AIIMS 2004 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) કુલંબના નિયમ મુજબ,$r$ અંતરે રહેલા બે વિદ્યુતભારો $q_1$ અને $q_2$ વચ્ચે લાગતું બળ $F$ નીચે મુજબ છે:
$F = \frac{1}{{4\pi {\varepsilon _0}}}\,\frac{{{q_1}{q_2}}}{{{r^2}}}$
પરમિટિવિટી ${\varepsilon _0}$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
${\varepsilon _0} = \frac{{{q_1}{q_2}}}{{4\pi F{r^2}}}$
દરેક ભૌતિક રાશિના પરિમાણો મૂકતા:
$[q] = [AT]$
$[F] = [MLT^{-2}]$
$[r] = [L]$
તેથી,${\varepsilon _0}$ ના પરિમાણો:
$[{\varepsilon _0}] = \frac{[AT][AT]}{[MLT^{-2}][L^2]}$
$[{\varepsilon _0}] = \frac{[A^2T^2]}{[ML^3T^{-2}]}$
$[{\varepsilon _0}] = [A^2T^4M^{-1}L^{-3}]$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) ગતિમાન પદાર્થ માટે,સમય $t$ ની કોઈપણ એક ક્ષણે,વેગ $v$ નું માત્ર એક જ અનન્ય મૂલ્ય હોઈ શકે છે.
આલેખ $A$,$C$ અને $D$ માં,સમય $t$ ના એક જ મૂલ્ય માટે,આલેખ વેગ $v$ ના અનેક મૂલ્યો દર્શાવે છે,જે ભૌતિક રીતે અશક્ય છે.
આલેખ $B$ એક વાસ્તવિક પરિસ્થિતિ દર્શાવે છે જ્યાં વેગ સમય સાથે સતત બદલાય છે,અને દરેક ક્ષણ $t$ માટે તેનું એક અનન્ય મૂલ્ય છે.

(D) રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,વિસ્ફોટ પહેલાં કુલ વેગમાન શૂન્ય છે,તેથી બંને ટુકડાઓ સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં વેગમાન ધરાવતા હોવા જોઈએ: $m_1 v_1 = m_2 v_2$.
અહીં $m_1 = 1.0 \, kg$,$v_1 = 80 \, m/s$,અને $m_2 = 2.0 \, kg$ આપેલ છે.
$1.0 \times 80 = 2.0 \times v_2 \implies v_2 = 40 \, m/s$.
ટુકડાઓને મળેલી કુલ ગતિ ઉર્જા $K = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2$ છે.
$K = \frac{1}{2} \times 1.0 \times (80)^2 + \frac{1}{2} \times 2.0 \times (40)^2$.
$K = \frac{1}{2} \times 6400 + 1.0 \times 1600 = 3200 + 1600 = 4800 \, J$.
$kJ$ માં ફેરવતા,$K = 4.8 \, kJ$ મળે છે.

(B) $T$ તાપમાને વાયુની ત્રણ ઝડપ માટેના સૂત્રો નીચે મુજબ છે:
${v_{rms}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$
${v_{av}} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$
${v_{mp}} = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
${v_{rms}} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{\frac{RT}{M}} \approx 1.732 \cdot \sqrt{\frac{RT}{M}}$
${v_{av}} = \sqrt{\frac{8}{3.14}} \cdot \sqrt{\frac{RT}{M}} \approx \sqrt{2.546} \cdot \sqrt{\frac{RT}{M}} \approx 1.596 \cdot \sqrt{\frac{RT}{M}}$
${v_{mp}} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{RT}{M}} \approx 1.414 \cdot \sqrt{\frac{RT}{M}}$
આમ,સાચો સંબંધ ${v_{rms}} > {v_{av}} > {v_{mp}}$ છે.

(B) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત કુલ પાવર (એકમ સમયમાં ઉત્સર્જિત ઉર્જા) $P = \sigma A T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A = 4\pi r^2$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે.
તેથી,$P \propto r^2 T^4$.
ધારો કે પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $r_1$ અને પ્રારંભિક તાપમાન $T_1$ છે. ધારો કે અંતિમ ત્રિજ્યા $r_2 = 100r_1$ અને અંતિમ તાપમાન $T_2 = T_1 / 2$ છે.
અંતિમ ઉત્સર્જિત ઉર્જા $(P_2)$ અને પ્રારંભિક ઉત્સર્જિત ઉર્જા $(P_1)$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{P_2}{P_1} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^2 \times \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{P_2}{P_1} = (100)^2 \times \left( \frac{1}{2} \right)^4$
$\frac{P_2}{P_1} = 10000 \times \frac{1}{16} = 625$.
આમ,કુલ ઉત્સર્જિત ઉર્જા $625$ ના અવયવથી વધશે.

(C) પાણીના મોજાં જટિલ તરંગો છે. પાણીની સપાટી પર,કણો વર્તુળાકાર માર્ગમાં ગતિ કરે છે,જેમાં સંગત અને લંબગત બંને ઘટકોનો સમાવેશ થાય છે. તેથી,પાણીના મોજાંને પ્રકૃતિમાં સંગત અને લંબગત બંને માનવામાં આવે છે.

(C) સામાન્ય માનવી સાંભળી શકે તેવી મહત્તમ આવૃત્તિ $20,000 \ Hz$ છે.
બંધ ઓર્ગન પાઇપ માટે,$N$ માં મોડની આવૃત્તિ $f_N = (2N - 1)f_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f_1 = 1500 \ Hz$ એ મૂળભૂત આવૃત્તિ છે.
આપણે $f_N \le 20,000 \ Hz$ ની જરૂર છે.
$(2N - 1) \times 1500 \le 20,000$
$2N - 1 \le \frac{20,000}{1500} \approx 13.33$
$2N \le 14.33 \implies N \le 7.16$.
કારણ કે $N$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,મહત્તમ મોડ નંબર $N = 7$ છે.
ઓવરટોન્સની સંખ્યા $(N - 1)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,ઓવરટોન્સની સંખ્યા $= 7 - 1 = 6$.

