Biot-Savart's Law and its application Questions in Hindi

(B) हीलियम नाभिक पर आवेश, $q = +2e = 2 \times 1.6 \times 10^{-19} \,C = 3.2 \times 10^{-19} \,C$ है।
वृत्त की त्रिज्या, $r = 0.8 \,m$ है।
समय अवधि (आवर्तकाल), $T = 2 \,s$ है।
अतः, गतिमान हीलियम नाभिक से संबद्ध धारा $I = \frac{q}{T} = \frac{3.2 \times 10^{-19} \,C}{2 \,s} = 1.6 \times 10^{-19} \,A$ है।
वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ होता है।
मान रखने पर, $B = \frac{\mu_0 \times 1.6 \times 10^{-19}}{2 \times 0.8} = \frac{\mu_0 \times 1.6 \times 10^{-19}}{1.6} = \mu_0 \times 10^{-19} \,T$ प्राप्त होता है।

$(C)$ हीलियम नाभिक पर आवेश $q = 2e = 2 \times 1.6 \times 10^{-19} \,C = 3.2 \times 10^{-19} \,C$ है।
दी गई त्रिज्या $r = 0.8 \,m$ और समय अवधि $T = 2.5 \,s$ है।
आवेश के घूर्णन के कारण उत्पन्न समतुल्य धारा $I = \frac{q}{T} = \frac{3.2 \times 10^{-19}}{2.5} = 1.28 \times 10^{-19} \,A$ है।
वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $B = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 1.28 \times 10^{-19}}{2 \times 0.8} = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 1.28}{1.6} = 4 \pi \times 10^{-7} \times 0.8 \times 10^{-19} = 3.2 \pi \times 10^{-26} \,T$।
दिए गए विकल्पों में सबसे निकटतम मान $4 \pi \times 10^{-26} \,T$ है।

(A) चालक दो अर्ध-अनंत सीधे खंडों और एक वृत्ताकार चाप से बना है।
केंद्र $O$ पर प्रत्येक भाग के कारण चुंबकीय क्षेत्र की गणना इस प्रकार है:
$1$. दो सीधे खंड $PQ$ और $CD$ केंद्र $O$ से $r$ दूरी पर हैं। अर्ध-अनंत तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_{straight} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r}$ है। दोनों खंड समान दिशा में क्षेत्र उत्पन्न करते हैं।
$2$. वृत्ताकार चाप केंद्र पर $\theta = \frac{3\pi}{2}$ कोण बनाता है। चाप के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_{arc} = \frac{\mu_0 I \theta}{4 \pi r} = \frac{3\mu_0 I}{8 r}$ है।
इस प्रकार,कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I(\pi+1)}{2 \pi r}$ प्राप्त होता है।

(B) चित्र में दिखाए गए विन्यास में,केंद्र $C$ पर कुल चुंबकीय क्षेत्र सीधे तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_1$ और वृत्ताकार भाग के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_2$ के योग के बराबर होगा।
$1$. मैक्सवेल के दाएं हाथ के अंगूठे के नियम के अनुसार,बिंदु $C$ पर दोनों चुंबकीय क्षेत्रों की दिशा समान और कागज के तल के ऊपर की ओर होगी।
$2$. सीधे तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 i}{4 \pi r}$ है।
$3$. वृत्ताकार भाग के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 i}{4 r}$ है।
अतः,कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_C = B_1 + B_2 = \frac{\mu_0 i}{4 \pi r} + \frac{\mu_0 i}{4 r} = \frac{\mu_0 i}{4 \pi r}(1 + \pi)$ होगा।

