ChemistryQ101–150 of 188 questions
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ChemistryMCQAP EAMCET · 2005
यदि सदिश $a = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k}$ और $b$ संरेख हैं और $|b| = 21$ है,तो $b$ किसके बराबर है?
A
$\pm(2\hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k})$
B
$\pm 3(2\hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k})$
C
$(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$
D
$\pm 21(2\hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k})$
Solution
(B) दिया गया है कि $a = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k}$.
सबसे पहले,सदिश $a$ का परिमाण ज्ञात करें:
$|a| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
चूंकि $a$ और $b$ संरेख हैं,$b$ को किसी अदिश $k$ के लिए $b = k a$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दिया गया है कि $|b| = 21$,इसलिए $|k a| = 21$,जिसका अर्थ है $|k| |a| = 21$.
$|a| = 7$ रखने पर,हमें $|k| \times 7 = 21$ प्राप्त होता है,इसलिए $|k| = 3$,जिसका अर्थ है $k = \pm 3$.
अतः,$b = \pm 3(2\hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k})$.
सबसे पहले,सदिश $a$ का परिमाण ज्ञात करें:
$|a| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
चूंकि $a$ और $b$ संरेख हैं,$b$ को किसी अदिश $k$ के लिए $b = k a$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दिया गया है कि $|b| = 21$,इसलिए $|k a| = 21$,जिसका अर्थ है $|k| |a| = 21$.
$|a| = 7$ रखने पर,हमें $|k| \times 7 = 21$ प्राप्त होता है,इसलिए $|k| = 3$,जिसका अर्थ है $k = \pm 3$.
अतः,$b = \pm 3(2\hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k})$.
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ChemistryMCQAP EAMCET · 2005
$I$. दो शून्येतर,असंरेख सदिश रैखिक रूप से स्वतंत्र होते हैं।
$II$. कोई भी तीन समतलीय सदिश रैखिक रूप से आश्रित होते हैं।
उपरोक्त कथनों में से कौन-सा/से सत्य है/हैं?
$II$. कोई भी तीन समतलीय सदिश रैखिक रूप से आश्रित होते हैं।
उपरोक्त कथनों में से कौन-सा/से सत्य है/हैं?
A
केवल $I$
B
केवल $II$
C
$I$ और $II$ दोनों
D
न तो $I$ और न ही $II$
Solution
(C) $I$: दो सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ रैखिक रूप से स्वतंत्र होते हैं यदि और केवल यदि वे शून्येतर और असंरेख हों। अतः,कथन $I$ सत्य है।
$II$: कोई भी तीन समतलीय सदिश $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ रैखिक रूप से आश्रित होते हैं क्योंकि ऐसे अदिश $x, y, z$ (जो सभी शून्य न हों) विद्यमान होते हैं कि $x\vec{a} + y\vec{b} + z\vec{c} = \vec{0}$ हो। अतः,कथन $II$ सत्य है।
$\therefore$ $I$ और $II$ दोनों सत्य हैं।
$II$: कोई भी तीन समतलीय सदिश $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ रैखिक रूप से आश्रित होते हैं क्योंकि ऐसे अदिश $x, y, z$ (जो सभी शून्य न हों) विद्यमान होते हैं कि $x\vec{a} + y\vec{b} + z\vec{c} = \vec{0}$ हो। अतः,कथन $II$ सत्य है।
$\therefore$ $I$ और $II$ दोनों सत्य हैं।
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निम्नलिखित कथनों का अवलोकन करें:
$A$. तीन सदिश समतलीय होते हैं यदि उनमें से एक को अन्य दो के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सके।
$R$. कोई भी तीन समतलीय सदिश रैखिक रूप से आश्रित होते हैं।
तो,निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?
$A$. तीन सदिश समतलीय होते हैं यदि उनमें से एक को अन्य दो के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सके।
$R$. कोई भी तीन समतलीय सदिश रैखिक रूप से आश्रित होते हैं।
तो,निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?
A
$A$ और $R$ दोनों सत्य हैं और $R$,$A$ की सही व्याख्या है
B
$A$ और $R$ दोनों सत्य हैं लेकिन $R$,$A$ की सही व्याख्या नहीं है
C
$A$ सत्य है,लेकिन $R$ असत्य है
D
$A$ असत्य है,लेकिन $R$ सत्य है
Solution
(B) कथन $A$ सत्य है क्योंकि यदि तीन सदिश $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ समतलीय हैं,तो एक को $\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b}$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $x$ और $y$ अदिश हैं।
कथन $R$ भी सत्य है क्योंकि $3D$ स्थान में तीन समतलीय सदिशों का कोई भी समूह रैखिक रूप से आश्रित होता है,क्योंकि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होता है।
हालाँकि,$R$ समतलीय सदिशों का एक सामान्य गुण है,जबकि $A$ समतलीयता के लिए एक विशिष्ट स्थिति है। अतः,$R$,$A$ की सही व्याख्या नहीं है।
कथन $R$ भी सत्य है क्योंकि $3D$ स्थान में तीन समतलीय सदिशों का कोई भी समूह रैखिक रूप से आश्रित होता है,क्योंकि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होता है।
हालाँकि,$R$ समतलीय सदिशों का एक सामान्य गुण है,जबकि $A$ समतलीयता के लिए एक विशिष्ट स्थिति है। अतः,$R$,$A$ की सही व्याख्या नहीं है।
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ChemistryMCQAP EAMCET · 2005
$S=\{1, 2, 3, \ldots, 50\}$ से एक संख्या $n$ यादृच्छिक रूप से चुनी जाती है। मान लीजिए $A=\{n \in S: n+\frac{50}{n} > 27\}$,$B=\{n \in S: n \text{ एक अभाज्य संख्या है}\}$ और $C=\{n \in S: n \text{ एक पूर्ण वर्ग है}\}$। तब,उनकी प्रायिकताओं का सही क्रम क्या है?
A
$P(A) < P(B) < P(C)$
B
$P(A) > P(B) > P(C)$
C
$P(B) < P(A) < P(C)$
D
$P(A) > P(C) > P(B)$
Solution
(B) दिया गया है $S=\{1, 2, 3, \ldots, 50\}$,इसलिए $n(S) = 50$.
समुच्चय $A$ के लिए,$n + \frac{50}{n} > 27$ को हल करते हैं।
$n$ से गुणा करने पर ($n > 0$ होने के कारण),$n^2 - 27n + 50 > 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,$(n-25)(n-2) > 0$ मिलता है।
यह शर्त $n < 2$ या $n > 25$ के लिए सत्य है।
चूंकि $n \in S$,इसलिए $n=1$ या $n \in \{26, 27, \ldots, 50\}$।
अतः,$A = \{1, 26, 27, \ldots, 50\}$,जिससे $n(A) = 26$।
समुच्चय $B$ के लिए,$S$ में अभाज्य संख्याएँ $\{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47\}$ हैं,इसलिए $n(B) = 15$।
समुच्चय $C$ के लिए,$S$ में पूर्ण वर्ग संख्याएँ $\{1, 4, 9, 16, 25, 36, 49\}$ हैं,इसलिए $n(C) = 7$।
प्रायिकताओं की गणना करने पर: $P(A) = \frac{26}{50}$,$P(B) = \frac{15}{50}$,$P(C) = \frac{7}{50}$।
अतः,$P(A) > P(B) > P(C)$।
समुच्चय $A$ के लिए,$n + \frac{50}{n} > 27$ को हल करते हैं।
$n$ से गुणा करने पर ($n > 0$ होने के कारण),$n^2 - 27n + 50 > 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,$(n-25)(n-2) > 0$ मिलता है।
यह शर्त $n < 2$ या $n > 25$ के लिए सत्य है।
चूंकि $n \in S$,इसलिए $n=1$ या $n \in \{26, 27, \ldots, 50\}$।
अतः,$A = \{1, 26, 27, \ldots, 50\}$,जिससे $n(A) = 26$।
समुच्चय $B$ के लिए,$S$ में अभाज्य संख्याएँ $\{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47\}$ हैं,इसलिए $n(B) = 15$।
समुच्चय $C$ के लिए,$S$ में पूर्ण वर्ग संख्याएँ $\{1, 4, 9, 16, 25, 36, 49\}$ हैं,इसलिए $n(C) = 7$।
प्रायिकताओं की गणना करने पर: $P(A) = \frac{26}{50}$,$P(B) = \frac{15}{50}$,$P(C) = \frac{7}{50}$।
अतः,$P(A) > P(B) > P(C)$।
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$23^{\circ} C$ पर जल का वाष्प दाब $19.8 \ mm$ है। $178.2 \ g$ जल में $0.1 \ mole$ ग्लूकोज घोला जाता है। परिणामी विलयन का वाष्प दाब ($mm$ में) क्या है?
A
$19$
B
$19.602$
C
$19.402$
D
$19.202$
Solution
(B) दिया गया है: शुद्ध जल का वाष्प दाब $P^{\circ} = 19.8 \ mm$।
विलेय (ग्लूकोज) के मोल $n_A = 0.1 \ mol$।
विलायक (जल) के मोल $n_B = \frac{178.2 \ g}{18 \ g/mol} = 9.9 \ mol$।
अवाष्पशील विलेय के लिए राउल्ट के नियम के अनुसार:
$\frac{P^{\circ} - P_s}{P^{\circ}} = \frac{n_A}{n_A + n_B}$
$\frac{19.8 - P_s}{19.8} = \frac{0.1}{0.1 + 9.9} = \frac{0.1}{10} = 0.01$
$19.8 - P_s = 19.8 \times 0.01 = 0.198$
$P_s = 19.8 - 0.198 = 19.602 \ mm$।
विलेय (ग्लूकोज) के मोल $n_A = 0.1 \ mol$।
विलायक (जल) के मोल $n_B = \frac{178.2 \ g}{18 \ g/mol} = 9.9 \ mol$।
अवाष्पशील विलेय के लिए राउल्ट के नियम के अनुसार:
$\frac{P^{\circ} - P_s}{P^{\circ}} = \frac{n_A}{n_A + n_B}$
$\frac{19.8 - P_s}{19.8} = \frac{0.1}{0.1 + 9.9} = \frac{0.1}{10} = 0.01$
$19.8 - P_s = 19.8 \times 0.01 = 0.198$
$P_s = 19.8 - 0.198 = 19.602 \ mm$।
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$x$ ग्राम कैल्शियम कार्बोनेट को हवा में पूरी तरह से गर्म किया गया। प्राप्त ठोस अवशेष का वजन $28 \text{ g}$ है। $x$ का मान (ग्राम में) क्या है?
A
$44$
B
$200$
C
$150$
D
$50$
Solution
(D) कैल्शियम कार्बोनेट का तापीय अपघटन इस प्रकार है: $CaCO_{3(s)} \xrightarrow{\Delta} CaO_{(s)} + CO_{2(g)}$.
$CaCO_3$ का मोलर द्रव्यमान $= 100 \text{ g/mol}$.
$CaO$ (ठोस अवशेष) का मोलर द्रव्यमान $= 56 \text{ g/mol}$.
संतुलित रासायनिक समीकरण के अनुसार,$100 \text{ g}$ $CaCO_3$ से $56 \text{ g}$ $CaO$ प्राप्त होता है।
अतः,$28 \text{ g}$ $CaO$ प्राप्त करने के लिए आवश्यक $CaCO_3$ की मात्रा:
$x = \frac{100 \times 28}{56} = 50 \text{ g}$.
$CaCO_3$ का मोलर द्रव्यमान $= 100 \text{ g/mol}$.
$CaO$ (ठोस अवशेष) का मोलर द्रव्यमान $= 56 \text{ g/mol}$.
संतुलित रासायनिक समीकरण के अनुसार,$100 \text{ g}$ $CaCO_3$ से $56 \text{ g}$ $CaO$ प्राप्त होता है।
अतः,$28 \text{ g}$ $CaO$ प्राप्त करने के लिए आवश्यक $CaCO_3$ की मात्रा:
$x = \frac{100 \times 28}{56} = 50 \text{ g}$.
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$A$ और $B$ आदर्श गैसें हैं। $A$ और $B$ के आणविक भार का अनुपात $1: 4$ है। $A$ और $B$ के समान भार वाले गैस मिश्रण का दबाव $P \ atm$ है। मिश्रण में $B$ का आंशिक दबाव ($atm$ में) क्या है?
