Properties of Alpha, Beta and Gamma Rays and Decay Process Questions in Gujarati

(C) પદાર્થમાંથી પસાર થતા વિકિરણની તીવ્રતાનું સૂત્ર $I = I_0 e^{-\mu t}$ છે,જ્યાં $I$ એ અંતિમ તીવ્રતા છે,$I_0$ એ પ્રારંભિક તીવ્રતા છે,$\mu$ એ શોષણ ગુણાંક છે અને $t$ એ પદાર્થની જાડાઈ છે.
અહીં આપેલ છે કે $t = 2.5 \, mm$ જાડાઈ માટે તીવ્રતા અડધી $(I = I_0 / 2)$ થઈ જાય છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $I_0 / 2 = I_0 e^{-\mu (2.5)}$.
આથી,$1/2 = e^{-2.5 \mu}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા: $\ln(1/2) = -2.5 \mu$.
$-\ln(2) = -2.5 \mu$.
$0.693 = 2.5 \mu$.
$\mu = 0.693 / 2.5 = 0.2772 \, mm^{-1}$.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $\mu \approx 0.28 \, mm^{-1}$ મળે છે.

(A) આપેલ ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયામાં,પરમાણુ ક્રમાંક $1$ જેટલો વધે છે $(z \to z+1)$,જ્યારે પરમાણુ દળાંક $A$ અચળ રહે છે.
આ પ્રક્રિયામાં એક ઇલેક્ટ્રોન $(_{-1}e^0)$ અને એક એન્ટિન્યુટ્રિનો $(\bar \nu)$ ઉત્સર્જિત થાય છે.
આ પ્રક્રિયા $\beta^-$ ક્ષય દર્શાવે છે,જેમાં એક ન્યુટ્રોન પ્રોટોનમાં રૂપાંતરિત થાય છે અને ઇલેક્ટ્રોન તથા એન્ટિન્યુટ્રિનોનું ઉત્સર્જન કરે છે.

(B) ધારો કે પિતૃ ન્યુક્લિયસનો પરમાણુદળાંક $A = 220$ છે. $\alpha$-કણ $(m_2 = 4)$ ના ઉત્સર્જન પછી,સંતતિ ન્યુક્લિયસનો પરમાણુદળાંક $m_1 = 220 - 4 = 216$ થાય છે.
પ્રક્રિયામાં મુક્ત થતી કુલ ઊર્જા $Q = K_1 + K_2 = 5.5 \, MeV$ છે,જ્યાં $K_1$ એ સંતતિ ન્યુક્લિયસની ગતિ-ઊર્જા છે અને $K_2$ એ $\alpha$-કણની ગતિ-ઊર્જા છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય હોવાથી,સંતતિ ન્યુક્લિયસ અને $\alpha$-કણના વેગમાનના મૂલ્યો સમાન હોવા જોઈએ:
$p_1 = p_2$
$\sqrt{2 m_1 K_1} = \sqrt{2 m_2 K_2}$
$m_1 K_1 = m_2 K_2$
$216 K_1 = 4 K_2$
$K_1 = \frac{4}{216} K_2 = \frac{1}{54} K_2$
આ કિંમતને $Q$-મૂલ્યના સમીકરણમાં મૂકતા:
$K_1 + K_2 = 5.5$
$\frac{1}{54} K_2 + K_2 = 5.5$
$\frac{55}{54} K_2 = 5.5$
$K_2 = 5.5 \times \frac{54}{55} = 0.1 \times 54 = 5.4 \, MeV$.
આમ,$\alpha$-કણની ગતિ-ઊર્જા $5.4 \, MeV$ છે.

(B) $\beta^-$ ક્ષય દરમિયાન,ન્યુક્લિયસની અંદરનો એક ન્યુટ્રોન પ્રોટોન,ઇલેક્ટ્રોન $(e^-)$ અને એન્ટિન્યુટ્રિનો $(\bar{\nu}_e)$ માં રૂપાંતરિત થાય છે.
પ્રક્રિયા આ મુજબ છે: $n \to p + e^- + \bar{\nu}_e$.
આ પ્રક્રિયાના પરિણામે,ન્યુટ્રોનની સંખ્યા $(n)$ માં $1$ નો ઘટાડો થાય છે અને પ્રોટોનની સંખ્યા $(p)$ માં $1$ નો વધારો થાય છે.
અંશ $(n)$ ઘટતો હોવાથી અને છેદ $(p)$ વધતો હોવાથી,સમગ્ર ગુણોત્તર $[n/p]$ ઘટશે.

(C) શરૂઆતનું ન્યુક્લિયસ $_{72}X^{180}$ છે.
$1$. $\alpha$-ક્ષય ($_{2}He^{4}$ ઉત્સર્જન) પછી,દળ ક્રમાંક $4$ જેટલો ઘટે છે અને પરમાણુ ક્રમાંક $2$ જેટલો ઘટે છે: $_{72}X^{180} \xrightarrow{\alpha} _{70}X_1^{176}$.
$2$. $\beta$-ક્ષય (ઇલેક્ટ્રોનનું ઉત્સર્જન,$_{ -1}e^{0}$) પછી,દળ ક્રમાંક બદલાતો નથી અને પરમાણુ ક્રમાંક $1$ જેટલો વધે છે: $_{70}X_1^{176} \xrightarrow{\beta} _{71}X_2^{176}$.
$3$. બીજા $\alpha$-ક્ષય પછી,દળ ક્રમાંક $4$ જેટલો ઘટે છે અને પરમાણુ ક્રમાંક $2$ જેટલો ઘટે છે: $_{71}X_2^{176} \xrightarrow{\alpha} _{69}X_3^{172}$.
$4$. $\gamma$-ક્ષય પછી,દળ ક્રમાંક કે પરમાણુ ક્રમાંકમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી: $_{69}X_3^{172} \xrightarrow{\gamma} _{69}X_4^{172}$.
તેથી,$X_4$ નો દળ ક્રમાંક $172$ અને પરમાણુ ક્રમાંક $69$ છે.

(D) પ્રારંભિક ન્યુક્લિયસ $_Z{X^A}$ છે.
જ્યારે ન્યુક્લિયસ $\alpha$-કણ $(_{2}^{4}He)$ ઉત્સર્જિત કરે છે,ત્યારે દળ ક્રમાંક $4$ જેટલો ઘટે છે અને પરમાણુ ક્રમાંક $2$ જેટલો ઘટે છે.
જ્યારે તે $\beta$-કણ $(_{-1}^{0}e)$ ઉત્સર્જિત કરે છે,ત્યારે દળ ક્રમાંક બદલાતો નથી અને પરમાણુ ક્રમાંક $1$ જેટલો વધે છે.
$3 \alpha$-કણો અને $5 \beta$-કણોના ઉત્સર્જન પછી,નવો દળ ક્રમાંક $A'$ અને પરમાણુ ક્રમાંક $Z'$ નીચે મુજબ છે:
$A' = A - 3(4) = A - 12$
$Z' = Z - 3(2) + 5(1) = Z - 6 + 5 = Z - 1$
પ્રોટોનની સંખ્યા $P = Z' = Z - 1$
ન્યુટ્રોનની સંખ્યા $N = A' - Z' = (A - 12) - (Z - 1) = A - Z - 11$
તેથી,ન્યુટ્રોન અને પ્રોટોનનો ગુણોત્તર $\frac{N}{P} = \frac{A - Z - 11}{Z - 1}$ છે.

