AIPMT 1994 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) બે સદિશો $\vec A$ અને $\vec B$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવા માટેનું સૂત્ર: $\cos \theta = \frac{\vec A \cdot \vec B}{|A||B|}$ છે.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર (dot product) ગણો: $\vec A \cdot \vec B = (3)(3) + (4)(4) + (5)(-5) = 9 + 16 - 25 = 0$.
ત્યારબાદ,સદિશોના માન (magnitudes) ગણો: $|A| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50}$ અને $|B| = \sqrt{3^2 + 4^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50}$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $\cos \theta = \frac{0}{\sqrt{50} \cdot \sqrt{50}} = \frac{0}{50} = 0$.
આમ,$\cos \theta = 0$ હોવાથી,ખૂણો $\theta = 90^\circ$ થાય.

(B) અચળ બળ $\vec{F}$ દ્વારા સ્થાનાંતર $\vec{r}$ દરમિયાન કરવામાં આવેલું કાર્ય $W$ એ ડોટ પ્રોડક્ટ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $W = \vec{F} \cdot \vec{r}$.
આપેલ બળ $\vec{F} = (-2\hat{i} + 15\hat{j} + 6\hat{k})\,N$ છે.
સ્થાનાંતર $Y$-અક્ષ પર $10\,m$ છે,તેથી $\vec{r} = 10\hat{j}\,m$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$W = (-2\hat{i} + 15\hat{j} + 6\hat{k}) \cdot (10\hat{j})$
$W = (-2 \times 0) + (15 \times 10) + (6 \times 0)$
$W = 0 + 150 + 0 = 150\,J$.
તેથી,કરવામાં આવેલું કાર્ય $150\,J$ છે.

(B) ધારો કે $\overrightarrow{v_b}$ એ પાણીની સાપેક્ષે હોડીનો વેગ છે અને $\overrightarrow{v_r}$ એ જમીનની સાપેક્ષે નદીના પાણીનો વેગ છે.
જમીનની સાપેક્ષે હોડીનો પરિણામી વેગ $\overrightarrow{v_{bg}} = \overrightarrow{v_b} + \overrightarrow{v_r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હોડી નદીના પ્રવાહને લંબ રૂપે ઓળંગતી હોવાથી,સદિશો $\overrightarrow{v_b}$ અને $\overrightarrow{v_r}$ એકબીજાને લંબ છે.
તેથી,પરિણામી વેગનું મૂલ્ય $v_{bg} = \sqrt{v_b^2 + v_r^2}$ થાય.
અહીં $v_{bg} = 10 \, km/h$ અને $v_b = 8 \, km/h$ આપેલ છે,તેથી:
$10 = \sqrt{8^2 + v_r^2}$
$100 = 64 + v_r^2$
$v_r^2 = 100 - 64 = 36$
$v_r = 6 \, km/h$.

(C) દબાણ એટલે એકમ ક્ષેત્રફળ પર લાગતું બળ.
$P = \frac{F}{A}$
બળ $(F)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[MLT^{-2}]$ છે.
ક્ષેત્રફળ $(A)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[L^2]$ છે.
તેથી,દબાણના પરિમાણો:
$[P] = \frac{[MLT^{-2}]}{[L^2]} = [ML^{-1}T^{-2}]$.

(D) સ્થાનાંતર $s = t^3 - 6t^2 + 3t + 4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v$ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરનું પ્રથમ વિકલન છે: $v = \frac{ds}{dt} = 3t^2 - 12t + 3$.
પ્રવેગ $a$ એ સમયની સાપેક્ષમાં વેગનું વિકલન છે: $a = \frac{dv}{dt} = 6t - 12$.
જ્યારે પ્રવેગ શૂન્ય હોય તે સમય શોધવા માટે,$a = 0$ લો:
$6t - 12 = 0 \implies t = 2 \ s$.
હવે,વેગના સમીકરણમાં $t = 2$ મૂકો:
$v = 3(2)^2 - 12(2) + 3 = 3(4) - 24 + 3 = 12 - 24 + 3 = -9 \ m s^{-1}$.

(D) ધારો કે કાર $t_1$ સમય માટે $\alpha$ ના અચળ દરે પ્રવેગિત થાય છે. પ્રાપ્ત થયેલ મહત્તમ વેગ $v = u + \alpha t_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કાર સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે,તેથી $u = 0$,એટલે કે $v = \alpha t_1$.
ત્યારબાદ,કાર બાકીના સમય $(t - t_1)$ માટે $\beta$ ના અચળ દરે પ્રતિપ્રવેગિત થાય છે અને અંતે સ્થિર થાય છે. પ્રતિપ્રવેગના તબક્કા માટે $v = u + at$ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $0 = v - \beta(t - t_1)$.
$v = \alpha t_1$ ને સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે $0 = \alpha t_1 - \beta t + \beta t_1$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $(\alpha + \beta) t_1 = \beta t$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $t_1 = \frac{\beta}{\alpha + \beta} t$.
$t_1$ ની કિંમત $v$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે $v = \alpha \left( \frac{\beta}{\alpha + \beta} t \right) = \frac{\alpha \beta}{\alpha + \beta} t$.

