AIIMS 2004 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) कूलम्ब के नियम के अनुसार,$r$ दूरी पर स्थित दो आवेशों $q_1$ और $q_2$ के बीच लगने वाला बल $F$ है:
$F = \frac{1}{{4\pi {\varepsilon _0}}}\,\frac{{{q_1}{q_2}}}{{{r^2}}}$
परावैद्युतांक ${\varepsilon _0}$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
${\varepsilon _0} = \frac{{{q_1}{q_2}}}{{4\pi F{r^2}}}$
प्रत्येक राशि की विमाएँ प्रतिस्थापित करने पर:
$[q] = [AT]$
$[F] = [MLT^{-2}]$
$[r] = [L]$
अतः,${\varepsilon _0}$ की विमाएँ हैं:
$[{\varepsilon _0}] = \frac{[AT][AT]}{[MLT^{-2}][L^2]}$
$[{\varepsilon _0}] = \frac{[A^2T^2]}{[ML^3T^{-2}]}$
$[{\varepsilon _0}] = [A^2T^4M^{-1}L^{-3}]$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) गतिमान वस्तु के लिए,समय $t$ के किसी भी एक क्षण पर,वेग $v$ का केवल एक ही अद्वितीय मान हो सकता है।
ग्राफ $A$,$C$ और $D$ में,समय $t$ के एक ही मान के लिए,ग्राफ वेग $v$ के कई मान दर्शाता है,जो भौतिक रूप से असंभव है।
ग्राफ $B$ एक यथार्थवादी स्थिति को दर्शाता है जहाँ वेग समय के साथ लगातार बदलता रहता है,और प्रत्येक क्षण $t$ के लिए इसका एक अद्वितीय मान होता है।

(D) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,विस्फोट से पहले कुल संवेग शून्य है,इसलिए दोनों टुकड़ों के पास समान और विपरीत रैखिक संवेग होना चाहिए: $m_1 v_1 = m_2 v_2$.
यहाँ $m_1 = 1.0 \, kg$,$v_1 = 80 \, m/s$,और $m_2 = 2.0 \, kg$ दिया गया है।
$1.0 \times 80 = 2.0 \times v_2 \implies v_2 = 40 \, m/s$.
टुकड़ों को दी गई कुल गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2$ है।
$K = \frac{1}{2} \times 1.0 \times (80)^2 + \frac{1}{2} \times 2.0 \times (40)^2$.
$K = \frac{1}{2} \times 6400 + 1.0 \times 1600 = 3200 + 1600 = 4800 \, J$.
$kJ$ में बदलने पर,$K = 4.8 \, kJ$ प्राप्त होता है।

(B) $T$ तापमान पर गैस की तीनों चालों के लिए व्यंजक इस प्रकार हैं:
${v_{rms}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$
${v_{av}} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$
${v_{mp}} = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$
गुणांकों की तुलना करने पर:
${v_{rms}} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{\frac{RT}{M}} \approx 1.732 \cdot \sqrt{\frac{RT}{M}}$
${v_{av}} = \sqrt{\frac{8}{3.14}} \cdot \sqrt{\frac{RT}{M}} \approx \sqrt{2.546} \cdot \sqrt{\frac{RT}{M}} \approx 1.596 \cdot \sqrt{\frac{RT}{M}}$
${v_{mp}} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{RT}{M}} \approx 1.414 \cdot \sqrt{\frac{RT}{M}}$
अतः,सही संबंध ${v_{rms}} > {v_{av}} > {v_{mp}}$ है।

(B) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका (black body) द्वारा विकिरित कुल शक्ति (प्रति इकाई समय में उत्सर्जित ऊर्जा) $P = \sigma A T^4$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $A = 4\pi r^2$ सतह का क्षेत्रफल है।
इसलिए,$P \propto r^2 T^4$ है।
मान लीजिए प्रारंभिक त्रिज्या $r_1$ और प्रारंभिक तापमान $T_1$ है। मान लीजिए अंतिम त्रिज्या $r_2 = 100r_1$ और अंतिम तापमान $T_2 = T_1 / 2$ है।
अंतिम उत्सर्जित ऊर्जा $(P_2)$ और प्रारंभिक उत्सर्जित ऊर्जा $(P_1)$ का अनुपात है:
$\frac{P_2}{P_1} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^2 \times \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$
मान रखने पर:
$\frac{P_2}{P_1} = (100)^2 \times \left( \frac{1}{2} \right)^4$
$\frac{P_2}{P_1} = 10000 \times \frac{1}{16} = 625$.
इस प्रकार,कुल उत्सर्जित ऊर्जा $625$ के गुणक से बढ़ जाएगी।

(C) पानी की लहरें जटिल तरंगें होती हैं। पानी की सतह पर,कण वृत्ताकार पथ में गति करते हैं,जिसमें अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ दोनों घटक शामिल होते हैं। इसलिए,पानी की लहरों को प्रकृति में अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ दोनों माना जाता है।

(C) एक सामान्य मनुष्य द्वारा सुनी जा सकने वाली अधिकतम आवृत्ति $20,000 \ Hz$ है।
बंद ऑर्गन पाइप के लिए,$N$ वें मोड की आवृत्ति $f_N = (2N - 1)f_1$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $f_1 = 1500 \ Hz$ मूल आवृत्ति है।
हमें $f_N \le 20,000 \ Hz$ की आवश्यकता है।
$(2N - 1) \times 1500 \le 20,000$
$2N - 1 \le \frac{20,000}{1500} \approx 13.33$
$2N \le 14.33 \implies N \le 7.16$.
चूंकि $N$ एक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए अधिकतम मोड संख्या $N = 7$ है।
ओवरटोन्स की संख्या $(N - 1)$ द्वारा दी जाती है।
इसलिए,ओवरटोन्स की संख्या $= 7 - 1 = 6$.