(A) $N$ फेरों,$r$ त्रिज्या और $i$ धारा वाली एक वृत्ताकार कुंडली के अक्ष पर केंद्र से $h$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र है: $B_{\text{axis}} = \frac{\mu_0 N i r^2}{2(r^2 + h^2)^{3/2}}$।
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $B_{\text{axis}} = \frac{\mu_0 N i r^2}{2 r^3 (1 + h^2/r^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 N i}{2 r} (1 + h^2/r^2)^{-3/2}$।
द्विपद प्रमेय $(1+x)^n \approx 1+nx$ का उपयोग करने पर ($h \ll r$ के लिए): $B_{\text{axis}} \approx \frac{\mu_0 N i}{2 r} (1 - \frac{3h^2}{2r^2})$।
केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{\text{center}} = \frac{\mu_0 N i}{2 r}$ होता है।
अतः,$B_{\text{axis}} = B_{\text{center}} (1 - \frac{3h^2}{2r^2}) = B_{\text{center}} - \frac{3h^2}{2r^2} B_{\text{center}}$।
इस प्रकार,क्षेत्र में कमी $\frac{3h^2}{2r^2} B_{\text{center}}$ है,इसलिए यह $\frac{3h^2}{2r^2}$ भिन्न से छोटा है।

(D) अनंत लंबाई के तार के कारण $d$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi d}$ होता है।
$X$-अक्ष पर स्थित $I_x = 4 \text{ A}$ धारा वाले तार के कारण बिंदु $P(0, 0, d)$ पर चुंबकीय क्षेत्र ऋणात्मक $Y$-दिशा में होगा (दाएं हाथ के नियम का उपयोग करते हुए)।
$B_x = \frac{\mu_0 (4)}{2 \pi d} (-\hat{j})$
$Y$-अक्ष पर स्थित $I_y = 3 \text{ A}$ धारा वाले तार के कारण बिंदु $P(0, 0, d)$ पर चुंबकीय क्षेत्र धनात्मक $X$-दिशा में होगा।
$B_y = \frac{\mu_0 (3)}{2 \pi d} (\hat{i})$
चूंकि ये दोनों क्षेत्र एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B$ होगा:
$B = \sqrt{B_x^2 + B_y^2}$
$B = \sqrt{\left(\frac{4 \mu_0}{2 \pi d}\right)^2 + \left(\frac{3 \mu_0}{2 \pi d}\right)^2}$
$B = \frac{\mu_0}{2 \pi d} \sqrt{4^2 + 3^2}$
$B = \frac{\mu_0}{2 \pi d} \sqrt{16 + 9}$
$B = \frac{5 \mu_0}{2 \pi d} \text{ T}$

(A) वृत्ताकार लूप की अक्ष पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र $B_{\text{axis}} = \frac{\mu_0 I r^2}{2(r^2 + x^2)^{3/2}}$ है।
यहाँ $r = 3 \text{ cm}$ और $x = 4 \text{ cm}$ दिया गया है,इसलिए दूरी $d = \sqrt{r^2 + x^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \text{ cm}$ है।
मान रखने पर: $54 \mu\text{T} = \frac{\mu_0 I (3 \text{ cm})^2}{2(5 \text{ cm})^3} = \frac{\mu_0 I (9)}{2(125)}$.
अतः,$\frac{\mu_0 I}{2} = \frac{54 \times 125}{9} = 750 \mu\text{T} \cdot \text{cm}$.
केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{\text{centre}} = \frac{\mu_0 I}{2r} = \frac{750 \mu\text{T} \cdot \text{cm}}{3 \text{ cm}} = 250 \mu\text{T}$ प्राप्त होता है।

(A) बिंदु $P$ से गुजरने वाले $i$ धारा वाले सीधे तार के खंड के कारण बिंदु $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र शून्य है,क्योंकि बिंदु $P$ इस खंड की अक्ष पर स्थित है।
दूसरे खंड के लिए,बिंदु $P$ से तार की रेखा तक की लंबवत दूरी $r = d \sin(45^{\circ}) = \frac{d}{\sqrt{2}}$ है।
$r$ लंबवत दूरी पर एक अर्ध-अनंत तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i}{4 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
$r = \frac{d}{\sqrt{2}}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $B = \frac{\mu_0 i}{4 \pi (d / \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{2} \mu_0 i}{4 \pi d} = \frac{\mu_0 i}{2 \sqrt{2} \pi d}$ प्राप्त होता है।

