AP EAMCET 2005 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x^2 y - x^3 \frac{dy}{dx} = y^4 \cos x$.
બંને બાજુ $x^3 y^4$ વડે ભાગતા:
$\frac{x^2 y}{x^3 y^4} - \frac{x^3}{x^3 y^4} \frac{dy}{dx} = \frac{y^4 \cos x}{x^3 y^4}$
$\Rightarrow \frac{1}{x y^3} - \frac{1}{y^4} \frac{dy}{dx} = \frac{\cos x}{x^3}$
$\Rightarrow -\frac{1}{y^4} \frac{dy}{dx} + \frac{1}{x} y^{-3} = \frac{\cos x}{x^3}$
ધારો કે $v = y^{-3}$. તો $\frac{dv}{dx} = -3 y^{-4} \frac{dy}{dx}$,જેનો અર્થ છે કે $-\frac{1}{y^4} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{3} \frac{dv}{dx}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{1}{3} \frac{dv}{dx} + \frac{1}{x} v = \frac{\cos x}{x^3}$
$3$ વડે ગુણતા: $\frac{dv}{dx} + \frac{3}{x} v = \frac{3 \cos x}{x^3}$.
આ $\frac{dv}{dx} + P(x)v = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \frac{3}{x}$ અને $Q(x) = \frac{3 \cos x}{x^3}$.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $= e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{3}{x} dx} = e^{3 \ln x} = x^3$.
ઉકેલ $v \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + c$ છે.
$v \cdot x^3 = \int \frac{3 \cos x}{x^3} \cdot x^3 dx + c$
$v x^3 = 3 \int \cos x dx + c$
$v x^3 = 3 \sin x + c$.
કારણ કે $v = y^{-3}$,તેથી $x^3 y^{-3} = 3 \sin x + c$.

(A) દરેક પદનું મૂલ્યાંકન કરીએ:
$(A)$ અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\mathbf{a} \mathbf{b} \mathbf{c}] = \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે,જે $3$ સાથે મેળ ખાય છે.
$(B)$ સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્ર $(\mathbf{x} \times \mathbf{y}) \times \mathbf{z} = (\mathbf{x} \cdot \mathbf{z})\mathbf{y} - (\mathbf{y} \cdot \mathbf{z})\mathbf{x}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $(\mathbf{c} \times \mathbf{a}) \times \mathbf{b} = (\mathbf{c} \cdot \mathbf{b})\mathbf{a} - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})\mathbf{c} = (\mathbf{b} \cdot \mathbf{c})\mathbf{a} - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})\mathbf{c}$,જે $5$ સાથે મેળ ખાય છે.
$(C)$ સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્ર $\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c})\mathbf{b} - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})\mathbf{c}$ નો ઉપયોગ કરતા,જે $2$ સાથે મેળ ખાય છે.
$(D)$ અદિશ ગુણાકાર $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos(\theta)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે,જ્યાં $\theta$ એ $\mathbf{a}$ અને $\mathbf{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે,જે $1$ સાથે મેળ ખાય છે.
આમ,સાચી જોડ $A-3, B-5, C-2, D-1$ છે.

(A) આપેલ છે કે $a$ અને $b$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|a| = 1$ અને $|b| = 1$,જેનો અર્થ છે કે $a \cdot a = 1$ અને $b \cdot b = 1$.
સદિશ ગુણાકારના વિભાજનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને $(a+b) \times (a \times b)$ નું વિસ્તરણ કરતા:
$(a+b) \times (a \times b) = a \times (a \times b) + b \times (a \times b)$.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્ર $A \times (B \times C) = (A \cdot C)B - (A \cdot B)C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$a \times (a \times b) = (a \cdot b)a - (a \cdot a)b = (a \cdot b)a - b$.
$b \times (a \times b) = (b \cdot b)a - (b \cdot a)b = a - (a \cdot b)b$.
આ પરિણામોનો સરવાળો કરતા:
$(a \cdot b)a - b + a - (a \cdot b)b = a(1 + a \cdot b) - b(1 + a \cdot b) = (a - b)(1 + a \cdot b)$.
આમ,સદિશ $(a+b) \times (a \times b)$ એ સદિશ $(a - b)$ ને સમાંતર છે.

