AIPMT 1994 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) दो सदिशों $\vec A$ और $\vec B$ के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने का सूत्र है: $\cos \theta = \frac{\vec A \cdot \vec B}{|A||B|}$।
सबसे पहले,अदिश गुणन (dot product) की गणना करें: $\vec A \cdot \vec B = (3)(3) + (4)(4) + (5)(-5) = 9 + 16 - 25 = 0$।
इसके बाद,सदिशों के परिमाण (magnitudes) की गणना करें: $|A| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50}$ और $|B| = \sqrt{3^2 + 4^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50}$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $\cos \theta = \frac{0}{\sqrt{50} \cdot \sqrt{50}} = \frac{0}{50} = 0$।
चूंकि $\cos \theta = 0$,इसलिए कोण $\theta = 90^\circ$ है।

(B) एक अचर बल $\vec{F}$ द्वारा विस्थापन $\vec{r}$ के दौरान किया गया कार्य $W$ अदिश गुणनफल (dot product) द्वारा दिया जाता है: $W = \vec{F} \cdot \vec{r}$।
दिया गया बल $\vec{F} = (-2\hat{i} + 15\hat{j} + 6\hat{k})\,N$ है।
विस्थापन $Y$-अक्ष के अनुदिश $10\,m$ है,इसलिए $\vec{r} = 10\hat{j}\,m$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$W = (-2\hat{i} + 15\hat{j} + 6\hat{k}) \cdot (10\hat{j})$
$W = (-2 \times 0) + (15 \times 10) + (6 \times 0)$
$W = 0 + 150 + 0 = 150\,J$।
अतः,किया गया कार्य $150\,J$ है।

(B) मान लीजिए $\overrightarrow{v_b}$ पानी के सापेक्ष नाव का वेग है और $\overrightarrow{v_r}$ जमीन के सापेक्ष नदी के पानी का वेग है।
जमीन के सापेक्ष नाव का परिणामी वेग $\overrightarrow{v_{bg}} = \overrightarrow{v_b} + \overrightarrow{v_r}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि नाव नदी के प्रवाह के लंबवत पार करती है,इसलिए सदिश $\overrightarrow{v_b}$ और $\overrightarrow{v_r}$ एक दूसरे के लंबवत हैं।
अतः,परिणामी वेग का परिमाण $v_{bg} = \sqrt{v_b^2 + v_r^2}$ होगा।
यहाँ $v_{bg} = 10 \, km/h$ और $v_b = 8 \, km/h$ दिया गया है,इसलिए:
$10 = \sqrt{8^2 + v_r^2}$
$100 = 64 + v_r^2$
$v_r^2 = 100 - 64 = 36$
$v_r = 6 \, km/h$.

(C) दाब को प्रति इकाई क्षेत्रफल पर लगने वाले बल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$P = \frac{F}{A}$
बल $(F)$ का विमीय सूत्र $[MLT^{-2}]$ है।
क्षेत्रफल $(A)$ का विमीय सूत्र $[L^2]$ है।
अतः,दाब की विमाएँ हैं:
$[P] = \frac{[MLT^{-2}]}{[L^2]} = [ML^{-1}T^{-2}]$.

(D) विस्थापन $s = t^3 - 6t^2 + 3t + 4$ द्वारा दिया गया है।
वेग $v$,समय के सापेक्ष विस्थापन का प्रथम अवकलज है: $v = \frac{ds}{dt} = 3t^2 - 12t + 3$.
त्वरण $a$,समय के सापेक्ष वेग का अवकलज है: $a = \frac{dv}{dt} = 6t - 12$.
वह समय ज्ञात करने के लिए जब त्वरण शून्य हो,$a = 0$ रखें:
$6t - 12 = 0 \implies t = 2 \ s$.
अब,वेग समीकरण में $t = 2$ का मान रखें:
$v = 3(2)^2 - 12(2) + 3 = 3(4) - 24 + 3 = 12 - 24 + 3 = -9 \ m s^{-1}$.

(D) मान लीजिए कि कार $t_1$ समय के लिए $\alpha$ की निरंतर दर से त्वरित होती है। प्राप्त अधिकतम वेग $v = u + \alpha t_1$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि यह विरामावस्था से शुरू होती है,$u = 0$,इसलिए $v = \alpha t_1$।
इसके बाद,कार शेष समय $(t - t_1)$ के लिए $\beta$ की निरंतर दर से मंदित होती है और अंत में रुक जाती है। मंदन चरण के लिए $v = u + at$ समीकरण का उपयोग करते हुए,हमें $0 = v - \beta(t - t_1)$ प्राप्त होता है।
$v = \alpha t_1$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $0 = \alpha t_1 - \beta t + \beta t_1$ मिलता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $(\alpha + \beta) t_1 = \beta t$ प्राप्त होता है,जिससे $t_1 = \frac{\beta}{\alpha + \beta} t$ मिलता है।
$t_1$ के मान को $v$ के व्यंजक में रखने पर,हमें $v = \alpha \left( \frac{\beta}{\alpha + \beta} t \right) = \frac{\alpha \beta}{\alpha + \beta} t$ प्राप्त होता है।