(D) કણનો તત્કાલીન વેગ એ સ્થાનાંતર-સમયના આલેખના તે બિંદુએ મળતા ઢાળ (slope) દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,$v = \frac{ds}{dt}$.
- બિંદુ $C$ પર,ઢાળ ધન છે કારણ કે સ્થાનાંતર વધી રહ્યું છે.
- બિંદુ $D$ પર,ઢાળ શૂન્ય છે કારણ કે તે વક્રનું મહત્તમ બિંદુ છે.
- બિંદુ $E$ પર,ઢાળ ઋણ છે કારણ કે સમય સાથે સ્થાનાંતર ઘટી રહ્યું છે.
- બિંદુ $F$ પર,ઢાળ ધન છે કારણ કે સ્થાનાંતર ફરીથી વધી રહ્યું છે.
તેથી,બિંદુ $E$ પર તત્કાલીન વેગ ઋણ છે.

(A) નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં,પદાર્થ વર્તુળાકાર માર્ગ પર અચળ ઝડપથી ગતિ કરે છે.
કેન્દ્રગામી બળ $F$ હંમેશા વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ લાગે છે અને સ્થાનાંતર $ds$ હંમેશા વર્તુળના સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે,તેથી બળ અને સ્થાનાંતર વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 90^{\circ}$ થાય છે.
થયેલું કાર્ય $W$ એ $W = \int F \cdot ds = \int F \cos(90^{\circ}) ds = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,કેન્દ્રગામી બળ દ્વારા પદાર્થ પર કોઈ કાર્ય થતું નથી.

(D) સરળ લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $g_{eff}$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ છે.
આવર્તકાળ $T$ ઘટવા માટે,અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff}$ વધવો જોઈએ.
જ્યારે રોકેટ $a$ જેટલા સમાન પ્રવેગ સાથે ઉપર જાય છે,ત્યારે લોલક દ્વારા અનુભવાતો અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff} = g + a$ થાય છે.
કારણ કે $g + a > g$,અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણ વધે છે,જેના પરિણામે આવર્તકાળ $T$ માં ઘટાડો થાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) ચલ દળ ધરાવતી સિસ્ટમ માટે ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ ઉપગ્રહ પર લાગતું બળ $F = \frac{d}{dt}(Mv)$ છે.
અવકાશ બળ-મુક્ત હોવાથી,ચોખ્ખું બાહ્ય બળ $F = 0$ છે.
વિકલનનું વિસ્તરણ કરતા: $F = M \frac{dv}{dt} + v \frac{dM}{dt} = 0$.
આપેલ છે કે દળ વધવાનો દર $\frac{dM}{dt} = \alpha v$ છે,આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$M \frac{dv}{dt} + v(\alpha v) = 0$.
પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt}$ શોધવા માટે સમીકરણને ગોઠવતા:
$M \frac{dv}{dt} = -\alpha v^2$.
તેથી,પ્રતિપ્રવેગ (અથવા પ્રવેગ) $a = -\frac{\alpha v^2}{M}$ મળે છે.

(D) ચલ બળ દ્વારા થતું કાર્ય એ સ્થાનાંતરની સાપેક્ષમાં બળના સંકલન દ્વારા મળે છે: $W = \int_{x_1}^{x_2} F(x) \, dx$.
અહીં $F(x) = 7 - 2x + 3x^2$,$x_1 = 0$,અને $x_2 = 5$ આપેલ છે.
$W = \int_{0}^{5} (7 - 2x + 3x^2) \, dx$.
દરેક પદનું સંકલન કરતા:
$W = [7x - x^2 + x^3]_{0}^{5}$.
સીમાઓ મૂકતા:
$W = (7(5) - (5)^2 + (5)^3) - (7(0) - (0)^2 + (0)^3)$.
$W = (35 - 25 + 125) - 0$.
$W = 135 \, J$.

(B) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,પદાર્થ પર લાગતા ચોખ્ખા બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય તેની ગતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થતો હોવાથી,પ્રારંભિક ગતિ ઊર્જા $0$ છે.
થયેલું કાર્ય $W = F \times d$.
તેથી,અંતિમ ગતિ ઊર્જા $K.E. = F \times d$.
અહીં બળ $F$ અને અંતર $d$ અચળ હોવાથી,પ્રાપ્ત થતી ગતિ ઊર્જા ફક્ત બળ અને અંતરના ગુણાકાર પર આધાર રાખે છે.
તે પદાર્થના દળ $m$ પર આધારિત નથી.
આમ,ગતિ ઊર્જા $m$ થી સ્વતંત્ર છે.

(B) ગુરુત્વાકર્ષણ બળ કણને વર્તુળાકાર કક્ષામાં ગતિ કરવા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
વર્તુળાકાર કક્ષા માટે,કેન્દ્રગામી બળ $F_c = \frac{mv^2}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_g \propto \frac{1}{R}$ છે,જેને કોઈ અચળાંક $K$ માટે $F_g = \frac{K}{R}$ તરીકે લખી શકાય.
બંને બળોને સરખાવતા: $\frac{mv^2}{R} = \frac{K}{R}$.
બંને બાજુથી $R$ દૂર કરતા,આપણને $mv^2 = K$ મળે છે.
અહીં $m$ અને $K$ અચળાંક હોવાથી,$v^2$ અચળ રહે છે,જેનો અર્થ છે કે $v$ અચળ છે.
તેથી,$v \propto R^0$.

