Refraction Through Prism Questions in Hindi

(A) साधारण कांच के प्रिज्म,जैसे $Crown$ या $Flint$ कांच,अवरक्त विकिरणों को अवशोषित कर लेते हैं और इसलिए अवरक्त स्पेक्ट्रम के अध्ययन के लिए अनुपयुक्त होते हैं।
$Rock-salt$ $(NaCl)$ के क्रिस्टल अवरक्त विकिरणों के लिए पारदर्शी होते हैं,जिससे वे बिना किसी महत्वपूर्ण अवशोषण के उनसे गुजर सकते हैं।
इसलिए,अवरक्त विकिरणों का स्पेक्ट्रम प्राप्त करने और उसका अध्ययन करने के लिए $Rock-salt$ प्रिज्म का उपयोग किया जाता है।

(B) समबाहु प्रिज्म के लिए,प्रिज्म का कोण $A = 60^o$ है।
दिया गया है कि आपतित किरण पहली अपवर्तक सतह के लंबवत है,इसलिए आपतन कोण $i = 0^o$ है।
अतः,पहली सतह पर अपवर्तन कोण $r_1 = 0^o$ है।
दूसरी सतह पर आपतन कोण $r_2 = A - r_1 = 60^o - 0^o = 60^o$ है।
क्रांतिक कोण $C = 45^o$ दिया गया है।
चूंकि दूसरी सतह पर आपतन कोण $(60^o)$ क्रांतिक कोण $(45^o)$ से अधिक है,इसलिए दूसरी सतह पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन होता है।
परावर्तित किरण फिर तीसरी सतह (आधार) पर $30^o$ के आपतन कोण पर टकराती है (त्रिभुज की ज्यामिति से गणना करने पर)।
चूंकि $30^o < 45^o$,किरण तीसरी सतह से अपवर्तित होकर बाहर निकल जाती है।
इस प्रकार,किरण दूसरी सतह पर पूर्ण आंतरिक परावर्तित होती है और तीसरी सतह से बाहर निकलती है।

(C) पतले प्रिज्म द्वारा उत्पन्न विचलन सूत्र $\delta = (\mu - 1)A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\mu$ प्रिज्म के पदार्थ का अपवर्तनांक है और $A$ प्रिज्म का कोण है।
चूंकि कांच का अपवर्तनांक लाल प्रकाश के लिए सबसे कम होता है $(\mu_R < \mu_V)$,इसलिए विचलन $\delta$,$(\mu - 1)$ के सीधे समानुपाती होता है।
अतः,लाल किरण के लिए विचलन न्यूनतम होता है ($\delta_R$ सबसे कम है)।

(C) विक्षेपण (Dispersion) श्वेत प्रकाश के अपने घटक रंगों में विभाजित होने की घटना है।
कांच जैसे माध्यम में, अपवर्तनांक $(n)$ प्रकाश की तरंग दैर्ध्य $(\lambda)$ पर निर्भर करता है, जिसे विक्षेपण का गुण कहा जाता है।
माध्यम में प्रकाश की गति $v = c/n$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि फ्लिंट ग्लास में अलग-अलग रंगों (तरंग दैर्ध्य) के लिए अपवर्तनांक अलग-अलग होते हैं, इसलिए वे प्रिज्म के भीतर अलग-अलग गति $(v)$ से यात्रा करते हैं।
गति में यह अंतर प्रत्येक रंग के लिए विचलन के अलग-अलग कोणों की ओर ले जाता है, जिससे प्रकाश का विक्षेपण होता है।
इसलिए, सही कारण यह है कि विभिन्न रंगों का प्रकाश कांच के माध्यम में अलग-अलग गति से यात्रा करता है।

(A) दिया गया है: अपवर्तनांक $\mu = 1.5$,प्रिज्म कोण $A = 30^\circ$।
चूंकि किरण एक सतह पर लंबवत आपतित होती है,आपतन कोण $i_1 = 0^\circ$,जिसका अर्थ है कि अपवर्तन कोण $r_1 = 0^\circ$ है।
संबंध $r_1 + r_2 = A$ का उपयोग करते हुए,हमें $0^\circ + r_2 = 30^\circ$ प्राप्त होता है,इसलिए $r_2 = 30^\circ$।
दूसरी सतह पर स्नेल के नियम को लागू करने पर: $\mu \sin r_2 = 1 \cdot \sin e$,जहाँ $e$ निर्गत कोण है।
$1.5 \times \sin 30^\circ = \sin e$
$1.5 \times 0.5 = \sin e$
$\sin e = 0.75$
दिया गया है $\sin 48^\circ 36' = 0.75$,इसलिए $e = 48^\circ 36'$।
प्रिज्म के लिए विचलन $\delta$ का सूत्र $\delta = i_1 + e - A$ है।
चूंकि $i_1 = 0^\circ$,$\delta = e - A = 48^\circ 36' - 30^\circ = 18^\circ 36'$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) न्यूनतम विचलन के लिए,आपतन कोण $i$,प्रिज्म कोण $A$ और न्यूनतम विचलन कोण $\delta_m$ के बीच संबंध $i = \frac{A + \delta_m}{2}$ होता है।
दिया गया है कि आपतन कोण $i = 45^o$ और अपवर्तनांक $\mu = \sqrt{2}$ है।
प्रिज्म के अपवर्तनांक का सूत्र $\mu = \frac{\sin(\frac{A + \delta_m}{2})}{\sin(A/2)}$ है।
$i = \frac{A + \delta_m}{2} = 45^o$ रखने पर,हमें $\mu = \frac{\sin(45^o)}{\sin(A/2)}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $\sqrt{2} = \frac{1/\sqrt{2}}{\sin(A/2)}$.
इसे सरल करने पर $\sin(A/2) = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$A/2 = 30^o$,जिससे $A = 60^o$ प्राप्त होता है।

