से विभाजित करने पर:
$\frac{x^2 y}{x^3 y^4} - \frac{x^3}{x^3 y^4} \frac{dy}{dx} = \frac{y^4 \cos x}{x^3 y^4}$
$\Rightarrow \frac{1}{x y^3} - \frac{1}{y^4} \frac{dy}{dx} = \frac{\cos x}{x^3}$
$\Rightarrow -\frac{1}{y^4} \frac{dy}{dx} + \frac{1}{x} y^{-3} = \frac{\cos x}{x^3}$
माना $v = y^{-3}$. तब $\frac{dv}{dx} = -3 y^{-4} \frac{dy}{dx}$,जिसका अर्थ है कि $-\frac{1}{y^4} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{3} \frac{dv}{dx}$.
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$\frac{1}{3} \frac{dv}{dx} + \frac{1}{x} v = \frac{\cos x}{x^3}$
$3$ से गुणा करने पर: $\frac{dv}{dx} + \frac{3}{x} v = \frac{3 \cos x}{x^3}$.
यह $\frac{dv}{dx} + P(x)v = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{3}{x}$ और $Q(x) = \frac{3 \cos x}{x^3}$.
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $= e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{3}{x} dx} = e^{3 \ln x} = x^3$.
हल $v \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + c$ है।
$v \cdot x^3 = \int \frac{3 \cos x}{x^3} \cdot x^3 dx + c$
$v x^3 = 3 \int \cos x dx + c$
$v x^3 = 3 \sin x + c$.
चूंकि $v = y^{-3}$,इसलिए $x^3 y^{-3} = 3 \sin x + c$.

(A) हम प्रत्येक व्यंजक का मूल्यांकन करते हैं:
$(A)$ अदिश त्रिक गुणन को $[\mathbf{a} \mathbf{b} \mathbf{c}] = \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$ के रूप में परिभाषित किया गया है,जो $3$ से मेल खाता है।
$(B)$ सदिश त्रिक गुणन सूत्र $(\mathbf{x} \times \mathbf{y}) \times \mathbf{z} = (\mathbf{x} \cdot \mathbf{z})\mathbf{y} - (\mathbf{y} \cdot \mathbf{z})\mathbf{x}$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है $(\mathbf{c} \times \mathbf{a}) \times \mathbf{b} = (\mathbf{c} \cdot \mathbf{b})\mathbf{a} - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})\mathbf{c} = (\mathbf{b} \cdot \mathbf{c})\mathbf{a} - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})\mathbf{c}$,जो $5$ से मेल खाता है।
$(C)$ सदिश त्रिक गुणन सूत्र $\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c})\mathbf{b} - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})\mathbf{c}$ का उपयोग करते हुए,जो $2$ से मेल खाता है।
$(D)$ अदिश गुणन को $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos(\theta)$ के रूप में परिभाषित किया गया है,जहाँ $\theta$ सदिश $\mathbf{a}$ और $\mathbf{b}$ के बीच का कोण है,जो $1$ से मेल खाता है।
अतः,सही मिलान $A-3, B-5, C-2, D-1$ है।

(A) दिया गया है कि $a$ और $b$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|a| = 1$ और $|b| = 1$,जिसका अर्थ है $a \cdot a = 1$ और $b \cdot b = 1$।
सदिश गुणन के वितरण नियम का उपयोग करके $(a+b) \times (a \times b)$ का विस्तार करने पर:
$(a+b) \times (a \times b) = a \times (a \times b) + b \times (a \times b)$।
सदिश त्रिक गुणन सूत्र $A \times (B \times C) = (A \cdot C)B - (A \cdot B)C$ का उपयोग करने पर:
$a \times (a \times b) = (a \cdot b)a - (a \cdot a)b = (a \cdot b)a - b$।
$b \times (a \times b) = (b \cdot b)a - (b \cdot a)b = a - (a \cdot b)b$।
इन परिणामों को जोड़ने पर:
$(a \cdot b)a - b + a - (a \cdot b)b = a(1 + a \cdot b) - b(1 + a \cdot b) = (a - b)(1 + a \cdot b)$।
अतः,सदिश $(a+b) \times (a \times b)$ सदिश $(a - b)$ के समांतर है।