(A) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,આવર્તકાળ $T$ નો વર્ગ એ કક્ષાની અર્ધ-મુખ્ય ધરી $R$ ના ઘન સાથે પ્રમાણસર હોય છે: $T^2 \propto R^3$।
આપેલ છે:
$R_1 = 10^{13} \ m$ (નેપ્ચ્યુન)
$R_2 = 10^{12} \ m$ (શનિ)
આવર્તકાળનો ગુણોત્તર નીચે મુજબ છે:
$\frac{T_1}{T_2} = \left( \frac{R_1}{R_2} \right)^{3/2}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{T_1}{T_2} = \left( \frac{10^{13}}{10^{12}} \right)^{3/2}$
$\frac{T_1}{T_2} = (10)^{3/2}$
$\frac{T_1}{T_2} = 10^1 \cdot 10^{1/2} = 10\sqrt{10}$

(A) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ એ એક પ્રકારની આવર્ત ગતિ છે જેમાં પુનઃસ્થાપક બળ સ્થાનાંતરના સમપ્રમાણમાં હોય છે અને સ્થાનાંતરની વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે.
બંને છેડે જડેલી દોરીમાં રચાતા સ્થિત તરંગો એ બે પ્રગામી તરંગોનું સંપાતીકરણ છે,અને દોરીના કણો તેમના સરેરાશ સ્થાનની આસપાસ સરળ આવર્ત ગતિ કરે છે.
તેથી,બંને છેડે જડેલી દોરીમાં કણોની ગતિ એ સરળ આવર્ત ગતિનું ઉદાહરણ છે.

(A) સરળ આવર્ત ગતિ $(S.H.M.)$ કરતા કણ માટે,પુનઃસ્થાપક બળ એ મધ્યમાન સ્થાનથી સ્થાનાંતરના ઋણ મૂલ્યના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,આને $F = -kx$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ બળ અચળાંક છે.
અહીં $A$ અને $K$ ધન અચળાંકો આપેલા હોવાથી,આ ગતિ માટે બળનું સમીકરણ $F = -AKx$ થશે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) સરળ આવર્ત પ્રગામી તરંગનું સામાન્ય સમીકરણ $y = A \sin (\omega t - kx + \phi)$ અથવા $y = A \sin (kx - \omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિકલ્પ $D$,$Y = A \sin (at - bx + c)$,એ પ્રગામી તરંગનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે કારણ કે તે $(at - bx)$ નું વિધેય છે,જે તરંગ સમીકરણ $\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}$ નું પાલન કરે છે,જ્યાં તરંગની ઝડપ $v = \frac{a}{b}$ છે.
વિકલ્પ $A$,$B$,અને $C$ એ પ્રગામી તરંગનું પ્રતિનિધિત્વ કરતા નથી કારણ કે તેમાં અવકાશ $(x)$ અને સમય $(t)$ બંને પરની જરૂરી નિર્ભરતા યોગ્ય વિધેય સ્વરૂપમાં નથી.

(A) સ્થિત તરંગ માટેનું આપેલ સમીકરણ $Y = A \sin(100t) \cos(0.01x)$ છે.
આ સમીકરણને સ્થિત તરંગના પ્રમાણિત સમીકરણ $Y = A \sin(\omega t) \cos(kx)$ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 100 \ rad/s$ અને તરંગ સંખ્યા $k = 0.01 \ rad/m$ મળે છે.
તરંગનો વેગ $v$ એ કોણીય આવૃત્તિ અને તરંગ સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે:
$v = \frac{\omega}{k} = \frac{100}{0.01} = 10000 \ m/s$.

(B) જડિત છેડા પર હંમેશા નિસ્પંદ બિંદુ (node) રચાય છે.
આપેલ છે કે જડિત છેડાથી $10 \, cm$ ના અંતરે એક નિસ્પંદ બિંદુ રચાય છે,જે બે ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર દર્શાવે છે.
બે ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $\frac{\lambda}{2} = 10 \, cm$ છે.
તેથી,તરંગલંબાઈ $\lambda = 20 \, cm = 0.2 \, m$ થાય.
તરંગની ઝડપ $v$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $v = f \lambda$ છે,જ્યાં $f = 100 \, Hz$ છે.
$v = 100 \times 0.2 = 20 \, m/s$.

(B) બીટ આવૃત્તિ એ બે આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત છે.
આપેલ છે કે,$
u$ અને $200 \;Hz$ આવૃત્તિ માટે બીટ આવૃત્તિ $5 \;Hz$ છે.
તેથી,$
u = 200 \pm 5$,એટલે કે $
u = 195 \;Hz$ અથવા $
u = 205 \;Hz$ ... $(i)$
બીજા હાર્મોનિક $2
u$ અને $420 \;Hz$ માટે,બીટ આવૃત્તિ $10 \;Hz$ છે.
તેથી,$2
u = 420 \pm 10$,એટલે કે $2
u = 410 \;Hz$ અથવા $2
u = 430 \;Hz$.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $
u = 205 \;Hz$ અથવા $
u = 215 \;Hz$ મળે છે ... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ની સરખામણી કરતા,સામાન્ય મૂલ્ય $
u = 205 \;Hz$ છે.

(D) સમાન દળ ધરાવતા બે પદાર્થો વચ્ચેની સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,અથડામણ પછી પદાર્થોના વેગની અદલાબદલી થાય છે.
આપેલ છે: દડા $A$ નો પ્રારંભિક વેગ $(u_A)$ = $0.5 \, m s^{-1}$ અને દડા $B$ નો પ્રારંભિક વેગ $(u_B)$ = $-0.3 \, m s^{-1}$.
દળ સમાન હોવાથી અને અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક હોવાથી,દડા $A$ નો અંતિમ વેગ $(v_A)$ એ $u_B$ જેટલો થશે અને દડા $B$ નો અંતિમ વેગ $(v_B)$ એ $u_A$ જેટલો થશે.
તેથી,$v_A = -0.3 \, m s^{-1}$ અને $v_B = 0.5 \, m s^{-1}$.
પ્રશ્નમાં $B$ અને $A$ ના વેગ અનુક્રમે પૂછવામાં આવ્યા છે,જે $v_B$ અને $v_A$ છે.
આમ,વેગ $0.5 \, m s^{-1}$ અને $-0.3 \, m s^{-1}$ થશે.