(D) कोणीय वेग सदिश $\vec{\omega}$ को एक अक्षीय सदिश के रूप में परिभाषित किया गया है।
दाएं हाथ के नियम (right-hand rule) के अनुसार,इसकी दिशा हमेशा वस्तु के घूर्णन अक्ष (axis of rotation) के अनुदिश होती है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) कोणीय संवेग $L$ को स्थिति सदिश $r$ और रेखीय संवेग सदिश $p$ के सदिश गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो $L = r \times p$ द्वारा दिया जाता है।
सदिश गुणनफल की परिभाषा के अनुसार,परिणामी सदिश $L$ हमेशा उस तल के लम्बवत् होता है जिसमें सदिश $r$ और $p$ दोनों स्थित होते हैं।
चूंकि स्थिति सदिश $r$ और रेखीय संवेग सदिश $p$ दोनों कक्षीय तल में स्थित होते हैं,इसलिए कोणीय संवेग सदिश $L$ कक्षीय तल के लम्बवत् होगा।

(A) स्टोक्स के नियम के अनुसार,जब $a$ त्रिज्या का एक छोटा गोला किसी श्यान द्रव में गिरता है,तो वह एक स्थिर वेग प्राप्त कर लेता है जिसे सीमांत वेग $(V_T)$ कहा जाता है।
सीमांत वेग का सूत्र इस प्रकार है:
$V_T = \frac{2a^2(\rho - \sigma)g}{9\eta}$
जहाँ:
$a$ = गोले की त्रिज्या
$\rho$ = गोले का घनत्व
$\sigma$ = द्रव का घनत्व
$g$ = गुरुत्वीय त्वरण
$\eta$ = द्रव का श्यानता गुणांक
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि $V_T \propto a^2$ है।
अतः,सीमांत वेग गोले की त्रिज्या के वर्ग के समानुपाती होता है।

(C) जड़त्वीय निर्देश तंत्र को एक ऐसे तंत्र के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसमें न्यूटन के गति के नियम मान्य होते हैं।
चूंकि वाहन सीधी सड़क पर एकसमान चाल से गति कर रहा है,इसलिए इसका त्वरण $0$ है। अतः,यह एक जड़त्वीय निर्देश तंत्र है।
इस प्रकार,$Assertion$ सही है।
हालाँकि,$Reason$ कहता है कि जिस तंत्र में न्यूटन के नियम लागू होते हैं वह अजड़त्वीय है,जो गलत है। न्यूटन के नियम जड़त्वीय तंत्र में लागू होते हैं,न कि अजड़त्वीय तंत्र में।
इसलिए,$Assertion$ सही है लेकिन $Reason$ गलत है।

(D) कोणीय वेग $\vec{\omega}$ एक अक्षीय सदिश है। इसकी दिशा हमेशा वृत्ताकार गति के तल के लंबवत होती है,जो घूर्णन अक्ष के अनुरूप होती है। दाहिने हाथ के नियम के अनुसार,यदि दाहिने हाथ की उंगलियों को घूर्णन की दिशा में मोड़ा जाए,तो अंगूठा कोणीय वेग सदिश $\vec{\omega}$ की दिशा को इंगित करता है। यह दी गई आकृति में स्पष्ट रूप से दर्शाया गया है,जहाँ सदिश $\vec{\omega}$ घूर्णन अक्ष के अनुदिश स्थित है।

(D) कक्षीय गति में एक कण का कोणीय संवेग $\vec{L}$,उसके स्थिति सदिश $\vec{r}$ और उसके रैखिक संवेग $\vec{p}$ के सदिश गुणनफल द्वारा परिभाषित होता है,जो $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$ है।
सदिश गुणनफल की परिभाषा के अनुसार,परिणामी सदिश $\vec{L}$ हमेशा उस तल के लंबवत होता है जिसमें $\vec{r}$ और $\vec{p}$ दोनों स्थित होते हैं।
चूंकि स्थिति सदिश और रैखिक संवेग सदिश दोनों कक्षीय तल में स्थित होते हैं,इसलिए कोणीय संवेग सदिश $\vec{L}$ कक्षीय तल के लंबवत होना चाहिए। यह दाएं हाथ के नियम के अनुरूप है,जहां $\vec{L}$ की दिशा घूर्णन अक्ष के अनुदिश होती है।

(A) पृथ्वी और उसका वायुमंडल एक निकाय बनाते हैं। बाहरी टॉर्क की अनुपस्थिति में इस निकाय का कुल कोणीय संवेग संरक्षित रहता है।
$L = I\omega = \text{constant}$
जब वायुमंडल में बड़े वायु द्रव्यमान स्थानांतरित होते हैं, तो घूर्णन अक्ष के सापेक्ष द्रव्यमान का वितरण बदल जाता है, जिससे पृथ्वी-वायुमंडल निकाय के कुल जड़त्व आघूर्ण $(I)$ में परिवर्तन होता है।
चूंकि कोणीय संवेग $(L)$ स्थिर रहना चाहिए, इसलिए जड़त्व आघूर्ण $(I)$ में कोई भी परिवर्तन पृथ्वी के कोणीय वेग $(\omega)$ में संबंधित परिवर्तन लाता है।
अतः, वायु द्रव्यमानों का स्थानांतरण पृथ्वी की घूर्णन गति में छोटे और छिटपुट परिवर्तनों का कारण बनता है।
इस प्रकार, $Assertion$ और $Reason$ दोनों सही हैं और $Reason$ का $Assertion$ सही स्पष्टीकरण है।

(C) बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार,एक असंपीड्य,अश्यान तरल के धारा रेखीय प्रवाह के लिए,प्रति इकाई आयतन में दाब ऊर्जा,गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग स्थिर रहता है $(P + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho gh = \text{constant})$.
मानव परिसंचरण तंत्र में,उम्र बढ़ने या प्लाक जमा होने के कारण जब धमनियां संकरी हो जाती हैं,तो रक्त प्रवाह का वेग $(v)$ बदल जाता है। हालांकि रक्त की श्यानता के कारण यह संबंध जटिल है,लेकिन बर्नौली का सिद्धांत यह बताता है कि वाहिका के अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल में कमी आने से दबाव में परिवर्तन होता है। विशेष रूप से,धमनियों के संकरा होने से प्रवाह के प्रति प्रतिरोध बढ़ जाता है और वाहिका के भीतर का दबाव तरल यांत्रिकी के सिद्धांतों द्वारा नियंत्रित होता है,जो मुख्य रूप से बर्नौली के सिद्धांत पर आधारित है।