(B) શરૂઆતનો પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 92$ છે.
$\alpha$-ક્ષય $(_{2}He^{4})$ ને કારણે $Z$ માં $2$ નો ઘટાડો થાય છે.
$\beta^-$-ક્ષય $(_{-1}e^{0})$ ને કારણે $Z$ માં $1$ નો વધારો થાય છે.
$\beta^+$-ક્ષય $(_{+1}e^{0})$ ને કારણે $Z$ માં $1$ નો ઘટાડો થાય છે.
કણોની ગણતરી:
- કુલ $\alpha$ કણો: $8$ (પગલાં $1$,$2$,$5$,$6$,$7$,$8$,$11$,$14$ પર ઉત્સર્જિત).
- કુલ $\beta^-$ કણો: $4$ (પગલાં $3$,$4$,$9$,$10$ પર ઉત્સર્જિત).
- કુલ $\beta^+$ કણો: $2$ (પગલાં $12$,$13$ પર ઉત્સર્જિત).
અંતિમ $Z$ ની ગણતરી:
$Z_{final} = Z_{initial} - (8 \times 2) + (4 \times 1) - (2 \times 1)$
$Z_{final} = 92 - 16 + 4 - 2$
$Z_{final} = 78$.

(C) રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,તંત્રનું પ્રારંભિક વેગમાન અંતિમ વેગમાન જેટલું હોય છે.
શરૂઆતમાં $U^{238}$ ન્યુક્લિયસ સ્થિર છે,તેથી પ્રારંભિક વેગમાન $0$ છે.
ક્ષય પ્રક્રિયા આ મુજબ છે: $U^{238} \to Th^{234} + He^{4}$.
ધારો કે જનિન ન્યુક્લિયસનું દળ $M_D = 234$ અને $\alpha$-કણનું દળ $M_{\alpha} = 4$ છે.
ધારો કે જનિન ન્યુક્લિયસની રિકૉઇલ ઝડપ $v$ છે અને $\alpha$-કણની ઝડપ $u$ છે.
વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા: $0 = M_D \cdot v + M_{\alpha} \cdot u$.
$0 = 234 \cdot v + 4 \cdot u$.
$v$ માટે ઉકેલતા: $v = -\frac{4u}{234}$.
રિકૉઇલ ઝડપનું મૂલ્ય $\frac{4u}{234}$ છે.

(A) આલ્ફા ક્ષયની પ્રક્રિયામાં,દળ ક્રમાંક $4$ જેટલો ઘટે છે અને પરમાણુ ક્રમાંક $2$ જેટલો ઘટે છે.
આપેલ પ્રક્રિયા: $_{92}U^{238} \to _{Z}X^{A} + _{2}He^{4}$.
દળ સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $238 = A + 4 \implies A = 238 - 4 = 234$.
પરમાણુ ક્રમાંક સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $92 = Z + 2 \implies Z = 92 - 2 = 90$.
તેથી,$Z = 90$ અને $A = 234$ થાય.

(D) યુરેનિયમ શ્રેણી એક અસ્થાયી રેડિયોએક્ટિવ જનક ન્યુક્લિડથી શરૂ થાય છે અને સ્થાયી આઈસોટોપ ન મળે ત્યાં સુધી આલ્ફા અને બીટા ક્ષયની શ્રેણીમાંથી પસાર થાય છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,સ્થાયી ન્યુક્લિડ રેડિયોએક્ટિવ ક્ષય પામતું નથી.
ક્ષય અચળાંક $\lambda$ એ એકમ સમય દીઠ ક્ષય થવાની સંભાવના તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે,તેથી સ્થાયી ન્યુક્લિડ માટે ક્ષય થવાની સંભાવના શૂન્ય હોય છે.
તેથી,અંતિમ સ્થાયી નીપજનો ક્ષય અચળાંક $0$ છે.

(A) ધારો કે તત્વ $A$ નો પરમાણુ ક્રમાંક $Z$ અને દળ ક્રમાંક $M$ છે.
પ્રથમ તબક્કામાં: $A \to B + _{2}^{4}He$.
આથી $B$ નો પરમાણુ ક્રમાંક $Z - 2$ અને દળ ક્રમાંક $M - 4$ થાય છે.
બીજા તબક્કામાં: $B \to C + 2e^{-}$.
દરેક બીટા ક્ષય $(e^{-})$ પરમાણુ ક્રમાંકમાં $1$ નો વધારો કરે છે અને દળ ક્રમાંક બદલાતો નથી,તેથી $2e^{-}$ ના ઉત્સર્જનથી $B$ ના પરમાણુ ક્રમાંકમાં $2$ નો વધારો થાય છે.
તેથી,$C$ નો પરમાણુ ક્રમાંક $= (Z - 2) + 2 = Z$ થાય છે.
$C$ નો દળ ક્રમાંક $M - 4$ જ રહે છે.
આમ,$A$ અને $C$ ના પરમાણુ ક્રમાંક સમાન $(Z)$ હોવાથી તેઓ આઈસોટોપ છે.

(A) $1$. પ્રથમ તબક્કામાં,${}_{Z}^{A}X \to {}_{Z+1}^{A}Y$,પરમાણુ ક્રમાંક $Z$ માં $1$ નો વધારો થાય છે જ્યારે દળ ક્રમાંક $A$ અચળ રહે છે. આ $\beta^-$ કણના ઉત્સર્જનને અનુરૂપ છે.
$2$. બીજા તબક્કામાં,${}_{Z+1}^{A}Y \to {}_{Z-1}^{A-4}K$,દળ ક્રમાંક $A$ માં $4$ નો ઘટાડો થાય છે અને પરમાણુ ક્રમાંક $Z$ માં $2$ નો ઘટાડો થાય છે. આ $\alpha$ કણના ઉત્સર્જનને અનુરૂપ છે.
$3$. ત્રીજા તબક્કામાં,${}_{Z-1}^{A-4}K \to {}_{Z-1}^{A-4}K$,દળ ક્રમાંક $A$ કે પરમાણુ ક્રમાંક $Z$ માં કોઈ ફેરફાર થતો નથી. આ $\gamma$ કિરણના ઉત્સર્જનને અનુરૂપ છે (ન્યુક્લિયસનું ડી-એક્સાઇટેશન).
તેથી,ઉત્સર્જનનો ક્રમ $\beta^-$,$\alpha$,$\gamma$ છે.