(D) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ $P$ અને તાપમાન $T$ વચ્ચેનો સંબંધ $T^\gamma P^{1-\gamma} = \text{અચળ}$ છે.
આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $P^{1-\gamma} \propto T^{-\gamma}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $P \propto T^{-\frac{\gamma}{1-\gamma}}$ અથવા $P \propto T^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}$.
આને આપેલા સંબંધ $P \propto T^C$ સાથે સરખાવતા,આપણને $C = \frac{\gamma}{\gamma-1}$ મળે છે.
એક પરમાણ્વીય વાયુ માટે,એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 5/3$ છે.
$\gamma$ ની કિંમત મૂકતા:
$C = \frac{5/3}{5/3 - 1} = \frac{5/3}{2/3} = 5/2$.

(B) આપેલ દળ $(m) = 5\; kg$ અને આવર્તકાળ $(T) = 2\pi\; s$.
સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રના આવર્તકાળનું સૂત્ર $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $2\pi = 2\pi \sqrt{\frac{5}{k}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $1 = \frac{5}{k}$,જેનાથી સ્પ્રિંગ અચળાંક $k = 5\; N/m$ મળે છે.
જ્યારે પદાર્થ લટકાવેલ હોય,ત્યારે વજન $mg$ ને કારણે સ્પ્રિંગમાં $x$ જેટલું વિસ્તરણ થાય છે. હૂકના નિયમ મુજબ,$mg = kx$.
તેથી,લંબાઈમાં ઘટાડો $x = \frac{mg}{k}$.
$m = 5\; kg$ અને $k = 5\; N/m$ મૂકતા: $x = \frac{5g}{5} = g\; m$.

(C) રોકેટ પર લાગતું ધક્કાનું બળ $F$ એ સૂત્ર $F = v \frac{dm}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ રોકેટની સાપેક્ષમાં બહાર ફેંકાતા બળતણનો વેગ છે અને $\frac{dm}{dt}$ એ બળતણ વપરાશનો દર છે.
આપેલ છે:
બળતણ વપરાશનો દર $\frac{dm}{dt} = 1\; kg/s$
બહાર ફેંકાતા બળતણનો વેગ $v = 60\; km/s = 60 \times 10^3\; m/s$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$F = (60 \times 10^3\; m/s) \times (1\; kg/s)$
$F = 60000\; N$
તેથી,રોકેટ પર લાગતું બળ $60000\; N$ છે.

(A) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 20 \; km/h$,અંતિમ વેગ $v = 60 \; km/h$,અને સમય $t = 4 \; h$.
સૌ પ્રથમ,આપણે $v = u + at$ સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને પ્રવેગ $a$ શોધીએ:
$60 = 20 + (a \times 4)$
$40 = 4a$
$a = 10 \; km/h^2$.
હવે,આપણે $d = ut + \frac{1}{2}at^2$ સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને અંતર $d$ શોધીએ:
$d = (20 \times 4) + \frac{1}{2} \times 10 \times (4)^2$
$d = 80 + 5 \times 16$
$d = 80 + 80 = 160 \; km$.

(A) $T$ આવર્તકાળ સાથે $S.H.M.$ કરતા કણ માટે,ગતિઊર્જા $(K)$ અને સ્થિતિઊર્જા $(U)$ નીચે મુજબ છે:
$K = \frac{1}{2} k A^2 \cos^2(\omega t)$
$U = \frac{1}{2} k A^2 \sin^2(\omega t)$
ગતિઊર્જા અને સ્થિતિઊર્જા વચ્ચેનો તફાવત:
$K - U = \frac{1}{2} k A^2 (\cos^2(\omega t) - \sin^2(\omega t)) = \frac{1}{2} k A^2 \cos(2\omega t)$
તફાવતની કોણીય આવૃત્તિ $2\omega$ હોવાથી,નવો આવર્તકાળ $T'$ નીચે મુજબ મળે:
$T' = \frac{2\pi}{2\omega} = \frac{T}{2}$
અહીં $T = 4\; sec$ આપેલ છે,તેથી $T' = \frac{4}{2} = 2\; sec$.

(A) આપેલ છે: પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $R_e = 6400 \; km$,મંગળની ત્રિજ્યા $R_m = 3200 \; km$.
પૃથ્વીનું દળ $M_e = 10 M_m$,પૃથ્વી પર વજન $W_e = 200 \; N$.
પદાર્થનું વજન $W = mg$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $g = \frac{GM}{R^2}$.
તેથી,વજનનો ગુણોત્તર $\frac{W_m}{W_e} = \frac{m g_m}{m g_e} = \frac{M_m}{M_e} \times \left(\frac{R_e}{R_m}\right)^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{W_m}{200} = \frac{1}{10} \times \left(\frac{6400}{3200}\right)^2$.
$\frac{W_m}{200} = \frac{1}{10} \times (2)^2 = \frac{4}{10} = 0.4$.
$W_m = 200 \times 0.4 = 80 \; N$.

