AP EAMCET 2005 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) ફિશર-રિંગે પદ્ધતિમાં,ભેજ અને $CO_2$ મુક્ત હવાને લોખંડની નળીમાં $90 \% CaC_2 + 10 \% CaCl_2$ ના ગરમ મિશ્રણ $(800^{\circ} C)$ પરથી પસાર કરવામાં આવે છે.
નીચે મુજબની પ્રતિક્રિયાઓ થાય છે:
$CaC_2 + N_2 \xrightarrow{800^{\circ} C} CaCN_2 + C$
$2 C + O_2 \longrightarrow 2 CO$
$C + O_2 \longrightarrow CO_2$
$2 CaC_2 + 3 CO_2 \longrightarrow 2 CaCO_3 + 5 C$
$CuO + CO \longrightarrow Cu + CO_2$
અંતે,$CO_2$ વાયુને $KOH$ ના દ્રાવણ દ્વારા શોષી લેવામાં આવે છે,જેથી નિષ્ક્રિય વાયુઓનું મિશ્રણ પ્રાપ્ત થાય છે.

(C) ધારો કે $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n^2+n+1}{n!}$.
અંશને $2n(n-1) + 3n + 1$ તરીકે લખતા:
$S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n(n-1)}{n!} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3n}{n!} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!}$.
$S = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{2}{(n-2)!} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{(n-1)!} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!}$.
$e = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}$ શ્રેણીનો ઉપયોગ કરતા:
$S = 2e + 3e + (e-1) = 6e-1$.

(B) આપેલ છે કે $b = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{a^k}{k}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $-\ln(1-a) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{a^k}{k}$ જ્યાં $|a| < 1$ છે.
તેથી,$b = -\ln(1-a)$.
આનો અર્થ એ છે કે $e^{-b} = 1-a$,તેથી $a = 1 - e^{-b}$.
$e^{-b}$ માટે ટેલર શ્રેણીનો ઉપયોગ કરતા: $e^{-b} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-b)^k}{k!} = 1 - b + \frac{b^2}{2!} - \frac{b^3}{3!} + \dots$.
આ કિંમત $a$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$a = 1 - (1 - b + \frac{b^2}{2!} - \frac{b^3}{3!} + \dots) = b - \frac{b^2}{2!} + \frac{b^3}{3!} - \dots$.
આને $a = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1} b^k}{k!}$ તરીકે લખી શકાય છે.

(A) આપેલ રેખા $5x - 2y = 7$ છે. આ રેખાનો ઢાળ $m_1 = \frac{5}{2}$ છે.
આ રેખાને લંબ રેખાનો ઢાળ $m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{2}{5}$ થશે.
તેથી,જરૂરી રેખાનું સમીકરણ $2x + 5y = \lambda$ $(i)$ સ્વરૂપમાં હશે.
હવે,$2x + 3y = 1$ (ii) અને $3x + 4y = 6$ (iii) રેખાઓનું છેદબિંદુ શોધીએ.
(ii) ને $3$ વડે અને (iii) ને $2$ વડે ગુણતા:
$6x + 9y = 3$
$6x + 8y = 12$
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા,$y = -9$ મળે છે.
$y = -9$ ને (ii) માં મૂકતા: $2x + 3(-9) = 1$ $\Rightarrow 2x - 27 = 1$ $\Rightarrow 2x = 28$ $\Rightarrow x = 14$.
છેદબિંદુ $(14, -9)$ છે.
રેખા $(i)$ બિંદુ $(14, -9)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી:
$2(14) + 5(-9) = \lambda$
$28 - 45 = \lambda$
$\lambda = -17$.
$\lambda = -17$ ને $(i)$ માં મૂકતા,$2x + 5y = -17$ મળે,જે $2x + 5y + 17 = 0$ છે.

(C) ધારો કે $M$ ના યામ $(x_1, y_1)$ છે.
$PM$ એ રેખા $x+y=3$ ને લંબ હોવાથી,$PM$ નો ઢાળ આપેલી રેખાના ઢાળનો વ્યસ્ત અને વિરોધી થશે.
રેખા $x+y=3$ નો ઢાળ $-1$ છે,તેથી $PM$ નો ઢાળ $1$ થશે.
આમ,$\frac{y_1-3}{x_1-2} = 1$ $\Rightarrow y_1-3 = x_1-2$ $\Rightarrow x_1-y_1 = -1$ (સમીકરણ $i$).
$M(x_1, y_1)$ એ રેખા $x+y=3$ પર આવેલું હોવાથી,$x_1+y_1=3$ (સમીકરણ $ii$).
સમીકરણ $i$ અને $ii$ નો સરવાળો કરતા: $(x_1-y_1) + (x_1+y_1) = -1+3$ $\Rightarrow 2x_1 = 2$ $\Rightarrow x_1 = 1$.
$x_1=1$ ને સમીકરણ $ii$ માં મૂકતા: $1+y_1=3 \Rightarrow y_1=2$.
તેથી,$M$ ના યામ $(1, 2)$ છે.

(C) ધારો કે $P$ ના યામ $(x, y)$ છે. આપેલ શરત મુજબ,$P(x, y)$ થી $A(1, 1)$ નું અંતર અને $P(x, y)$ થી રેખા $x+y+2=0$ નું અંતર સમાન છે.
$\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2} = \frac{|x+y+2|}{\sqrt{1^2+1^2}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે:
$(x-1)^2+(y-1)^2 = \frac{(x+y+2)^2}{2}$
$2(x^2-2x+1+y^2-2y+1) = x^2+y^2+4+2xy+4x+4y$
$2x^2+2y^2-4x-4y+4 = x^2+y^2+2xy+4x+4y+4$
$x^2+y^2-2xy-8x-8y = 0$
આ સમીકરણ $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ સ્વરૂપનું છે જ્યાં $h^2-ab = (-1)^2 - (1)(1) = 0$. કારણ કે $h^2=ab$ અને બિંદુ $A$ એ રેખા $x+y+2=0$ પર નથી,તેથી બિંદુપથ એક પરવલય દર્શાવે છે.

(B) આપેલ ધ્રુવીય સમીકરણ $\theta = \tan^{-1} 2$ છે.
બંને બાજુ ટેન્જન્ટ લેતા,આપણને $\tan \theta = 2$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કાર્તેઝિયન યામમાં,$\tan \theta = \frac{y}{x}$ થાય છે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\frac{y}{x} = 2$ મળે છે.
તેથી,$y = 2x$.