(D) कण का तात्क्षणिक वेग विस्थापन-समय ग्राफ के उस बिंदु पर ढलान (slope) द्वारा दिया जाता है।
गणितीय रूप से,$v = \frac{ds}{dt}$।
- बिंदु $C$ पर,ढलान धनात्मक है क्योंकि विस्थापन बढ़ रहा है।
- बिंदु $D$ पर,ढलान शून्य है क्योंकि यह वक्र का उच्चतम बिंदु है।
- बिंदु $E$ पर,ढलान ऋणात्मक है क्योंकि समय के साथ विस्थापन घट रहा है।
- बिंदु $F$ पर,ढलान धनात्मक है क्योंकि विस्थापन फिर से बढ़ रहा है।
इसलिए,बिंदु $E$ पर तात्क्षणिक वेग ऋणात्मक है।

(A) एकसमान वृत्तीय गति में,पिंड एक वृत्ताकार पथ पर एकसमान चाल से गति करता है।
चूंकि अभिकेंद्र बल $F$ हमेशा वृत्त के केंद्र की ओर कार्य करता है और विस्थापन $ds$ हमेशा वृत्त की स्पर्शरेखा के अनुदिश होता है,इसलिए बल और विस्थापन के बीच का कोण $\theta = 90^{\circ}$ होता है।
किया गया कार्य $W$ का मान $W = \int F \cdot ds = \int F \cos(90^{\circ}) ds = 0$ होता है।
अतः,अभिकेंद्र बल द्वारा पिंड पर कोई कार्य नहीं किया जाता है।

(D) एक सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $g_{eff}$ गुरुत्वाकर्षण के कारण प्रभावी त्वरण है।
आवर्तकाल $T$ को कम करने के लिए,प्रभावी त्वरण $g_{eff}$ का बढ़ना आवश्यक है।
जब रॉकेट $a$ समान त्वरण के साथ ऊपर जाता है,तो लोलक द्वारा अनुभव किया जाने वाला प्रभावी त्वरण $g_{eff} = g + a$ होता है।
चूंकि $g + a > g$,प्रभावी गुरुत्वाकर्षण बढ़ जाता है,जिससे आवर्तकाल $T$ में कमी आती है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) परिवर्तनीय द्रव्यमान प्रणाली के लिए न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार उपग्रह पर कार्य करने वाला बल $F = \frac{d}{dt}(Mv)$ है।
चूंकि उपग्रह बल-मुक्त अंतरिक्ष में है,इसलिए कुल बाहरी बल $F = 0$ है।
अवकलन का विस्तार करने पर: $F = M \frac{dv}{dt} + v \frac{dM}{dt} = 0$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि द्रव्यमान संचय की दर $\frac{dM}{dt} = \alpha v$ है,इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$M \frac{dv}{dt} + v(\alpha v) = 0$ प्राप्त होता है।
त्वरण $a = \frac{dv}{dt}$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
$M \frac{dv}{dt} = -\alpha v^2$ प्राप्त होता है।
अतः,मंदन (या त्वरण) $a = -\frac{\alpha v^2}{M}$ है।

(D) परिवर्ती बल द्वारा किया गया कार्य विस्थापन के सापेक्ष बल के समाकलन द्वारा प्राप्त होता है: $W = \int_{x_1}^{x_2} F(x) \, dx$.
यहाँ $F(x) = 7 - 2x + 3x^2$,$x_1 = 0$,और $x_2 = 5$ दिया गया है।
$W = \int_{0}^{5} (7 - 2x + 3x^2) \, dx$.
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर:
$W = [7x - x^2 + x^3]_{0}^{5}$.
सीमाओं का मान रखने पर:
$W = (7(5) - (5)^2 + (5)^3) - (7(0) - (0)^2 + (0)^3)$.
$W = (35 - 25 + 125) - 0$.
$W = 135 \, J$.

(B) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किसी वस्तु पर कुल बल द्वारा किया गया कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
चूंकि वस्तु स्थिर अवस्था से शुरू होती है,इसलिए प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $0$ है।
किया गया कार्य $W = F \times d$ है।
अतः,अंतिम गतिज ऊर्जा $K.E. = F \times d$ है।
चूंकि बल $F$ और दूरी $d$ नियत हैं,इसलिए प्राप्त गतिज ऊर्जा केवल बल और दूरी के गुणनफल पर निर्भर करती है।
यह वस्तु के द्रव्यमान $m$ पर निर्भर नहीं करती है।
इस प्रकार,गतिज ऊर्जा $m$ से स्वतंत्र है।

(B) गुरुत्वाकर्षण बल कण को वृत्ताकार कक्षा में गति करने के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।
वृत्ताकार कक्षा के लिए,अभिकेंद्र बल $F_c = \frac{mv^2}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रश्न के अनुसार,गुरुत्वाकर्षण बल $F_g \propto \frac{1}{R}$ है,जिसे किसी नियतांक $K$ के लिए $F_g = \frac{K}{R}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दोनों बलों को बराबर करने पर: $\frac{mv^2}{R} = \frac{K}{R}$।
दोनों पक्षों से $R$ को हटाने पर,हमें $mv^2 = K$ प्राप्त होता है।
चूंकि $m$ और $K$ नियतांक हैं,इसलिए $v^2$ नियत रहता है,जिसका अर्थ है कि $v$ नियत है।
अतः,$v \propto R^0$।