(D) ગબડતા ગોળાની કુલ ગતિ ઉર્જા $(K_{total})$ એ તેની રેખીય ગતિ ઉર્જા $(K_{linear})$ અને ચાકગતિ ઉર્જા $(K_{rotational})$ નો સરવાળો છે.
$K_{total} = K_{linear} + K_{rotational} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
ઘન ગોળા માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5}mr^2$ છે અને કોણીય વેગ $\omega = \frac{v}{r}$ છે.
આ કિંમતોને ચાકગતિ ઉર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$K_{rotational} = \frac{1}{2} \left(\frac{2}{5}mr^2\right) \left(\frac{v}{r}\right)^2 = \frac{1}{5}mv^2$.
હવે,કુલ ગતિ ઉર્જાની ગણતરી કરતા:
$K_{total} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2 = \left(\frac{5+2}{10}\right)mv^2 = \frac{7}{10}mv^2$.
ચાકગતિ ઉર્જા અને કુલ ગતિ ઉર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{K_{rotational}}{K_{total}} = \frac{\frac{1}{5}mv^2}{\frac{7}{10}mv^2} = \frac{1}{5} \times \frac{10}{7} = \frac{2}{7}$.
આમ,ગુણોત્તર $2:7$ છે.

(D) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં,$p$ ડાયપોલ મોમેન્ટ ધરાવતા વિદ્યુત ડાયપોલની સ્થિતિ ઊર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = -p \cdot E = -pE \cos \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ સદિશ $p$ અને વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $E$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
શરૂઆતમાં,ડાયપોલ સ્થાયી સંતુલનમાં છે,જેનો અર્થ છે કે $p$ અને $E$ વચ્ચેનો ખૂણો $0^\circ$ છે.
જ્યારે ડાયપોલને આ પ્રારંભિક સ્થિતિમાંથી $\theta$ ખૂણે ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે ડાયપોલ મોમેન્ટ અને વિદ્યુતક્ષેત્ર વચ્ચેનો નવો ખૂણો $\theta$ બને છે.
તેથી,અંતિમ સ્થિતિમાં વિદ્યુત ડાયપોલની સ્થિતિ ઊર્જા $U = -pE \cos \theta$ થશે.

(A) આપેલ છે:
લંબાઈ $l = 50\, cm = 0.5\, m = 50 \times 10^{-2}\, m$
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = 1\, mm^2 = 1 \times 10^{-6}\, m^2$
વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 4\, A$
વોલ્ટેજ $V = 2\, V$
ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,અવરોધ $R$:
$R = \frac{V}{I} = \frac{2}{4} = 0.5\, \Omega$
અવરોધકતા $\rho$ ના સંદર્ભમાં અવરોધનું સૂત્ર:
$R = \rho \frac{l}{A}$
$\rho$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$\rho = \frac{R \cdot A}{l} = \frac{0.5 \times 10^{-6}}{0.5} = 1 \times 10^{-6}\, \Omega\cdot m$
આમ,તારની અવરોધકતા $1 \times 10^{-6}\, \Omega\cdot m$ છે.

(C) ઇલેક્ટ્રિક બલ્બનો પાવર $P$ અને વોલ્ટેજ $V$ તેના અવરોધ $R$ સાથે નીચેના સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે: $P = \frac{V^2}{R}$.
$R$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$R = \frac{V^2}{P}$ મળે છે.
અહીં $V = 220\,V$ અને $P = 60\,W$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $R = \frac{220 \times 220}{60} = \frac{48400}{60} \approx 806.67\,\Omega$.
નજીકની પૂર્ણાંક સંખ્યામાં લેતા,$R = 807\,\Omega$ મળે છે.

(A) આપેલ છે:
ક્ષેત્રફળ $A = 0.01\,m^2$,વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 10\,A$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 0.1\,T$.
લૂપને ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ રાખવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 0^{\circ}$ છે.
સૂત્ર:
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત લૂપ પર લાગતું ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{M} \times \vec{B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{M}$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે.
ટોર્કનું મૂલ્ય $\tau = M B \sin \theta$ છે,જ્યાં $M = I A$.
ગણતરી:
$M = I \times A = 10\,A \times 0.01\,m^2 = 0.1\,A\cdot m^2$.
લૂપ ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ હોવાથી,લૂપના લંબ (ક્ષેત્રફળ સદિશ) અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 0^{\circ}$ છે.
$\tau = M B \sin(0^{\circ}) = 0.1 \times 0.1 \times 0 = 0\,N\cdot m$.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં દોલન કરતા ગજિયા ચુંબકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા,$M$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ અને $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે.
$m$ દળ અને $l$ લંબાઈ ધરાવતા ગજિયા ચુંબક માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{ml^2}{12}$ છે.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,$T = 2\pi \sqrt{\frac{ml^2}{12MB}}$ મળે છે.
આ દર્શાવે છે કે $T \propto \sqrt{m}$.
જો દળ $m$ ને ચાર ગણું $(m' = 4m)$ કરવામાં આવે,તો નવો આવર્તકાળ $T' = 2\pi \sqrt{\frac{4ml^2}{12MB}} = 2 \times (2\pi \sqrt{\frac{ml^2}{12MB}}) = 2T$ થાય છે.
ગતિ $S.H.M.$ જ રહે છે કારણ કે નાના દોલનો માટે પુનઃસ્થાપક ટોર્ક $\tau = -MB \sin \theta \approx -MB \theta$ થાય છે.