(D) ઉત્સર્જિત $\alpha$-કણોની સંખ્યા $n_{\alpha} = \frac{A - A'}{4} = \frac{200 - 168}{4} = \frac{32}{4} = 8$ છે.
$8$ $\alpha$-કણોના ઉત્સર્જનને કારણે પરમાણુ ક્રમાંકમાં થતો ફેરફાર $8 \times 2 = 16$ છે. તેથી નવો પરમાણુ ક્રમાંક $90 - 16 = 74$ થશે.
અંતિમ પરમાણુ ક્રમાંક $80$ હોવાથી,ઉત્સર્જિત $\beta$-કણોની સંખ્યા $n_{\beta} = Z' - (Z - 2n_{\alpha}) = 80 - (90 - 16) = 80 - 74 = 6$ મળે છે.
આમ,$\alpha$ અને $\beta$ કણોની સંખ્યા અનુક્રમે $8$ અને $6$ છે.

(B) રેડિયોએક્ટિવ વિકિરણોની આયનીકરણ શક્તિનો ક્રમ: $\alpha > \beta > \gamma$ છે. તેથી,આયનીકરણ શક્તિનો વધતો ક્રમ $\gamma < \beta < \alpha$ થાય.
રેડિયોએક્ટિવ વિકિરણોની ભેદન શક્તિનો ક્રમ: $\gamma > \beta > \alpha$ છે. તેથી,ભેદન શક્તિનો વધતો ક્રમ $\alpha < \beta < \gamma$ થાય.

(A) પ્રારંભિક ન્યુક્લિયસ $_a^b X$ છે.
$1$. પોઝિટ્રોન ઉત્સર્જન $(_{+1}^0 \beta)$: $_a^b X \rightarrow _{a-1}^b X_1 + _{+1}^0 \beta$.
$2$. બે $\alpha$-કણો $(_{2}^4 \alpha)$ નું ઉત્સર્જન: $_{a-1}^b X_1 \rightarrow _{a-1-4}^{b-8} X_2 + 2(_{2}^4 \alpha) = _{a-5}^{b-8} X_2$.
$3$. બે $\beta$-કણો $(_{-1}^0 \beta)$ નું ઉત્સર્જન: $_{a-5}^{b-8} X_2 \rightarrow _{a-5+2}^{b-8} X_3 + 2(_{-1}^0 \beta) = _{a-3}^{b-8} X_3$.
$4$. એક $\alpha$-કણ $(_{2}^4 \alpha)$ નું ઉત્સર્જન: $_{a-3}^{b-8} X_3 \rightarrow _{a-3-2}^{b-8-4} Y = _{a-5}^{b-12} Y$.
આને $_d^c Y$ સાથે સરખાવતા,આપણને $c = b - 12$ અને $d = a - 5$ મળે છે.

(B) $x$ જાડાઈ ધરાવતા પદાર્થમાંથી પસાર થયા પછી વિકિરણની તીવ્રતાનું સૂત્ર: $I = I_0 e^{-kx}$ છે,જ્યાં $k$ એ શોષણ ગુણાંક છે.
આપેલ માહિતી મુજબ,જ્યારે $x_1 = 36 \, mm$ હોય,ત્યારે $I_1 = I_0/8$ થાય છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $I_0/8 = I_0 e^{-k(36)} \Rightarrow 1/8 = e^{-36k}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા: $\ln(1/8) = -36k \Rightarrow -\ln(8) = -36k \Rightarrow \ln(2^3) = 36k \Rightarrow 3 \ln(2) = 36k \Rightarrow k = \frac{3 \ln(2)}{36} = \frac{\ln(2)}{12}$.
હવે,આપણે તે જાડાઈ $x_2$ શોધવાની છે જ્યારે $I_2 = I_0/2$ થાય.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $I_0/2 = I_0 e^{-kx_2} \Rightarrow 1/2 = e^{-kx_2}$.
લઘુગણક લેતા: $\ln(1/2) = -kx_2 \Rightarrow -\ln(2) = -kx_2 \Rightarrow \ln(2) = kx_2$.
$k$ ની કિંમત મૂકતા: $\ln(2) = (\frac{\ln(2)}{12}) x_2$.
$x_2$ માટે ઉકેલતા: $x_2 = 12 \, mm$.

(A) ધારો કે ઉત્સર્જાતા $\alpha$-કણોની સંખ્યા $n_{\alpha}$ છે અને $\beta$-કણોની સંખ્યા $n_{\beta}$ છે.
ક્ષયનું સમીકરણ: $_{90}Th^{238} \rightarrow _{83}Bi^{222} + n_{\alpha}(_{2}He^{4}) + n_{\beta}(-_{1}e^{0})$.
દળ ક્રમાંકને સરખાવતા: $238 = 222 + 4n_{\alpha} \Rightarrow 4n_{\alpha} = 16 \Rightarrow n_{\alpha} = 4$.
પરમાણુ ક્રમાંકને સરખાવતા: $90 = 83 + 2n_{\alpha} - n_{\beta}$.
$n_{\alpha} = 4$ મૂકતા: $90 = 83 + 2(4) - n_{\beta} \Rightarrow 90 = 83 + 8 - n_{\beta} \Rightarrow 90 = 91 - n_{\beta} \Rightarrow n_{\beta} = 1$.
આમ,$4 \alpha$ કણો અને $1 \beta$ કણ ઉત્સર્જિત થાય છે.

(B) $rad$ (રેડિયેશન એબ્સોર્બ્ડ ડોઝ) એ આયનાઈઝિંગ રેડિયેશનના શોષિત ડોઝનો એકમ છે.
તેને પદાર્થના પ્રતિ કિલોગ્રામ દીઠ $0.01 \ J$ ઊર્જાના શોષણ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તેથી,તે વિકિરણ દ્વારા લક્ષ્યાંક (target) દ્વારા શોષાયેલી ઊર્જાને માપે છે.

(B) ધારો કે $m_1 = 216$ એ ડોટર ન્યૂક્લિયસનો પરમાણુ દળાંક છે અને $m_2 = 4$ એ $\alpha$-કણનો પરમાણુ દળાંક છે.
ધારો કે $k_1$ અને $k_2$ એ તેમની અનુક્રમે ગતિઊર્જા છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$k_1 + k_2 = 5.5 \, MeV \dots (i)$
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,વેગમાનના મૂલ્યો સમાન હોવા જોઈએ: $p_1 = p_2$.
$p = \sqrt{2mk}$ હોવાથી,$\sqrt{2(216)k_1} = \sqrt{2(4)k_2}$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$216 k_1 = 4 k_2$,જે આપણને $k_2 = 54 k_1$ આપે છે.
આ કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા,$k_1 + 54 k_1 = 5.5 \, MeV$.
$55 k_1 = 5.5 \, MeV$,તેથી $k_1 = 0.1 \, MeV$.
આમ,$\alpha$-કણની ગતિઊર્જા $k_2 = 54 \times 0.1 = 5.4 \, MeV$ થાય.