(C) एक परिमित सीधे तार के कारण $r$ लंबवत दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र $B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ है।
दिया गया है: $L = 32 \,cm$, इसलिए आधी लंबाई $a = 16 \,cm$ है। लंबवत दूरी $r = 12 \,cm$ है।
कर्ण $d = \sqrt{r^2 + a^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20 \,cm$ है।
अतः, $\sin \theta_1 = \sin \theta_2 = \frac{a}{d} = \frac{16}{20} = 0.8$ है।
मान रखने पर:
$B = \frac{10^{-7} \times 30}{12 \times 10^{-2}} (0.8 + 0.8)$
$B = \frac{30 \times 10^{-5}}{12} (1.6) = 2.5 \times 10^{-5} \times 1.6 = 4 \times 10^{-5} \,T$ है।
चूंकि $1 \,T = 10^4 \,G$, इसलिए $B = 4 \times 10^{-5} \times 10^4 \,G = 0.4 \,G$ है।

(A) $r$ त्रिज्या के वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र,जिसमें $i$ धारा प्रवाहित हो रही है,$B_{loop} = \frac{\mu_0 i}{2r}$ है।
$i$ धारा ले जाने वाले अनंत लंबे सीधे तार से $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{wire} = \frac{\mu_0 i}{2\pi r}$ है।
जब लूप में धारा दक्षिणावर्त होती है,तो लूप के कारण चुंबकीय क्षेत्र कागज के तल के अंदर की ओर होता है,और सीधे तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र कागज के तल के बाहर की ओर होता है। अतः,$B_1 = \frac{\mu_0 i}{2r} - \frac{\mu_0 i}{2\pi r} = \frac{\mu_0 i}{2r} (1 - \frac{1}{\pi})$.
जब लूप में धारा वामावर्त होती है,तो लूप के कारण चुंबकीय क्षेत्र कागज के तल के बाहर की ओर होता है,और सीधे तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र भी कागज के तल के बाहर की ओर होता है। अतः,$B_2 = \frac{\mu_0 i}{2r} + \frac{\mu_0 i}{2\pi r} = \frac{\mu_0 i}{2r} (1 + \frac{1}{\pi})$.
अनुपात लेने पर,$\frac{B_1}{B_2} = \frac{1 - \frac{1}{\pi}}{1 + \frac{1}{\pi}} = \frac{\pi - 1}{\pi + 1}$.
$\pi \approx \frac{22}{7}$ रखने पर,हमें $\frac{B_1}{B_2} = \frac{\frac{22}{7} - 1}{\frac{22}{7} + 1} = \frac{15}{29}$ प्राप्त होता है।

(A) अर्ध-अनंत तार के कारण लंबवत दूरी $r$ पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र $B = \frac{\mu_0 i}{4 \pi r} (\sin \phi_1 + \sin \phi_2)$ है।
क्षैतिज खंड के लिए,बिंदु $P$ उसकी अक्ष पर स्थित है,इसलिए इस खंड के कारण चुंबकीय क्षेत्र शून्य है।
तिरछे खंड के लिए,बिंदु $P$ से तार की लंबवत दूरी $r = d \sin 45^{\circ} = \frac{d}{\sqrt{2}}$ है।
तिरछे तार के सिरों द्वारा $P$ पर बनने वाले कोण $\phi_1 = 90^{\circ}$ (मोड़ $Q$ से) और $\phi_2 = 45^{\circ}$ हैं।
सूत्र $B = \frac{\mu_0 i}{4 \pi r} (\sin 90^{\circ} - \sin 45^{\circ})$ का उपयोग करने पर:
$B = \frac{\mu_0 i}{4 \pi (d/\sqrt{2})} (1 - \frac{1}{\sqrt{2}})$
$B = \frac{\mu_0 i \sqrt{2}}{4 \pi d} (\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}})$
$B = \frac{\mu_0 i}{4 \pi d} (\sqrt{2}-1)$.

