मान लीजिए S सभी alpha in R का समुच्चय है जिसक | vedclass

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Question

(C) दिया गया समीकरण: $\cos 2x + \alpha \sin x = 2\alpha - 7$.सर्वसमिका $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ का उपयोग करने पर:$1 - 2\sin^2 x + \alpha \sin x = 2\a

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$[2, 6]$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया समीकरण: $\cos 2x + \alpha \sin x = 2\alpha - 7$.सर्वसमिका $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ का उपयोग करने पर:$1 - 2\sin^2 x + \alpha \sin x = 2\alpha - 7$.पदों को $\sin x$ में द्विघात समीकरण के रूप में व्यवस्थित करने पर:$2\sin^2 x - \alpha \sin x + (2\alpha - 8) = 0$.द्विघात सूत्र $\sin x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:$\sin x = \frac{\alpha \pm \sqrt{\alpha^2 - 4(2)(2\alpha - 8)}}{4} = \frac{\alpha \pm \sqrt{\alpha^2 - 16\alpha + 64}}{4}$.चूँकि $\alpha^2 - 16\alpha + 64 = (\alpha - 8)^2$,हमारे पास है:$\sin x = \frac{\alpha \pm (\alpha - 8)}{4}$.यह $\sin x$ के लिए दो संभावित मान देता है:$1) \sin x = \frac{\alpha + \alpha - 8}{4} = \frac{2\alpha - 8}{4} = \frac{\alpha - 4}{2}$.$2) \sin x = \frac{\alpha - \alpha + 8}{4} = \frac{8}{4} = 2$.चूँकि $\sin x = 2$ संभव नहीं है,इसलिए $\sin x = \frac{\alpha - 4}{2}$ होना चाहिए।हल के अस्तित्व के लिए $-1 \leq \sin x \leq 1$ होना चाहिए:$-1 \leq \frac{\alpha - 4}{2} \leq 1$.$-2 \leq \alpha - 4 \leq 2$.सभी पक्षों में $4$ जोड़ने पर: $2 \leq \alpha \leq 6$.अतः,$S = [2, 6]$.

मान लीजिए $S$ सभी $\alpha \in R$ का समुच्चय है जिसके लिए समीकरण $\cos 2x + \alpha \sin x = 2\alpha - 7$ का एक हल है। तो $S$ किसके बराबर है?

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समीकरण $\log_{\sqrt{3}}(x^3 - 1) = \log_{\sqrt{3}}(x - 1) + 2$ के हलों की संख्या है:

यदि $\alpha, \beta$ समीकरण $x^2 - 3x + a = 0, a \in R$ के मूल हैं और $\alpha < 1 < \beta$ है,तो:

यदि $x^2 + bx + c = 0$ और $x^2 + qx + r = 0$ के मूलों का अनुपात समान है,तो:

दिए गए दो समीकरणों को हल करें और दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें।
$I.$ $(441)^{\frac{1}{2}} x^{2} - 111 = (15)^{2}$
$II.$ $\sqrt{121} y^{2} + (6)^{3} = 260$

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