(A) ધારો કે ઉત્સર્જિત $\alpha$-કણોની સંખ્યા $n_{\alpha}$ છે અને $\beta$-કણોની સંખ્યા $n_{\beta}$ છે.
દળ ક્રમાંકમાં થતો ફેરફાર $A - A' = 4n_{\alpha}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$228 - 212 = 4n_{\alpha} \implies 16 = 4n_{\alpha} \implies n_{\alpha} = 4$.
પરમાણુ ક્રમાંકમાં થતો ફેરફાર $Z - Z' = 2n_{\alpha} - n_{\beta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$90 - 83 = 2(4) - n_{\beta}$.
$7 = 8 - n_{\beta} \implies n_{\beta} = 1$.
આમ,$4$ $\alpha$-કણો અને $1$ $\beta$-કણ ઉત્સર્જિત થાય છે.

(B) $x$ અંતર કાપ્યા પછી વિકિરણની તીવ્રતા $I' = I_0 e^{-\mu x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I_0$ એ પ્રારંભિક તીવ્રતા છે અને $\mu$ એ શોષણ ગુણાંક છે.
આપેલ છે કે $x_1 = 36 \, mm$ પછી,$I_1 = I_0 / 8$ થાય છે.
સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા: $I_0 / 8 = I_0 e^{-\mu (36)} \implies 8 = e^{36\mu} \implies \ln(8) = 36\mu \implies 3 \ln(2) = 36\mu \implies \mu = \frac{\ln(2)}{12}$.
આપણે તે અંતર $x_2$ શોધવાનું છે જ્યાં તીવ્રતા અડધી થાય,એટલે કે $I_2 = I_0 / 2$.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $I_0 / 2 = I_0 e^{-\mu x_2} \implies 2 = e^{\mu x_2} \implies \ln(2) = \mu x_2$.
$\mu$ ની કિંમત મૂકતા: $\ln(2) = \left( \frac{\ln(2)}{12} \right) x_2$.
$x_2$ માટે ઉકેલતા: $x_2 = 12 \, mm$.

(C) બીટા માઈનસ ક્ષય $(\beta^{-})$ માં, એક ન્યુટ્રોન પ્રોટોનમાં રૂપાંતરિત થાય છે અને કેન્દ્રમાંથી એક ઇલેક્ટ્રોન એન્ટિન્યુટ્રિનો સાથે ઉત્સર્જિત થાય છે.
આ પ્રક્રિયા સમીકરણ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે: $n \rightarrow p + e^{-} + \bar{\nu}$
જ્યાં $n$ એ ન્યુટ્રોન છે, $p$ એ પ્રોટોન છે, $e^{-}$ એ ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોન ($\beta$-કણ) છે, અને $\bar{\nu}$ એ એન્ટિન્યુટ્રિનો છે.

(B) આપેલ ક્ષય શ્રેણી: ${}_Z^AX \to {}_{Z + 1}^AY \to {}_{Z - 1}^{A - 4}K \to {}_{Z - 1}^{A - 4}K$ છે.
$1$. પ્રથમ તબક્કામાં,${}_Z^AX \to {}_{Z + 1}^AY$: પરમાણુ ક્રમાંક $1$ જેટલો વધે છે જ્યારે દળ ક્રમાંક સમાન રહે છે. આ $\beta^-$ કણના ઉત્સર્જનને અનુરૂપ છે.
$2$. બીજા તબક્કામાં,${}_{Z + 1}^AY \to {}_{Z - 1}^{A - 4}K$: પરમાણુ ક્રમાંક $2$ જેટલો ઘટે છે અને દળ ક્રમાંક $4$ જેટલો ઘટે છે. આ $\alpha$ કણના ઉત્સર્જનને અનુરૂપ છે.
$3$. ત્રીજા તબક્કામાં,${}_{Z - 1}^{A - 4}K \to {}_{Z - 1}^{A - 4}K$: પરમાણુ ક્રમાંક કે દળ ક્રમાંકમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી,જે $\gamma$ કિરણના ઉત્સર્જન (ન્યુક્લિયસનું ડી-એક્સાઈટેશન) સૂચવે છે.
તેથી,ઉત્સર્જિત થતા કણોનો ક્રમ $\beta, \alpha, \gamma$ છે.

(C) ધારો કે પિતૃ ન્યુક્લિયસ ${}_Z^AX$ છે.
જ્યારે એક $\alpha$ કણ $({}_2^4He)$ ઉત્સર્જિત થાય છે,ત્યારે પરમાણુ ક્રમાંક $Z$ માં $2$ નો ઘટાડો થાય છે અને દળ ક્રમાંક $A$ માં $4$ નો ઘટાડો થાય છે.
જ્યારે એક $\beta^-$ કણ $({}_{-1}^0e)$ ઉત્સર્જિત થાય છે,ત્યારે પરમાણુ ક્રમાંક $Z$ માં $1$ નો વધારો થાય છે અને દળ ક્રમાંક $A$ અપરિવર્તિત રહે છે.
આપેલ છે કે ઉત્સર્જિત $\beta$ કણોની સંખ્યા $\alpha$ કણોની સંખ્યા કરતા બમણી છે,ધારો કે $\alpha$ કણોની સંખ્યા $n$ છે. તો $\beta$ કણોની સંખ્યા $2n$ થશે.
પુત્રી ન્યુક્લિયસના પરમાણુ ક્રમાંક $Z'$ માં ફેરફાર: $Z' = Z - 2(n) + 1(2n) = Z - 2n + 2n = Z$.
પુત્રી ન્યુક્લિયસના દળ ક્રમાંક $A'$ માં ફેરફાર: $A' = A - 4(n) + 0(2n) = A - 4n$.
અહીં પરમાણુ ક્રમાંક $Z$ સમાન રહેતો હોવાથી,પરિણામી પુત્રી ન્યુક્લિયસ એ પિતૃ ન્યુક્લિયસનું આઈસોટોપ (સમસ્થાનિક) છે.

(D) જ્યારે એક આલ્ફા કણ $({}_2^4He)$ ઉત્સર્જિત થાય છે,ત્યારે દળ ક્રમાંક $4$ જેટલો ઘટે છે અને પરમાણુ ક્રમાંક $2$ જેટલો ઘટે છે.
જ્યારે એક બીટા કણ $(\beta^-)$ ઉત્સર્જિત થાય છે,ત્યારે પરમાણુ ક્રમાંક $1$ જેટલો વધે છે અને દળ ક્રમાંક અપરિવર્તિત રહે છે.
$_n^mX$ થી શરૂઆત કરતા:
$1$. એક $\alpha$ કણના ઉત્સર્જન પછી: $_n^mX \rightarrow {}_{n-2}^{m-4}Y + {}_2^4He$.
$2$. બે $\beta$ કણોના ઉત્સર્જન પછી: ${}_{n-2}^{m-4}Y \rightarrow {}_{n-2+2}^{m-4}Z + 2_{-1}^0e = {}_n^{m-4}Z$.
આમ,પરિણામી ન્યુક્લિયસ $_n^{m-4}Z$ છે.