A
$\frac{P}{5}$
B
$\frac{P}{2}$
C
$\frac{P}{2.5}$
D
$\frac{3P}{4}$
Solution
(A) माना कि दोनों गैसों $A$ और $B$ का भार $w \ g$ है।
दिया गया आणविक भार अनुपात $M_A : M_B = 1 : 4$ है।
माना $M_A = x$ और $M_B = 4x$ है।
$A$ के मोल $(n_A)$ $= \frac{w}{x}$।
$B$ के मोल $(n_B)$ $= \frac{w}{4x}$।
मोल अनुपात $n_A : n_B = \frac{w}{x} : \frac{w}{4x} = 4 : 1$ है।
$B$ का आंशिक दबाव $(p_B)$ $= B$ का मोल अंश $\times P_{total}$।
$p_B = \frac{n_B}{n_A + n_B} \times P = \frac{1}{4 + 1} \times P = \frac{P}{5} \ atm$।
दिया गया आणविक भार अनुपात $M_A : M_B = 1 : 4$ है।
माना $M_A = x$ और $M_B = 4x$ है।
$A$ के मोल $(n_A)$ $= \frac{w}{x}$।
$B$ के मोल $(n_B)$ $= \frac{w}{4x}$।
मोल अनुपात $n_A : n_B = \frac{w}{x} : \frac{w}{4x} = 4 : 1$ है।
$B$ का आंशिक दबाव $(p_B)$ $= B$ का मोल अंश $\times P_{total}$।
$p_B = \frac{n_B}{n_A + n_B} \times P = \frac{1}{4 + 1} \times P = \frac{P}{5} \ atm$।
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एक इलेक्ट्रॉन बोहर की चौथी कक्षा में घूम रहा है। इसकी डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ है। चौथी कक्षा की परिधि क्या है?
A
$2 / \lambda$
B
$2 \lambda$
C
$4 \lambda$
D
$4 / \lambda$
Solution
(C) बोहर की अवधारणा के अनुसार,कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $mvr = \frac{nh}{2\pi}$ के रूप में क्वांटीकृत होता है।
डी-ब्रोग्ली संबंध से,हम जानते हैं कि $\lambda = \frac{h}{mv}$,जिसका अर्थ है $\frac{h}{mv} = \lambda$।
इसे बोहर की क्वांटीकरण शर्त में प्रतिस्थापित करने पर:
$2\pi r = n\lambda$।
चौथी कक्षा के लिए,$n = 4$।
अतः,कक्षा की परिधि $2\pi r = 4\lambda$ है।
डी-ब्रोग्ली संबंध से,हम जानते हैं कि $\lambda = \frac{h}{mv}$,जिसका अर्थ है $\frac{h}{mv} = \lambda$।
इसे बोहर की क्वांटीकरण शर्त में प्रतिस्थापित करने पर:
$2\pi r = n\lambda$।
चौथी कक्षा के लिए,$n = 4$।
अतः,कक्षा की परिधि $2\pi r = 4\lambda$ है।
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तत्वों $X, Y$ और $Z$ की परमाणु संख्याएँ क्रमशः $19, 21$ और $25$ हैं। इन तत्वों के $M$-कोश में उपस्थित इलेक्ट्रॉनों की संख्या का क्रम है:
A
$Z > X > Y$
B
$X > Y > Z$
C
$Z > Y > X$
D
$Y > Z > X$
Solution
(C) तत्वों का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास इस प्रकार है:
$X (Z=19): 1s^2, 2s^2, 2p^6, 3s^2, 3p^6, 4s^1$ (या $2, 8, 8, 1$)
$Y (Z=21): 1s^2, 2s^2, 2p^6, 3s^2, 3p^6, 3d^1, 4s^2$ (या $2, 8, 9, 2$)
$Z (Z=25): 1s^2, 2s^2, 2p^6, 3s^2, 3p^6, 3d^5, 4s^2$ (या $2, 8, 13, 2$)
$M$-कोश $n=3$ मुख्य क्वांटम स्तर के अनुरूप है।
$X$ के लिए,$M$-कोश में इलेक्ट्रॉनों की संख्या $(3s^2, 3p^6)$ $8$ है।
$Y$ के लिए,$M$-कोश में इलेक्ट्रॉनों की संख्या $(3s^2, 3p^6, 3d^1)$ $9$ है।
$Z$ के लिए,$M$-कोश में इलेक्ट्रॉनों की संख्या $(3s^2, 3p^6, 3d^5)$ $13$ है।
अतः,$M$-कोश में इलेक्ट्रॉनों का क्रम $Z (13) > Y (9) > X (8)$ है।
$X (Z=19): 1s^2, 2s^2, 2p^6, 3s^2, 3p^6, 4s^1$ (या $2, 8, 8, 1$)
$Y (Z=21): 1s^2, 2s^2, 2p^6, 3s^2, 3p^6, 3d^1, 4s^2$ (या $2, 8, 9, 2$)
$Z (Z=25): 1s^2, 2s^2, 2p^6, 3s^2, 3p^6, 3d^5, 4s^2$ (या $2, 8, 13, 2$)
$M$-कोश $n=3$ मुख्य क्वांटम स्तर के अनुरूप है।
$X$ के लिए,$M$-कोश में इलेक्ट्रॉनों की संख्या $(3s^2, 3p^6)$ $8$ है।
$Y$ के लिए,$M$-कोश में इलेक्ट्रॉनों की संख्या $(3s^2, 3p^6, 3d^1)$ $9$ है।
$Z$ के लिए,$M$-कोश में इलेक्ट्रॉनों की संख्या $(3s^2, 3p^6, 3d^5)$ $13$ है।
अतः,$M$-कोश में इलेक्ट्रॉनों का क्रम $Z (13) > Y (9) > X (8)$ है।
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110
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निम्नलिखित में से कौन सी विषमांगी उत्प्रेरण अभिक्रिया का एक उदाहरण है?
A
$2 SO_{2(g)} + O_{2(g)} \xrightarrow{NO_{(g)}} 2 SO_{3(g)}$
B
जलीय खनिज अम्ल की उपस्थिति में सुक्रोज के जलीय विलयन का जल-अपघटन
C
$2 H_2 O_{2(l)} \xrightarrow{Pt_{(s)}} 2 H_2 O_{(l)} + O_{2(g)}$
D
जलीय खनिज अम्ल की उपस्थिति में एस्टर का जल-अपघटन
Solution
(C) $2 H_2 O_{2(l)} \xrightarrow{Pt_{(s)}} 2 H_2 O_{(l)} + O_{2(g)}$
इस अभिक्रिया में,अभिकारक $(H_2O_2)$ द्रव अवस्था में है और उत्प्रेरक $(Pt)$ ठोस अवस्था में है।
चूंकि अभिकारक और उत्प्रेरक अलग-अलग अवस्थाओं में हैं,इसलिए यह विषमांगी उत्प्रेरण का एक उदाहरण है।
इस अभिक्रिया में,अभिकारक $(H_2O_2)$ द्रव अवस्था में है और उत्प्रेरक $(Pt)$ ठोस अवस्था में है।
चूंकि अभिकारक और उत्प्रेरक अलग-अलग अवस्थाओं में हैं,इसलिए यह विषमांगी उत्प्रेरण का एक उदाहरण है।
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ChemistryMCQAP EAMCET · 2005
निम्नलिखित कथनों $A$ और $B$ पर विचार करें और नीचे दिए गए सही उत्तर की पहचान करें।
$A$. पेल्टियर गुणांक संख्यात्मक रूप से थर्मोकपल के जंक्शनों के बीच के विभवांतर के बराबर होता है जिससे धारा प्रवाहित हो रही है।
$B$. थॉमसन के अनुसार,थर्मोकपल के जंक्शन पर न तो ऊर्जा अवशोषित होती है और न ही विकसित होती है,बल्कि यह केवल दोनों चालकों की लंबाई के साथ अवशोषित या विकसित होती है।
$A$. पेल्टियर गुणांक संख्यात्मक रूप से थर्मोकपल के जंक्शनों के बीच के विभवांतर के बराबर होता है जिससे धारा प्रवाहित हो रही है।
$B$. थॉमसन के अनुसार,थर्मोकपल के जंक्शन पर न तो ऊर्जा अवशोषित होती है और न ही विकसित होती है,बल्कि यह केवल दोनों चालकों की लंबाई के साथ अवशोषित या विकसित होती है।
A
$A$ और $B$ दोनों सत्य हैं
B
$A$ और $B$ दोनों असत्य हैं
C
$A$ सत्य है लेकिन $B$ असत्य है
D
$A$ असत्य है लेकिन $B$ सत्य है
Solution
(A) कथन $A$ सत्य है: पेल्टियर गुणांक $\pi$ को जंक्शन से प्रवाहित होने वाले प्रति इकाई आवेश पर अवशोषित या विकसित ऊष्मा के रूप में परिभाषित किया गया है। जब इससे धारा प्रवाहित होती है तो यह संख्यात्मक रूप से जंक्शन के विभवांतर के बराबर होता है।
कथन $B$ सत्य है: थॉमसन प्रभाव बताता है कि जब तापमान प्रवणता मौजूद होती है और धारा प्रवाहित होती है,तो एक ही चालक की लंबाई के साथ ऊष्मा अवशोषित या विकसित होती है। पेल्टियर प्रभाव के विपरीत,जो जंक्शन पर होता है,थॉमसन प्रभाव चालक के भीतर ही होता है।
कथन $B$ सत्य है: थॉमसन प्रभाव बताता है कि जब तापमान प्रवणता मौजूद होती है और धारा प्रवाहित होती है,तो एक ही चालक की लंबाई के साथ ऊष्मा अवशोषित या विकसित होती है। पेल्टियर प्रभाव के विपरीत,जो जंक्शन पर होता है,थॉमसन प्रभाव चालक के भीतर ही होता है।
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112
ChemistryMCQAP EAMCET · 2005
दो समान पिंडों का तापमान $277^{\circ} C$ और $67^{\circ} C$ है। यदि परिवेश का तापमान $27^{\circ} C$ है, तो समान समयांतराल के दौरान दोनों पिंडों द्वारा खोई गई ऊष्मा का अनुपात (लगभग) क्या है ($19 : 1$ में)?
A
$4$
B
$8$
C
$12$
D
$19$
Solution
(D) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार, $T$ तापमान वाले पिंड के लिए $T_0$ तापमान वाले परिवेश में ऊष्मा हानि की दर $dQ/dt = \sigma A e (T^4 - T_0^4)$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि पिंड समान हैं, इसलिए $A$ और $e$ समान रहेंगे।
यहाँ $T_1 = 277^{\circ} C = 550 \ K$, $T_2 = 67^{\circ} C = 340 \ K$, और $T_0 = 27^{\circ} C = 300 \ K$ है।
ऊष्मा हानि का अनुपात $\frac{dQ_1/dt}{dQ_2/dt} = \frac{T_1^4 - T_0^4}{T_2^4 - T_0^4}$ होगा।
मान रखने पर:
$\frac{550^4 - 300^4}{340^4 - 300^4} = \frac{5.5^4 - 3^4}{3.4^4 - 3^4}$.
घातों की गणना करने पर: $5.5^4 \approx 915.06$, $3.4^4 \approx 133.63$, $3^4 = 81$.
अनुपात $\approx \frac{915.06 - 81}{133.63 - 81} = \frac{834.06}{52.63} \approx 15.85$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार, सही उत्तर $19 : 1$ है।
चूंकि पिंड समान हैं, इसलिए $A$ और $e$ समान रहेंगे।
यहाँ $T_1 = 277^{\circ} C = 550 \ K$, $T_2 = 67^{\circ} C = 340 \ K$, और $T_0 = 27^{\circ} C = 300 \ K$ है।
ऊष्मा हानि का अनुपात $\frac{dQ_1/dt}{dQ_2/dt} = \frac{T_1^4 - T_0^4}{T_2^4 - T_0^4}$ होगा।
मान रखने पर:
$\frac{550^4 - 300^4}{340^4 - 300^4} = \frac{5.5^4 - 3^4}{3.4^4 - 3^4}$.
घातों की गणना करने पर: $5.5^4 \approx 915.06$, $3.4^4 \approx 133.63$, $3^4 = 81$.
अनुपात $\approx \frac{915.06 - 81}{133.63 - 81} = \frac{834.06}{52.63} \approx 15.85$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार, सही उत्तर $19 : 1$ है।
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113
ChemistryMCQAP EAMCET · 2005
एक आदर्श गैस के आयतन और दाब गुणांकों के बीच का अंतर है
A
$\frac{1}{273}$
B
$273$
C
$\frac{2}{273}$
D
शून्य
Solution
(D) एक आदर्श गैस के लिए,अवस्था का समीकरण $PV = nRT$ द्वारा दिया जाता है।
नियत आयतन प्रक्रिया के लिए,दाब गुणांक $\beta_P$ को $\beta_P = \frac{1}{P} (\frac{\partial P}{\partial T})_V = \frac{1}{T}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
नियत दाब प्रक्रिया के लिए,आयतन गुणांक $\beta_V$ को $\beta_V = \frac{1}{V} (\frac{\partial V}{\partial T})_P = \frac{1}{T}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चूंकि दोनों गुणांक $\frac{1}{T}$ के बराबर हैं,इसलिए उनका अंतर $\beta_V - \beta_P$ शून्य होगा।
नियत आयतन प्रक्रिया के लिए,दाब गुणांक $\beta_P$ को $\beta_P = \frac{1}{P} (\frac{\partial P}{\partial T})_V = \frac{1}{T}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
नियत दाब प्रक्रिया के लिए,आयतन गुणांक $\beta_V$ को $\beta_V = \frac{1}{V} (\frac{\partial V}{\partial T})_P = \frac{1}{T}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चूंकि दोनों गुणांक $\frac{1}{T}$ के बराबर हैं,इसलिए उनका अंतर $\beta_V - \beta_P$ शून्य होगा।
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114
ChemistryMCQAP EAMCET · 2005
किसी द्रव के वास्तविक प्रसार गुणांक $(\gamma_r)$ और आभासी प्रसार गुणांक $(\gamma_a)$ तथा पात्र के पदार्थ के रेखीय प्रसार गुणांक $(\alpha_g)$ के बीच का संबंध है
A
$\gamma_r=\alpha_g+\gamma_a$
B
$\gamma_r=\alpha_g+3 \gamma_a$
C
$\gamma_r=3 \alpha_g+\gamma_a$
D
$\gamma_r=3(\alpha_g+\gamma_a)$
Solution
(C) किसी द्रव का वास्तविक प्रसार गुणांक $(\gamma_r)$,आभासी प्रसार गुणांक $(\gamma_a)$ और पात्र के आयतन प्रसार गुणांक $(\gamma_g)$ के योग के बराबर होता है।
गणितीय रूप से,यह संबंध है: $\gamma_r = \gamma_a + \gamma_g$.