(D) કોણીય વેગ સદિશ $\vec{\omega}$ ને અક્ષીય સદિશ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
જમણા હાથના નિયમ મુજબ,તેની દિશા હંમેશા પદાર્થની ભ્રમણાક્ષ (axis of rotation) ની દિશામાં હોય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) કોણીય વેગમાન $L$ એ સ્થાન સદિશ $r$ અને રેખીય વેગમાન સદિશ $p$ ના સદિશ ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જે $L = r \times p$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સદિશ ગુણાકારની વ્યાખ્યા મુજબ,પરિણામી સદિશ $L$ હંમેશા તે સમતલને લંબ હોય છે જેમાં $r$ અને $p$ બંને સદિશો આવેલા હોય છે.
સ્થાન સદિશ $r$ અને રેખીય વેગમાન સદિશ $p$ બંને કક્ષીય સમતલમાં આવેલા હોવાથી,કોણીય વેગમાન સદિશ $L$ કક્ષીય સમતલને લંબ હોવો જોઈએ.

(A) સ્ટોક્સના નિયમ મુજબ,જ્યારે $a$ ત્રિજ્યાનો એક નાનો ગોળો સ્નિગ્ધ પ્રવાહીમાં પડે છે,ત્યારે તે અચળ વેગ પ્રાપ્ત કરે છે જેને ટર્મિનલ વેગ $(V_T)$ કહેવામાં આવે છે.
ટર્મિનલ વેગનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$V_T = \frac{2a^2(\rho - \sigma)g}{9\eta}$
જ્યાં:
$a$ = ગોળાની ત્રિજ્યા
$\rho$ = ગોળાની ઘનતા
$\sigma$ = પ્રવાહીની ઘનતા
$g$ = ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ
$\eta$ = પ્રવાહીનો સ્નિગ્ધતા ગુણાંક
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $V_T \propto a^2$.
તેથી,ટર્મિનલ વેગ એ ગોળાની ત્રિજ્યાના વર્ગના પ્રમાણમાં હોય છે.

(C) જડત્વીય સંદર્ભ ફ્રેમ એવી ફ્રેમ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જેમાં ન્યૂટનના ગતિના નિયમો માન્ય હોય છે.
કારણ કે વાહન સીધા રસ્તા પર અચળ ઝડપે ગતિ કરી રહ્યું છે,તેનો પ્રવેગ $0$ છે. તેથી,તે એક જડત્વીય સંદર્ભ ફ્રેમ છે.
આમ,$Assertion$ સાચું છે.
જો કે,$Reason$ જણાવે છે કે જે ફ્રેમમાં ન્યૂટનના નિયમો લાગુ પડે છે તે અજડત્વીય છે,જે ખોટું છે. ન્યૂટનના નિયમો જડત્વીય ફ્રેમમાં લાગુ પડે છે,અજડત્વીય ફ્રેમમાં નહીં.
તેથી,$Assertion$ સાચું છે પરંતુ $Reason$ ખોટું છે.

(D) કોણીય વેગ $\vec{\omega}$ એ અક્ષીય સદિશ છે. તેની દિશા હંમેશા વર્તુળાકાર ગતિના સમતલને લંબ હોય છે,જે ભ્રમણાક્ષને અનુરૂપ છે. જમણા હાથના નિયમ મુજબ,જો જમણા હાથની આંગળીઓને પરિભ્રમણની દિશામાં વાળવામાં આવે,તો અંગૂઠો કોણીય વેગ સદિશ $\vec{\omega}$ ની દિશા દર્શાવે છે. આ આપેલી આકૃતિમાં સ્પષ્ટપણે દર્શાવેલ છે,જ્યાં સદિશ $\vec{\omega}$ એ ભ્રમણાક્ષ પર રહેલો છે.

(D) કક્ષીય ગતિમાં રહેલા કણનું કોણીય વેગમાન $\vec{L}$ એ તેના સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને તેના રેખીય વેગમાન $\vec{p}$ ના સદિશ ગુણાકાર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જે $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$ છે.
સદિશ ગુણાકારની વ્યાખ્યા મુજબ,પરિણામી સદિશ $\vec{L}$ હંમેશા $\vec{r}$ અને $\vec{p}$ બંનેને સમાવતા સમતલને લંબ હોય છે.
સ્થાન સદિશ અને રેખીય વેગમાન સદિશ બંને કક્ષીય સમતલમાં આવેલા હોવાથી,કોણીય વેગમાન સદિશ $\vec{L}$ કક્ષીય સમતલને લંબ હોવો જોઈએ. આ જમણા હાથના નિયમ સાથે સુસંગત છે,જ્યાં $\vec{L}$ ની દિશા ભ્રમણની ધરી પર હોય છે.

(A) પૃથ્વી અને તેનું વાતાવરણ એક તંત્ર બનાવે છે. બાહ્ય ટોર્કની ગેરહાજરીમાં આ તંત્રનું કુલ કોણીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
$L = I\omega = \text{constant}$
જ્યારે વાતાવરણમાં મોટા હવાના જથ્થાનું સ્થળાંતર થાય છે, ત્યારે પરિભ્રમણની ધરીની સાપેક્ષમાં દળનું વિતરણ બદલાય છે, જે પૃથ્વી-વાતાવરણ તંત્રની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ માં ફેરફાર લાવે છે.
કોણીય વેગમાન $(L)$ અચળ રહેવું જોઈએ, તેથી જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ માં થતો કોઈપણ ફેરફાર પૃથ્વીના કોણીય વેગ $(\omega)$ માં અનુરૂપ ફેરફાર લાવે છે.
આથી, હવાના જથ્થાનું સ્થળાંતર પૃથ્વીની પરિભ્રમણ ઝડપમાં નાના અને છૂટાછવાયા ફેરફારોનું કારણ બને છે.
આમ, $Assertion$ અને $Reason$ બંને સાચા છે અને $Reason$ એ $Assertion$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(C) બર્નુલીના સિદ્ધાંત મુજબ,અદબનીય અને અશ્યાન પ્રવાહીના ધારારેખી વહન માટે,એકમ કદ દીઠ દબાણ ઉર્જા,ગતિ ઉર્જા અને સ્થિતિ ઉર્જાનો સરવાળો અચળ રહે છે $(P + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho gh = \text{constant})$.
માનવ રુધિરાભિસરણ તંત્રમાં,વૃદ્ધાવસ્થાને કારણે અથવા પ્લેક જમા થવાને લીધે જ્યારે ધમનીઓ સાંકડી થાય છે,ત્યારે લોહીના પ્રવાહનો વેગ $(v)$ બદલાય છે. જોકે લોહીની શ્યાનતાને કારણે આ સંબંધ જટિલ છે,પરંતુ બર્નુલીનો સિદ્ધાંત સમજાવે છે કે વાહિનીના આડછેદના ક્ષેત્રફળમાં ઘટાડો થવાથી દબાણમાં ફેરફાર થાય છે. ખાસ કરીને,ધમનીઓ સાંકડી થવાથી પ્રવાહ સામે અવરોધ વધે છે અને વાહિનીની અંદરનું દબાણ પ્રવાહી મિકેનિક્સના સિદ્ધાંતો દ્વારા સંચાલિત થાય છે,જે મુખ્યત્વે બર્નુલીના સિદ્ધાંત પર આધારિત છે.

