Torque , Potential Energy and Work Done in Mangetic Field Questions in Gujarati

(A) પ્રવાહધારિત કોઈલની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = N I A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N$ આંટાની સંખ્યા છે,$I$ વિદ્યુતપ્રવાહ છે અને $A$ કોઈલનું ક્ષેત્રફળ છે.
આપેલ છે: $N = 50$,$I = 2\, A$,$r = 4\, cm = 0.04\, m$,$B = 0.1\, Wb/m^2$.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = 3.14 \times (0.04)^2 = 3.14 \times 16 \times 10^{-4} = 50.24 \times 10^{-4}\, m^2$.
$M = 50 \times 2 \times 50.24 \times 10^{-4} = 0.5024\, A\cdot m^2$.
ચુંબકીય ડાયપોલને ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં $\theta_1 = 0^\circ$ થી $\theta_2 = 180^\circ$ ના ખૂણે ફેરવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W = MB(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$ છે.
$W = MB(\cos 0^\circ - \cos 180^\circ) = MB(1 - (-1)) = 2MB$.
$W = 2 \times 0.5024 \times 0.1 = 0.10048\, J \approx 0.1\, J$.

(A) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત લૂપ પર લાગતું ટોર્ક $\tau$ એ સૂત્ર $\vec{\tau} = \vec{m} \times \vec{B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{m} = NIA\hat{n}$ એ ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ છે.
મૂલ્યની દ્રષ્ટિએ,$\tau = NIAB \sin \theta$,જ્યાં $N$ એ આંટાની સંખ્યા છે,$I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે,$A$ એ લૂપનું ક્ષેત્રફળ છે,$B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા છે અને $\theta$ એ ક્ષેત્રફળ સદિશ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો છે.
ટોર્ક એ $IA$ (ચુંબકીય મોમેન્ટ) ના ગુણાકાર પર આધારિત હોવાથી,તે લૂપના ક્ષેત્રફળ,વિદ્યુતપ્રવાહ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર પર આધાર રાખે છે.
જોકે,જો ક્ષેત્રફળ $A$ સમાન રહેતું હોય,તો ટોર્ક લૂપના ચોક્કસ આકાર પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) કોઈલની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = NIA$ છે.
શરૂઆતમાં,કોઈલનું સમતલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B}$ ને લંબ છે,જેનો અર્થ છે કે ક્ષેત્રફળ સદિશ $\overrightarrow{A}$ એ $\overrightarrow{B}$ ને સમાંતર છે. તેથી,પ્રારંભિક ખૂણો $\theta_1 = 0^\circ$ છે.
જ્યારે કોઈલને શિરોલંબ અક્ષની આસપાસ $180^\circ$ ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે ક્ષેત્રફળ સદિશ $\overrightarrow{A}$ એ $\overrightarrow{B}$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં (anti-parallel) થઈ જાય છે,તેથી અંતિમ ખૂણો $\theta_2 = 180^\circ$ થાય છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકીય ડાયપોલને ફેરવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W = MB(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $W = (NIA)B(\cos 0^\circ - \cos 180^\circ)$.
કારણ કે $\cos 0^\circ = 1$ અને $\cos 180^\circ = -1$,તેથી $W = (NIA)B(1 - (-1)) = (NIA)B(2) = 2NAIB$.

(A) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત લૂપ પર લાગતું ટોર્ક $\vec{\tau}$ એ ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{M}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ના સદિશ ગુણાકાર (cross product) દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\vec{\tau} = \vec{M} \times \vec{B}$
$n$ આંટા,$i$ વિદ્યુતપ્રવાહ અને $\vec{A}$ ક્ષેત્રફળ સદિશ ધરાવતી કોઈલ માટે ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{M} = ni\vec{A}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આ કિંમતને ટોર્કના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\vec{\tau} = (ni\vec{A}) \times \vec{B} = ni(\vec{A} \times \vec{B})$.

(D) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત લૂપ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = |\vec{m} \times \vec{B}| = mB \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m = iA$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે.
દરેક લૂપ માટે વિદ્યુતપ્રવાહ $i$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ સમાન હોવાથી,ટોર્ક એ લૂપના ક્ષેત્રફળ $A$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(\tau \propto A)$.
નિશ્ચિત પરિમિતિ (તારની લંબાઈ) માટે,ભૌમિતિક આકાર દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ વર્તુળ માટે મહત્તમ હોય છે.
આપેલા આકારો (લંબચોરસ અને વર્તુળ) માંથી,$2.0 \, m$ ની સમાન પરિમિતિ માટે વર્તુળાકાર લૂપ $S$ નું ક્ષેત્રફળ મહત્તમ છે.
તેથી,ચુંબકીય મોમેન્ટ $m = iA$ અને પરિણામી ટોર્ક $\tau$ લૂપ $S$ માટે મહત્તમ હશે.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત ગૂંચળા પર લાગતું ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{m} \times \vec{B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{m}$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે અને $\vec{B}$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે.
ટોર્કનું મૂલ્ય $\tau = mB \sin(\theta)$ છે,જ્યાં $\theta$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ સદિશ $\vec{m}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
ચુંબકીય મોમેન્ટ સદિશ $\vec{m}$ હંમેશા ગૂંચળાના સમતલને લંબ હોય છે.
જો ચુંબકીય ક્ષેત્ર ગૂંચળાના સમતલને લંબ હોય,તો $\vec{m}$ અને $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો $0^o$ અથવા $180^o$ થાય છે.
આ કિસ્સામાં,$\tau = mB \sin(0^o) = 0$ અથવા $\tau = mB \sin(180^o) = 0$ થાય છે.
તેથી,જ્યારે ચુંબકીય ક્ષેત્ર ગૂંચળાના સમતલને લંબ હોય ત્યારે ગૂંચળું પરિભ્રમણ કરશે નહીં.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા પ્રવાહધારિત લૂપ પર લાગતું ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{M} \times \vec{B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{M}$ એ ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ છે અને $\vec{B}$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે.
લૂપ સંતુલનમાં રહે તે માટે,કુલ ટોર્ક શૂન્ય હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $\vec{\tau} = 0$.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે $\vec{M}$ અને $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો $0^\circ$ અથવા $180^\circ$ હોય.
કારણ કે $\vec{M}$ હંમેશા લૂપના સમતલને લંબ હોય છે,તેથી $\vec{M}$ ને $\vec{B}$ ને સમાંતર બનાવવા માટે,લૂપનું સમતલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ને લંબ હોવું જોઈએ.
તેથી,લૂપનું સમતલ ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા સાથે $90^\circ$ ના ખૂણે નમેલું હોય છે.