हम जानते हैं कि ठोस पदार्थ के लिए आयतन प्रसार गुणांक $(\gamma_g)$,रेखीय प्रसार गुणांक $(\alpha_g)$ का तीन गुना होता है,अर्थात $\gamma_g = 3\alpha_g$.
इस मान को पहले समीकरण में रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $\gamma_r = \gamma_a + 3\alpha_g$.
गणितीय रूप से,यह संबंध है: $\gamma_r = \gamma_a + \gamma_g$.
हम जानते हैं कि ठोस पदार्थ के लिए आयतन प्रसार गुणांक $(\gamma_g)$,रेखीय प्रसार गुणांक $(\alpha_g)$ का तीन गुना होता है,अर्थात $\gamma_g = 3\alpha_g$.
इस मान को पहले समीकरण में रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $\gamma_r = \gamma_a + 3\alpha_g$.
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ChemistryMCQAP EAMCET · 2005
$r$ त्रिज्या वाली केशिकीय नली का एक सिरा जब पानी में लंबवत डुबोया जाता है,तो पानी के ऊपर चढ़ने के कारण उत्पन्न ऊष्मा कितनी होगी? (मान लीजिए पृष्ठ तनाव $= T$ और पानी का घनत्व $= \rho$)
A
$\frac{2 \pi T}{\rho g}$
B
$\frac{\pi T^2}{\rho g}$
C
$\frac{2 \pi T^2}{\rho g}$
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(C) केशिकीय नली में पानी जिस ऊँचाई तक चढ़ता है,वह $h = \frac{2T}{\rho g r}$ द्वारा दी जाती है।
पानी के स्तंभ की स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{mgh}{2}$ है।
चूँकि द्रव्यमान $m = \pi r^2 h \rho$ है,हमें प्राप्त होता है $U = \frac{(\pi r^2 h \rho) g h}{2} = \frac{\pi r^2 \rho g h^2}{2}$।
$h = \frac{2T}{\rho g r}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है $U = \frac{\pi r^2 \rho g}{2} \left( \frac{2T}{\rho g r} \right)^2 = \frac{2 \pi T^2}{\rho g}$।
पृष्ठ तनाव बल द्वारा किया गया कार्य $W = F \times h = (2 \pi r T) \times h = 2 \pi r T \left( \frac{2T}{\rho g r} \right) = \frac{4 \pi T^2}{\rho g}$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,उत्पन्न ऊष्मा $Q$ किए गए कार्य और प्राप्त स्थितिज ऊर्जा के बीच का अंतर है:
$Q = W - U = \frac{4 \pi T^2}{\rho g} - \frac{2 \pi T^2}{\rho g} = \frac{2 \pi T^2}{\rho g}$।
पानी के स्तंभ की स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{mgh}{2}$ है।
चूँकि द्रव्यमान $m = \pi r^2 h \rho$ है,हमें प्राप्त होता है $U = \frac{(\pi r^2 h \rho) g h}{2} = \frac{\pi r^2 \rho g h^2}{2}$।
$h = \frac{2T}{\rho g r}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है $U = \frac{\pi r^2 \rho g}{2} \left( \frac{2T}{\rho g r} \right)^2 = \frac{2 \pi T^2}{\rho g}$।
पृष्ठ तनाव बल द्वारा किया गया कार्य $W = F \times h = (2 \pi r T) \times h = 2 \pi r T \left( \frac{2T}{\rho g r} \right) = \frac{4 \pi T^2}{\rho g}$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,उत्पन्न ऊष्मा $Q$ किए गए कार्य और प्राप्त स्थितिज ऊर्जा के बीच का अंतर है:
$Q = W - U = \frac{4 \pi T^2}{\rho g} - \frac{2 \pi T^2}{\rho g} = \frac{2 \pi T^2}{\rho g}$।
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116
ChemistryMCQAP EAMCET · 2005
एक गैस की विशिष्ट ऊष्माओं का अनुपात $\gamma$ है। स्थिर दाब $p$ पर जब आयतन $V$ से बदलकर $2 V$ हो जाता है,तो एक मोल गैस की आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन क्या होगा?
A
$\frac{\gamma-1}{p V}$
B
$p V$
C
$\frac{p V}{\gamma-1}$
D
$\frac{p V}{\gamma}$
Solution
(C) आदर्श गैस के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_V \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
एक मोल गैस के लिए $(n=1)$,$\Delta U = C_V \Delta T$.
हम जानते हैं कि $C_V = \frac{R}{\gamma-1}$.
अतः,$\Delta U = \frac{R \Delta T}{\gamma-1}$.
स्थिर दाब $p$ पर आदर्श गैस समीकरण के अनुसार,$p V = R T$,इसलिए $p \Delta V = R \Delta T$.
यहाँ,आयतन में परिवर्तन $\Delta V = 2V - V = V$ है।
इसलिए,$R \Delta T = p V$.
इस मान को $\Delta U$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\Delta U = \frac{p V}{\gamma-1}$.
एक मोल गैस के लिए $(n=1)$,$\Delta U = C_V \Delta T$.
हम जानते हैं कि $C_V = \frac{R}{\gamma-1}$.
अतः,$\Delta U = \frac{R \Delta T}{\gamma-1}$.
स्थिर दाब $p$ पर आदर्श गैस समीकरण के अनुसार,$p V = R T$,इसलिए $p \Delta V = R \Delta T$.
यहाँ,आयतन में परिवर्तन $\Delta V = 2V - V = V$ है।
इसलिए,$R \Delta T = p V$.
इस मान को $\Delta U$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\Delta U = \frac{p V}{\gamma-1}$.
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117
ChemistryMCQAP EAMCET · 2005
निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही नहीं है?
A
$NH_4Cl$ का अधिक पानी में घुलना एक ऊष्माशोषी प्रक्रिया है
B
उदासीनीकरण प्रक्रिया हमेशा ऊष्माक्षेपी होती है
C
एन्थैल्पी $(H)$ का निरपेक्ष मान प्रयोगात्मक रूप से निर्धारित किया जा सकता है
D
स्थिर आयतन पर अभिक्रिया की ऊष्मा को $\Delta E$ द्वारा दर्शाया जाता है
Solution
(C) एन्थैल्पी $(H)$ का निरपेक्ष मान प्रयोगात्मक रूप से निर्धारित नहीं किया जा सकता है।
केवल एक प्रक्रिया के दौरान एन्थैल्पी में परिवर्तन $(\Delta H)$ को मापा जा सकता है।
इसलिए,यह कथन कि एन्थैल्पी का निरपेक्ष मान निर्धारित किया जा सकता है,गलत है।
केवल एक प्रक्रिया के दौरान एन्थैल्पी में परिवर्तन $(\Delta H)$ को मापा जा सकता है।
इसलिए,यह कथन कि एन्थैल्पी का निरपेक्ष मान निर्धारित किया जा सकता है,गलत है।
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118
ChemistryMCQAP EAMCET · 2005
कुछ भौतिक राशियों के मात्रकों के नाम List-$I$ में दिए गए हैं और उनके विमीय सूत्र List-$II$ में दिए गए हैं। सूचियों में सही जोड़े का मिलान करें:
| $A$. $Pa \cdot s$ | $(i)$ $[L^2 \ T^{-2} \ K^{-1}]$ |
| $B$. $N \cdot m \cdot K^{-1}$ | $(ii)$ $[M \ L \ T^{-3} \ K^{-1}]$ |
| $C$. $J \cdot kg^{-1} \cdot K^{-1}$ | $(iii)$ $[M \ L^{-1} \ T^{-1}]$ |
| $D$. $W \cdot m^{-1} \cdot K^{-1}$ | $(iv)$ $[M \ L^2 \ T^{-2} \ K^{-1}]$ |
A
$(iv), (iii), (i), (ii)$
B
$(iii), (ii), (iv), (i)$
C
$(iii), (i), (iv), (ii)$
D
$(iii), (iv), (i), (ii)$
Solution
(D) $Pa \cdot s$ (श्यानता गुणांक) की विमा $[M \ L^{-1} \ T^{-2}] \cdot [T] = [M \ L^{-1} \ T^{-1}]$ है,जो $(iii)$ से मेल खाती है।
$N \cdot m \cdot K^{-1}$ की विमा $[M \ L \ T^{-2}] \cdot [L] \cdot [K]^{-1} = [M \ L^2 \ T^{-2} \ K^{-1}]$ है,जो $(iv)$ से मेल खाती है।
$J \cdot kg^{-1} \cdot K^{-1}$ (विशिष्ट ऊष्मा धारिता) की विमा $[M \ L^2 \ T^{-2}] \cdot [M]^{-1} \cdot [K]^{-1} = [L^2 \ T^{-2} \ K^{-1}]$ है,जो $(i)$ से मेल खाती है।
$W \cdot m^{-1} \cdot K^{-1}$ (ऊष्मीय चालकता) की विमा $[M \ L^2 \ T^{-3}] \cdot [L]^{-1} \cdot [K]^{-1} = [M \ L \ T^{-3} \ K^{-1}]$ है,जो $(ii)$ से मेल खाती है।
अतः,सही मिलान $A-(iii), B-(iv), C-(i), D-(ii)$ है,इसलिए सही विकल्प $(d)$ है।
$N \cdot m \cdot K^{-1}$ की विमा $[M \ L \ T^{-2}] \cdot [L] \cdot [K]^{-1} = [M \ L^2 \ T^{-2} \ K^{-1}]$ है,जो $(iv)$ से मेल खाती है।
$J \cdot kg^{-1} \cdot K^{-1}$ (विशिष्ट ऊष्मा धारिता) की विमा $[M \ L^2 \ T^{-2}] \cdot [M]^{-1} \cdot [K]^{-1} = [L^2 \ T^{-2} \ K^{-1}]$ है,जो $(i)$ से मेल खाती है।
$W \cdot m^{-1} \cdot K^{-1}$ (ऊष्मीय चालकता) की विमा $[M \ L^2 \ T^{-3}] \cdot [L]^{-1} \cdot [K]^{-1} = [M \ L \ T^{-3} \ K^{-1}]$ है,जो $(ii)$ से मेल खाती है।
अतः,सही मिलान $A-(iii), B-(iv), C-(i), D-(ii)$ है,इसलिए सही विकल्प $(d)$ है।
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119
ChemistryMCQAP EAMCET · 2005
फ्रॉनहोफर रेखाएं प्रकाश के अवशोषण द्वारा कहाँ उत्पन्न होती हैं?
