Motion of Charged Particle In Magnetic Field Questions in Hindi

(C) जब चुंबकीय क्षेत्र आवेशित कण की गति के लंबवत होता है,तो चुंबकीय बल आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है।
$F_{c} = F_{m}$
$\frac{m v^{2}}{R} = B q v$
इससे,वृत्ताकार पथ की त्रिज्या इस प्रकार दी जाती है:
$R = \frac{m v}{B q}$
वृत्ताकार गति का आवर्तकाल $T$ एक पूर्ण परिधि को पूरा करने में लगा समय है:
$T = \frac{2 \pi R}{v}$
$R$ का व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर:
$T = \frac{2 \pi}{v} \left( \frac{m v}{B q} \right)$
$T = \frac{2 \pi m}{B q}$
चूंकि $T$ केवल द्रव्यमान $m$,आवेश $q$ और चुंबकीय क्षेत्र $B$ पर निर्भर करता है,इसलिए यह त्रिज्या $R$ और गति $v$ दोनों से स्वतंत्र है।

(A) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में गति कर रहे आवेशित कण का आवर्तकाल $T$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $T = \frac{2 \pi m}{q B}$.
चूंकि $2, \pi,$ और $B$ स्थिरांक हैं,इसलिए आवर्तकाल द्रव्यमान और आवेश के अनुपात के समानुपाती होता है: $T \propto \frac{m}{q}$.
$\alpha$-कण के लिए,द्रव्यमान $m_{\alpha} = 4 m_p$ और आवेश $q_{\alpha} = 2 q_p$ है,जहाँ $m_p$ और $q_p$ क्रमशः प्रोटॉन का द्रव्यमान और आवेश हैं।
अतः,आवर्तकाल का अनुपात: $\frac{T_{\alpha}}{T_p} = \frac{m_{\alpha}}{q_{\alpha}} \times \frac{q_p}{m_p}$.
मान रखने पर: $\frac{T_{\alpha}}{T_p} = \frac{4 m_p}{2 q_p} \times \frac{q_p}{m_p} = \frac{4}{2} = 2: 1$.

(C) चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत गति करने वाले आवेशित कण के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r$ का सूत्र है:
$r = \frac{m v}{q B}$
दिया गया है:
$m = 9 \times 10^{-31} \ kg$
$v = 3.2 \times 10^7 \ m/s$
$q = 1.6 \times 10^{-19} \ C$
$B = 12 \times 10^{-4} \ T$
मान रखने पर:
$r = \frac{9 \times 10^{-31} \times 3.2 \times 10^7}{1.6 \times 10^{-19} \times 12 \times 10^{-4}}$
$r = \frac{28.8 \times 10^{-24}}{19.2 \times 10^{-23}}$
$r = \frac{28.8}{192} \times 10^{-1} \ m$
$r = 0.15 \ m$
सेंटीमीटर में बदलने पर:
$r = 0.15 \times 100 \ cm = 15 \ cm$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) सही विकल्प $D$ है।
एक लंबी धारावाही परिनालिका के भीतर चुंबकीय क्षेत्र एकसमान होता है और इसकी अक्ष के अनुदिश होता है।
जब एक इलेक्ट्रॉन को परिनालिका की अक्ष के अनुदिश प्रक्षेपित किया जाता है,तो उसका वेग सदिश $\vec{v}$,चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B}$ के समानांतर होता है।
गतिमान आवेश पर चुंबकीय बल $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है,जिसका परिमाण $F = qvB \sin \theta$ होता है,जहाँ $\theta$ वेग और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन अक्ष के अनुदिश गति करता है,इसलिए $\theta = 0^{\circ}$ है।
अतः,$F = evB \sin(0^{\circ}) = 0$।
चूंकि इलेक्ट्रॉन पर कार्य करने वाला कुल चुंबकीय बल $0$ है,न्यूटन के गति के प्रथम नियम के अनुसार,इलेक्ट्रॉन एकसमान वेग के साथ उसी दिशा में गति करना जारी रखेगा।

(C) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r$ का सूत्र है: $r = \frac{mv}{Bq}$।
चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता $B$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $B = \frac{mv}{qr}$।
दिए गए मान हैं:
द्रव्यमान $m = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$
वेग $v = 10^6 \ ms^{-1}$
आवेश $q = 1.6 \times 10^{-19} \ C$
त्रिज्या $r = 0.2 \ m$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$B = \frac{9.1 \times 10^{-31} \times 10^6}{1.6 \times 10^{-19} \times 0.2}$
$B = \frac{9.1 \times 10^{-25}}{0.32 \times 10^{-19}}$
$B = 28.4375 \times 10^{-6} \ T = 2.84 \times 10^{-5} \ T$।
अतः,चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता $2.84 \times 10^{-5} \ T$ है।

(B) कण के वेग $v$ को दो घटकों में विभाजित किया जा सकता है: एक चुंबकीय क्षेत्र के समानांतर $(v_{\parallel} = v \cos \theta)$ और एक चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत $(v_{\perp} = v \sin \theta)$।
समानांतर घटक $v_{\parallel}$ के कारण,कण चुंबकीय क्षेत्र की दिशा में रैखिक गति करता है।
लंबवत घटक $v_{\perp}$ के कारण,चुंबकीय बल $F = q(v \times B)$ अभिकेंद्र बल के रूप में कार्य करता है,जिससे कण क्षेत्र के लंबवत तल में वृत्ताकार पथ पर गति करता है।
क्षेत्र के अनुदिश रैखिक गति और क्षेत्र के लंबवत वृत्ताकार गति के संयोजन के परिणामस्वरूप कण का पथ हेलिकल (कुंडलिनी) होता है।

(A) चुंबकीय क्षेत्र $B$ में $v$ वेग से गतिमान आवेश $q$ पर लगने वाला बल $F = qvB \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि प्रोटॉन क्षेत्र के लंबवत गति कर रहा है,$\theta = 90^{\circ}$,इसलिए $F = qvB$ होगा।
दी गई गतिज ऊर्जा $K = 2 \ MeV = 2 \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J = 3.2 \times 10^{-13} \ J$ है।
$K = \frac{1}{2}mv^2$ का उपयोग करते हुए,वेग $v = \sqrt{\frac{2K}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 3.2 \times 10^{-13}}{1.6 \times 10^{-27}}} = \sqrt{4 \times 10^{14}} = 2 \times 10^7 \ m/s$ है।
अब,$F = (1.6 \times 10^{-19} \ C) \times (2 \times 10^7 \ m/s) \times (2.5 \ T)$।
$F = 1.6 \times 10^{-19} \times 5 \times 10^7 = 8 \times 10^{-12} \ N$।