(C) પાણી બીજી વાર ઉકળવાનું શરૂ કરે છે કારણ કે જ્યારે પ્રેશર કૂકર ઠંડું પડે છે,ત્યારે અંદરનું દબાણ ઘટે છે.
દબાણ અને ઉત્કલનબિંદુ વચ્ચેના સંબંધ મુજબ,દબાણમાં ઘટાડો થવાથી પાણીનું ઉત્કલનબિંદુ $(B.P.)$ ઘટે છે.
જ્યારે ઢાંકણું દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે દબાણ ઘટીને વાતાવરણીય દબાણ જેટલું થઈ જાય છે,જે બંધ કૂકરની અંદરના દબાણ કરતા ઓછું હોય છે.
પાણી પહેલેથી જ ઊંચા તાપમાને હોવાથી,દબાણમાં આ ઘટાડો પાણીને ફરીથી ઉકળવા માટે પ્રેરે છે.
આપેલ કારણ ખોટું છે કારણ કે અશુદ્ધિઓ સામાન્ય રીતે પાણીના ઉત્કલનબિંદુમાં વધારો કરે છે (ઉત્કલનબિંદુ ઉન્નયન),ઘટાડો કરતી નથી.

(B) પ્રવાહીના ટીપાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $P = \frac{2T}{r}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $r$ એ ટીપાની ત્રિજ્યા છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે વધારાનું દબાણ $P$ એ ત્રિજ્યા $r$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે $(P \propto \frac{1}{r})$.
જેમ ત્રિજ્યા $r$ ઘટે છે,તેમ વધારાનું દબાણ $P$ વધે છે.
તેથી,નાના ટીપાંમાં વધારાનું દબાણ વધારે હોય છે,જે તેમને વધુ સ્થિર બનાવે છે અને વિરૂપક બળોનો સામનો કરવામાં વધુ સક્ષમ બનાવે છે.
વધારાનું દબાણ ત્રિજ્યાના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,પૃષ્ઠફળના સમપ્રમાણમાં નહીં,તેથી કારણ ખોટું છે.
આમ,વિધાન સાચું છે,પરંતુ કારણ ખોટું છે.

(A) પ્રકૃતિમાં મોટાભાગની ઘટનાઓ અપ્રતિવર્તી હોય છે. જ્યારે કોઈ પ્રક્રિયામાં ઉર્જાનો અમુક ભાગ ઘર્ષણ,શ્યાનતા અથવા અન્ય અવરોધક બળોને કારણે ઉષ્મા ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે,ત્યારે તે પ્રક્રિયા અપ્રતિવર્તી બને છે. આને વિસર્પી અસર (dissipative effect) કહેવામાં આવે છે. વાસ્તવિક દુનિયાની કોઈપણ પ્રક્રિયામાં આ વિસર્પી અસરોને સંપૂર્ણપણે દૂર કરી શકાતી નથી,તેથી તમામ કુદરતી ઉષ્માગતિશાસ્ત્રીય પ્રક્રિયાઓ અપ્રતિવર્તી હોય છે.

(A) કોણીય પ્રવેગ $(\vec{\alpha})$ એ સમયની સાપેક્ષમાં કોણીય વેગ $(\vec{\omega})$ માં થતા ફેરફારનો દર છે, જે $\vec{\alpha} = \frac{d\vec{\omega}}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરતા પદાર્થ માટે કોણીય વેગ સદિશ $(\vec{\omega})$ ભ્રમણાક્ષની દિશામાં હોય છે, તેથી આ સદિશમાં થતા ફેરફારનો દર, જે કોણીય પ્રવેગ $(\vec{\alpha})$ છે, તે પણ ભ્રમણાક્ષની દિશામાં જ કાર્ય કરે છે.

(A) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ એ $x$-અક્ષની દિશામાં છે. વિદ્યુતક્ષેત્ર અને સ્થિતિમાન વચ્ચેનો સંબંધ $\vec{E} = -\nabla V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
વિદ્યુતક્ષેત્ર માત્ર $x$-દિશામાં હોવાથી, સ્થિતિમાન $V$ માત્ર $x$ પર આધાર રાખે છે, એટલે કે $V = V(x)$।
સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ એ એવી સપાટી છે જ્યાં સ્થિતિમાન $V$ અચળ હોય છે।
$V(x) = \text{અચળ}$ માટે, $x$ અચળ હોવું જોઈએ।
$x = \text{અચળ}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત સપાટી એ $yz$-સમતલને સમાંતર એક સમતલ છે।
ભલે વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $x$-દિશામાં વધતું હોય, સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠો વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશાને લંબ (એટલે કે $yz$-સમતલને સમાંતર) સમતલો જ રહે છે, જોકે જેમ ક્ષેત્રની તીવ્રતા વધે તેમ તેમની વચ્ચેનું અંતર ઘટતું જશે।

(B) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} C V^2$ છે.
આપેલ છે: $C = 40 \, \mu F = 40 \times 10^{-6} \, F$,$V = 3000 \, V$,અને $t = 2 \, ms = 2 \times 10^{-3} \, s$.
પ્રથમ,સંગ્રહિત ઉર્જાની ગણતરી કરો:
$U = \frac{1}{2} \times (40 \times 10^{-6}) \times (3000)^2$
$U = 20 \times 10^{-6} \times 9 \times 10^6 = 180 \, J$.
પાવર $P$ એ એકમ સમયમાં આપવામાં આવતી ઉર્જા તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$P = \frac{U}{t} = \frac{180 \, J}{2 \times 10^{-3} \, s} = 90 \times 10^3 \, W = 90 \, kW$.

