Torque , Potential Energy and Work Done in Mangetic Field Questions in Gujarati

(A) મોટી રીંગ દ્વારા તેના કેન્દ્ર પર ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$ છે.
નાની રીંગ માટે,જેમાં $N$ આંટા,$i$ પ્રવાહ અને $r$ ત્રિજ્યા છે,તેની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = N i A = N i (\pi r^2)$ છે.
બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકીય ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = M B \sin \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ સદિશ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
બંને રીંગના સમતલ એકબીજાને લંબ હોવાથી,નાની રીંગની ચુંબકીય મોમેન્ટ (જે તેના સમતલને લંબ હોય છે) એ મોટી રીંગ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ હશે. તેથી,$\theta = 90^{\circ}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$\tau = (N i \pi r^2) \times \left( \frac{\mu_0 I}{2R} \right) \times \sin 90^{\circ}$.
$\sin 90^{\circ} = 1$ હોવાથી,ટોર્ક $\tau = Ni\pi r^2 \left( \frac{\mu_0 I}{2R} \right)$ મળે છે.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા વિદ્યુતપ્રવાહધારિત ગૂંચળા પર લાગતું ટોર્ક $\tau = N I A B \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ ગૂંચળાના લંબ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ છે:
આંટાની સંખ્યા $N = 30$
ત્રિજ્યા $r = 8.0\, cm = 0.08\, m$
વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 6.0\, A$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 1.0\, T$
ખૂણો $\theta = 60^o$
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = 3.14 \times (0.08)^2 = 3.14 \times 0.0064 = 0.020096\, m^2$
કિંમતો મૂકતા:
$\tau = 30 \times 6.0 \times 0.020096 \times 1.0 \times \sin 60^o$
$\tau = 180 \times 0.020096 \times \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\tau = 90 \times 0.020096 \times 1.732$
$\tau \approx 3.133\, Nm$
બે સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,પ્રતિ-ટોર્કનું મૂલ્ય $3.1\, Nm$ મળે છે.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ માં ચુંબકીય ડાયપોલ (પ્રવાહધારિત ગૂંચળું) ની સ્થિતિ ઉર્જા $U = -\vec{M} \cdot \vec{B} = -MB \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{M}$ (જે ક્ષેત્રફળ સદિશ $\hat{n}$ ની દિશામાં છે) અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ છે કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ જમણી તરફ છે:
સ્થિતિ $I$ માં,$\hat{n}$ ડાબી તરફ છે,તેથી $\theta = 180^\circ$,$U = -MB \cos(180^\circ) = +MB$ (મહત્તમ).
સ્થિતિ $II$ માં,$\hat{n}$ નીચેની તરફ છે,તેથી $\theta = 90^\circ$,$U = -MB \cos(90^\circ) = 0$.
સ્થિતિ $III$ માં,$\hat{n}$ ગુરુકોણ પર છે,તેથી $\cos \theta$ ઋણ છે,જે $U$ ને ધન બનાવે છે.
સ્થિતિ $IV$ માં,$\hat{n}$ લઘુકોણ પર છે,તેથી $\cos \theta$ ધન છે,જે $U$ ને ઋણ બનાવે છે (ન્યૂનતમ).
ખૂણાઓની સરખામણી કરતા: $\theta_I = 180^\circ$,$\theta_{III} > 90^\circ$,$\theta_{II} = 90^\circ$,$\theta_{IV} < 90^\circ$.
આમ,સ્થિતિ ઉર્જાનો ક્રમ $U_I > U_{III} > U_{II} > U_{IV}$ છે.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 3000\,G = 3000 \times 10^{-4}\,T = 0.3\,T$ ધન $z-$ દિશામાં આપેલ છે.
$xy-$ સમતલમાં મૂકવામાં આવેલ લૂપનો ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ એ સમતલને લંબ,એટલે કે $z-$ અક્ષની દિશામાં હોય છે.
ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{M} = I\vec{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. લૂપ $xy-$ સમતલમાં હોવાથી,તેનો ક્ષેત્રફળ સદિશ $z-$ અક્ષની દિશામાં છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા પ્રવાહ લૂપ પર લાગતું ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{M} \times \vec{B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય મોમેન્ટ સદિશ $\vec{M}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ બંને $z-$ અક્ષની દિશામાં હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 0^\circ$ છે.
તેથી,ટોર્કનું મૂલ્ય $\tau = MB \sin(0^\circ) = 0$ થાય છે.

(D) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત ગૂંચળા પર લાગતું ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{m} \times \vec{B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{m}$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે અને $\vec{B}$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે.
જ્યારે ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{m}$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ને સમાંતર હોય ત્યારે ગૂંચળા પર લાગતું ટોર્ક શૂન્ય હોય છે.
ચુંબકીય મોમેન્ટ સદિશ $\vec{m}$ હંમેશા ગૂંચળાના સમતલને લંબ હોય છે.
$\vec{m}$ ને $\vec{B}$ ને સમાંતર બનાવવા માટે,ગૂંચળાનું સમતલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ને લંબ હોવું જોઈએ.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા વિદ્યુતપ્રવાહધારિત ગૂંચળા પર લાગતું ટોર્ક $C = NiAB \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં વિદ્યુતપ્રવાહ $i$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ અને ખૂણો $\theta$ બંને માટે સમાન હોવાથી,ટોર્ક એ આંટાની સંખ્યા $N$ અને ગૂંચળાના ક્ષેત્રફળ $A$ ના ગુણાકારના સમપ્રમાણમાં છે: $C \propto N \cdot A$.
ધારો કે તારની લંબાઈ $L$ છે. ગૂંચળા $A$ માટે $N_A = 1$ આંટો છે,તેથી $L = 2 \pi r_A$,એટલે કે $r_A = L / (2 \pi)$. ક્ષેત્રફળ $A_A = \pi r_A^2 = \pi (L / 2 \pi)^2 = L^2 / (4 \pi)$.
ગૂંચળા $B$ માટે $N_B = 2$ આંટા છે,તેથી $L = 2 \times (2 \pi r_B)$,એટલે કે $r_B = L / (4 \pi)$. ક્ષેત્રફળ $A_B = \pi r_B^2 = \pi (L / 4 \pi)^2 = L^2 / (16 \pi)$.
હવે,ટોર્કનો ગુણોત્તર:
$\frac{C_A}{C_B} = \frac{N_A A_A}{N_B A_B} = \frac{1 \times (L^2 / 4 \pi)}{2 \times (L^2 / 16 \pi)} = \frac{1/4}{2/16} = 2$.
આમ,$C_A = 2 C_B$,જેનો અર્થ છે કે ગૂંચળા $A$ પરનું ટોર્ક ગૂંચળા $B$ કરતા વધારે છે.

