मान लीजिए a, b in R, a neq 0 इस प्रकार हैं कि | vedclass

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Question

(B) समीकरण $a x^{2}-2 b x+5=0$ के लिए,चूंकि इसका एक पुनरावृत्त मूल $\alpha$ है,इसलिए विविक्तकर $D = 0$ होगा।$D = (-2b)^{2} - 4(a)(5) = 4b^{2} - 20a =

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$25$

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(B) समीकरण $a x^{2}-2 b x+5=0$ के लिए,चूंकि इसका एक पुनरावृत्त मूल $\alpha$ है,इसलिए विविक्तकर $D = 0$ होगा।$D = (-2b)^{2} - 4(a)(5) = 4b^{2} - 20a = 0 \Rightarrow b^{2} = 5a$.मूल $\alpha$ का मान $\alpha = -(-2b) / (2a) = b/a$ है।चूंकि $\alpha$,$a x^{2}-2 b x+5=0$ का एक मूल है,इसलिए $a(b/a)^{2} - 2b(b/a) + 5 = 0 \Rightarrow b^{2}/a - 2b^{2}/a + 5 = 0 \Rightarrow b^{2}/a = 5$,जो $b^{2} = 5a$ के साथ संगत है।दिया गया है कि $\alpha$,$x^{2}-2 b x-10=0$ का भी एक मूल है,इसलिए $\alpha^{2} - 2b\alpha - 10 = 0$.$\alpha = b/a$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(b/a)^{2} - 2b(b/a) - 10 = 0 \Rightarrow b^{2}/a^{2} - 2b^{2}/a - 10 = 0$ प्राप्त होता है।चूंकि $b^{2} = 5a$,हम $b^{2}/a = 5$ और $b^{2} = 5a$ को समीकरण में रखते हैं: $5/a - 2(5) - 10 = 0 \Rightarrow 5/a = 20 \Rightarrow a = 1/4$.अतः $b^{2} = 5(1/4) = 5/4 \Rightarrow b = \pm \sqrt{5}/2$.अब,$\alpha = b/a = (\pm \sqrt{5}/2) / (1/4) = \pm 2\sqrt{5}$. इसलिए $\alpha^{2} = (\pm 2\sqrt{5})^{2} = 20$.समीकरण $x^{2}-2bx-10=0$ के लिए,मूलों का गुणनफल $\alpha\beta = -10$ होता है।अतः,$\beta = -10/\alpha = -10/(\pm 2\sqrt{5}) = \mp \sqrt{5}$.इसलिए $\beta^{2} = (\mp \sqrt{5})^{2} = 5$.अतः,$\alpha^{2} + \beta^{2} = 20 + 5 = 25$.

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