lambda के उन सभी वास्तविक मानों का समुच्चय जि | vedclass

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Question

(B) माना $f(x) = (\lambda^{2}+1) x^{2}-4 \lambda x+2$ है। अंतराल $(0,1)$ में ठीक एक मूल होने के लिए, अंत बिंदुओं पर फलन के मानों का गुणनफल ऋणात्मक होन

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$(1,3]$

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(B) माना $f(x) = (\lambda^{2}+1) x^{2}-4 \lambda x+2$ है। अंतराल $(0,1)$ में ठीक एक मूल होने के लिए, अंत बिंदुओं पर फलन के मानों का गुणनफल ऋणात्मक होना चाहिए, अर्थात $f(0) \cdot f(1) $f(0) = 2$ $f(1) = \lambda^{2}+1-4\lambda+2 = \lambda^{2}-4\lambda+3 = (\lambda-1)(\lambda-3)$ अतः, $2 \cdot (\lambda-1)(\lambda-3) यह दर्शाता है कि $1 अब, हम सीमावर्ती स्थितियों की जाँच करते हैं: स्थिति $1$: यदि $\lambda = 1$ है, तो समीकरण $2x^{2}-4x+2 = 0$ हो जाता है, जो $2(x-1)^{2} = 0$ में सरल हो जाता है। मूल $x=1, 1$ हैं। चूँकि कोई भी मूल $(0,1)$ के भीतर नहीं है, इसलिए $\lambda = 1$ शामिल नहीं है। स्थिति $2$: यदि $\lambda = 3$ है, तो समीकरण $10x^{2}-12x+2 = 0$ हो जाता है, जो $2(5x^{2}-6x+1) = 0$ या $2(5x-1)(x-1) = 0$ में सरल हो जाता है। मूल $x = 1/5$ और $x = 1$ हैं। चूँकि $1/5$ अंतराल $(0,1)$ में स्थित है, इसलिए $\lambda = 3$ शामिल है। अतः, मानों का समुच्चय $\lambda \in (1, 3]$ है।

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