(D) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત લૂપ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = NIAB \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N$ એ આંટાની સંખ્યા છે,$I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે,$A$ એ લૂપનું ક્ષેત્રફળ છે,$B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે અને $\theta$ એ લૂપના લંબ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ પરિમિતિ (તારની લંબાઈ $L = 2.0\,m$) માટે,વર્તુળ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $A$ મહત્તમ હોય છે.
ટોર્ક $\tau$ એ ક્ષેત્રફળ $A$ ના સમપ્રમાણમાં હોવાથી $(\tau \propto A)$,સૌથી વધુ ક્ષેત્રફળ ધરાવતી લૂપ માટે ટોર્ક મહત્તમ હશે.
આપેલ આકારોમાં,વર્તુળાકાર લૂપ $S$ નિશ્ચિત પરિમિતિ માટે મહત્તમ ક્ષેત્રફળ ધરાવે છે.
તેથી,લૂપ $S$ પર ટોર્ક મહત્તમ હશે.

(B) લૂપ પર લાગતું ચુંબકીય ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{M} \times \vec{B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નાના કોણીય સ્થાનાંતર $\theta$ માટે,ટોર્કનું મૂલ્ય $\tau = MB \sin \theta \approx MB \theta$ થાય છે.
પુનઃસ્થાપક ટોર્ક $\tau = -MB \theta$ છે.
ભ્રમણ માટે ન્યૂટનના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\tau = I_{moment} \alpha$,જ્યાં $I_{moment}$ એ વર્તુળાકાર લૂપની તેના વ્યાસની આસપાસની જડત્વની ચાકમાત્રા છે,$I_{moment} = \frac{ma^2}{2}$.
તેથી,$\frac{ma^2}{2} \alpha = - (I \pi a^2) B \theta$.
$\alpha = - \frac{2 I \pi B}{m} \theta$.
આને સરળ આવર્ત ગતિના સમીકરણ $\alpha = - \omega^2 \theta$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\omega^2 = \frac{2 I \pi B}{m}$ મળે છે.
તેથી,$\omega = \sqrt{\frac{2 I \pi B}{m}}$.
આવર્તકાળ $T = \frac{2 \pi}{\omega} = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{2 I \pi B}} = \sqrt{\frac{4 \pi^2 m}{2 I \pi B}} = \sqrt{\frac{2 \pi m}{IB}}$.

(N/A) ના,કારણ કે તેના માટે ટોર્ક $\tau$ શિરોલંબ દિશામાં હોવું જરૂરી છે. સમક્ષિતિજ લૂપનો ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ શિરોલંબ દિશામાં હોવાથી,ટોર્ક $\vec{\tau} = I(\vec{A} \times \vec{B})$ કોઈપણ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ માટે હંમેશા લૂપના સમક્ષિતિજ સમતલમાં જ રહેશે. તેથી,તે શિરોલંબ ધરીની આસપાસ ફરી શકતી નથી.
$(b)$ સ્થાયી સંતુલન સ્થિતિ તે છે જ્યાં લૂપનો ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ને સમાંતર હોય. આ સ્થિતિમાં,લૂપ દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર બાહ્ય ક્ષેત્રની દિશામાં જ હોય છે,અને બંને લૂપના સમતલને લંબ હોય છે. આ ગોઠવણી લૂપમાંથી પસાર થતા કુલ ચુંબકીય ફ્લક્સને મહત્તમ બનાવે છે.
$(c)$ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલી લવચીક પ્રવાહધારિત લૂપ લઘુત્તમ સ્થિતિ ઉર્જા પ્રાપ્ત કરવા માટે તેમાંથી પસાર થતા ચુંબકીય ફ્લક્સને મહત્તમ કરવાનો પ્રયાસ કરે છે. નિશ્ચિત પરિમિતિ માટે,વર્તુળાકાર આકાર સૌથી વધુ ક્ષેત્રફળ આવરી લે છે. તેથી,કુલ ફ્લક્સને મહત્તમ કરવા માટે લૂપ તેનું સમતલ ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ રાખીને વર્તુળાકાર આકાર ધારણ કરે છે.

(B) ચોરસ કોઈલની બાજુની લંબાઈ $l = 10 \; cm = 0.1 \; m$ છે.
કોઈલનું ક્ષેત્રફળ $A = l^2 = (0.1 \; m)^2 = 0.01 \; m^2$ છે.
આંટાની સંખ્યા $n = 20$ છે અને વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 12 \; A$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $B = 0.80 \; T$ છે.
કોઈલના સમતલના લંબ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 30^{\circ}$ છે.
કોઈલ દ્વારા અનુભવાતા ચુંબકીય ટોર્ક $\tau$ નું મૂલ્ય સૂત્ર $\tau = n I A B \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tau = 20 \times 12 \times 0.01 \times 0.80 \times \sin 30^{\circ}$.
કારણ કે $\sin 30^{\circ} = 0.5$,તેથી $\tau = 20 \times 12 \times 0.01 \times 0.80 \times 0.5$.
$\tau = 0.96 \; N \; m$.

(A) કોઈલના આંટાની સંખ્યા,$n=30$.
કોઈલની ત્રિજ્યા,$r=8.0 \; cm = 0.08 \; m$.
કોઈલનું ક્ષેત્રફળ,$A = \pi r^2 = \pi(0.08)^2 \approx 0.0201 \; m^2$.
કોઈલમાંથી વહેતો પ્રવાહ,$I=6.0 \; A$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા,$B = 1.0 \; T$.
ક્ષેત્ર રેખાઓ અને કોઈલની સપાટીના લંબ વચ્ચેનો ખૂણો,$\theta = 60^{\circ}$.
કોઈલ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ટોર્ક અનુભવે છે,તેથી તે ફરે છે. કોઈલને ફરતી અટકાવવા માટે લગાડવું પડતું પ્રતિ-ટોર્ક $\tau = n I A B \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\tau = 30 \times 6.0 \times 0.0201 \times 1.0 \times \sin 60^{\circ}$.
$\tau = 30 \times 6.0 \times 0.0201 \times 1.0 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 3.133 \; Nm$.
$(b)$ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલી વિદ્યુતપ્રવાહધારિત કોઈલ પર લાગતું ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{m} \times \vec{B}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{m} = n I \vec{A}$ છે. ટોર્કનું મૂલ્ય ફક્ત ક્ષેત્રફળ $A$ પર આધાર રાખે છે,કોઈલના આકાર પર નહીં. તેથી,જો વર્તુળાકાર કોઈલને સમાન ક્ષેત્રફળ ધરાવતી અનિયમિત આકારની કોઈલ સાથે બદલવામાં આવે,તો જવાબ બદલાશે નહીં.

(E) ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા,$B = 3000 \; G = 0.3 \; T$.
લંબચોરસ લૂપની લંબાઈ,$l = 0.1 \; m$.
લંબચોરસ લૂપની પહોળાઈ,$b = 0.05 \; m$.
લૂપનું ક્ષેત્રફળ,$A = 50 \times 10^{-4} \; m^2$.
લૂપમાં પ્રવાહ,$I = 12 \; A$.
ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{m} = I \vec{A}$ છે. ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{m} \times \vec{B}$ છે.
સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં,પ્રવાહ લૂપ પરનું કુલ બળ હંમેશા શૂન્ય હોય છે.
$(a)$ $\vec{A}$ એ $x-$અક્ષની દિશામાં છે. $\vec{\tau} = -1.8 \times 10^{-2} \hat{j} \; Nm$.
$(b)$ $(a)$ જેવું જ,$\vec{\tau} = -1.8 \times 10^{-2} \hat{j} \; Nm$.
$(c)$ $\vec{A}$ એ $y-$અક્ષની દિશામાં છે. $\vec{\tau} = 1.8 \times 10^{-2} \hat{i} \; Nm$.
$(d)$ $\vec{m}$ અને $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે. $|\vec{\tau}| \approx 1.56 \times 10^{-2} \; Nm$.
$(e)$ $\vec{m}$ એ $z-$અક્ષની દિશામાં છે. $\vec{\tau} = 0$. આ સ્થિર સંતુલન છે કારણ કે $\vec{m} \parallel \vec{B}$.
$(f)$ $\vec{m}$ એ $-z-$અક્ષની દિશામાં છે. $\vec{\tau} = 0$. આ અસ્થિર સંતુલન છે કારણ કે $\vec{m}$ એ $\vec{B}$ થી વિરુદ્ધ દિશામાં છે.