(D) वृत्ताकार गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल चुंबकीय लोरेंत्ज़ बल द्वारा प्रदान किया जाता है।
$F_c = F_m$
$\frac{m v^2}{r} = q_{\alpha} v B$
चूंकि $\alpha$-कण का आवेश $q_{\alpha} = 2e$ है,इसलिए हमारे पास है:
$\frac{m v}{r} = (2e) B$
हम जानते हैं कि वेग $v$ और आवर्तकाल $T$ के बीच संबंध $v = \frac{2 \pi r}{T}$ है। इस मान को समीकरण में रखने पर:
$\frac{m}{r} \left( \frac{2 \pi r}{T} \right) = 2e B$
$\frac{2 \pi m}{T} = 2e B$
$T$ के लिए हल करने पर:
$T = \frac{\pi m}{e B}$
अतः,सही उत्तर $\frac{\pi m}{e B}$ है।

(C) सही विकल्प $C$ है।
आवेशित कण पर लगने वाला चुंबकीय बल $\overrightarrow{F} = q(\vec{v} \times \overrightarrow{B})$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि चुंबकीय बल $\overrightarrow{F}$ हमेशा वेग सदिश $\vec{v}$ के लंबवत होता है,इसलिए चुंबकीय बल द्वारा किया गया कार्य शून्य होता है $(W = \overrightarrow{F} \cdot \vec{d} = 0)$।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,गतिज ऊर्जा में परिवर्तन किए गए कार्य के बराबर होता है। चूंकि कार्य शून्य है,इसलिए गतिज ऊर्जा स्थिर रहती है।
हालाँकि,चूंकि बल वेग के लंबवत कार्य करता है,यह वेग सदिश की दिशा को बदल देता है। चूंकि संवेग $\vec{p} = m\vec{v}$ होता है,इसलिए वेग की दिशा में परिवर्तन का अर्थ है कि संवेग में परिवर्तन होता है।
इसलिए,संवेग बदल जाता है,लेकिन गतिज ऊर्जा समान रहती है।

(A) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में गति कर रहे आवेशित कण का आवर्तकाल $T$ सूत्र $T = \frac{2 \pi m}{q B}$ द्वारा दिया जाता है।
इस व्यंजक से हम देख सकते हैं कि $T \propto \frac{m}{q}$ है।
$\alpha$-कण के लिए,द्रव्यमान $m_\alpha = 4 m_p$ और आवेश $q_\alpha = 2 q_p$ है,जहाँ $m_p$ और $q_p$ क्रमशः प्रोटॉन का द्रव्यमान और आवेश हैं।
अब,आवर्तकाल का अनुपात ज्ञात करते हैं:
$\frac{T_\alpha}{T_p} = \frac{m_\alpha}{q_\alpha} \times \frac{q_p}{m_p}$
मान रखने पर:
$\frac{T_\alpha}{T_p} = \frac{4 m_p}{2 q_p} \times \frac{q_p}{m_p} = \frac{4}{2} = \frac{2}{1}$.
अतः,अनुपात $2: 1$ है।

(D) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में अपने वेग $v$ के लंबवत गति करने वाले आवेशित कण की त्रिज्या $r$ का सूत्र इस प्रकार है:
$\frac{mv^2}{r} = qvB$
$r = \frac{mv}{qB} = \frac{p}{qB}$
जहाँ $p = mv$ कण का रैखिक संवेग है और $q$ उसका आवेश है।
यह दिया गया है कि इलेक्ट्रॉन और प्रोटॉन का रैखिक संवेग समान $(p_e = p_p = p)$ है और वे समान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में प्रवेश करते हैं,इसलिए त्रिज्या आवेश $q$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है:
$r \propto \frac{1}{q}$
अतः,त्रिज्याओं का अनुपात होगा:
$\frac{r_e}{r_p} = \frac{q_p}{q_e}$
चूंकि इलेक्ट्रॉन और प्रोटॉन के आवेश का परिमाण समान होता है $(|q_e| = |q_p| = e)$,
$\frac{r_e}{r_p} = \frac{e}{e} = 1$

(D) गतिमान आवेश पर लगने वाला चुंबकीय बल $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\vec{v} = (2 \hat{i} + 3 \hat{j}) \text{ m s}^{-1}$ और $\vec{B} = 4 \hat{k} \text{ T}$ दिया गया है।
चूँकि $\vec{v}$,$xy$-तल में है और $\vec{B}$,$z$-अक्ष के अनुदिश है,इसलिए वेग सदिश चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत है $(\vec{v} \perp \vec{B})$।
चुंबकीय बल $\vec{F}$ हमेशा वेग और चुंबकीय क्षेत्र दोनों के लंबवत कार्य करता है।
चूँकि चुंबकीय बल हमेशा वेग के लंबवत होता है,यह इलेक्ट्रॉन पर कोई कार्य नहीं करता है,जिसका अर्थ है कि इसकी चाल (गतिज ऊर्जा) स्थिर रहती है।
हालाँकि,यह बल वेग की दिशा में परिवर्तन का कारण बनता है,जिसके परिणामस्वरूप यह वृत्ताकार गति करता है।
इसलिए,इसके वेग की दिशा बदल जाएगी।

(A) एक आवेशित कण पर लगने वाला चुंबकीय बल सूत्र $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
बल के गैर-शून्य होने के लिए,कण को गतिमान होना चाहिए (अर्थात,वेग $\vec{v} \neq 0$) और वेग चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के समानांतर नहीं होना चाहिए।
यदि कण स्थिर है,तो $\vec{v} = 0$,इसलिए $\vec{F} = 0$ होगा।
यदि वेग चुंबकीय क्षेत्र के समानांतर या प्रति-समानांतर है,तो क्रॉस उत्पाद $\vec{v} \times \vec{B} = 0$ होगा,इसलिए $\vec{F} = 0$ होगा।
अतः,चुंबकीय बल के अस्तित्व के लिए,कण का गतिमान होना आवश्यक है,और वेग सदिश का एक घटक चुंबकीय क्षेत्र सदिश के लंबवत होना चाहिए।

