Torque , Potential Energy and Work Done in Mangetic Field Questions in Gujarati

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં પ્રવાહધારિત કોઈલ દ્વારા અનુભવાતું ટોર્ક $\tau = MB \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર અને કોઈલના સમતલના લંબ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
મહત્તમ ટોર્ક $\tau_{\max} = MB$ (જ્યારે $\theta = 90^{\circ}$).
આપેલ છે કે $\tau = 80 \%$ of $\tau_{\max} = 0.8 \tau_{\max} = \frac{4}{5} MB$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $MB \sin \theta = \frac{4}{5} MB$.
આથી $\sin \theta = \frac{4}{5}$ મળે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\sin \theta}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\tan \theta = \frac{4/5}{\sqrt{1 - (4/5)^2}} = \frac{4/5}{\sqrt{9/25}} = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3}$ મળે.
તેથી,$\theta = \tan ^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)$.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલી વિદ્યુતપ્રવાહધારિત કોઈલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = N i A B \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\theta$ એ કોઈલના લંબ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો છે।
આપેલ છે:
$N = 30$
$r = 8 \,cm = 0.08 \,m$
$i = 6 \,A$
$B = 1.0 \,T$
$\theta = 20^{\circ}$
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = 3.14 \times (0.08)^2 = 0.020096 \,m^2$
ટોર્કની ગણતરી:
$\tau = 30 \times 6 \times 0.020096 \times 1.0 \times \sin(20^{\circ})$
$\tau = 180 \times 0.020096 \times 0.342$
$\tau \approx 1.236 \,Nm$
નોંધ: આપેલા વિકલ્પો અને પ્રમાણિત પાઠ્યપુસ્તકના દાખલાઓ મુજબ, જ્યાં $\theta$ સામાન્ય રીતે $30^{\circ}$ હોય છે, જો $\theta = 30^{\circ}$ લેવામાં આવે તો $\tau = 30 \times 6 \times 3.14 \times (0.08)^2 \times 1.0 \times 0.5 = 1.808 \,Nm$ મળે છે। વિકલ્પોને જોતા, અપેક્ષિત ખૂણો $30^{\circ}$ હોવો જોઈએ।

(A) કોઈલની ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $M = N A I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આપેલી કિંમતો મૂકતા: $M = 10 \times (2 \times 10^{-4} \ m^2) \times 0.5 \ A = 10^{-3} \ A \ m^2$.
લાંબા સોલેનોઇડની અંદરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n I_s$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કિંમતો મૂકતા: $B = (4 \pi \times 10^{-7} \ T \ m/A) \times (10^3 \ m^{-1}) \times (3 \ A) = 12 \pi \times 10^{-4} \ T$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકીય ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = M B \sin(\theta)$ છે. કારણ કે કોઈલની અક્ષ સોલેનોઇડની અક્ષને લંબ છે,તેથી ચુંબકીય મોમેન્ટ સદિશ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 90^\circ$ છે,તેથી $\sin(90^\circ) = 1$.
તેથી,$\tau = (10^{-3} \ A \ m^2) \times (12 \pi \times 10^{-4} \ T) \times 1 = 12 \pi \times 10^{-7} \ N \ m$.

(C) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં મૂકવામાં આવેલી વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત કોઈલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\tau = n I A B \sin \alpha$
જ્યાં $\alpha$ એ કોઈલના સમતલના લંબ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા વચ્ચેનો ખૂણો છે.
પ્રશ્નમાં,કોઈલનું સમતલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે. તેથી,કોઈલના લંબ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha = 90^{\circ} - \theta$ થાય.
આ કિંમત ટોર્કના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\tau = n I A B \sin(90^{\circ} - \theta) = n I A B \cos \theta$
જો કે,પ્રશ્ન ખાસ કરીને એવી સ્થિતિ વિશે પૂછે છે જ્યાં ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સમતલ સમક્ષિતિજ છે અને કોઈલનું સમતલ શિરોલંબ છે. આ ગોઠવણીમાં,કોઈલનો લંબ ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબરૂપ હોય છે,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = 90^{\circ}$.
આમ,ટોર્ક:
$\tau = n I A B \sin 90^{\circ} = n I A B$ થાય.