(C) मान लीजिए कि दिए गए बिंदु $A(1, -2, -3)$ और $B(2, 0, 0)$ हैं।
$A$ और $B$ से गुजरने वाली रेखा का सदिश समीकरण $\vec{r} = \vec{a} + t(\vec{b} - \vec{a})$ है,जहाँ $\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k}$ और $\vec{b} = 2\hat{i}$ है।
दिशा सदिश $\vec{v} = \vec{b} - \vec{a} = (2-1)\hat{i} + (0 - (-2))\hat{j} + (0 - (-3))\hat{k} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ है।
रेखा का समीकरण $\vec{r} = (1\hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k}) + t(\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k})$ है।
इससे प्राचलिक समीकरण प्राप्त होते हैं: $x = 1 + t$,$y = -2 + 2t$,$z = -3 + 3t$।
विकल्प $(C) (0, -4, -6)$ के लिए,$x = 0$ रखने पर $1 + t = 0 \implies t = -1$ प्राप्त होता है।
$t = -1$ को $y$ और $z$ में रखने पर: $y = -2 + 2(-1) = -4$ और $z = -3 + 3(-1) = -6$ प्राप्त होता है।
चूँकि बिंदु $(0, -4, -6)$ रेखा के समीकरण को संतुष्ट करता है,इसलिए यह संरेख है।

(B) माना $P(B) = p$. दी गई शर्त के अनुसार $P(A) = 2P(B)$,इसलिए $P(A) = 2p$. चूँकि $P(A) + P(B) = 1$,हमें $2p + p = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $3p = 1$,यानी $p = \frac{1}{3}$. अतः,$P(B) = \frac{1}{3}$ और $P(A) = \frac{2}{3}$.
माना $R$ लाल गेंद निकालने की घटना है।
बॉक्स $A$ से लाल गेंद निकालने की प्रायिकता $P(R|A) = \frac{3}{2+3} = \frac{3}{5}$ है।
बॉक्स $B$ से लाल गेंद निकालने की प्रायिकता $P(R|B) = \frac{4}{3+4} = \frac{4}{7}$ है।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,प्रायिकता कि गेंद बॉक्स $B$ से आई है,यदि वह लाल है:
$P(B|R) = \frac{P(B) \cdot P(R|B)}{P(A) \cdot P(R|A) + P(B) \cdot P(R|B)}$
$P(B|R) = \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{7}}{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{5} + \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{7}}$
$P(B|R) = \frac{\frac{4}{21}}{\frac{6}{15} + \frac{4}{21}} = \frac{\frac{4}{21}}{\frac{2}{5} + \frac{4}{21}}$
$P(B|R) = \frac{\frac{4}{21}}{\frac{42 + 20}{105}} = \frac{\frac{4}{21}}{\frac{62}{105}} = \frac{4}{21} \cdot \frac{105}{62} = \frac{4 \cdot 5}{62} = \frac{20}{62} = \frac{10}{31}$.

(C) माना $E$ सिक्के पर चित प्राप्त करने की घटना है।
$P(E) = \frac{1}{2}$.
माना $F$ पासे पर एक विषम संख्या $(1, 3, 5)$ प्राप्त करने की घटना है।
$P(F) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
चूंकि घटनाएँ $E$ और $F$ स्वतंत्र हैं,इसलिए दोनों के एक साथ घटित होने की प्रायिकता उनकी व्यक्तिगत प्रायिकताओं के गुणनफल के बराबर होती है:
$P(E \cap F) = P(E) \times P(F)$.
$P(E \cap F) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.

(C) दिया गया है कि $n=6$ और $P(X=2)=9 P(X=4)$ है।
द्विपद प्रायिकता सूत्र $P(X=k) = {^nC_k} p^k q^{n-k}$ का उपयोग करने पर:
${^6C_2} p^2 q^4 = 9 \cdot {^6C_4} p^4 q^2$
चूँकि ${^6C_2} = 15$ और ${^6C_4} = 15$,इसलिए:
$15 p^2 q^4 = 9 \cdot 15 p^4 q^2$
$q^2 = 9 p^2$
$q = 3p$ (चूँकि $p, q > 0$)।
हम जानते हैं कि $p+q=1$,इसलिए $p + 3p = 1 \Rightarrow 4p = 1 \Rightarrow p = \frac{1}{4}$।
अतः $q = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$।
द्विपद वितरण का प्रसरण $npq$ द्वारा दिया जाता है:
$\text{प्रसरण} = 6 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}$.