(B) मान लीजिए कि तारों $P$ और $Q$ में धारा $I$ है। तार $P$,$x = -a$ पर और तार $Q$,$x = a$ पर स्थित है। अनंत तार के कारण $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ होता है।
मूल बिंदु $O(0,0)$ पर,$P$ के कारण क्षेत्र $B_P = \frac{\mu_0 I}{2\pi a} = B$ (कागज के अंदर की ओर) है।
$O$ पर $Q$ के कारण क्षेत्र $B_Q = \frac{\mu_0 I}{2\pi a} = B$ (यह भी अंदर की ओर) है।
$O(0,0)$ पर परिणामी क्षेत्र $B_{net} = B + B = 2B$ है। अतः,$D-i$ सही है।
$X$-अक्ष पर एक सामान्य बिंदु $x$ के लिए,$P$ के कारण क्षेत्र $B_P = \frac{\mu_0 I}{2\pi (x+a)}$ और $Q$ के कारण $B_Q = \frac{\mu_0 I}{2\pi (a-x)}$ है।
चूंकि धाराएं विपरीत दिशाओं में हैं,इसलिए क्षेत्र जुड़ जाते हैं: $B_{net} = \frac{\mu_0 I}{2\pi} [\frac{1}{x+a} + \frac{1}{a-x}] = B [\frac{a^2}{a^2-x^2}]$.
दिए गए विकल्पों के आधार पर,सही मिलान $A-iv, B-ii, C-iii, D-i$ है।

(A) $R$ त्रिज्या वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{center} = \frac{\mu_0 I}{2R}$ होता है।
केंद्र से $x$ दूरी पर अक्ष पर स्थित बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{axis} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ होता है।
दिया गया है कि $B_{center} = 6\sqrt{6} \times B_{axis}$,इसलिए:
$\frac{\mu_0 I}{2R} = 6\sqrt{6} \times \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$.
सरल करने पर,$1 = 6\sqrt{6} \times \frac{R^3}{(R^2 + x^2)^{3/2}}$.
$(R^2 + x^2)^{3/2} = 6\sqrt{6} R^3$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(R^2 + x^2)^3 = (6\sqrt{6})^2 R^6 = 216 \times 6 \times R^6 = 1296 R^6$.
घनमूल लेने पर: $R^2 + x^2 = (1296)^{1/3} R^2 = 6 R^2$ (नोट: $6^3 = 216$,यहाँ $216^{1/3} = 6$ आता है)।
अतः $x^2 = 5R^2$,जिसका अर्थ है $x = R\sqrt{5}$.
$x = 8 \times 2.236 = 17.888 \approx 17.89 \ cm$।

(D) $n$ फेरों,$r$ त्रिज्या और $I$ धारा वाली एक वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 n I}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
चूँकि दोनों कुंडलियाँ संकेंद्रित हैं और विपरीत दिशाओं में धारा वहन करती हैं,केंद्र पर कुल चुंबकीय क्षेत्र व्यक्तिगत चुंबकीय क्षेत्रों का अंतर है।
दिया गया है: $n_1 = n_2 = 20$,$I_1 = 0.4 \text{ A}$,$r_1 = 30 \text{ cm} = 0.3 \text{ m}$,$I_2 = 0.6 \text{ A}$,$r_2 = 60 \text{ cm} = 0.6 \text{ m}$.
$B_{\text{net}} = |B_1 - B_2| = \left| \frac{\mu_0 n_1 I_1}{2 r_1} - \frac{\mu_0 n_2 I_2}{2 r_2} \right|$
$B_{\text{net}} = \frac{\mu_0 \times 20}{2} \left( \frac{0.4}{0.3} - \frac{0.6}{0.6} \right)$
$B_{\text{net}} = 10 \mu_0 \left( \frac{4}{3} - 1 \right)$
$B_{\text{net}} = 10 \mu_0 \left( \frac{1}{3} \right) = \frac{10}{3} \mu_0 \text{ T}$.