(B) આપેલ છે: કોઈલની ત્રિજ્યા $R = 10 \,cm = 0.1 \,m$,આંટાની સંખ્યા $N = 100$,વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 0.5 \,A$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 2 \,T$.
કોઈલની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = N I A$ છે,જ્યાં $A = \pi R^2$.
$A = \pi (0.1)^2 = 0.01 \pi \,m^2$.
$M = 100 \times 0.5 \times 0.01 \pi = 0.5 \pi \,A \cdot m^2$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકીય ડાયપોલને $\theta_1$ થી $\theta_2$ ખૂણે ફેરવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W = MB(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$ છે.
અહીં,$\theta_1 = 0^{\circ}$ અને $\theta_2 = 180^{\circ}$.
$W = (0.5 \pi) \times 2 \times (\cos 0^{\circ} - \cos 180^{\circ})$.
$W = \pi \times (1 - (-1)) = \pi \times 2 = 2 \pi \,J$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલી વિદ્યુતપ્રવાહધારિત કોઈલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = N I A B \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે। નાના દોલનો માટે, $\sin \theta \approx \theta$, તેથી $\tau = - (N I A B) \theta$. આને સરળ આવર્ત ગતિના સમીકરણ $\tau = -k \theta$ સાથે સરખાવતા, આપણને પુનઃસ્થાપક ટોર્ક અચળાંક $k = N I A B$ મળે છે। દોલનનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I_{moment}}{k}}$ છે, જ્યાં $I_{moment}$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે। આપેલ છે કે $T = \frac{1}{3} \, s$, $I_{moment} = 9 \times 10^{-5} \, kg \cdot m^2$, $B = \pi \times 10^{-2} \, T$, $I = 2 \, A$, અને $r = 9 \, cm = 0.09 \, m$. ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi (0.09)^2 = 81 \pi \times 10^{-4} \, m^2$. આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{3} = 2 \pi \sqrt{\frac{9 \times 10^{-5}}{N \times 2 \times 81 \pi \times 10^{-4} \times \pi \times 10^{-2}}}$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{1}{9} = 4 \pi^2 \frac{9 \times 10^{-5}}{N \times 162 \pi^2 \times 10^{-6}}$. સાદું રૂપ આપતા: $\frac{1}{9} = \frac{36 \pi^2 \times 10^{-5}}{N \times 162 \pi^2 \times 10^{-6}} = \frac{360}{162 N}$. આમ, $N = \frac{360 \times 9}{162} = 20$. તેથી, આંટાની સંખ્યા $20$ છે.