(D) प्रिज्म की विक्षेपण क्षमता $\omega$ को कोणीय विक्षेपण और माध्य विचलन के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,$\omega = \frac{\delta_v - \delta_r}{\delta}$,जहाँ $\delta_v - \delta_r$ कोणीय विक्षेपण है और $\delta$ माध्य विचलन है।
अतः,कोणीय विक्षेपण $\theta = \delta_v - \delta_r = \omega \delta$ होगा।

(C) प्रिज्म के अपवर्तनांक $n$ का प्रिज्म कोण $A$ और न्यूनतम विचलन कोण $\delta_m$ के पदों में सूत्र है: $n = \frac{\sin(\frac{A + \delta_m}{2})}{\sin(\frac{A}{2})}$।
यहाँ दिया गया है कि न्यूनतम विचलन कोण प्रिज्म कोण के बराबर है,अर्थात $\delta_m = A$।
इस मान को सूत्र में रखने पर: $n = \frac{\sin(\frac{A + A}{2})}{\sin(\frac{A}{2})} = \frac{\sin(A)}{\sin(\frac{A}{2})}$।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta)$ का उपयोग करते हुए,हम $\sin(A) = 2\sin(\frac{A}{2})\cos(\frac{A}{2})$ लिख सकते हैं।
अतः,$n = \frac{2\sin(\frac{A}{2})\cos(\frac{A}{2})}{\sin(\frac{A}{2})} = 2\cos(\frac{A}{2})$।
यहाँ $n = 1.5$ दिया गया है,इसलिए $1.5 = 2\cos(\frac{A}{2})$,जिसका अर्थ है $\cos(\frac{A}{2}) = \frac{1.5}{2} = 0.75$।
दिया है कि $\cos(41^o) = 0.75$,इसलिए कोणों की तुलना करने पर: $\frac{A}{2} = 41^o$।
इस प्रकार,$A = 82^o$।

(A) प्रिज्मों के एक्रोमैटिक संयोजन को इस प्रकार डिज़ाइन किया जाता है कि यह विक्षेपण (dispersion) के बिना विचलन (deviation) उत्पन्न करे।
इस संयोजन में,दो प्रिज्मों की विक्षेपण क्षमता को इस तरह चुना जाता है कि पहले प्रिज्म द्वारा उत्पन्न विक्षेपण दूसरे प्रिज्म द्वारा निरस्त हो जाए।
हालाँकि,प्रिज्मों द्वारा उत्पन्न विचलन निरस्त नहीं होता है।
इसलिए,जब श्वेत प्रकाश एक्रोमैटिक संयोजन से गुजरता है,तो केवल विचलन ही देखा जाता है।

(B) न्यूनतम विचलन की स्थिति में प्रिज्म के लिए,अपवर्तनांक $\mu$ को इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\mu = \frac{\sin(\frac{A + \delta_m}{2})}{\sin(\frac{A}{2})}$.
साथ ही,न्यूनतम विचलन पर,आपतन कोण $i$,प्रिज्म कोण $A$ और न्यूनतम विचलन कोण $\delta_m$ के साथ $i = \frac{A + \delta_m}{2}$ के रूप में संबंधित होता है।
इसे अपवर्तनांक के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\mu = \frac{\sin i}{\sin(A/2)}$.
दिया गया है: $\mu = \sqrt{2}$ और $A = 60^{\circ}$.
मान रखने पर: $\sqrt{2} = \frac{\sin i}{\sin(60^{\circ}/2)}$.
$\sqrt{2} = \frac{\sin i}{\sin 30^{\circ}}$.
चूंकि $\sin 30^{\circ} = 0.5$,इसलिए: $\sin i = \sqrt{2} \times 0.5 = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,$i = \arcsin(\frac{1}{\sqrt{2}}) = 45^{\circ}$.

(D) एक पतले प्रिज्म के लिए,न्यूनतम विचलन कोण $\delta = (\mu - 1)A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ प्रिज्म कोण है और $\mu$ आसपास के माध्यम के सापेक्ष प्रिज्म के पदार्थ का अपवर्तनांक है।
हवा में,$\delta_a = (_a\mu_g - 1)A$.
पानी में,$\delta_w = (_w\mu_g - 1)A$.
अनुपात $\frac{\delta_w}{\delta_a} = \frac{(_w\mu_g - 1)}{(_a\mu_g - 1)}$ है।
दिया गया है कि $_w\mu_g = \frac{_a\mu_g}{_a\mu_w} = \frac{3/2}{4/3} = \frac{9}{8}$।
मान रखने पर: $\frac{\delta_w}{\delta_a} = \frac{(9/8 - 1)}{(3/2 - 1)} = \frac{1/8}{1/2} = \frac{1}{8} \times 2 = \frac{1}{4}$।