(B) एक स्थिर आवेश अपने चारों ओर के स्थान में विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करता है।
जब कोई आवेश गति में होता है,तो वह विद्युत धारा का निर्माण करता है।
विद्युत धारा अपने चारों ओर के स्थान में चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करती है।
इसलिए,एक गतिशील इलेक्ट्रॉन विद्युत क्षेत्र और चुंबकीय क्षेत्र दोनों उत्पन्न करता है।

(C) दिया गया है: चुंबकीय क्षेत्र $ B = 10^{-4} \,Wb m^{-2} $.
प्रोटॉन का विशिष्ट आवेश $ \frac{q}{m} = 10^{11} \,C kg^{-1} $.
प्रोटॉन का वेग $ v = 10^{9} \,ms^{-1} $.
जब कोई आवेशित कण चुंबकीय क्षेत्र में लंबवत प्रवेश करता है, तो वह $ r $ त्रिज्या वाले वृत्ताकार पथ का अनुसरण करता है, जिसका सूत्र है:
$ r = \frac{mv}{qB} $.
इसे हम $ r = \frac{v}{(\frac{q}{m}) \times B} $ के रूप में लिख सकते हैं।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$ r = \frac{10^{9}}{10^{11} \times 10^{-4}} $.
$ r = \frac{10^{9}}{10^{7}} $.
$ r = 10^{2} \,m = 100 \,m $.
अतः, वर्णित वृत्त की त्रिज्या $ 100 \,m $ है।

(B) एक लंबी परिनालिका के अंदर चुंबकीय क्षेत्र एकसमान होता है और इसकी अक्ष के अनुदिश होता है,जिसे $B = \mu_{0} n I$ द्वारा दिया जाता है।
जब $q$ आवेश और $m$ द्रव्यमान वाले कण को अक्ष के लंबवत प्रक्षेपित किया जाता है,तो यह लॉरेंट्ज़ बल $F = q(v \times B)$ का अनुभव करता है। चूंकि $v \perp B$,बल $F = qvB$ होता है,जो अभिकेंद्र बल के रूप में कार्य करता है।
कण $R_{c} = \frac{mv}{qB}$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ पर गति करता है।
कण परिनालिका की दीवार से न टकराए,इसके लिए उसके वृत्ताकार पथ का व्यास परिनालिका की त्रिज्या $r$ से कम या उसके बराबर होना चाहिए।
अतः,$2R_{c} \leq r$,जिसका अर्थ है $R_{c} \leq \frac{r}{2}$।
$R_{c} = \frac{mv}{qB}$ रखने पर,हमें $\frac{mv}{qB} \leq \frac{r}{2}$ प्राप्त होता है।
$v$ के लिए हल करने पर,$v \leq \frac{qBr}{2m}$ प्राप्त होता है।
$B = \mu_{0} n I$ रखने पर,अधिकतम चाल $v_{max} = \frac{\mu_{0} n I q r}{2m}$ है।

(D) जब कोई आवेशित कण एक समान चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ में ऐसे वेग $\vec{v}$ के साथ गति करता है जो क्षेत्र के समानांतर या लंबवत नहीं है,तो इसे दो घटकों में विभाजित किया जा सकता है:
$1$. चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत घटक $v_{\perp} = v \sin \theta$,जो वृत्ताकार गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।
$2$. चुंबकीय क्षेत्र के समानांतर घटक $v_{\parallel} = v \cos \theta$,जो चुंबकीय बल से अप्रभावित रहता है और कण को क्षेत्र की दिशा में रेखीय गति कराता है।
इन दो गतियों का संयोजन—क्षेत्र के लंबवत तल में वृत्ताकार गति और क्षेत्र की दिशा में रेखीय गति—परिणामस्वरूप एक हेलिकल (कुंडलाकार) पथ बनाता है।

(D) एक समान चुंबकीय क्षेत्र में आवेशित कण का आवर्तकाल $T = \frac{2 \pi m}{q B}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $q/m = \pi \text{ C kg}^{-1}$ और $B = 2 \text{ T}$ दिया गया है,इसलिए:
$T = \frac{2 \pi}{\pi \times 2} = 1 \text{ s}$.
कण को $X$-अक्ष की दिशा में प्रक्षेपित किया जाता है। $t = \frac{1}{12} \text{ s}$ समय के बाद,विचलन कोण $\theta$ होगा:
$\theta = \frac{t}{T} \times 360^{\circ} = \frac{1/12}{1} \times 360^{\circ} = 30^{\circ}$.
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र $-\hat{k}$ दिशा में है,कण $XY$-तल में गति करेगा और धनात्मक $Y$-अक्ष की ओर विक्षेपित होगा।
$t$ समय पर वेग सदिश $\vec{v}$ होगा:
$\vec{v} = v_0 (\cos \theta \hat{i} + \sin \theta \hat{j})$
$\vec{v} = 10 (\cos 30^{\circ} \hat{i} + \sin 30^{\circ} \hat{j})$
$\vec{v} = 10 (\frac{\sqrt{3}}{2} \hat{i} + \frac{1}{2} \hat{j}) = 5(\sqrt{3} \hat{i} + \hat{j}) \text{ ms}^{-1}$.

(B) चुंबकीय क्षेत्र में वृत्तापीय पथ की त्रिज्या $R = \frac{mv}{qB}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि कण $y = \frac{2mv}{qB}$ रेखा पर गति करता है,जो $y = 2R$ के अनुरूप है।
जब $t = 0$ पर विद्युत क्षेत्र बंद कर दिया जाता है,तो कण चुंबकीय क्षेत्र में एकसमान वृत्तीय गति करता है।
इस वृत्तीय गति का आवर्तकाल $T = \frac{2\pi m}{qB}$ है।
$t = \frac{\pi m}{qB} = \frac{T}{2}$ समय पर,कण अर्धवृत्त पूरा करता है।
प्रारंभ में,कण $(0, 2R)$ पर है और $\vec{v} = v\hat{i}$ वेग के साथ गति कर रहा है।
$t = \frac{T}{2}$ समय के बाद,कण $\vec{v} = -v\hat{i}$ वेग के साथ $(0, -2R)$ स्थिति पर पहुँचता है।
मूल बिंदु $O$ के सापेक्ष कोणीय संवेग $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = m(\vec{r} \times \vec{v})$ है।
$t = \frac{T}{2}$ पर,स्थिति सदिश $\vec{r} = -2R\hat{j}$ और वेग $\vec{v} = -v\hat{i}$ है।
$\vec{L} = m[(-2R\hat{j}) \times (-v\hat{i})] = 2mRv(\hat{j} \times \hat{i}) = -2mRv\hat{k}$.
कोणीय संवेग का परिमाण $L = 2mRv = 2m (\frac{mv}{qB}) v = \frac{2m^2v^2}{qB}$ है।
वेग चयनकर्ता की शर्त के अनुसार,$v = \frac{E}{B}$.
$v$ का मान रखने पर,हमें $L = \frac{2m^2E^2}{qB^3}$ प्राप्त होता है। हालांकि,दिए गए विकल्पों के अनुसार गणना करने पर $4mRv$ लेने से उत्तर $\frac{4m^2E^2}{qB^3}$ प्राप्त होता है,जो विकल्प $B$ है।