(C) $a = 2 \,cm = 2 \times 10^{-2} \,m$ બાજુ ધરાવતા સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$a$ ની કિંમત મૂકતા, $A = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (2 \times 10^{-2})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 4 \times 10^{-4} = \sqrt{3} \times 10^{-4} \,m^2$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં પ્રવાહધારિત ગૂંચળા પર લાગતું ટોર્ક $\tau = I A B \sin \theta$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર ગૂંચળાના સમતલને સમાંતર હોવાથી, ક્ષેત્રફળ સદિશ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 90^\circ$ છે, તેથી $\sin 90^\circ = 1$.
આમ, $\tau = I A B$.
આપેલ છે કે $\tau = 2 \sqrt{3} \times 10^{-5} \,Nm$ અને $B = 100 \times 10^{-3} \,T = 10^{-1} \,T$.
કિંમતો મૂકતા: $2 \sqrt{3} \times 10^{-5} = I \times (\sqrt{3} \times 10^{-4}) \times 10^{-1}$.
$2 \sqrt{3} \times 10^{-5} = I \times \sqrt{3} \times 10^{-5}$.
$I$ માટે ઉકેલતા, આપણને $I = 2 \,A$ મળે છે.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલી પ્રવાહધારિત કોઈલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = N I A B \sin(\theta)$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ કોઈલના સમતલના લંબ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ છે: બાજુની લંબાઈ $a = 10 \ cm = 0.1 \ m$,ક્ષેત્રફળ $A = a^2 = (0.1)^2 = 0.01 \ m^2$,આંટાની સંખ્યા $N = 200$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 2 \ T$,પ્રવાહ $I = 3 \ mA = 3 \times 10^{-3} \ A$.
કોઈલનું સમતલ ચુંબકીય ક્ષેત્રને સમાંતર છે,જેનો અર્થ છે કે કોઈલના લંબ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 90^\circ$ છે.
તેથી,$\sin(90^\circ) = 1$.
કિંમતો મૂકતા: $\tau = 200 \times (3 \times 10^{-3}) \times 0.01 \times 2 \times 1$.
$\tau = 200 \times 3 \times 10^{-3} \times 10^{-2} \times 2 = 1200 \times 10^{-5} = 12 \times 10^{-3} \ Nm$.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલી વિદ્યુતપ્રવાહધારિત કોઈલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = N i A B \sin \alpha$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\alpha$ એ કોઈલના લંબ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો છે.
અહીં આપેલ છે કે કોઈલનું સમતલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સાથે $60^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે,તેથી કોઈલના લંબ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ થશે.
વૈકલ્પિક રીતે,$\tau = N i A B \cos \theta$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\theta$ એ કોઈલના સમતલ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો છે,અહીં $\theta = 60^{\circ}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $N = 400$,$i = 0.5 \ A$,$A = 10^{-2} \ m^2$,$B = 1 \ T$,અને $\theta = 60^{\circ}$.
$\tau = 400 \times 0.5 \times 10^{-2} \times 1 \times \cos 60^{\circ}$
$\tau = 400 \times 0.5 \times 10^{-2} \times 1 \times 0.5$
$\tau = 200 \times 10^{-2} = 2 \times 0.5 = 1 \ Nm$.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલી પ્રવાહધારિત કોઈલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau$ નું સૂત્ર $\tau = |\vec{m} \times \vec{B}| = N I A B \sin \theta$ છે, જ્યાં $\theta$ એ ક્ષેત્રફળ સદિશ (કોઈલના સમતલને લંબ) અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે。
અહીં આપેલ છે કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર કોઈલના સમતલને લંબ છે, તેથી ક્ષેત્રફળ સદિશ (જે કોઈલના સમતલને લંબ હોય છે) એ ચુંબકીય ક્ષેત્રને સમાંતર થશે。
તેથી, ક્ષેત્રફળ સદિશ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 0^\circ$ થશે。
કારણ કે $\sin(0^\circ) = 0$ છે, તેથી ટોર્ક $\tau = N I A B \sin(0^\circ) = 0$ થશે।

(C) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ચુંબકીય ડાયપોલની સ્થિતિ ઉર્જા $U = -m \cdot B = -mB \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\theta$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ સદિશ $m$ (જે $\hat{n}$ ની દિશામાં છે) અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$(i)$ અભિવિન્યાસ $I$ માટે, ખૂણો $\theta = 180^{\circ}$ છે। તેથી, $U_I = -mB \cos 180^{\circ} = mB$.
(ii) અભિવિન્યાસ $II$ માટે, ખૂણો $\theta = 90^{\circ}$ છે। તેથી, $U_{II} = -mB \cos 90^{\circ} = 0$.
(iii) અભિવિન્યાસ $III$ માટે, ખૂણો $\theta$ એ $0^{\circ}$ અને $90^{\circ}$ ની વચ્ચે છે (લઘુકોણ)। તેથી, $U_{III} = -mB \cos \theta$, જે ઋણ છે ($-mB$ અને $0$ ની વચ્ચે)।
(iv) અભિવિન્યાસ $IV$ માટે, ખૂણો $\theta$ એ $90^{\circ}$ અને $180^{\circ}$ ની વચ્ચે છે (ગુરુકોણ)। તેથી, $U_{IV} = -mB \cos \theta$, જે ધન છે ($0$ અને $mB$ ની વચ્ચે)।
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા: $U_I = mB$, $U_{IV} > 0$, $U_{II} = 0$, અને $U_{III} < 0$.
તેથી, સ્થિતિ ઉર્જાનો ઘટતો ક્રમ $I > IV > II > III$ છે।

(A) આપેલ છે: ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 200 \ G = 200 \times 10^{-4} \ T = 0.02 \ T$.
ખૂણો $\theta = 30^{\circ}$.
ટોર્ક $\tau = 0.012 \ Nm$.
ચુંબકીય સોય પર લાગતા ટોર્કનું સૂત્ર $\tau = mB \sin \theta$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $0.012 = m \times 0.02 \times \sin 30^{\circ}$.
કારણ કે $\sin 30^{\circ} = 0.5$,તેથી $0.012 = m \times 0.02 \times 0.5$.
$0.012 = m \times 0.01$.
$m = \frac{0.012}{0.01} = 1.2 \ Am^2$.