(D) ઇન્ડક્ટરમાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(emf)$ સૂત્ર $E = -L \frac{dI}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમયગાળાના પ્રથમ અર્ધભાગમાં,પ્રવાહ $I$ સમય સાથે રેખીય રીતે વધે છે,તેથી પ્રવાહના ફેરફારનો દર $\frac{dI}{dt}$ એ ધન અચળાંક છે. પરિણામે,પ્રેરિત $emf$ $E = -L \frac{dI}{dt}$ એ ઋણ અચળાંક છે.
સમયગાળાના બીજા અર્ધભાગમાં,પ્રવાહ $I$ સમય સાથે રેખીય રીતે ઘટે છે,તેથી પ્રવાહના ફેરફારનો દર $\frac{dI}{dt}$ એ ઋણ અચળાંક છે. પરિણામે,પ્રેરિત $emf$ $E = -L \frac{dI}{dt}$ એ ધન અચળાંક છે.
આને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,જે આલેખ પ્રથમ ઋણ અચળ મૂલ્ય અને ત્યારબાદ ધન અચળ મૂલ્ય દર્શાવે છે તે વિકલ્પ $D$ દ્વારા રજૂ થાય છે.

(A) અનુનાદ સમયે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $(X_L)$ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $(X_C)$ જેટલું હોય છે,એટલે કે $X_L = X_C$.
$L-C-R$ શ્રેણી સર્કિટમાં,કુલ ઇમ્પિડન્સ $(Z)$ નું સૂત્ર $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ છે.
અનુનાદ સમયે,$X_L - X_C = 0$ હોવાથી,ઇમ્પિડન્સ $Z = R$ બને છે.
આનો અર્થ એ છે કે સર્કિટ શુદ્ધ અવરોધક સર્કિટ તરીકે વર્તે છે.
શુદ્ધ અવરોધક સર્કિટમાં,વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ સમાન કળામાં હોય છે.
તેથી,લાગુ પડેલા વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો કળા તફાવત $(\phi)$ $0$ હોય છે.

(D) $NAND$ ગેટ માટે,આઉટપુટ $C$ એ બુલિયન સમીકરણ $C = \overline{A \cdot B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો તપાસતા:
$1$. $A = 0, B = 0$ માટે: $C = \overline{0 \cdot 0} = \overline{0} = 1$.
$2$. $A = 0, B = 1$ માટે: $C = \overline{0 \cdot 1} = \overline{0} = 1$.
$3$. $A = 1, B = 0$ માટે: $C = \overline{1 \cdot 0} = \overline{0} = 1$.
$4$. $A = 1, B = 1$ માટે: $C = \overline{1 \cdot 1} = \overline{1} = 0$.
આ પરિણામોને આપેલા કોષ્ટક સાથે સરખાવતા,આઉટપુટ $NAND$ ગેટના તર્ક સાથે મેળ ખાય છે.

(D) કિરણ પ્રકાશશાસ્ત્ર એ ધારણા પર આધારિત છે કે પ્રકાશ સીધી રેખામાં ગતિ કરે છે. આ અંદાજ ત્યારે સાચો ઠરે છે જ્યારે અવરોધો અથવા છિદ્રોના લાક્ષણિક પરિમાણો (જેમ કે સ્લિટ અથવા વસ્તુનું કદ) પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ કરતા ઘણા મોટા હોય. જો પરિમાણો $\lambda$ ની સરખામણીમાં હોય અથવા તેના કરતા નાના હોય, તો વિવર્તન જેવી તરંગ અસરો નોંધપાત્ર બને છે અને કિરણ પ્રકાશશાસ્ત્ર માન્ય રહેતું નથી. તેથી, સાચી શરત એ છે કે પરિમાણો પ્રકાશની તરંગલંબાઈ કરતા ઘણા મોટા હોવા જોઈએ.

(B) જો તકતી ક્રાંતિકોણ $\theta_c$ ને અનુરૂપ વિસ્તારને આવરી લે,તો પ્રકાશ બહાર આવતો અટકી જશે.
$h$ ઊંડાઈએ રહેલા બિંદુવત ઉદગમ માટે,તકતીની ત્રિજ્યા $r = h \tan \theta_c$ દ્વારા મળે છે.
કારણ કે $\sin \theta_c = \frac{1}{\mu}$,તેથી $\tan \theta_c = \frac{1}{\sqrt{\mu^2 - 1}}$ થાય.
આપેલ કિંમતો $h = 4 \; m$ અને $\mu = 5/3$ મૂકતા:
$r = \frac{4}{\sqrt{(5/3)^2 - 1}} = \frac{4}{\sqrt{25/9 - 1}} = \frac{4}{\sqrt{16/9}} = \frac{4}{4/3} = 3 \; m$.
તકતીનો લઘુત્તમ વ્યાસ $D = 2r = 2 \times 3 = 6 \; m$ થાય.

(A) રેલેના પ્રકીર્ણનના નિયમ મુજબ, પ્રકીર્ણન પામતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I$ તેની તરંગલંબાઈની ચતુર્થ ઘાતના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે, જે $I \propto \frac{1}{\lambda^4}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
દ્રશ્ય પ્રકાશના વર્ણપટમાં વાદળી રંગની તરંગલંબાઈ $(\lambda_{blue})$ સૌથી ઓછી હોવાથી, વાતાવરણના કણો દ્વારા તેનું સૌથી વધુ પ્રકીર્ણન થાય છે.
તેથી, આકાશ આપણને વાદળી દેખાય છે.