(C) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકાયેલી વિદ્યુતપ્રવાહધારિત કોઈલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau$ એ $\tau = \vec{m} \times \vec{B}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{m}$ એ કોઈલની ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ છે.
ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટનું મૂલ્ય $m = niA$ છે,જ્યાં $n$ એ આંટાની સંખ્યા છે,$i$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે અને $A$ એ કોઈલનું ક્ષેત્રફળ છે.
ટોર્કનું મૂલ્ય $\tau = mB \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ અને કોઈલના સમતલના લંબ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$m$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\tau = ni AB \sin \theta$ મળે છે.
તેથી,સાચું સૂત્ર $ni AB \sin \theta$ છે.

(D) જ્યારે વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત લૂપને સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે લૂપ પર લાગતું કુલ બળ $\vec{F} = I \oint d\vec{l} \times \vec{B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોઈપણ બંધ લૂપ માટે $\oint d\vec{l} = 0$ હોવાથી,લૂપ પર લાગતું કુલ બળ શૂન્ય હોય છે.
જો કે,લૂપ ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{m} \times \vec{B}$ અનુભવી શકે છે,જે લૂપને ફેરવવાનો પ્રયત્ન કરે છે.
તે આકર્ષણ કે અપાકર્ષણનું ચોખ્ખું બળ અનુભવતું નથી,અને તે તેના ગુરુત્વાકર્ષણ કેન્દ્રની આસપાસ દોલન કરે તે જરૂરી નથી.
તેથી,આપેલા વિકલ્પોમાંથી કોઈ પણ ભૌતિક અસરનું યોગ્ય વર્ણન કરતું નથી.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલી વિદ્યુતપ્રવાહિત કોઈલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = NBiA \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$N = 100$,$B = 0.2\, Wb/m^2$,$i = 2\, A$,અને ક્ષેત્રફળ $A = 8\, cm \times 10\, cm = 0.08\, m \times 0.1\, m = 0.008\, m^2$ છે.
કોઈલનું સમતલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓને સમાંતર હોવાથી,$\theta = 90^\circ$ થાય,તેથી $\sin 90^\circ = 1$.
કિંમતો મૂકતા: $\tau = 100 \times 0.2 \times 2 \times 0.008 = 0.32\, Nm$.
બાજુ $AD$ પર ફ્લેમિંગના ડાબા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,પ્રવાહ નીચેની તરફ વહે છે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર $N$ થી $S$ (ડાબેથી જમણે) તરફ છે. બાજુ $AD$ પર લાગતું બળ $F = i(L \times B)$ પેજની અંદરની તરફ લાગે છે. આમ,ટોર્ક બાજુ $AD$ ને પેજની અંદરની તરફ ફેરવવાનો પ્રયત્ન કરે છે.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલી વિદ્યુતપ્રવાહધારિત કોઈલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = N I A B \sin(\theta)$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ કોઈલના સદિશ ક્ષેત્રફળ (નોર્મલ) અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ છે: $N = 100$,$I = 1\,A$,$B = 0.5\,T$,અને ક્ષેત્રફળ $A = 20\,cm \times 20\,cm = 0.2\,m \times 0.2\,m = 0.04\,m^2$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર કોઈલના સમતલને સમાંતર હોવાથી,કોઈલના નોર્મલ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 90^\circ$ થશે.
તેથી,$\tau = N I A B \sin(90^\circ) = 100 \times 1 \times 0.04 \times 0.5 \times 1$.
$\tau = 100 \times 0.02 = 2\,N-m$.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત લૂપ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = NIAB \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\theta$ એ લૂપના સદિશ ક્ષેત્રફળ (લંબ) અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
અહીં લૂપનું સમતલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ને સમાંતર હોવાથી, લૂપના લંબ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 90^\circ$ થશે.
$l$ બાજુ ધરાવતા સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{\sqrt{3}}{4} l^2$ થાય.
આ કિંમતો ટોર્કના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\tau = 1 \times I \times \left( \frac{\sqrt{3}}{4} l^2 \right) \times B \times \sin(90^\circ)$
$\tau = \frac{\sqrt{3}}{4} I B l^2$
તેથી, સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(A) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવેલી વિદ્યુત પ્રવાહ ધરાવતી કોઈલ પર ચુંબકીય ટોર્ક લાગે છે,જે $\vec{\tau} = \vec{M} \times \vec{B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{M}$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે અને $\vec{B}$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે.
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,$E.M.F.$ ત્યારે જ પ્રેરિત થાય છે જ્યારે કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ફેરફાર થાય $(\varepsilon = -d\phi/dt)$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમાન હોવાથી અને કોઈલ ક્ષેત્રની સાપેક્ષમાં ગતિ કરતી નથી કે તેનું ઓરિએન્ટેશન બદલાતું નથી,તેથી ચુંબકીય ફ્લક્સમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી. પરિણામે,કોઈ $E.M.F.$ પ્રેરિત થતું નથી.
આમ,માત્ર ટોર્ક ઉત્પન્ન થાય છે. સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આપેલ છે:
ક્ષેત્રફળ $A = 0.01\,m^2$,વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 10\,A$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 0.1\,T$.
લૂપને ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ રાખવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 0^{\circ}$ છે.
સૂત્ર:
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત લૂપ પર લાગતું ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{M} \times \vec{B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{M}$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે.
ટોર્કનું મૂલ્ય $\tau = M B \sin \theta$ છે,જ્યાં $M = I A$.
ગણતરી:
$M = I \times A = 10\,A \times 0.01\,m^2 = 0.1\,A\cdot m^2$.
લૂપ ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ હોવાથી,લૂપના લંબ (ક્ષેત્રફળ સદિશ) અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 0^{\circ}$ છે.
$\tau = M B \sin(0^{\circ}) = 0.1 \times 0.1 \times 0 = 0\,N\cdot m$.

(C) જ્યારે $m$ ચુંબકીય મોમેન્ટ ધરાવતા ચુંબકીય ડાયપોલને બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તેના પર લાગતું ટોર્ક $\tau$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના સદિશ ગુણાકાર (cross product) દ્વારા મળે છે.
ગાણિતિક રીતે,ટોર્ક $\tau = m \times B$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
તેની સરખામણીમાં,ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકીય ડાયપોલની સ્થિતિ ઊર્જા $U$ એ અદિશ ગુણાકાર (dot product) દ્વારા મળે છે: $U = -m \cdot B$.