(C) पानी दूसरी बार उबलना शुरू कर देता है क्योंकि जब प्रेशर कुकर ठंडा होता है,तो अंदर का दबाव कम हो जाता है।
दबाव और क्वथनांक के बीच के संबंध के अनुसार,दबाव में कमी से पानी का क्वथनांक $(B.P.)$ कम हो जाता है।
जब ढक्कन हटाया जाता है,तो दबाव घटकर वायुमंडलीय दबाव के बराबर हो जाता है,जो बंद कुकर के अंदर के दबाव से कम होता है।
चूंकि पानी पहले से ही उच्च तापमान पर होता है,इसलिए दबाव में यह कमी पानी को फिर से उबालने का कारण बनती है।
दिया गया कारण गलत है क्योंकि अशुद्धियाँ आमतौर पर पानी के क्वथनांक को बढ़ाती हैं (क्वथनांक में उन्नयन),कम नहीं करती हैं।

(B) द्रव की बूंद के अंदर अतिरिक्त दबाव का सूत्र $P = \frac{2T}{r}$ है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $r$ बूंद की त्रिज्या है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि अतिरिक्त दबाव $P$,त्रिज्या $r$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(P \propto \frac{1}{r})$।
जैसे-जैसे त्रिज्या $r$ घटती है,अतिरिक्त दबाव $P$ बढ़ता है।
इसलिए,छोटी बूंदों में अतिरिक्त दबाव अधिक होता है,जो उन्हें अधिक स्थिर बनाता है और विरूपक बलों का बेहतर प्रतिरोध करने में सक्षम बनाता है।
चूंकि अतिरिक्त दबाव त्रिज्या के व्युत्क्रमानुपाती होता है,न कि पृष्ठीय क्षेत्रफल के सीधे आनुपातिक,इसलिए कारण गलत है।
अतः,अभिकथन सही है,लेकिन कारण गलत है।

(A) प्रकृति में अधिकांश घटनाएं अनुत्क्रमणीय होती हैं। एक प्रक्रिया तब अनुत्क्रमणीय हो जाती है जब कुछ ऊर्जा घर्षण,श्यानता या अन्य प्रतिरोधी बलों के कारण ऊष्मा ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है। इसे विसपी प्रभाव (dissipative effect) के रूप में जाना जाता है। चूंकि इन विसपी प्रभावों को किसी भी वास्तविक प्रक्रिया में पूरी तरह से समाप्त नहीं किया जा सकता है,इसलिए सभी प्राकृतिक ऊष्मागतिक प्रक्रियाएं अनुत्क्रमणीय होती हैं।

(A) कोणीय त्वरण $(\vec{\alpha})$ को समय के सापेक्ष कोणीय वेग $(\vec{\omega})$ के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिसे $\vec{\alpha} = \frac{d\vec{\omega}}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि वृत्ताकार पथ में गति करने वाले पिंड के लिए कोणीय वेग सदिश $(\vec{\omega})$ घूर्णन अक्ष के अनुदिश होता है, इसलिए इस सदिश के परिवर्तन की दर, जो कि कोणीय त्वरण $(\vec{\alpha})$ है, भी उसी घूर्णन अक्ष के अनुदिश कार्य करती है।

(A) विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$, $x$-अक्ष की दिशा में है। विद्युत क्षेत्र और विभव के बीच का संबंध $\vec{E} = -\nabla V$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि विद्युत क्षेत्र केवल $x$-दिशा में है, इसलिए विभव $V$ केवल $x$ पर निर्भर करता है, अर्थात $V = V(x)$।
समविभव पृष्ठ वह पृष्ठ है जहाँ विभव $V$ स्थिर रहता है।
$V(x) = \text{स्थिरांक}$ के लिए, $x$ को स्थिर होना चाहिए।
$x = \text{स्थिरांक}$ द्वारा परिभाषित पृष्ठ $yz$-तल के समानांतर एक समतल है।
भले ही विद्युत क्षेत्र का परिमाण $x$-दिशा में बढ़ रहा हो, समविभव पृष्ठ विद्युत क्षेत्र की दिशा के लंबवत (अर्थात $yz$-तल के समानांतर) समतल ही रहते हैं, हालांकि जैसे-जैसे क्षेत्र की तीव्रता बढ़ती है, उनके बीच की दूरी कम होती जाएगी।

(B) संधारित्र में संचित ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = \frac{1}{2} C V^2$ है।
दिया गया है: $C = 40 \, \mu F = 40 \times 10^{-6} \, F$,$V = 3000 \, V$,और $t = 2 \, ms = 2 \times 10^{-3} \, s$.
सबसे पहले,संचित ऊर्जा की गणना करें:
$U = \frac{1}{2} \times (40 \times 10^{-6}) \times (3000)^2$
$U = 20 \times 10^{-6} \times 9 \times 10^6 = 180 \, J$.
शक्ति $P$ को प्रति इकाई समय में दी गई ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$P = \frac{U}{t} = \frac{180 \, J}{2 \times 10^{-3} \, s} = 90 \times 10^3 \, W = 90 \, kW$.