(C) ધારો કે આપેલા બિંદુઓ $A(1, -2, -3)$ અને $B(2, 0, 0)$ છે.
$A$ અને $B$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સદિશ સમીકરણ $\vec{r} = \vec{a} + t(\vec{b} - \vec{a})$ છે,જ્યાં $\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k}$ અને $\vec{b} = 2\hat{i}$ છે.
દિશા સદિશ $\vec{v} = \vec{b} - \vec{a} = (2-1)\hat{i} + (0 - (-2))\hat{j} + (0 - (-3))\hat{k} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
રેખાનું સમીકરણ $\vec{r} = (1\hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k}) + t(\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k})$ છે.
આના પરથી પ્રચલિત સમીકરણો મળે છે: $x = 1 + t$,$y = -2 + 2t$,$z = -3 + 3t$.
વિકલ્પ $(C) (0, -4, -6)$ માટે,$x = 0$ લેતા $1 + t = 0 \implies t = -1$ મળે છે.
$t = -1$ ને $y$ અને $z$ માં મૂકતા: $y = -2 + 2(-1) = -4$ અને $z = -3 + 3(-1) = -6$ મળે છે.
આમ,બિંદુ $(0, -4, -6)$ રેખાના સમીકરણનું સમાધાન કરે છે,તેથી તે સમરેખ છે.

(B) ધારો કે $P(B) = p$. આપેલ શરત મુજબ $P(A) = 2P(B)$,તેથી $P(A) = 2p$. $P(A) + P(B) = 1$ હોવાથી,$2p + p = 1$ મળે,એટલે કે $3p = 1$,જેનો અર્થ છે કે $p = \frac{1}{3}$. આમ,$P(B) = \frac{1}{3}$ અને $P(A) = \frac{2}{3}$.
ધારો કે $R$ એ લાલ દડો કાઢવાની ઘટના છે.
પેટી $A$ માંથી લાલ દડો કાઢવાની સંભાવના $P(R|A) = \frac{3}{2+3} = \frac{3}{5}$ છે.
પેટી $B$ માંથી લાલ દડો કાઢવાની સંભાવના $P(R|B) = \frac{4}{3+4} = \frac{4}{7}$ છે.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,લાલ દડો પેટી $B$ માંથી આવ્યો હોય તેની સંભાવના:
$P(B|R) = \frac{P(B) \cdot P(R|B)}{P(A) \cdot P(R|A) + P(B) \cdot P(R|B)}$
$P(B|R) = \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{7}}{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{5} + \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{7}}$
$P(B|R) = \frac{\frac{4}{21}}{\frac{6}{15} + \frac{4}{21}} = \frac{\frac{4}{21}}{\frac{2}{5} + \frac{4}{21}}$
$P(B|R) = \frac{\frac{4}{21}}{\frac{42 + 20}{105}} = \frac{\frac{4}{21}}{\frac{62}{105}} = \frac{4}{21} \cdot \frac{105}{62} = \frac{4 \cdot 5}{62} = \frac{20}{62} = \frac{10}{31}$.

(C) ધારો કે $E$ એ સિક્કા પર છાપ મેળવવાની ઘટના છે.
$P(E) = \frac{1}{2}$.
ધારો કે $F$ એ પાસા પર એકી સંખ્યા $(1, 3, 5)$ મેળવવાની ઘટના છે.
$P(F) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
અહીં $E$ અને $F$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ હોવાથી,બંને ઘટનાઓ એકસાથે બનવાની સંભાવના તેમની વ્યક્તિગત સંભાવનાઓના ગુણાકાર જેટલી થાય છે:
$P(E \cap F) = P(E) \times P(F)$.
$P(E \cap F) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.

(C) આપેલ છે કે $n=6$ અને $P(X=2)=9 P(X=4)$.
દ્વિપદી સંભાવના સૂત્ર $P(X=k) = {^nC_k} p^k q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
${^6C_2} p^2 q^4 = 9 \cdot {^6C_4} p^4 q^2$
કારણ કે ${^6C_2} = 15$ અને ${^6C_4} = 15$,તેથી:
$15 p^2 q^4 = 9 \cdot 15 p^4 q^2$
$q^2 = 9 p^2$
$q = 3p$ (કારણ કે $p, q > 0$).
આપણે જાણીએ છીએ કે $p+q=1$,તેથી $p + 3p = 1 \Rightarrow 4p = 1 \Rightarrow p = \frac{1}{4}$.
તેથી $q = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
દ્વિપદી વિતરણનું વિચરણ $npq$ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\text{વિચરણ} = 6 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}$.