(A) केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार,आवर्तकाल $T$ का वर्ग कक्षा की अर्ध-दीर्घ अक्ष $R$ के घन के समानुपाती होता है: $T^2 \propto R^3$।
दिया गया है:
$R_1 = 10^{13} \ m$ (नेपच्यून)
$R_2 = 10^{12} \ m$ (शनि)
आवर्तकालों का अनुपात इस प्रकार है:
$\frac{T_1}{T_2} = \left( \frac{R_1}{R_2} \right)^{3/2}$
मान रखने पर:
$\frac{T_1}{T_2} = \left( \frac{10^{13}}{10^{12}} \right)^{3/2}$
$\frac{T_1}{T_2} = (10)^{3/2}$
$\frac{T_1}{T_2} = 10^1 \cdot 10^{1/2} = 10\sqrt{10}$

(A) सरल आवर्त गति $(SHM)$ एक प्रकार की आवर्ती गति है जिसमें प्रत्यानयन बल विस्थापन के सीधे आनुपातिक होता है और विस्थापन की विपरीत दिशा में कार्य करता है।
दोनों सिरों पर बंधी डोरी में बनने वाली अप्रगामी तरंगें दो प्रगामी तरंगों का अध्यारोपण होती हैं,और डोरी के कण अपनी माध्य स्थितियों के परितः सरल आवर्त गति करते हैं।
अतः,दोनों सिरों पर बंधी डोरी में कणों की गति सरल आवर्त गति का एक उदाहरण है।

(A) सरल आवर्त गति $(S.H.M.)$ करने वाले कण के लिए,प्रत्यानयन बल माध्य स्थिति से विस्थापन के ऋणात्मक मान के सीधे समानुपाती होता है।
गणितीय रूप से,इसे $F = -kx$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,जहाँ $k$ बल स्थिरांक है।
चूंकि $A$ और $K$ धनात्मक स्थिरांक दिए गए हैं,इसलिए इस गति के लिए बल का समीकरण $F = -AKx$ होगा।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) सरल आवर्त प्रगामी तरंग का सामान्य समीकरण $y = A \sin (\omega t - kx + \phi)$ या $y = A \sin (kx - \omega t + \phi)$ द्वारा दिया जाता है।
विकल्प $D$,$Y = A \sin (at - bx + c)$,एक प्रगामी तरंग का प्रतिनिधित्व करता है क्योंकि यह $(at - bx)$ का एक फलन है,जो तरंग समीकरण $\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}$ को संतुष्ट करता है,जहाँ तरंग की गति $v = \frac{a}{b}$ है।
विकल्प $A$,$B$,और $C$ एक प्रगामी तरंग का प्रतिनिधित्व नहीं करते हैं क्योंकि उनमें स्थान $(x)$ और समय $(t)$ दोनों पर आवश्यक निर्भरता सही कार्यात्मक रूप में नहीं है।

(A) अप्रगामी तरंग के लिए दिया गया समीकरण $Y = A \sin(100t) \cos(0.01x)$ है।
इस समीकरण की तुलना अप्रगामी तरंग के मानक समीकरण $Y = A \sin(\omega t) \cos(kx)$ से करने पर,हमें कोणीय आवृत्ति $\omega = 100 \ rad/s$ और तरंग संख्या $k = 0.01 \ rad/m$ प्राप्त होती है।
तरंग का वेग $v$,कोणीय आवृत्ति और तरंग संख्या का अनुपात होता है:
$v = \frac{\omega}{k} = \frac{100}{0.01} = 10000 \ m/s$.

(B) स्थिर सिरे पर हमेशा एक निस्पंद (node) बनता है।
यह दिया गया है कि स्थिर सिरे से $10 \, cm$ की दूरी पर एक निस्पंद बनता है,यह दूरी दो क्रमागत निस्पंदों के बीच की दूरी को दर्शाती है।
दो क्रमागत निस्पंदों के बीच की दूरी $\frac{\lambda}{2} = 10 \, cm$ होती है।
इसलिए,तरंगदैर्ध्य $\lambda = 20 \, cm = 0.2 \, m$ है।
तरंग की चाल $v$ का सूत्र $v = f \lambda$ है,जहाँ $f = 100 \, Hz$ है।
$v = 100 \times 0.2 = 20 \, m/s$.

(B) बीट आवृत्ति दो आवृत्तियों के बीच का अंतर होती है।
दिया गया है कि,$
u$ और $200 \;Hz$ आवृत्ति के लिए बीट आवृत्ति $5 \;Hz$ है।
अतः,$
u = 200 \pm 5$,जिसका अर्थ है $
u = 195 \;Hz$ या $
u = 205 \;Hz$ ... $(i)$
दूसरे हार्मोनिक $2
u$ और $420 \;Hz$ के लिए,बीट आवृत्ति $10 \;Hz$ है।
अतः,$2
u = 420 \pm 10$,जिसका अर्थ है $2
u = 410 \;Hz$ या $2
u = 430 \;Hz$।
$2$ से विभाजित करने पर,हमें $
u = 205 \;Hz$ या $
u = 215 \;Hz$ प्राप्त होता है ... $(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर,सामान्य मान $
u = 205 \;Hz$ है।

(D) समान द्रव्यमान वाली दो वस्तुओं के बीच प्रत्यास्थ टक्कर में,टक्कर के बाद वस्तुओं के वेग आपस में बदल जाते हैं।
दिया गया है: गेंद $A$ का प्रारंभिक वेग $(u_A)$ = $0.5 \, m s^{-1}$ और गेंद $B$ का प्रारंभिक वेग $(u_B)$ = $-0.3 \, m s^{-1}$ है।
चूंकि द्रव्यमान समान हैं और टक्कर प्रत्यास्थ है,इसलिए गेंद $A$ का अंतिम वेग $(v_A)$,$u_B$ के बराबर होगा और गेंद $B$ का अंतिम वेग $(v_B)$,$u_A$ के बराबर होगा।
अतः,$v_A = -0.3 \, m s^{-1}$ और $v_B = 0.5 \, m s^{-1}$।
प्रश्न में $B$ और $A$ के वेग क्रमशः पूछे गए हैं,जो $v_B$ और $v_A$ हैं।
इस प्रकार,वेग $0.5 \, m s^{-1}$ और $-0.3 \, m s^{-1}$ होंगे।