(B) अनंत लंबाई के सीधे तार के कारण $r$ लंबवत दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
बाएं तार के लिए, बिंदु $O$ क्षैतिज खंड की अक्ष पर स्थित है, इसलिए क्षैतिज खंड के कारण $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र $0$ है। ऊर्ध्वाधर खंड $r = 2 \ cm = 0.02 \ m$ की दूरी पर एक अर्ध-अनंत तार है। अर्ध-अनंत तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 I}{4\pi r}$ है।
दाएं हाथ के नियम का उपयोग करते हुए, $O$ पर क्षेत्र $B_1$ पृष्ठ के अंदर की ओर $(\otimes)$ है।
इसी प्रकार, दाएं तार के लिए, बिंदु $O$ क्षैतिज खंड की अक्ष पर स्थित है, इसलिए इसका योगदान $0$ है। ऊर्ध्वाधर खंड $r = 2 \ cm = 0.02 \ m$ की दूरी पर एक अर्ध-अनंत तार है। $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_2$ पृष्ठ के अंदर की ओर $(\otimes)$ है।
कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = B_1 + B_2 = 2 \times \left( \frac{\mu_0 I}{4\pi r} \right) = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ है।
मान रखने पर: $B = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times 10}{2\pi \times 0.02} = \frac{2 \times 10^{-6}}{0.02} = 10^{-4} \ T$.

(C) एक लंबे सीधे धारावाही चालक से $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए कि दो चालक $d = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$ की दूरी पर रखे गए हैं।
मध्य बिंदु पर,प्रत्येक चालक से दूरी $r = \frac{d}{2} = 0.05 \text{ m}$ है।
पहले चालक के लिए,मध्य बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1$ तल के अंदर की ओर निर्देशित है (दाएं हाथ के अंगूठे के नियम का उपयोग करके)।
दूसरे चालक के लिए,मध्य बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $B_2$ तल के बाहर की ओर निर्देशित है।
चूंकि धाराएं समान हैं $(I_1 = I_2 = 3 \text{ A})$ और दूरियां समान हैं,इसलिए चुंबकीय क्षेत्रों का परिमाण समान है: $B_1 = B_2 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$।
चूंकि क्षेत्र परिमाण में समान और दिशा में विपरीत हैं,इसलिए कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = B_1 - B_2 = 0$ है।

(A) वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र प्रेरण $B$ का सूत्र है:
$B = \frac{\mu_0 I}{2r} \quad \dots (i)$
हम जानते हैं कि प्रकाश की गति $c$,पारगम्यता $\mu_0$ और विद्युतशीलता $\varepsilon_0$ के बीच संबंध है:
$c^2 = \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0} \implies \mu_0 = \frac{1}{\varepsilon_0 c^2}$
इस मान को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$B = \left( \frac{1}{\varepsilon_0 c^2} \right) \frac{I}{2r}$
दिए गए मान: $I = 0.9 \,A$,$r = 5 \,cm = 5 \times 10^{-2} \,m$,$c = 3 \times 10^8 \,ms^{-1}$.
$B = \frac{1}{\varepsilon_0 (3 \times 10^8)^2} \times \frac{0.9}{2 \times 5 \times 10^{-2}}$
$B = \frac{1}{\varepsilon_0 \times 9 \times 10^{16}} \times \frac{0.9}{10 \times 10^{-2}}$
$B = \frac{1}{\varepsilon_0 \times 9 \times 10^{16}} \times \frac{0.9}{0.1} = \frac{1}{\varepsilon_0 \times 9 \times 10^{16}} \times 9$
$B = \frac{1}{\varepsilon_0 \times 10^{16}}$