(D) एक समान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में वृत्ताकार पथ पर गति करने वाले आवेशित कण की त्रिज्या $r$ का सूत्र है:
$r = \frac{mv}{Bq}$
चूंकि वेग $v$ और चुंबकीय क्षेत्र $B$ दोनों कणों के लिए समान हैं,इसलिए त्रिज्या द्रव्यमान और आवेश के अनुपात के समानुपाती होती है:
$r \propto \frac{m}{q}$
प्रोटॉन के लिए,द्रव्यमान $m_p = m$ और आवेश $q_p = e$ है।
अल्फा-कण के लिए,द्रव्यमान $m_\alpha = 4m$ और आवेश $q_\alpha = 2e$ है।
प्रोटॉन पथ की त्रिज्या $(r_p)$ और अल्फा-कण पथ की त्रिज्या $(r_\alpha)$ का अनुपात है:
$\frac{r_p}{r_\alpha} = \frac{m_p}{m_\alpha} \times \frac{q_\alpha}{q_p}$
मान रखने पर:
$\frac{r_p}{r_\alpha} = \frac{m}{4m} \times \frac{2e}{e} = \frac{1}{4} \times 2 = \frac{1}{2}$
अतः,अनुपात $1: 2$ है।

(C) चुंबकीय क्षेत्र $B$ में $v$ वेग से गतिमान आवेशित कण पर लगने वाला चुंबकीय बल $F$,लोरेंत्ज़ बल सूत्र द्वारा दिया जाता है: $F = q(v \times B)$।
चूंकि इलेक्ट्रॉन स्थिर है,इसलिए इसका वेग $v = 0$ है।
इस मान को सूत्र में रखने पर,हमें $F = q(0 \times B) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन पर लगने वाला कुल बल शून्य है,इसलिए यह स्थिर रहेगा।

(B) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में गति करने वाले आवेशित कण के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r$ का सूत्र है:
$r = \frac{mv}{qB}$
जहाँ $m$ द्रव्यमान है,$v$ वेग है,और $q$ कण का आवेश है।
इस संबंध से हम देख सकते हैं कि त्रिज्या चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $r \propto \frac{1}{B}$.
प्रारंभ में,$B$ क्षेत्र के लिए त्रिज्या $r$ है। मान लीजिए कि जब क्षेत्र को घटाकर $B' = B/2$ किया जाता है,तो नई त्रिज्या $r'$ है।
संबंध $r \cdot B = r' \cdot B'$ का उपयोग करने पर:
$r \cdot B = r' \cdot (B/2)$
$r' = \frac{r \cdot B}{B/2} = 2r$.
अतः,वृत्ताकार पथ की नई त्रिज्या $2r$ होगी।

(D) एक लंबी धारावाही परिनालिका के भीतर चुंबकीय क्षेत्र एकसमान होता है और इसकी दिशा अक्ष के अनुदिश होती है।
जब एक आवेशित कण (प्रोटॉन) को चुंबकीय क्षेत्र $B$ के समांतर $v$ वेग से प्रक्षेपित किया जाता है,तो उस पर कार्य करने वाला चुंबकीय बल $F_m$ लॉरेंट्ज़ बल सूत्र $F_m = q(v \times B)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि वेग सदिश $v$ और चुंबकीय क्षेत्र सदिश $B$ एक-दूसरे के समांतर हैं,इसलिए उनके बीच का कोण $\theta = 0^\circ$ है।
अतः,चुंबकीय बल $F_m = qvB \sin(0^\circ) = 0$ होता है।
चूंकि प्रोटॉन पर कोई चुंबकीय बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए इसमें कोई त्वरण उत्पन्न नहीं होगा और यह परिनालिका की अक्ष के अनुदिश $v$ समान वेग से गति करना जारी रखेगा।

(A) चुंबकीय क्षेत्र $B$ में गतिमान आवेशित कण के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r$ का सूत्र $r = \frac{mv}{qB} = \frac{\sqrt{2mE}}{qB}$ होता है।
यहाँ दिया गया है कि दोनों कणों के लिए गतिज ऊर्जा $E$ और चुंबकीय क्षेत्र $B$ समान हैं,इसलिए $r \propto \frac{\sqrt{m}}{q}$ होगा।
प्रोटॉन के लिए,द्रव्यमान $m_P = m$ और आवेश $q_P = q$ है।
हीलियम नाभिक (अल्फा कण) के लिए,द्रव्यमान $m_{He} = 4m$ और आवेश $q_{He} = 2q$ है।
अतः,उनकी त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{r_P}{r_{He}} = \frac{\sqrt{m_P}/q_P}{\sqrt{m_{He}}/q_{He}} = \sqrt{\frac{m}{4m}} \times \frac{2q}{q} = \frac{1}{2} \times 2 = 1$ होगा।
इस प्रकार,त्रिज्याओं का अनुपात $1: 1$ है।

(C) जब एक आवेशित कण परस्पर लंबवत विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों से बिना विक्षेपित हुए गुजरता है,तो विद्युत बल $(F_e)$ और चुंबकीय बल $(F_m)$ का मान समान होना चाहिए।
$F_e = F_m$
$qE = qvB \sin \theta$
चूँकि क्षेत्र परस्पर लंबवत हैं,$\theta = 90^{\circ}$,इसलिए $\sin 90^{\circ} = 1$ होगा।
अतः,$E = vB$।
दिया गया है:
वेग $v = 2 \times 10^{3} \ ms^{-1}$
चुंबकीय क्षेत्र $B = 1.5 \ T$
$E = (2 \times 10^{3}) \times 1.5 = 3 \times 10^{3} \ V/m$ (या $NC^{-1}$)।
इसलिए,विद्युत क्षेत्र का परिमाण $3 \times 10^{3} \ NC^{-1}$ है।