(A) આપેલ છે:
આંટાની સંખ્યા,$n = 20$
ત્રિજ્યા,$r = 10 \; cm = 0.1 \; m$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર,$B = 0.10 \; T$
પ્રવાહ,$I = 5.0 \; A$
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ,$A = 10^{-5} \; m^2$
ઇલેક્ટ્રોન ઘનતા,$n_e = 10^{29} \; m^{-3}$
ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર,$e = 1.6 \times 10^{-19} \; C$
$(a)$ પ્રવાહધારિત લૂપ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = N I A B \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર કોઈલના સમતલને લંબ હોવાથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર અને ક્ષેત્રફળ સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 0^\circ$ છે. તેથી,$\tau = N I A B \sin(0^\circ) = 0$.
$(b)$ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં બંધ પ્રવાહ લૂપ પર લાગતું કુલ બળ હંમેશા શૂન્ય હોય છે,કારણ કે વિરુદ્ધ બાજુઓ પર લાગતા બળો એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે.
$(c)$ ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F = B e v_d$ છે,જ્યાં $v_d$ એ ડ્રિફ્ટ વેગ છે. ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d = \frac{I}{n_e e A}$ દ્વારા મળે છે. આ કિંમત બળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$F = B e \left( \frac{I}{n_e e A} \right) = \frac{B I}{n_e A}$
$F = \frac{0.10 \times 5.0}{10^{29} \times 10^{-5}} = \frac{0.5}{10^{24}} = 5 \times 10^{-25} \; N$.
આમ,દરેક ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું સરેરાશ બળ $5 \times 10^{-25} \; N$ છે.

(A) સોલેનોઇડની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ એ $M = N I A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N$ એ આંટાની સંખ્યા છે,$I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
$M = 800 \times 3.0 \times 2.5 \times 10^{-4} = 0.6 \;A \cdot m^{2}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ચુંબકીય ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau$ એ $\tau = M B \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ સદિશ (સોલેનોઇડની અક્ષ) અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો છે.
અહીં $\theta = 30^{\circ}$ અને $B = 0.25 \;T$ આપેલ છે.
$\tau = 0.6 \times 0.25 \times \sin 30^{\circ}$.
$\tau = 0.6 \times 0.25 \times 0.5 = 0.075 \;N \cdot m$.
$\tau = 7.5 \times 10^{-2} \;N \cdot m$.

(A) સોલેનોઇડના આંટાની સંખ્યા,$n = 2000$.
સોલેનોઇડના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ,$A = 1.6 \times 10^{-4} \;m^{2}$.
સોલેનોઇડમાં વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ,$I = 4.0 \;A$.
$(a)$ સોલેનોઇડ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે: $M = nIA$.
કિંમતો મૂકતા: $M = 2000 \times 4.0 \times 1.6 \times 10^{-4} = 1.28 \;A \cdot m^{2}$.
$(b)$ ચુંબકીય ક્ષેત્ર,$B = 7.5 \times 10^{-2} \;T$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર અને સોલેનોઇડની અક્ષ વચ્ચેનો ખૂણો,$\theta = 30^{\circ}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમાન હોવાથી,સોલેનોઇડ પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય છે.
સોલેનોઇડ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = MB \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tau = 1.28 \times 7.5 \times 10^{-2} \times \sin 30^{\circ} = 1.28 \times 7.5 \times 10^{-2} \times 0.5 = 4.8 \times 10^{-2} \;N \cdot m$.

(D) વર્તુળાકાર કોઈલના આંટાની સંખ્યા,$N = 16$.
કોઈલની ત્રિજ્યા,$r = 10 \;cm = 0.1 \;m$.
કોઈલનું ક્ષેત્રફળ,$A = \pi r^2 = \pi \times (0.1)^2 = 0.01\pi \;m^2$.
કોઈલમાં વહેતો પ્રવાહ,$I = 0.75 \;A$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા,$B = 5.0 \times 10^{-2} \;T$.
દોલનોની આવૃત્તિ,$\nu = 2.0 \;s^{-1}$.
ચુંબકીય મોમેન્ટ,$M = N I A = 16 \times 0.75 \times 0.01\pi = 0.12\pi \;A \;m^2 \approx 0.377 \;J \;T^{-1}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા ચુંબકીય ડાયપોલ માટે દોલનોની આવૃત્તિનું સૂત્ર $\nu = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{MB}{I_{rot}}}$ છે,જ્યાં $I_{rot}$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
$I_{rot}$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $I_{rot} = \frac{MB}{4\pi^2 \nu^2}$.
કિંમતો મૂકતા: $I_{rot} = \frac{0.377 \times 5.0 \times 10^{-2}}{4 \times \pi^2 \times (2.0)^2}$.
$I_{rot} = \frac{0.01885}{157.91} \approx 1.19 \times 10^{-4} \;kg \;m^2$.

(N/A) આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,સમતલ $ABCD$ ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશામાં નથી પરંતુ તેની સાથે અમુક ખૂણો બનાવે છે.
આપણે કોઇલના લંબ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેના ખૂણાને $\theta$ તરીકે લઈએ છીએ.
બાજુઓ $BC$ અને $DA$ પર લાગતા બળો સમાન,વિરુદ્ધ દિશામાં અને કોઇલની અક્ષ પર કાર્ય કરે છે,જે $BC$ અને $DA$ ના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રોને જોડે છે. અક્ષ પર એકરેખસ્થ હોવાને કારણે,તેઓ એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે,પરિણામે કોઈ ચોખ્ખું બળ કે ટોર્ક લાગતું નથી.
બાજુઓ $AB$ અને $CD$ પર લાગતા બળો અનુક્રમે $\overrightarrow{F}_{1}$ અને $\overrightarrow{F}_{2}$ છે.
તેઓ પણ સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં છે,જેનું મૂલ્ય $F_{1} = F_{2} = I b B$ છે.
આકૃતિમાં $AD$ બાજુથી જોતા આ ગોઠવણી દર્શાવવામાં આવી છે,જે આ બે બળો એક કપલ (બળયુગ્મ) બનાવે છે તે દર્શાવે છે. લૂપ પર લાગતા ટોર્કનું મૂલ્ય,
$\tau = \tau_{1} + \tau_{2}$
$\tau = F_{1} \left( \frac{a}{2} \sin \theta \right) + F_{2} \left( \frac{a}{2} \sin \theta \right)$
$[\because \tau = (\text{બળનું મૂલ્ય}) \times (\text{સંદર્ભ બિંદુઓથી લંબ અંતર})]$
$\tau = (I b B) \left( \frac{a}{2} \sin \theta \right) + (I b B) \left( \frac{a}{2} \sin \theta \right)$
$\tau = I (a b) B \sin \theta$
$\tau = I A B \sin \theta$

(N/A) જ્યારે $A$ ક્ષેત્રફળ અને $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા લૂપને સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તે ટોર્ક $\tau$ અનુભવે છે. ટોર્ક માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\tau = \vec{m} \times \vec{B}$
જ્યાં:
- $\vec{m}$ એ લૂપની ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ છે,જે $\vec{m} = I\vec{A}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
- $\vec{B}$ એ બાહ્ય સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે.
- ટોર્કનું મૂલ્ય $\tau = mB \sin \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ (લૂપને લંબ) અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.