(A) $x=1 \ cm$ पर स्थित तार के कारण मूल बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $B_0 = \frac{\mu_0 i}{2 \pi (0.01)}$ $+z$ दिशा $(\hat{k})$ में है।
$x=-2 \ cm$ पर स्थित तार के कारण मूल बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $B' = \frac{\mu_0 i}{2 \pi (0.02)}$ $-z$ दिशा $(-\hat{k})$ में है।
मूल बिंदु पर परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}_{net} = B_0 \hat{k} - \frac{B_0}{2} \hat{k} = \frac{B_0}{2} \hat{k}$ है।
इलेक्ट्रॉन का वेग $\vec{v} = U \cos(45^{\circ}) \hat{i} + U \sin(45^{\circ}) \hat{j} = \frac{U}{\sqrt{2}} \hat{i} + \frac{U}{\sqrt{2}} \hat{j}$ है।
इलेक्ट्रॉन पर लगने वाला बल $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B}) = (-e) \left( \frac{U}{\sqrt{2}} \hat{i} + \frac{U}{\sqrt{2}} \hat{j} \right) \times \left( \frac{B_0}{2} \hat{k} \right)$ है।
क्रॉस प्रोडक्ट की गणना करने पर: $\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$ और $\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$।
$\vec{F} = -e \left( \frac{U B_0}{2 \sqrt{2}} (-\hat{j}) + \frac{U B_0}{2 \sqrt{2}} (\hat{i}) \right) = \frac{-e U B_0}{2 \sqrt{2}} (\hat{i} - \hat{j})$।

(A) किसी सतह से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi$ सूत्र $\phi = B A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ क्षेत्रफल है और $B$ चुंबकीय प्रेरण है।
$B$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $B = \frac{\phi}{A}$ प्राप्त होता है।
चुंबकीय फ्लक्स $\phi$ का $SI$ मात्रक वेबर $(Wb)$ है और क्षेत्रफल $A$ का $SI$ मात्रक वर्ग मीटर $(m^2)$ है।
अतः,चुंबकीय प्रेरण $B$ का मात्रक $\frac{Wb}{m^2}$ या $Wb m^{-2}$ है।

(B) मुक्त स्थान की पारगम्यता $\mu_0$ को संबंध $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ द्वारा परिभाषित किया जाता है।
इससे,इकाइयाँ $\mu_0 = \frac{B \cdot r}{I} = \frac{\text{Tesla} \cdot \text{metre}}{\text{Ampere}}$ होती हैं।
चूंकि $1 \text{ Tesla} = 1 \text{ Weber/metre}^2$,इसलिए $\mu_0 = \frac{\text{Weber}}{\text{metre}^2} \cdot \frac{\text{metre}}{\text{Ampere}} = \frac{\text{Weber}}{\text{Ampere} \cdot \text{metre}}$।
साथ ही,चूंकि $1 \text{ Henry} = 1 \text{ Weber/Ampere}$,इकाई को $\text{Henry/metre}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
फैराडे के नियम के अनुसार,$1 \text{ Volt} = 1 \text{ Weber/second}$,इसलिए $1 \text{ Weber} = 1 \text{ Volt} \cdot \text{second}$।
इसे प्रतिस्थापित करने पर,$\mu_0 = \frac{\text{Volt} \cdot \text{second}}{\text{Ampere} \cdot \text{metre}}$।
चूंकि $1 \text{ Ohm} = 1 \text{ Volt/Ampere}$,हमें $\mu_0 = \frac{\text{Ohm} \cdot \text{second}}{\text{metre}}$ प्राप्त होता है।
इनकी विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $B$ (वेबर/एम्पियर) में हर (denominator) में 'मीटर' पद गायब है,जो इसे गलत निरूपण बनाता है।

(B) मान लीजिए कि तार की लंबाई $L$ है। $N$ फेरों और $R$ त्रिज्या वाली कुंडली की परिधि $L = N(2\pi R)$ होती है।
कुंडली $P$ के लिए: $L = N_P(2\pi R_P) = 4(2\pi R_P) \implies R_P = \frac{L}{8\pi}$.
कुंडली $Q$ के लिए: $L = N_Q(2\pi R_Q) = 2(2\pi R_Q) \implies R_Q = \frac{L}{4\pi}$.
वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 N I}{2R}$ होता है।
मान लीजिए कि दोनों कुंडलियों में समान धारा $I$ प्रवाहित हो रही है:
$B_P = \frac{\mu_0 N_P I}{2 R_P} = \frac{\mu_0 (4) I}{2 (L/8\pi)} = \frac{16\pi \mu_0 I}{L}$.
$B_Q = \frac{\mu_0 N_Q I}{2 R_Q} = \frac{\mu_0 (2) I}{2 (L/4\pi)} = \frac{4\pi \mu_0 I}{L}$.
अतः,अनुपात $\frac{B_P}{B_Q} = \frac{16\pi \mu_0 I / L}{4\pi \mu_0 I / L} = \frac{16}{4} = 4$ है।