(C) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં રહેલી વિદ્યુતપ્રવાહધારિત કોઈલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = \vec{M} \times \vec{B}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{M}$ એ કોઈલની ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ છે.
ટોર્કનું મૂલ્ય $\tau = MB \sin \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ સદિશ $\vec{M}$ (જે કોઈલના સમતલને લંબ હોય છે) અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
અહીં કોઈલનું સમતલ ચુંબકીય ક્ષેત્રને સમાંતર હોવાથી,કોઈલના સમતલનો લંબ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સાથે $90^\circ$ નો ખૂણો બનાવે છે. તેથી,$\theta = 90^\circ$.
વર્તુળાકાર કોઈલની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = iA = i(\pi r^2)$ છે.
આ કિંમતોને ટોર્કના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\tau = (i \pi r^2) B \sin 90^\circ = \pi r^2 i B$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(c)$ છે.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલી વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત કોઈલ પર લાગતું મહત્તમ ટોર્ક $\tau_{\max}$ નું સૂત્ર: $\tau_{\max} = N I A B$ છે,જ્યાં $N$ એ આંટાની સંખ્યા છે,$I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે,$A$ એ કોઈલનું ક્ષેત્રફળ છે અને $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા છે.
$L$ લંબાઈના તારમાંથી $N$ આંટાવાળી વર્તુળાકાર કોઈલ બનાવતા,એક આંટાનો પરિઘ $2\pi r = L/N$ થાય,તેથી ત્રિજ્યા $r = L/(2\pi N)$ મળે.
કોઈલનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi (L / (2\pi N))^2 = L^2 / (4\pi N^2)$ થાય.
આ કિંમત ટોર્કના સૂત્રમાં મૂકતા: $\tau_{\max} = N I B (L^2 / (4\pi N^2)) = (I B L^2) / (4\pi N)$.
આમ,$\tau_{\max} \propto 1/N$. તેથી,મહત્તમ ટોર્ક એ $N$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત ગૂંચળા પર લાગતું ટોર્ક $\tau = NiAB \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. મહત્તમ ટોર્ક માટે,$\sin \theta = 1$,તેથી $\tau_{\max} = NiAB$.
આપેલ છે કે $L$ લંબાઈના તારમાંથી એક વર્તુળાકાર ગૂંચળું $(N=1)$ બનાવવામાં આવે છે,તેથી પરિઘ $2\pi r = L$ થાય,જે ત્રિજ્યા $r = \frac{L}{2\pi}$ આપે છે.
ગૂંચળાનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi \left( \frac{L}{2\pi} \right)^2 = \frac{L^2}{4\pi}$ છે.
આ કિંમતોને ટોર્કના સૂત્રમાં મૂકતા: $\tau_{\max} = 1 \times i \times \left( \frac{L^2}{4\pi} \right) \times B = \frac{L^2iB}{4\pi}$.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલી પ્રવાહધારિત કોઈલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\tau = NIAB \sin \theta$,જ્યાં $\theta$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ અને કોઈલના ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
અહીં ચુંબકીય ક્ષેત્ર કોઈલના સમતલને લંબ છે,તેથી ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ (જે કોઈલના સમતલને લંબ હોય છે) તે ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ ને સમાંતર હશે.
તેથી,$\vec{A}$ અને $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 0^\circ$ થશે.
ટોર્કના સૂત્રમાં $\theta = 0^\circ$ મૂકતા: $\tau = NIAB \sin(0^\circ) = NIAB \times 0 = 0\, Nm$.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ચુંબકીય ડાયપોલની સ્થિતિ ઉર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = -M \cdot B = -MB \cos \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ સદિશ $M$ (જે લંબ $\hat{n}$ ની દિશામાં છે) અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ આકૃતિઓ પરથી:
$I$ માટે: $\theta = 180^\circ$,તેથી $U_I = -MB \cos(180^\circ) = +MB$.
$II$ માટે: $\theta = 90^\circ$,તેથી $U_{II} = -MB \cos(90^\circ) = 0$.
$III$ માટે: $\theta = 45^\circ$ (આશરે),તેથી $U_{III} = -MB \cos(45^\circ) = -0.707MB$.
$IV$ માટે: $\theta = 135^\circ$ (આશરે),તેથી $U_{IV} = -MB \cos(135^\circ) = +0.707MB$.
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા: $U_I (+MB) > U_{IV} (+0.707MB) > U_{II} (0) > U_{III} (-0.707MB)$.
આમ,ઘટતો ક્રમ $I > IV > II > III$ છે.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવેલા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત ગૂંચળા પર લાગતું ટોર્ક $(\tau)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\tau = NBiA \sin \theta$,જ્યાં $N$ એ આંટાની સંખ્યા છે,$B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે,$i$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે,$A$ એ ગૂંચળાનું ક્ષેત્રફળ છે અને $\theta$ એ ગૂંચળાના સમતલના લંબ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા વચ્ચેનો ખૂણો છે.
અહીં $\tau \propto \sin \theta$ હોવાથી,ટોર્ક અને ખૂણા $\theta$ વચ્ચેનો સંબંધ સાઇનસૉઇડલ ફેરફારને અનુસરે છે.
જ્યારે $\theta = 0^\circ$ હોય,ત્યારે $\tau = 0$ થાય છે.
જ્યારે $\theta = 90^\circ$ હોય,ત્યારે $\tau$ મહત્તમ $(\tau_{max} = NBiA)$ હોય છે.
જ્યારે $\theta = 180^\circ$ હોય,ત્યારે $\tau = 0$ થાય છે.
તેથી,આ સંબંધ દર્શાવતો આલેખ એક સાઇનસૉઇડલ વક્ર છે,જે વિકલ્પ $A$ ને અનુરૂપ છે.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલી વિદ્યુતપ્રવાહધારિત કોઈલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = \vec{M} \times \vec{B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{M}$ એ ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ છે અને $\vec{B}$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે.
ટોર્કનું મૂલ્ય $\tau = MB \sin \alpha$ છે,જ્યાં $\alpha$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ સદિશ $\vec{M}$ (જે કોઈલના સમતલને લંબ હોય છે) અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ છે કે કોઈલનું સમતલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે,તેથી કોઈલના લંબ ($\vec{M}$ ની દિશા) અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha = 90^\circ - \theta$ થશે.
આ કિંમત ટોર્કના સૂત્રમાં મૂકતા: $\tau = MB \sin(90^\circ - \theta) = MB \cos \theta$.
ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = niA$ હોવાથી,આપણને $\tau = niAB \cos \theta$ મળે છે.

(A) જ્યારે કોઈલમાંથી પ્રવાહ $I$ વહે છે,ત્યારે તે ચુંબકીય ટોર્ક $\tau = NIAB \sin \theta$ અનુભવે છે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર કોઈલના ક્ષેત્રફળ સદિશને લંબ હોવાથી,$\theta = 90^\circ$,તેથી $\tau = NIAB$.
આ ટોર્કને પીવટ $O$ થી $l$ અંતરે બેલેન્સ પેન પર મૂકવામાં આવેલા વધારાના દળ $\Delta m$ ને કારણે લાગતા ટોર્ક દ્વારા સંતુલિત કરવામાં આવે છે.
વજનને કારણે ટોર્ક $\tau_{weight} = \Delta m \cdot g \cdot l$ છે.
બંને ટોર્કને સરખાવતા: $NIAB = \Delta mgl$.
$B$ માટે સૂત્ર: $B = \frac{\Delta mgl}{NIA}$.
આપેલ કિંમતો: $N = 200$,$I = 22 \times 10^{-3} \, A$,$A = 1.0 \times 10^{-4} \, m^2$,$\Delta m = 60 \times 10^{-6} \, kg$,$l = 0.3 \, m$,$g = 9.8 \, m/s^2$.
કિંમતો મૂકતા:
$B = \frac{60 \times 10^{-6} \times 9.8 \times 0.3}{200 \times 22 \times 10^{-3} \times 1.0 \times 10^{-4}}$
$B = \frac{176.4 \times 10^{-6}}{4.4 \times 10^{-4}} \approx 0.4 \, T$.