(B) $R$ ત્રિજ્યા અને કદ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\rho$ ધરાવતા સમાન રીતે વિદ્યુતભારીત ગોળા માટે:
$1$. ગોળાની અંદર $(r < R)$,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{inside} = \frac{\rho r}{3\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ દર્શાવે છે કે $E \propto r$,જે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતો રેખીય સંબંધ છે.
$2$. ગોળાની બહાર $(r \ge R)$,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{outside} = \frac{\rho R^3}{3\varepsilon_0 r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ દર્શાવે છે કે $E \propto \frac{1}{r^2}$,જે વ્યસ્ત-વર્ગનો સંબંધ છે.
$3$. આ બંનેને જોડતા,આલેખ ઉગમબિંદુથી શરૂ થાય છે,$r = R$ સુધી રેખીય રીતે વધે છે,અને ત્યારબાદ $r > R$ માટે વ્યસ્ત-વર્ગના વક્રને અનુસરીને ઘટે છે. આ આલેખ વિકલ્પ $B$ માં દર્શાવેલ છે.

(A) આપેલ સમસ્યા કોષોના મિશ્ર જોડાણનું ઉદાહરણ છે.
ધારો કે દરેક હરોળમાં કોષોની સંખ્યા $n$ છે અને હરોળની સંખ્યા $m$ છે.
આપેલ છે: $n = 5000$,$m = 100$,$E = 0.15\, V$,$r = 0.25\,\Omega$,અને બાહ્ય અવરોધ $R = 500\,\Omega$.
આ ગોઠવણીનું કુલ emf $E_{eq} = nE = 5000 \times 0.15 = 750\, V$ છે.
આ ગોઠવણીનો કુલ આંતરિક અવરોધ $r_{eq} = \frac{nr}{m} = \frac{5000 \times 0.25}{100} = 50 \times 0.25 = 12.5\,\Omega$ છે.
પરિપથમાં કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ $i$ નું સૂત્ર $i = \frac{E_{eq}}{R + r_{eq}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $i = \frac{750}{500 + 12.5} = \frac{750}{512.5} \approx 1.463\, A$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,વિદ્યુતપ્રવાહ આશરે $1.5\, A$ છે.

(D) $R$ ત્રિજ્યા અને $i$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા વર્તુળાકાર ગૂંચળાની અક્ષ પર તેના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0 i R^2}{2(R^2 + r^2)^{3/2}}$
શરત $r \gg R$ આપેલ હોવાથી,આપણે છેદમાં $R^2$ ને અવગણી શકીએ છીએ:
$B \approx \frac{\mu_0 i R^2}{2(r^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 i R^2}{2r^3}$
અહીં $\mu_0$,$i$ અને $R$ અચળ હોવાથી,$B \propto \frac{1}{r^3}$ મળે છે.

(D) વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત કોઈલની ચુંબકીય મોમેન્ટ $(M)$ નું સૂત્ર $M = niA$ છે,જ્યાં $n$ એ આંટાની સંખ્યા છે,$i$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે અને $A$ એ કોઈલનું ક્ષેત્રફળ છે.
$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર કોઈલ માટે,ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ થાય.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $M = ni(\pi r^2)$ મળે છે.
અહીં $n$,$i$ અને $\pi$ અચળ હોવાથી,ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ એ ત્રિજ્યાના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $M \propto r^2$.

(C) લંબ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણના વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $r = \frac{mv}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં બંને કણો માટે વેગ $v$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ સમાન હોવાથી,ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર $\frac{r_{\alpha}}{r_p} = \frac{m_{\alpha}}{m_p} \times \frac{q_p}{q_{\alpha}}$ થશે.
$\alpha$-કણ માટે,દળ $m_{\alpha} = 4m_p$ અને વિદ્યુતભાર $q_{\alpha} = 2q_p$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,$\frac{r_{\alpha}}{r_p} = \frac{4m_p}{m_p} \times \frac{q_p}{2q_p} = 4 \times \frac{1}{2} = \frac{2}{1}$ મળે છે.
તેથી,ગુણોત્તર $2:1$ છે.

(D) સાયક્લોટ્રોન આવૃત્તિ $v$ નું સૂત્ર $v = \frac{qB}{2\pi m}$ છે.
આપેલ છે: $B = 1\, T$,$q = 1.6 \times 10^{-19}\, C$,અને $m = 9.1 \times 10^{-31}\, kg$.
કિંમતો મૂકતા:
$v = \frac{1 \times 1.6 \times 10^{-19}}{2 \times 3.14 \times 9.1 \times 10^{-31}}$
$v = \frac{1.6}{57.148} \times 10^{12}\, Hz$
$v \approx 0.02799 \times 10^{12}\, Hz = 27.99 \times 10^9\, Hz$
$v \approx 28\, GHz$.

(B) જ્યારે પ્રોટોનનો બે પ્રવાહ એકબીજાને સમાંતર અને એક જ દિશામાં ગતિ કરે છે,ત્યારે તેમની વચ્ચે બે પ્રકારના બળો કાર્ય કરે છે: સ્થિત-વિદ્યુત બળ અને ચુંબકીય બળ.
$1$. પ્રોટોનના બે પ્રવાહ વચ્ચેનું સ્થિત-વિદ્યુત બળ અપાકર્ષી હોય છે કારણ કે બંને પ્રવાહ ધન વીજભારિત કણોના બનેલા છે.
$2$. એક જ દિશામાં ગતિ કરતા બે સમાંતર પ્રવાહો વચ્ચેનું ચુંબકીય બળ આકર્ષી હોય છે.
$3$. જોકે,અવકાશમાં ગતિ કરતા વીજભારિત કણો માટે,સ્થિત-વિદ્યુત અપાકર્ષી બળ એ ચુંબકીય આકર્ષી બળ કરતા ઘણું વધારે શક્તિશાળી હોય છે.
$4$. તેથી,બે પ્રવાહ વચ્ચેનું પરિણામી બળ અપાકર્ષી હોય છે,જેના કારણે તેઓ એકબીજાને અપાકર્ષે છે.

(A) એમ્પીયરના સર્કિટલ નિયમ મુજબ, $a$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નળાકાર વાહકમાંથી વહેતા સ્થાયી પ્રવાહ $I$ માટે:
$1$. વાહકની અંદર $(r < a)$: ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{in} = \frac{\mu_0 I r}{2 \pi a^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે। આમ, $B_{in} \propto r$, જે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા દર્શાવે છે.
$2$. વાહકની બહાર $(r > a)$: ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{out} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે। આમ, $B_{out} \propto \frac{1}{r}$, જે લંબચોરસ અતિવલય (rectangular hyperbola) દર્શાવે છે.
તેથી, આલેખ $r = a$ સુધી રેખીય વધારો અને $r > a$ માટે હાયપરબોલિક ઘટાડો દર્શાવે છે, જે પ્રથમ વિકલ્પ સાથે સુસંગત છે.