(A) પ્રારંભિક ન્યુક્લિયસ $_Z{X^A}$ છે.
જ્યારે તે $9 \alpha$-કણોનું ઉત્સર્જન કરે છે,ત્યારે પરમાણુ ક્રમાંક $Z$ માં $9 \times 2 = 18$ નો ઘટાડો થાય છે અને દળ ક્રમાંક $A$ માં $9 \times 4 = 36$ નો ઘટાડો થાય છે. ન્યુક્લિયસ $_{Z-18}{X^{A-36}}$ બને છે.
જ્યારે આ ન્યુક્લિયસ $5 \beta$-કણોનું ઉત્સર્જન કરે છે,ત્યારે પરમાણુ ક્રમાંક $Z$ માં $5 \times 1 = 5$ નો વધારો થાય છે,જ્યારે દળ ક્રમાંક $A$ બદલાતો નથી. અંતિમ ન્યુક્લિયસ $_{Z-18+5}{X^{A-36}} = _{Z-13}{X^{A-36}}$ છે.
અંતિમ ન્યુક્લિયસમાં,પ્રોટોનની સંખ્યા $P = Z - 13$ છે.
ન્યુટ્રોનની સંખ્યા $N = (A - 36) - (Z - 13) = A - Z - 23$ છે.
તેથી,પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોનનો ગુણોત્તર $\frac{P}{N} = \frac{Z - 13}{A - Z - 23}$ છે.

(A) $U^{238}$ થી શરૂ થતી રેડિયોએક્ટિવ ક્ષય શ્રેણીને યુરેનિયમ શ્રેણી અથવા $(4n+2)$ શ્રેણી તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
આ શ્રેણીમાં,પિતૃ ન્યુક્લિયસનો દળ ક્રમાંક $238$ છે,જેને $4n+2$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે જ્યાં $n=59$ છે.
$8$ $\alpha$-ક્ષય અને $6$ $\beta$-ક્ષયની શ્રેણી દ્વારા,ન્યુક્લિયસ સ્થાયી અવસ્થા પ્રાપ્ત કરે છે.
આ ક્ષય શ્રેણીનું અંતિમ સ્થાયી ઉત્પાદન $Pb^{206}$ છે.

(B) ધારો કે ઉત્સર્જિત $\alpha$-કણોની સંખ્યા $x$ છે અને ઉત્સર્જિત $\beta$-કણોની સંખ્યા $y$ છે.
દળ ક્રમાંકમાં ફેરફાર ફક્ત $\alpha$-કણોને કારણે થાય છે,કારણ કે દરેક $\alpha$-કણ દળ ક્રમાંકમાં $4$ નો ઘટાડો કરે છે.
$4x = 238 - 206 = 32$
$x = 8$
પરમાણુ ક્રમાંક (વીજભાર) માં ફેરફાર $2x - y = 92 - 82$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $2x$ એ $\alpha$-ક્ષયને કારણે ઘટાડો છે અને $y$ એ $\beta$-ક્ષયને કારણે વધારો છે.
$2(8) - y = 10$
$16 - y = 10$
$y = 6$
આમ,$\alpha$-કણોની સંખ્યા $8$ છે અને $\beta$-કણોની સંખ્યા $6$ છે.

(D) ઇલેક્ટ્રોન (બીટા ક્ષય,$\beta^-$) ના ઉત્સર્જન સાથેના કિરણોત્સર્ગી ક્ષયમાં,ન્યુક્લિયસમાં રહેલો એક ન્યુટ્રોન પ્રોટોન અને ઇલેક્ટ્રોનમાં (અને એન્ટિન્યુટ્રિનોમાં) રૂપાંતરિત થાય છે.
આ પ્રક્રિયાને આ રીતે દર્શાવી શકાય: $n \rightarrow p + e^- + \bar{\nu}_e$.
દળ-ક્રમાંક $A$ એ પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોનની કુલ સંખ્યા છે.
એક ન્યુટ્રોન ગુમાવાય છે અને એક પ્રોટોન ઉમેરાય છે,તેથી ન્યુક્લિયોન્સની કુલ સંખ્યા અચળ રહે છે.
$\gamma$ વિકિરણનું ઉત્સર્જન એ ઉત્તેજિત ન્યુક્લિયસમાંથી ઉર્જા મુક્ત થવાની પ્રક્રિયા છે અને તે દળ-ક્રમાંક કે પરમાણુ ક્રમાંકમાં ફેરફાર કરતું નથી.
તેથી,સંતતિ ન્યુક્લિયસનો દળ-ક્રમાંક $(m_y)$ એ પિતૃ ન્યુક્લિયસના દળ-ક્રમાંક $(m_x)$ જેટલો જ હોય છે.
આમ,$m_y = m_x$.

(C) ધારો કે ઉત્સર્જિત $\alpha$ કણોની સંખ્યા $x$ છે અને ઉત્સર્જિત $\beta^-$ કણોની સંખ્યા $y$ છે.
ક્ષય પ્રક્રિયા આ મુજબ છે: ${}_{88}^{226}Ra \rightarrow {}_{82}^{206}Pb + x({}_{2}^{4}\alpha) + y({}_{-1}^{0}\beta^-)$.
દળ ક્રમાંકનું સંતુલન કરતા:
$226 = 206 + 4x + 0$
$4x = 226 - 206$
$4x = 20$
$x = 5$.
પરમાણુ ક્રમાંકનું સંતુલન કરતા:
$88 = 82 + 2x - y$
$88 = 82 + 2(5) - y$
$88 = 82 + 10 - y$
$88 = 92 - y$
$y = 92 - 88$
$y = 4$.
તેથી,$5$ $\alpha$ કણો અને $4$ $\beta^-$ કણો ઉત્સર્જિત થાય છે.

(A) રેડિયોએક્ટિવ શ્રેણી એ રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો એક ક્રમ છે જેમાં પિતૃ ન્યુક્લિયસનું વિઘટન થઈને પુત્રી ન્યુક્લિયસ બને છે,જે ત્યારબાદ સ્થાયી ન્યુક્લિયસ ન મળે ત્યાં સુધી ક્ષય પામતું રહે છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,રેડિયોએક્ટિવ શ્રેણીનું અંતિમ ઉત્પાદન એક સ્થાયી ન્યુક્લિયસ હોય છે.
સ્થાયી ન્યુક્લિયસ રેડિયોએક્ટિવ ક્ષય પામતું નથી.
ક્ષય અચળાંક $\lambda$ ને એકમ સમય દીઠ ક્ષય થવાની સંભાવના તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
સ્થાયી ન્યુક્લિયસ ક્ષય પામતું ન હોવાથી,તેનો ક્ષય અચળાંક $0$ હોય છે.