(B) આપેલ રેખાયુગ્મનું સમીકરણ: $12x^2+25xy+12y^2+10x+11y+2=0$ ... $(i)$
પ્રથમ,સમીકરણ $(i)$ ના સજાતીય ભાગને ધ્યાનમાં લેતા:
$12x^2+25xy+12y^2 = 0$
$\Rightarrow (3x+4y)(4x+3y) = 0$
ધારો કે રેખાઓ $(3x+4y+c_1)(4x+3y+c_2) = 0$ દ્વારા દર્શાવેલ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા:
$12x^2+25xy+12y^2+(4c_1+3c_2)x+(3c_1+4c_2)y+c_1c_2 = 0$
સમીકરણ $(i)$ સાથે સરખાવતા:
$4c_1+3c_2 = 10$ ... (ii)
$3c_1+4c_2 = 11$ ... (iii)
$c_1c_2 = 2$ ... (iv)
(ii) અને (iii) ઉકેલતા:
(ii) અને (iii) નો સરવાળો કરતા: $7(c_1+c_2) = 21 \Rightarrow c_1+c_2 = 3$
(iii) ને (ii) માંથી બાદ કરતા: $c_1-c_2 = -1$
આ બંનેનો સરવાળો કરતા: $2c_1 = 2 \Rightarrow c_1 = 1$. તેથી $c_2 = 2$.
ચકાસણી: $c_1c_2 = 1 \times 2 = 2$,જે (iv) નું પાલન કરે છે.
રેખાઓ $3x+4y+1=0$ અને $4x+3y+2=0$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી આ રેખાઓ પરના લંબ અંતર:
$p_1 = \frac{|0+0+1|}{\sqrt{3^2+4^2}} = \frac{1}{5}$
$p_2 = \frac{|0+0+2|}{\sqrt{4^2+3^2}} = \frac{2}{5}$
અંતરનો ગુણાકાર $p_1 \cdot p_2 = \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{25}$.

(C) ધારો કે આપેલ વર્તુળો $S_1 \equiv x^2+y^2+2x+3y+2=0$ અને $S_2 \equiv x^2+y^2+2x-3y-4=0$ છે.
સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે.
$(x^2+y^2+2x+3y+2) - (x^2+y^2+2x-3y-4) = 0$
$6y + 6 = 0 \Rightarrow y = -1$.
$y = -1$ ને $S_1$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$x^2 + (-1)^2 + 2x + 3(-1) + 2 = 0$
$x^2 + 1 + 2x - 3 + 2 = 0$
$x^2 + 2x = 0$ $\Rightarrow x(x+2) = 0$ $\Rightarrow x = 0, -2$.
વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(0, -1)$ અને $(-2, -1)$ છે.
વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ હોય તેવા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ છે.
$(x-0)(x-(-2)) + (y-(-1))(y-(-1)) = 0$
$x(x+2) + (y+1)^2 = 0$
$x^2 + 2x + y^2 + 2y + 1 = 0$
$x^2 + y^2 + 2x + 2y + 1 = 0$.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$x-y+1=0 \implies y=x+1$ $(i)$
$x^2+y^2+y-1=0$ (ii)
$(i)$ ને (ii) માં મૂકતા:
$x^2+(x+1)^2+(x+1)-1=0$
$x^2+x^2+2x+1+x=0$
$2x^2+3x+1=0$
$(2x+1)(x+1)=0$
તેથી,$x=-\frac{1}{2}$ અથવા $x=-1$.
$x=-\frac{1}{2}$ માટે,$y=-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}$. બિંદુ $A$ એ $(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ છે.
$x=-1$ માટે,$y=-1+1=0$. બિંદુ $B$ એ $(-1, 0)$ છે.
વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ હોય તેવા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0$ છે.
$(x+\frac{1}{2})(x+1)+(y-\frac{1}{2})(y-0)=0$
$(x+\frac{1}{2})(x+1)+y(y-\frac{1}{2})=0$
$2$ વડે ગુણતા:
$(2x+1)(x+1)+2y(y-\frac{1}{2})=0$
$2x^2+2x+x+1+2y^2-y=0$
$2(x^2+y^2)+3x-y+1=0$.

(A) રેખા $y-3x=0$ એ વર્તુળનો સ્પર્શક છે. ત્રિજ્યા $r$ એ કેન્દ્ર $(1,1)$ થી રેખા $3x-y=0$ સુધીનું લંબ અંતર છે.
$r = \frac{|3(1) - 1(1)|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{|3-1|}{\sqrt{9+1}} = \frac{2}{\sqrt{10}}$.
ધારો કે ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થતો બીજો સ્પર્શક $y=mx$ છે,એટલે કે $mx-y=0$.
કેન્દ્ર $(1,1)$ થી આ રેખાનું લંબ અંતર પણ ત્રિજ્યા $r$ જેટલું જ હોવું જોઈએ.
$\frac{|m(1) - 1(1)|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{2}{\sqrt{10}}$
$\frac{|m-1|}{\sqrt{m^2+1}} = \frac{2}{\sqrt{10}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{(m-1)^2}{m^2+1} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$
$5(m^2 - 2m + 1) = 2(m^2 + 1)$
$5m^2 - 10m + 5 = 2m^2 + 2$
$3m^2 - 10m + 3 = 0$
$3m^2 - 9m - m + 3 = 0$
$3m(m-3) - 1(m-3) = 0$
$(3m-1)(m-3) = 0$
આમ,$m=3$ અથવા $m=\frac{1}{3}$.
$m=3$ એ આપેલ સ્પર્શક $y=3x$ છે. તેથી બીજો સ્પર્શક $y=\frac{1}{3}x$ છે,જે $3y=x$ થાય.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ શોધવા માટે,આપણે ધ્રુવીય સમીકરણોને કાર્તેઝિયન યામમાં ફેરવીએ છીએ,જ્યાં $x = r \cos \theta$,$y = r \sin \theta$ અને $r^2 = x^2 + y^2$ છે.
વિકલ્પ $A$ માટે: $r = 2 \sin \theta$
બંને બાજુ $r$ વડે ગુણતા: $r^2 = 2r \sin \theta$
$r^2 = x^2 + y^2$ અને $y = r \sin \theta$ મૂકતા:
$x^2 + y^2 = 2y$
$x^2 + y^2 - 2y = 0$
આ એક વર્તુળનું સમીકરણ છે જેનું કેન્દ્ર $(0, 1)$ અને ત્રિજ્યા $1$ છે.

(B) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $y^2=4ax$ છે.
ધારો કે રેખાનું સમીકરણ $y=mx+c$ છે.
જો આ રેખા પરવલયને સ્પર્શતી હોય,તો સ્પર્શકની શરત $c = \frac{a}{m}$ છે.
આ કિંમત રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા,$y = mx + \frac{a}{m}$ મળે.
$m$ વડે ગુણતા,$my = m^2x + a$ મળે.
$m$ ને $\frac{1}{m}$ વડે બદલતા,આપણને $x - my + am^2 = 0$ મળે છે.