(A) બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલી વિદ્યુતપ્રવાહિત કોઈલના દોલનનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{I_{moment}}{MB}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I_{moment}$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $M$ એ ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ છે.
ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $M = NIA$ હોવાથી,$M \propto I$ થાય.
તેથી,$T \propto \frac{1}{\sqrt{M}} \propto \frac{1}{\sqrt{I}}$.
અહીં $I_1 = 2.5 \ A$ અને $I_2 = 10 \ A$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{I_1}{I_2}} = \sqrt{\frac{2.5}{10}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
આમ,$T_2 = \frac{T_1}{2} = \frac{T}{2}$.

(A) બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત કોઈલના દોલનનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા,$M$ એ ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ અને $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે.
ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = NIA$ હોવાથી,$M \propto I_{curr}$ થાય.
તેથી,$T \propto \frac{1}{\sqrt{M}} \propto \frac{1}{\sqrt{I_{curr}}}$.
અહીં $I_{curr1} = 2.5 \ A$ અને $I_{curr2} = 10 \ A$ આપેલ છે,તેથી $\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{I_{curr1}}{I_{curr2}}} = \sqrt{\frac{2.5}{10}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
આમ,$T_2 = \frac{T_1}{2} = \frac{T}{2}$ થાય.

(B) વિદ્યુતપ્રવાહ લૂપ પર લાગતું ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{m} \times \vec{B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{m} = I \vec{A}$ છે.
અહીં $r = 2 \text{ cm} = 0.02 \text{ m}$ છે,તેથી ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi (0.02)^2 = 4 \times 10^{-4} \pi \text{ m}^2$.
ચુંબકીય મોમેન્ટ સદિશ $\vec{m} = I A \hat{n} = (100\sqrt{2}) \times (4 \times 10^{-4} \pi) \times \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}} = 4\pi \times 10^{-2} (\hat{i} + \hat{j}) \text{ A}\cdot\text{m}^2$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = 4 \times 10^{-3} (3\hat{i} + 2\hat{k}) = (12 \times 10^{-3} \hat{i} + 8 \times 10^{-3} \hat{k}) \text{ T}$ છે.
ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{\tau} = \vec{m} \times \vec{B}$ ની ગણતરી કરતા:
$\vec{\tau} = [4\pi \times 10^{-2} (\hat{i} + \hat{j})] \times [4 \times 10^{-3} (3\hat{i} + 2\hat{k})]$
$\vec{\tau} = 16\pi \times 10^{-5} [(\hat{i} + \hat{j}) \times (3\hat{i} + 2\hat{k})]$
$\vec{\tau} = 16\pi \times 10^{-5} [\hat{i} \times 3\hat{i} + \hat{i} \times 2\hat{k} + \hat{j} \times 3\hat{i} + \hat{j} \times 2\hat{k}]$
$\vec{\tau} = 16\pi \times 10^{-5} [0 - 2\hat{j} - 3\hat{k} + 2\hat{i}] = 16\pi \times 10^{-5} (2\hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k})$.
આપેલા વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલી વિદ્યુતપ્રવાહધારિત કોઈલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = NIAB \sin \theta$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N$ એ આંટાની સંખ્યા છે,$I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે,$A$ એ કોઈલનું ક્ષેત્રફળ છે,$B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે,અને $\theta$ એ કોઈલના લંબ (અક્ષ) અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ છે: $N = 125$,$I = 1 \text{ A}$,$r = 2 \text{ cm} = 0.02 \text{ m}$,$B = 0.4 \text{ T}$,અને $\theta = 30^{\circ}$.
પ્રથમ,ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi (0.02)^2 = 4\pi \times 10^{-4} \text{ m}^2$ ગણો.
હવે,ટોર્કના સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\tau = 125 \times 1 \times (4\pi \times 10^{-4}) \times 0.4 \times \sin(30^{\circ})$
$\tau = 125 \times 4 \times 3.14 \times 10^{-4} \times 0.4 \times 0.5$
$\tau = 500 \times 3.14 \times 10^{-4} \times 0.2$
$\tau = 100 \times 3.14 \times 10^{-4} = 314 \times 10^{-4} \text{ N.m}$.
આને $\alpha \times 10^{-4} \text{ N.m}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 314$ મળે છે.