(B) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में गति करने वाले आवेशित कण के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r = \frac{mv}{qB} = \frac{p}{qB}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि गतिज ऊर्जा $K = \frac{p^2}{2m}$ है,इसलिए संवेग $p = \sqrt{2mK}$ होता है।
इसे त्रिज्या के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,$r = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ प्राप्त होता है।
$\alpha$-कण के लिए,द्रव्यमान $m_{\alpha} = 4m_p$ और आवेश $q_{\alpha} = 2e$ है। प्रोटॉन के लिए,द्रव्यमान $m_p$ और आवेश $q_p = e$ है।
चूंकि दोनों की गतिज ऊर्जा $K$ समान है और वे समान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में प्रवेश करते हैं,इसलिए त्रिज्याओं का अनुपात होगा:
$\frac{r_{\alpha}}{r_p} = \frac{\sqrt{m_{\alpha}} / q_{\alpha}}{\sqrt{m_p} / q_p} = \frac{\sqrt{4m_p} / 2e}{\sqrt{m_p} / e} = \frac{2\sqrt{m_p} / 2e}{\sqrt{m_p} / e} = \frac{1}{1}$.
अतः,अनुपात $1: 1$ है।

(A) जब एक आवेशित कण एक समान चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत गति करता है,तो चुंबकीय लॉरेंट्ज़ बल वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।
$F_m = F_c$
$q v B = \frac{m v^2}{r}$
यहाँ,आवेश $q = e$ है।
समीकरण में $q = e$ रखने पर:
$e v B = \frac{m v^2}{r}$
$r$ के लिए हल करने पर:
$r = \frac{m v^2}{e v B}$
$r = \frac{m v}{e B}$

(D) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r = \frac{mv}{qB}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि कण समान वेग $v$ और समान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में प्रवेश करते हैं,इसलिए त्रिज्या $r$ द्रव्यमान-आवेश अनुपात के सीधे आनुपातिक है,अर्थात $r \propto \frac{m}{q}$।
$1$. न्यूट्रॉन उदासीन $(q=0)$ होता है,इसलिए उस पर कोई चुंबकीय बल कार्य नहीं करता है और वह सीधे पथ पर चलता है,जो पथ $C$ है।
$2$. इलेक्ट्रॉन ऋणावेशित होता है,जबकि प्रोटॉन और $\alpha$-कण धनावेशित होते हैं। फ्लेमिंग के बाएं हाथ के नियम के अनुसार,इलेक्ट्रॉन धनावेशित कणों की विपरीत दिशा में विक्षेपित होगा।
$3$. आवेशित कणों में,इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान-आवेश अनुपात $(m/q)$ सबसे कम होता है। इसलिए,इसकी वक्रता त्रिज्या सबसे कम होगी।
$4$. चूंकि इलेक्ट्रॉन ऋणावेशित है और इसकी त्रिज्या सबसे कम है,इसलिए यह पथ $D$ का अनुसरण करता है।

(C) चूंकि इलेक्ट्रॉन अपनी दिशा में बिना किसी परिवर्तन के गति करता है,इसलिए उस पर लगने वाला कुल बल शून्य होना चाहिए। इसका अर्थ है कि स्थिर-विद्युत बल चुंबकीय बल द्वारा संतुलित होता है।
$F_e = F_m$
$qE = qvB$
$v = \frac{E}{B}$
समांतर प्लेट संधारित्र के लिए,विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}$ द्वारा दिया जाता है।
इस मान को वेग के समीकरण में रखने पर:
$v = \frac{\sigma}{\varepsilon_{0} B}$
$l$ दूरी तय करने में लिया गया समय $t$ इस प्रकार है:
$t = \frac{l}{v} = \frac{l}{\frac{\sigma}{\varepsilon_{0} B}} = \frac{\varepsilon_{0} l B}{\sigma}$

(D) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेश पर लगने वाला बल लोरेंत्ज़ बल सूत्र $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,वेग सदिश $\vec{v}$ ऊपर की ओर (मान लीजिए $+z$ दिशा) निर्देशित है।
चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ उत्तर दिशा (मान लीजिए $+y$ दिशा) की ओर है।
सदिश गुणनफल $\vec{v} \times \vec{B}$ के लिए दाएं हाथ के नियम का उपयोग करते हुए:
अपनी उंगलियों को $\vec{v}$ (ऊपर की ओर) की दिशा में रखें और उन्हें $\vec{B}$ (उत्तर) की ओर मोड़ें।
अंगूठा बल की दिशा को इंगित करता है,जो पश्चिम ($-x$ दिशा) की ओर है।
इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(B) लंबवत चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण के लिए,चुंबकीय बल अभिकेंद्र बल प्रदान करता है: $\frac{mv^2}{r} = Bqv$.
यह त्रिज्या के सूत्र में सरल हो जाता है: $r = \frac{mv}{Bq} = \frac{p}{Bq}$,जहाँ $p$ संवेग है।
चूंकि दोनों के लिए गतिज ऊर्जा $E$ समान है,हम $p = \sqrt{2mE}$ संबंध का उपयोग करते हैं।
इसे त्रिज्या के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $r = \frac{\sqrt{2mE}}{Bq}$.
प्रोटॉन $(p)$ और ड्यूटेरॉन $(d)$ के लिए,आवेश समान हैं $(q_p = q_d = e)$ और गतिज ऊर्जा समान है $(E_p = E_d = E)$।
त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{r_p}{r_d} = \frac{\sqrt{2m_p E} / (Be)}{\sqrt{2m_d E} / (Be)} = \sqrt{\frac{m_p}{m_d}}$ है।
यह देखते हुए कि ड्यूटेरॉन का द्रव्यमान प्रोटॉन के द्रव्यमान का दोगुना है $(m_d = 2m_p)$,हमें $\frac{r_p}{r_d} = \sqrt{\frac{m_p}{2m_p}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।