A
सूर्य के वर्णमंडल (chromosphere) में
B
सूर्य के प्रकाशमंडल (photosphere) में
C
सोडियम
D
हाइड्रोजन
Solution
(A) फ्रॉनहोफर रेखाएं सौर स्पेक्ट्रम में देखी जाने वाली काली अवशोषण रेखाओं का एक समूह हैं।
ये रेखाएं तब बनती हैं जब सूर्य के गर्म और घने प्रकाशमंडल (photosphere) द्वारा उत्सर्जित प्रकाश का निरंतर स्पेक्ट्रम सूर्य के ठंडे और कम घने गैसों वाले वर्णमंडल (chromosphere) से होकर गुजरता है।
वर्णमंडल में मौजूद परमाणु और अणु प्रकाश की विशिष्ट तरंग दैर्ध्य को अवशोषित करते हैं,जिसके परिणामस्वरूप स्पेक्ट्रम में काली रेखाएं दिखाई देती हैं।
इसलिए,सही उत्तर सूर्य का वर्णमंडल है।
ये रेखाएं तब बनती हैं जब सूर्य के गर्म और घने प्रकाशमंडल (photosphere) द्वारा उत्सर्जित प्रकाश का निरंतर स्पेक्ट्रम सूर्य के ठंडे और कम घने गैसों वाले वर्णमंडल (chromosphere) से होकर गुजरता है।
वर्णमंडल में मौजूद परमाणु और अणु प्रकाश की विशिष्ट तरंग दैर्ध्य को अवशोषित करते हैं,जिसके परिणामस्वरूप स्पेक्ट्रम में काली रेखाएं दिखाई देती हैं।
इसलिए,सही उत्तर सूर्य का वर्णमंडल है।
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120
ChemistryMCQAP EAMCET · 2005
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ की एक प्रकाश किरण $D$ व्यास वाले पिनहोल से गुजर रही है और इसका प्रभाव पिनहोल से $L$ दूरी पर रखे एक पर्दे पर देखा जाता है। ज्यामितीय प्रकाशिकी (geometrical optics) के सन्निकटन तब लागू होते हैं,यदि
A
$D \leq \lambda$
B
$\frac{L \lambda}{D^2} = 1$
C
$\frac{L \lambda}{D^2} \ll 1$
D
$\frac{L \lambda}{D^2} \gg 1$
Solution
(C) ज्यामितीय प्रकाशिकी (किरण प्रकाशिकी) की प्रयोज्यता के लिए शर्त यह है कि विवर्तन प्रभाव नगण्य होने चाहिए।
विवर्तन तब महत्वपूर्ण हो जाता है जब एपर्चर का आकार $(D)$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ के तुलनीय हो।
वह दूरी जिस पर विवर्तन प्रभाव महत्वपूर्ण हो जाते हैं,उसे फ्रेनेल दूरी कहा जाता है,जो $Z_F = \frac{D^2}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
ज्यामितीय प्रकाशिकी के मान्य होने के लिए,एपर्चर से पर्दे की दूरी $L$ फ्रेनेल दूरी से बहुत कम होनी चाहिए $(L \ll Z_F)$।
$Z_F$ के लिए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $L \ll \frac{D^2}{\lambda}$ प्राप्त होता है,जिसे $\frac{L \lambda}{D^2} \ll 1$ के रूप में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है।
विवर्तन तब महत्वपूर्ण हो जाता है जब एपर्चर का आकार $(D)$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ के तुलनीय हो।
वह दूरी जिस पर विवर्तन प्रभाव महत्वपूर्ण हो जाते हैं,उसे फ्रेनेल दूरी कहा जाता है,जो $Z_F = \frac{D^2}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
ज्यामितीय प्रकाशिकी के मान्य होने के लिए,एपर्चर से पर्दे की दूरी $L$ फ्रेनेल दूरी से बहुत कम होनी चाहिए $(L \ll Z_F)$।
$Z_F$ के लिए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $L \ll \frac{D^2}{\lambda}$ प्राप्त होता है,जिसे $\frac{L \lambda}{D^2} \ll 1$ के रूप में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है।
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121
ChemistryMCQAP EAMCET · 2005
$3 \times 10^{-4} ~kg ~m^{-1}$ के रैखिक घनत्व वाली एक तनी हुई डोरी पर संचरित एक अनुप्रस्थ तरंग का समीकरण $y=0.2 \sin (1.5 x+60 t)$ है,जहाँ $x$ मीटर में और $t$ सेकंड में है। डोरी में तनाव (न्यूटन में) है
A
$0.24$
B
$0.48$
C
$1.2$
D
$1.8$
Solution
(B) तरंग का दिया गया समीकरण $y=0.2 \sin (1.5 x+60 t)$ है।
इसे मानक तरंग समीकरण $y=A \sin (kx+\omega t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$k=1.5 ~m^{-1}$ और $\omega=60 ~rad/s$.
तरंग का वेग $v = \frac{\omega}{k} = \frac{60}{1.5} = 40 ~m/s$ द्वारा दिया जाता है।
तनी हुई डोरी में अनुप्रस्थ तरंग का वेग $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
दिया गया है $\mu = 3 \times 10^{-4} ~kg/m$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$v^2 = \frac{T}{\mu}$,जिसका अर्थ है $T = v^2 \mu$.
मान रखने पर: $T = (40)^2 \times (3 \times 10^{-4}) = 1600 \times 3 \times 10^{-4} = 4800 \times 10^{-4} = 0.48 ~N$.
इसे मानक तरंग समीकरण $y=A \sin (kx+\omega t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$k=1.5 ~m^{-1}$ और $\omega=60 ~rad/s$.
तरंग का वेग $v = \frac{\omega}{k} = \frac{60}{1.5} = 40 ~m/s$ द्वारा दिया जाता है।
तनी हुई डोरी में अनुप्रस्थ तरंग का वेग $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
दिया गया है $\mu = 3 \times 10^{-4} ~kg/m$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$v^2 = \frac{T}{\mu}$,जिसका अर्थ है $T = v^2 \mu$.
मान रखने पर: $T = (40)^2 \times (3 \times 10^{-4}) = 1600 \times 3 \times 10^{-4} = 4800 \times 10^{-4} = 0.48 ~N$.
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122
ChemistryMCQAP EAMCET · 2005
$256 ~Hz$ आवृत्ति की सीटी बजाता हुआ एक वाहन $10 ~ms^{-1}$ के वेग से एक सीधी सड़क पर पहाड़ी की ओर जा रहा है। वाहन में यात्रा कर रहे व्यक्ति द्वारा प्रति सेकंड देखे गए विस्पंदों (beats) की संख्या ज्ञात कीजिए (ध्वनि का वेग $= 330 ~ms^{-1}$)।
A
शून्य
B
$10$
C
$14$
D
$16$
Solution
(D) सीटी की आवृत्ति $n = 256 ~Hz$ है। वाहन का वेग $v_s = 10 ~ms^{-1}$ है। ध्वनि का वेग $v = 330 ~ms^{-1}$ है।
जब ध्वनि पहाड़ी से परावर्तित होती है,तो पहाड़ी परावर्तित ध्वनि के लिए एक स्थिर स्रोत के रूप में कार्य करती है।
वाहन में सवार प्रेक्षक द्वारा सुनी गई परावर्तित ध्वनि की आवृत्ति डॉपलर प्रभाव के सूत्र द्वारा दी जाती है:
$n' = n \left( \frac{v + v_o}{v - v_s} \right)$
यहाँ,प्रेक्षक $v_o = 10 ~ms^{-1}$ के वेग से पहाड़ी की ओर बढ़ रहा है और स्रोत (पहाड़ी) स्थिर है $(v_s = 0)$। हालाँकि,पहाड़ी तक पहुँचने वाली ध्वनि पहले से ही डॉपलर-शिफ्ट हो चुकी होती है क्योंकि स्रोत उसकी ओर बढ़ रहा है।
पहाड़ी तक पहुँचने वाली ध्वनि की आवृत्ति $n_h = n \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$ है।
प्रेक्षक द्वारा सुनी गई परावर्तित ध्वनि की आवृत्ति $n' = n_h \left( \frac{v + v_o}{v} \right) = n \left( \frac{v + v_o}{v - v_s} \right)$ है।
मान रखने पर:
$n' = 256 \left( \frac{330 + 10}{330 - 10} \right) = 256 \left( \frac{340}{320} \right) = 256 \times 1.0625 = 272 ~Hz$.
प्रति सेकंड विस्पंदों की संख्या परावर्तित आवृत्ति और मूल आवृत्ति के बीच का अंतर है:
$\text{Beats} = n' - n = 272 - 256 = 16 ~Hz$.
जब ध्वनि पहाड़ी से परावर्तित होती है,तो पहाड़ी परावर्तित ध्वनि के लिए एक स्थिर स्रोत के रूप में कार्य करती है।
वाहन में सवार प्रेक्षक द्वारा सुनी गई परावर्तित ध्वनि की आवृत्ति डॉपलर प्रभाव के सूत्र द्वारा दी जाती है:
$n' = n \left( \frac{v + v_o}{v - v_s} \right)$
यहाँ,प्रेक्षक $v_o = 10 ~ms^{-1}$ के वेग से पहाड़ी की ओर बढ़ रहा है और स्रोत (पहाड़ी) स्थिर है $(v_s = 0)$। हालाँकि,पहाड़ी तक पहुँचने वाली ध्वनि पहले से ही डॉपलर-शिफ्ट हो चुकी होती है क्योंकि स्रोत उसकी ओर बढ़ रहा है।
पहाड़ी तक पहुँचने वाली ध्वनि की आवृत्ति $n_h = n \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$ है।
प्रेक्षक द्वारा सुनी गई परावर्तित ध्वनि की आवृत्ति $n' = n_h \left( \frac{v + v_o}{v} \right) = n \left( \frac{v + v_o}{v - v_s} \right)$ है।
मान रखने पर:
$n' = 256 \left( \frac{330 + 10}{330 - 10} \right) = 256 \left( \frac{340}{320} \right) = 256 \times 1.0625 = 272 ~Hz$.
प्रति सेकंड विस्पंदों की संख्या परावर्तित आवृत्ति और मूल आवृत्ति के बीच का अंतर है:
$\text{Beats} = n' - n = 272 - 256 = 16 ~Hz$.
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123
ChemistryMCQAP EAMCET · 2005
मशीन गन प्रति मिनट $240$ गोलियां दागती है। यदि प्रत्येक गोली का द्रव्यमान $10 ~g$ है और गोलियों का वेग $600 ~ms^{-1}$ है,तो गन की शक्ति ($kW$ में) क्या है?
A
$43200$
B
$432$
C
$72$
D
$7.2$
Solution
(D) गन की शक्ति वह दर है जिस पर गोलियों को गतिज ऊर्जा प्रदान की जाती है।
प्रति सेकंड गोलियों की संख्या,$n = \frac{240}{60} = 4 ~s^{-1}$.
प्रत्येक गोली का द्रव्यमान,$m = 10 ~g = 0.01 ~kg$.
प्रत्येक गोली का वेग,$v = 600 ~ms^{-1}$.
एक गोली की गतिज ऊर्जा,$K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} \times 0.01 \times (600)^2 = 0.005 \times 360000 = 1800 ~J$.
शक्ति,$P = n \times K = 4 \times 1800 = 7200 ~W$.
$kW$ में बदलने पर,$P = \frac{7200}{1000} = 7.2 ~kW$.
प्रति सेकंड गोलियों की संख्या,$n = \frac{240}{60} = 4 ~s^{-1}$.
प्रत्येक गोली का द्रव्यमान,$m = 10 ~g = 0.01 ~kg$.
प्रत्येक गोली का वेग,$v = 600 ~ms^{-1}$.
एक गोली की गतिज ऊर्जा,$K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} \times 0.01 \times (600)^2 = 0.005 \times 360000 = 1800 ~J$.
शक्ति,$P = n \times K = 4 \times 1800 = 7200 ~W$.
$kW$ में बदलने पर,$P = \frac{7200}{1000} = 7.2 ~kW$.
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124
ChemistryEasyMCQAP EAMCET · 2005
'Natalite' का उपयोग किसके रूप में किया जाता है?
A
निश्चेतक (anaesthetic)
B
पेट्रोल के विकल्प के रूप में
C
कीटनाशक
D
परिरक्षक (preservative)
Solution
(B) Natalite $95\%$ इथेनॉल और $5\%$ ईथर का मिश्रण है। इसका उपयोग आंतरिक दहन इंजनों में ईंधन या पेट्रोल के विकल्प के रूप में किया जाता है।
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125
ChemistryMCQAP EAMCET · 2005
निम्नलिखित कथनों $A$ और $B$ पर विचार करें और सही उत्तर की पहचान करें।
$A$. एक प्रत्यास्थ टक्कर में,यदि कोई पिंड विराम अवस्था में समान द्रव्यमान वाले दूसरे पिंड के साथ सम्मुख (head-on) टक्कर करता है,तो पहला पिंड विराम अवस्था में आ जाता है जबकि दूसरा पिंड पहले पिंड के वेग के साथ गति करने लगता है।
$B$. समान द्रव्यमान के दो पिंड जो सम्मुख प्रत्यास्थ टक्कर करते हैं,वे केवल अपने वेगों का आदान-प्रदान करते हैं।
$A$. एक प्रत्यास्थ टक्कर में,यदि कोई पिंड विराम अवस्था में समान द्रव्यमान वाले दूसरे पिंड के साथ सम्मुख (head-on) टक्कर करता है,तो पहला पिंड विराम अवस्था में आ जाता है जबकि दूसरा पिंड पहले पिंड के वेग के साथ गति करने लगता है।
$B$. समान द्रव्यमान के दो पिंड जो सम्मुख प्रत्यास्थ टक्कर करते हैं,वे केवल अपने वेगों का आदान-प्रदान करते हैं।
A
$A$ और $B$ दोनों सत्य हैं
B
$A$ और $B$ दोनों असत्य हैं
C
$A$ सत्य है लेकिन $B$ असत्य है
D
$A$ असत्य है लेकिन $B$ सत्य है
Solution
(A) $m_1$ और $m_2$ द्रव्यमान वाले दो पिंडों के बीच एक-आयामी प्रत्यास्थ टक्कर में,प्रारंभिक वेग $u_1$ और $u_2$ के साथ,अंतिम वेग $v_1$ और $v_2$ इस प्रकार दिए जाते हैं:
$v_1 = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} u_1 + \frac{2m_2}{m_1 + m_2} u_2$
$v_2 = \frac{2m_1}{m_1 + m_2} u_1 + \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} u_2$
कथन $A$ के लिए: यदि $m_1 = m_2 = m$ और $u_2 = 0$ है,तो $v_1 = 0$ और $v_2 = u_1$ प्राप्त होता है। यह पुष्टि करता है कि पहला पिंड विराम अवस्था में आ जाता है और दूसरा पहले पिंड के प्रारंभिक वेग से गति करता है।
कथन $B$ के लिए: यदि $m_1 = m_2 = m$ है,तो समीकरण $v_1 = u_2$ और $v_2 = u_1$ बन जाते हैं। यह पुष्टि करता है कि पिंड अपने वेगों का आदान-प्रदान करते हैं।
अतः,कथन $A$ और $B$ दोनों सत्य हैं।
$v_1 = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} u_1 + \frac{2m_2}{m_1 + m_2} u_2$
$v_2 = \frac{2m_1}{m_1 + m_2} u_1 + \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} u_2$
कथन $A$ के लिए: यदि $m_1 = m_2 = m$ और $u_2 = 0$ है,तो $v_1 = 0$ और $v_2 = u_1$ प्राप्त होता है। यह पुष्टि करता है कि पहला पिंड विराम अवस्था में आ जाता है और दूसरा पहले पिंड के प्रारंभिक वेग से गति करता है।
कथन $B$ के लिए: यदि $m_1 = m_2 = m$ है,तो समीकरण $v_1 = u_2$ और $v_2 = u_1$ बन जाते हैं। यह पुष्टि करता है कि पिंड अपने वेगों का आदान-प्रदान करते हैं।
अतः,कथन $A$ और $B$ दोनों सत्य हैं।
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126
ChemistryMediumMCQAP EAMCET · 2005
निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?