(C) સોલેનોઇડની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ નું સૂત્ર $M = N I A$ છે.
આપેલ છે: $N = 2000$,$I = 2.0 \, A$,$A = 1.5 \times 10^{-4} \, m^2$.
$M = 2000 \times 2.0 \times 1.5 \times 10^{-4} = 0.6 \, A \cdot m^2$.
સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ચુંબકીય ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = M B \sin \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ સદિશ (સોલેનોઇડની અક્ષ) અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ છે: $B = 5 \times 10^{-2} \, T$ અને $\theta = 30^o$.
$\tau = 0.6 \times (5 \times 10^{-2}) \times \sin 30^o$.
$\tau = 0.6 \times 5 \times 10^{-2} \times 0.5 = 1.5 \times 10^{-2} \, Nm$.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત લૂપ પર લાગતું ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{m} \times \vec{B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{m} = NI\vec{A}$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે.
$XY$-સમતલમાં રહેલા લૂપ માટે ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ એ $Z$-અક્ષની દિશામાં (સમતલને લંબ) હોય છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ પણ ધન $Z$-દિશામાં આપેલું છે.
આમ,$\vec{A}$ અને $\vec{B}$ બંને $Z$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{m}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 0^\circ$ થાય છે.
તેથી,ટોર્કનું મૂલ્ય $\tau = mB \sin(0^\circ) = 0$ થાય છે.

(D) જ્યારે પ્રવાહધારિત લૂપને ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તે $\vec{\tau} = \vec{M} \times \vec{B}$ મુજબ ટોર્ક અનુભવે છે,જ્યાં $\vec{M}$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે અને $\vec{B}$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે.
ટોર્કનું મૂલ્ય $\tau = MB \sin \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ $\vec{M}$ અને $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
જ્યારે ટોર્ક શૂન્ય હોય ત્યારે સંતુલન સ્થિતિ પ્રાપ્ત થાય છે,જે $\sin \theta = 0$ એટલે કે $\theta = 0^{\circ}$ અથવા $\theta = 180^{\circ}$ પર થાય છે.
$1$. જ્યારે $\theta = 0^{\circ}$ હોય,ત્યારે $\vec{M}$ અને $\vec{B}$ સમાંતર હોય છે. આ સ્થિતિ લઘુત્તમ સ્થિતિ ઊર્જા $(U = -MB)$ ધરાવે છે,જે સ્થાયી સંતુલન દર્શાવે છે.
$2$. જ્યારે $\theta = 180^{\circ}$ હોય,ત્યારે $\vec{M}$ અને $\vec{B}$ પ્રતિ-સમાંતર હોય છે. આ સ્થિતિ મહત્તમ સ્થિતિ ઊર્જા $(U = +MB)$ ધરાવે છે,જે અસ્થાયી સંતુલન દર્શાવે છે.
આમ,લૂપ બે દિશાઓમાં સંતુલનમાં હોઈ શકે છે,એક સ્થાયી અને બીજી અસ્થાયી.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલી વિદ્યુતપ્રવાહધારિત કોઈલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = N I A B \sin \theta$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ કોઈલના સમતલના લંબ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ છે: $N = 50$,$I = 2\, A$,$B = 0.2\, Wb/m^2$,અને ક્ષેત્રફળ $A = 0.12\, m \times 0.1\, m = 0.012\, m^2$.
કોઈલનું સમતલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સાથે $30^{\circ}$ ના ખૂણે છે,તેથી કોઈલના લંબ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $\tau = 50 \times 2 \times 0.012 \times 0.2 \times \sin 60^{\circ}$.
$\tau = 100 \times 0.0024 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 0.24 \times 0.866 = 0.2078\, Nm \approx 0.20\, Nm$.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકીય ડાયપોલને ફેરવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W = mB(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે કોઈલને તેની સંતુલન સ્થિતિમાંથી $180^o$ ફેરવવામાં આવે ($\theta_1 = 0^o$ થી $\theta_2 = 180^o$), ત્યારે કાર્ય $W = mB(\cos 0^o - \cos 180^o) = mB(1 - (-1)) = 2mB$ થાય છે.
ચુંબકીય મોમેન્ટ $m = NIA$ હોવાથી, $W = 2(NIA)B$ મળે.
આપેલ છે:
$N = 250$
$I = 85 \times 10^{-6}\, A$
$A = 2.1 \times 10^{-2}\, m \times 1.25 \times 10^{-2}\, m = 2.625 \times 10^{-4}\, m^2$
$B = 0.85\, T$
આ કિંમતો મૂકતા:
$W = 2 \times 250 \times (85 \times 10^{-6}) \times (2.625 \times 10^{-4}) \times 0.85$
$W = 9.403 \times 10^{-6}\, J \approx 9.4\, \mu J$.
નોંધ: પ્રશ્નમાં આપેલ ગણતરી મુજબ $(250 \times 85 \times 10^{-6} \times 2.5 \times 10^{-4} \times 0.85 \times 2)$, જવાબ $9.1\, \mu J$ મળે છે.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં પ્રવાહધારિત ગૂંચળા પર લાગતું ટોર્ક $\tau = NIAB \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. મહત્તમ ટોર્ક માટે,$\sin \theta = 1$,તેથી $\tau_{\max} = NIAB$.
ધારો કે તારની લંબાઈ $L$ છે. જો ગૂંચળામાં $N$ આંટા હોય અને ત્રિજ્યા $r$ હોય,તો $L = N(2\pi r)$,જેનો અર્થ છે કે $r = \frac{L}{2\pi N}$.
ગૂંચળાનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi \left( \frac{L}{2\pi N} \right)^2 = \frac{L^2}{4\pi N^2}$ છે.
ટોર્કના સમીકરણમાં $A$ ની કિંમત મૂકતા: $\tau_{\max} = Ni \left( \frac{L^2}{4\pi N^2} \right) B = \frac{i L^2 B}{4\pi N}$.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $\tau_{\max} \propto \frac{1}{N}$.
તેથી,ટોર્કને મહત્તમ કરવા માટે,આંટાની સંખ્યા $N$ શક્ય તેટલી ઓછી હોવી જોઈએ. ગૂંચળા માટે આંટાની લઘુત્તમ સંખ્યા $1$ હોવાથી,જ્યારે $N = 1$ હોય ત્યારે ટોર્ક મહત્તમ હોય છે.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં પ્રવાહધારિત લૂપ પર લાગતું ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{m} \times \vec{B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{m}$ એ લૂપના સમતલને લંબ ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ સદિશ છે.
જ્યારે ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{m}$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ને સમાંતર અથવા પ્રતિ-સમાંતર હોય ત્યારે ટોર્ક શૂન્ય થાય છે. આ સ્થિતિ ત્યારે સર્જાય છે જ્યારે લૂપનું સમતલ ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ હોય.
આપેલ આકૃતિમાં,લૂપનું સમતલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે. લૂપના લંબ ($\vec{m}$ ની દિશા) અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો $(90^o + \theta)$ છે.
લૂપ ત્યાં સુધી ફરશે જ્યાં સુધી તેનું સમતલ ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ ન થાય,જે તે સ્થિતિ છે જ્યાં ટોર્ક શૂન્ય થાય છે. જરૂરી કુલ પરિભ્રમણ ખૂણો $(90^o + \theta)$ છે.