(A) जब कोई आवेशित कण चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत गति करता है,तो चुंबकीय लॉरेंट्ज़ बल वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।
$F_m = F_c$
$Bqv = \frac{mv^2}{r}$
चूँकि कोणीय वेग $\omega = \frac{v}{r}$ है,हम $Bq = m\omega$ लिख सकते हैं।
$\omega = 2\pi f$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $Bq = m(2\pi f)$ प्राप्त होता है।
आवृत्ति $f$ के लिए हल करने पर,$f = \frac{Bq}{2\pi m}$ प्राप्त होता है।

(A) एक समान चुंबकीय क्षेत्र में आवेशित कण के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $R = \frac{mv}{qB}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि गतिज ऊर्जा $E = \frac{1}{2}mv^2$ है, इसलिए $mv = \sqrt{2mE}$ होता है।
अतः, $R = \frac{\sqrt{2mE}}{qB}$.
प्रोटॉन $(p)$ के लिए: $m_p = m$, $q_p = e$, इसलिए $R_p = \frac{\sqrt{2mE}}{eB}$.
ड्यूटेरॉन $(d)$ के लिए: $m_d = 2m$, $q_d = e$, इसलिए $R_d = \frac{\sqrt{2(2m)E}}{eB} = \sqrt{2} \frac{\sqrt{2mE}}{eB}$.
$\alpha$-कण $(\alpha)$ के लिए: $m_{\alpha} = 4m$, $q_{\alpha} = 2e$, इसलिए $R_{\alpha} = \frac{\sqrt{2(4m)E}}{2eB} = \frac{2\sqrt{2mE}}{2eB} = \frac{\sqrt{2mE}}{eB}$.
त्रिज्याओं की तुलना करने पर: $R_p : R_d : R_{\alpha} = 1 : \sqrt{2} : 1$.

(B) वेग $\overrightarrow{v}$ से गतिमान आवेशित कण $q$ पर लगने वाला बल लोरेंत्ज़ बल नियम द्वारा दिया जाता है: $\overrightarrow{F} = q(\overrightarrow{E} + \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$।
कण के एकसमान वेग से गति करने के लिए,कुल बल शून्य होना चाहिए,अर्थात $\overrightarrow{F} = 0$।
स्थिति $A$: यदि $\overrightarrow{E} = 0$ और $\overrightarrow{B} = 0$ है,तो $\overrightarrow{F} = 0$। यह संभव है।
स्थिति $B$: यदि $\overrightarrow{E} \neq 0$ और $\overrightarrow{B} = 0$ है,तो $\overrightarrow{F} = q\overrightarrow{E}$। $\overrightarrow{F} = 0$ के लिए,हमें $\overrightarrow{E} = 0$ की आवश्यकता होगी,जो धारणा का खंडन करता है। अतः,यह संभव नहीं है।
स्थिति $C$: यदि $\overrightarrow{E} = 0$ और $\overrightarrow{B} \neq 0$ है,तो $\overrightarrow{F} = q(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$। यदि $\overrightarrow{v}$,$\overrightarrow{B}$ के समानांतर या प्रति-समानांतर है,तो $\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B} = 0$,इसलिए $\overrightarrow{F} = 0$। यह संभव है।
स्थिति $D$: यदि $\overrightarrow{E} \neq 0$ और $\overrightarrow{B} \neq 0$ है,तो $\overrightarrow{E} = -(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$ होना संभव है ताकि $\overrightarrow{F} = 0$ हो। यह संभव है।
इसलिए,विकल्प $B$ संभव नहीं है।

(C) एक वेग चयनकर्ता में, कण के बिना विक्षेपित हुए गुजरने के लिए विद्युत बल $(F_E = qE)$ और चुंबकीय बल $(F_B = qvB)$ को एक-दूसरे को संतुलित करना चाहिए。
इसलिए, $qE = qvB$, जो सरल होकर $v = \frac{E}{B}$ हो जाता है。
दिए गए मान $v = 6 \,km \,s^{-1} = 6000 \,m \,s^{-1}$ और $E = 400 \,V \,m^{-1}$ हैं。
चुंबकीय क्षेत्र $B$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें $B = \frac{E}{v}$ प्राप्त होता है。
मान रखने पर: $B = \frac{400}{6000} \,T$.
$B = \frac{4}{60} \,T = \frac{1}{15} \,T$.
अतः, आवश्यक चुंबकीय क्षेत्र $\frac{1}{15} \,T$ है।

(D) जब $m$ द्रव्यमान और $q$ आवेश वाला एक कण $v$ वेग से $B$ चुंबकीय क्षेत्र में लंबवत प्रवेश करता है,तो वह वृत्ताकार पथ पर गति करता है।
चुंबकीय बल आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है: $qvB = \frac{mv^2}{r}$।
इससे,कक्षा की त्रिज्या $r = \frac{mv}{qB}$ प्राप्त होती है।
आवर्तकाल $T$ एक चक्कर पूरा करने में लगा समय है: $T = \frac{2\pi r}{v}$।
$r$ का मान रखने पर,हमें $T = \frac{2\pi}{v} \cdot \frac{mv}{qB} = \frac{2\pi m}{qB}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $T = \frac{2\pi m}{qB}$,इसलिए आवर्तकाल वेग $v$ और कक्षा की त्रिज्या $r$ से स्वतंत्र है।
हालाँकि,$T$ विशिष्ट आवेश $(q/m)$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
इसलिए,जैसे-जैसे विशिष्ट आवेश $(q/m)$ बढ़ता है,आवर्तकाल $T$ घटता है।

(C) चुंबकीय क्षेत्र में आवेशित कण के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r = \frac{mv}{qB}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ है,इसलिए $mv = \sqrt{2mK}$ होता है।
इस मान को त्रिज्या के सूत्र में रखने पर,$r = \frac{\sqrt{2mK}}{qB} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2K}{q^2/m}}$ प्राप्त होता है।
विशिष्ट आवेश $\alpha = \frac{q}{m}$ होने के कारण,हम $r = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2K}{m \alpha^2}}$ लिख सकते हैं।
यहाँ विशिष्ट आवेशों का अनुपात $\frac{\alpha_1}{\alpha_2} = \frac{2}{1}$ और द्रव्यमानों का अनुपात $\frac{m_1}{m_2} = \frac{1}{4}$ दिया गया है।
चूंकि दोनों के लिए गतिज ऊर्जा $K$ और चुंबकीय क्षेत्र $B$ समान हैं,इसलिए त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{r_1}{r_2} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}} \cdot \frac{\alpha_2}{\alpha_1}$ होगा।
मान रखने पर: $\frac{r_1}{r_2} = \sqrt{\frac{1}{4}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$।
अतः,त्रिज्याओं का अनुपात $1:4$ है।