(B) પ્રવાહી ઓક્સિજન સ્વભાવે $Paramagnetic$ (અનુચુંબકીય) છે.
અનુચુંબકીય પદાર્થો ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા નિર્બળ રીતે આકર્ષાય છે.
જ્યારે પ્રવાહી ઓક્સિજનને ચુંબકના બે ધ્રુવોની વચ્ચે મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તે બંને ધ્રુવો તરફ આકર્ષણ બળ અનુભવે છે.
જો પ્રવાહીને બરાબર કેન્દ્રમાં મૂકવામાં આવે,તો બંને ધ્રુવો દ્વારા લાગતું ચુંબકીય બળ મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ હોય છે.
પરિણામે,પ્રવાહી ઓક્સિજન પર લાગતું પરિણામી ચુંબકીય બળ શૂન્ય થઈ જાય છે,જેના કારણે તે ધ્રુવોની વચ્ચે લટકતું રહે છે.

(A) વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $V$ દ્વારા પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા મેળવેલી ગતિઊર્જા $K.E. = eV = \frac{1}{2}mv^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v$ માટે ઉકેલતા,આપણને $v = \sqrt{\frac{2eV}{m}}$ મળે છે.
આપેલ છે: $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,$V = 45.5 \ V$,અને $m = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$.
કિંમતો મૂકતા: $v = \sqrt{\frac{2 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 45.5}{9.1 \times 10^{-31}}}$.
$v = \sqrt{\frac{145.6 \times 10^{-19}}{9.1 \times 10^{-31}}} = \sqrt{16 \times 10^{12}}$.
$v = 4 \times 10^6 \ m \ s^{-1}$.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,આપાત ફોટોનની ઉર્જા $(E)$ એ વર્ક ફંક્શન $(W_0)$ અને ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $(K_{max})$ ના સરવાળા જેટલી હોય છે.
$E = W_0 + K_{max}$
આપેલ છે કે $K_{max} = eV_0$,જ્યાં $V_0$ એ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ છે,તેથી સમીકરણ આ મુજબ બનશે:
$E = W_0 + eV_0$
આપેલ કિંમતો ($E = 4 \ eV$ અને $W_0 = 2 \ eV$) મૂકતા:
$4 \ eV = 2 \ eV + eV_0$
$eV_0 = 4 \ eV - 2 \ eV$
$eV_0 = 2 \ eV$
તેથી,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_0 = 2 \ V$ મળે છે.

(A) ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર ત્યારે થાય છે જ્યારે આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ ધાતુની થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ કરતા વધારે હોય, અથવા સમાન રીતે, તેની તરંગલંબાઈ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ કરતા ઓછી હોય.
અલ્ટ્રાવાયોલેટ $(UV)$ કિરણો ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર પેદા કરતા નથી, તેથી આપાત વિકિરણની ઉર્જા $UV$ કિરણો કરતા વધારે (તરંગલંબાઈ ઓછી) હોવી જોઈએ.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી, $X$-કિરણોની તરંગલંબાઈ $UV$ કિરણો કરતા ઓછી $(\lambda_{X-ray} < \lambda_{UV-ray})$ છે અને તેથી તેની ઉર્જા વધારે છે.
તેથી, $X$-કિરણો ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર પેદા કરશે.

(B) ઇલેક્ટ્રોનનું દળ $(m_e)$ $9.1 \times 10^{-31} \ kg$ છે.
પોઝિટ્રોનનું દળ પણ ઇલેક્ટ્રોન જેટલું જ હોવાથી,એનિહિલેશનમાં સામેલ કુલ દળ $2m_e$ થશે.
મુક્ત થતી ઉર્જા $(E)$ આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઉર્જા સમતુલ્યતાના સૂત્ર $E = (2m_e)c^2$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $E = 2 \times (9.1 \times 10^{-31} \ kg) \times (3 \times 10^8 \ m/s)^2$.
$E = 18.2 \times 10^{-31} \times 9 \times 10^{16} \ J$.
$E = 163.8 \times 10^{-15} \ J = 1.638 \times 10^{-13} \ J$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,મુક્ત થતી ઉર્જા આશરે $1.6 \times 10^{-13} \ J$ છે.

(B) કાર્બન ડેટિંગનો ઉપયોગ મુખ્યત્વે અશ્મિઓ જેવા કાર્બનિક પદાર્થોની ઉંમર નક્કી કરવા માટે થાય છે.
તે રેડિયોએક્ટિવ આઇસોટોપ કાર્બન-$14$ $(^{14}C)$ ના ક્ષય પર આધારિત છે,જેનો અર્ધ-આયુષ્ય સમય આશરે $5730$ વર્ષ છે.
$^{14}C$ ના અર્ધ-આયુષ્યને કારણે,આ પદ્ધતિ આશરે $45,000$ થી $50,000$ વર્ષ જૂના નમૂનાઓની ઉંમર નક્કી કરવા માટે અસરકારક છે.
તેથી,કાર્બન ડેટિંગ માટે સૌથી યોગ્ય ઉંમરનો ક્રમ $10^4$ વર્ષ છે.
વધુ જૂના ભૌગોલિક નમૂનાઓ માટે,પોટેશિયમ-આર્ગોન ડેટિંગ જેવી અન્ય પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.

(A) ધારો કે પિતૃ રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસનું દળ $A$ છે.
$\alpha$-ઉત્સર્જન પછી,$\alpha$-કણનું દળ $4$ છે અને ડોટર ન્યુક્લિયસનું દળ $(A - 4)$ છે.
શરૂઆતમાં,રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસ સ્થિર છે,તેથી તેનું પ્રારંભિક વેગમાન $0$ છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
પ્રારંભિક વેગમાન = અંતિમ વેગમાન
$0 = (A - 4)v' + 4V$
અહીં,$v'$ એ ડોટર ન્યુક્લિયસનો રિકોઇલ વેગ છે અને $V$ એ $\alpha$-કણનો વેગ છે.
$(A - 4)v' = -4V$
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે ડોટર ન્યુક્લિયસ $\alpha$-કણની વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે.
રિકોઇલ વેગનું મૂલ્ય $v' = \frac{4V}{A - 4}$ છે.