(A) बिना विचलन के विक्षेपण के लिए,दो प्रिज्मों के संयोजन द्वारा उत्पन्न कुल विचलन शून्य होना चाहिए।
प्रिज्म द्वारा उत्पन्न विचलन $\delta = A(\mu - 1)$ द्वारा दिया जाता है।
क्राउन ग्लास प्रिज्म (कोण $A$,अपवर्तनांक $\mu_y$) और फ्लिंट ग्लास प्रिज्म (कोण $A'$,अपवर्तनांक $\mu_y'$) के संयोजन के लिए,कुल विचलन $\delta_{net} = A(\mu_y - 1) + A'(\mu_y' - 1) = 0$ होगा।
अनुपात $A'/A$ ज्ञात करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$A'(\mu_y' - 1) = -A(\mu_y - 1)$
$\frac{A'}{A} = -\frac{(\mu_y - 1)}{(\mu_y' - 1)}$.

(C) माना प्रिज्म का कोण $A$ है। जब एक प्रकाश किरण एक फलक पर स्पर्शरेखीय रूप से आपतित होती है,तो आपतन कोण $90^{\circ}$ होता है और पहले पृष्ठ पर अपवर्तन कोण क्रांतिक कोण $C$ के बराबर होता है।
अपवर्तित किरण और प्रिज्म के दो फलकों द्वारा बने त्रिभुज में,दूसरे फलक पर कोण $\theta$ है। प्रिज्म की ज्यामिति से,$A = C + \theta$ है।
किरण के दूसरे फलक से बाहर न निकलने के लिए,उस फलक पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन $(TIR)$ होना चाहिए। इसके लिए दूसरे फलक पर आपतन कोण का मान क्रांतिक कोण से अधिक होना चाहिए,अर्थात $\theta > C$।
इसे प्रिज्म कोण के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $A = C + \theta > C + C$,जिससे प्राप्त होता है $A > 2C$।

(A) प्रिज्म के लिए,आपतन कोण $(i_1)$,निर्गत कोण $(i_2)$,प्रिज्म कोण $(A)$ और विचलन कोण $(\delta)$ के बीच संबंध इस प्रकार है:
$i_1 + i_2 = A + \delta$
दिया गया है: $i_1 = 55^o$,$i_2 = 46^o$,और एक समबाहु प्रिज्म के लिए,$A = 60^o$।
इन मानों को रखने पर:
$55^o + 46^o = 60^o + \delta$
$101^o = 60^o + \delta$
$\delta = 41^o$
हम जानते हैं कि न्यूनतम विचलन कोण $(\delta_m)$ तब प्राप्त होता है जब आपतन कोण और निर्गत कोण बराबर होते हैं $(i_1 = i_2)$। चूंकि $i_1 \neq i_2$ $(55^o \neq 46^o)$,इसलिए विचलन $\delta = 41^o$ न्यूनतम विचलन नहीं है।
विचलन वक्र एक परवलय होता है जिसका न्यूनतम मान $i_1 = i_2$ पर होता है,इसलिए जब $i_1 \neq i_2$ होता है,तो प्राप्त विचलन हमेशा न्यूनतम विचलन से अधिक होता है।
अतः,$\delta_m < \delta$,जिसका अर्थ है कि $\delta_m < 41^o$।

(B) पतले प्रिज्म के लिए या लगभग लंबवत आपतन पर,विचलन कोण $\delta$ का सूत्र $\delta = (\mu - 1)A$ होता है,जहाँ $\mu$ अपवर्तनांक है और $A$ प्रिज्म का कोण है।
यहाँ प्रिज्म का कोण $\alpha$ दिया गया है,इसलिए सूत्र में $A = \alpha$ रखने पर।
अतः,विचलन कोण $\delta = (\mu - 1)\alpha$ प्राप्त होता है।
इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(C) जब एक प्रिज्म को न्यूनतम विचलन की स्थिति में रखा जाता है,तो प्रकाश की किरणें प्रिज्म से सममित रूप से गुजरती हैं।
इस स्थिति में,प्रकाश का अपवर्तन सबसे अधिक समान होता है,जो विपथन प्रभावों को कम करता है।
परिणामस्वरूप,स्पेक्ट्रम की बनी हुई छवियां तीक्ष्ण,स्पष्ट और सुस्पष्ट होती हैं।

(A) डायरेक्ट विजन स्पेक्ट्रोस्कोप के लिए,प्रिज्मों के संयोजन द्वारा उत्पन्न कुल विचलन शून्य होना चाहिए।
माना $A_c = 9^o$ क्राउन ग्लास प्रिज्म का कोण है और $A_f$ फ्लिंट ग्लास प्रिज्म का कोण है।
अपवर्तनांक $\mu_c = 1.53$ और $\mu_f = 1.60$ हैं।
कुल विचलन $\delta_{net} = 3 \times \delta_c - 2 \times \delta_f = 0$.
विचलन के सूत्र $\delta = (\mu - 1)A$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$3(\mu_c - 1)A_c - 2(\mu_f - 1)A_f = 0$.
$3(1.53 - 1) \times 9^o = 2(1.60 - 1) \times A_f$.
$3(0.53) \times 9^o = 2(0.60) \times A_f$.
$14.31^o = 1.2 \times A_f$.
$A_f = \frac{14.31}{1.2} = 11.925^o \approx 11.9^o$.