(B) $R$ त्रिज्या और आयतन आवेश घनत्व $\rho$ वाले एक समान रूप से आवेशित गोले के लिए:
$1$. गोले के अंदर $(r < R)$,विद्युत क्षेत्र $E_{inside} = \frac{\rho r}{3\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है। यह दर्शाता है कि $E \propto r$,जो मूल बिंदु से गुजरने वाला एक रैखिक संबंध है।
$2$. गोले के बाहर $(r \ge R)$,विद्युत क्षेत्र $E_{outside} = \frac{\rho R^3}{3\varepsilon_0 r^2}$ द्वारा दिया जाता है। यह दर्शाता है कि $E \propto \frac{1}{r^2}$,जो एक व्युत्क्रम-वर्ग संबंध है।
$3$. इन दोनों को मिलाने पर,ग्राफ़ मूल बिंदु से शुरू होता है,$r = R$ तक रैखिक रूप से बढ़ता है,और उसके बाद $r > R$ के लिए व्युत्क्रम-वर्ग वक्र का पालन करते हुए घटता है। यह ग्राफ़ विकल्प $B$ में दर्शाया गया है।

(A) दी गई समस्या कोशिकाओं के मिश्रित संयोजन का एक उदाहरण है।
मान लीजिए कि प्रत्येक पंक्ति में कोशिकाओं की संख्या $n$ है और पंक्तियों की संख्या $m$ है।
दिया गया है: $n = 5000$,$m = 100$,$E = 0.15\, V$,$r = 0.25\,\Omega$,और बाह्य प्रतिरोध $R = 500\,\Omega$ है।
इस व्यवस्था का कुल emf $E_{eq} = nE = 5000 \times 0.15 = 750\, V$ है।
इस व्यवस्था का कुल आंतरिक प्रतिरोध $r_{eq} = \frac{nr}{m} = \frac{5000 \times 0.25}{100} = 50 \times 0.25 = 12.5\,\Omega$ है।
परिपथ में कुल विद्युत धारा $i$ का सूत्र $i = \frac{E_{eq}}{R + r_{eq}}$ है।
मान रखने पर: $i = \frac{750}{500 + 12.5} = \frac{750}{512.5} \approx 1.463\, A$ है।
निकटतम विकल्प के अनुसार,विद्युत धारा लगभग $1.5\, A$ है।

(D) $R$ त्रिज्या और $i$ धारा वाली वृत्ताकार कुंडली की अक्ष पर उसके केंद्र से $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र इस प्रकार है:
$B = \frac{\mu_0 i R^2}{2(R^2 + r^2)^{3/2}}$
चूंकि स्थिति $r \gg R$ दी गई है,हम हर (denominator) में $R^2$ की उपेक्षा कर सकते हैं:
$B \approx \frac{\mu_0 i R^2}{2(r^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 i R^2}{2r^3}$
यहाँ $\mu_0$,$i$ और $R$ स्थिरांक हैं,इसलिए $B \propto \frac{1}{r^3}$ प्राप्त होता है।

(D) धारा वाहित कुंडली का चुंबकीय आघूर्ण $(M)$ सूत्र $M = niA$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ फेरों की संख्या है,$i$ धारा है और $A$ कुंडली का क्षेत्रफल है।
$r$ त्रिज्या वाली वृत्ताकार कुंडली के लिए,क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ होता है।
क्षेत्रफल का मान सूत्र में रखने पर,हमें $M = ni(\pi r^2)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $n$,$i$ और $\pi$ एक दी गई कुंडली के लिए नियतांक हैं,इसलिए चुंबकीय आघूर्ण $M$ त्रिज्या के वर्ग के समानुपाती होता है,अर्थात $M \propto r^2$।

(C) लंबवत चुंबकीय क्षेत्र में गति करने वाले आवेशित कण के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r = \frac{mv}{qB}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि दोनों कणों के लिए वेग $v$ और चुंबकीय क्षेत्र $B$ समान हैं,इसलिए त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{r_{\alpha}}{r_p} = \frac{m_{\alpha}}{m_p} \times \frac{q_p}{q_{\alpha}}$ होगा।
$\alpha$-कण के लिए,द्रव्यमान $m_{\alpha} = 4m_p$ और आवेश $q_{\alpha} = 2q_p$ होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{r_{\alpha}}{r_p} = \frac{4m_p}{m_p} \times \frac{q_p}{2q_p} = 4 \times \frac{1}{2} = \frac{2}{1}$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $2:1$ है।

(D) साइक्लोट्रॉन आवृत्ति $v$ का सूत्र $v = \frac{qB}{2\pi m}$ है।
दिया गया है: $B = 1\, T$,$q = 1.6 \times 10^{-19}\, C$,और $m = 9.1 \times 10^{-31}\, kg$।
मान रखने पर:
$v = \frac{1 \times 1.6 \times 10^{-19}}{2 \times 3.14 \times 9.1 \times 10^{-31}}$
$v = \frac{1.6}{57.148} \times 10^{12}\, Hz$
$v \approx 0.02799 \times 10^{12}\, Hz = 27.99 \times 10^9\, Hz$
$v \approx 28\, GHz$.

(B) जब प्रोटॉन की दो धाराएँ एक-दूसरे के समानांतर और एक ही दिशा में गति करती हैं,तो उनके बीच दो प्रकार के बल कार्य करते हैं: स्थिर-वैद्युत बल और चुंबकीय बल।
$1$. प्रोटॉन की दो धाराओं के बीच स्थिर-वैद्युत बल प्रतिकर्षी होता है क्योंकि दोनों धाराएँ धनावेशित कणों से बनी होती हैं।
$2$. एक ही दिशा में गति करने वाली दो समानांतर धाराओं के बीच चुंबकीय बल आकर्षक होता है।
$3$. हालाँकि,अंतरिक्ष में गति करने वाले आवेशित कणों के लिए,स्थिर-वैद्युत प्रतिकर्षण बल चुंबकीय आकर्षण बल की तुलना में काफी अधिक शक्तिशाली होता है।
$4$. इसलिए,दोनों धाराओं के बीच का कुल बल प्रतिकर्षी होता है,जिसके कारण वे एक-दूसरे को प्रतिकर्षित करती हैं।