(A) ધારો કે $P(x, y)$ એ પરવલય પરનું કોઈપણ બિંદુ છે.
પરવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,બિંદુ $P$ થી નાભિ $S(1, 0)$ નું અંતર એ બિંદુ $P$ થી નિયામિકા $x+2y-1=0$ ના લંબ અંતર જેટલું હોય છે.
$PS = PM$
$\sqrt{(x-1)^2 + (y-0)^2} = \frac{|x+2y-1|}{\sqrt{1^2+2^2}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(x-1)^2 + y^2 = \frac{(x+2y-1)^2}{5}$
$5(x^2 - 2x + 1 + y^2) = x^2 + 4y^2 + 1 + 4xy - 2x - 4y$
$5x^2 - 10x + 5 + 5y^2 = x^2 + 4y^2 + 4xy - 2x - 4y + 1$
$4x^2 - 4xy + y^2 - 8x + 4y + 4 = 0$

(B) આપણી પાસે મલ્ટિનોમિયલ વિસ્તરણનું સૂત્ર છે:
$(xy+yz+zx)^6 = \sum_{r+s+t=6} \frac{6!}{r!s!t!} (xy)^r (yz)^s (zx)^t$
$= \sum_{r+s+t=6} \frac{6!}{r!s!t!} x^{r+t} y^{r+s} z^{s+t}$
$x^3 y^4 z^5$ પદ માટે,ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$r+t = 3$
$r+s = 4$
$s+t = 5$
આ સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2(r+s+t) = 12$,તેથી $r+s+t = 6$.
ઉકેલતા:
$s = 6 - 3 = 3$
$t = 6 - 4 = 2$
$r = 6 - 5 = 1$
સહગુણક $\frac{6!}{1!3!2!} = \frac{720}{12} = 60$ થાય.

(D) આપણી પાસે પદાવલિ $\frac{1+2x}{(1-2x)^2} = (1+2x)(1-2x)^{-2}$ છે.
ઋણ ઘાતાંક માટે દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,$(1-y)^{-n} = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{n+k-1}{k} y^k$.
$(1-2x)^{-2}$ માટે,$n=2$ અને $y=2x$ લેતા,$(1-2x)^{-2} = \sum_{k=0}^{\infty} (k+1) 2^k x^k$ મળે.
હવે,$(1+2x)$ વડે ગુણતા:
$(1+2x) \sum_{k=0}^{\infty} (k+1) 2^k x^k = \sum_{k=0}^{\infty} (k+1) 2^k x^k + \sum_{k=0}^{\infty} 2(k+1) 2^k x^{k+1}$.
$x^r$ નો સહગુણક શોધવા માટે,પ્રથમ સરવાળામાંથી $k=r$ વાળું પદ અને બીજા સરવાળામાંથી $k+1=r$ (એટલે કે $k=r-1$) વાળું પદ લેતા:
$x^r$ નો સહગુણક $= (r+1) 2^r + 2((r-1)+1) 2^{r-1}$.
$= (r+1) 2^r + 2(r) 2^{r-1} = (r+1) 2^r + r 2^r$.
$= (r+1+r) 2^r = (2r+1) 2^r$.

(C) આપેલ છે કે $(1+x)^{15} = \sum_{r=0}^{15} {}^{15}C_r x^r = a_0 + a_1 x + \ldots + a_{15} x^{15}$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,$a_r = {}^{15}C_r$ મળે છે.
આપણે $\sum_{r=1}^{15} r \frac{a_r}{a_{r-1}}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
ગુણધર્મ $\frac{{}^{n}C_r}{{}^{n}C_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{a_r}{a_{r-1}} = \frac{15-r+1}{r} = \frac{16-r}{r}$ મળે.
તેથી,$r \frac{a_r}{a_{r-1}} = r \cdot \frac{16-r}{r} = 16-r$.
આમ,$\sum_{r=1}^{15} (16-r) = (16-1) + (16-2) + \ldots + (16-15) = 15 + 14 + \ldots + 1$.
આ પ્રથમ $15$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો છે: $\frac{15(15+1)}{2} = \frac{15 \times 16}{2} = 15 \times 8 = 120$.

(B) આ લક્ષની કિંમત શોધવા માટે આપણે સ્ક્વીઝ પ્રમેય (Squeeze Theorem) નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આપણે જાણીએ છીએ કે તમામ $x \neq 0$ માટે,$-1 \leq \sin \left(\frac{\pi}{x}\right) \leq 1$ થાય.
અસમતાને $x^2$ વડે ગુણતા (કારણ કે $x \neq 0$ માટે $x^2 > 0$ છે),આપણને મળે:
$-x^2 \leq x^2 \sin \left(\frac{\pi}{x}\right) \leq x^2$.
હવે,બંને બાજુ $x \rightarrow 0$ લેતા:
$\lim _{x \rightarrow 0} (-x^2) \leq \lim _{x \rightarrow 0} x^2 \sin \left(\frac{\pi}{x}\right) \leq \lim _{x \rightarrow 0} x^2$.
કારણ કે $\lim _{x \rightarrow 0} (-x^2) = 0$ અને $\lim _{x \rightarrow 0} x^2 = 0$,સ્ક્વીઝ પ્રમેય મુજબ:
$\lim _{x \rightarrow 0} x^2 \sin \left(\frac{\pi}{x}\right) = 0$.

(B) આપેલ છે કે $\frac{\tan 3A}{\tan A} = a$.
સૂત્ર $\tan 3A = \frac{3\tan A - \tan^3 A}{1 - 3\tan^2 A}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{3\tan A - \tan^3 A}{\tan A(1 - 3\tan^2 A)} = a$
$\Rightarrow \frac{3 - \tan^2 A}{1 - 3\tan^2 A} = a$
$\Rightarrow 3 - \tan^2 A = a - 3a\tan^2 A$
$\Rightarrow \tan^2 A(3a - 1) = a - 3$
$\Rightarrow \tan^2 A = \frac{a - 3}{3a - 1}$
હવે,$\frac{\sin 3A}{\sin A} = \frac{3\sin A - 4\sin^3 A}{\sin A} = 3 - 4\sin^2 A$.
$\sin^2 A = \frac{\tan^2 A}{1 + \tan^2 A}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin^2 A = \frac{\frac{a-3}{3a-1}}{1 + \frac{a-3}{3a-1}} = \frac{a-3}{3a-1+a-3} = \frac{a-3}{4a-4} = \frac{a-3}{4(a-1)}$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{\sin 3A}{\sin A} = 3 - 4\left(\frac{a-3}{4(a-1)}\right) = 3 - \frac{a-3}{a-1}$
$= \frac{3(a-1) - (a-3)}{a-1} = \frac{3a - 3 - a + 3}{a-1} = \frac{2a}{a-1}$.