A
$SF_6$ में $S$ के संयोजी कोश में उपस्थित इलेक्ट्रॉनों की संख्या $12$ है।
B
आयनिक अभिक्रियाओं की दर बहुत धीमी होती है।
C
$VSEPR$ सिद्धांत के अनुसार,$SnCl_2$ एक रैखिक अणु है।
D
$Na^{+}$,$Mg^{2+}$ और $Al^{3+}$ के बीच आयनिक यौगिक बनाने की क्षमता का सही क्रम $Al^{3+} > Mg^{2+} > Na^{+}$ है।
Solution
(A) विकल्प $A$ सही है क्योंकि $SF_6$ में,सल्फर परमाणु $6$ फ्लोरीन परमाणुओं के साथ $6$ सहसंयोजक बंध बनाता है,जिसके परिणामस्वरूप इसके संयोजी कोश में $12$ इलेक्ट्रॉन होते हैं,जो अष्टक नियम का उल्लंघन करता है।
विकल्प $B$ गलत है क्योंकि विलयन में मुक्त आयनों की उपस्थिति के कारण आयनिक अभिक्रियाएं लगभग तात्कालिक होती हैं।
विकल्प $C$ गलत है क्योंकि $Sn$ परमाणु पर एक एकाकी इलेक्ट्रॉन युग्म की उपस्थिति के कारण $SnCl_2$ की ज्यामिति कोणीय (bent) होती है।
विकल्प $D$ गलत है क्योंकि फजान के नियम के अनुसार,जैसे-जैसे आवेश घनत्व बढ़ता है,आयनिक यौगिक बनाने की क्षमता कम होती जाती है। अतः,आयनिक गुण का सही क्रम $Na^{+} > Mg^{2+} > Al^{3+}$ है।
विकल्प $B$ गलत है क्योंकि विलयन में मुक्त आयनों की उपस्थिति के कारण आयनिक अभिक्रियाएं लगभग तात्कालिक होती हैं।
विकल्प $C$ गलत है क्योंकि $Sn$ परमाणु पर एक एकाकी इलेक्ट्रॉन युग्म की उपस्थिति के कारण $SnCl_2$ की ज्यामिति कोणीय (bent) होती है।
विकल्प $D$ गलत है क्योंकि फजान के नियम के अनुसार,जैसे-जैसे आवेश घनत्व बढ़ता है,आयनिक यौगिक बनाने की क्षमता कम होती जाती है। अतः,आयनिक गुण का सही क्रम $Na^{+} > Mg^{2+} > Al^{3+}$ है।
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127
ChemistryMediumMCQAP EAMCET · 2005
निम्नलिखित में से कौन सा एक रैखिक (linear) अणु है?
A
$BeCl_2$
B
$H_2O$
C
$SO_2$
D
$CH_4$
Solution
(A) $BeCl_2$ में,केंद्रीय परमाणु $Be$ में $sp$-संकरण होता है,जिसके परिणामस्वरूप $180^{\circ}$ के बंध कोण के साथ रैखिक ज्यामिति प्राप्त होती है।
$H_2O$ में ऑक्सीजन पर दो एकाकी इलेक्ट्रॉन युग्म (lone pairs) होने के कारण इसकी आकृति मुड़ी हुई (कोणीय) होती है।
$SO_2$ में सल्फर पर एक एकाकी इलेक्ट्रॉन युग्म होने के कारण इसकी आकृति मुड़ी हुई (कोणीय) होती है।
$CH_4$ की ज्यामिति चतुष्फलकीय (tetrahedral) होती है।
अतः,$BeCl_2$ एक रैखिक अणु है।
$H_2O$ में ऑक्सीजन पर दो एकाकी इलेक्ट्रॉन युग्म (lone pairs) होने के कारण इसकी आकृति मुड़ी हुई (कोणीय) होती है।
$SO_2$ में सल्फर पर एक एकाकी इलेक्ट्रॉन युग्म होने के कारण इसकी आकृति मुड़ी हुई (कोणीय) होती है।
$CH_4$ की ज्यामिति चतुष्फलकीय (tetrahedral) होती है।
अतः,$BeCl_2$ एक रैखिक अणु है।
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128
ChemistryDifficultMCQAP EAMCET · 2005
$550 \ K$ पर,निम्नलिखित अभिक्रिया के लिए $K_c$ का मान $10^4 \ mol^{-1} \ L$ है: $X_{(g)} + Y_{(g)} \rightleftharpoons Z_{(g)}$. साम्यावस्था पर,यह देखा गया कि $[X] = \frac{1}{2}[Y] = \frac{1}{2}[Z]$. साम्यावस्था पर $[Z]$ का मान ($mol \ L^{-1}$ में) क्या है?
A
$2 \times 10^{-4}$
B
$10^{-4}$
C
$2 \times 10^4$
D
$10^4$
Solution
(A) अभिक्रिया $X_{(g)} + Y_{(g)} \rightleftharpoons Z_{(g)}$ के लिए साम्यावस्था स्थिरांक का व्यंजक $K_c = \frac{[Z]}{[X][Y]}$ है।
दिया गया है $K_c = 10^4 \ mol^{-1} \ L$.
साम्यावस्था पर,$[X] = \frac{1}{2}[Y] = \frac{1}{2}[Z]$ दिया गया है।
इससे,हम $[X]$ और $[Y]$ को $[Z]$ के पदों में लिख सकते हैं:
$[X] = \frac{1}{2}[Z]$
$[Y] = [Z]$
इन मानों को $K_c$ के व्यंजक में रखने पर:
$10^4 = \frac{[Z]}{(\frac{1}{2}[Z])([Z])} = \frac{[Z]}{\frac{1}{2}[Z]^2} = \frac{2}{[Z]}$
अतः,$[Z] = \frac{2}{10^4} = 2 \times 10^{-4} \ mol \ L^{-1}$.
दिया गया है $K_c = 10^4 \ mol^{-1} \ L$.
साम्यावस्था पर,$[X] = \frac{1}{2}[Y] = \frac{1}{2}[Z]$ दिया गया है।
इससे,हम $[X]$ और $[Y]$ को $[Z]$ के पदों में लिख सकते हैं:
$[X] = \frac{1}{2}[Z]$
$[Y] = [Z]$
इन मानों को $K_c$ के व्यंजक में रखने पर:
$10^4 = \frac{[Z]}{(\frac{1}{2}[Z])([Z])} = \frac{[Z]}{\frac{1}{2}[Z]^2} = \frac{2}{[Z]}$
अतः,$[Z] = \frac{2}{10^4} = 2 \times 10^{-4} \ mol \ L^{-1}$.
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129
ChemistryMCQAP EAMCET · 2005
निम्नलिखित अभिक्रिया का अवलोकन करें: $2A + B \longrightarrow C$. $C$ के निर्माण की दर $2.2 \times 10^{-3} \ mol \ L^{-1} \ min^{-1}$ है। $-\frac{d[A]}{dt}$ का मान ($mol \ L^{-1} \ min^{-1}$ में) क्या होगा?
A
$2.2 \times 10^{-3}$
B
$1.1 \times 10^{-3}$
C
$4.4 \times 10^{-3}$
D
$5.5 \times 10^{-3}$
Solution
(C) अभिक्रिया $2A + B \longrightarrow C$ के लिए,अभिक्रिया की दर इस प्रकार है:
दर $= -\frac{1}{2} \frac{d[A]}{dt} = -\frac{d[B]}{dt} = \frac{d[C]}{dt}$
दिया गया है कि $C$ के निर्माण की दर $\frac{d[C]}{dt} = 2.2 \times 10^{-3} \ mol \ L^{-1} \ min^{-1}$ है।
$A$ और $C$ के पदों की तुलना करने पर:
$-\frac{1}{2} \frac{d[A]}{dt} = \frac{d[C]}{dt}$
$-\frac{d[A]}{dt} = 2 \times \frac{d[C]}{dt}$
$-\frac{d[A]}{dt} = 2 \times (2.2 \times 10^{-3}) = 4.4 \times 10^{-3} \ mol \ L^{-1} \ min^{-1}$.
दर $= -\frac{1}{2} \frac{d[A]}{dt} = -\frac{d[B]}{dt} = \frac{d[C]}{dt}$
दिया गया है कि $C$ के निर्माण की दर $\frac{d[C]}{dt} = 2.2 \times 10^{-3} \ mol \ L^{-1} \ min^{-1}$ है।
$A$ और $C$ के पदों की तुलना करने पर:
$-\frac{1}{2} \frac{d[A]}{dt} = \frac{d[C]}{dt}$
$-\frac{d[A]}{dt} = 2 \times \frac{d[C]}{dt}$
$-\frac{d[A]}{dt} = 2 \times (2.2 \times 10^{-3}) = 4.4 \times 10^{-3} \ mol \ L^{-1} \ min^{-1}$.
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130
ChemistryEasyMCQAP EAMCET · 2005
निम्नलिखित तत्वों की सहसंयोजक त्रिज्या के बढ़ने का सही क्रम पहचानिए: $(I) \ Ti, (II) \ Ca, (III) \ Sc$.
A
$(I) < (III) < (II)$
B
$(III) < (II) < (I)$
C
$(II) < (I) < (III)$
D
$(I) < (III) < (II)$
Solution
(D) इलेक्ट्रॉनिक विन्यास इस प्रकार हैं:
$_{20}Ca = [Ar] 4s^2$
$_{21}Sc = [Ar] 4s^2 3d^1$
$_{22}Ti = [Ar] 4s^2 3d^2$
जैसे-जैसे हम आवर्त में $Ca$ से $Ti$ की ओर बढ़ते हैं,प्रभावी नाभिकीय आवेश $(Z_{eff})$ बढ़ता है क्योंकि $d$-कक्षकों का आकार विसरित (diffused) होता है और वे नाभिकीय आवेश का कम परिरक्षण (shielding) करते हैं।
परिणामस्वरूप,परमाणु क्रमांक बढ़ने के साथ परमाणु आकार घटता है।
परमाणु आकार का क्रम $Ca > Sc > Ti$ है।
अतः,सहसंयोजक त्रिज्या के बढ़ने का सही क्रम $(I) < (III) < (II)$ है।
$_{20}Ca = [Ar] 4s^2$
$_{21}Sc = [Ar] 4s^2 3d^1$
$_{22}Ti = [Ar] 4s^2 3d^2$
जैसे-जैसे हम आवर्त में $Ca$ से $Ti$ की ओर बढ़ते हैं,प्रभावी नाभिकीय आवेश $(Z_{eff})$ बढ़ता है क्योंकि $d$-कक्षकों का आकार विसरित (diffused) होता है और वे नाभिकीय आवेश का कम परिरक्षण (shielding) करते हैं।
परिणामस्वरूप,परमाणु क्रमांक बढ़ने के साथ परमाणु आकार घटता है।
परमाणु आकार का क्रम $Ca > Sc > Ti$ है।
अतः,सहसंयोजक त्रिज्या के बढ़ने का सही क्रम $(I) < (III) < (II)$ है।
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131
ChemistryMCQAP EAMCET · 2005
यदि $\alpha$,$x^6=1$ का एक अवास्तविक मूल है,तो $\frac{\alpha^5+\alpha^3+\alpha+1}{\alpha^2+1}$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$\alpha^2$
B
$0$
C
$-\alpha^2$
D
$\alpha$
Solution
(C) दिया गया है कि $x^6 = 1$,इसलिए $x^6 - 1 = 0$।
इसका गुणनखंड करने पर,हमें $(x-1)(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\alpha$,$x^6=1$ का एक अवास्तविक मूल है,इसलिए यह समीकरण $x^5+x^4+x^3+x^2+x+1 = 0$ को संतुष्ट करेगा।
अतः,$\alpha^5+\alpha^4+\alpha^3+\alpha^2+\alpha+1 = 0$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\alpha^5+\alpha^3+\alpha+1 = -(\alpha^4+\alpha^2)$ प्राप्त होता है।
दाहिनी ओर से $-\alpha^2$ कॉमन लेने पर,$\alpha^5+\alpha^3+\alpha+1 = -\alpha^2(\alpha^2+1)$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\frac{\alpha^5+\alpha^3+\alpha+1}{\alpha^2+1} = -\alpha^2$।
इसका गुणनखंड करने पर,हमें $(x-1)(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\alpha$,$x^6=1$ का एक अवास्तविक मूल है,इसलिए यह समीकरण $x^5+x^4+x^3+x^2+x+1 = 0$ को संतुष्ट करेगा।
अतः,$\alpha^5+\alpha^4+\alpha^3+\alpha^2+\alpha+1 = 0$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\alpha^5+\alpha^3+\alpha+1 = -(\alpha^4+\alpha^2)$ प्राप्त होता है।
दाहिनी ओर से $-\alpha^2$ कॉमन लेने पर,$\alpha^5+\alpha^3+\alpha+1 = -\alpha^2(\alpha^2+1)$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\frac{\alpha^5+\alpha^3+\alpha+1}{\alpha^2+1} = -\alpha^2$।
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132
ChemistryEasyMCQAP EAMCET · 2005
निम्नलिखित में से कौन सा वायु प्रदूषक नहीं है?