(D) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दाब $P$ और तापमान $T$ के बीच का संबंध $T^\gamma P^{1-\gamma} = \text{स्थिरांक}$ है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $P^{1-\gamma} \propto T^{-\gamma}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $P \propto T^{-\frac{\gamma}{1-\gamma}}$ या $P \propto T^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}$।
इसे दिए गए संबंध $P \propto T^C$ के साथ तुलना करने पर,हमें $C = \frac{\gamma}{\gamma-1}$ प्राप्त होता है।
एकपरमाणुक गैस के लिए,रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = 5/3$ होता है।
$\gamma$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$C = \frac{5/3}{5/3 - 1} = \frac{5/3}{2/3} = 5/2$।

(B) दिया गया द्रव्यमान $(m) = 5\; kg$ और आवर्तकाल $(T) = 2\pi\; s$ है।
स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली के आवर्तकाल का सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ है।
मान रखने पर: $2\pi = 2\pi \sqrt{\frac{5}{k}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $1 = \frac{5}{k}$,जिससे स्प्रिंग नियतांक $k = 5\; N/m$ प्राप्त होता है।
जब पिंड लटका होता है,तो भार $mg$ के कारण स्प्रिंग में $x$ का विस्तार होता है। हुक के नियम के अनुसार,$mg = kx$ होता है।
अतः,लंबाई में कमी $x = \frac{mg}{k}$ होगी।
$m = 5\; kg$ और $k = 5\; N/m$ रखने पर: $x = \frac{5g}{5} = g\; m$।

(C) रॉकेट पर लगने वाला प्रणोद बल $F$,सूत्र $F = v \frac{dm}{dt}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $v$ रॉकेट के सापेक्ष उत्सर्जित ईंधन का वेग है और $\frac{dm}{dt}$ ईंधन की खपत की दर है।
दिया गया है:
ईंधन की खपत की दर $\frac{dm}{dt} = 1\; kg/s$
उत्सर्जित ईंधन का वेग $v = 60\; km/s = 60 \times 10^3\; m/s$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$F = (60 \times 10^3\; m/s) \times (1\; kg/s)$
$F = 60000\; N$
अतः,रॉकेट पर लगने वाला बल $60000\; N$ है।

(A) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 20 \; km/h$,अंतिम वेग $v = 60 \; km/h$,और समय $t = 4 \; h$ है।
सबसे पहले,हम $v = u + at$ समीकरण का उपयोग करके त्वरण $a$ की गणना करते हैं:
$60 = 20 + (a \times 4)$
$40 = 4a$
$a = 10 \; km/h^2$।
अब,हम $d = ut + \frac{1}{2}at^2$ समीकरण का उपयोग करके दूरी $d$ की गणना करते हैं:
$d = (20 \times 4) + \frac{1}{2} \times 10 \times (4)^2$
$d = 80 + 5 \times 16$
$d = 80 + 80 = 160 \; km$।

(A) $T$ आवर्तकाल के साथ $S.H.M.$ करने वाले कण के लिए,गतिज ऊर्जा $(K)$ और स्थितिज ऊर्जा $(U)$ इस प्रकार हैं:
$K = \frac{1}{2} k A^2 \cos^2(\omega t)$
$U = \frac{1}{2} k A^2 \sin^2(\omega t)$
गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा के बीच का अंतर है:
$K - U = \frac{1}{2} k A^2 (\cos^2(\omega t) - \sin^2(\omega t)) = \frac{1}{2} k A^2 \cos(2\omega t)$
चूंकि अंतर की कोणीय आवृत्ति $2\omega$ है,इसलिए नया आवर्तकाल $T'$ होगा:
$T' = \frac{2\pi}{2\omega} = \frac{T}{2}$
यहाँ $T = 4\; sec$ दिया गया है,इसलिए $T' = \frac{4}{2} = 2\; sec$।

(A) दिया गया है: पृथ्वी की त्रिज्या $R_e = 6400 \; km$,मंगल की त्रिज्या $R_m = 3200 \; km$.
पृथ्वी का द्रव्यमान $M_e = 10 M_m$,पृथ्वी पर भार $W_e = 200 \; N$.
वस्तु का भार $W = mg$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $g = \frac{GM}{R^2}$.
अतः,भार का अनुपात $\frac{W_m}{W_e} = \frac{m g_m}{m g_e} = \frac{M_m}{M_e} \times \left(\frac{R_e}{R_m}\right)^2$.
मान रखने पर: $\frac{W_m}{200} = \frac{1}{10} \times \left(\frac{6400}{3200}\right)^2$.
$\frac{W_m}{200} = \frac{1}{10} \times (2)^2 = \frac{4}{10} = 0.4$.
$W_m = 200 \times 0.4 = 80 \; N$.