(A) एम्पीयर के परिपथीय नियम के अनुसार, $a$ त्रिज्या वाले बेलनाकार चालक से बहने वाली स्थिर धारा $I$ के लिए:
$1$. चालक के अंदर $(r < a)$: चुंबकीय क्षेत्र $B_{in} = \frac{\mu_0 I r}{2 \pi a^2}$ द्वारा दिया जाता है। अतः, $B_{in} \propto r$, जो मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है।
$2$. चालक के बाहर $(r > a)$: चुंबकीय क्षेत्र $B_{out} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है। अतः, $B_{out} \propto \frac{1}{r}$, जो एक आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) को दर्शाता है।
इसलिए, ग्राफ $r = a$ तक रैखिक वृद्धि और $r > a$ के लिए अतिपरवलयिक कमी को दर्शाता है, जो पहले विकल्प के अनुरूप है।

(B) द्रव ऑक्सीजन प्रकृति में $Paramagnetic$ (अनुचुंबकीय) होता है।
अनुचुंबकीय पदार्थ चुंबकीय क्षेत्रों द्वारा दुर्बल रूप से आकर्षित होते हैं।
जब द्रव ऑक्सीजन को चुंबक के दो ध्रुवों के बीच रखा जाता है,तो यह दोनों ध्रुवों की ओर आकर्षण बल का अनुभव करता है।
यदि द्रव को बिल्कुल केंद्र में रखा जाता है,तो दोनों ध्रुवों द्वारा लगाया गया चुंबकीय बल परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होता है।
परिणामस्वरूप,द्रव ऑक्सीजन पर लगने वाला कुल चुंबकीय बल शून्य हो जाता है,जिससे यह ध्रुवों के बीच निलंबित रहता है।

(A) विभवांतर $V$ के माध्यम से त्वरित इलेक्ट्रॉन द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा $K.E. = eV = \frac{1}{2}mv^2$ द्वारा दी जाती है।
वेग $v$ के लिए हल करने पर,हमें $v = \sqrt{\frac{2eV}{m}}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है: $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,$V = 45.5 \ V$,और $m = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$.
मान प्रतिस्थापित करने पर: $v = \sqrt{\frac{2 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 45.5}{9.1 \times 10^{-31}}}$.
$v = \sqrt{\frac{145.6 \times 10^{-19}}{9.1 \times 10^{-31}}} = \sqrt{16 \times 10^{12}}$.
$v = 4 \times 10^6 \ m \ s^{-1}$.

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,आपतित फोटॉन की ऊर्जा $(E)$,कार्य फलन $(W_0)$ और उत्सर्जित प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K_{max})$ के योग के बराबर होती है।
$E = W_0 + K_{max}$
यह दिया गया है कि $K_{max} = eV_0$,जहाँ $V_0$ निरोधी विभव है,इसलिए समीकरण इस प्रकार होगा:
$E = W_0 + eV_0$
दिए गए मानों ($E = 4 \ eV$ और $W_0 = 2 \ eV$) को प्रतिस्थापित करने पर:
$4 \ eV = 2 \ eV + eV_0$
$eV_0 = 4 \ eV - 2 \ eV$
$eV_0 = 2 \ eV$
अतः,निरोधी विभव $V_0 = 2 \ V$ है।

(A) प्रकाश-विद्युत प्रभाव तब होता है जब आपतित विकिरण की आवृत्ति धातु की देहली आवृत्ति (threshold frequency) से अधिक होती है, या समान रूप से, इसकी तरंगदैर्ध्य देहली तरंगदैर्ध्य से कम होती है।
चूंकि पराबैंगनी $(UV)$ किरणें प्रकाश-विद्युत प्रभाव उत्पन्न नहीं करती हैं, इसलिए आपतित विकिरण की ऊर्जा $UV$ किरणों से अधिक (तरंगदैर्ध्य कम) होनी चाहिए।
दिए गए विकल्पों में से, $X$-किरणों की तरंगदैर्ध्य $UV$ किरणों से कम $(\lambda_{X-ray} < \lambda_{UV-ray})$ होती है और इसलिए उनकी ऊर्जा अधिक होती है।
अतः, $X$-किरणें प्रकाश-विद्युत प्रभाव उत्पन्न करेंगी।

(B) इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $(m_e)$ $9.1 \times 10^{-31} \ kg$ है।
चूंकि पॉज़िट्रॉन का द्रव्यमान इलेक्ट्रॉन के बराबर होता है,इसलिए विनाश में शामिल कुल द्रव्यमान $2m_e$ होगा।
मुक्त ऊर्जा $(E)$ आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता सूत्र $E = (2m_e)c^2$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $E = 2 \times (9.1 \times 10^{-31} \ kg) \times (3 \times 10^8 \ m/s)^2$.
$E = 18.2 \times 10^{-31} \times 9 \times 10^{16} \ J$.
$E = 163.8 \times 10^{-15} \ J = 1.638 \times 10^{-13} \ J$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,मुक्त ऊर्जा लगभग $1.6 \times 10^{-13} \ J$ है।

(B) कार्बन डेटिंग का उपयोग मुख्य रूप से जीवाश्मों जैसे कार्बनिक पदार्थों की आयु निर्धारित करने के लिए किया जाता है।
यह रेडियोधर्मी समस्थानिक कार्बन-$14$ $(^{14}C)$ के क्षय पर निर्भर करता है,जिसका अर्ध-आयु काल लगभग $5730$ वर्ष है।
$^{14}C$ के अर्ध-आयु काल के कारण,यह विधि लगभग $45,000$ से $50,000$ वर्ष पुराने नमूनों की आयु निर्धारित करने के लिए प्रभावी है।
इसलिए,कार्बन डेटिंग के लिए सबसे उपयुक्त आयु सीमा $10^4$ वर्ष के क्रम की है।
बहुत पुराने भूवैज्ञानिक नमूनों के लिए,पोटेशियम-आर्गन डेटिंग जैसी अन्य विधियों को प्राथमिकता दी जाती है।