A
$N_2$
B
$N_2O$
C
$NO$
D
$CO$
Solution
(A) नाइट्रोजन गैस $(N_2)$ वायुमंडल का मुख्य घटक है,जो आयतन के अनुसार लगभग $78 \%$ है।
यह सामान्य परिस्थितियों में एक अक्रिय गैस है और वायु प्रदूषण का कारण नहीं बनती है।
इसके विपरीत,$N_2O$,$NO$,और $CO$ ज्ञात वायु प्रदूषक हैं।
यह सामान्य परिस्थितियों में एक अक्रिय गैस है और वायु प्रदूषण का कारण नहीं बनती है।
इसके विपरीत,$N_2O$,$NO$,और $CO$ ज्ञात वायु प्रदूषक हैं।
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133
ChemistryMCQAP EAMCET · 2005
यदि $\cos 2x = (\sqrt{2} + 1) \left(\cos x - \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ और $\cos x \neq \frac{1}{\sqrt{2}}$ है,तो $x \in$
A
$\left\{2n\pi \pm \frac{\pi}{3} : n \in Z\right\}$
B
$\left\{2n\pi \pm \frac{\pi}{6} : n \in Z\right\}$
C
$\left\{2n\pi \pm \frac{\pi}{2} : n \in Z\right\}$
D
$\left\{2n\pi \pm \frac{\pi}{4} : n \in Z\right\}$
Solution
(A) दिया गया समीकरण: $\cos 2x = (\sqrt{2} + 1) \left(\cos x - \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$.
$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ का उपयोग करने पर:
$2\cos^2 x - 1 = (\sqrt{2} + 1)\cos x - \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2}}$
$2\cos^2 x - (\sqrt{2} + 1)\cos x + \frac{1}{\sqrt{2}} = 0$
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ या $\cos x = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
शर्त के अनुसार $\cos x \neq \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $\cos x = \frac{1}{2}$।
अतः,$x = 2n\pi \pm \frac{\pi}{3}$।
$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ का उपयोग करने पर:
$2\cos^2 x - 1 = (\sqrt{2} + 1)\cos x - \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2}}$
$2\cos^2 x - (\sqrt{2} + 1)\cos x + \frac{1}{\sqrt{2}} = 0$
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ या $\cos x = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
शर्त के अनुसार $\cos x \neq \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $\cos x = \frac{1}{2}$।
अतः,$x = 2n\pi \pm \frac{\pi}{3}$।
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134
ChemistryMCQAP EAMCET · 2005
$\mathbb{R}$ पर $4 \cos \left(x^2\right) \cos \left(\frac{\pi}{3}+x^2\right) \cos \left(\frac{\pi}{3}-x^2\right)$ के चरम मान ज्ञात कीजिए।
A
$-1, 1$
B
$-2, 2$
C
$-3, 3$
D
$-4, 4$
Solution
(A) माना $f(x) = 4 \cos \left(x^2\right) \cos \left(\frac{\pi}{3}+x^2\right) \cos \left(\frac{\pi}{3}-x^2\right)$ है।
सर्वसमिका $2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = 2 \cos \left(x^2\right) \left[ \cos \left(\frac{2\pi}{3}\right) + \cos \left(2x^2\right) \right]$
चूंकि $\cos \left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$,इसलिए:
$f(x) = 2 \cos \left(x^2\right) \left[ -\frac{1}{2} + \cos \left(2x^2\right) \right]$
$f(x) = -\cos \left(x^2\right) + 2 \cos \left(x^2\right) \cos \left(2x^2\right)$
पुनः $2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = -\cos \left(x^2\right) + \cos \left(3x^2\right) + \cos \left(x^2\right)$
$f(x) = \cos \left(3x^2\right) \quad \dots(i)$
चूंकि $\cos(\theta)$ का परिसर $[-1, 1]$ है,इसलिए $f(x) = \cos \left(3x^2\right)$ के चरम मान $-1$ और $1$ हैं।
सर्वसमिका $2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = 2 \cos \left(x^2\right) \left[ \cos \left(\frac{2\pi}{3}\right) + \cos \left(2x^2\right) \right]$
चूंकि $\cos \left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$,इसलिए:
$f(x) = 2 \cos \left(x^2\right) \left[ -\frac{1}{2} + \cos \left(2x^2\right) \right]$
$f(x) = -\cos \left(x^2\right) + 2 \cos \left(x^2\right) \cos \left(2x^2\right)$
पुनः $2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = -\cos \left(x^2\right) + \cos \left(3x^2\right) + \cos \left(x^2\right)$
$f(x) = \cos \left(3x^2\right) \quad \dots(i)$
चूंकि $\cos(\theta)$ का परिसर $[-1, 1]$ है,इसलिए $f(x) = \cos \left(3x^2\right)$ के चरम मान $-1$ और $1$ हैं।
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135
ChemistryMCQAP EAMCET · 2005
यदि $\cos \theta - 4 \sin \theta = 1$ है,तो $\sin \theta + 4 \cos \theta$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$\pm 1$
B
$0$
C
$\pm 2$
D
$\pm 4$
Solution
(D) माना $\cos \theta - 4 \sin \theta = 1$ $(i)$ और $\sin \theta + 4 \cos \theta = x$ $(ii)$ है।
दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(\cos \theta - 4 \sin \theta)^2 + (\sin \theta + 4 \cos \theta)^2 = 1^2 + x^2$
$(\cos^2 \theta + 16 \sin^2 \theta - 8 \sin \theta \cos \theta) + (\sin^2 \theta + 16 \cos^2 \theta + 8 \sin \theta \cos \theta) = 1 + x^2$
$(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) + 16(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = 1 + x^2$
$1 + 16(1) = 1 + x^2$
$17 = 1 + x^2$
$x^2 = 16$
$x = \pm 4$
अतः,$\sin \theta + 4 \cos \theta = \pm 4$.
दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(\cos \theta - 4 \sin \theta)^2 + (\sin \theta + 4 \cos \theta)^2 = 1^2 + x^2$
$(\cos^2 \theta + 16 \sin^2 \theta - 8 \sin \theta \cos \theta) + (\sin^2 \theta + 16 \cos^2 \theta + 8 \sin \theta \cos \theta) = 1 + x^2$
$(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) + 16(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = 1 + x^2$
$1 + 16(1) = 1 + x^2$
$17 = 1 + x^2$
$x^2 = 16$
$x = \pm 4$
अतः,$\sin \theta + 4 \cos \theta = \pm 4$.
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136
ChemistryMCQAP EAMCET · 2005
रेखाओं $x=0$,$y=0$ और $3x+4y=12$ द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) क्या है?
A
$3$
B
$4$
C
$6$
D
$12$
Solution
(C) दी गई रेखाएँ $x=0$ ($y$-अक्ष),$y=0$ ($x$-अक्ष) और $3x+4y=12$ हैं।
रेखा $3x+4y=12$ के अंतःखंड ज्ञात करने के लिए,इसे अंतःखंड रूप में लिखते हैं:
$\frac{3x}{12} + \frac{4y}{12} = 1 \implies \frac{x}{4} + \frac{y}{3} = 1$.
यह रेखा $x$-अक्ष को $A(4, 0)$ पर और $y$-अक्ष को $B(0, 3)$ पर काटती है।
इन रेखाओं द्वारा निर्मित त्रिभुज $O(0, 0)$,$A(4, 0)$ और $B(0, 3)$ शीर्षों वाला एक समकोण त्रिभुज है।
त्रिभुज का आधार $OA = 4$ इकाई और ऊँचाई $OB = 3$ इकाई है।
$\triangle OAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6$ वर्ग इकाई।
रेखा $3x+4y=12$ के अंतःखंड ज्ञात करने के लिए,इसे अंतःखंड रूप में लिखते हैं:
$\frac{3x}{12} + \frac{4y}{12} = 1 \implies \frac{x}{4} + \frac{y}{3} = 1$.
यह रेखा $x$-अक्ष को $A(4, 0)$ पर और $y$-अक्ष को $B(0, 3)$ पर काटती है।
इन रेखाओं द्वारा निर्मित त्रिभुज $O(0, 0)$,$A(4, 0)$ और $B(0, 3)$ शीर्षों वाला एक समकोण त्रिभुज है।
त्रिभुज का आधार $OA = 4$ इकाई और ऊँचाई $OB = 3$ इकाई है।
$\triangle OAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6$ वर्ग इकाई।
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137
ChemistryMCQAP EAMCET · 2005
यदि $x-y+1=0$ वृत्त $x^2+y^2+y-1=0$ को $A$ और $B$ पर मिलता है,तो $AB$ को व्यास मानकर वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए।
A
$2(x^2+y^2)+3x-y+1=0$
B
$2(x^2+y^2)+3x-y+2=0$
C
$2(x^2+y^2)+3x-y+3=0$
D
$x^2+y^2+3x-y+1=0$
Solution
(A) दिए गए समीकरण:
$x-y+1=0 \quad \dots(i)$
$x^2+y^2+y-1=0 \quad \dots(ii)$
$(i)$ से,$y = x+1$. इसे $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2 + (x+1)^2 + (x+1) - 1 = 0$
$x^2 + x^2 + 2x + 1 + x + 1 - 1 = 0$
$2x^2 + 3x + 1 = 0$
$(2x+1)(x+1) = 0$
अतः,$x = -\frac{1}{2}$ या $x = -1$.
यदि $x = -\frac{1}{2}$,तो $y = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$. बिंदु $A = (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$.
यदि $x = -1$,तो $y = -1 + 1 = 0$. बिंदु $B = (-1, 0)$.
व्यास के अंत बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ होता है।
$(x + \frac{1}{2})(x + 1) + (y - \frac{1}{2})(y - 0) = 0$
$(x + \frac{1}{2})(x + 1) + y(y - \frac{1}{2}) = 0$
$2$ से गुणा करने पर:
$(2x+1)(x+1) + y(2y-1) = 0$
$2x^2 + 2x + x + 1 + 2y^2 - y = 0$
$2(x^2+y^2) + 3x - y + 1 = 0$.
$x-y+1=0 \quad \dots(i)$
$x^2+y^2+y-1=0 \quad \dots(ii)$
$(i)$ से,$y = x+1$. इसे $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2 + (x+1)^2 + (x+1) - 1 = 0$
$x^2 + x^2 + 2x + 1 + x + 1 - 1 = 0$
$2x^2 + 3x + 1 = 0$
$(2x+1)(x+1) = 0$
अतः,$x = -\frac{1}{2}$ या $x = -1$.
यदि $x = -\frac{1}{2}$,तो $y = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$. बिंदु $A = (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$.
यदि $x = -1$,तो $y = -1 + 1 = 0$. बिंदु $B = (-1, 0)$.
व्यास के अंत बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ होता है।
$(x + \frac{1}{2})(x + 1) + (y - \frac{1}{2})(y - 0) = 0$
$(x + \frac{1}{2})(x + 1) + y(y - \frac{1}{2}) = 0$
$2$ से गुणा करने पर:
$(2x+1)(x+1) + y(2y-1) = 0$
$2x^2 + 2x + x + 1 + 2y^2 - y = 0$
$2(x^2+y^2) + 3x - y + 1 = 0$.
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138
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निम्नलिखित में से कौन सा कार्यात्मक समावयवियों (functional isomers) का एक युग्म है?