(D) આપેલ છે કે $A+C=2B$ ... $(i)$
આપણે પદાવલિનું મૂલ્યાંકન કરવાની જરૂર છે:
$\frac{\cos C-\cos A}{\sin A-\sin C}$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos C - \cos A = 2 \sin \left(\frac{A+C}{2}\right) \sin \left(\frac{A-C}{2}\right)$
$\sin A - \sin C = 2 \cos \left(\frac{A+C}{2}\right) \sin \left(\frac{A-C}{2}\right)$
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{2 \sin \left(\frac{A+C}{2}\right) \sin \left(\frac{A-C}{2}\right)}{2 \cos \left(\frac{A+C}{2}\right) \sin \left(\frac{A-C}{2}\right)}$
સામાન્ય પદો $2$ અને $\sin \left(\frac{A-C}{2}\right)$ ને દૂર કરતા:
$= \frac{\sin \left(\frac{A+C}{2}\right)}{\cos \left(\frac{A+C}{2}\right)}$
કારણ કે $A+C=2B$,તેથી $\frac{A+C}{2} = B$ મળે:
$= \frac{\sin B}{\cos B} = \tan B$

(A) આપેલ છે કે $A+B=C$.
આપણે પદાવલિ $E = \cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C - 2 \cos A \cos B \cos C$ ની કિંમત શોધવાની છે.
નિત્યસમ $\cos^2 \theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{1+\cos 2A}{2} + \frac{1+\cos 2B}{2} + \cos^2 C - 2 \cos A \cos B \cos C$
$E = 1 + \frac{1}{2}(\cos 2A + \cos 2B) + \cos^2 C - 2 \cos A \cos B \cos C$
$\cos 2A + \cos 2B = 2 \cos(A+B) \cos(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = 1 + \cos(A+B) \cos(A-B) + \cos^2 C - 2 \cos A \cos B \cos C$
$A+B=C$ હોવાથી,$\cos(A+B) = \cos C$:
$E = 1 + \cos C \cos(A-B) + \cos^2 C - 2 \cos A \cos B \cos C$
$E = 1 + \cos C [\cos(A-B) + \cos C] - 2 \cos A \cos B \cos C$
$C = A+B$ હોવાથી,$\cos C = \cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$:
$E = 1 + \cos C [\cos(A-B) + \cos(A+B)] - 2 \cos A \cos B \cos C$
$\cos(A-B) + \cos(A+B) = 2 \cos A \cos B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = 1 + \cos C [2 \cos A \cos B] - 2 \cos A \cos B \cos C$
$E = 1 + 2 \cos A \cos B \cos C - 2 \cos A \cos B \cos C = 1$.

(A) પ્રક્ષેપણ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $c \cos C + b \cos B = a$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$a(\cos^2 B + \cos^2 C) + a \cos A$
$= a(\cos^2 B + \cos^2 C + \cos A)$
અહીં $A + B + C = \pi$ હોવાથી,$\cos A = -\cos(B + C)$.
આમ,પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા જવાબ $a$ મળે છે.

(D) આપણે નેપિયરના સામ્યનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\tan \left(\frac{B-C}{2}\right) = \frac{b-c}{b+c} \cot \frac{A}{2}$.
આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકતા:
$(b+c) \tan \frac{A}{2} \tan \left(\frac{B-C}{2}\right) = (b+c) \tan \frac{A}{2} \left[ \frac{b-c}{b+c} \cot \frac{A}{2} \right]$.
કારણ કે $\tan \frac{A}{2} \cot \frac{A}{2} = 1$,તેથી પદાવલિ $(b-c)$ માં સરળ બને છે.
હવે,ચક્રીય ક્રમમાં સરવાળો કરતા:
$\Sigma(b-c) = (b-c) + (c-a) + (a-b) = 0$.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^2-5x+6=0$ છે. \\ $x$ માટે ઉકેલતા: $(x-3)(x-2)=0$,જે $x=3$ અને $x=2$ આપે છે. \\ ધારો કે બે બાજુઓ $a=3$ અને $b=2$ છે,અને તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $C=\frac{\pi}{3}$ છે. \\ કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$. \\ કિંમતો મૂકતા: $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{3^2+2^2-c^2}{2 \times 3 \times 2}$. \\ $\frac{1}{2} = \frac{9+4-c^2}{12} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{13-c^2}{12}$. \\ $6 = 13-c^2$ $\Rightarrow c^2 = 7$ $\Rightarrow c = \sqrt{7}$. \\ ત્રિકોણની પરિમિતિ $a+b+c = 3+2+\sqrt{7} = 5+\sqrt{7}$ છે.

(D) આપેલ છે કે,$m \begin{bmatrix} -3 & 4 \end{bmatrix} + n \begin{bmatrix} 4 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 & -11 \end{bmatrix}$
અદિશ $m$ અને $n$ નો શ્રેણિક સાથે ગુણાકાર કરતા:
$\begin{bmatrix} -3m & 4m \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 4n & -3n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 & -11 \end{bmatrix}$
શ્રેણિકોનો સરવાળો કરતા:
$\begin{bmatrix} -3m + 4n & 4m - 3n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 & -11 \end{bmatrix}$
અનુરૂપ ઘટકોને સરખાવતા,આપણને નીચે મુજબના સુરેખ સમીકરણો મળે છે:
$-3m + 4n = 10 \quad \dots (i)$
$4m - 3n = -11 \quad \dots (ii)$
આ સમીકરણોને ઉકેલવા માટે,સમીકરણ $(i)$ ને $3$ વડે અને સમીકરણ $(ii)$ ને $4$ વડે ગુણતા:
$-9m + 12n = 30 \quad \dots (iii)$
$16m - 12n = -44 \quad \dots (iv)$
સમીકરણ $(iii)$ અને $(iv)$ નો સરવાળો કરતા:
$7m = -14 \Rightarrow m = -2$
$m = -2$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$-3(-2) + 4n = 10 \Rightarrow 6 + 4n = 10 \Rightarrow 4n = 4 \Rightarrow n = 1$
હવે,$3m + 7n$ ની કિંમત શોધીએ:
$3m + 7n = 3(-2) + 7(1) = -6 + 7 = 1$

(A) આપેલ છે કે,$A = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$.
સૌ પ્રથમ,આપણે $A^2$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^2 = A \cdot A = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (-1)(-1) + (0)(0) & (-1)(0) + (0)(2) \\ (0)(-1) + (2)(0) & (0)(0) + (2)(2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$.
ત્યારબાદ,આપણે $A^3$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1)(-1) + (0)(0) & (1)(0) + (0)(2) \\ (0)(-1) + (4)(0) & (0)(0) + (4)(2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 8 \end{bmatrix}$.
હવે,$A^3 - A^2$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^3 - A^2 = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 8 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 - 1 & 0 - 0 \\ 0 - 0 & 8 - 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$.
આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $2A = 2 \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$.
તેથી,$A^3 - A^2 = 2A$.