(A) मान लीजिए कि मूल रेडियोधर्मी नाभिक का द्रव्यमान $A$ है।
$\alpha$-उत्सर्जन के बाद,$\alpha$-कण का द्रव्यमान $4$ है और संतति नाभिक का द्रव्यमान $(A - 4)$ है।
प्रारंभ में,रेडियोधर्मी नाभिक विरामावस्था में है,इसलिए इसका प्रारंभिक संवेग $0$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
प्रारंभिक संवेग = अंतिम संवेग
$0 = (A - 4)v' + 4V$
यहाँ,$v'$ संतति नाभिक का प्रतिक्षेप वेग है और $V$ $\alpha$-कण का वेग है।
$(A - 4)v' = -4V$
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि संतति नाभिक $\alpha$-कण की विपरीत दिशा में गति करता है।
प्रतिक्षेप वेग का परिमाण $v' = \frac{4V}{A - 4}$ है।

(A) प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा $(B_N)$ एक नाभिक की स्थिरता का माप है।
प्रायोगिक अवलोकन दर्शाते हैं कि हल्के नाभिकों के लिए $B_N$ तेजी से बढ़ता है और आयरन $(Fe^{56})$ के लिए लगभग $8.8 \text{ MeV}$ का अधिकतम मान प्राप्त करता है,जो $A = 56$ द्रव्यमान संख्या के अनुरूप है।
$A > 56$ वाले नाभिकों के लिए,जैसे-जैसे द्रव्यमान संख्या बढ़ती है,प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा धीरे-धीरे कम होती जाती है।
इसलिए,जो ग्राफ इस निर्भरता को सही ढंग से दर्शाता है,उसमें $A = 56$ पर एक शिखर (peak) होता है।

(A) $CsCl$ क्रिस्टल में,$Cs^{+}$ आयन $a$ भुजा की लंबाई वाले घन के आठ कोनों पर स्थित होते हैं।
$Cl^{-}$ आयन इस घन के बिल्कुल केंद्र में रखा गया है।
$bcc$ संरचना की समरूपता के कारण,प्रत्येक कोने पर स्थित $Cs^{+}$ आयन केंद्र में स्थित $Cl^{-}$ आयन पर एक स्थिर-वैद्युत बल लगाता है।
प्रत्येक $Cs^{+}$ आयन के लिए,केंद्र के सापेक्ष उसके ठीक विपरीत दिशा में एक समान $Cs^{+}$ आयन स्थित होता है।
$Cs^{+}$ आयनों की इन जोड़ियों द्वारा केंद्रीय $Cl^{-}$ आयन पर लगाए गए बल परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होते हैं।
सुपरपोजिशन (अध्यारोपण) के सिद्धांत के अनुसार,इन सभी बलों का सदिश योग शून्य होता है।
इसलिए,$Cl^{-}$ आयन पर लगने वाला नेट स्थिर-वैद्युत बल शून्य है।

(A) $p$-प्रकार के अर्धचालक में, होल्स की सांद्रता $(n_h)$ स्वीकर्ता परमाणुओं की सांद्रता $(N_A)$ के लगभग बराबर होती है।
दिया गया है: $n_h \approx N_A = 10^{21} /m^3$.
इलेक्ट्रॉन-होल युग्मों की आंतरिक सांद्रता $n_i = 10^{19} /m^3$ है।
अर्धचालकों के लिए द्रव्यमान क्रिया के नियम (law of mass action) का उपयोग करने पर: $n_e \cdot n_h = n_i^2$.
मान रखने पर: $n_e \cdot 10^{21} = (10^{19})^2$.
$n_e \cdot 10^{21} = 10^{38}$.
$n_e = 10^{38} / 10^{21} = 10^{17} /m^3$.
अतः, इलेक्ट्रॉनों की सांद्रता $10^{17} /m^3$ है।

(C) अर्धचालकों में,तापमान $(T)$ में वृद्धि के कारण वैलेंस बैंड से कंडक्शन बैंड में इलेक्ट्रॉनों के थर्मल उत्तेजन के कारण चार्ज वाहकों (इलेक्ट्रॉनों और होल्स) की संख्या तेजी से (घातांकीय रूप से) बढ़ती है।
चूंकि प्रतिरोधकता $(\rho)$ चार्ज वाहकों के घनत्व $(n)$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है,अर्थात $\rho = \frac{m}{ne^2\tau}$,इसलिए तापमान बढ़ने पर प्रतिरोधकता घटती है।
यह संबंध $\rho(T) = \rho_0 e^{E_g / 2k_BT}$ व्यंजक द्वारा दिया जाता है,जो एक घातांकीय क्षय (exponential decay) को दर्शाता है।
इसलिए,अर्धचालक के लिए प्रतिरोधकता की तापमान निर्भरता का सही ग्राफिकल निरूपण ग्राफ $C$ में दिखाया गया है।

(D) जब किसी वस्तु को तरल में डुबोया जाता है,तो प्रकाश की किरणें वस्तु और तरल के इंटरफेस पर अपवर्तन से गुजरती हैं।
यदि वस्तु का अपवर्तनांक $(n_1)$ आसपास के तरल के अपवर्तनांक $(n_2)$ के बराबर है,तो प्रकाश की किरणें इंटरफेस पर मुड़ती या परावर्तित नहीं होती हैं।
परिणामस्वरूप,वस्तु अदृश्य हो जाती है क्योंकि माध्यम से गुजरने वाले प्रकाश के ऑप्टिकल पथ में कोई बदलाव नहीं होता है।
इसलिए,सही शर्त यह है कि वस्तु का अपवर्तनांक आसपास के तरल के अपवर्तनांक से बिल्कुल मेल खाना चाहिए।