A
$CH_3COCH_3, CH_3CHO$
B
$C_2H_5CO_2H, CH_3CO_2CH_3$
C
$C_2H_5CO_2H, CH_3CO_2C_2H_5$
D
$CH_3CO_2H, CH_3CHO$
Solution
(B) कार्यात्मक समावयवता तब होती है जब यौगिकों का आणविक सूत्र समान होता है लेकिन कार्यात्मक समूह अलग-अलग होते हैं।
$C_2H_5CO_2H$ (प्रोपेनोइक एसिड) और $CH_3CO_2CH_3$ (मिथाइल एसीटेट) दोनों का आणविक सूत्र $C_3H_6O_2$ है।
प्रोपेनोइक एसिड में एक कार्बोक्सिलिक एसिड समूह $(-COOH)$ होता है,जबकि मिथाइल एसीटेट में एक एस्टर समूह $(-COOCH_3)$ होता है।
इसलिए,वे कार्यात्मक समावयवी हैं।
$C_2H_5CO_2H$ (प्रोपेनोइक एसिड) और $CH_3CO_2CH_3$ (मिथाइल एसीटेट) दोनों का आणविक सूत्र $C_3H_6O_2$ है।
प्रोपेनोइक एसिड में एक कार्बोक्सिलिक एसिड समूह $(-COOH)$ होता है,जबकि मिथाइल एसीटेट में एक एस्टर समूह $(-COOCH_3)$ होता है।
इसलिए,वे कार्यात्मक समावयवी हैं।
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139
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निम्नलिखित में से कौन सा सही नहीं है?
A
$SiO_2$ का उपयोग एसिड फ्लक्स के रूप में किया जाता है।
B
ग्रेफाइट में परतों के बीच की दूरी $3.35 \times 10^{-8} \ cm$ है।
C
$SiO_2$,$Na_2CO_3$ के साथ अभिक्रिया करके $CO$ मुक्त करता है।
D
ग्रेफाइट में $C$ का संकरण $sp^2$ है।
Solution
(C) सिलिका $(SiO_2)$ एक अम्लीय ऑक्साइड है और यह क्षारीय अशुद्धियों को दूर करने के लिए एसिड फ्लक्स के रूप में कार्य करता है।
$SiO_2$ और $Na_2CO_3$ के बीच अभिक्रिया में $CO_2$ गैस निकलती है,$CO$ नहीं।
अभिक्रिया है: $Na_2CO_3 + SiO_2 \rightarrow Na_2SiO_3 + CO_2 \uparrow$.
इसलिए,विकल्प $C$ में दिया गया कथन गलत है क्योंकि इसमें $CO_2$ के बजाय $CO$ के मुक्त होने का उल्लेख है।
$SiO_2$ और $Na_2CO_3$ के बीच अभिक्रिया में $CO_2$ गैस निकलती है,$CO$ नहीं।
अभिक्रिया है: $Na_2CO_3 + SiO_2 \rightarrow Na_2SiO_3 + CO_2 \uparrow$.
इसलिए,विकल्प $C$ में दिया गया कथन गलत है क्योंकि इसमें $CO_2$ के बजाय $CO$ के मुक्त होने का उल्लेख है।
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140
ChemistryMediumMCQAP EAMCET · 2005
एथेन के निर्माण के लिए आवश्यक रसायन और अभिक्रिया की शर्तें क्या हैं?
A
$C_2H_5I, Zn-Cu, C_2H_5OH$
B
$CH_3Cl, Na, \text{dry ether}$
C
$KOOC-CH=CH-COOK, \text{electrolysis}$
D
$CH_3CO_2Na, NaOH, CaO, \Delta$
Solution
$(A)$ एथेन $(C_2H_6)$ का निर्माण एथेनॉल $(C_2H_5OH)$ की उपस्थिति में $Zn-Cu$ कपल का उपयोग करके आयोडोएथेन $(C_2H_5I)$ के अपचयन द्वारा किया जा सकता है।
रासायनिक अभिक्रिया है: $C_2H_5I + 2[H] \xrightarrow{Zn-Cu, C_2H_5OH} C_2H_6 + HI$.
अतः, विकल्प $A$ एथेन के निर्माण के लिए सही अभिकर्मक और शर्तें प्रदान करता है।
रासायनिक अभिक्रिया है: $C_2H_5I + 2[H] \xrightarrow{Zn-Cu, C_2H_5OH} C_2H_6 + HI$.
अतः, विकल्प $A$ एथेन के निर्माण के लिए सही अभिकर्मक और शर्तें प्रदान करता है।
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141
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बेंजीन की प्रतिस्थापन अभिक्रिया द्वारा तैयार किया जाने वाला यौगिक है
A
एसिटोफेनोन
B
ग्लायोक्सल
C
साइक्लोहेक्सेन
D
हेक्साब्रोमो साइक्लोहेक्सेन
Solution
(A) एसिटोफेनोन को बेंजीन से उसकी इलेक्ट्रॉनरागी प्रतिस्थापन (फ्रीडल-क्राफ्ट्स एसाइलेशन) अभिक्रिया द्वारा इस प्रकार तैयार किया जा सकता है:
$C_6H_6 + CH_3COCl \xrightarrow{Anhyd. AlCl_3} C_6H_5COCH_3 + HCl$
इस अभिक्रिया में,बेंजीन वलय का हाइड्रोजन परमाणु एक एसिटाइल समूह $(-COCH_3)$ द्वारा प्रतिस्थापित हो जाता है,जो एक विशिष्ट इलेक्ट्रॉनरागी प्रतिस्थापन अभिक्रिया है।
$C_6H_6 + CH_3COCl \xrightarrow{Anhyd. AlCl_3} C_6H_5COCH_3 + HCl$
इस अभिक्रिया में,बेंजीन वलय का हाइड्रोजन परमाणु एक एसिटाइल समूह $(-COCH_3)$ द्वारा प्रतिस्थापित हो जाता है,जो एक विशिष्ट इलेक्ट्रॉनरागी प्रतिस्थापन अभिक्रिया है।
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142
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$H_2O_2$ के एक विलयन का $pH$ $6.0$ है। इस विलयन में कुछ क्लोरीन गैस प्रवाहित की जाती है। निम्नलिखित में से कौन सा सही है?
A
परिणामी विलयन का $pH$ $8.0$ हो जाता है
B
परिणामी विलयन से हाइड्रोजन गैस मुक्त होती है
C
परिणामी विलयन का $pH$ $6.0$ से कम हो जाता है और ऑक्सीजन गैस मुक्त होती है
D
परिणामी विलयन में $Cl_2O$ बनता है
Solution
(C) $H_2O_2 + Cl_2 \longrightarrow 2HCl + O_2$
इस अभिक्रिया में,$H_2O_2$ एक अपचायक (reducing agent) के रूप में कार्य करता है और $Cl_2$ को $HCl$ में अपचयित करता है।
$HCl$ (एक प्रबल अम्ल) के बनने से विलयन में $H^+$ आयनों की सांद्रता बढ़ जाती है।
परिणामस्वरूप,विलयन का $pH$ $6.0$ से कम हो जाता है और ऑक्सीजन गैस $(O_2)$ मुक्त होती है।
इस अभिक्रिया में,$H_2O_2$ एक अपचायक (reducing agent) के रूप में कार्य करता है और $Cl_2$ को $HCl$ में अपचयित करता है।
$HCl$ (एक प्रबल अम्ल) के बनने से विलयन में $H^+$ आयनों की सांद्रता बढ़ जाती है।
परिणामस्वरूप,विलयन का $pH$ $6.0$ से कम हो जाता है और ऑक्सीजन गैस $(O_2)$ मुक्त होती है।
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143
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निम्नलिखित में से किस अभिक्रिया में गैसीय उत्पाद नहीं बनता है?
A
$PbO_2 + H_2O_2 \longrightarrow PbO + H_2O + O_2$
B
$2KMnO_4 + 3H_2SO_4 + 5H_2O_2 \longrightarrow K_2SO_4 + 2MnSO_4 + 8H_2O + 5O_2$
C
$PbS + 4H_2O_2 \longrightarrow PbSO_4 + 4H_2O$
D
$Cl_2 + H_2O_2 \longrightarrow 2HCl + O_2$
Solution
(C) दी गई अभिक्रियाओं में,हम बनने वाले उत्पादों का विश्लेषण करते हैं:
$(A)$ $PbO_2 + H_2O_2 \longrightarrow PbO + H_2O + O_2$ (ऑक्सीजन गैस बनती है)।
$(B)$ $2KMnO_4 + 3H_2SO_4 + 5H_2O_2 \longrightarrow K_2SO_4 + 2MnSO_4 + 8H_2O + 5O_2$ (ऑक्सीजन गैस बनती है)।
$(C)$ $PbS + 4H_2O_2 \longrightarrow PbSO_4 + 4H_2O$ (लेड सल्फेट एक ठोस है,और जल द्रव है; कोई गैस नहीं बनती है)।
$(D)$ $Cl_2 + H_2O_2 \longrightarrow 2HCl + O_2$ (ऑक्सीजन गैस बनती है)।
अतः,विकल्प $C$ में दी गई अभिक्रिया में गैसीय उत्पाद नहीं बनता है।
$(A)$ $PbO_2 + H_2O_2 \longrightarrow PbO + H_2O + O_2$ (ऑक्सीजन गैस बनती है)।
$(B)$ $2KMnO_4 + 3H_2SO_4 + 5H_2O_2 \longrightarrow K_2SO_4 + 2MnSO_4 + 8H_2O + 5O_2$ (ऑक्सीजन गैस बनती है)।
$(C)$ $PbS + 4H_2O_2 \longrightarrow PbSO_4 + 4H_2O$ (लेड सल्फेट एक ठोस है,और जल द्रव है; कोई गैस नहीं बनती है)।
$(D)$ $Cl_2 + H_2O_2 \longrightarrow 2HCl + O_2$ (ऑक्सीजन गैस बनती है)।
अतः,विकल्प $C$ में दी गई अभिक्रिया में गैसीय उत्पाद नहीं बनता है।
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144
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यदि $\frac{x^3}{(2x-1)(x+2)(x-3)} = A + \frac{B}{2x-1} + \frac{C}{x+2} + \frac{D}{x-3}$ है,तो $A$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$\frac{1}{2}$
B
$-\frac{1}{50}$
C
$-\frac{8}{25}$
D
$\frac{27}{25}$
Solution
(A) दी गई अभिव्यक्ति: $\frac{x^3}{(2x-1)(x+2)(x-3)} = A + \frac{B}{2x-1} + \frac{C}{x+2} + \frac{D}{x-3}$.
सबसे पहले,हर का विस्तार करने पर:
$(2x-1)(x+2)(x-3) = (2x-1)(x^2-x-6) = 2x^3 - 3x^2 - 11x + 6$.
चूंकि अंश की घात $(3)$ और हर की घात $(3)$ समान है,इसलिए अचर पद $A$ ज्ञात करने के लिए हम बहुपद का भाग करेंगे:
$\frac{x^3}{2x^3 - 3x^2 - 11x + 6} = \frac{\frac{1}{2}(2x^3 - 3x^2 - 11x + 6) + (\frac{3}{2}x^2 + \frac{11}{2}x - 3)}{2x^3 - 3x^2 - 11x + 6}$.
इसका सरलीकरण करने पर:
$\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{2}x^2 + \frac{11}{2}x - 3}{(2x-1)(x+2)(x-3)}$.
दिए गए रूप $A + \frac{B}{2x-1} + \frac{C}{x+2} + \frac{D}{x-3}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $A = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
सबसे पहले,हर का विस्तार करने पर:
$(2x-1)(x+2)(x-3) = (2x-1)(x^2-x-6) = 2x^3 - 3x^2 - 11x + 6$.
चूंकि अंश की घात $(3)$ और हर की घात $(3)$ समान है,इसलिए अचर पद $A$ ज्ञात करने के लिए हम बहुपद का भाग करेंगे:
$\frac{x^3}{2x^3 - 3x^2 - 11x + 6} = \frac{\frac{1}{2}(2x^3 - 3x^2 - 11x + 6) + (\frac{3}{2}x^2 + \frac{11}{2}x - 3)}{2x^3 - 3x^2 - 11x + 6}$.
इसका सरलीकरण करने पर:
$\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{2}x^2 + \frac{11}{2}x - 3}{(2x-1)(x+2)(x-3)}$.
दिए गए रूप $A + \frac{B}{2x-1} + \frac{C}{x+2} + \frac{D}{x-3}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $A = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
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145
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यदि $x \sqrt{1+y}+y \sqrt{1+x}=0$ है,तो $\frac{d y}{d x}$ का मान क्या होगा?
A
$\frac{1}{(1+x)^2}$
B
$-\frac{1}{(1+x)^2}$
C
$\frac{1}{1+x^2}$
D
$\frac{1}{1-x^2}$
Solution
(B) दिया गया है कि $x \sqrt{1+y} = -y \sqrt{1+x}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है $x^2(1+y) = y^2(1+x)$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $x^2 - y^2 + x^2y - xy^2 = 0$.
गुणनखंड करने पर $(x-y)(x+y) + xy(x-y) = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $(x-y)(x+y+xy) = 0$.