(C) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 1 & -2 \\ 0 & 2 & 1 \end{bmatrix}$. શ્રેણિકનો એડજોઈન્ટ (adj) એ કોફેક્ટર શ્રેણિકનો ટ્રાન્સપોઝ છે,એટલે કે $\operatorname{adj}(A) = [C_{ij}]^T$.
કોફેક્ટર્સ $C_{ij}$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$C_{11} = + \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 - (-4) = 5$
$C_{12} = - \begin{vmatrix} -1 & -2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -(-1 - 0) = 1$
$C_{13} = + \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = -2 - 0 = -2$
$C_{21} = - \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -(0 - 4) = 4$
$C_{22} = + \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 0 = 1$
$C_{23} = - \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = -(2 - 0) = -2$
$C_{31} = + \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = 0 - 2 = -2$
$C_{32} = - \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -2 \end{vmatrix} = -(-2 - (-2)) = 0$
$C_{33} = + \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 0 = 1$
કોફેક્ટર શ્રેણિક $\begin{bmatrix} 5 & 1 & -2 \\ 4 & 1 & -2 \\ -2 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ છે.
તેનો ટ્રાન્સપોઝ લેતા,આપણને $\operatorname{adj}(A) = \begin{bmatrix} 5 & 4 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \\ -2 & -2 & 1 \end{bmatrix}$ મળે છે.
આને આપેલ શ્રેણિક $\begin{bmatrix} 5 & a & -2 \\ 1 & 1 & 0 \\ -2 & -2 & b \end{bmatrix}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 4$ અને $b = 1$ મળે છે.
તેથી,$\begin{bmatrix} a & b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 1 \end{bmatrix}$.

(C) આપણે નિત્યસમ $2 \tanh^{-1} x = \tanh^{-1} \left( \frac{2x}{1+x^2} \right)$ નો ઉપયોગ કરીશું.
$x = \frac{1}{2}$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$2 \tanh^{-1} \left( \frac{1}{2} \right) = \tanh^{-1} \left( \frac{2 \cdot \frac{1}{2}}{1 + (\frac{1}{2})^2} \right) = \tanh^{-1} \left( \frac{1}{1 + \frac{1}{4}} \right) = \tanh^{-1} \left( \frac{1}{\frac{5}{4}} \right) = \tanh^{-1} \left( \frac{4}{5} \right)$.
હવે,આપણે લઘુગણકીય સ્વરૂપ $\tanh^{-1} x = \frac{1}{2} \log \left( \frac{1+x}{1-x} \right)$ નો ઉપયોગ કરીશું.
$x = \frac{4}{5}$ મૂકતા:
$\tanh^{-1} \left( \frac{4}{5} \right) = \frac{1}{2} \log \left( \frac{1 + \frac{4}{5}}{1 - \frac{4}{5}} \right) = \frac{1}{2} \log \left( \frac{\frac{9}{5}}{\frac{1}{5}} \right) = \frac{1}{2} \log 9 = \frac{1}{2} \log 3^2 = \log 3$.

(C) આપેલ પદાવલિ: $\sin ^{-1} \frac{4}{5} + 2 \tan ^{-1} \frac{1}{3}$.
પ્રથમ,સૂત્ર $2 \tan ^{-1} x = \tan ^{-1} \frac{2x}{1-x^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \tan ^{-1} \frac{1}{3} = \tan ^{-1} \frac{2(1/3)}{1-(1/3)^2} = \tan ^{-1} \frac{2/3}{1-1/9} = \tan ^{-1} \frac{2/3}{8/9} = \tan ^{-1} \left( \frac{2}{3} \times \frac{9}{8} \right) = \tan ^{-1} \frac{3}{4}$.
હવે,પદાવલિ $\sin ^{-1} \frac{4}{5} + \tan ^{-1} \frac{3}{4}$ બને છે.
ધારો કે $\tan ^{-1} \frac{3}{4} = \theta$,તો $\tan \theta = \frac{3}{4}$,જેનો અર્થ છે કે $\sin \theta = \frac{3}{5}$ અને $\cos \theta = \frac{4}{5}$.
તેથી,$\tan ^{-1} \frac{3}{4} = \cos ^{-1} \frac{4}{5}$.
આ કિંમત મૂકતા,આપણને $\sin ^{-1} \frac{4}{5} + \cos ^{-1} \frac{4}{5}$ મળે છે.
નિત્યસમ $\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,જવાબ $\frac{\pi}{2}$ મળે છે.

(B) પદાવલિ $f(x) = x - |x|$ ધ્યાનમાં લો.
કિસ્સો $1$: જો $x \geq 0$ હોય,તો $|x| = x$. તેથી,$f(x) = x - x = 0$.
કિસ્સો $2$: જો $x < 0$ હોય,તો $|x| = -x$. તેથી,$f(x) = x - (-x) = 2x$.
કારણ કે $x < 0$ છે,તેથી $2x < 0$ થાય.
આમ,$x - |x|$ ની કિંમત કાં તો $0$ ($x \geq 0$ માટે) અથવા ઋણ સંખ્યા ($x < 0$ માટે) મળે છે.
તે ક્યારેય $5$ ના બરાબર હોઈ શકે નહીં.
તેથી,ગણ $\{x \in R : [x - |x|] = 5\}$ એ ખાલી ગણ છે,જેને $\phi$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે.

(A) આપેલ છે કે $x = \frac{1}{2} \left( \sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{3+1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{4}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
તેથી $x^2 = \left( \frac{2}{\sqrt{3}} \right)^2 = \frac{4}{3}$.
હવે,$x^2 - 1 = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$.
તેથી,$\sqrt{x^2 - 1} = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આ કિંમતોને પદાવલિ $\frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x - \sqrt{x^2 - 1}}$ માં મૂકતા:
$= \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{\frac{2}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 1$.

(A) આપેલ પદાવલિ: $\frac{x^3}{(2 x-1)(x+2)(x-3)} = A+\frac{B}{2 x-1}+\frac{C}{x+2}+\frac{D}{x-3}$.
સૌ પ્રથમ,છેદનું વિસ્તરણ કરતા: $(2x-1)(x+2)(x-3) = (2x-1)(x^2-x-6) = 2x^3 - 3x^2 - 11x + 6$.
અહીં અંશની ઘાત $(3)$ અને છેદની ઘાત $(3)$ સમાન હોવાથી,અચળ $A$ મેળવવા માટે આપણે બહુપદીનો ભાગાકાર કરીશું.
$x^3$ ને $2x^3 - 3x^2 - 11x + 6$ વડે ભાગતા:
$\frac{x^3}{2x^3 - 3x^2 - 11x + 6} = \frac{1}{2} \left( \frac{2x^3}{2x^3 - 3x^2 - 11x + 6} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{2x^3 - 3x^2 - 11x + 6 + 3x^2 + 11x - 6}{2x^3 - 3x^2 - 11x + 6} \right) = \frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{2}x^2 + \frac{11}{2}x - 3}{(2x-1)(x+2)(x-3)}$.
આપેલ સ્વરૂપ $A+\frac{B}{2 x-1}+\frac{C}{x+2}+\frac{D}{x-3}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A = \frac{1}{2}$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{x+2}{x^2+3x+2} = \frac{x+2}{(x+2)(x+1)} = \frac{1}{x+1}$ જ્યાં $x \neq -1, -2$.
$x = -2$ માટે,$f(-2) = -1$.
$x = -2$ આગળ સાતત્ય ચકાસતા:
$\lim_{x \rightarrow -2} f(x) = \lim_{x \rightarrow -2} \frac{1}{x+1} = \frac{1}{-2+1} = -1$.
અહીં $\lim_{x \rightarrow -2} f(x) = f(-2) = -1$ હોવાથી,$f$ એ $x = -2$ આગળ સતત છે.
$x = -1$ આગળ સાતત્ય ચકાસતા:
$\lim_{x \rightarrow -1^+} f(x) = \lim_{x \rightarrow -1^+} \frac{1}{x+1} = \infty$ અને $\lim_{x \rightarrow -1^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow -1^-} \frac{1}{x+1} = -\infty$.
અહીં $x = -1$ આગળ લક્ષનું અસ્તિત્વ નથી,તેથી $f$ એ $x = -1$ આગળ અસતત છે.
આમ,$f$ એ $R-\{-1\}$ પર સતત છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x)$ એ યુગ્મ વિધેય છે,વ્યાખ્યા મુજબ $f(x) = f(-x)$ દરેક $x \in R$ માટે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને $f^{\prime}(x) = -f^{\prime}(-x)$ મળે છે.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $f^{\prime \prime}(x) = f^{\prime \prime}(-x)$ મળે છે.
આ દર્શાવે છે કે યુગ્મ વિધેયનું દ્વિતીય વિકલિત પણ યુગ્મ વિધેય જ હોય છે.
કારણ કે $f^{\prime \prime}(x)$ એ યુગ્મ વિધેય છે,તેથી $f^{\prime \prime}(-\pi) = f^{\prime \prime}(\pi)$.
આપેલ છે કે $f^{\prime \prime}(\pi) = 1$,તેથી $f^{\prime \prime}(-\pi) = 1$ થાય.

