समतल में वक्रों y^2=4x और x^2=4y द्वारा घिरा | vedclass

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Question

(B) दिए गए वक्र हैं:$y^2 = 4x$  ...$(i)$$x^2 = 4y$  ...$(ii)$$(ii)$ से,$y = \frac{x^2}{4}$ प्राप्त होता है। इसे $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:$(\frac

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$\frac{16}{3}$

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(B) दिए गए वक्र हैं:$y^2 = 4x$  ...$(i)$$x^2 = 4y$  ...$(ii)$$(ii)$ से,$y = \frac{x^2}{4}$ प्राप्त होता है। इसे $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:$(\frac{x^2}{4})^2 = 4x \implies \frac{x^4}{16} = 4x \implies x^4 = 64x \implies x(x^3 - 64) = 0$.अतः,$x = 0$ या $x = 4$ है। प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,0)$ और $(4,4)$ हैं।अभीष्ट क्षेत्रफल $x=0$ से $x=4$ तक ऊपरी वक्र और निचले वक्र के अंतर का समाकलन है:$Area = \int_0^4 (\sqrt{4x} - \frac{x^2}{4}) dx$$= \int_0^4 (2\sqrt{x} - \frac{x^2}{4}) dx$$= [2 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^3}{12}]_0^4$$= [\frac{4}{3} x^{3/2} - \frac{x^3}{12}]_0^4$$= [\frac{4}{3} (4)^{3/2} - \frac{4^3}{12}] - [0]$$= [\frac{4}{3} \cdot 8 - \frac{64}{12}]$$= \frac{32}{3} - \frac{16}{3} = \frac{16}{3}$ वर्ग इकाई।

समतल में वक्रों $y^2=4x$ और $x^2=4y$ द्वारा घिरा हुआ क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) है

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