(D) लुढ़कते हुए गोले की कुल गतिज ऊर्जा $(K_{total})$ उसकी रैखिक गतिज ऊर्जा $(K_{linear})$ और घूर्णन गतिज ऊर्जा $(K_{rotational})$ का योग होती है।
$K_{total} = K_{linear} + K_{rotational} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
एक ठोस गोले के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}mr^2$ है और कोणीय वेग $\omega = \frac{v}{r}$ है।
इन मानों को घूर्णन गतिज ऊर्जा के व्यंजक में रखने पर:
$K_{rotational} = \frac{1}{2} \left(\frac{2}{5}mr^2\right) \left(\frac{v}{r}\right)^2 = \frac{1}{5}mv^2$.
अब,कुल गतिज ऊर्जा की गणना करने पर:
$K_{total} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2 = \left(\frac{5+2}{10}\right)mv^2 = \frac{7}{10}mv^2$.
घूर्णन गतिज ऊर्जा और कुल गतिज ऊर्जा का अनुपात है:
$\frac{K_{rotational}}{K_{total}} = \frac{\frac{1}{5}mv^2}{\frac{7}{10}mv^2} = \frac{1}{5} \times \frac{10}{7} = \frac{2}{7}$.
अतः,अनुपात $2:7$ है।

(D) एकसमान विद्युत क्षेत्र $E$ में,$p$ द्विध्रुव आघूर्ण वाले विद्युत द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = -p \cdot E = -pE \cos \theta$ है,जहाँ $\theta$ द्विध्रुव आघूर्ण सदिश $p$ और विद्युत क्षेत्र सदिश $E$ के बीच का कोण है।
प्रारंभ में,द्विध्रुव स्थिर संतुलन में है,जिसका अर्थ है कि $p$ और $E$ के बीच का कोण $0^\circ$ है।
जब द्विध्रुव को इस प्रारंभिक स्थिति से $\theta$ कोण तक घुमाया जाता है,तो द्विध्रुव आघूर्ण और विद्युत क्षेत्र के बीच का नया कोण $\theta$ हो जाता है।
इसलिए,अंतिम स्थिति में विद्युत द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा $U = -pE \cos \theta$ होगी।

(A) दिया गया है:
लंबाई $l = 50\, cm = 0.5\, m = 50 \times 10^{-2}\, m$
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = 1\, mm^2 = 1 \times 10^{-6}\, m^2$
धारा $I = 4\, A$
विभवांतर $V = 2\, V$
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,प्रतिरोध $R$:
$R = \frac{V}{I} = \frac{2}{4} = 0.5\, \Omega$
प्रतिरोधकता $\rho$ के संदर्भ में प्रतिरोध का सूत्र:
$R = \rho \frac{l}{A}$
$\rho$ के लिए हल करने पर:
$\rho = \frac{R \cdot A}{l} = \frac{0.5 \times 10^{-6}}{0.5} = 1 \times 10^{-6}\, \Omega\cdot m$
अतः,तार की प्रतिरोधकता $1 \times 10^{-6}\, \Omega\cdot m$ है।

(C) इलेक्ट्रिक बल्ब की शक्ति $P$ और वोल्टेज $V$ उसके प्रतिरोध $R$ से इस सूत्र द्वारा संबंधित हैं: $P = \frac{V^2}{R}$।
$R$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$R = \frac{V^2}{P}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $V = 220\,V$ और $P = 60\,W$ दिया गया है।
मान रखने पर: $R = \frac{220 \times 220}{60} = \frac{48400}{60} \approx 806.67\,\Omega$।
निकटतम पूर्णांक में लेने पर,$R = 807\,\Omega$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है:
क्षेत्रफल $A = 0.01\,m^2$,धारा $I = 10\,A$,चुंबकीय क्षेत्र $B = 0.1\,T$ है।
लूप को चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत रखा गया है,जिसका अर्थ है कि क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ और चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B}$ के बीच का कोण $\theta = 0^{\circ}$ है।
सूत्र:
चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही लूप पर कार्य करने वाला टॉर्क $\vec{\tau} = \vec{M} \times \vec{B}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{M}$ चुंबकीय आघूर्ण है।
टॉर्क का परिमाण $\tau = M B \sin \theta$ है,जहाँ $M = I A$ है।
गणना:
$M = I \times A = 10\,A \times 0.01\,m^2 = 0.1\,A\cdot m^2$ है।
चूंकि लूप क्षेत्र के लंबवत है,लूप के अभिलंब (क्षेत्रफल सदिश) और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण $\theta = 0^{\circ}$ है।
$\tau = M B \sin(0^{\circ}) = 0.1 \times 0.1 \times 0 = 0\,N\cdot m$।

(A) चुंबकीय क्षेत्र में दोलन कर रहे छड़ चुंबक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है,$M$ चुंबकीय आघूर्ण है और $B$ चुंबकीय क्षेत्र है।
$m$ द्रव्यमान और $l$ लंबाई वाली छड़ चुंबक के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{ml^2}{12}$ होता है।
इसे सूत्र में रखने पर,$T = 2\pi \sqrt{\frac{ml^2}{12MB}}$ प्राप्त होता है।
यह दर्शाता है कि $T \propto \sqrt{m}$ है।
यदि द्रव्यमान $m$ को चार गुना $(m' = 4m)$ कर दिया जाए,तो नया आवर्तकाल $T' = 2\pi \sqrt{\frac{4ml^2}{12MB}} = 2 \times (2\pi \sqrt{\frac{ml^2}{12MB}}) = 2T$ हो जाता है।
गति $S.H.M.$ ही बनी रहती है क्योंकि छोटे दोलनों के लिए प्रत्यानयन बल आघूर्ण $\tau = -MB \sin \theta \approx -MB \theta$ होता है।