(B) दिया गया है कि $P(X=k) = \frac{(k+1)a}{3^k}$ जहाँ $k \in \{0, 1, 2, \ldots, \infty\}$ है।
हम जानते हैं कि प्रायिकता वितरण में सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होता है,अर्थात $\sum_{k=0}^{\infty} P(X=k) = 1$।
माना $S = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(k+1)a}{3^k} = a \left( 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{3^2} + \frac{4}{3^3} + \ldots \infty \right) = 1$।
माना $S = a \left( 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{9} + \frac{4}{27} + \ldots \right)$।
दोनों पक्षों को $\frac{1}{3}$ से गुणा करने पर,$\frac{1}{3}S = a \left( \frac{1}{3} + \frac{2}{9} + \frac{3}{27} + \ldots \right)$।
दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$S - \frac{1}{3}S = a \left( 1 + (\frac{2}{3} - \frac{1}{3}) + (\frac{3}{9} - \frac{2}{9}) + (\frac{4}{27} - \frac{3}{27}) + \ldots \right)$
$\frac{2}{3}S = a \left( 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \ldots \right)$।
कोष्ठक में दी गई श्रेणी एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $1$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{3}$ है।
योग $= \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1 - 1/3} = \frac{1}{2/3} = \frac{3}{2}$।
अतः,$\frac{2}{3}S = a \left( \frac{3}{2} \right) = \frac{3a}{2}$।
इस प्रकार,$S = \frac{3a}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{9a}{4}$।
चूंकि $S = 1$,इसलिए $\frac{9a}{4} = 1$,जिसका अर्थ है कि $a = \frac{4}{9}$।

(A) श्यान द्रव में गिरते हुए गोले का टर्मिनल वेग $v = \frac{2}{9} \frac{r^2(\rho - \sigma)g}{\eta}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि गोले का पदार्थ समान है,घनत्व $\rho$ स्थिर है,इसलिए $v \propto r^2$ है।
द्रव्यमान $M = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho$ होने के कारण,हमें $r \propto M^{1/3}$ प्राप्त होता है।
इसे समानुपातिकता में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $v \propto (M^{1/3})^2 = M^{2/3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{v_1}{v_2} = \left(\frac{M_1}{M_2}\right)^{2/3}$ है।
यहाँ $M_1 = 20 \times 10^{-3} \ kg$,$v_1 = 0.5 \ ms^{-1}$,और $M_2 = 54 \times 10^{-2} \ kg = 540 \times 10^{-3} \ kg$ है।
$\frac{0.5}{v_2} = \left(\frac{20 \times 10^{-3}}{540 \times 10^{-3}}\right)^{2/3} = \left(\frac{1}{27}\right)^{2/3} = \left(\left(\frac{1}{3}\right)^3\right)^{2/3} = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}$ है।
इस प्रकार,$v_2 = 0.5 \times 9 = 4.5 \ ms^{-1}$ है।

(D) सोडियम थायोसल्फेट $(Na_2S_2O_3)$ और आयोडीन $(I_2)$ के बीच की अभिक्रिया इस प्रकार है:
$2Na_2S_2O_3 + I_2 \rightarrow Na_2S_4O_6 + 2NaI$
इस अभिक्रिया में,सोडियम थायोसल्फेट का सोडियम टेट्राथियोनेट $(Na_2S_4O_6)$ में ऑक्सीकरण होता है।
इसलिए,विकल्प $A$ सही है।
सोडियम थायोसल्फेट पानी में अत्यधिक घुलनशील है,इसलिए विकल्प $B$ सही है।
ओजोन एल्केन्स के साथ प्रतिक्रिया करके ओजोनाइड्स बनाता है,जो असंतृप्ति के लिए एक मानक परीक्षण है,इसलिए विकल्प $C$ सही है।
विकल्प $D$ कहता है कि सोडियम थायोसल्फेट आयोडीन के साथ प्रतिक्रिया करके सोडियम सल्फेट बनाता है,जो गलत है क्योंकि यह सोडियम टेट्राथियोनेट बनाता है।

(B) जब सोडियम को $300^{\circ} C$ पर हवा में गर्म किया जाता है,तो सोडियम पेरोक्साइड $(X = Na_2O_2)$ बनता है।
$2Na + O_2 \xrightarrow{300^{\circ} C} Na_2O_2$
सोडियम पेरोक्साइड $CO_2$ के साथ अभिक्रिया करके सोडियम कार्बोनेट और ऑक्सीजन गैस $(Y = O_2)$ बनाता है।
$2Na_2O_2 + 2CO_2 \rightarrow 2Na_2CO_3 + O_2$
अतः,$Y$,$O_2$ है।