(A) આપેલ છે કે $u = \sin^{-1}\left(\frac{x}{y}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)$.
પ્રથમ,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં આંશિક વિકલન મેળવીએ:
$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{1}{\sqrt{1 - (x/y)^2}} \cdot \frac{1}{y} + \frac{1}{1 + (y/x)^2} \cdot \left(-\frac{y}{x^2}\right)$
$= \frac{1}{\sqrt{(y^2 - x^2)/y^2}} \cdot \frac{1}{y} - \frac{x^2}{x^2 + y^2} \cdot \frac{y}{x^2}$
$= \frac{y}{\sqrt{y^2 - x^2}} \cdot \frac{1}{y} - \frac{y}{x^2 + y^2} = \frac{1}{\sqrt{y^2 - x^2}} - \frac{y}{x^2 + y^2}$
$x$ વડે ગુણતા,આપણને મળે:
$x \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{y^2 - x^2}} - \frac{xy}{x^2 + y^2} \quad \dots(i)$
હવે,આપણે $y$ ની સાપેક્ષમાં આંશિક વિકલન મેળવીએ:
$\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{1}{\sqrt{1 - (x/y)^2}} \cdot \left(-\frac{x}{y^2}\right) + \frac{1}{1 + (y/x)^2} \cdot \left(\frac{1}{x}\right)$
$= \frac{y}{\sqrt{y^2 - x^2}} \cdot \left(-\frac{x}{y^2}\right) + \frac{x^2}{x^2 + y^2} \cdot \frac{1}{x}$
$= -\frac{x}{y \sqrt{y^2 - x^2}} + \frac{x}{x^2 + y^2}$
$y$ વડે ગુણતા,આપણને મળે:
$y \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{x}{\sqrt{y^2 - x^2}} + \frac{xy}{x^2 + y^2} \quad \dots(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$x \frac{\partial u}{\partial x} + y \frac{\partial u}{\partial y} = \left(\frac{x}{\sqrt{y^2 - x^2}} - \frac{xy}{x^2 + y^2}\right) + \left(-\frac{x}{\sqrt{y^2 - x^2}} + \frac{xy}{x^2 + y^2}\right) = 0$.

(A) વિધાન $I$ માટે:
$f(x) = a x^{41} + b x^{-40}$
$f^{\prime}(x) = 41 a x^{40} - 40 b x^{-41}$
$f^{\prime \prime}(x) = 41 \times 40 a x^{39} + 40 \times 41 b x^{-42} = 1640 a x^{39} + 1640 b x^{-42}$
$\frac{f^{\prime \prime}(x)}{f(x)} = \frac{1640(a x^{39} + b x^{-42})}{a x^{41} + b x^{-40}} = \frac{1640 x^{-2}(a x^{41} + b x^{-40})}{a x^{41} + b x^{-40}} = 1640 x^{-2}$
આમ,વિધાન $I$ સાચું છે.
વિધાન $II$ માટે:
ધારો કે $y = \tan ^{-1}\left(\frac{2 x}{1-x^2}\right)$. $|x| < 1$ માટે,આપણે $x = \tan \theta$ આદેશ લઈએ,તેથી $y = \tan ^{-1}(\tan 2 \theta) = 2 \theta = 2 \tan ^{-1} x$.
તેથી $\frac{d y}{d x} = \frac{2}{1+x^2}$.
આપેલ પદ $\frac{1}{1+x^2}$ હોવાથી,વિધાન $II$ ખોટું છે.

(B) ધારો કે $BC = x$ એ ટાવરની ઊંચાઈ છે અને $CD = h$ એ ધ્વજદંડની ઊંચાઈ છે. બિંદુ $A$ એ પાયા $B$ થી $y$ મીટર દૂર છે.
$\triangle ABC$ માં,$\tan \theta = \frac{BC}{AB} = \frac{x}{y}$.
$\triangle ABD$ માં,કુલ ખૂણો $2\theta$ છે,તેથી $\tan 2\theta = \frac{BD}{AB} = \frac{x+h}{y}$.
$\tan 2\theta = \frac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2(x/y)}{1-(x/y)^2} = \frac{x+h}{y}$
$\frac{2xy}{y^2-x^2} = \frac{x+h}{y}$
$2xy^2 = (y^2-x^2)(x+h)$
$h = \frac{x(x^2+y^2)}{y^2-x^2}$.