(D) एक इंडक्टर में प्रेरित इलेक्ट्रोमोटिव फोर्स $(emf)$ सूत्र $E = -L \frac{dI}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
समय अंतराल के पहले आधे भाग में,धारा $I$ समय के साथ रैखिक रूप से बढ़ती है,इसलिए धारा के परिवर्तन की दर $\frac{dI}{dt}$ एक धनात्मक स्थिरांक है। परिणामस्वरूप,प्रेरित $emf$ $E = -L \frac{dI}{dt}$ एक ऋणात्मक स्थिरांक है।
समय अंतराल के दूसरे आधे भाग में,धारा $I$ समय के साथ रैखिक रूप से घटती है,इसलिए धारा के परिवर्तन की दर $\frac{dI}{dt}$ एक ऋणात्मक स्थिरांक है। परिणामस्वरूप,प्रेरित $emf$ $E = -L \frac{dI}{dt}$ एक धनात्मक स्थिरांक है।
इसे दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,जो ग्राफ पहले ऋणात्मक स्थिर मान और उसके बाद धनात्मक स्थिर मान को दर्शाता है,वह विकल्प $D$ द्वारा प्रदर्शित होता है।

(A) अनुनाद की स्थिति में,प्रेरणिक प्रतिघात $(X_L)$ धारितीय प्रतिघात $(X_C)$ के बराबर होता है,अर्थात $X_L = X_C$।
$L-C-R$ श्रेणी परिपथ में,कुल प्रतिबाधा $(Z)$ का मान $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ होता है।
अनुनाद पर,चूंकि $X_L - X_C = 0$ होता है,इसलिए प्रतिबाधा $Z = R$ हो जाती है।
इसका अर्थ है कि परिपथ एक शुद्ध प्रतिरोधक परिपथ की तरह व्यवहार करता है।
एक शुद्ध प्रतिरोधक परिपथ में,वोल्टेज और धारा समान कला में होते हैं।
अतः,आरोपित वोल्टेज और धारा के बीच का कलान्तर $(\phi)$ $0$ होता है।

(D) $NAND$ गेट के लिए,आउटपुट $C$ को बूलियन व्यंजक $C = \overline{A \cdot B}$ द्वारा दिया जाता है।
मानों की जाँच करने पर:
$1$. $A = 0, B = 0$ के लिए: $C = \overline{0 \cdot 0} = \overline{0} = 1$.
$2$. $A = 0, B = 1$ के लिए: $C = \overline{0 \cdot 1} = \overline{0} = 1$.
$3$. $A = 1, B = 0$ के लिए: $C = \overline{1 \cdot 0} = \overline{0} = 1$.
$4$. $A = 1, B = 1$ के लिए: $C = \overline{1 \cdot 1} = \overline{1} = 0$.
इन परिणामों की दी गई तालिका से तुलना करने पर,आउटपुट $NAND$ गेट के तर्क से मेल खाता है।

(D) किरण प्रकाशिकी इस धारणा पर आधारित है कि प्रकाश सीधी रेखाओं में गमन करता है। यह सन्निकटन तब मान्य होता है जब बाधाओं या द्वारों की अभिलक्षणिक विमाएँ (जैसे कि स्लिट या वस्तु का आकार) प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ की तुलना में बहुत बड़ी होती हैं। यदि विमाएँ $\lambda$ के बराबर या उससे छोटी होती हैं, तो विवर्तन जैसी तरंग घटनाएँ महत्वपूर्ण हो जाती हैं और किरण प्रकाशिकी मान्य नहीं रहती है। अतः, सही शर्त यह है कि विमाएँ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य से बहुत बड़ी होनी चाहिए।

(B) यदि डिस्क क्रांतिक कोण $\theta_c$ के अनुरूप क्षेत्र को कवर करती है,तो स्रोत से आने वाला प्रकाश रुक जाएगा।
$h$ गहराई पर स्थित बिंदु स्रोत के लिए,डिस्क की त्रिज्या $r = h \tan \theta_c$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $\sin \theta_c = \frac{1}{\mu}$,इसलिए $\tan \theta_c = \frac{1}{\sqrt{\mu^2 - 1}}$ होता है।
दिए गए मान $h = 4 \; m$ और $\mu = 5/3$ रखने पर:
$r = \frac{4}{\sqrt{(5/3)^2 - 1}} = \frac{4}{\sqrt{25/9 - 1}} = \frac{4}{\sqrt{16/9}} = \frac{4}{4/3} = 3 \; m$.
डिस्क का न्यूनतम व्यास $D = 2r = 2 \times 3 = 6 \; m$ है।

(A) रेले के प्रकीर्णन नियम के अनुसार, प्रकीर्णित प्रकाश की तीव्रता $I$ उसकी तरंगदैर्ध्य की चौथी घात के व्युत्क्रमानुपाती होती है, जिसे $I \propto \frac{1}{\lambda^4}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
चूंकि दृश्य स्पेक्ट्रम में नीले प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{blue})$ सबसे कम होती है, इसलिए वायुमंडलीय कणों द्वारा इसका प्रकीर्णन सबसे अधिक होता है।
इसी कारण आकाश हमें नीला दिखाई देता है।