(A) ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા $(B_N)$ એ ન્યુક્લિયસની સ્થિરતાનું માપ છે.
પ્રાયોગિક અવલોકનો દર્શાવે છે કે હલકા ન્યુક્લિયસ માટે $B_N$ ઝડપથી વધે છે અને આયર્ન $(Fe^{56})$ માટે લગભગ $8.8 \text{ MeV}$ જેટલું મહત્તમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે,જે $A = 56$ દળ ક્રમાંકને અનુરૂપ છે.
$A > 56$ ધરાવતા ન્યુક્લિયસ માટે,જેમ દળ ક્રમાંક વધે છે તેમ ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા ધીમે ધીમે ઘટે છે.
તેથી,જે આલેખ આ નિર્ભરતાને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે તેમાં $A = 56$ પર શિખર (peak) જોવા મળે છે.

(A) $CsCl$ સ્ફટિકમાં,$Cs^{+}$ આયનો $a$ બાજુની લંબાઈ ધરાવતા સમઘનના આઠ ખૂણાઓ પર સ્થિત છે.
$Cl^{-}$ આયન આ સમઘનના બરાબર કેન્દ્રમાં મૂકવામાં આવે છે.
$bcc$ બંધારણની સમપ્રમાણતાને કારણે,દરેક ખૂણા પરનો $Cs^{+}$ આયન કેન્દ્રમાં રહેલા $Cl^{-}$ આયન પર સ્થિત-વિદ્યુત બળ લગાડે છે.
દરેક $Cs^{+}$ આયન માટે,તેનાથી કેન્દ્રની સાપેક્ષમાં વ્યાસાંત વિરુદ્ધ દિશામાં એક સમાન $Cs^{+}$ આયન આવેલો હોય છે.
આ $Cs^{+}$ આયનોની જોડી દ્વારા કેન્દ્રમાં રહેલા $Cl^{-}$ આયન પર લાગતા બળો મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ હોય છે.
સુપરપોઝિશનના સિદ્ધાંત મુજબ,આ તમામ બળોનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય થાય છે.
તેથી,$Cl^{-}$ આયન પરનું પરિણામી સ્થિત-વિદ્યુત બળ શૂન્ય છે.

(A) $p$-ટાઈપ સેમિકન્ડક્ટરમાં, હોલની સાંદ્રતા $(n_h)$ એ એક્સેપ્ટર પરમાણુઓની સાંદ્રતા $(N_A)$ જેટલી હોય છે.
આપેલ છે: $n_h \approx N_A = 10^{21} /m^3$.
ઇલેક્ટ્રોન-હોલ જોડીની આંતરિક સાંદ્રતા $n_i = 10^{19} /m^3$ છે.
સેમિકન્ડક્ટર માટે માસ એક્શનના નિયમ મુજબ: $n_e \cdot n_h = n_i^2$.
કિંમતો મૂકતા: $n_e \cdot 10^{21} = (10^{19})^2$.
$n_e \cdot 10^{21} = 10^{38}$.
$n_e = 10^{38} / 10^{21} = 10^{17} /m^3$.
તેથી, ઇલેક્ટ્રોનની સાંદ્રતા $10^{17} /m^3$ છે.

(C) અર્ધવાહકોમાં,તાપમાન $(T)$ વધવાને કારણે વેલેન્સ બેન્ડમાંથી કન્ડક્શન બેન્ડમાં ઇલેક્ટ્રોનના થર્મલ ઉત્તેજનને લીધે ચાર્જ કેરિયર્સ (ઇલેક્ટ્રોન અને હોલ્સ) ની સંખ્યા ઘાતાંકીય રીતે વધે છે.
અવરોધકતા $(\rho)$ એ ચાર્જ કેરિયર્સની સંખ્યા ઘનતા $(n)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી,એટલે કે $\rho = \frac{m}{ne^2\tau}$,જેમ તાપમાન વધે છે તેમ અવરોધકતા ઘટે છે.
આ સંબંધ $\rho(T) = \rho_0 e^{E_g / 2k_BT}$ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે ઘાતાંકીય ઘટાડો દર્શાવે છે.
તેથી,અર્ધવાહક માટે અવરોધકતાના તાપમાન પરના આધારનું સાચું ગ્રાફિકલ નિરૂપણ આલેખ $C$ માં દર્શાવેલ છે.

(D) જ્યારે કોઈ પદાર્થને પ્રવાહીમાં ડુબાડવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રકાશના કિરણો પદાર્થ અને પ્રવાહીની સપાટી પર વક્રીભવન પામે છે.
જો પદાર્થનો વક્રીભવનાંક $(n_1)$ એ આસપાસના પ્રવાહીના વક્રીભવનાંક $(n_2)$ જેટલો હોય,તો પ્રકાશના કિરણો સપાટી પર વાંકા વળતા નથી કે પરાવર્તિત થતા નથી.
પરિણામે,પદાર્થ અદ્રશ્ય થઈ જાય છે કારણ કે માધ્યમમાંથી પસાર થતા પ્રકાશના ઓપ્ટિકલ પાથમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.
તેથી,સાચી શરત એ છે કે પદાર્થનો વક્રીભવનાંક આસપાસના પ્રવાહીના વક્રીભવનાંક સાથે બરાબર મળતો આવવો જોઈએ.

(C) એન્ડોસ્કોપ શરીરમાં પ્રકાશ મોકલવા અને બહાર લાવવા માટે ઓપ્ટિકલ ફાઈબરનો ઉપયોગ કરે છે.
આ ઓપ્ટિકલ ફાઈબર $Total \text{ } Internal \text{ } Reflection$ $(TIR)$ એટલે કે પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તનના સિદ્ધાંત પર કાર્ય કરે છે।
જ્યારે પ્રકાશ ફાઈબરમાં ક્રાંતિકોણ કરતા મોટા ખૂણે દાખલ થાય છે, ત્યારે તે તીવ્રતાના નોંધપાત્ર નુકસાન વિના ફાઈબરની લંબાઈ સાથે અનેક પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તનો અનુભવે છે।
આનાથી ચિકિત્સક આંતરિક અંગોની સ્પષ્ટ છબીઓ જોઈ શકે છે।

(B) ઈલેક્ટ્રોન તરંગની તરંગલંબાઈ $\lambda = 10 \ pm = 10 \times 10^{-12} \ m$ હોવી જોઈએ.
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$, ઉર્જા $E$ માટે સૂત્ર:
$E = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$
કિંમતો મૂકતા $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$, $m = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$, અને $\lambda = 10^{-11} \ m$:
$E = \frac{(6.63 \times 10^{-34})^2}{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times (10^{-11})^2} \ J$
$E \approx 2.41 \times 10^{-15} \ J$
આ ઉર્જાને $eV$ માં ફેરવવા માટે, $1.6 \times 10^{-19} \ J/eV$ વડે ભાગતા:
$E = \frac{2.41 \times 10^{-15}}{1.6 \times 10^{-19}} \ eV \approx 15062 \ eV \approx 15 \ KeV$.