(C) एंडोस्कोप शरीर के अंदर और बाहर प्रकाश संचारित करने के लिए ऑप्टिकल फाइबर का उपयोग करता है।
ये ऑप्टिकल फाइबर $Total \text{ } Internal \text{ } Reflection$ $(TIR)$ यानी पूर्ण आंतरिक परावर्तन के सिद्धांत पर काम करते हैं।
जब प्रकाश फाइबर में क्रांतिक कोण से अधिक कोण पर प्रवेश करता है, तो यह तीव्रता के महत्वपूर्ण नुकसान के बिना फाइबर की लंबाई के साथ कई पूर्ण आंतरिक परावर्तन से गुजरता है।
यह चिकित्सक को आंतरिक अंगों की स्पष्ट छवियां देखने की अनुमति देता है।

(B) इलेक्ट्रॉन तरंग की तरंगदैर्ध्य $\lambda = 10 \ pm = 10 \times 10^{-12} \ m$ होनी चाहिए।
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य सूत्र का उपयोग करते हुए: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$, ऊर्जा $E$ के लिए सूत्र:
$E = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$
मान रखने पर $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$, $m = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$, और $\lambda = 10^{-11} \ m$:
$E = \frac{(6.63 \times 10^{-34})^2}{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times (10^{-11})^2} \ J$
$E \approx 2.41 \times 10^{-15} \ J$
इस ऊर्जा को $eV$ में बदलने के लिए, $1.6 \times 10^{-19} \ J/eV$ से विभाजित करने पर:
$E = \frac{2.41 \times 10^{-15}}{1.6 \times 10^{-19}} \ eV \approx 15062 \ eV \approx 15 \ KeV$.

(B) सफेद प्रकाश से प्रकाशित होने पर कॉम्पैक्ट डिस्क $(CD)$ पर दिखाई देने वाली रंगीन 'लेन' मुख्य रूप से विवर्तन की घटना के कारण होती हैं।
$CD$ की सतह पर बहुत पास-पास स्थित सूक्ष्म खांचे (tracks) होते हैं,जो एक परावर्तक विवर्तन ग्रेटिंग के रूप में कार्य करते हैं।
जब सफेद प्रकाश इन खांचों पर पड़ता है,तो प्रकाश तरंगें अपनी तरंगदैर्ध्य (रंग) के आधार पर अलग-अलग कोणों पर विवर्तित हो जाती हैं।
इसके कारण सफेद प्रकाश अपने घटक रंगों में विभाजित हो जाता है,जिससे डिस्क की सतह पर इंद्रधनुष जैसा प्रभाव दिखाई देता है।

(D) शुष्क सेल का $emf$ कैथोड और एनोड के इलेक्ट्रोड विभव पर निर्भर करता है,जो होने वाली रासायनिक अभिक्रियाओं और इलेक्ट्रोलाइट की सांद्रता द्वारा निर्धारित होते हैं।
यह सेल के भौतिक आयामों या आकार पर निर्भर नहीं करता है।
अतः,कथन और कारण दोनों गलत हैं।

(D) वास्तविक भौगोलिक उत्तर-दक्षिण दिशा,चुंबकीय उत्तर-दक्षिण दिशा के साथ एक कोण पर झुकी होती है। इस कोण को चुंबकीय दिक्पात (magnetic declination) कहा जाता है।
चुंबकीय सुई स्वयं को चुंबकीय उत्तर-दक्षिण दिशा के साथ संरेखित करती है,न कि भौगोलिक उत्तर-दक्षिण दिशा के साथ।
चुंबकीय याम्योत्तर चुंबकीय उत्तर और दक्षिण ध्रुवों से होकर गुजरता है,जबकि भौगोलिक याम्योत्तर भौगोलिक उत्तर और दक्षिण ध्रुवों (घूर्णन अक्ष) से होकर गुजरता है।
चूंकि चुंबकीय अक्ष और भौगोलिक अक्ष संपाती नहीं हैं,इसलिए कथन और कारण दोनों गलत हैं।

(B) एक लाल वस्तु लाल दिखाई देती है क्योंकि यह लाल प्रकाश को परावर्तित करती है और उस पर आपतित होने वाले अन्य सभी तरंग दैर्ध्य के प्रकाश को अवशोषित कर लेती है।
जब एक लाल वस्तु को पीले प्रकाश में रखा जाता है,तो आपतित प्रकाश में कोई लाल घटक नहीं होता है जिसे वस्तु परावर्तित कर सके।
परिणामस्वरूप,वस्तु पीले प्रकाश को अवशोषित कर लेती है और लगभग कुछ भी परावर्तित नहीं करती है,जिससे वह काली दिखाई देती है।
इसलिए,कथन सही है।
कारण बताता है कि लाल रंग का प्रकीर्णन कम होता है,जो रेले प्रकीर्णन $(I \propto 1/\lambda^4)$ के आधार पर एक वैज्ञानिक रूप से सत्य कथन है,लेकिन यह यह नहीं बताता कि लाल वस्तु पीले प्रकाश में काली क्यों दिखाई देती है।
अतः,दोनों कथन सही हैं,लेकिन कारण कथन की सही व्याख्या नहीं है।

(C) कथन सही है। मॉर्फो तितली के पंख का रंग वर्णकों (pigments) के कारण नहीं,बल्कि पंख की सतह पर मौजूद सूक्ष्म शल्कों (scales) से परावर्तित प्रकाश के व्यतिकरण (interference) के कारण उत्पन्न संरचनात्मक रंग के कारण होता है।
जब हवा पंख को हिलाती है,तो आपतन कोण और शल्कों की विभिन्न परतों से परावर्तित प्रकाश तरंगों के बीच का पथ अंतर बदल जाता है। इससे व्यतिकरण पैटर्न में बदलाव आता है,जिसके परिणामस्वरूप देखे गए रंग में परिवर्तन होता है।
कारण गलत है क्योंकि रंग वर्णकों के कारण नहीं,बल्कि पंख की सतह की भौतिक संरचना (पतली फिल्म का व्यतिकरण) के कारण होता है।
अतः,सही विकल्प $(C)$ है।