(A) विचलन रहित विक्षेपण के लिए,संयोजन द्वारा उत्पन्न कुल विचलन शून्य होना चाहिए।
विचलन रहित विक्षेपण की शर्त है: $(\mu - 1)A + (\mu' - 1)A' = 0$.
यहाँ,$\mu = 1.602$ (फ्लिंट ग्लास),$A = 10^{\circ}$,और $\mu' = 1.500$ (क्राउन ग्लास)।
परिमाण लेने पर: $(\mu - 1)A = (\mu' - 1)A'$।
मान रखने पर: $(1.602 - 1) \times 10^{\circ} = (1.500 - 1) \times A'$।
$0.602 \times 10^{\circ} = 0.500 \times A'$।
$A' = \frac{6.02}{0.500} = 12.04^{\circ}$।
चूंकि $0.04^{\circ} = 0.04 \times 60' = 2.4'$,इसलिए कोण $A' = 12^{\circ} 2.4'$ होगा।

(C) प्रिज्म के लिए,न्यूनतम विचलन की स्थिति में आपतन कोण $i$ का मान निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$i = \frac{A + \delta_m}{2}$
दिया गया है:
प्रिज्म का कोण,$A = 60^o$
न्यूनतम विचलन कोण,$\delta_m = 40^o$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$i = \frac{60^o + 40^o}{2}$
$i = \frac{100^o}{2}$
$i = 50^o$
अतः,आपतन कोण $50^o$ है।

(D) न्यूनतम विचलन की स्थिति में,प्रकाश किरण प्रिज्म से सममित रूप से गुजरती है।
प्रिज्म के गुणों के अनुसार,जब विचलन न्यूनतम होता है तो आपतन कोण $(i)$,निर्गमन कोण $(e)$ के बराबर होता है।
अतः,$\angle i = \angle e$।

(A) एक खोखला प्रिज्म हवा से भरा होता है। चूंकि हवा का अपवर्तनांक लगभग $1$ होता है,इसलिए प्रकाश किरण प्रिज्म की सतहों पर बिना किसी महत्वपूर्ण अपवर्तन के गुजर जाती है।
परिणामस्वरूप,प्रकाश की दिशा में कोई परिवर्तन नहीं होता है (कोई विचलन नहीं) और श्वेत प्रकाश का उसके घटक रंगों में विभाजन नहीं होता है (कोई विक्षेपण नहीं)।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) दिया गया है: आपतन कोण $i = 60^o$,प्रिज्म कोण $A = 45^o$,निर्गत कोण $e = 90^o$ (सतह के साथ,इसलिए अभिलंब के साथ निर्गत कोण $e' = 0^o$ होगा)।
$1$. प्रिज्म की ज्यामिति से,दूसरी सतह पर अपवर्तन कोण $r_2 = 0^o$ है क्योंकि किरण अभिलंबवत बाहर निकलती है।
$2$. संबंध $A = r_1 + r_2$ का उपयोग करने पर,$45^o = r_1 + 0^o$,इसलिए $r_1 = 45^o$.
$3$. पहली सतह पर स्नेल के नियम का उपयोग करने पर: $\mu = \frac{\sin i}{\sin r_1} = \frac{\sin 60^o}{\sin 45^o} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$.
$4$. विचलन कोण $\delta$ का सूत्र $\delta = i + e' - A$ है। चूंकि किरण अभिलंबवत बाहर निकलती है,इसलिए अभिलंब के साथ निर्गत कोण $e' = 0^o$ है।
$5$. अतः,$\delta = 60^o + 0^o - 45^o = 15^o$.
इसलिए,$\mu = \sqrt{\frac{3}{2}}$ और $\delta = 15^o$।

(B) एक पतले प्रिज्म के लिए,विचलन कोण $\delta$ का सूत्र है: $\delta = (\mu - 1)A$,जहाँ $\mu$ अपवर्तनांक है और $A$ प्रिज्म का कोण है।
दिया गया है: $\delta = 5^o$ और $\mu = 1.5$।
सूत्र में मान रखने पर:
$5^o = (1.5 - 1)A$
$5^o = 0.5 \times A$
$A = \frac{5}{0.5} = 10^o$।
अतः,प्रिज्म का कोण $10^o$ है।

(A) प्रिज्म के अपवर्तनांक $\mu$ का सूत्र,प्रिज्म कोण $A$ और न्यूनतम विचलन कोण $\delta_m$ के पदों में इस प्रकार है:
$\mu = \frac{\sin((A + \delta_m)/2)}{\sin(A/2)}$
यहाँ $A = 60^o$ और $\delta_m = 30^o$ दिया गया है:
$\mu = \frac{\sin((60^o + 30^o)/2)}{\sin(60^o/2)}$
$\mu = \frac{\sin(45^o)}{\sin(30^o)}$
$\mu = \frac{1/\sqrt{2}}{1/2} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$
अतः,प्रिज्म के पदार्थ का अपवर्तनांक $\sqrt{2}$ है।

(C) न्यूनतम विचलन की स्थिति में,प्रकाश किरण प्रिज्म से सममित रूप से गुजरती है।
यह समरूपता दर्शाती है कि आपतन कोण निर्गत कोण के बराबर होता है।
इसलिए,न्यूनतम विचलन कोण पर,हमारे पास $\angle i = \angle e$ और $\angle r_1 = \angle r_2$ होता है।