(N/A) એક સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ માં મૂકવામાં આવેલા પ્રવાહધારિત લૂપ પર લાગતું ટોર્ક $\vec{\tau}$ એ ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{m}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ના સદિશ ગુણાકાર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,$\vec{\tau} = \vec{m} \times \vec{B}$.
જો $\theta$ એ ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ સદિશ $\vec{m}$ (જે લૂપના સમતલને લંબ હોય છે) અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો હોય,તો ટોર્કનું મૂલ્ય $\tau = mB \sin \theta$ દ્વારા મળે છે.
જો $\theta$ ને લૂપના સમતલ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેના ખૂણા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે,તો ટોર્ક $\tau = mB \cos \theta$ દ્વારા મળે છે.

(D) વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E}$ માં રહેલા વિદ્યુત ડાયપોલ $\vec{p}$ પર લાગતું ટોર્ક $\vec{\tau}_e = \vec{p} \times \vec{E}$ છે,જેનું મૂલ્ય $\tau_e = pE \sin \theta$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ માં રહેલા ચુંબકીય ડાયપોલ $\vec{M}$ પર લાગતું ટોર્ક $\vec{\tau}_m = \vec{M} \times \vec{B}$ છે,જેનું મૂલ્ય $\tau_m = MB \sin \theta$ છે.
જો બંને ગતિ સમાન હોય,તો સમાન કોણીય સ્થાનાંતર $\theta$ માટે ટોર્ક સમાન હોવા જોઈએ,એટલે કે $\tau_e = \tau_m$.
તેથી,$pE \sin \theta = MB \sin \theta$,જેનું સાદું રૂપ $pE = MB$ થાય છે.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોમાં વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો સંબંધ $E = cB$ છે,જ્યાં $c$ એ પ્રકાશની ઝડપ છે.
$E = cB$ ને $pE = MB$ સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $p(cB) = MB$ મળે છે.
તેથી,સમાન ગતિ માટેની શરત $p = \frac{M}{c}$ છે અને ક્ષેત્રો વચ્ચેનો સંબંધ $E = cB$ હોવો જોઈએ.

(N/A) ધારો કે જાડા તારનો અવરોધ $R$ છે અને પાતળા તારનો અવરોધ $2R$ છે. બંને તાર વોલ્ટેજ સ્ત્રોત $V_{0}$ સાથે સમાંતર જોડાયેલા છે.
જાડા તારમાં પ્રવાહ $I_{1} = \frac{V_{0}}{R}$ અને પાતળા તારમાં પ્રવાહ $I_{2} = \frac{V_{0}}{2R}$ છે.
દરેક તાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = I(\vec{l} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તાર લૂપના સમતલમાં ચુંબકીય ક્ષેત્રના ઘટકને લંબ હોવાથી,બળનું મૂલ્ય $F = IlB \sin(90^{\circ}) = IlB$ થાય છે.
બંને તાર પર લાગતા બળો $F_{1} = I_{1}lB = \frac{V_{0}lB}{R}$ અને $F_{2} = I_{2}lB = \frac{V_{0}lB}{2R}$ છે.
ભ્રમણની અક્ષ $d$ લંબાઈના સળિયાઓના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે. આ અક્ષથી દરેક તારનું લંબ અંતર $r_{\perp} = \frac{d}{2} \cos(45^{\circ}) = \frac{d}{2\sqrt{2}}$ છે.
દરેક બળ દ્વારા લાગતું ટોર્ક $\tau = F \cdot r_{\perp}$ છે. બંને બળો અક્ષની આસપાસ સમાન દિશામાં ટોર્ક ઉત્પન્ન કરે છે.
$\tau_{net} = F_{1} \left( \frac{d}{2\sqrt{2}} \right) + F_{2} \left( \frac{d}{2\sqrt{2}} \right) = (F_{1} + F_{2}) \frac{d}{2\sqrt{2}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\tau_{net} = \left( \frac{V_{0}lB}{R} + \frac{V_{0}lB}{2R} \right) \frac{d}{2\sqrt{2}} = \left( \frac{3V_{0}lB}{2R} \right) \frac{d}{2\sqrt{2}} = \frac{3V_{0}ldB}{4\sqrt{2}R}$.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલી વિદ્યુતપ્રવાહધારિત કોઈલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = N I A B \sin(\theta)$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોઈલને ચુંબકીય ક્ષેત્રને સમાંતર રાખવામાં આવે છે,તેથી કોઈલના લંબ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 90^{\circ}$ થાય,તેથી $\sin(90^{\circ}) = 1$.
આપેલ છે: $N = 500$,$A = 3 \times 10^{-4} \ m^{2}$,$I = 0.5 \ A$,અને $\tau = 1.5 \ Nm$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $1.5 = 500 \times 0.5 \times (3 \times 10^{-4}) \times B$.
$1.5 = 250 \times 3 \times 10^{-4} \times B$.
$1.5 = 750 \times 10^{-4} \times B$.
$1.5 = 0.075 \times B$.
$B = \frac{1.5}{0.075} = \frac{1500}{75} = 20 \ T$.

(D) આપેલ છે: જડત્વની ચાકમાત્રા $I = 0.8 \, kg \cdot m^2$,ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = 20 \, A \cdot m^2$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 4 \, T$.
શરૂઆતમાં,કોઈલ શિરોલંબ સ્થિતિમાં છે,તેથી ચુંબકીય મોમેન્ટ સદિશ (કોઈલના સમતલને લંબ) અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર (શિરોલંબ) વચ્ચેનો ખૂણો $\theta_i = 90^{\circ}$ છે.
$60^{\circ}$ પરિભ્રમણ પછી,નવો ખૂણો $\theta_f = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ થાય છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $U_i + K_i = U_f + K_f$.
સ્થિતિ ઉર્જા $U = -\vec{M} \cdot \vec{B} = -MB \cos \theta$.
$K_i = 0$ (સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે).
$U_i = -MB \cos 90^{\circ} = 0$.
$U_f = -MB \cos 30^{\circ} = -20 \times 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = -40\sqrt{3} \, J$.
$K_f = \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} (0.8) \omega^2 = 0.4 \omega^2$.
ઉર્જાને સરખાવતા: $0 + 0 = -40\sqrt{3} + 0.4 \omega^2$.
$0.4 \omega^2 = 40\sqrt{3} \implies \omega^2 = 100\sqrt{3}$.
$\omega = 10(3)^{1/4} \, rad \cdot s^{-1}$.