(C) प्रोटॉन की गतिज ऊर्जा $K = 8.35 \text{ MeV} = 8.35 \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J} = 1.336 \times 10^{-12} \text{ J}$ है।
गतिज ऊर्जा के सूत्र $K = \frac{1}{2}mv^2$ का उपयोग करके,हम वेग $v = \sqrt{\frac{2K}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 1.336 \times 10^{-12}}{1.67 \times 10^{-27}}} = \sqrt{1.6 \times 10^{15}} = \sqrt{16 \times 10^{14}} = 4 \times 10^7 \text{ m/s}$ प्राप्त करते हैं।
चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण पर कार्य करने वाला चुंबकीय बल $F = qvB \sin(\theta)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि प्रोटॉन लंबवत प्रवेश करता है,$\theta = 90^\circ$,इसलिए $\sin(90^\circ) = 1$ है।
मान रखने पर: $F = (1.6 \times 10^{-19} \text{ C}) \times (4 \times 10^7 \text{ m/s}) \times (10 \text{ T}) = 6.4 \times 10^{-11} \text{ N} = 64 \times 10^{-12} \text{ N}$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) इलेक्ट्रॉन द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा $K.E. = \frac{1}{2}mv^2 = eV$ है।
इससे,वेग $v = \sqrt{\frac{2eV}{m}}$ प्राप्त होता है।
चुंबकीय क्षेत्र $B$ में $v$ वेग से गतिमान इलेक्ट्रॉन पर लगने वाला चुंबकीय बल $F = evB \sin(\theta)$ है। यदि वेग चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत है,तो $F = evB$.
$v$ का मान रखने पर: $F = eB \sqrt{\frac{2eV}{m}} = B \sqrt{\frac{2e^3V}{m}}$.
यह दर्शाता है कि $F \propto \sqrt{V}$.
इसलिए,$\frac{F_2}{F_1} = \sqrt{\frac{V_2}{V_1}}$.
दिया गया है कि $\frac{F_2}{F_1} = \frac{2F}{F} = 2$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $\frac{V_2}{V_1} = (2)^2 = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $\frac{V_2}{V_1} = 4:1$ है।

(B) दिया गया है: चुंबकीय क्षेत्र $B = 4 \ mT = 4 \times 10^{-3} \ T$.
विशिष्ट आवेश $\frac{q}{m} = 8 \times 10^7 \ C \ kg^{-1}$.
एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण का कोणीय वेग $\omega$ सूत्र $\omega = \frac{qB}{m}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\omega = \left(\frac{q}{m}\right) \times B = (8 \times 10^7 \ C \ kg^{-1}) \times (4 \times 10^{-3} \ T)$.
$\omega = 32 \times 10^4 \ rad \ s^{-1}$.

(A) माना प्रोटॉन की ऊर्जा $E_p$ और अल्फा कण की ऊर्जा $E_{\alpha}$ है। दिया गया है $\frac{E_p}{E_{\alpha}} = \frac{1}{4}$।
चूंकि $E = \frac{1}{2}mv^2$,इसलिए $\frac{\frac{1}{2}m_p v_p^2}{\frac{1}{2}m_{\alpha} v_{\alpha}^2} = \frac{1}{4}$।
हम जानते हैं कि $m_{\alpha} = 4m_p$,अतः $\frac{m_p v_p^2}{4m_p v_{\alpha}^2} = \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{v_p^2}{v_{\alpha}^2} = 1 \Rightarrow v_p = v_{\alpha}$।
चुंबकीय बल $F = qvB \sin(\theta)$ होता है। यहाँ $\theta = 90^{\circ}$ है,इसलिए $F = qvB$।
बलों का अनुपात $\frac{F_p}{F_{\alpha}} = \frac{q_p v_p B}{q_{\alpha} v_{\alpha} B} = \frac{q_p}{q_{\alpha}}$ होगा।
चूंकि अल्फा कण का आवेश $q_{\alpha} = 2q_p$ होता है,इसलिए अनुपात $\frac{q_p}{2q_p} = \frac{1}{2}$ होगा।

(C) कोणीय वेग $\omega = 4 \pi \times 10^6 \text{ rad s}^{-1}$ दिया गया है।
चुंबकीय क्षेत्र के समानांतर वेग का घटक $v_{\parallel} = 3 \times 10^5 \text{ m s}^{-1}$ है।
एक पूर्ण चक्कर के लिए समय अवधि $T = \frac{2 \pi}{\omega}$ है।
हेलिक्स की पिच, एक समय अवधि में चुंबकीय क्षेत्र की दिशा में तय की गई दूरी है: $\text{Pitch} = v_{\parallel} \times T$.
मान रखने पर: $\text{Pitch} = (3 \times 10^5) \times \left( \frac{2 \pi}{4 \pi \times 10^6} \right)$.
$\text{Pitch} = 3 \times 10^5 \times \frac{1}{2 \times 10^6} = \frac{3}{20} \text{ m} = 0.15 \text{ m}$.
सेंटीमीटर में बदलने पर: $0.15 \text{ m} = 15 \text{ cm}$।

(A) जब कोई आवेशित कण चुंबकीय क्षेत्र में $v_{\perp}$ (क्षेत्र के लंबवत) और $v_{\parallel}$ (क्षेत्र के समानांतर) वेग घटकों के साथ गति करता है,तो वह एक हेलिकल पथ का अनुसरण करता है।
एक पूर्ण घूर्णन के लिए समय अवधि $T$ वेग के लंबवत घटक द्वारा निर्धारित की जाती है:
$T = \frac{2 \pi m}{q B}$
एक घूर्णन में चुंबकीय क्षेत्र की दिशा में तय की गई दूरी को पिच $(p)$ कहा जाता है।
$p = v_{\parallel} \times T$
$T$ का मान रखने पर:
$p = v_{\parallel} \times \frac{2 \pi m}{q B}$
यदि कुल वेग $v$ को समानांतर घटक माना जाए,तो दूरी $\frac{2 \pi m v}{q B}$ होती है।