(A) ધારો કે $I = \int \sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right) d x$.
$x = \tan \theta$ લેતા,$d x = \sec ^2 \theta d \theta$ મળે.
સંકલન $I = \int \sin ^{-1}(\sin 2 \theta) \cdot \sec ^2 \theta d \theta$ થશે.
$|x| \le 1$ ધારતા,$I = 2 \int \theta \sec ^2 \theta d \theta$ મળે.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $I = 2 \left[ \theta \tan \theta - \int \tan \theta d \theta \right]$.
$I = 2 [\theta \tan \theta + \log |\cos \theta|] + C$.
અહીં $\tan \theta = x$ હોવાથી,$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$,તેથી $\log |\cos \theta| = \log (1+x^2)^{-1/2} = -\frac{1}{2} \log (1+x^2)$.
કિંમત મૂકતા: $I = 2 [x \tan ^{-1} x - \frac{1}{2} \log (1+x^2)] + C$.
$I = 2 x \tan ^{-1} x - \log (1+x^2) + C$.
આને $f(x) - \log (1+x^2)$ સાથે સરખાવતા,$f(x) = 2 x \tan ^{-1} x$ મળે.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{\sin x}{\cos x(1+\cos x)} dx$.
$\cos x = t$ લેતા,$-\sin x dx = dt$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\sin x dx = -dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{-dt}{t(1+t)}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીત વાપરતા,$\frac{1}{t(1+t)} = \frac{1}{t} - \frac{1}{1+t}$.
તેથી,$I = -\int \left( \frac{1}{t} - \frac{1}{1+t} \right) dt$.
$I = -(\log |t| - \log |1+t|) + c$.
$I = \log |1+t| - \log |t| + c = \log \left| \frac{1+t}{t} \right| + c$.
$t = \cos x$ પાછું મૂકતા,$I = \log \left| \frac{1+\cos x}{\cos x} \right| + c$.
આમ,$I = f(x) + c$ હોવાથી,$f(x) = \log \left| \frac{1+\cos x}{\cos x} \right|$ મળે છે.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{x^{49} \tan ^{-1}\left(x^{50}\right)}{1+x^{100}} d x$.
આદેશ લો $t = x^{50}$,તેથી $dt = 50x^{49} dx$,જેનો અર્થ છે કે $x^{49} dx = \frac{1}{50} dt$.
સંકલન આ મુજબ બનશે: $I = \frac{1}{50} \int \frac{\tan ^{-1} t}{1+t^2} dt$.
હવે,$u = \tan ^{-1} t$ આદેશ લેતા,$du = \frac{1}{1+t^2} dt$ મળે.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,$I = \frac{1}{50} \int u du = \frac{1}{50} \cdot \frac{u^2}{2} + c = \frac{u^2}{100} + c$.
$u$ ની મૂળ કિંમત પાછી મૂકતા,$I = \frac{(\tan ^{-1} x^{50})^2}{100} + c$.
આપેલ સમીકરણ $k(\tan ^{-1} x^{50})^2 + c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = \frac{1}{100}$ મળે છે.

(D) ધારો કે $I = \int_0^\pi \frac{\theta \sin \theta}{1+\cos ^2 \theta} d \theta$ ... $(i)$
ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_0^\pi \frac{(\pi-\theta) \sin (\pi-\theta)}{1+\cos ^2(\pi-\theta)} d \theta$
કારણ કે $\sin(\pi-\theta) = \sin\theta$ અને $\cos(\pi-\theta) = -\cos\theta$,આપણને મળે છે:
$I = \int_0^\pi \frac{(\pi-\theta) \sin \theta}{1+\cos ^2 \theta} d \theta$ ... (ii)
$(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_0^\pi \frac{\theta \sin \theta + (\pi-\theta) \sin \theta}{1+\cos ^2 \theta} d \theta = \int_0^\pi \frac{\pi \sin \theta}{1+\cos ^2 \theta} d \theta$
$2I = \pi \int_0^\pi \frac{\sin \theta}{1+\cos ^2 \theta} d \theta$
ધારો કે $\cos \theta = t$,તો $-\sin \theta d \theta = dt$. જ્યારે $\theta = 0, t = 1$ અને જ્યારે $\theta = \pi, t = -1$.
$2I = \pi \int_1^{-1} \frac{-dt}{1+t^2} = \pi \int_{-1}^1 \frac{dt}{1+t^2}$
$2I = \pi [\tan^{-1} t]_{-1}^1 = \pi (\tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(-1)) = \pi (\frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4})) = \pi (\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi^2}{2}$
$2I = \frac{\pi^2}{2} \Rightarrow I = \frac{\pi^2}{4}$

(C) ધારો કે $I = \int_0^{\pi / 2} \frac{200 \sin x+100 \cos x}{\sin x+\cos x} d x$.
અંશને $100(\sin x + \cos x) + 100 \sin x$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,$I = \int_0^{\pi / 2} \frac{100(\sin x + \cos x) + 100 \sin x}{\sin x + \cos x} d x = 100 \int_0^{\pi / 2} 1 d x + 100 \int_0^{\pi / 2} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} d x$.
ધારો કે $I_1 = \int_0^{\pi / 2} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} d x$.
ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) d x = \int_0^a f(a-x) d x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $I_1 = \int_0^{\pi / 2} \frac{\sin(\pi/2 - x)}{\sin(\pi/2 - x) + \cos(\pi/2 - x)} d x = \int_0^{\pi / 2} \frac{\cos x}{\cos x + \sin x} d x$.
$I_1$ માટેના બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2I_1 = \int_0^{\pi / 2} \frac{\sin x + \cos x}{\sin x + \cos x} d x = \int_0^{\pi / 2} 1 d x = \frac{\pi}{2}$.
આમ,$I_1 = \frac{\pi}{4}$.
$I$ ના સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $I = 100[x]_0^{\pi/2} + 100(I_1) = 100(\frac{\pi}{2}) + 100(\frac{\pi}{4}) = 50\pi + 25\pi = 75\pi$.

(B) આપેલ વક્રો છે:
$y^2 = 4x$ ...$(i)$
$x^2 = 4y$ ...$(ii)$
$(ii)$ પરથી,$y = \frac{x^2}{4}$ મળે છે. આ કિંમત $(i)$ માં મૂકતા:
$(\frac{x^2}{4})^2 = 4x \implies \frac{x^4}{16} = 4x \implies x^4 = 64x \implies x(x^3 - 64) = 0$.
તેથી,$x = 0$ અથવા $x = 4$. છેદબિંદુઓ $(0,0)$ અને $(4,4)$ છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $x=0$ થી $x=4$ સુધીના ઉપરના વક્ર અને નીચેના વક્રના તફાવતનું સંકલન છે:
$Area = \int_0^4 (\sqrt{4x} - \frac{x^2}{4}) dx$
$= \int_0^4 (2\sqrt{x} - \frac{x^2}{4}) dx$
$= [2 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^3}{12}]_0^4$
$= [\frac{4}{3} x^{3/2} - \frac{x^3}{12}]_0^4$
$= [\frac{4}{3} (4)^{3/2} - \frac{4^3}{12}] - [0]$
$= [\frac{4}{3} \cdot 8 - \frac{64}{12}]$
$= \frac{32}{3} - \frac{16}{3} = \frac{16}{3}$ ચોરસ એકમ.