(B) જ્યારે કોમ્પેક્ટ ડિસ્ક $(CD)$ પર સફેદ પ્રકાશ પાડવામાં આવે છે ત્યારે જોવા મળતા રંગીન 'પટ્ટાઓ' મુખ્યત્વે વિવર્તનની ઘટનાને કારણે હોય છે.
$CD$ ની સપાટી પર ખૂબ જ નજીક ગોઠવાયેલી સૂક્ષ્મ ખાંચાઓ (tracks) હોય છે,જે પરાવર્તિત વિવર્તન ગ્રેટીંગ તરીકે કાર્ય કરે છે.
જ્યારે સફેદ પ્રકાશ આ ખાંચાઓ પર પડે છે,ત્યારે પ્રકાશના તરંગો તેમની તરંગલંબાઇ (રંગ) મુજબ અલગ-અલગ ખૂણે વિવર્તિત થાય છે.
આના કારણે સફેદ પ્રકાશ તેના ઘટક રંગોમાં વિભાજિત થાય છે,જેનાથી ડિસ્કની સપાટી પર મેઘધનુષ જેવો દેખાવ જોવા મળે છે.

(D) ડ્રાય સેલનું $emf$ કેથોડ અને એનોડના ઇલેક્ટ્રોડ પોટેન્શિયલ પર આધાર રાખે છે,જે થતી રાસાયણિક પ્રક્રિયાઓ અને ઇલેક્ટ્રોલાઇટની સાંદ્રતા દ્વારા નક્કી થાય છે.
તે કોષના ભૌતિક પરિમાણો અથવા કદ પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી,વિધાન અને કારણ બંને ખોટા છે.

(D) સાચી ભૌગોલિક ઉત્તર-દક્ષિણ દિશા એ ચુંબકીય ઉત્તર-દક્ષિણ દિશા સાથે અમુક ખૂણે નમેલી હોય છે. આ ખૂણાને મેગ્નેટિક ડેક્લિનેશન (ચુંબકીય વિચલન) કહેવામાં આવે છે.
હોકાયંત્રની સોય પોતાની જાતને ચુંબકીય ઉત્તર-દક્ષિણ દિશામાં ગોઠવે છે,ભૌગોલિક ઉત્તર-દક્ષિણ દિશામાં નહીં.
ચુંબકીય મેરિડિયન ચુંબકીય ઉત્તર અને દક્ષિણ ધ્રુવોમાંથી પસાર થાય છે,જ્યારે ભૌગોલિક મેરિડિયન ભૌગોલિક ઉત્તર અને દક્ષિણ ધ્રુવો (ભ્રમણ ધરી) માંથી પસાર થાય છે.
ચુંબકીય ધરી અને ભૌગોલિક ધરી એકબીજા પર સંપાત થતી ન હોવાથી,વિધાન અને કારણ બંને ખોટા છે.

(B) લાલ રંગની વસ્તુ લાલ દેખાય છે કારણ કે તે લાલ પ્રકાશનું પરાવર્તન કરે છે અને તેના પર આપાત થતા અન્ય તમામ તરંગલંબાઇના પ્રકાશનું શોષણ કરે છે.
જ્યારે લાલ વસ્તુને પીળા પ્રકાશમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે આપાત પ્રકાશમાં કોઈ લાલ ઘટક હોતો નથી જેનું વસ્તુ પરાવર્તન કરી શકે.
પરિણામે,વસ્તુ પીળા પ્રકાશનું શોષણ કરે છે અને લગભગ કંઈપણ પરાવર્તિત કરતી નથી,જેના કારણે તે ઘેરી અથવા કાળી દેખાય છે.
તેથી,વિધાન સાચું છે.
કારણ જણાવે છે કે લાલ રંગનું પ્રકીર્ણન ઓછું થાય છે,જે રેલે પ્રકીર્ણન $(I \propto 1/\lambda^4)$ ના આધારે વૈજ્ઞાનિક રીતે સાચું વિધાન છે,પરંતુ તે સમજાવતું નથી કે લાલ વસ્તુ પીળા પ્રકાશમાં શા માટે ઘેરી દેખાય છે.
આમ,બંને વિધાનો સાચા છે,પરંતુ કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી નથી.

(C) વિધાન સાચું છે. મોર્ફો પતંગિયાની પાંખનો રંગ કોઈ રંગદ્રવ્યોને કારણે નથી,પરંતુ પાંખની સપાટી પરના સૂક્ષ્મ ભીંગડાઓમાંથી પરાવર્તિત થતા પ્રકાશના વ્યતિકરણ (interference) ને કારણે ઉદ્ભવતા માળખાકીય રંગને કારણે છે.
જ્યારે પવન પાંખને હલાવે છે,ત્યારે આપાતકોણ અને ભીંગડાના વિવિધ સ્તરોમાંથી પરાવર્તિત થતા પ્રકાશના તરંગો વચ્ચેનો પથ તફાવત બદલાય છે. આનાથી વ્યતિકરણની ભાતમાં ફેરફાર થાય છે,જેના પરિણામે અવલોકન કરેલા રંગમાં ફેરફાર થાય છે.
કારણ ખોટું છે કારણ કે રંગ રંગદ્રવ્યોને કારણે નહીં,પરંતુ પાંખની સપાટીના ભૌતિક માળખા (પાતળા પડનું વ્યતિકરણ) ને કારણે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(C)$ છે.