(D) $\alpha$ ક્ષયમાં,ન્યુક્લિયસ $\alpha$ કણ $(^4_2He)$ ઉત્સર્જિત કરે છે,તેથી પરમાણુ ક્રમાંક $Z$ માં $2$ નો ઘટાડો થાય છે અને દળ ક્રમાંક $A$ માં $4$ નો ઘટાડો થાય છે.
$\beta^+$ ક્ષય (પોઝિટ્રોન ઉત્સર્જન) માં,એક પ્રોટોન ન્યુટ્રોનમાં રૂપાંતરિત થાય છે,તેથી પરમાણુ ક્રમાંક $Z$ માં $1$ નો ઘટાડો થાય છે જ્યારે દળ ક્રમાંક $A$ બદલાતો નથી.
$\gamma$ ક્ષયમાં,ન્યુક્લિયસ ફોટોન ઉત્સર્જિત કરીને ઉત્તેજિત અવસ્થામાંથી નીચી ઉર્જા અવસ્થામાં સંક્રમણ કરે છે,તેથી $Z$ કે $A$ માં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.
આમ,આપેલા તમામ વિધાનો સાચા હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) $\beta$-ક્ષયમાં,મુક્ત થતી ઉર્જા $\beta$-કણ અને એન્ટિન્યુટ્રિનો (અથવા ન્યુટ્રિનો) વચ્ચે વહેંચાય છે. ઉર્જા સતત રીતે વહેંચાતી હોવાથી,$\beta$-કણો શૂન્યથી લઈને મહત્તમ મૂલ્ય $E_0$ સુધીની ગતિજ ઉર્જાના સતત ગાળા સાથે ઉત્સર્જિત થાય છે. $N(E)$ વિરુદ્ધ $E$ નો વિતરણ આલેખ $E=0$ પર શૂન્યથી શરૂ થાય છે,મધ્યવર્તી ઉર્જા પર મહત્તમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે અને મહત્તમ ઉર્જા $E_0$ પર શૂન્ય થઈ જાય છે. આ આલેખ વિકલ્પ $D$ માં દર્શાવેલ છે.

(C) $rad$ (રેડિયેશન એબ્સોર્બ્ડ ડોઝ) એ શોષાયેલા રેડિયેશન ડોઝનો એકમ છે.
તેને પદાર્થના પ્રતિ ગ્રામ (સામાન્ય રીતે પેશી) દીઠ $100 \ erg$ ઉર્જાના શોષણ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તેથી,તે રેડિયેશન દ્વારા લક્ષ્ય પદાર્થને આપવામાં આવતી ઉર્જાનું માપન કરે છે.
એક $rad$ એ $0.01 \ J/kg$ અથવા $0.01 \ Gray$ $(Gy)$ ની સમકક્ષ છે.

(A) ગામા $(\gamma)$ ઉત્સર્જન ત્યારે થાય છે જ્યારે ઉત્તેજિત અવસ્થામાં રહેલું ન્યુક્લિયસ નીચી ઉર્જા અવસ્થા અથવા ધરાવસ્થામાં સંક્રમણ કરે છે. આ પ્રક્રિયા દરમિયાન,ન્યુક્લિયસ ઉચ્ચ ઉર્જા ધરાવતો ફોટોન ઉત્સર્જિત કરે છે જેને $\gamma$-કિરણ કહેવાય છે. $\gamma$-કિરણોનો વીજભાર અને સ્થિર દળ શૂન્ય હોવાથી,આ ઉત્સર્જન ન્યુક્લિયસના પરમાણુ ક્રમાંક $(Z)$ અથવા દળ ક્રમાંક $(A)$ માં કોઈ ફેરફાર કરતું નથી. તેથી,પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોનની સંખ્યામાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.

(B) પ્રારંભિક ન્યુક્લિયસ $_Z^AX$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે।
$\alpha$-કણ $_2^4He$ છે અને પોઝિટ્રોન $_1^0e^+$ છે।
$3$ $\alpha$-કણો અને $2$ પોઝિટ્રોનનું ઉત્સર્જન કર્યા પછી, અંતિમ ન્યુક્લિયસ $_Z^AY$ બને છે।
નવી દળ સંખ્યા $A' = A - (3 \times 4) = A - 12$ છે।
નવો પરમાણુ ક્રમાંક $Z' = Z - (3 \times 2) + (2 \times 1) = Z - 6 + 2 = Z - 4$ છે।
અંતિમ ન્યુક્લિયસમાં પ્રોટોનની સંખ્યા $P = Z' = Z - 4$ છે।
અંતિમ ન્યુક્લિયસમાં ન્યુટ્રોનની સંખ્યા $N = A' - Z' = (A - 12) - (Z - 4) = A - Z - 8$ છે।
ન્યુટ્રોન અને પ્રોટોનનો ગુણોત્તર $\frac{N}{P} = \frac{A - Z - 8}{Z - 4}$ છે।

(B) વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોનનું વેગમાન એ રિકોઈલ થતા ન્યુક્લિયસના વેગમાન જેટલું હોવું જોઈએ.
ફોટોનનું વેગમાન $p = \frac{hv}{c}$ છે.
ધારો કે ન્યુક્લિયસનો રિકોઈલ વેગ $V$ છે. તો,ન્યુક્લિયસનું વેગમાન $p = MV$ થાય.
બંનેને સરખાવતા: $\frac{hv}{c} = MV$,જેનાથી $V = \frac{hv}{Mc}$ મળે છે.
ન્યુક્લિયસની રિકોઈલ ગતિ ઉર્જા $K = \frac{1}{2}MV^2$ છે.
$V$ ની કિંમત મૂકતા: $K = \frac{1}{2}M \left( \frac{hv}{Mc} \right)^2 = \frac{1}{2}M \frac{h^2 v^2}{M^2 c^2} = \frac{h^2 v^2}{2Mc^2}$.

(A) $\beta$-ક્ષયમાં,મુક્ત થતી ઉર્જા $\beta$-કણ (ઇલેક્ટ્રોન અથવા પોઝિટ્રોન) અને એન્ટિન્યુટ્રિનો (અથવા ન્યુટ્રિનો) વચ્ચે વહેંચાય છે.
ઉર્જા બે કણો વચ્ચે વહેંચાતી હોવાથી,$\beta$-કણો $0$ થી મહત્તમ મૂલ્ય $E_0$ સુધીની ઉર્જાના સતત ગાળા સાથે ઉત્સર્જિત થાય છે.
ચોક્કસ ઉર્જા $E$ સાથે ઉત્સર્જિત થતા $\beta$-કણોની સંખ્યા $N(E)$ એક લાક્ષણિક વિતરણ વક્રને અનુસરે છે જે $E=0$ માટે $N(E)=0$ થી શરૂ થાય છે,એક શિખર સુધી વધે છે અને ત્યારબાદ મહત્તમ ઉર્જા $E_0$ પર શૂન્ય થઈ જાય છે.
આ સતત વર્ણપટ $\beta$-ક્ષયની મૂળભૂત લાક્ષણિકતા છે,જે વિકલ્પ $A$ માં દર્શાવેલ છે.