(A) વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત રીંગની ચુંબકીય મોમેન્ટ $\mu = i A = i (\pi r^2)$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રને કારણે રીંગ પર લાગતું ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{\mu} \times \vec{B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર રીંગના સમતલમાં હોવાથી,ચુંબકીય મોમેન્ટ સદિશ (રીંગના સમતલને લંબ) અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો $90^\circ$ છે.
તેથી,ટોર્કનું મૂલ્ય $\tau = \mu B \sin(90^\circ) = i \pi r^2 B$ થાય.
રીંગ તેના ઉર્ધ્વ વ્યાસની આસપાસ ફરશે. વ્યાસને અનુલક્ષીને રીંગની જડત્વની આઘૂર્ણ $I = \frac{1}{2} m r^2$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમના પરિભ્રમણના સમીકરણ $\tau = I \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા:
$i \pi r^2 B = \left( \frac{1}{2} m r^2 \right) \alpha$
$\alpha = \frac{2 i \pi B}{m}$
આપેલ કિંમતો ($i = 4 \ A$,$B = 10 \ T$,$m = 2 \ kg$) મૂકતા:
$\alpha = \frac{2 \times 4 \times \pi \times 10}{2} = 40 \pi \ rad/s^2$.

(B) ગોળો સંતુલનમાં રહે તે માટે,સંપર્ક બિંદુ $O$ ની આસપાસ કુલ ટોર્ક શૂન્ય હોવું જોઈએ.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ ગોળાના કેન્દ્રમાંથી નીચેની તરફ લાગે છે. સંપર્ક બિંદુ $O$ ની સાપેક્ષે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ માટે લિવર આર્મ $R \sin \theta$ છે.
તેથી,ગુરુત્વાકર્ષણ ટોર્ક $\tau_{g} = mg R \sin \theta$ થાય.
કોઈલની ચુંબકીય મોમેન્ટ $\mu = i A = i (\pi R^2)$ છે.
સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં કોઈલ પર લાગતું ચુંબકીય ટોર્ક $\tau_{m} = \mu B \sin \phi$ છે,જ્યાં $\phi$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ સદિશ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો છે. કોઈલનું સમતલ ઢળતી સપાટીને સમાંતર હોવાથી,ચુંબકીય મોમેન્ટ સદિશ ઢળતી સપાટીને લંબ છે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ શિરોલંબ છે. શિરોલંબ અને ઢળતી સપાટીના લંબ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે. તેથી,$\phi = \theta$.
ટોર્કને સરખાવતા: $\tau_{m} = \tau_{g}$
$i \pi R^2 B \sin \theta = mg R \sin \theta$
$B$ માટે ઉકેલતા: $B = \frac{mg}{\pi i R}$.

(B) ભ્રમણ કરતી વીજભારિત તકતી વિદ્યુતપ્રવાહના ગૂંચળાના સમૂહ જેવું વર્તન કરે છે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માત્ર તકતીના જમણા અડધા ભાગમાં જ હાજર છે.
કેન્દ્રથી $r$ અંતરે તકતીના એક નાના ઘટકનો વિચાર કરો. ભ્રમણ વર્તુળાકાર માર્ગમાં વિદ્યુતપ્રવાહ $dI$ ઉત્પન્ન કરે છે. $v$ વેગથી ગતિ કરતા વીજભાર ઘટક $dq$ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $dF = dq(v \times B)$ છે.
તકતી ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં ફરી રહી હોવાથી,જમણા અડધા ભાગ પર,વીજભારોના વેગ સદિશો $v$ ઉપરના ચતુર્થાંશમાં નીચેની તરફ અને નીચેના ચતુર્થાંશમાં ઉપરની તરફ નિર્દેશિત હોય છે.
$F = q(v \times B)$ માટે જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $B$ નીચેની તરફ નિર્દેશિત છે (આકૃતિ મુજબ),ઉપરના જમણા ચતુર્થાંશ પરનું બળ સમતલની બહારની તરફ અને નીચેના જમણા ચતુર્થાંશ પરનું બળ સમતલની અંદરની તરફ લાગે છે.
આ બળો કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી આડી અક્ષની આસપાસ ટોર્ક ઉત્પન્ન કરે છે. ખાસ કરીને,ટોર્ક સદિશ ડાબી તરફ નિર્દેશિત હોય છે. આમ,તકતી પરનો કુલ ટોર્ક સદિશ ડાબી તરફ નિર્દેશિત છે.

(B) ગૂંચળાની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ નું સૂત્ર $M = N I A$ છે,જ્યાં $N$ આંટાની સંખ્યા,$I$ વિદ્યુતપ્રવાહ અને $A$ ક્ષેત્રફળ છે.
આપેલ છે: $N = 2n$,$I = 2I$,અને $A = 2a$.
તેથી,$M = (2n)(2I)(2a) = 8nIa$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા વિદ્યુતપ્રવાહધારિત ગૂંચળા પર લાગતું ટોર્ક $\tau = M B \sin \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર અને ગૂંચળાના સમતલના લંબ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
ગૂંચળાનું સમતલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સાથે $60^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે. તેથી,ગૂંચળાના લંબ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ થાય.
વૈકલ્પિક રીતે,ટોર્કને $\tau = M B \cos \alpha$ તરીકે દર્શાવી શકાય,જ્યાં $\alpha$ એ ગૂંચળાના સમતલ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો છે.
અહીં,$\alpha = 60^{\circ}$ છે.
તેથી,$\tau = (8nIa) B \cos 60^{\circ} = 8BnaI \cos 60^{\circ}$.