(B) विचलन के बिना विक्षेपण के लिए,दो पतले प्रिज्मों के संयोजन द्वारा उत्पन्न कुल विचलन शून्य होना चाहिए।
विचलन के बिना विक्षेपण की शर्त है: $(\mu - 1)A + (\mu' - 1)A' = 0$।
यहाँ,$A = 4^o$,$\mu = 1.54$,और $\mu' = 1.72$ है।
चूंकि प्रिज्मों को विचलन के बिना विक्षेपण उत्पन्न करने के लिए जोड़ा गया है,इसलिए पहले प्रिज्म द्वारा उत्पन्न विचलन को दूसरे प्रिज्म द्वारा विपरीत दिशा में संतुलित किया जाना चाहिए।
अतः,$(\mu - 1)A = -(\mu' - 1)A'$।
परिमाण लेने पर: $(\mu - 1)A = (\mu' - 1)A'$।
मान रखने पर: $(1.54 - 1) \times 4^o = (1.72 - 1) \times A'$।
$0.54 \times 4^o = 0.72 \times A'$।
$A' = \frac{0.54 \times 4}{0.72} = \frac{2.16}{0.72} = 3^o$।
अतः,प्रिज्म $P_2$ का कोण $3^o$ है।

(A) दो प्रिज्मों के अवर्णक संयोजन के लिए,कुल विक्षेपण (dispersion) शून्य होना चाहिए।
शून्य कुल विक्षेपण के लिए शर्त है: $A(\mu_v - \mu_r) + A'(\mu'_v - \mu'_r) = 0$.
यहाँ,$A = 10^o$,$\mu_v - \mu_r = 1.523 - 1.515 = 0.008$,और $\mu'_v - \mu'_r = 1.666 - 1.650 = 0.016$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$10^o(0.008) + A'(0.016) = 0$.
$0.08 + A'(0.016) = 0$.
$A'(0.016) = -0.08$.
$A' = -\frac{0.08}{0.016} = -5^o$.
प्रिज्म कोण का परिमाण $5^o$ है (ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि दूसरे प्रिज्म को पहले प्रिज्म की विपरीत दिशा में व्यवस्थित किया जाना चाहिए)।

(C) चांदी वाली सतह से परावर्तन के बाद प्रकाश की किरण को अपने मूल पथ पर वापस लौटने के लिए,इसे चांदी वाली सतह पर लंबवत (सतह के साथ $90^o$ के कोण पर या अभिलंब के साथ $0^o$ के कोण पर) आपतित होना चाहिए।
प्रिज्म में,प्रिज्म का कोण $A = r_1 + r_2$ द्वारा दिया जाता है। यहाँ,किरण दूसरी सतह पर लंबवत आपतित होती है,इसलिए $r_2 = 0^o$ है।
दिया गया है $A = 30^o$,इसलिए $30^o = r_1 + 0^o$,जिसका अर्थ है $r_1 = 30^o$ है।
पहली सतह पर स्नेल के नियम को लागू करने पर:
$\mu = \frac{\sin i}{\sin r_1}$
$\sqrt{2} = \frac{\sin i}{\sin 30^o}$
$\sin i = \sqrt{2} \times \sin 30^o = \sqrt{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$i = \sin^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 45^o$.
अतः,आपतन कोण $45^o$ है।

(A) प्रिज्म द्वारा उत्पन्न विचलन $\delta = i + e - A$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $i$ आपतन कोण है,$e$ निर्गत कोण है,और $A$ प्रिज्म कोण है।
दिया गया है: $i = 60^o$,$A = 30^o$,और $\delta = 30^o$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $30^o = 60^o + e - 30^o$.
$e$ के लिए हल करने पर: $e = 30^o + 30^o - 60^o = 0^o$.
चूंकि निर्गत कोण $e = 0^o$ है,इसलिए निर्गत किरण प्रिज्म की सतह के लंबवत (नॉर्मल) होगी।
अतः,यह उस फलक के साथ $90^o$ का कोण बनाएगी जिससे वह बाहर निकलती है।

(A) एक पतले प्रिज्म के लिए,न्यूनतम विचलन कोण $\delta_m$ का सूत्र है: $\delta_m = (\mu - 1)A$।
पतले प्रिज्म में,प्रिज्म कोण $A$ और अपवर्तन कोण $r$ के बीच संबंध $A = 2r$ होता है।
दिए गए अपवर्तनांक $\mu = 1.5$ और $A = 2r$ को सूत्र में रखने पर:
$\delta_m = (1.5 - 1) \times (2r)$
$\delta_m = 0.5 \times 2r$
$\delta_m = r$।
अतः,सही संबंध $\delta_m = r$ है।

(C) एक प्रिज्म के लिए,न्यूनतम विचलन की स्थिति यह है कि आपतन कोण $(i)$ निर्गत कोण $(e)$ के बराबर हो।
यह समरूपता दर्शाती है कि प्रिज्म के अंदर अपवर्तित किरण प्रिज्म के आधार के समानांतर होती है।
दी गई आकृतियों में,मामला $(3)$ यह दर्शाता है कि प्रिज्म के अंदर अपवर्तित किरण प्रिज्म के आधार के समानांतर चल रही है।
इसलिए,मामला $(3)$ न्यूनतम विचलन की स्थिति के अनुरूप है।