(B) આપેલ છે કે $P(X=k) = \frac{(k+1)a}{3^k}$ જ્યાં $k \in \{0, 1, 2, \ldots, \infty\}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે સંભાવના વિતરણમાં તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય છે,એટલે કે $\sum_{k=0}^{\infty} P(X=k) = 1$.
ધારો કે $S = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(k+1)a}{3^k} = a \left( 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{3^2} + \frac{4}{3^3} + \ldots \infty \right) = 1$.
ધારો કે $S = a \left( 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{9} + \frac{4}{27} + \ldots \right)$.
બંને બાજુ $\frac{1}{3}$ વડે ગુણતા,$\frac{1}{3}S = a \left( \frac{1}{3} + \frac{2}{9} + \frac{3}{27} + \ldots \right)$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$S - \frac{1}{3}S = a \left( 1 + (\frac{2}{3} - \frac{1}{3}) + (\frac{3}{9} - \frac{2}{9}) + (\frac{4}{27} - \frac{3}{27}) + \ldots \right)$
$\frac{2}{3}S = a \left( 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \ldots \right)$.
કૌંસમાં રહેલી શ્રેણી એ અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{3}$ છે.
સરવાળો $= \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1 - 1/3} = \frac{1}{2/3} = \frac{3}{2}$.
તેથી,$\frac{2}{3}S = a \left( \frac{3}{2} \right) = \frac{3a}{2}$.
આમ,$S = \frac{3a}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{9a}{4}$.
કારણ કે $S = 1$,તેથી $\frac{9a}{4} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $a = \frac{4}{9}$.

(A) સ્નિગ્ધ પ્રવાહીમાં પડતા ગોળાનો ટર્મિનલ વેગ $v = \frac{2}{9} \frac{r^2(\rho - \sigma)g}{\eta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગોળાનું દ્રવ્ય સમાન હોવાથી,ઘનતા $\rho$ અચળ છે,તેથી $v \propto r^2$.
દળ $M = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho$ હોવાથી,આપણને $r \propto M^{1/3}$ મળે છે.
આને પ્રમાણસરતામાં મૂકતા,આપણને $v \propto (M^{1/3})^2 = M^{2/3}$ મળે છે.
તેથી,$\frac{v_1}{v_2} = \left(\frac{M_1}{M_2}\right)^{2/3}$.
અહીં $M_1 = 20 \times 10^{-3} \ kg$,$v_1 = 0.5 \ ms^{-1}$,અને $M_2 = 54 \times 10^{-2} \ kg = 540 \times 10^{-3} \ kg$ છે.
$\frac{0.5}{v_2} = \left(\frac{20 \times 10^{-3}}{540 \times 10^{-3}}\right)^{2/3} = \left(\frac{1}{27}\right)^{2/3} = \left(\left(\frac{1}{3}\right)^3\right)^{2/3} = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}$.
આમ,$v_2 = 0.5 \times 9 = 4.5 \ ms^{-1}$.

(D) સોડિયમ થાયોસલ્ફેટ $(Na_2S_2O_3)$ અને આયોડિન $(I_2)$ વચ્ચેની પ્રક્રિયા નીચે મુજબ છે:
$2Na_2S_2O_3 + I_2 \rightarrow Na_2S_4O_6 + 2NaI$
આ પ્રક્રિયામાં,સોડિયમ થાયોસલ્ફેટનું સોડિયમ ટેટ્રાથાયોનેટ $(Na_2S_4O_6)$ માં ઓક્સિડેશન થાય છે.
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
સોડિયમ થાયોસલ્ફેટ પાણીમાં ખૂબ જ દ્રાવ્ય છે,તેથી વિકલ્પ $B$ સાચો છે.
ઓઝોન આલ્કીન્સ સાથે પ્રક્રિયા કરીને ઓઝોનાઇડ્સ બનાવે છે,જે અસંતૃપ્તતા માટેની પ્રમાણભૂત કસોટી છે,તેથી વિકલ્પ $C$ સાચો છે.
વિકલ્પ $D$ જણાવે છે કે સોડિયમ થાયોસલ્ફેટ આયોડિન સાથે પ્રક્રિયા કરીને સોડિયમ સલ્ફેટ બનાવે છે,જે ખોટું છે કારણ કે તે સોડિયમ ટેટ્રાથાયોનેટ બનાવે છે.

(B) જ્યારે સોડિયમને $300^{\circ} C$ તાપમાને હવામાં ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે સોડિયમ પેરોક્સાઇડ $(X = Na_2O_2)$ બને છે.
$2Na + O_2 \xrightarrow{300^{\circ} C} Na_2O_2$
સોડિયમ પેરોક્સાઇડ $CO_2$ સાથે પ્રક્રિયા કરીને સોડિયમ કાર્બોનેટ અને ઓક્સિજન વાયુ $(Y = O_2)$ બનાવે છે.
$2Na_2O_2 + 2CO_2 \rightarrow 2Na_2CO_3 + O_2$
તેથી,$Y$ એ $O_2$ છે.