(A) જ્યારે નિરીક્ષક માટે તેમનું કોણીય વિભાજન રેલેના માપદંડ (Rayleigh's criterion) દ્વારા જરૂરી હોય તેના કરતા વધારે હોય ત્યારે આપણે બે નજીક આવેલા ખૂબ નાના ટપકાંઓને અલગ જોઈ શકીએ છીએ.
$\theta_{R} = 1.22 \frac{\lambda}{d}$
અહીં,$d$ એ આંખની કીકીનો વ્યાસ છે અને $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે. જો બે ટપકાં વચ્ચેનું અંતર $D$ હોય અને $L$ એ ચિત્રથી નિરીક્ષકનું અંતર હોય,તો કોણીય વિભાજન $\theta = \frac{D}{L}$ થાય.
રેલેના માપદંડ મુજબ,ટપકાં ત્યારે જ અલગ દેખાય છે જો $\theta \geq 1.22 \frac{\lambda}{d}$ હોય.
આમ,$\frac{D}{L} \geq 1.22 \frac{\lambda}{d}$,જેનો અર્થ છે કે $L \leq \frac{D d}{1.22 \lambda}$.
જેમ જેમ નિરીક્ષક ચિત્રથી દૂર જાય છે ($L$ વધે છે),તેમ કોણીય વિભાજન $\theta$ ઘટે છે. જ્યારે $\theta$ આંખની વિભેદન મર્યાદા કરતા ઓછું થાય છે,ત્યારે વ્યક્તિગત ટપકાંઓ અલગ દેખાતા નથી અને આંખ તેમને અલગ પાડવામાં અસમર્થ હોવાથી તેમના રંગો ભળી જાય છે. વિવિધ રંગોની તરંગલંબાઇ $(\lambda)$ અલગ હોવાથી,તેઓ કયા અંતરે ભળી જશે તે બદલાય છે,જેના કારણે નિરીક્ષક દૂર જાય તેમ ચોક્કસ બિંદુએ દેખાતો રંગ બદલાય છે. તેથી,વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે અને કારણ આ ઘટનાને સમજાવે છે.

(D) ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર પ્રકાશની કણ પ્રકૃતિ દર્શાવે છે,તરંગ પ્રકૃતિ નહીં. તેથી,વિધાન ખોટું છે.
દર સેકન્ડે ઉત્સર્જિત થતા ફોટોઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યા આપાત પ્રકાશની તીવ્રતાના સમપ્રમાણમાં હોય છે,તેની આવૃત્તિના નહીં. તેથી,કારણ પણ ખોટું છે.
આમ,વિધાન અને કારણ બંને ખોટા હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(A) ${}^{90}Sr$ રાસાયણિક રીતે કેલ્શિયમ જેવું જ છે અને તે શરીર દ્વારા શોષાઈને હાડકામાં જમા થાય છે.
રક્તકણો $(RBCs)$ અસ્થિમજ્જામાં ઉત્પન્ન થાય છે.
${}^{90}Sr$ ના કિરણોત્સર્ગી ક્ષય દરમિયાન ઉત્સર્જિત થતા ઉર્જાસભર $\beta$-કણો અસ્થિમજ્જાના પેશીઓને નુકસાન પહોંચાડે છે.
આ નુકસાનને કારણે રક્તકણોના ઉત્પાદનમાં નોંધપાત્ર ઘટાડો કે ક્ષતિ થાય છે.
તેથી,કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી આપે છે.

(A) ન્યુક્લિયર વિખંડનમાં,એક ભારે ન્યુક્લિયસ બે અથવા વધુ હળવા ન્યુક્લિયસ (ટુકડાઓ) માં વિભાજિત થાય છે.
પિતૃ ન્યુક્લિયસની તુલનામાં વિખંડન ટુકડાઓ માટે ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા વધારે હોય છે.
કારણ કે ટુકડાઓની કુલ બંધન ઉર્જા પિતૃ ન્યુક્લિયસની કુલ બંધન ઉર્જા કરતા વધારે છે,તેથી દળ ક્ષતિ $\Delta m$ એ આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઉર્જા સમતુલ્યતાના સિદ્ધાંત $E = \Delta m c^2$ મુજબ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
તેથી,આ પ્રક્રિયામાં ઉર્જા મુક્ત થાય છે.
આમ,વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે,અને કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી છે.

(C) ટ્રાન્ઝિસ્ટરમાં,બેઝ ખૂબ જ પાતળો અને હળવો ડોપ્ડ બનાવવામાં આવે છે જેથી એમિટરથી દાખલ થયેલા મોટાભાગના ચાર્જ કેરિયર્સ કલેક્ટર સુધી પહોંચી શકે.
જો બેઝ જાડો હોય,તો વધુ ચાર્જ કેરિયર્સ બેઝ વિસ્તારમાં પુનઃસંયોજિત (recombine) થશે,જેના પરિણામે બેઝ કરંટ $(I_b)$ વધશે અને કલેક્ટર કરંટ $(I_c)$ નોંધપાત્ર રીતે ઘટશે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $I_e = I_b + I_c$,તેથી પાતળો બેઝ $I_b$ ને ન્યૂનતમ રાખે છે,જે ઉચ્ચ કરંટ ગેઈન મેળવવામાં મદદ કરે છે.
આપેલ કારણ,'પાતળો બેઝ ટ્રાન્ઝિસ્ટરને સ્થિર બનાવે છે',તે ખોટું છે કારણ કે પાતળા બેઝનો મુખ્ય હેતુ કાર્યક્ષમ ચાર્જ કેરિયર ટ્રાન્સપોર્ટ અને ઉચ્ચ કરંટ ગેઈન સુનિશ્ચિત કરવાનો છે,સ્થિરતા નહીં.
તેથી,વિધાન સાચું છે,પરંતુ કારણ ખોટું છે.

(B) આપેલ સર્કિટમાં $A$ અને $B$ ઇનપુટ સાથે જોડાયેલા બે $NOT$ ગેટ છે,ત્યારબાદ એક $NOR$ ગેટ છે.
$1$. બે $NOT$ ગેટના આઉટપુટ $\overline{A}$ અને $\overline{B}$ છે.
$2$. આ આઉટપુટ $NOR$ ગેટના ઇનપુટ તરીકે આપવામાં આવે છે.
$3$. $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $Y = \overline{\overline{A} + \overline{B}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$4$. ડી મોર્ગનના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$\overline{\overline{A} + \overline{B}} = \overline{\overline{A}} \cdot \overline{\overline{B}} = A \cdot B$.
$5$. પદ $A \cdot B$ એ $AND$ ગેટની કામગીરી દર્શાવે છે.
તેથી,આ સંયોજન $AND$ ગેટ દર્શાવે છે.