(C) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં,દોલિત વિદ્યુત ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ હંમેશા એકબીજાને પરસ્પર લંબ હોય છે અને તરંગના પ્રસરણની દિશાને પણ લંબ હોય છે.
વધુમાં,આ ક્ષેત્રો સમાન કળામાં હોય છે,જેનો અર્થ છે કે તેઓ એક જ સમયે અને એક જ અવકાશી સ્થાન પર તેમના મહત્તમ અને ન્યૂનતમ મૂલ્યો પ્રાપ્ત કરે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) $Big$ $Bang$ થિયરી એ બ્રહ્માંડની ઉત્પત્તિ માટે સૌથી સંતોષકારક વૈજ્ઞાનિક સમજૂતી તરીકે વ્યાપકપણે સ્વીકારવામાં આવે છે.
તે સૂચવે છે કે બ્રહ્માંડની શરૂઆત આશરે $13.8$ અબજ વર્ષો પહેલા એક ગરમ અને અત્યંત ઘન બિંદુથી થઈ હતી અને ત્યારથી તે સતત વિસ્તરી રહ્યું છે અને ઠંડું પડી રહ્યું છે.
આ સિદ્ધાંતને કોસ્મિક માઇક્રોવેવ બેકગ્રાઉન્ડ રેડિયેશન અને દૂરની ગેલેક્સીઓના રેડશિફ્ટ જેવા નોંધપાત્ર અવલોકનક્ષમ પુરાવાઓનું સમર્થન મળે છે.

(A) વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટને આવૃત્તિ અને તરંગલંબાઈના આધારે ક્રમબદ્ધ કરવામાં આવે છે. વધતી જતી તરંગલંબાઈનો ક્રમ આ મુજબ છે: $\gamma-$ કિરણો < $X-$ કિરણો < $UV$ કિરણો < દ્રશ્ય પ્રકાશ < ઇન્ફ્રારેડ < માઇક્રોવેવ્ઝ < રેડિયો તરંગો.
$\gamma-$ કિરણોની આવૃત્તિ સૌથી વધુ હોવાથી,આપેલા વિકલ્પોમાં તેમની તરંગલંબાઈ સૌથી નાની છે.

(A) ખગોળીય ટેલિસ્કોપની મોટવણી $M$ નું સૂત્ર $M = -\frac{f_o}{f_e}$ છે,જ્યાં $f_o$ એ ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ છે અને $f_e$ એ આઈપીસની કેન્દ્રલંબાઈ છે.
સૌથી વધુ મોટવણી મેળવવા માટે,ગુણોત્તર $\left| \frac{f_o}{f_e} \right|$ નું મૂલ્ય મહત્તમ હોવું જોઈએ.
આ માટે ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ સૌથી વધુ $(f_o = 150\; cm)$ અને આઈપીસની કેન્દ્રલંબાઈ સૌથી ઓછી $(f_e = 15\; cm)$ હોવી જોઈએ.
તેથી,આઈપીસની કેન્દ્રલંબાઈ $15\; cm$ હોવી જોઈએ.

(D) $Skin \text{ } Effect$ તરીકે ઓળખાતી ઘટનાને કારણે $A.C.$ પ્રવાહનો મોટો ભાગ વાહકની સપાટી નજીક વહે છે।
$A.C.$ ના વહન માટે, એક જાડા તારનો ઉપયોગ કરવો બિનકાર્યક્ષમ છે કારણ કે તારનો અંદરનો ભાગ ખૂબ જ ઓછો પ્રવાહ વહન કરે છે।
બહુવિધ પાતળા તારનો ઉપયોગ કરવાથી, કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ વધે છે, જે $A.C.$ માટે અસરકારક અવરોધ ઘટાડે છે અને કાર્યક્ષમતામાં સુધારો કરે છે।
$D.C.$ ના વહન માટે, પ્રવાહ વાહકના આડછેદમાં સમાનરૂપે વહેંચાયેલો હોય છે, તેથી એક જાડો તાર અથવા બહુવિધ પાતળા તાર બંને અસરકારક રીતે કાર્ય કરશે।
તેથી, $A.C.$ માટે બહુવિધ તાર વધુ યોગ્ય છે, જ્યારે $D.C.$ માટે બંને પ્રકારના તાર વાપરી શકાય છે।

(B) એસી (Alternating Current) પ્રવાહનું રૂટ મીન સ્ક્વેર $(I_{\text{rms}})$ મૂલ્ય એ એક સંપૂર્ણ ચક્ર દરમિયાન તત્કાલિન પ્રવાહના વર્ગોના સરેરાશનું વર્ગમૂળ છે.
$I = I_{0} \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવતા સાઇનસૉઇડલ એસી પ્રવાહ માટે,$I_{\text{rms}}$ ની ગણતરી નીચે મુજબ થાય છે:
$I_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} I^{2} dt}$
$I = I_{0} \sin(\omega t)$ મૂકતા:
$I_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} I_{0}^{2} \sin^{2}(\omega t) dt}$
$I_{\text{rms}} = I_{0} \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} \frac{1 - \cos(2\omega t)}{2} dt}$
$I_{\text{rms}} = I_{0} \sqrt{\frac{1}{2T} [t - \frac{\sin(2\omega t)}{2\omega}]_{0}^{T}}$
કારણ કે $\sin(2\omega T) = \sin(4\pi) = 0$ છે,તેથી:
$I_{\text{rms}} = I_{0} \sqrt{\frac{T}{2T}} = \frac{I_{0}}{\sqrt{2}}$
તેથી,સાચો સંબંધ $I_{\text{rms}} = \frac{1}{\sqrt{2}} I_{0}$ છે.