(D) दिया गया है कि प्रिज्म समबाहु है,इसलिए प्रिज्म का कोण $A = 60^o$ है।
प्रश्न के अनुसार,आपतन कोण $i$,निर्गत कोण $e$ के बराबर है,और दोनों प्रिज्म के कोण का $3/4$ हैं।
अतः,$i = e = \frac{3}{4} \times 60^o = 45^o$.
प्रिज्म के लिए,आपतन कोण,निर्गत कोण,प्रिज्म के कोण और विचलन कोण $\delta$ के बीच संबंध इस प्रकार है: $i + e = A + \delta$.
ज्ञात मानों को रखने पर: $45^o + 45^o = 60^o + \delta$.
$90^o = 60^o + \delta$.
इसलिए,विचलन कोण $\delta = 90^o - 60^o = 30^o$ है।

(C) प्रकाश किरण के अपने पथ को पुनरावृत्त करने के लिए,इसे चांदी वाले फलक $AC$ पर लंबवत आपतित होना चाहिए।
माना फलक $AB$ पर आपतन कोण $i = 45^\circ$ है और अपवर्तन कोण $r$ है।
प्रिज्म की ज्यामिति से,प्रिज्म का कोण $A = 30^\circ$ है।
चूंकि किरण फलक $AC$ पर लंबवत आपतित होती है,इसलिए फलक $AC$ पर आपतन कोण $0^\circ$ है।
प्रिज्म में,कोण $A = r_1 + r_2$ होता है। यहाँ,$r_1 = r$ और $r_2 = 0^\circ$ है।
अतः,$r = A = 30^\circ$ है।
फलक $AB$ पर स्नेल के नियम का उपयोग करने पर: $\mu = \frac{\sin i}{\sin r} = \frac{\sin 45^\circ}{\sin 30^\circ}$।
$\mu = \frac{1/\sqrt{2}}{1/2} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$।
अतः,प्रिज्म के पदार्थ का अपवर्तनांक $\sqrt{2}$ है।

(C) पतले प्रिज्म के लिए,विचलन कोण $\delta$ का सूत्र $\delta = (n - 1)A$ होता है,जहाँ $n$ अपवर्तनांक है और $A$ प्रिज्म कोण है।
प्रारंभ में,विचलन $\delta = 34^o = (n - 1)A$ है।
जब छायांकित भाग को हटा दिया जाता है,तो प्रभावी प्रिज्म कोण $A' = A/2$ हो जाता है।
नया विचलन $\delta'$ होगा: $\delta' = (n - 1)A' = (n - 1)(A/2)$।
प्रारंभिक मान रखने पर: $\delta' = \frac{1}{2} \times (n - 1)A = \frac{1}{2} \times 34^o = 17^o$।
अतः,किरण $17^o$ का विचलन अनुभव करेगी।

(B) दिया गया है: प्रिज्म कोण $A = 75^o$,अपवर्तनांक $\mu = \sqrt{2}$।
माना पहले फलक पर अपवर्तन कोण $r_1$ है और दूसरे फलक पर आपतन कोण $r_2$ है। चूँकि किरण दूसरे फलक पर क्रांतिक कोण $C$ पर आपतित होती है,इसलिए $r_2 = C$।
हम जानते हैं कि प्रिज्म के लिए,$A = r_1 + r_2 = r_1 + C$।
क्रांतिक कोण $C$ का मान $\sin C = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ द्वारा दिया जाता है। अतः,$C = 45^o$।
मान रखने पर: $75^o = r_1 + 45^o$,जिससे $r_1 = 30^o$ प्राप्त होता है।
पहले फलक पर स्नेल के नियम का उपयोग करने पर: $\mu = \frac{\sin i}{\sin r_1}$।
$\sqrt{2} = \frac{\sin i}{\sin 30^o} = \frac{\sin i}{0.5}$।
$\sin i = \sqrt{2} \times 0.5 = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
अतः,$i = 45^o$।

(C) प्रिज्म में न्यूनतम विचलन के लिए शर्त यह है कि प्रिज्म के अंदर अपवर्तित किरण प्रिज्म के आधार के समानांतर होनी चाहिए।
चित्र में प्रकाश किरण के पथ को देखने पर,प्रिज्म $A$ के अंदर की किरण अपने आधार के समानांतर है और प्रिज्म $B$ के अंदर की किरण भी अपने आधार के समानांतर है।
इसलिए,न्यूनतम विचलन की शर्त प्रिज्म $A$ और $B$ में पूरी होती है।

(A) प्रिज्म पदार्थ के लिए क्रांतिक कोण $i_c$ का मान $\sin(i_c) = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{1.5} = \frac{2}{3} \approx 0.667$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $\sin(45^o) = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707$ है,इसलिए $\sin(45^o) > \sin(i_c)$ है,जिसका अर्थ है कि $45^o > i_c$ है।
जब प्रकाश की किरण कर्ण $BC$ पर लंबवत आपतित होती है,तो यह बिना किसी विचलन के प्रिज्म में प्रवेश करती है और सतह $AB$ पर $45^o$ के आपतन कोण पर टकराती है।
चूंकि आपतन कोण $45^o$ क्रांतिक कोण $i_c$ से अधिक है,इसलिए किरण सतह $AB$ पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन $(TIR)$ से गुजरती है।
परावर्तन के बाद,किरण आधार $BC$ के समानांतर चलती है और सतह $AC$ पर $45^o$ के आपतन कोण पर टकराती है।
पुनः,चूंकि $45^o > i_c$ है,इसलिए किरण सतह $AC$ पर $TIR$ से गुजरती है और कर्ण $BC$ से लंबवत बाहर निकलती है।
यह पथ विकल्प $A$ में दर्शाए गए आरेख के अनुरूप है।