(D) અનંત લંબાઈના સીધા તારથી $r$ અંતરે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ ક્ષેત્રની દિશા તાર અને ડાયપોલ ધરાવતા સમતલને લંબ હોય છે.
ચુંબકીય મોમેન્ટ $p_m$ તારને સમાંતર હોવાથી,$p_m$ અને $B$ વચ્ચેનો ખૂણો $90^\circ$ છે.
ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = p_m \times B$ છે. $p_m$ એ $B$ ને લંબ હોવાથી,ટોર્કનું મૂલ્ય $\tau = p_m B \sin(90^\circ) = p_m B \neq 0$ થાય. તેથી,વિકલ્પ $B$ ખોટો છે.
ડાયપોલની સ્થિતિ ઉર્જા $U = -p_m \cdot B = -p_m B \cos(90^\circ) = 0$ છે. આ લઘુત્તમ મૂલ્ય નથી (જે $0^\circ$ પર $-p_m B$ હોત). તેથી,વિકલ્પ $A$ ખોટો છે.
અસમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકીય ડાયપોલ પર લાગતું બળ $F = \nabla(p_m \cdot B)$ છે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ તારથી અંતર $r$ સાથે બદલાતું હોવાથી $(B \propto 1/r)$,ગ્રેડિયન્ટ $\nabla B$ શૂન્ય નથી. તેથી,ડાયપોલ પર લાગતું બળ શૂન્ય નથી. તેથી,વિકલ્પ $C$ ખોટો છે.
આમ,આપેલ પૈકી કોઈ પણ વિધાન સાચું નથી,તેથી સાચો જવાબ $D$ છે.

(B) પ્રવાહ લૂપની ચુંબકીય મોમેન્ટ $\overrightarrow{M}$ એ $\overrightarrow{M} = I \overrightarrow{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં ક્ષેત્રફળ સદિશ $\overrightarrow{A}$ ની દિશા જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
સ્થાયી સંતુલન માટે,ચુંબકીય મોમેન્ટ $\overrightarrow{M}$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B}$ ને સમાંતર હોવી જોઈએ (એટલે કે,$\theta = 0^\circ$).
અસ્થાયી સંતુલન માટે,ચુંબકીય મોમેન્ટ $\overrightarrow{M}$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B}$ ને પ્રતિ-સમાંતર હોવી જોઈએ (એટલે કે,$\theta = 180^\circ$).
આકૃતિ $(a)$ માં,પ્રવાહ $yz$-સમતલમાં વહે છે. જમણા હાથના નિયમ મુજબ,ક્ષેત્રફળ સદિશ $\overrightarrow{A}$ એ $+x$ દિશામાં નિર્દેશ કરે છે.
આકૃતિ $(b)$ માં,પ્રવાહ $xy$-સમતલમાં વહે છે. જમણા હાથના નિયમ મુજબ,ક્ષેત્રફળ સદિશ $\overrightarrow{A}$ એ $+z$ દિશામાં નિર્દેશ કરે છે. કારણ કે $\overrightarrow{B}$ એ $+z$ દિશામાં છે,તેથી $\overrightarrow{M} \parallel \overrightarrow{B}$,જે સ્થાયી સંતુલન દર્શાવે છે.
આકૃતિ $(c)$ માં,પ્રવાહ $xz$-સમતલમાં વહે છે. જમણા હાથના નિયમ મુજબ,ક્ષેત્રફળ સદિશ $\overrightarrow{A}$ એ $-y$ દિશામાં નિર્દેશ કરે છે.
આકૃતિ $(d)$ માં,પ્રવાહ $xy$-સમતલમાં વહે છે. જમણા હાથના નિયમ મુજબ,ક્ષેત્રફળ સદિશ $\overrightarrow{A}$ એ $-z$ દિશામાં નિર્દેશ કરે છે. કારણ કે $\overrightarrow{B}$ એ $+z$ દિશામાં છે,તેથી $\overrightarrow{M}$ એ $\overrightarrow{B}$ ને પ્રતિ-સમાંતર છે,જે અસ્થાયી સંતુલન દર્શાવે છે.
તેથી,$(b)$ સ્થાયી છે અને $(d)$ અસ્થાયી છે.

(A) $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા $R$ ત્રિજ્યાના મોટા લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$ છે.
$i$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા $r$ ત્રિજ્યાના નાના લૂપની ચુંબકીય મોમેન્ટ $m = i A = i (\pi r^2)$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકીય ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{m} \times \vec{B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને લૂપના સમતલ એકબીજાને લંબ હોવાથી,ચુંબકીય મોમેન્ટ સદિશ $\vec{m}$ (નાના લૂપના સમતલને લંબ) અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ (મોટા લૂપના સમતલને લંબ) વચ્ચેનો ખૂણો $90^\circ$ છે.
તેથી,ટોર્કનું મૂલ્ય $\tau = m B \sin(90^\circ) = m B$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $\tau = (i \pi r^2) \times (\frac{\mu_0 I}{2R}) = \frac{\mu_0 \pi i I r^2}{2R}$.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત લૂપ પર લાગતું ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{\mu} \times \vec{B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{\mu}$ એ ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ છે અને $\vec{B}$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે.
ટોર્કનું મૂલ્ય $\tau = \mu B \sin \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ લૂપના સદિશ (નૉર્મલ) અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર લૂપના સમતલને સમાંતર હોવાથી,લૂપનો લંબ ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ છે. તેથી,$\theta = 90^{\circ}$ અને $\sin 90^{\circ} = 1$.
ચુંબકીય મોમેન્ટ $\mu = I A = I (\pi r^2)$.
આપેલ છે: $I = 10.0 \, mA = 10.0 \times 10^{-3} \, A$,$r = 1.00 \, m$,$B = 0.500 \, T$.
$\tau = (I \pi r^2) B = (10.0 \times 10^{-3} \, A) \times (\pi \times (1.00 \, m)^2) \times (0.500 \, T)$
$\tau = 10.0 \times 10^{-3} \times 3.14159 \times 0.500 = 1.570795 \times 10^{-2} \, N \cdot m \approx 1.57 \times 10^{-2} \, N \cdot m$.

(A) ચોરસ લૂપનો ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec m = I_0 A \hat n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A = L^2$ એ ક્ષેત્રફળ છે અને $\hat n$ એ લૂપને લંબ એકમ સદિશ છે. લૂપ $xy-$ સમતલમાં હોવાથી,$\hat n = \hat k$ થાય. તેથી,$\vec m = I_0 L^2 \hat k.$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec B$ એ $xy-$ સમતલમાં $x-$ અક્ષ સાથે $45^o$ ના ખૂણે છે,તેથી $\vec B = B \cos 45^o \hat i + B \sin 45^o \hat j = \frac{B}{\sqrt 2} (\hat i + \hat j).$
ટોર્ક $\vec \tau$ એ $\vec \tau = \vec m \times \vec B$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\vec \tau = (I_0 L^2 \hat k) \times \left( \frac{B}{\sqrt 2} (\hat i + \hat j) \right)$
$\vec \tau = \frac{I_0 L^2 B}{\sqrt 2} (\hat k \times \hat i + \hat k \times \hat j)$
ક્રોસ પ્રોડક્ટના નિયમો $\hat k \times \hat i = \hat j$ અને $\hat k \times \hat j = -\hat i$ નો ઉપયોગ કરતા,
$\vec \tau = \frac{I_0 L^2 B}{\sqrt 2} (\hat j - \hat i) = \frac{B I_0 L^2}{\sqrt 2} (- \hat i + \hat j).$