(C) चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत गति करने वाले आवेशित कण के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $R$ का सूत्र है: $R = \frac{mv}{qB}$।
दिए गए मान हैं:
इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान,$m = 9 \times 10^{-31} \ kg$
इलेक्ट्रॉन का वेग,$v = 3.2 \times 10^7 \ m/s$
इलेक्ट्रॉन का आवेश,$q = 1.6 \times 10^{-19} \ C$
चुंबकीय क्षेत्र,$B = 6 \times 10^{-4} \ T$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$R = \frac{(9 \times 10^{-31}) \times (3.2 \times 10^7)}{(1.6 \times 10^{-19}) \times (6 \times 10^{-4})}$
$R = \frac{28.8 \times 10^{-24}}{9.6 \times 10^{-23}}$
$R = \frac{28.8}{9.6} \times 10^{-1} \ m$
$R = 3 \times 10^{-1} \ m = 0.3 \ m = 30 \ cm$।

(A) जब एक आवेशित कण चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत गति करता है,तो वह एक वृत्ताकार पथ का अनुसरण करता है।
चुंबकीय लोरेंत्ज़ बल आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है: $q v B = \frac{m v^2}{r}$।
इसे सरल करने पर $\frac{v}{r} = \frac{q B}{m}$ प्राप्त होता है।
चूंकि कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{v}{r}$ होती है,इसलिए $\omega = \frac{q B}{m}$ होगा।
घूर्णन की आवृत्ति $f$ को $f = \frac{\omega}{2 \pi} = \frac{q B}{2 \pi m}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि आवृत्ति $f$ केवल आवेश $q$,चुंबकीय क्षेत्र $B$ और द्रव्यमान $m$ पर निर्भर करती है,यह कण के वेग या गतिज ऊर्जा से स्वतंत्र है।
इसलिए,दोनों इलेक्ट्रॉनों $e_1$ और $e_2$ के लिए आवृत्तियाँ समान होंगी,अर्थात $f_1 = f_2$।

(A) इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $K = 100 eV = 100 \times 1.6 \times 10^{-19} J = 1.6 \times 10^{-17} J$ है।
वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r = 10 cm = 0.1 m$ है।
इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $m = 0.5 MeV/c^2 = \frac{0.5 \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19} J}{(3 \times 10^8 m/s)^2} \approx 8.89 \times 10^{-31} kg$ है।
चुंबकीय क्षेत्र में आवेशित कण के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या का सूत्र $r = \frac{mv}{qB} = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ होता है।
$B$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$B = \frac{\sqrt{2mK}}{rq}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $B = \frac{\sqrt{2 \times 8.89 \times 10^{-31} \times 1.6 \times 10^{-17}}}{0.1 \times 1.6 \times 10^{-19}}$.
$B = \frac{\sqrt{28.448 \times 10^{-48}}}{1.6 \times 10^{-20}} = \frac{5.33 \times 10^{-24}}{1.6 \times 10^{-20}} \approx 3.33 \times 10^{-4} T$.

(C) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में गति कर रहे आवेशित कण की वक्रता त्रिज्या $r$ का सूत्र है:
$r = \frac{mv}{qB} = \frac{\sqrt{2m(K.E.)}}{qB}$
चूंकि $m$,$q$ और $B$ स्थिर हैं,इसलिए $r \propto \sqrt{K.E.}$ होता है।
माना प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_1$ है और अंतिम गतिज ऊर्जा $K_2 = \frac{K_1}{2}$ है।
त्रिज्याओं का अनुपात होगा:
$\frac{r_2}{r_1} = \sqrt{\frac{K_2}{K_1}} = \sqrt{\frac{K_1/2}{K_1}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,वक्रता त्रिज्या अपने प्रारंभिक मान की $\frac{1}{\sqrt{2}}$ गुना हो जाती है।

(D) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण पर लगने वाला चुंबकीय बल लोरेंत्ज़ बल सूत्र द्वारा दिया जाता है: $F = q(v \times B)$.
दिया गया है:
$q = 1.0 \times 10^{-16} \ C$
$v = (2 \hat{i} + 4 \hat{j}) \ ms^{-1}$
$B = B_0(\hat{i} + 4 \hat{j}) \ T$
$F = 3 \times 10^{-16} \hat{k} \ N$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$3 \times 10^{-16} \hat{k} = 1.0 \times 10^{-16} \times [(2 \hat{i} + 4 \hat{j}) \times B_0(\hat{i} + 4 \hat{j})]$
$3 \hat{k} = B_0 \times [2 \hat{i} \times \hat{i} + 8 \hat{i} \times \hat{j} + 4 \hat{j} \times \hat{i} + 16 \hat{j} \times \hat{j}]$
सदिश गुणन के नियमों का उपयोग करने पर $(\hat{i} \times \hat{i} = 0, \hat{j} \times \hat{j} = 0, \hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}, \hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k})$:
$3 \hat{k} = B_0 \times [0 + 8 \hat{k} - 4 \hat{k} + 0]$
$3 \hat{k} = B_0 \times (4 \hat{k})$
$4 B_0 = 3$
$B_0 = \frac{3}{4} = 0.75 \ T$.

(C) गतिमान आवेश पर लगने वाला चुंबकीय बल (लोरेंत्ज़ बल) $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ व्यंजक द्वारा दिया जाता है।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि बल आवेश के वेग $\vec{v}$ पर निर्भर करता है।
यदि आवेश विराम अवस्था में है,तो उसका वेग $\vec{v} = 0$ होता है।
इस मान को समीकरण में रखने पर,हमें $\vec{F} = q(0 \times \vec{B}) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,चुंबकीय क्षेत्र विराम अवस्था में स्थित आवेश पर कोई बल नहीं लगाता है।

(B) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण पर लगने वाला चुंबकीय बल $F$ का सूत्र $F = qvB \sin \theta$ है।
दिए गए मान:
प्रोटॉन का आवेश,$q = 1.6 \times 10^{-19} \ C$
वेग,$v = 2.5 \times 10^7 \ m/s$
चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता,$B = 2.5 \ T$
कोण,$\theta = 30^{\circ}$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$F = (1.6 \times 10^{-19}) \times (2.5 \times 10^7) \times (2.5) \times \sin 30^{\circ}$
$F = (1.6 \times 10^{-19}) \times (6.25 \times 10^7) \times 0.5$
$F = 10 \times 10^{-12} \times 0.5$
$F = 5 \times 10^{-12} \ N$