(A) प्रिज्म का अपवर्तनांक निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\mu = \frac{\sin \left(\frac{A + \delta}{2}\right)}{\sin \left(\frac{A}{2}\right)}$
एक बहुत ही पतले प्रिज्म के लिए,प्रिज्म का कोण $A$ और विचलन कोण $\delta$ बहुत छोटे होते हैं। इसलिए,हम $\sin \theta \approx \theta$ सन्निकटन का उपयोग कर सकते हैं।
इसे सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$\mu \approx \frac{\frac{A + \delta}{2}}{\frac{A}{2}}$
व्यंजक को सरल करने पर:
$\mu = \frac{A + \delta}{A}$
$\mu A = A + \delta$
$\delta = \mu A - A$
$\delta = (\mu - 1)A$
अतः,पतले प्रिज्म के लिए विचलन कोण $\delta = (\mu - 1)A$ द्वारा दिया जाता है।

(A) प्रकाश किरण के अपने पथ को पुनः प्राप्त करने के लिए,इसे चांदी वाली सतह पर लंबवत ($90^{\circ}$ के कोण पर) गिरना चाहिए।
प्रिज्म के अंदर बने त्रिभुज में,चांदी वाली सतह पर कोण $90^{\circ}$ है और शीर्ष पर कोण $A$ है। अतः,पहली सतह पर अपवर्तन कोण $r = 90^{\circ} - A$ होना चाहिए।
पहली सतह पर स्नेल के नियम के अनुसार: $\mu = \frac{\sin i}{\sin r}$।
दिया गया है $i = 2A$ और $r = 90^{\circ} - A$,इसलिए:
$\mu = \frac{\sin(2A)}{\sin(90^{\circ} - A)}$
$\mu = \frac{2 \sin A \cos A}{\cos A}$
$\mu = 2 \sin A$।

(B) न्यूनतम विचलन की स्थिति में,आपतन कोण $i$,प्रिज्म कोण $A$ और न्यूनतम विचलन कोण $\delta_m$ के साथ निम्नलिखित सूत्र द्वारा संबंधित होता है:
$i = \frac{A + \delta_m}{2}$
दिया गया है:
प्रिज्म कोण $A = 60^\circ$
न्यूनतम विचलन कोण $\delta_m = 30^\circ$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$i = \frac{60^\circ + 30^\circ}{2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$
अतः,आपतन कोण $45^\circ$ है।

(A) एक समबाहु प्रिज्म के लिए,प्रिज्म का कोण $A = 60^{\circ}$ होता है।
न्यूनतम विचलन की स्थिति में,विचलन कोण $\delta_m$ प्रिज्म के कोण के बराबर दिया गया है,इसलिए $\delta_m = A = 60^{\circ}$।
प्रिज्म के पदार्थ के अपवर्तनांक $\mu$ का सूत्र इस प्रकार है:
$\mu = \frac{\sin\left(\frac{A + \delta_m}{2}\right)}{\sin\left(\frac{A}{2}\right)}$
$A = 60^{\circ}$ और $\delta_m = 60^{\circ}$ का मान रखने पर:
$\mu = \frac{\sin\left(\frac{60^{\circ} + 60^{\circ}}{2}\right)}{\sin\left(\frac{60^{\circ}}{2}\right)}$
$\mu = \frac{\sin(60^{\circ})}{\sin(30^{\circ})}$
$\mu = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$

(D) सही आरेख $(D)$ है।
जब सफेद प्रकाश एक प्रिज्म से होकर गुजरता है,तो प्रकाश की विभिन्न तरंग दैर्ध्य के लिए अपवर्तनांक अलग-अलग होने के कारण इसका विक्षेपण होता है।
कोशी के सूत्र के अनुसार,छोटी तरंग दैर्ध्य (बैंगनी) के लिए अपवर्तनांक अधिक होता है और लंबी तरंग दैर्ध्य (लाल) के लिए अपवर्तनांक कम होता है।
परिणामस्वरूप,बैंगनी प्रकाश का विचलन सबसे अधिक होता है और लाल प्रकाश का विचलन सबसे कम होता है।
सही निरूपण में,प्रिज्म से बाहर निकलने के बाद बैंगनी किरण $(V)$ नीचे होनी चाहिए और लाल किरण $(R)$ ऊपर होनी चाहिए,जैसा कि आरेख $(D)$ में दिखाया गया है।

(C) पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए,आपतन कोण $i$ का मान क्रांतिक कोण $C$ से अधिक होना चाहिए,अर्थात $i > C$।
चित्र से,किरण कर्ण पर $i = \theta = 45^o$ के आपतन कोण पर टकराती है।
पूर्ण आंतरिक परावर्तन होने के लिए,हमारे पास $\theta > C$ होना चाहिए।
दोनों तरफ साइन लेने पर,$\sin \theta > \sin C$।
चूंकि $\sin C = \frac{1}{n}$,जहाँ $n$ हवा के सापेक्ष कांच का अपवर्तनांक है,इसलिए $\sin \theta > \frac{1}{n}$।
$n$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $n > \frac{1}{\sin \theta}$ प्राप्त होता है।
$\theta = 45^o$ रखने पर,हमें $n > \frac{1}{\sin 45^o} = \frac{1}{1/\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,कांच का अपवर्तनांक $n > \sqrt{2}$ होना चाहिए।