(A) ધારો કે $t$ સમયે $A_1$ અને $A_2$ ન્યુક્લાઇડની સંખ્યા $N_1$ અને $N_2$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{dN_1}{dt} = -\lambda_1 N_1$,જેનું સંકલન કરતા $N_1(t) = N_{10} e^{-\lambda_1 t}$ મળે છે.
$N_2$ ના ફેરફારનો દર $\frac{dN_2}{dt} = \lambda_1 N_1 - \lambda_2 N_2$ છે.
$N_1$ ની કિંમત મૂકતા,$\frac{dN_2}{dt} + \lambda_2 N_2 = \lambda_1 N_{10} e^{-\lambda_1 t}$ મળે છે.
આ વિકલ સમીકરણને પ્રારંભિક શરત $N_2(0) = 0$ સાથે ઉકેલતા,$N_2(t) = \frac{\lambda_1 N_{10}}{\lambda_2 - \lambda_1} (e^{-\lambda_1 t} - e^{-\lambda_2 t})$ મળે છે.
$A_2$ ની એક્ટિવિટી $R_2 = \lambda_2 N_2$ છે. $R_2$ મહત્તમ હોય ત્યારે $\frac{dR_2}{dt} = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dN_2}{dt} = 0$.
$\lambda_1 N_1 = \lambda_2 N_2$ લેતા,$\lambda_1 N_{10} e^{-\lambda_1 t} = \lambda_2 \left[ \frac{\lambda_1 N_{10}}{\lambda_2 - \lambda_1} (e^{-\lambda_1 t} - e^{-\lambda_2 t}) \right]$ મળે છે.
સાદુરૂપ આપતા,$e^{-\lambda_1 t} = \frac{\lambda_2}{\lambda_2 - \lambda_1} (e^{-\lambda_1 t} - e^{-\lambda_2 t})$ મળે છે.
ગોઠવણી કરતા $e^{(\lambda_2 - \lambda_1)t} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1}$ મળે છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$t = \frac{\ln(\lambda_2/\lambda_1)}{\lambda_2 - \lambda_1}$ મળે છે.

(C) $\beta$ ક્ષય પ્રક્રિયાનું $Q$-મૂલ્ય પિતૃ ન્યુક્લિયસ અને નીપજો વચ્ચેના દળના તફાવત દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે ${}_1^3H$ ના પરમાણ્વીય દળમાં એક ઇલેક્ટ્રોનનો સમાવેશ થાય છે અને ${}_2^3He$ ના પરમાણ્વીય દળમાં બે ઇલેક્ટ્રોનનો સમાવેશ થાય છે,તેથી આપણે ક્ષયમાં ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનને ધ્યાનમાં લેવો જોઈએ.
$Q$-મૂલ્યની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
$Q = [M({}_1^3H) - M({}_2^3He)] \times c^2$
નોંધ: ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનનું દળ તટસ્થ પરમાણુઓના પરમાણ્વીય દળના તફાવતમાં પહેલેથી જ ગણાઈ ગયું છે.
$Q = (3.016050 \, u - 3.016030 \, u) \times 931.5 \, MeV/u$
$Q = 0.000020 \, u \times 931.5 \, MeV/u$
$Q = 0.01863 \, MeV$
ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઉર્જા પ્રક્રિયાના $Q$-મૂલ્યની લગભગ સમાન હોય છે.
તેથી,મહત્તમ ઉર્જા $0.0186 \, MeV$ છે.

(C) દરેક પ્રક્રિયા માટે ક્ષયનો દર $\frac{dN_1}{dt} = -\lambda_1 N$,$\frac{dN_2}{dt} = -\lambda_2 N$,અને $\frac{dN_3}{dt} = -\lambda_3 N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ક્ષયનો કુલ દર એ વ્યક્તિગત દરોનો સરવાળો છે: $\frac{dN}{dt} = \frac{dN_1}{dt} + \frac{dN_2}{dt} + \frac{dN_3}{dt}$.
આ પદોને મૂકતા,આપણને મળે છે: $\frac{dN}{dt} = -\lambda_1 N - \lambda_2 N - \lambda_3 N = -(\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3) N$.
આને સામાન્ય ક્ષય સમીકરણ $\frac{dN}{dt} = -\lambda_{eff} N$ સાથે સરખાવતા,આપણને અસરકારક ક્ષય અચળાંક $\lambda_{eff} = \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3$ મળે છે.

(C) શરૂઆતનું ન્યુક્લિયસ ${}_{84}X^{202}$ છે.
$1$. $\alpha$-ક્ષય પછી: પરમાણુ ક્રમાંક $2$ જેટલો ઘટે છે અને દળ ક્રમાંક $4$ જેટલો ઘટે છે.
${}_{84}X^{202} \rightarrow {}_{82}Y^{198} + {}_{2}He^{4}$.
$2$. $\beta$-ક્ષય પછી: પરમાણુ ક્રમાંક $1$ જેટલો વધે છે અને દળ ક્રમાંક બદલાતો નથી.
${}_{82}Y^{198} \rightarrow {}_{83}Z^{198} + {}_{-1}e^{0}$.
$3$. $\gamma$-ઉત્સર્જન પછી: પરમાણુ ક્રમાંક અને દળ ક્રમાંક બદલાતા નથી.
${}_{83}Z^{198} \rightarrow {}_{83}Z^{198} + \gamma$.
આમ,અંતે બનતું ન્યુક્લિયસ ${}_{83}Z^{198}$ છે,જેનો પરમાણુ ક્રમાંક $83$ છે.

(A) શરૂઆતનું ન્યુક્લિયસ $A$ નો દળ ક્રમાંક $M = 180$ અને પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 72$ છે.
$1$. $\alpha$-કણ $(_{2}^{4}He)$ ના ઉત્સર્જનથી દળ ક્રમાંકમાં $4$ નો ઘટાડો થાય છે અને પરમાણુ ક્રમાંકમાં $2$ નો ઘટાડો થાય છે.
$2$. $\beta$-કણ $(_{-1}^{0}e)$ ના ઉત્સર્જનથી દળ ક્રમાંકમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી,પરંતુ પરમાણુ ક્રમાંકમાં $1$ નો વધારો થાય છે.
$3$. $\gamma$-કિરણના ઉત્સર્જનથી દળ ક્રમાંક કે પરમાણુ ક્રમાંકમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.
ક્ષયની શ્રેણી:
$A(180, 72) \xrightarrow{\alpha} A_1(176, 70) \xrightarrow{\beta} A_2(176, 71) \xrightarrow{\alpha} A_3(172, 69) \xrightarrow{\gamma} A_4(172, 69)$.
તેથી,$A_4$ માટે દળ ક્રમાંક $172$ અને પરમાણુ ક્રમાંક $69$ છે.