(A) લાંબા તાર દ્વારા લૂપના કેન્દ્ર પર ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_{0} I}{2 \pi b}$ છે.
ચોરસ લૂપની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = I \times \text{Area} = I \times (2a)^2 = 4a^2 I$ છે.
લૂપ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = M \times B \times \sin(\theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય મોમેન્ટ સદિશ $y$-અક્ષ પર છે અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $x$-અક્ષ પર હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે.
તેથી,$\tau = (4a^2 I) \times (\frac{\mu_{0} I}{2 \pi b}) \times \sin(90^{\circ}) = \frac{2 \mu_{0} I^{2} a^{2}}{\pi b}$.

(A) લાંબા તાર દ્વારા $r$ અંતરે ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_{0} I}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લૂપની $z$-અક્ષને સમાંતર બે બાજુઓ માટે,તારથી અંતર $r = \sqrt{b^2 + a^2}$ છે.
આ દરેક બાજુ પર લાગતું બળ $F = B I (2a) = \frac{\mu_{0} I}{2 \pi \sqrt{b^2 + a^2}} \cdot I \cdot 2a = \frac{\mu_{0} I^2 a}{\pi \sqrt{b^2 + a^2}}$ છે.
$z$-અક્ષની આસપાસ ટોર્ક $\tau$ આ બળોના લંબ ઘટકો દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે. લિવર આર્મને લંબ બળનો ઘટક $F \cos \theta$ છે,જ્યાં $\cos \theta = \frac{b}{\sqrt{b^2 + a^2}}$ છે.
કુલ ટોર્ક $\tau = 2 \cdot (F \cos \theta) \cdot a = 2 \cdot \left( \frac{\mu_{0} I^2 a}{\pi \sqrt{b^2 + a^2}} \right) \cdot \left( \frac{b}{\sqrt{b^2 + a^2}} \right) \cdot a$ છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $\tau = \frac{2 \mu_{0} I^2 a^2 b}{\pi (a^2 + b^2)}$ મળે છે.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં પ્રવાહધારિત કોઈલ દ્વારા અનુભવાતું ટોર્ક $\tau = |\vec{m} \times \vec{B}| = N I A B \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
કોઈલ $y-z$ સમતલમાં છે,તેથી તેનો ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ એ $x$-અક્ષની દિશામાં છે. જોકે,પ્રશ્નમાં જણાવ્યા મુજબ કોઈલ $x$-અક્ષ સાથે $30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે. આનો અર્થ એ છે કે કોઈલના લંબ (ક્ષેત્રફળ સદિશ) અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર (જે $x$-અક્ષની દિશામાં છે) વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 30^{\circ}$ છે.
આપેલ કિંમતો: $N=100$,$I=1 \text{ A}$,$R=2 \text{ m}$,$B=\frac{1}{\pi} \text{ T}$.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi R^2 = \pi (2)^2 = 4\pi \text{ m}^2$.
ટોર્કના સૂત્રમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$\tau = N I A B \sin 30^{\circ}$
$\tau = 100 \times 1 \times (4\pi) \times \frac{1}{\pi} \times \sin 30^{\circ}$
$\tau = 100 \times 4 \times \frac{1}{2}$
$\tau = 200 \text{ N} \cdot \text{m}$.

(A) $a = 10 \, cm = 0.1 \, m$ બાજુ ધરાવતા સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (0.1)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 0.01 \, m^2$ છે.
કોઈલની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = I A = 0.2 \times \frac{\sqrt{3}}{4} \times 0.01 = 0.05 \times \sqrt{3} \times 0.01 = 5 \sqrt{3} \times 10^{-4} \, Am^2$ છે.
કોઈલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = M B \sin \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ કોઈલના લંબ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો છે. જ્યારે કોઈલનું સમતલ ચુંબકીય ક્ષેત્રને સમાંતર હોય,ત્યારે કોઈલનો લંબ ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ હોય છે,તેથી $\theta = 90^{\circ}$.
આમ,$\tau = M B \sin 90^{\circ} = M B = (5 \sqrt{3} \times 10^{-4}) \times (20 \times 10^{-3} \, T) = 100 \sqrt{3} \times 10^{-7} = \sqrt{3} \times 10^{-5} \, Nm$.
આને $\sqrt{x} \times 10^{-5} \, Nm$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\sqrt{x} = \sqrt{3}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = 3$.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલી વિદ્યુતપ્રવાહધારિત લૂપ પર લાગતું ટોર્ક $\tau$ નું સૂત્ર $\vec{\tau} = \vec{M} \times \vec{B}$ છે,જ્યાં $\vec{M}$ એ ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ છે.
ચુંબકીય મોમેન્ટનું મૂલ્ય $M = i A$ છે,જ્યાં $A = l^2$ એ ચોરસ લૂપનું ક્ષેત્રફળ છે. તેથી,$M = i l^2$.
ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ (જે લૂપના સમતલને લંબ છે) અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 90^\circ - \alpha$ છે,જ્યાં $\alpha$ એ લૂપના સમતલ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો છે.
ટોર્કનું મૂલ્ય $\tau = M B \sin \theta$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\tau = (i l^2) B \sin(90^\circ - \alpha)$ મળે છે.
કારણ કે $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha$ થાય છે,તેથી ટોર્ક $\tau = B i l^2 \cos \alpha$ થશે.