(A) વિદ્યુતના સારા વાહકો એવા પદાર્થો છે જે મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનની હાજરીને કારણે તેમની અંદરથી વિદ્યુત પ્રવાહને સરળતાથી પસાર થવા દે છે.
$Cu$ (તાંબુ),$Ag$ (ચાંદી) અને $Au$ (સોનું) જેવી ધાતુઓમાં તેમની ધાત્વિક લેટીસમાં મોટી સંખ્યામાં મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન હોય છે,જે તેમને ઉત્તમ વાહક બનાવે છે.
$Si$ (સિલિકોન) અને $Ge$ (જર્મેનિયમ) એ અર્ધવાહકો છે.
$Diamond$ (હીરો) એ અવાહક છે.
$NaCl$ (સોડિયમ ક્લોરાઇડ) એ આયનીય ઘન પદાર્થ છે જે ફક્ત પીગળેલા અવસ્થામાં અથવા જલીય દ્રાવણમાં જ વિદ્યુતનું વહન કરે છે,ઘન અવસ્થામાં નહીં.
તેથી,$Cu, Ag$ અને $Au$ ધરાવતો સમૂહ સંપૂર્ણપણે સારા વાહકોનો બનેલો છે.

(B) વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ ધન વિદ્યુતભારમાંથી ઉદ્ભવે છે અને ઋણ વિદ્યુતભાર પર સમાપ્ત થાય છે.
આપેલી આકૃતિમાં,વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ બંને વિદ્યુતભારો $q_1$ અને $q_2$ તરફ જતી દેખાય છે.
જેથી ક્ષેત્ર રેખાઓ બંને વિદ્યુતભારો પર સમાપ્ત થતી હોવાથી,$q_1$ અને $q_2$ બંને ઋણ વિદ્યુતભારો હોવા જોઈએ.
તેથી,$q_1$ અને $q_2$ બંને ઋણ છે.

(B) કેન્દ્ર પર રહેલા $q_{2}$ વિદ્યુતભારને કારણે $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર પથ પરના કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q_{2}}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $q_{2}$ અને $r$ અચળ હોવાથી,વર્તુળાકાર પથના તમામ બિંદુઓ પર સ્થિતિમાન $V$ સમાન રહે છે,તેથી આ પથ સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ છે.
$q_{1}$ વિદ્યુતભારને બિંદુ $A$ થી બિંદુ $B$ સુધી લઈ જવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W = q_{1}(V_{B} - V_{A})$ છે.
પથ સમસ્થિતિમાન હોવાથી,શરૂઆતના બિંદુ અને એક પૂર્ણ ચક્ર પછીના અંતિમ બિંદુએ સ્થિતિમાન સમાન હોય છે,એટલે કે $V_{A} = V_{B}$.
તેથી,કરવું પડતું કાર્ય $W = q_{1}(V - V) = 0$ થાય.

(C) પોલા ધાતુના ગોળા માટે,તેની અંદરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે $(E = 0)$.
વિદ્યુતક્ષેત્ર એ સ્થિતિમાનના ઋણ પ્રચલન (gradient) જેટલું હોવાથી $(E = -dV/dr)$,જો $E = 0$ હોય,તો સ્થિતિમાન $V$ અંદરના ભાગમાં અચળ રહેવું જોઈએ.
તેથી,ગોળાની અંદરના કોઈપણ બિંદુએ,કેન્દ્ર સહિત,સ્થિતિમાન તેની સપાટી પરના સ્થિતિમાન જેટલું જ હોય છે.
આપેલ છે કે સપાટી પરનું સ્થિતિમાન $80 \; V$ છે,તેથી કેન્દ્ર પરનું સ્થિતિમાન પણ $80 \; V$ થશે.

(B) પરિપથને સમપ્રમાણતા અને શ્રેણી-સમાંતર જોડાણોને ધ્યાનમાં લઈને સરળ બનાવી શકાય છે.
$1$. $AF$ અને $FE$ પરના અવરોધો શ્રેણીમાં છે. તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_1 = 3 \; \Omega + 3 \; \Omega = 6 \; \Omega$ છે.
$2$. આ $R_1$ એ $AE$ પર જોડાયેલા $6 \; \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતરમાં છે. સમતુલ્ય અવરોધ $R_{AE}'$ માટે $\frac{1}{R_{AE}'} = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \Rightarrow R_{AE}' = 3 \; \Omega$ મળે છે.
$3$. તેવી જ રીતે, $ED$ અને $DC$ પરના અવરોધો $AD$ પરના $6 \; \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતરમાં શ્રેણીબદ્ધ છે, જેનાથી $A$ અને $C$ વચ્ચે $3 \; \Omega$ નો સમતુલ્ય અવરોધ મળે છે.
$4$. અંતે, પરિપથ $A$ અને $B$ વચ્ચે જોડાયેલા $3 \; \Omega$ ના ત્રણ અવરોધોમાં ઘટાડો થાય છે (એક સીધો, અને બે $C$ માર્ગ દ્વારા).
$5$. સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ એ સીધા $3 \; \Omega$ ના અવરોધ અને અન્ય બે $3 \; \Omega$ ના અવરોધોના શ્રેણી જોડાણ $(3+3=6 \; \Omega)$ નું સમાંતર જોડાણ છે.
$6$. $R_{eq} = \frac{3 \times 6}{3 + 6} = \frac{18}{9} = 2 \; \Omega$.

(D) એકમ સમયમાં વહેતા ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $\frac{n}{t} = 10^{7} \; s^{-1}$ છે.
વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ ને વિદ્યુતભારના વહનનો દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,$I = \frac{q}{t}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $q = ne$,જ્યાં $e$ એ મૂળભૂત વિદ્યુતભાર છે $(e = 1.6 \times 10^{-19} \; C)$,તેથી $I = \frac{ne}{t} = \left(\frac{n}{t}\right) \times e$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $I = 10^{7} \times (1.6 \times 10^{-19} \; C) = 1.6 \times 10^{-12} \; A$.