(C) एक विद्युतचुंबकीय तरंग में,दोलनशील विद्युत क्षेत्र सदिश $\vec{E}$ और चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B}$ हमेशा एक-दूसरे के परस्पर लंबवत होते हैं और तरंग प्रसार की दिशा के भी लंबवत होते हैं।
इसके अतिरिक्त,ये क्षेत्र समान कला में होते हैं,जिसका अर्थ है कि वे एक ही समय और एक ही स्थान पर अपने अधिकतम और न्यूनतम मान प्राप्त करते हैं।
इसलिए,सही विकल्प $C$ है।

(A) $Big$ $Bang$ सिद्धांत को ब्रह्मांड की उत्पत्ति के लिए सबसे संतोषजनक वैज्ञानिक स्पष्टीकरण के रूप में व्यापक रूप से स्वीकार किया जाता है।
यह प्रस्तावित करता है कि ब्रह्मांड की शुरुआत लगभग $13.8$ अरब साल पहले एक गर्म,घने बिंदु से हुई थी और तब से यह लगातार फैल रहा है और ठंडा हो रहा है।
यह सिद्धांत महत्वपूर्ण अवलोकन संबंधी साक्ष्यों द्वारा समर्थित है,जैसे कि कॉस्मिक माइक्रोवेव बैकग्राउंड रेडिएशन और दूर की आकाशगंगाओं का रेडशिफ्ट।

(A) विद्युत चुम्बकीय स्पेक्ट्रम को आवृत्ति और तरंगदैर्ध्य के आधार पर व्यवस्थित किया जाता है। बढ़ती हुई तरंगदैर्ध्य का क्रम इस प्रकार है: $\gamma-$ किरणें < $X-$ किरणें < $UV$ किरणें < दृश्य प्रकाश < इन्फ्रारेड < माइक्रोवेव < रेडियो तरंगें।
चूंकि $\gamma-$ किरणों की आवृत्ति सबसे अधिक होती है,इसलिए दिए गए विकल्पों में उनकी तरंगदैर्ध्य सबसे कम होती है।

(A) खगोलीय दूरबीन का आवर्धन $M$ सूत्र $M = -\frac{f_o}{f_e}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $f_o$ अभिदृश्यक लेंस (objective lens) की फोकस दूरी है और $f_e$ नेत्रिका (eyepiece) की फोकस दूरी है।
सबसे बड़ा आवर्धन प्राप्त करने के लिए,अनुपात $\left| \frac{f_o}{f_e} \right|$ का मान अधिकतम होना चाहिए।
इसके लिए अभिदृश्यक लेंस की फोकस दूरी सबसे अधिक $(f_o = 150\; cm)$ और नेत्रिका की फोकस दूरी सबसे कम $(f_e = 15\; cm)$ होनी चाहिए।
अतः,नेत्रिका की फोकस दूरी $15\; cm$ होनी चाहिए।

(D) $Skin \text{ } Effect$ नामक घटना के कारण $A.C.$ धारा का अधिकांश भाग चालक की सतह के पास प्रवाहित होता है।
$A.C.$ संचरण के लिए, एक मोटे तार का उपयोग करना अक्षम है क्योंकि तार का आंतरिक भाग बहुत कम धारा ले जाता है।
कई पतले तारों का उपयोग करने से, कुल सतह क्षेत्र बढ़ जाता है, जो $A.C.$ के लिए प्रभावी प्रतिरोध को कम करता है और दक्षता में सुधार करता है।
$D.C.$ संचरण के लिए, धारा चालक के अनुप्रस्थ काट में समान रूप से वितरित होती है, इसलिए एक मोटा तार या कई पतले तार दोनों प्रभावी ढंग से कार्य करेंगे।
अतः, $A.C.$ के लिए बहु-तार अधिक उपयुक्त हैं, जबकि $D.C.$ के लिए दोनों प्रकार के तार उपयुक्त हैं।

(B) प्रत्यावर्ती धारा (Alternating Current) का रूट मीन स्क्वायर $(I_{\text{rms}})$ मान एक पूर्ण चक्र के दौरान तात्कालिक धारा के वर्गों के औसत का वर्गमूल होता है।
$I = I_{0} \sin(\omega t)$ द्वारा दी गई ज्यावक्रीय (sinusoidal) प्रत्यावर्ती धारा के लिए,$I_{\text{rms}}$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$I_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} I^{2} dt}$
$I = I_{0} \sin(\omega t)$ रखने पर:
$I_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} I_{0}^{2} \sin^{2}(\omega t) dt}$
$I_{\text{rms}} = I_{0} \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} \frac{1 - \cos(2\omega t)}{2} dt}$
$I_{\text{rms}} = I_{0} \sqrt{\frac{1}{2T} [t - \frac{\sin(2\omega t)}{2\omega}]_{0}^{T}}$
चूंकि $\sin(2\omega T) = \sin(4\pi) = 0$ है,इसलिए:
$I_{\text{rms}} = I_{0} \sqrt{\frac{T}{2T}} = \frac{I_{0}}{\sqrt{2}}$
अतः,सही संबंध $I_{\text{rms}} = \frac{1}{\sqrt{2}} I_{0}$ है।