(B) $Y-Z$ સમતલમાં રહેલા લૂપનો ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$,જ્યારે ઋણ $X$-અક્ષથી જોતા પ્રવાહ વિષમઘડી દિશામાં હોય,ત્યારે તે ઋણ $X$-દિશામાં હોય છે: $\vec{A} = (0.2 \ m \times 0.1 \ m)(-\hat{i}) = 0.02(-\hat{i}) \ m^2$.
ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{M} = i\vec{A} = 5 \ A \times 0.02(-\hat{i}) \ m^2 = 0.1(-\hat{i}) \ A-m^2$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = 2 \times 10^{-3} \hat{j} \ T$ છે.
ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{M} \times \vec{B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\vec{\tau} = [0.1(-\hat{i})] \times [2 \times 10^{-3} \hat{j}] = 0.1 \times 2 \times 10^{-3} \times (-\hat{i} \times \hat{j}) = 2 \times 10^{-4} \times (-\hat{k}) \ N-m$.
આમ,ટોર્કનું મૂલ્ય $2 \times 10^{-4} \ N-m$ અને દિશા ઋણ $Z$-દિશામાં છે.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકીય ડાયપોલને ફેરવવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W$ એ સ્થિતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$W = U_f - U_i$
સ્થિતિ ઊર્જા $U = -\vec{M} \cdot \vec{B} = -MB \cos \theta$
પ્રારંભિક સ્થિતિ: $\vec{M}$ એ $\vec{B}$ ની દિશામાં છે,તેથી $\theta_i = 0^{\circ}$.
$U_i = -MB \cos 0^{\circ} = -MB$
અંતિમ સ્થિતિ: $\vec{M}$ એ $\vec{B}$ ને લંબ છે,તેથી $\theta_f = 90^{\circ}$.
$U_f = -MB \cos 90^{\circ} = 0$
કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = 0 - (-MB) = MB$
આપેલ છે: $N = 200$,$I = 100 \mu\text{A} = 100 \times 10^{-6} \text{ A}$,$A = 2.5 \times 10^{-4} \text{ m}^2$,$B = 1 \text{ T}$.
ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = NIA = 200 \times (100 \times 10^{-6}) \times (2.5 \times 10^{-4}) = 5 \times 10^{-6} \text{ A m}^2$.
કાર્ય $W = MB = (5 \times 10^{-6}) \times 1 = 5 \times 10^{-6} \text{ J} = 5 \mu\text{J}$.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકીય ડાયપોલને ફેરવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W = U_f - U_i = -\vec{\mu} \cdot \vec{B}_f - (-\vec{\mu} \cdot \vec{B}_i)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં, કોઈલનું સમતલ ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ છે, તેથી ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ એ $\vec{B}$ ને સમાંતર છે. આમ, ખૂણો $\theta_i = 0^{\circ}$ છે.
$90^{\circ}$ ફેરવ્યા પછી, કોઈલનું સમતલ ચુંબકીય ક્ષેત્રને સમાંતર બને છે, તેથી ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ એ $\vec{B}$ ને લંબ છે. આમ, $\theta_f = 90^{\circ}$ છે.
ચુંબકીય મોમેન્ટ $\mu = N I A = 100 \times 1 \times 10^{-3} \times 5 \times 10^{-3} = 5 \times 10^{-4} \, A \cdot m^2$.
કરવું પડતું કાર્ય $W = -\mu B \cos(90^{\circ}) - (-\mu B \cos(0^{\circ})) = 0 + \mu B = \mu B$.
$W = (5 \times 10^{-4}) \times 0.20 = 1 \times 10^{-4} \, J$.
કારણ કે $1 \, J = 10^6 \, \mu J$, તેથી $W = 10^{-4} \times 10^6 \, \mu J = 100 \, \mu J$.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં પ્રવાહધારિત ગૂંચળા પર લાગતું ટોર્ક $\tau$ એ $\vec{\tau} = \vec{M} \times \vec{B}_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{M}$ એ ગૂંચળાની ચુંબકીય મોમેન્ટ છે.
ટોર્કનું મૂલ્ય $\tau = M B_0 \sin(\theta)$ છે. ગૂંચળાનું સમતલ શિરોલંબ છે અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_0$ સમક્ષિતિજ અને ગૂંચળાના સમતલને સમાંતર હોવાથી,ક્ષેત્રફળ સદિશ (સમતલને લંબ) અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 90^\circ$ છે. તેથી,$\sin(90^\circ) = 1$.
ગૂંચળાની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = N i A = N i (\pi R^2)$ છે.
તેથી,ટોર્ક $\tau = N i \pi R^2 B_0$ થાય.
કોણીય આઘાત-વેગમાન પ્રમેય મુજબ,કોણીય વેગમાન $L$ માં થતો ફેરફાર $\Delta L = \int \tau dt$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ટોર્ક માટેનું સૂત્ર મૂકતા: $\Delta L = \int (N i \pi R^2 B_0) dt = N \pi R^2 B_0 \int i dt$.
ગૂંચળામાંથી ડિસ્ચાર્જ થયેલ કુલ વિદ્યુતભાર $Q = \int i dt$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$L = N \pi R^2 B_0 Q$.

(A) ધારો કે લૂપ શિરોલંબ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે.
સંતુલન સ્થિતિમાં,$PQ$ અક્ષની આસપાસ કુલ ટોર્ક શૂન્ય છે.
ચુંબકીય ટોર્ક $\tau_m = M B_0 \sin(90^\circ - \theta) = M B_0 \cos \theta$ છે,જ્યાં $M = I A = I (\pi r^2)$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે.
તેથી,$\tau_m = I \pi r^2 B_0 \cos \theta$.
ગુરુત્વાકર્ષણ ટોર્ક $\tau_g = mg \cdot r \sin \theta$ છે,જ્યાં $r \sin \theta$ એ $PQ$ અક્ષથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું આડું અંતર છે.
સંતુલન માટે,$\tau_m = \tau_g$.
$I \pi r^2 B_0 \cos \theta = mg r \sin \theta$.
બંને બાજુને $mg r \cos \theta$ વડે ભાગતા,આપણને $\tan \theta = \frac{\pi r I B_0}{mg}$ મળે છે.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં પ્રવાહ લૂપ પર લાગતું ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{m} \times \vec{B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{m}$ એ ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ છે. સંતુલન ત્યારે થાય છે જ્યારે $\vec{\tau} = 0$ હોય,જેનો અર્થ છે કે $\vec{m}$ એ $\vec{B}$ ને સમાંતર અથવા પ્રતિ-સમાંતર છે.
સ્થિર સંતુલન ત્યારે થાય છે જ્યારે સ્થિતિ ઉર્જા $U = -\vec{m} \cdot \vec{B}$ ન્યૂનતમ હોય,જે ત્યારે થાય છે જ્યારે $\vec{m}$ એ $\vec{B}$ ને સમાંતર હોય (એટલે કે ખૂણો $\theta = 0^{\circ}$).
કિસ્સા $(e)$ માં,પ્રવાહ એવી રીતે વહે છે કે ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ (અને તેથી $\vec{m}$) ધન $z-$દિશામાં,$\vec{B}$ ને સમાંતર નિર્દેશ કરે છે. આ સ્થિર સંતુલનની સ્થિતિ છે.
કિસ્સા $(f)$ માં,પ્રવાહ એવી રીતે વહે છે કે $\vec{m}$ ઋણ $z-$દિશામાં,$\vec{B}$ ને પ્રતિ-સમાંતર નિર્દેશ કરે છે. આ અસ્થિર સંતુલનની સ્થિતિ છે.
તેથી,માત્ર કિસ્સો $(e)$ સ્થિર સંતુલનને અનુરૂપ છે.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલી વિદ્યુતપ્રવાહધારિત કોઈલ પર લાગતું ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{M} \times \vec{B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{M} = N I A \hat{n}$ છે,જ્યાં $A = \pi R^2$ છે.
કોઈલ $z-x$ સમતલમાં હોવાથી,તેનો ક્ષેત્રફળ સદિશ $\hat{n}$ એ $y$-અક્ષની દિશામાં છે,તેથી $\vec{M} = N I (\pi R^2) \hat{j}$ થાય.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = B \hat{k}$ છે.
તેથી,$\vec{\tau} = (N I \pi R^2 \hat{j}) \times (B \hat{k})$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટના નિયમો મુજબ $\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$ હોવાથી,આપણને $\vec{\tau} = N I \pi R^2 B \hat{i}$ મળે છે.
આમ,ટોર્કનું મૂલ્ય $N I \pi R^2 B$ છે.