(B) પ્રક્રિયાઓ નીચે મુજબ છે:
$1$. $2Mg + CO_2 \longrightarrow 2MgO + C$ ($MgO$ બને છે).
$2$. $Mg + 2HNO_3 \text{ (dil.)} \longrightarrow Mg(NO_3)_2 + H_2$ ($MgO$ બનતું નથી; $Mg(NO_3)_2$ બને છે).
$3$. $2Mg + 2NO \xrightarrow{\Delta} 2MgO + N_2$ ($MgO$ બને છે).
$4$. $3Mg + B_2O_3 \longrightarrow 3MgO + 2B$ ($MgO$ બને છે).
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) કેલ્શિયમ કાર્બોનેટનું ઉષ્મીય વિઘટન નીચે મુજબ છે:
$CaCO_{3(s)} \xrightarrow{\Delta} CaO_{(s)} + CO_2(g)$
પ્રક્રિયાના તત્વયોગમિતિ (stoichiometry) મુજબ:
$1 \text{ મોલ } CaCO_3 (100 \text{ g}) \text{ માંથી } 1 \text{ મોલ } CaO (56 \text{ g}) \text{ મળે છે}$.
$56 \text{ g } CaO \text{ એ } 100 \text{ g } CaCO_3 \text{ માંથી મળે છે}$,
તેથી $28 \text{ g } CaO \text{ એ }:$
$x = \frac{100 \times 28}{56} = 50 \text{ g } \text{ માંથી મળે છે}$.
$\text{આમ}, x \text{નું મૂલ્ય }50$ છે.

(A) ધારો કે બંને વાયુઓ $A$ અને $B$ નું વજન $w \text{ g}$ છે.
આપેલ આણ્વીય દળનો ગુણોત્તર $M_A : M_B = 1 : 4$. ધારો કે $M_A = M$ અને $M_B = 4M$.
$A$ ના મોલ $(n_A)$ $= \frac{w}{M}$.
$B$ ના મોલ $(n_B)$ $= \frac{w}{4M}$.
મોલ ગુણોત્તર $n_A : n_B = \frac{w}{M} : \frac{w}{4M} = 4 : 1$.
$B$ નું આંશિક દબાણ $(p_B)$ $= B$ નો મોલ અંશ $\times P_{\text{total}}$.
$p_B = \frac{n_B}{n_A + n_B} \times P = \frac{1}{4 + 1} \times P = \frac{P}{5} \text{ atm}$.

(C) બોહરના અભિધારણા મુજબ,કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $mvr = \frac{nh}{2\pi}$ તરીકે ક્વોન્ટાઈઝ્ડ હોય છે.
ડી-બ્રોગ્લી સંબંધ મુજબ,તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{mv}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $mv = \frac{h}{\lambda}$.
કોણીય વેગમાનના સમીકરણમાં $mv$ ની કિંમત મૂકતા: $r = \frac{n}{2\pi} \times \frac{h}{mv} = \frac{n\lambda}{2\pi}$.
કક્ષાનો પરિઘ $C = 2\pi r$ છે.
$r$ માટેનું સમીકરણ મૂકતા: $C = 2\pi \times \frac{n\lambda}{2\pi} = n\lambda$.
ચોથી કક્ષા માટે $n = 4$,તેથી પરિઘ $4\lambda$ થશે.

(C) તત્વોની ઇલેક્ટ્રોનીય રચના નીચે મુજબ છે:
$X$ $(Z=19)$ માટે: $1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6 4s^1$. $M$-કોષ $(n=3)$ માં $2+6 = 8$ ઇલેક્ટ્રોન છે.
$Y$ $(Z=21)$ માટે: $1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6 3d^1 4s^2$. $M$-કોષ $(n=3)$ માં $2+6+1 = 9$ ઇલેક્ટ્રોન છે.
$Z$ $(Z=25)$ માટે: $1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6 3d^5 4s^2$. $M$-કોષ $(n=3)$ માં $2+6+5 = 13$ ઇલેક્ટ્રોન છે.
$M$-કોષમાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યાની સરખામણી કરતા: $Z (13) > Y (9) > X (8)$.
આમ,સાચો ક્રમ $Z > Y > X$ છે.

(C) એન્થાલ્પી $(H)$ નું નિરપેક્ષ મૂલ્ય પ્રાયોગિક રીતે નક્કી કરી શકાતું નથી. માત્ર પ્રક્રિયા દરમિયાન એન્થાલ્પીમાં થતો ફેરફાર $(\Delta H)$ માપી શકાય છે. તેથી,વિધાન $C$ ખોટું છે.