(A) विद्युत के अच्छे सुचालक वे पदार्थ होते हैं जो मुक्त इलेक्ट्रॉनों की उपस्थिति के कारण अपने माध्यम से विद्युत धारा को आसानी से प्रवाहित होने देते हैं।
$Cu$ (तांबा),$Ag$ (चांदी) और $Au$ (सोना) जैसी धातुओं में उनकी धात्विक जाली (lattice) में बड़ी संख्या में मुक्त इलेक्ट्रॉन होते हैं,जो उन्हें उत्कृष्ट सुचालक बनाते हैं।
$Si$ (सिलिकॉन) और $Ge$ (जर्मेनियम) अर्धचालक हैं।
$Diamond$ (हीरा) एक कुचालक है।
$NaCl$ (सोडियम क्लोराइड) एक आयनिक ठोस है जो केवल पिघली हुई अवस्था या जलीय घोल में ही विद्युत का संचालन करता है,ठोस अवस्था में नहीं।
इसलिए,$Cu, Ag$ और $Au$ वाला समूह पूरी तरह से अच्छे सुचालकों से बना है।

(B) विद्युत क्षेत्र रेखाएं धनात्मक आवेश से निकलती हैं और ऋणात्मक आवेश पर समाप्त होती हैं।
दी गई आकृति में,विद्युत क्षेत्र रेखाएं दोनों आवेशों $q_1$ और $q_2$ की ओर निर्देशित हैं।
चूंकि क्षेत्र रेखाएं दोनों आवेशों पर समाप्त हो रही हैं,इसलिए $q_1$ और $q_2$ दोनों ऋणात्मक आवेश होने चाहिए।
अतः,$q_1$ और $q_2$ दोनों ऋणात्मक हैं।

(B) केंद्र पर स्थित आवेश $q_{2}$ के कारण $r$ त्रिज्या वाले वृत्ताकार पथ के किसी भी बिंदु पर विद्युत विभव $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q_{2}}{r}$ होता है।
चूंकि $q_{2}$ और $r$ स्थिर हैं,इसलिए वृत्ताकार पथ के सभी बिंदुओं पर विभव $V$ समान रहता है,जिससे यह एक समविभव पृष्ठ बन जाता है।
आवेश $q_{1}$ को बिंदु $A$ से बिंदु $B$ तक ले जाने में किया गया कार्य $W = q_{1}(V_{B} - V_{A})$ होता है।
चूंकि पथ समविभव है,इसलिए प्रारंभिक बिंदु और एक पूर्ण चक्कर के बाद अंतिम बिंदु पर विभव समान होता है,अर्थात $V_{A} = V_{B}$।
अतः,किया गया कार्य $W = q_{1}(V - V) = 0$ होगा।

(C) एक खोखले धात्विक गोले के लिए,इसके अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य होता है $(E = 0)$।
चूंकि विद्युत क्षेत्र विभव का ऋणात्मक प्रवणता (gradient) होता है $(E = -dV/dr)$,यदि $E = 0$ है,तो विभव $V$ गोले के भीतर स्थिर रहना चाहिए।
अतः,गोले के अंदर किसी भी बिंदु पर,केंद्र सहित,विभव उसकी सतह पर स्थित विभव के बराबर होता है।
यह दिया गया है कि सतह पर विभव $80 \; V$ है,इसलिए केंद्र पर भी विभव $80 \; V$ होगा।

(B) परिपथ को समरूपता और श्रेणी-समांतर संयोजनों को देखकर सरल बनाया जा सकता है।
$1$. $AF$ और $FE$ के अनुदिश प्रतिरोधक श्रेणी क्रम में हैं। उनका तुल्य प्रतिरोध $R_1 = 3 \; \Omega + 3 \; \Omega = 6 \; \Omega$ है।
$2$. यह $R_1$, $AE$ के अनुदिश जुड़े $6 \; \Omega$ के प्रतिरोधक के साथ समांतर क्रम में है। तुल्य प्रतिरोध $R_{AE}'$ इस प्रकार है: $\frac{1}{R_{AE}'} = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \Rightarrow R_{AE}' = 3 \; \Omega$।
$3$. इसी प्रकार, $ED$ और $DC$ के अनुदिश प्रतिरोधक $AD$ के $6 \; \Omega$ प्रतिरोधक के साथ श्रेणी में समांतर क्रम में हैं, जिससे $A$ और $C$ के बीच $3 \; \Omega$ का तुल्य प्रतिरोध प्राप्त होता है।
$4$. अंततः, परिपथ $A$ और $B$ के बीच जुड़े $3 \; \Omega$ के तीन प्रतिरोधकों में कम हो जाता है (एक सीधा, और दो $C$ पथ के माध्यम से)।
$5$. तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ सीधे $3 \; \Omega$ प्रतिरोधक और अन्य दो $3 \; \Omega$ प्रतिरोधकों के श्रेणी संयोजन $(3+3=6 \; \Omega)$ का समांतर संयोजन है।
$6$. $R_{eq} = \frac{3 \times 6}{3 + 6} = \frac{18}{9} = 2 \; \Omega$।

(D) प्रति इकाई समय में प्रवाहित इलेक्ट्रॉनों की संख्या $\frac{n}{t} = 10^{7} \; s^{-1}$ है।
विद्युत धारा $I$ को आवेश के प्रवाह की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है,$I = \frac{q}{t}$।
चूंकि $q = ne$,जहाँ $e$ मूल आवेश है $(e = 1.6 \times 10^{-19} \; C)$,इसलिए $I = \frac{ne}{t} = \left(\frac{n}{t}\right) \times e$।
दिए गए मानों को रखने पर: $I = 10^{7} \times (1.6 \times 10^{-19} \; C) = 1.6 \times 10^{-12} \; A$।