(B) ઓપ્ટિકલ ફાઈબરમાં પ્રકાશનું પ્રસરણ ખરેખર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન $(TIR)$ ના સિદ્ધાંત પર આધારિત છે.
$TIR$ થવા માટે,પ્રકાશને વધુ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાંથી ઓછા વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાં જવું પડે છે,અને આપાતકોણ એ ક્રાંતિકોણ કરતા વધારે હોવો જોઈએ.
ઓપ્ટિકલ ફાઈબરમાં,કોરનો વક્રીભવનાંક $(n_1)$ ક્લેડિંગ $(n_2)$ કરતા વધારે હોય છે. કોર અને ક્લેડિંગ વચ્ચેના ઈન્ટરફેસ પર $TIR$ થાય છે.
કારણના વિધાનમાં જણાવેલ છે કે કોરનો વક્રીભવનાંક હવા કરતા વધારે છે. આ વિધાન સાચું છે,પરંતુ તે એ કારણ નથી કે શા માટે કોર-ક્લેડ ઈન્ટરફેસ પર $TIR$ થાય છે. $TIR$ એટલા માટે થાય છે કારણ કે કોરનો વક્રીભવનાંક ક્લેડિંગના વક્રીભવનાંક કરતા વધારે હોય છે.
તેથી,$(A)$ અને $(R)$ બંને સાચા છે,પરંતુ $(R)$ એ $(A)$ ની સાચી સમજૂતી નથી.

(A) લેન્સ મેકરનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ છે.
સમાન-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,$R_1 = R$ અને $R_2 = -R$ લેતા.
આ કિંમતો મૂકતા,$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right) = (\mu - 1) \left( \frac{2}{R} \right)$.
તેથી,$f = \frac{R}{2(\mu - 1)}$.
પ્રશ્ન મુજબ,કેન્દ્રલંબાઈ $f$ એ વક્રતા ત્રિજ્યા $R$ કરતા વધારે છે,એટલે કે $f > R$.
$f$ ની કિંમત મૂકતા,$\frac{R}{2(\mu - 1)} > R$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{1}{2(\mu - 1)} > 1$,જેનો અર્થ છે કે $2(\mu - 1) < 1$.
તેથી,$\mu - 1 < 0.5$,જેનો અર્થ છે કે $\mu < 1.5$.
હવામાં રહેલા અભિસારી લેન્સ માટે વક્રીભવનાંક $\mu$ એ $1$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ,તેથી શ્રેણી $1 < \mu < 1.5$ છે. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ શૂન્ય કરતા વધારે પણ $1.5$ કરતા ઓછો છે.

(B) સોડિયમની $300^{\circ} C$ તાપમાને ઓક્સિજન સાથેની પ્રક્રિયાથી સોડિયમ પેરોક્સાઇડ $(X)$ બને છે: $2Na + O_2 \xrightarrow{300^{\circ} C} Na_2O_2$ $(X)$.
સોડિયમ પેરોક્સાઇડ $(X)$ કાર્બન ડાયોક્સાઇડ સાથે પ્રક્રિયા કરીને સોડિયમ કાર્બોનેટ અને ઓક્સિજન $(Y)$ બનાવે છે: $2Na_2O_2 + 2CO_2 \longrightarrow 2Na_2CO_3 + O_2$ $(Y)$.
આમ,$Y$ એ $O_2$ છે.

(B) $Mg$ ની મંદ $HNO_3$ સાથેની પ્રક્રિયામાં મેગ્નેશિયમ નાઈટ્રેટ અને હાઈડ્રોજન વાયુ ઉત્પન્ન થાય છે: $Mg + 2HNO_3 \longrightarrow Mg(NO_3)_2 + H_2 \uparrow$.
અન્ય પ્રક્રિયાઓમાં:
$2Mg + CO_2 \longrightarrow 2MgO + C$
$2Mg + 2NO \longrightarrow 2MgO + N_2$
$3Mg + B_2O_3 \longrightarrow 3MgO + 2B$
તેથી,મંદ $HNO_3$ સાથેની પ્રક્રિયામાં $MgO$ બનતું નથી.

(C) કોમન-એમિટર $(C-E)$ કોન્ફિગરેશનમાં, ટ્રાન્ઝિસ્ટર એમ્પ્લીફાયર તરીકે કાર્ય કરે છે.
$1$. કરંટ ગેઇન $(\beta)$ એ કલેક્ટર કરંટ $(I_C)$ અને બેઝ કરંટ $(I_B)$ નો ગુણોત્તર છે, જે સામાન્ય રીતે $1$ કરતા ઘણો વધારે હોય છે.
$2$. વોલ્ટેજ ગેઇન $(A_V)$ એ કરંટ ગેઇન $(\beta)$ અને આઉટપુટ અવરોધ તથા ઇનપુટ અવરોધના ગુણોત્તર $(R_{out}/R_{in})$ નો ગુણાકાર છે.
$3$. $C-E$ એમ્પ્લીફાયરમાં કરંટ ગેઇન અને વોલ્ટેજ ગેઇન બંને $1$ કરતા વધારે હોવાથી, આ ઉપકરણ કરંટ અને વોલ્ટેજ બંનેનું એમ્પ્લીફિકેશન પ્રદાન કરે છે.
$4$. પરિણામે, તે નોંધપાત્ર પાવર એમ્પ્લીફિકેશન પણ પ્રદાન કરે છે.

(C) આપેલ છે કે $dx + dy = (x + y)(dx - dy)$.
$dx$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$1 + \frac{dy}{dx} = (x + y)(1 - \frac{dy}{dx})$
$1 + \frac{dy}{dx} = x + y - (x + y)\frac{dy}{dx}$
$\frac{dy}{dx}(1 + x + y) = x + y - 1$
$\frac{dy}{dx} = \frac{x + y - 1}{x + y + 1} \quad \dots(i)$
ધારો કે $x + y = t$. તેથી $1 + \frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx}$,એટલે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx} - 1$.
સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$\frac{dt}{dx} - 1 = \frac{t - 1}{t + 1}$
$\frac{dt}{dx} = \frac{t - 1}{t + 1} + 1 = \frac{t - 1 + t + 1}{t + 1} = \frac{2t}{t + 1}$
ચલ અલગ કરતા:
$\frac{t + 1}{2t} dt = dx$
$\frac{1}{2}(1 + \frac{1}{t}) dt = dx$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\frac{1}{2}(t + \log|t|) = x + C_1$
$t + \log|t| = 2x + 2C_1$
$t = x + y$ મૂકતા:
$x + y + \log(x + y) = 2x + C$
$\log(x + y) = x - y + C$

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{y + x \tan(\frac{y}{x})}{x} \quad (i)$
આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે.
ધારો કે $y = vx$,તેથી $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ મળે.
આ કિંમતો સમીકરણ $(i)$ માં મુકતા:
$v + x \frac{dv}{dx} = \frac{vx + x \tan(v)}{x}$
$v + x \frac{dv}{dx} = v + \tan(v)$
$x \frac{dv}{dx} = \tan(v)$
ચલને અલગ કરતા:
$\cot(v) dv = \frac{1}{x} dx$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \cot(v) dv = \int \frac{1}{x} dx$
$\log|\sin(v)| = \log|x| + \log|c|$
$\log|\sin(v)| = \log|cx|$
બંને બાજુ ઘાતાંક લેતા:
$\sin(v) = cx$
$v = \frac{y}{x}$ મુકતા:
$\sin(\frac{y}{x}) = cx$