(A) ધારો કે તારની લંબાઈ $L$ છે. ચોરસ લૂપ માટે, પરિમિતિ $4a = L$ છે, તેથી બાજુની લંબાઈ $a = L/4$ થાય. ક્ષેત્રફળ $A_s = a^2 = (L/4)^2 = L^2/16$ થાય.
વર્તુળાકાર લૂપ માટે, પરિઘ $2\pi r = L$ છે, તેથી ત્રિજ્યા $r = L/(2\pi)$ થાય. ક્ષેત્રફળ $A_c = \pi r^2 = \pi (L/(2\pi))^2 = L^2/(4\pi)$ થાય.
અહીં $\pi \approx 3.14$ હોવાથી, $4\pi \approx 12.56$ થાય, જે $16$ કરતા નાનું છે. તેથી, $A_c > A_s$ થાય.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત લૂપ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = NIAB \sin \theta$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે. અહીં $N$, $I$, $B$ અને $\theta$ બંને લૂપ માટે સમાન હોવાથી, ટોર્ક એ ક્ષેત્રફળ $A$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
આમ, $A_c > A_s$ હોવાથી, વર્તુળાકાર લૂપ પર લાગતું ટોર્ક વધારે હશે.

(A) તારની લંબાઈ $L$ એ વર્તુળાકાર ગૂંચળાનો પરિઘ બનાવે છે,તેથી $L = 2 \pi r$,જ્યાં $r$ એ ગૂંચળાની ત્રિજ્યા છે.
આમ,$r = \frac{L}{2 \pi}$.
ગૂંચળાનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi \left( \frac{L}{2 \pi} \right)^2 = \frac{L^2}{4 \pi}$ છે.
ગૂંચળાની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = I A = I \left( \frac{L^2}{4 \pi} \right)$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં રહેલા વિદ્યુતપ્રવાહધારિત ગૂંચળા પર લાગતું મહત્તમ ટોર્ક $\tau = M B \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. મહત્તમ ટોર્ક માટે,$\sin \theta = 1$.
તેથી,$\tau_{max} = M B = \left( \frac{I L^2}{4 \pi} \right) B = \frac{L^2 IB}{4 \pi}$.

(D) ધારો કે દરેક તારની લંબાઈ $L$ છે।
ચોરસ લૂપ માટે, પરિમિતિ $4a = L$, તેથી $a = L/4$. ક્ષેત્રફળ $A_s = a^2 = (L/4)^2 = L^2/16$.
વર્તુળાકાર લૂપ માટે, પરિઘ $2\pi r = L$, તેથી $r = L/(2\pi)$. ક્ષેત્રફળ $A_c = \pi r^2 = \pi (L/(2\pi))^2 = L^2/(4\pi)$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં પ્રવાહધારિત લૂપ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = NIAB \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
અહીં $N$, $I$, $B$ અને $\theta$ સમાન હોવાથી, ટોર્ક એ ક્ષેત્રફળ $A$ ના સમપ્રમાણમાં છે।
$A_c > A_s$ હોવાથી, વર્તુળાકાર લૂપ પર લાગતું ટોર્ક ચોરસ લૂપ કરતા વધારે હશે।

(A) તારની લંબાઈ $L$ છે. જ્યારે તેને એક આંટાવાળા ચોરસ ગૂંચળામાં ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે ચોરસની પરિમિતિ $L$ થાય છે.
ધારો કે ચોરસની બાજુ $a$ છે. તેથી $4a = L$,જેનો અર્થ છે કે $a = \frac{L}{4}$.
ચોરસ ગૂંચળાનું ક્ષેત્રફળ $A = a^2 = (\frac{L}{4})^2 = \frac{L^2}{16}$ થાય.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત ગૂંચળા પર લાગતું ટોર્ક $\tau = NIAB \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ ટોર્ક માટે,$\sin \theta = 1$.
અહીં $N = 1$ આપેલ છે,તેથી મહત્તમ ટોર્ક $\tau_{max} = IAB = I \times (\frac{L^2}{16}) \times B = \frac{IBL^2}{16}$ થાય.

(C) લાંબા સોલેનોઈડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n I_s$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $n = \frac{N_s}{L}$.
આપેલ છે: $N_s = 500$, $L = 0.4 \ m$, $I_s = 3 \ A$.
$B = (4\pi \times 10^{-7}) \times (500 / 0.4) \times 3 = 4\pi \times 10^{-7} \times 1250 \times 3 = 15000\pi \times 10^{-7} = 1.5\pi \times 10^{-3} \ T$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગૂંચળા પર લાગતું ટોર્ક $\tau = N_c I_c A B \sin \theta$ છે.
આપેલ છે: $N_c = 10$, $I_c = 0.4 \ A$, $r = 0.1 \ m$, $\theta = 90^{\circ}$.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi (0.1)^2 = 0.01\pi \ m^2$.
$\tau = 10 \times 0.4 \times (0.01\pi) \times (1.5\pi \times 10^{-3}) \times \sin 90^{\circ}$.
$\tau = 4 \times 0.01 \times 1.5 \times \pi^2 \times 10^{-3} \times 1$.
$\pi^2 = 10$ લેતા:
$\tau = 0.06 \times 10 \times 10^{-3} = 0.6 \times 10^{-3} = 6 \times 10^{-4} \ Nm$.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત લૂપ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = N i A B \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N$ એ આંટાની સંખ્યા છે,$i$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે,$A$ એ ક્ષેત્રફળ છે,$B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે અને $\theta$ એ લૂપના સદિશ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$L$ લંબાઈના તારમાંથી $N$ આંટા અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળાકાર ગૂંચળું બનાવતા,પરિઘ $L = N(2 \pi r)$ થાય,તેથી $r = \frac{L}{2 \pi N}$.
ગૂંચળાનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi \left( \frac{L}{2 \pi N} \right)^2 = \frac{L^2}{4 \pi N^2}$ થાય.
ટોર્કના સમીકરણમાં $A$ ની કિંમત મૂકતા: $\tau = N i \left( \frac{L^2}{4 \pi N^2} \right) B \sin \theta = \frac{i L^2 B \sin \theta}{4 \pi N}$.
ટોર્કને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $\sin \theta = 1$ લઈએ છીએ અને આંટાની ન્યૂનતમ સંખ્યા $N = 1$ પસંદ કરીએ છીએ.
તેથી,મહત્તમ ટોર્ક $\tau_{\max} = \frac{i L^2 B}{4 \pi}$ થશે.

(C) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત લૂપ પર લાગતું ટોર્ક $\tau$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\tau = N i A B \sin \theta$.
અહીં,$N$ એ આંટાઓની સંખ્યા છે,$i$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે,$A$ એ લૂપનું ક્ષેત્રફળ છે,$B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા છે,અને $\theta$ એ લૂપના સમતલના લંબ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો છે.
સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે ટોર્ક $N, i, A, B,$ અને $\theta$ પર આધાર રાખે છે.
તે લૂપના આકાર પર આધાર રાખતું નથી,જ્યાં સુધી ક્ષેત્રફળ $A$ અચળ રહે છે.