(B) अभिक्रियाएँ इस प्रकार हैं:
$1$. $2Mg + CO_2 \longrightarrow 2MgO + C$ ($MgO$ बनता है)।
$2$. $Mg + 2HNO_3 \text{ (dil.)} \longrightarrow Mg(NO_3)_2 + H_2$ ($MgO$ नहीं बनता है; $Mg(NO_3)_2$ बनता है)।
$3$. $2Mg + 2NO \xrightarrow{\Delta} 2MgO + N_2$ ($MgO$ बनता है)।
$4$. $3Mg + B_2O_3 \longrightarrow 3MgO + 2B$ ($MgO$ बनता है)।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) कैल्शियम कार्बोनेट का तापीय अपघटन अभिक्रिया द्वारा दिया गया है:
$CaCO_{3(s)} \xrightarrow{\Delta} CaO_{(s)} + CO_2(g)$
अभिक्रिया की रससमीकरणमिति (stoichiometry) से:
$1 \text{ मोल } CaCO_3 (100 \text{ g}) \text{ से } 1 \text{ मोल } CaO (56 \text{ g}) \text{ प्राप्त होता है}$.
चूंकि $56 \text{ g } CaO, 100 \text{ g } CaCO_3 \text{ से प्राप्त होता है}$,
तो $28 \text{ g } CaO \text{ प्राप्त होगा}:$
$x = \frac{100 \times 28}{56} = 50 \text{ g } \text{ से}$.
$\text{अतः}, x \text{का मान }50$ है।

(A) माना कि दोनों गैसों $A$ और $B$ का भार $w \text{ g}$ है।
दिया गया आणविक भार अनुपात $M_A : M_B = 1 : 4$ है। माना $M_A = M$ और $M_B = 4M$ है।
$A$ के मोल $(n_A)$ $= \frac{w}{M}$ हैं।
$B$ के मोल $(n_B)$ $= \frac{w}{4M}$ हैं।
मोल अनुपात $n_A : n_B = \frac{w}{M} : \frac{w}{4M} = 4 : 1$ है।
$B$ का आंशिक दाब $(p_B)$ $= B$ का मोल अंश $\times P_{\text{total}}$ है।
$p_B = \frac{n_B}{n_A + n_B} \times P = \frac{1}{4 + 1} \times P = \frac{P}{5} \text{ atm}$।

(C) बोहर की अभिधारणा के अनुसार,कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $mvr = \frac{nh}{2\pi}$ के रूप में क्वांटाइज्ड होता है।
डी-ब्रोग्ली संबंध के अनुसार,तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv}$ है,जिसका अर्थ है $mv = \frac{h}{\lambda}$।
कोणीय संवेग समीकरण में $mv$ का मान रखने पर: $r = \frac{n}{2\pi} \times \frac{h}{mv} = \frac{n\lambda}{2\pi}$।
कक्षा की परिधि $C = 2\pi r$ होती है।
$r$ के लिए समीकरण रखने पर: $C = 2\pi \times \frac{n\lambda}{2\pi} = n\lambda$।
चौथी कक्षा के लिए $n = 4$,इसलिए परिधि $4\lambda$ होगी।

(C) तत्वों का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास इस प्रकार है:
$X$ $(Z=19)$ के लिए: $1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6 4s^1$। $M$-कोश $(n=3)$ में $2+6 = 8$ इलेक्ट्रॉन हैं।
$Y$ $(Z=21)$ के लिए: $1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6 3d^1 4s^2$। $M$-कोश $(n=3)$ में $2+6+1 = 9$ इलेक्ट्रॉन हैं।
$Z$ $(Z=25)$ के लिए: $1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6 3d^5 4s^2$। $M$-कोश $(n=3)$ में $2+6+5 = 13$ इलेक्ट्रॉन हैं।
$M$-कोश में इलेक्ट्रॉनों की संख्या की तुलना करने पर: $Z (13) > Y (9) > X (8)$।
अतः,सही क्रम $Z > Y > X$ है।

(C) एन्थैल्पी $(H)$ का निरपेक्ष मान प्रयोगात्मक रूप से निर्धारित नहीं किया जा सकता है। केवल एक प्रक्रिया के दौरान एन्थैल्पी में परिवर्तन $(\Delta H)$ को मापा जा सकता है। इसलिए,कथन $C$ गलत है।