ધારો કે $f:R \to R$ એ $f(x) = \frac{1}{e^x + 2e^{-x}}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત સતત વિધેય છે.
વિધાન-$1$: કોઈક $c \in R$ માટે $f(c) = \frac{1}{3}$ છે.
વિધાન-$2$: તમામ $x \in R$ માટે $0 < f(x) < \frac{1}{2\sqrt{2}}$ છે.

વિધેયો $f(x)$ અને $g(x)$ એવા છે કે $f(x) + \int\limits_0^x {g(t)dt = 2\sin x - \frac{\pi}{2}}$ અને $f'(x)g(x) = \cos^2 x$. તો અંતરાલ $(0, 3\pi)$ માં સમીકરણ $f(x) + g(x) = 0$ ના ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

બે વિધેયો $f$ અને $g$ માટે $x = 0$ આગળ પ્રથમ અને દ્વિતીય વિકલિતો અસ્તિત્વ ધરાવે છે અને નીચેના સંબંધોનું પાલન કરે છે: $f(0) = \frac{2}{g(0)}$,$f'(0) = 2g'(0) = 4g(0)$,$g''(0) = 5f''(0) = 6f(0) = 3$. તો:

$x$-અક્ષને સમાંતર હોય અને વક્ર $y = \sqrt{x}$ ને $\frac{\pi}{4}$ ના ખૂણે છેદતી રેખા કઈ છે?

ધારો કે $f: R \rightarrow (0, \infty)$ એક બે વાર વિકલનીય વિધેય છે જેથી $f(3) = 18$,$f'(3) = 0$,અને $f''(3) = 4$ થાય. તો $\lim_{x \rightarrow 1} \left( \log_{e} \left( \frac{f(x+2)}{f(3)} \right)^{\frac{18}{(x-1)^{2}}} \right)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f : (0, \pi) \rightarrow \mathbb{R}$ એ બે વાર વિકલનીય વિધેય છે જેથી $\lim _{t \rightarrow x} \frac{f(x) \sin t - f(t) \sin x}{t-x} = \sin^2 x$ દરેક $x \in (0, \pi)$ માટે. જો $f \left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\pi}{12}$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન સાચું/સાચા છે?
$(A) f \left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{4 \sqrt{2}}$
$(B) f(x) < \frac{x^4}{6} - x^2$ દરેક $x \in (0, \pi)$ માટે
$(C)$ એવો $\alpha \in (0, \pi)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f^{\prime}(\alpha) = 0$
$(D) f^{\prime \prime}\left(\frac{\pi}{2}\right) + f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$