यदि int sin ^{-1}left(frac{2 x}{1+x^2}right) | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int \sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^2}ight) d x$.$x = 	an 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,$d x = \sec ^2 	heta d 	heta$ प्राप्त होता ह

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$2 x 	an ^{-1} x$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int \sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^2}ight) d x$.$x = 	an 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,$d x = \sec ^2 	heta d 	heta$ प्राप्त होता है।समाकलन $I = \int \sin ^{-1}(\sin 2 	heta) \cdot \sec ^2 	heta d 	heta$ हो जाता है।$|x| \le 1$ मानते हुए,$I = 2 \int 	heta \sec ^2 	heta d 	heta$ प्राप्त होता है।खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करने पर: $I = 2 \left[ 	heta 	an 	heta - \int 	an 	heta d 	heta ight]$.$I = 2 [	heta 	an 	heta + \log |\cos 	heta|] + C$.चूंकि $	an 	heta = x$,इसलिए $\cos 	heta = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$,अतः $\log |\cos 	heta| = \log (1+x^2)^{-1/2} = -\frac{1}{2} \log (1+x^2)$.मान वापस रखने पर: $I = 2 [x 	an ^{-1} x - \frac{1}{2} \log (1+x^2)] + C$.$I = 2 x 	an ^{-1} x - \log (1+x^2) + C$.इसकी तुलना $f(x) - \log (1+x^2)$ से करने पर,$f(x) = 2 x 	an ^{-1} x$ प्राप्त होता है।

यदि $\int \sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right) d x=f(x)-\log \left(1+x^2\right)$ है,तो $f(x)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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