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકીય ડાયપોલની સ્થિતિ ઉર્જા $U = -\vec{M} \cdot \vec{B} = -MB \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{M}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
શરૂઆતમાં,કોઈલનું સમતલ ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશામાં છે,જેનો અર્થ છે કે ક્ષેત્રફળ સદિશ (અને તેથી ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{M}$) ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ છે. તેથી,$\theta_i = 90^{\circ}$.
જ્યારે કોઈલ $90^{\circ}$ ફરે છે,ત્યારે તેનું સમતલ ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ બને છે,તેથી $\vec{M}$ અને $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો $0^{\circ}$ થાય છે.
સ્થિતિ ઉર્જામાં ઘટાડો = ગતિ ઉર્જામાં વધારો.
$KE = U_i - U_f = (-MB \cos 90^{\circ}) - (-MB \cos 0^{\circ}) = 0 - (-MB) = MB$.
ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = I \times A = I(\pi R^2)$ હોવાથી,ગતિ ઉર્જા $KE = \pi R^2 IB$ થશે.

(A) રીંગ સમક્ષિતિજ સ્થિતિમાં રહે તે માટે,આધાર બિંદુની સાપેક્ષમાં કુલ ટોર્ક શૂન્ય હોવું જોઈએ.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ રીંગના કેન્દ્ર પર લાગે છે,જે આધાર બિંદુની સાપેક્ષમાં $\tau_g = mgR$ જેટલું ટોર્ક ઉત્પન્ન કરે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_0$ પ્રવાહધારિત રીંગ પર ચુંબકીય ટોર્ક લગાડે છે. રીંગની ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $M = I A = I(\pi R^2)$ છે.
ચુંબકીય ટોર્ક $\tau_m = M B_0 = I(\pi R^2) B_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સંતુલન માટે ટોર્કને સરખાવતા: $\tau_g = \tau_m$.
$mgR = I(\pi R^2) B_0$.
$I$ માટે ઉકેલતા: $I = \frac{mgR}{\pi R^2 B_0} = \frac{mg}{\pi R B_0}$.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત લૂપ પર લાગતું ટોર્ક $\tau$ એ $\vec{\tau} = \vec{M} \times \vec{B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{M} = i A \vec{n}$ એ ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ છે.
ટોર્કનું મૂલ્ય $\tau = i A B \sin \theta$ છે.
અહીં વિદ્યુતપ્રવાહ $i$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ અને ખૂણો $\theta$ બધા લૂપ માટે સમાન હોવાથી,ટોર્ક એ લૂપના ક્ષેત્રફળ $A$ ના સમપ્રમાણમાં છે $(\tau \propto A)$.
આપેલ પરિમિતિ (તારની લંબાઈ) માટે,વર્તુળ તમામ ભૌમિતિક આકારોમાં સૌથી વધુ ક્ષેત્રફળ ધરાવે છે.
તેથી,લૂપ $S$ (જે વર્તુળાકાર છે) નું ક્ષેત્રફળ મહત્તમ છે,અને પરિણામે,લૂપ $S$ પર મહત્તમ ટોર્ક લાગશે.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં પ્રવાહધારિત ગૂંચળા પર લાગતું ટોર્ક $\tau = \vec{m} \times \vec{B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{m} = i \vec{A}$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ગૂંચળાના સમતલમાં હોવાથી,ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે.
તેથી,ટોર્કનું મૂલ્ય $\tau = i A B \sin 90^{\circ} = i A B$ થશે.
$l$ બાજુ ધરાવતા સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{\sqrt{3}}{4} l^2$ છે.
આ કિંમત ટોર્કના સમીકરણમાં મૂકતા: $\tau = i \left( \frac{\sqrt{3}}{4} l^2 \right) B$.
$l^2$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $l^2 = \frac{4 \tau}{\sqrt{3} i B}$.
વર્ગમૂળ લેતા: $l = \sqrt{\frac{4 \tau}{\sqrt{3} i B}} = 2 \left( \frac{\tau}{\sqrt{3} i B} \right)^{1/2}$.

(D) ભ્રમણ કરતી વિદ્યુતભારિત તકતીની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ એ $M = \frac{q}{2m} L$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $L$ એ તકતીનું કોણીય વેગમાન છે.
$m$ દળ અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી તકતી માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}mr^2$ છે. તેથી,કોણીય વેગમાન $L = I\omega = \frac{1}{2}mr^2\omega$ થાય.
$M$ ના સમીકરણમાં $L$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $M = \frac{q}{2m} \left( \frac{1}{2}mr^2\omega \right) = \frac{q\omega r^2}{4}$ મળે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ચુંબકીય ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau$ એ $\vec{\tau} = \vec{M} \times \vec{B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ટોર્કનું મૂલ્ય $\tau = MB \sin \theta = \frac{q\omega r^2}{4} B \sin \theta$ છે.
ચુંબકીય મોમેન્ટની દિશા અને સદિશ ગુણાકાર માટે જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,ટોર્ક ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં લાગે છે.

(B) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ માં રહેલી ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{M}$ ધરાવતા ચુંબકીય ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{M} \times \vec{B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ટોર્કનું મૂલ્ય $|\vec{\tau}| = MB \sin \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ $\vec{M}$ અને $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
અહીં $\theta = 30^{\circ}$ આપેલ છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુની ધરાવસ્થિતિમાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોન માટે,કક્ષીય ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ એ બોહર મેગ્નેટોન જેટલી હોય છે,એટલે કે $M = \frac{eh}{4\pi m}$.
આ કિંમતોને ટોર્કના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\tau = \left(\frac{eh}{4\pi m}\right) B \sin 30^{\circ}$
કારણ કે $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,તેથી:
$\tau = \left(\frac{eh}{4\pi m}\right) B \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{ehB}{8\pi m}$.
આમ,ભ્રમણ કરતા ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું ટોર્ક $\frac{ehB}{8\pi m}$ છે.

(D) બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ માં રહેલા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત લૂપ પર લાગતું ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{m} \times \vec{B}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{m}$ એ ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ છે.
ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{m} = I \vec{A}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $I$ એ પ્રવાહ છે અને $\vec{A}$ એ લૂપનો ક્ષેત્રફળ સદિશ છે.
આ કિંમત ટોર્કના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\vec{\tau} = I(\vec{A} \times \vec{B})$ મળે છે.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ છે કે ટોર્ક પ્રવાહ $(I)$,ક્ષેત્રફળ સદિશ $(\vec{A})$ અને બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(\vec{B})$ પર આધાર રાખે છે.
જોકે ક્ષેત્રફળ સદિશ લૂપના આકાર અને કદ પર આધાર રાખે છે,પરંતુ ટોર્ક પોતે ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ ના સીધા પ્રમાણમાં છે.
આમ,ટોર્ક $I$,$\vec{A}$ અને $\vec{B}$ ત્રણેય પર આધાર રાખે છે,તેથી આપેલ વિકલ્પોમાંથી કોઈ પણ એવું નથી જેના પર તે આધાર ન રાખતું હોય. તેથી સાચો જવાબ 'None' (કોઈ પણ નહીં) છે.