(A) તારની લંબાઈ $L$ છે. જ્યારે તેને $n$ આંટાવાળી વર્તુળાકાર કોઈલમાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે એક આંટાનો પરિઘ $2\pi r = L/n$ થાય,જ્યાં $r$ એ કોઈલની ત્રિજ્યા છે.
તેથી,ત્રિજ્યા $r = \frac{L}{2\pi n}$ મળે.
એક આંટાનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi \left(\frac{L}{2\pi n}\right)^2 = \frac{\pi L^2}{4\pi^2 n^2} = \frac{L^2}{4\pi n^2}$ થાય.
$n$ આંટાવાળી કોઈલની કુલ ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = nIA = nI \left(\frac{L^2}{4\pi n^2}\right) = \frac{IL^2}{4\pi n}$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં કોઈલ પર લાગતું મહત્તમ ટોર્ક $\tau_{max} = MB$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$M$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\tau_{max} = \left(\frac{IL^2}{4\pi n}\right)B = \frac{BIL^2}{4\pi n}$ મળે છે.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકીય ડાયપોલની સ્થિતિ ઊર્જા $U = -\vec{m} \cdot \vec{B} = -mB \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં, કોઈલની ધરી ક્ષેત્રની દિશામાં છે, તેથી $\theta_i = 0^{\circ}$.
$U_i = -mB \cos 0^{\circ} = -mB$.
$90^{\circ}$ ના ખૂણે ફર્યા પછી, અંતિમ ખૂણો $\theta_f = 90^{\circ}$ છે.
$U_f = -mB \cos 90^{\circ} = 0$.
સ્થિતિ ઊર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = U_f - U_i = 0 - (-mB) = mB$ છે.
આ સ્થિતિ ઊર્જામાં થયેલો ફેરફાર પરિભ્રમણ ગતિ ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે: $\Delta U = K_f - K_i$.
કોઈલ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે, તેથી $K_i = 0$, તેથી $mB = \frac{1}{2} I \omega^2$.
$\omega$ માટે સૂત્ર: $\omega = \sqrt{\frac{2mB}{I}}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $m = 10 \text{ A m}^2$, $B = 2 \text{ T}$, $I = 0.1 \text{ kg m}^2$.
$\omega = \sqrt{\frac{2 \times 10 \times 2}{0.1}} = \sqrt{\frac{40}{0.1}} = \sqrt{400} = 20 \text{ rad/s}$.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = 0.3 \hat{k} \text{ T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$xy$-સમતલમાં મૂકવામાં આવેલ લૂપનો ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ સમતલને લંબ હોય છે,તેથી $\vec{A} = (10 \times 10^{-2} \text{ m} \times 5 \times 10^{-2} \text{ m}) \hat{k} = 50 \times 10^{-4} \hat{k} \text{ m}^2 = 5 \times 10^{-3} \hat{k} \text{ m}^2$.
ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{m} = I \vec{A} = 12 \times 5 \times 10^{-3} \hat{k} = 60 \times 10^{-3} \hat{k} = 0.06 \hat{k} \text{ A m}^2$ છે.
લૂપ પર લાગતું ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{m} \times \vec{B}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\vec{\tau} = (0.06 \hat{k}) \times (0.3 \hat{k})$.
સદિશનો પોતાની સાથેનો ક્રોસ પ્રોડક્ટ શૂન્ય હોવાથી $(\hat{k} \times \hat{k} = 0)$,ટોર્ક $\vec{\tau} = 0$ થાય છે.

(B) કોઈલની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = N I A$ છે।
આપેલ છે: $N = 10$, $I = \frac{21}{44} \,A$, $A = 1 \,mm^{2} = 10^{-6} \,m^{2}$.
$M = 10 \times \frac{21}{44} \times 10^{-6} \,A-m^{2}$.
સોલેનોઈડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_{0} n I_{s}$ છે।
આપેલ છે: $n = 10^{3} \,turns/m$, $I_{s} = 2.5 \,A$, $\mu_{0} = 4\pi \times 10^{-7} \,T-m/A$.
$B = (4 \times \frac{22}{7} \times 10^{-7}) \times 10^{3} \times 2.5 \,T$.
કોઈલની અક્ષને ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ રાખવા માટે જરૂરી ટોર્ક $\tau = M B \sin(90^{\circ}) = M B$ છે।
$\tau = (10 \times \frac{21}{44} \times 10^{-6}) \times (4 \times \frac{22}{7} \times 10^{-7} \times 10^{3} \times 2.5)$.
$\tau = (10 \times \frac{21}{44} \times 10^{-6}) \times (4 \times \frac{22}{7} \times 2.5 \times 10^{-4})$.
$\tau = (10 \times \frac{21}{44} \times 10^{-6}) \times (22 \times 10^{-4}) = 1.5 \times 10^{-8} \,N-m$.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા ચુંબકીય ડાયપોલની સ્થિતિ ઊર્જા $U$ એ $U = -\vec{M} \cdot \vec{B} = -MB \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ સદિશ $\vec{M}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
જ્યારે લૂપને તેના સમતલને લંબ અક્ષની આસપાસ ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે ચુંબકીય મોમેન્ટ સદિશ $\vec{M}$ (જે હંમેશા લૂપના સમતલને લંબ હોય છે) ની દિશા ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ની સાપેક્ષમાં બદલાતી નથી.
ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{M}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ બદલાતો ન હોવાથી,લૂપની સ્થિતિ ઊર્જા અચળ રહે છે.
તેથી,કરવામાં આવતું કાર્ય $W = \Delta U = 0$ થાય છે.

(A) $1$. લૂપનો પરિઘ $L = 2 \pi r$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = \frac{L}{2 \pi}$ થાય.
$2$. લૂપ $\omega$ કોણીય વેગથી ફરે છે,જે સમતુલ્ય પ્રવાહ $I = \frac{q}{T} = \frac{q \omega}{2 \pi}$ ઉત્પન્ન કરે છે.
$3$. લૂપની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = I A = I (\pi r^2) = \left( \frac{q \omega}{2 \pi} \right) \pi \left( \frac{L}{2 \pi} \right)^2 = \frac{q \omega L^2}{8 \pi^2}$ થાય.
$4$. ચુંબકીય ટોર્ક $\tau = |\vec{M} \times \vec{B}| = M B \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ લૂપના સમતલને સમાંતર હોવાથી,ચુંબકીય મોમેન્ટ સદિશ (સમતલને લંબ) અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 90^\circ$ છે.
$5$. તેથી,$\tau = M B \sin 90^\circ = M B = \frac{q \omega L^2 B}{8 \pi^2}$.

(B) તારની લંબાઈ $L = 10 \ m$ છે. જ્યારે તેને $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર લૂપમાં વાળવામાં આવે,ત્યારે પરિઘ $2 \pi r = L = 10 \ m$ થાય.
તેથી,$r = \frac{10}{2 \pi} \ m$.
લૂપનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi \left( \frac{10}{2 \pi} \right)^2 = \pi \left( \frac{100}{4 \pi^2} \right) = \frac{25}{\pi} \ m^2$ છે.
લૂપની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = I \times A = 1 \times \frac{25}{\pi} = \frac{25}{\pi} \ A \ m^2$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં લૂપ પર લાગતું મહત્તમ ટોર્ક $\tau_{max} = M \times B$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\tau_{max} = \left( \frac{25}{\pi} \right) \times (2 \pi \times 10^{-4}) = 50 \times 10^{-4} \ N \ m$ મળે છે.