(C) આપેલ ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયા છે: ${}_3^7Li + {}_1^1p \to {}_4^8Be + x$.
દળ સંખ્યાના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$7 + 1 = 8 + A_x \Rightarrow A_x = 0$.
પરમાણુ ક્રમાંક (વીજભાર) ના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$3 + 1 = 4 + Z_x \Rightarrow Z_x = 0$.
જે કણની દળ સંખ્યા $0$ અને પરમાણુ ક્રમાંક $0$ હોય તે ગામા ફોટોન $(\gamma)$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) ધારો કે ઉત્સર્જિત $\alpha$-કણોની સંખ્યા $n_{\alpha}$ છે અને $\beta^-$-કણોની સંખ્યા $n_{\beta}$ છે.
$\alpha$-ક્ષયમાં,દળ ક્રમાંક $4$ જેટલો ઘટે છે અને પરમાણુ ક્રમાંક $2$ જેટલો ઘટે છે. $\beta^-$-ક્ષયમાં,દળ ક્રમાંક બદલાતો નથી અને પરમાણુ ક્રમાંક $1$ જેટલો વધે છે.
દળ ક્રમાંકમાં થતો ફેરફાર $238 - 206 = 32$ છે. માત્ર $\alpha$-ક્ષય દળ ક્રમાંકને અસર કરે છે,તેથી $4n_{\alpha} = 32$,જે $n_{\alpha} = 8$ આપે છે.
પરમાણુ ક્રમાંકમાં થતો ફેરફાર $92 - 82 = 10$ છે. પરમાણુ ક્રમાંકમાં ચોખ્ખો ફેરફાર $2n_{\alpha} - n_{\beta} = 10$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n_{\alpha} = 8$ મૂકતા,આપણને $2(8) - n_{\beta} = 10$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $16 - n_{\beta} = 10$,તેથી $n_{\beta} = 6$.
આમ,$8$ $\alpha$-કણો અને $6$ $\beta^-$-કણો ઉત્સર્જિત થાય છે.

(B) $\alpha$-ક્ષયમાં,મુક્ત થતી ઊર્જા ($Q$-મૂલ્ય) વેગમાનના સંરક્ષણ માટે $\alpha$-કણ અને જનિત ન્યુક્લિયસ વચ્ચે વહેંચાય છે.
$\alpha$-કણની ગતિઊર્જા $(K_{\alpha})$ માટેનું સૂત્ર: $K_{\alpha} = \left( \frac{A - 4}{A} \right) Q$ છે,જ્યાં $A$ એ પિતૃ ન્યુક્લિયસનો દળ ક્રમાંક છે.
આપેલ છે: $K_{\alpha} = 48 \, MeV$ અને $Q = 50 \, MeV$.
કિંમતો મૂકતા: $48 = \left( \frac{A - 4}{A} \right) \times 50$.
બંને બાજુ $50$ વડે ભાગતા: $\frac{48}{50} = \frac{A - 4}{A}$.
સાદું રૂપ આપતા: $0.96 = 1 - \frac{4}{A}$.
$A$ માટે ઉકેલતા: $\frac{4}{A} = 1 - 0.96 = 0.04$.
$A = \frac{4}{0.04} = 100$.
આમ,પિતૃ ન્યુક્લિયસનો દળ ક્રમાંક $100$ છે.

(B) ધારો કે ઉત્સર્જિત $\alpha$-કણોની સંખ્યા $n$ છે અને $\beta$-કણોની સંખ્યા $m$ છે.
દળ ક્રમાંકમાં થતો ફેરફાર $232 - 208 = 24$ છે.
દરેક $\alpha$-કણ દળ ક્રમાંકમાં $4$ નો ઘટાડો કરે છે,તેથી ઉત્સર્જિત $\alpha$-કણોની સંખ્યા $n = \frac{24}{4} = 6$ છે.
પરમાણુ ક્રમાંકમાં થતો ફેરફાર $90 - 82 = 8$ છે.
દરેક $\alpha$-કણ પરમાણુ ક્રમાંકમાં $2$ નો ઘટાડો કરે છે અને દરેક $\beta$-કણ તેને $1$ થી વધારે છે.
તેથી,$90 - 2n + m = 82$.
સમીકરણમાં $n = 6$ મૂકતા: $90 - 2(6) + m = 82$.
$90 - 12 + m = 82 \Rightarrow 78 + m = 82$.
$m = 82 - 78 = 4$.
આમ,ન્યુક્લિયસે $6 \,\alpha$ અને $4 \,\beta$ કણોનું ઉત્સર્જન કર્યું છે.

(C) વિકિરણની ભેદન શક્તિ તેની ઉર્જા અને દ્રવ્ય સાથેની આંતરક્રિયા પર આધાર રાખે છે.
$\alpha$-કણો ભારે અને વીજભારિત હોય છે,જે ઉચ્ચ આયનીકરણ શક્તિ ધરાવે છે પરંતુ તેમની ભેદન શક્તિ ઓછી હોય છે.
$\beta$-કણોની ભેદન શક્તિ $\alpha$-કણો કરતા વધારે હોય છે.
$\gamma$-કિરણો એ ઉચ્ચ ઉર્જા ધરાવતા વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો છે જે વીજભાર રહિત અને ખૂબ જ ઓછું દળ ધરાવે છે,જેના કારણે તેઓ મોટાભાગના પદાર્થોમાંથી પસાર થઈ શકે છે.
$\gamma$-કિરણોની ભેદન શક્તિ $\beta$-કણો કરતા આશરે $1000$ ગણી વધારે હોય છે,અને $\beta$-કણોની ભેદન શક્તિ $\alpha$-કણો કરતા આશરે $100$ ગણી વધારે હોય છે.
તેથી,આપેલા વિકલ્પોમાંથી $\gamma$-કિરણોની ભેદન શક્તિ સૌથી વધુ છે.

(C) પ્રારંભિક ન્યુક્લિયસ ${}_{90}^{232}Th$ છે.
દરેક $\alpha$-કણના ઉત્સર્જનથી દળ ક્રમાંક $A$ માં $4$ નો ઘટાડો થાય છે અને પરમાણુ ક્રમાંક $Z$ માં $2$ નો ઘટાડો થાય છે.
દરેક $\beta$-કણના ઉત્સર્જનથી દળ ક્રમાંક $A$ માં કોઈ ફેરફાર થતો નથી અને પરમાણુ ક્રમાંક $Z$ માં $1$ નો વધારો થાય છે.
$6$ $\alpha$-ક્ષય પછી:
$A' = 232 - (6 \times 4) = 232 - 24 = 208$
$Z' = 90 - (6 \times 2) = 90 - 12 = 78$
$4$ $\beta$-ક્ષય પછી:
$A = A' = 208$
$Z = Z' + (4 \times 1) = 78 + 4 = 82$
આમ,અંતિમ ન્યુક્લિયસ ${}_{82}^{208}X$ છે,જ્યાં $A = 208$ અને $Z = 82$ છે.