(D) બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B}$ માં પ્રવાહધારિત લૂપ સ્થાયી સંતુલનમાં હોય તે માટે તેની સ્થિતિ ઊર્જા $U$ ન્યૂનતમ હોવી જોઈએ.
સ્થિતિ ઊર્જા $U = -\overrightarrow{M} \cdot \overrightarrow{B} = -MB \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\overrightarrow{M}$ એ લૂપની ચુંબકીય મોમેન્ટ છે અને $\theta$ એ $\overrightarrow{M}$ અને $\overrightarrow{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
જ્યારે $\cos \theta = 1$ હોય ત્યારે $U$ ન્યૂનતમ હોય છે,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 0^{\circ}$. આનો અર્થ એ છે કે ચુંબકીય મોમેન્ટ $\overrightarrow{M}$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B}$ ને સમાંતર હોવી જોઈએ.
દરેક લૂપ માટે $\overrightarrow{M}$ ની દિશા શોધવા માટે જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
- વિકલ્પ $A$ માં,પ્રવાહ $yz$-સમતલમાં વહે છે. જમણા હાથના નિયમ મુજબ,$\overrightarrow{M}$ એ $+x$-અક્ષની દિશામાં છે. $\overrightarrow{B}$ એ $+y$-અક્ષની દિશામાં હોવાથી,$\theta = 90^{\circ}$ છે.
- વિકલ્પ $B$ માં,પ્રવાહ $xy$-સમતલમાં વહે છે. જમણા હાથના નિયમ મુજબ,$\overrightarrow{M}$ એ $+z$-અક્ષની દિશામાં છે. $\overrightarrow{B}$ એ $+y$-અક્ષની દિશામાં હોવાથી,$\theta = 90^{\circ}$ છે.
- વિકલ્પ $C$ માં,પ્રવાહ $xy$-સમતલમાં વહે છે. જમણા હાથના નિયમ મુજબ,$\overrightarrow{M}$ એ $-z$-અક્ષની દિશામાં છે. $\overrightarrow{B}$ એ $-z$-અક્ષની દિશામાં હોવાથી,$\theta = 0^{\circ}$ છે.
- વિકલ્પ $D$ માં,પ્રવાહ $yz$-સમતલમાં વહે છે. જમણા હાથના નિયમ મુજબ,$\overrightarrow{M}$ એ $+x$-અક્ષની દિશામાં છે. $\overrightarrow{B}$ એ $+x$-અક્ષની દિશામાં હોવાથી,$\theta = 0^{\circ}$ છે.
$C$ અને $D$ બંને સ્થાયી સંતુલન દર્શાવે છે. પ્રમાણભૂત રજૂઆતોના આધારે,$D$ એ સૌથી સામાન્ય ઉદાહરણ છે.

(C) વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત લૂપની ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{M}$ ને $\vec{M} = I \vec{A}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{A}$ એ લૂપના સમતલને લંબ સદિશ છે. $\vec{A}$ ની દિશા જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
જ્યારે સ્થિતિ ઊર્જા $U = -\vec{M} \cdot \vec{B}$ ન્યૂનતમ હોય ત્યારે સિસ્ટમ સ્થિર સંતુલનમાં હોય છે. આ ત્યારે થાય છે જ્યારે ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{M}$ એ બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ને સમાંતર હોય (એટલે કે તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $0^\circ$ હોય).
આપેલ છે કે $\vec{B}$ ધન $Z-$ દિશામાં છે,તેથી લૂપને એવી રીતે ગોઠવવી જોઈએ કે તેનો ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ (અને તેથી $\vec{M}$) ધન $Z-$ દિશામાં નિર્દેશ કરે. લૂપમાં વહેતા પ્રવાહ પર જમણા હાથનો નિયમ લાગુ પાડતા,આપણે શોધીએ છીએ કે જ્યારે લૂપ $XY-$ સમતલમાં હોય અને પ્રવાહ વિષમઘડી દિશામાં વહેતો હોય (જ્યારે ધન $Z-$ અક્ષથી જોવામાં આવે),ત્યારે $\vec{M}$ એ $\vec{B}$ ને સમાંતર બને છે. આપેલા વિકલ્પોમાંથી,આ તે ગોઠવણીને અનુરૂપ છે જ્યાં ચુંબકીય મોમેન્ટ ક્ષેત્ર સાથે સંરેખિત થાય છે.

(D) $N$ આંટા,$A = \pi r^2$ ક્ષેત્રફળ અને $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતી કોઈલની ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{M} = NIA \hat{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\hat{n}$ એ કોઈલના સમતલને લંબ એકમ સદિશ છે.
કોઈલ $XZ$ સમતલમાં હોવાથી,તેનો લંબ સદિશ $Y$-અક્ષની દિશામાં છે,તેથી $\vec{M} = NI(\pi r^2) \hat{j}$ થાય.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = B \hat{i}$ છે.
કોઈલ પર લાગતું ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{M} \times \vec{B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\vec{\tau} = (NI \pi r^2 \hat{j}) \times (B \hat{i})$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટના નિયમ $\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\vec{\tau} = -NI \pi r^2 B \hat{k}$ મળે છે.
ટોર્કનું મૂલ્ય $|\vec{\tau}| = NI \pi r^2 B$ થાય છે.

(B) કોઈલની ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{M} = N I A \hat{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N = 100$,$I = 3\,A$,અને $A = 5\,cm \times 2\,cm = 10^{-3}\,m^2$ છે.
ચુંબકીય મોમેન્ટનું મૂલ્ય $M = 100 \times 3 \times 10^{-3} = 0.3\,Am^2$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = 1\,T$ એ $X$-અક્ષની દિશામાં છે.
શરૂઆતમાં કોઈલ $X-Z$ સમતલમાં છે,તેથી તેનો ક્ષેત્રફળ સદિશ $Y$-અક્ષની દિશામાં છે. જ્યારે કોઈલને $Z$-અક્ષની આસપાસ $45^{\circ}$ નમાવવામાં આવે છે,ત્યારે ક્ષેત્રફળ સદિશ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 45^{\circ}$ થાય છે.
ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{M} \times \vec{B}$ છે,અને તેનું મૂલ્ય $\tau = M B \sin \theta$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tau = 0.3 \times 1 \times \sin 45^{\circ} = 0.3 \times 0.707 = 0.212\,Nm$.