चूंकि $x-y \neq 0$ (क्योंकि यह मूल समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है),इसलिए $x+y+xy = 0$ होना चाहिए।
$y$ के लिए हल करने पर: $y(1+x) = -x$,अतः $y = -\frac{x}{1+x}$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर (भागफल नियम का उपयोग करते हुए):
$\frac{dy}{dx} = -\frac{(1+x)(1) - x(1)}{(1+x)^2} = -\frac{1+x-x}{(1+x)^2} = -\frac{1}{(1+x)^2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है $x^2(1+y) = y^2(1+x)$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $x^2 - y^2 + x^2y - xy^2 = 0$.
गुणनखंड करने पर $(x-y)(x+y) + xy(x-y) = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $(x-y)(x+y+xy) = 0$.
चूंकि $x-y \neq 0$ (क्योंकि यह मूल समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है),इसलिए $x+y+xy = 0$ होना चाहिए।
$y$ के लिए हल करने पर: $y(1+x) = -x$,अतः $y = -\frac{x}{1+x}$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर (भागफल नियम का उपयोग करते हुए):
$\frac{dy}{dx} = -\frac{(1+x)(1) - x(1)}{(1+x)^2} = -\frac{1+x-x}{(1+x)^2} = -\frac{1}{(1+x)^2}$.
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146
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कथन $(A)$: एसिटिक एसिड और सोडियम एसीटेट के समान मोल वाले बफर विलयन का $pH$ $4.8$ है (एसिटिक एसिड का $pK_a$ $4.8$ है)।
कारण $(R)$: $25^{\circ} C$ पर पानी का आयनिक गुणनफल $10^{-14} \ mol^2 \ L^{-2}$ है। सही उत्तर है
कारण $(R)$: $25^{\circ} C$ पर पानी का आयनिक गुणनफल $10^{-14} \ mol^2 \ L^{-2}$ है। सही उत्तर है
A
$(A)$ और $(R)$ दोनों सत्य हैं और $(R)$,$(A)$ की सही व्याख्या है
B
$(A)$ और $(R)$ दोनों सत्य हैं और $(R)$,$(A)$ की सही व्याख्या नहीं है
C
$(A)$ सत्य है लेकिन $(R)$ असत्य है
D
$(A)$ असत्य है लेकिन $(R)$ सत्य है
Solution
(B) और $(R)$ दोनों सत्य कथन हैं,लेकिन $(R)$,$(A)$ की सही व्याख्या नहीं है।
बफर विलयन का $pH$,हेंडरसन-हैसेलबैक समीकरण द्वारा दिया जाता है:
$pH = pK_a + \log \frac{[\text{salt}]}{[\text{acid}]}$
जब लवण और अम्ल के मोल समान होते हैं,$[\text{salt}] = [\text{acid}]$,तो:
$pH = pK_a + \log(1) = pK_a = 4.8$.
अतः,$(A)$ सत्य है। $25^{\circ} C$ पर पानी का आयनिक गुणनफल $(K_w)$ वास्तव में $10^{-14} \ mol^2 \ L^{-2}$ है,जो $(R)$ को एक सत्य कथन बनाता है,लेकिन यह बफर के $pH$ की गणना की व्याख्या नहीं करता है।
बफर विलयन का $pH$,हेंडरसन-हैसेलबैक समीकरण द्वारा दिया जाता है:
$pH = pK_a + \log \frac{[\text{salt}]}{[\text{acid}]}$
जब लवण और अम्ल के मोल समान होते हैं,$[\text{salt}] = [\text{acid}]$,तो:
$pH = pK_a + \log(1) = pK_a = 4.8$.
अतः,$(A)$ सत्य है। $25^{\circ} C$ पर पानी का आयनिक गुणनफल $(K_w)$ वास्तव में $10^{-14} \ mol^2 \ L^{-2}$ है,जो $(R)$ को एक सत्य कथन बनाता है,लेकिन यह बफर के $pH$ की गणना की व्याख्या नहीं करता है।
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147
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एक वृत्ताकार प्लेट की त्रिज्या $0.01 \text{ cm/s}$ की दर से बढ़ रही है जब त्रिज्या $12 \text{ cm}$ है। तो,वह दर जिस पर क्षेत्रफल बढ़ता है,है
A
$0.24 \pi \text{ cm}^2/\text{s}$
B
$60 \pi \text{ cm}^2/\text{s}$
C
$24 \pi \text{ cm}^2/\text{s}$
D
$1.2 \pi \text{ cm}^2/\text{s}$
Solution
(A) त्रिज्या $r$ वाली वृत्ताकार प्लेट का क्षेत्रफल $A$,$A = \pi r^2$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t$ के सापेक्ष क्षेत्रफल में परिवर्तन की दर ज्ञात करने के लिए,हम दोनों पक्षों का $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dA}{dt} = \frac{d}{dt}(\pi r^2) = 2\pi r \frac{dr}{dt}$.
दिया गया है कि $\frac{dr}{dt} = 0.01 \text{ cm/s}$ और $r = 12 \text{ cm}$,इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dA}{dt} = 2 \pi (12) (0.01) = 0.24 \pi \text{ cm}^2/\text{s}$.
अतः,क्षेत्रफल $0.24 \pi \text{ cm}^2/\text{s}$ की दर से बढ़ता है।
समय $t$ के सापेक्ष क्षेत्रफल में परिवर्तन की दर ज्ञात करने के लिए,हम दोनों पक्षों का $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dA}{dt} = \frac{d}{dt}(\pi r^2) = 2\pi r \frac{dr}{dt}$.
दिया गया है कि $\frac{dr}{dt} = 0.01 \text{ cm/s}$ और $r = 12 \text{ cm}$,इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dA}{dt} = 2 \pi (12) (0.01) = 0.24 \pi \text{ cm}^2/\text{s}$.
अतः,क्षेत्रफल $0.24 \pi \text{ cm}^2/\text{s}$ की दर से बढ़ता है।
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148
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ऊपर की ओर फेंके गए एक पत्थर की गति का समीकरण $s = 490t - 4.9t^2$ है। तो इसके द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई क्या है?
A
$24500$
B
$12500$
C
$12250$
D
$25400$
Solution
(C) दिया गया गति का समीकरण: $s = 490t - 4.9t^2$.
अधिकतम ऊँचाई ज्ञात करने के लिए,हम $s$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करके वेग $v = \frac{ds}{dt}$ प्राप्त करते हैं।
$\frac{ds}{dt} = 490 - 9.8t$.
अधिकतम ऊँचाई पर वेग शून्य होता है,इसलिए $\frac{ds}{dt} = 0$ रखने पर।
$490 - 9.8t = 0$.
$t = \frac{490}{9.8} = 50 \text{ सेकंड}$.
अब,अधिकतम ऊँचाई $s$ ज्ञात करने के लिए मूल समीकरण में $t = 50$ का मान रखने पर।
$s = 490(50) - 4.9(50)^2$.
$s = 24500 - 4.9(2500)$.
$s = 24500 - 12250$.
$s = 12250$.
अधिकतम ऊँचाई ज्ञात करने के लिए,हम $s$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करके वेग $v = \frac{ds}{dt}$ प्राप्त करते हैं।
$\frac{ds}{dt} = 490 - 9.8t$.
अधिकतम ऊँचाई पर वेग शून्य होता है,इसलिए $\frac{ds}{dt} = 0$ रखने पर।
$490 - 9.8t = 0$.
$t = \frac{490}{9.8} = 50 \text{ सेकंड}$.
अब,अधिकतम ऊँचाई $s$ ज्ञात करने के लिए मूल समीकरण में $t = 50$ का मान रखने पर।
$s = 490(50) - 4.9(50)^2$.
$s = 24500 - 4.9(2500)$.
$s = 24500 - 12250$.
$s = 12250$.
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149
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यदि $x$ वास्तविक है,तो $\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}$ का न्यूनतम मान है
A
$\frac{1}{3}$
B
$3$
C
$\frac{1}{2}$
D
$2$
Solution
(A) माना $f(x) = \frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}$ ... $(i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f'(x) = \frac{(x^2+x+1)(2x-1) - (x^2-x+1)(2x+1)}{(x^2+x+1)^2}$
उच्चतम या न्यूनतम मान के लिए,$f'(x) = 0$ रखें:
$(x^2+x+1)(2x-1) - (x^2-x+1)(2x+1) = 0$
$(2x^3 - x^2 + 2x^2 - x + 2x - 1) - (2x^3 + x^2 - 2x^2 - x + 2x + 1) = 0$
$(2x^3 + x^2 + x - 1) - (2x^3 - x^2 + x + 1) = 0$
$2x^2 - 2 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$
अब,हम $x = 1$ और $x = -1$ के लिए मानों की जाँच करते हैं।
$x = 1$ पर,$f(1) = \frac{1-1+1}{1+1+1} = \frac{1}{3}$.
$x = -1$ पर,$f(-1) = \frac{1+1+1}{1-1+1} = 3$.
अतः,न्यूनतम मान $\frac{1}{3}$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f'(x) = \frac{(x^2+x+1)(2x-1) - (x^2-x+1)(2x+1)}{(x^2+x+1)^2}$
उच्चतम या न्यूनतम मान के लिए,$f'(x) = 0$ रखें:
$(x^2+x+1)(2x-1) - (x^2-x+1)(2x+1) = 0$
$(2x^3 - x^2 + 2x^2 - x + 2x - 1) - (2x^3 + x^2 - 2x^2 - x + 2x + 1) = 0$
$(2x^3 + x^2 + x - 1) - (2x^3 - x^2 + x + 1) = 0$
$2x^2 - 2 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$
अब,हम $x = 1$ और $x = -1$ के लिए मानों की जाँच करते हैं।
$x = 1$ पर,$f(1) = \frac{1-1+1}{1+1+1} = \frac{1}{3}$.
$x = -1$ पर,$f(-1) = \frac{1+1+1}{1-1+1} = 3$.
अतः,न्यूनतम मान $\frac{1}{3}$ है।
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150
ChemistryMCQAP EAMCET · 2005
निम्नलिखित कथनों का अवलोकन करें:
$I$. यदि $dy + 2xy dx = 2e^{-x^2} dx$ है,तो $ye^{x^2} = 2x + c$ है।
$II$. यदि $ye^{-x^2} - 2x = c$ है,तो $dx = (2e^{-x^2} - 2xy) dy$ है।
निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?
$I$. यदि $dy + 2xy dx = 2e^{-x^2} dx$ है,तो $ye^{x^2} = 2x + c$ है।
$II$. यदि $ye^{-x^2} - 2x = c$ है,तो $dx = (2e^{-x^2} - 2xy) dy$ है।
निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?
A
$I$ और $II$ दोनों सही हैं
B
$I$ और $II$ दोनों में से कोई भी सही नहीं है
C
$I$ सही है,लेकिन $II$ गलत है
D
$I$ गलत है,लेकिन $II$ सही है
Solution
(C) $I$. दिया गया है $dy + 2xy dx = 2e^{-x^2} dx$.
$dx$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{dy}{dx} + 2xy = 2e^{-x^2}$.
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = 2x$ और $Q = 2e^{-x^2}$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P dx} = e^{\int 2x dx} = e^{x^2}$ है।
हल $y(IF) = \int Q(IF) dx + c$ है।
$y e^{x^2} = \int 2e^{-x^2} \cdot e^{x^2} dx + c = \int 2 dx + c = 2x + c$.
अतः,कथन $I$ सही है।
$II$. दिया गया है $y e^{-x^2} - 2x = c$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{d}{dx}(y e^{-x^2}) - 2 = 0$.
गुणन नियम का उपयोग करने पर: $e^{-x^2} \frac{dy}{dx} + y e^{-x^2}(-2x) - 2 = 0$.
$e^{-x^2} \frac{dy}{dx} = 2 + 2xy e^{-x^2}$.
$e^{x^2}$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{dy}{dx} = 2e^{x^2} + 2xy$.
यह दिए गए व्यंजक $dx = (2e^{-x^2} - 2xy) dy$ से मेल नहीं खाता है। अतः,कथन $II$ गलत है।
$dx$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{dy}{dx} + 2xy = 2e^{-x^2}$.
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = 2x$ और $Q = 2e^{-x^2}$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P dx} = e^{\int 2x dx} = e^{x^2}$ है।
हल $y(IF) = \int Q(IF) dx + c$ है।
$y e^{x^2} = \int 2e^{-x^2} \cdot e^{x^2} dx + c = \int 2 dx + c = 2x + c$.
अतः,कथन $I$ सही है।
$II$. दिया गया है $y e^{-x^2} - 2x = c$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{d}{dx}(y e^{-x^2}) - 2 = 0$.
गुणन नियम का उपयोग करने पर: $e^{-x^2} \frac{dy}{dx} + y e^{-x^2}(-2x) - 2 = 0$.
$e^{-x^2} \frac{dy}{dx} = 2 + 2xy e^{-x^2}$.
$e^{x^2}$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{dy}{dx} = 2e^{x^2} + 2xy$.
यह दिए गए व्यंजक $dx = (2e^{-x^2} - 2xy) dy$ से मेल नहीं खाता है। अतः,कथन $II$ गलत है।
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