(A) एक पतले प्रिज्म द्वारा उत्पन्न कोणीय विक्षेपण $\theta$ को सूत्र: $\theta = (\mu_b - \mu_r)A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\mu_b$ नीले प्रकाश के लिए अपवर्तनांक है,$\mu_r$ लाल प्रकाश के लिए अपवर्तनांक है,और $A$ प्रिज्म कोण है।
दिया गया है:
$\mu_b = 1.66$
$\mu_r = 1.64$
$A = 5^o$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\theta = (1.66 - 1.64) \times 5^o$
$\theta = 0.02 \times 5^o$
$\theta = 0.1^o$
अतः,दोनों रंगों के बीच विचलन कोण $0.1^o$ है।

(B) दो पतले प्रिज्मों के संयोजन के लिए विचलन के बिना विक्षेपण उत्पन्न करने हेतु,संयोजन द्वारा उत्पन्न कुल विचलन शून्य होना चाहिए।
विचलन न होने की शर्त है: $(\mu_1 - 1)A + (\mu_2 - 1)A' = 0$.
यहाँ,$A = 6^o$,$\mu_1 = 1.54$,और $\mu_2 = 1.72$ है।
मान रखने पर: $(1.54 - 1) \times 6^o + (1.72 - 1) \times A' = 0$.
$0.54 \times 6^o + 0.72 \times A' = 0$.
$3.24^o + 0.72 \times A' = 0$.
$A' = -\frac{3.24^o}{0.72} = -4.5^o$.
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि दूसरा प्रिज्म पहले प्रिज्म के सापेक्ष उल्टा रखा गया है।
कोण का परिमाण $4.5^o$ है,जो $4^o 30'$ के बराबर है।

(C) एक समबाहु प्रिज्म के लिए,प्रिज्म का कोण $A = 60^\circ$ होता है।
न्यूनतम विचलन कोण $\delta_m$ के पदों में अपवर्तनांक $\mu$ का सूत्र है:
$\mu = \frac{\sin\left(\frac{A + \delta_m}{2}\right)}{\sin\left(\frac{A}{2}\right)}$
यहाँ $\mu = \sqrt{3}$ और $A = 60^\circ$ दिया गया है,इसलिए:
$\sqrt{3} = \frac{\sin\left(\frac{60^\circ + \delta_m}{2}\right)}{\sin(30^\circ)}$
चूंकि $\sin(30^\circ) = 0.5 = \frac{1}{2}$,इसलिए:
$\sqrt{3} \times \frac{1}{2} = \sin\left(30^\circ + \frac{\delta_m}{2}\right)$
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \sin\left(30^\circ + \frac{\delta_m}{2}\right)$
हम जानते हैं कि $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए:
$60^\circ = 30^\circ + \frac{\delta_m}{2}$
$\frac{\delta_m}{2} = 30^\circ$
$\delta_m = 60^\circ$

(C) जब आपतन कोण बढ़ता है,तो विचलन कोण तब तक घटता है जब तक कि वह एक विशिष्ट आपतन कोण पर न्यूनतम न हो जाए।
त्रिभुजाकार प्रिज्म के लिए विचलन कोण के इस न्यूनतम मान को न्यूनतम विचलन कोण कहा जाता है।
न्यूनतम विचलन की स्थिति में,प्रिज्म के अंदर अपवर्तित किरण प्रिज्म के आधार के समानांतर हो जाती है।

(B) प्रिज्म के अपवर्तनांक का सूत्र $\mu = \frac{\sin((A + \delta_m)/2)}{\sin(A/2)}$ है।
दिया गया है: प्रिज्म का कोण $A = 60^o$,अपवर्तनांक $\mu = \sqrt{2}$।
मान रखने पर: $\sqrt{2} = \frac{\sin((60^o + \delta_m)/2)}{\sin(60^o/2)}$।
$\sqrt{2} = \frac{\sin((60^o + \delta_m)/2)}{\sin(30^o)}$।
चूंकि $\sin(30^o) = 0.5$,इसलिए $\sqrt{2} \times 0.5 = \sin((60^o + \delta_m)/2)$।
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \sin((60^o + \delta_m)/2)$।
हम जानते हैं कि $\sin(45^o) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $(60^o + \delta_m)/2 = 45^o$।
$60^o + \delta_m = 90^o$।
$\delta_m = 30^o$।

(B) प्रिज्म द्वारा उत्पन्न विचलन $\delta = (\mu - 1)A$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\mu$ प्रिज्म के पदार्थ का अपवर्तनांक है और $A$ प्रिज्म का कोण है।
कॉची के सूत्र के अनुसार,अपवर्तनांक $\mu$ तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(\mu \propto 1/\lambda^2)$।
इसलिए,कम तरंगदैर्ध्य वाला प्रकाश उच्च अपवर्तनांक का अनुभव करता है और परिणामस्वरूप अधिक विचलन का सामना करता है।
दिए गए विकल्पों (पीला,नीला,हरा,नारंगी) में से,नीले प्रकाश की तरंगदैर्ध्य सबसे कम है।
अतः,नीले प्रकाश का विचलन अधिकतम होता है।