(A) हम दो निकट स्थित बहुत छोटे बिंदुओं को अलग-अलग तब देखते हैं जब दर्शक के लिए उनका कोणीय पृथक्करण रेले के मानदंड (Rayleigh's criterion) द्वारा आवश्यक से अधिक होता है।
$\theta_{R} = 1.22 \frac{\lambda}{d}$
यहाँ,$d$ आँख की पुतली का व्यास है और $\lambda$ प्रकाश की तरंग दैर्ध्य है। यदि दो बिंदुओं के बीच की दूरी $D$ है और $L$ पेंटिंग से दर्शक की दूरी है,तो कोणीय पृथक्करण $\theta = \frac{D}{L}$ है।
रेले के मानदंड के अनुसार,बिंदु तब अलग दिखाई देते हैं यदि $\theta \geq 1.22 \frac{\lambda}{d}$ हो।
अतः,$\frac{D}{L} \geq 1.22 \frac{\lambda}{d}$,जिसका अर्थ है $L \leq \frac{D d}{1.22 \lambda}$।
जैसे-जैसे दर्शक पेंटिंग से दूर जाता है ($L$ बढ़ता है),कोणीय पृथक्करण $\theta$ कम हो जाता है। जब $\theta$ आँख की विभेदन सीमा से कम हो जाता है,तो व्यक्तिगत बिंदु अलग-अलग दिखाई नहीं देते हैं और आँख उन्हें अलग करने में असमर्थ होने के कारण उनके रंग आपस में मिल जाते हैं। चूँकि विभिन्न रंगों की तरंग दैर्ध्य $(\lambda)$ अलग-अलग होती है,इसलिए वह दूरी जिस पर वे मिल जाते हैं,बदलती रहती है,जिससे दर्शक के दूर जाने पर किसी विशिष्ट बिंदु पर दिखाई देने वाला रंग बदल जाता है। इसलिए,कथन और कारण दोनों सही हैं और कारण इस घटना की व्याख्या करता है।

(D) प्रकाश-विद्युत प्रभाव प्रकाश की कण प्रकृति को प्रदर्शित करता है,न कि तरंग प्रकृति को। अतः,कथन गलत है।
प्रति सेकंड उत्सर्जित होने वाले प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की संख्या आपतित प्रकाश की तीव्रता के समानुपाती होती है,न कि उसकी आवृत्ति के। अतः,कारण भी गलत है।
चूंकि कथन और कारण दोनों गलत हैं,इसलिए सही विकल्प $(D)$ है।

(A) ${}^{90}Sr$ रासायनिक रूप से कैल्शियम के समान होता है और शरीर द्वारा अवशोषित होकर हड्डियों में जमा हो जाता है।
लाल रक्त कोशिकाएं $(RBCs)$ अस्थि मज्जा में उत्पन्न होती हैं।
${}^{90}Sr$ के रेडियोधर्मी क्षय के दौरान उत्सर्जित ऊर्जावान $\beta$-कण अस्थि मज्जा के ऊतकों को नुकसान पहुँचाते हैं।
यह क्षति लाल रक्त कोशिकाओं के उत्पादन में महत्वपूर्ण कमी या बाधा का कारण बनती है।
अतः,कारण कथन की सही व्याख्या करता है।

(A) नाभिकीय विखंडन में,एक भारी नाभिक दो या दो से अधिक हल्के नाभिकों (खंडों) में विभाजित हो जाता है।
मूल नाभिक की तुलना में विखंडन खंडों के लिए प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा अधिक होती है।
चूंकि खंडों की कुल बंधन ऊर्जा मूल नाभिक की कुल बंधन ऊर्जा से अधिक होती है,इसलिए द्रव्यमान क्षति $\Delta m$ आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता सिद्धांत $E = \Delta m c^2$ के अनुसार ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
इसलिए,इस प्रक्रिया में ऊर्जा मुक्त होती है।
अतः,कथन और कारण दोनों सही हैं,और कारण कथन की सही व्याख्या है।

(C) ट्रांजिस्टर में,आधार (base) को बहुत पतला और हल्का डोप किया जाता है ताकि एमिटर से इंजेक्ट किए गए अधिकांश आवेश वाहक (charge carriers) कलेक्टर तक पहुँच सकें।
यदि आधार मोटा होता,तो अधिक आवेश वाहक आधार क्षेत्र में पुनर्संयोजित (recombine) हो जाते,जिससे आधार धारा $(I_b)$ बढ़ जाती और कलेक्टर धारा $(I_c)$ काफी कम हो जाती।
हम जानते हैं कि $I_e = I_b + I_c$,इसलिए एक पतला आधार $I_b$ को न्यूनतम रखता है,जिससे उच्च धारा लाभ (current gain) प्राप्त होता है।
दिया गया कारण,'एक पतला आधार ट्रांजिस्टर को स्थिर बनाता है',गलत है क्योंकि पतले आधार का मुख्य उद्देश्य कुशल आवेश वाहक परिवहन और उच्च धारा लाभ सुनिश्चित करना है,स्थिरता नहीं।
अतः,कथन सही है,लेकिन कारण गलत है।

(B) दी गई सर्किट में $A$ और $B$ इनपुट से जुड़े दो $NOT$ गेट हैं,जिसके बाद एक $NOR$ गेट है।
$1$. दो $NOT$ गेट के आउटपुट $\overline{A}$ और $\overline{B}$ हैं।
$2$. इन्हें $NOR$ गेट के इनपुट के रूप में दिया जाता है।
$3$. $NOR$ गेट का आउटपुट $Y = \overline{\overline{A} + \overline{B}}$ द्वारा दिया जाता है।
$4$. डी मॉर्गन के प्रमेय का उपयोग करते हुए,$\overline{\overline{A} + \overline{B}} = \overline{\overline{A}} \cdot \overline{\overline{B}} = A \cdot B$।
$5$. व्यंजक $A \cdot B$ एक $AND$ गेट के संचालन को दर्शाता है।
अतः,यह संयोजन एक $AND$ गेट को दर्शाता है।