(C) $r$ त्रिज्या और $i$ धारा वाले वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
चुंबकीय ऊर्जा घनत्व $u_d = \frac{B^2}{2\mu_0}$ है।
घन के आयतन $V$ में संग्रहीत कुल चुंबकीय ऊर्जा $U = u_d \times V = \frac{B^2}{2\mu_0} \times a^3$ है,जहाँ $a$ घन की भुजा है।
$B = \frac{\mu_0 i}{2r}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $U = \frac{1}{2\mu_0} \left( \frac{\mu_0 i}{2r} \right)^2 \times a^3 = \frac{\mu_0 i^2 a^3}{8r^2}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है: $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$,$i = 2 \ A$,$r = 0.2 \ m$,$a = 10^{-3} \ m$.
$U = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times (2)^2 \times (10^{-3})^3}{8 \times (0.2)^2} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 4 \times 10^{-9}}{8 \times 0.04} = \frac{16\pi \times 10^{-16}}{0.32} = 50\pi \times 10^{-16} \approx 1.57 \times 10^{-14} \ J$.

(A) चित्र में दिखाए अनुसार सर्पिल के केंद्र से $r$ दूरी पर $dr$ मोटाई वाले एक छोटे वृत्ताकार तत्व पर विचार करें।
इस तत्व में फेरों की कुल संख्या $dN = \frac{N}{b-a} dr$ है।
इस तत्व से गुजरने वाली धारा $di = I \cdot dN = \frac{N I}{b-a} dr$ है।
इस तत्व के कारण सर्पिल के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $dB = \frac{\mu_0 di}{2r} = \frac{\mu_0 N I}{2(b-a)} \frac{dr}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
$r = a$ से $r = b$ तक समाकलन करने पर,कुल चुंबकीय क्षेत्र $B$ प्राप्त होता है:
$B = \int_a^b \frac{\mu_0 N I}{2(b-a)} \frac{dr}{r} = \frac{\mu_0 N I}{2(b-a)} \ln \left( \frac{b}{a} \right)$.
यहाँ $N = 100$,$I = 1 \text{ A}$,$a = 1 \text{ cm} = 10^{-2} \text{ m}$,और $b = 2 \text{ cm} = 2 \times 10^{-2} \text{ m}$ दिया गया है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$B = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 100 \times 1}{2(2 \times 10^{-2} - 1 \times 10^{-2})} \ln \left( \frac{2 \times 10^{-2}}{1 \times 10^{-2}} \right)$
$B = \frac{4 \pi \times 10^{-5}}{2 \times 10^{-2}} \ln(2) = 2 \pi \times 10^{-3} \ln(2) \text{ T}$.
चूंकि $1 \text{ T} = 10^3 \text{ mT}$,इसलिए $B = 2 \pi \ln(2) \text{ mT}$ प्राप्त होता है।

(D) बायो-सावर्ट नियम के अनुसार,$I d\vec{l}$ धारा अवयव द्वारा $\vec{r}$ स्थिति सदिश पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $d\vec{B}$ इस प्रकार है:
$d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I (d\vec{l} \times \vec{r})}{r^3}$
चूंकि $\vec{r} = r \hat{r}$,इसे इस प्रकार भी लिखा जा सकता है:
$d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I (d\vec{l} \times \hat{r})}{r^2}$
दाएं हाथ के नियम के अनुसार,$d\vec{B}$ की दिशा $d\vec{l}$ और $\vec{r}$ दोनों को समाहित करने वाले तल के लंबवत होती है।

(A) अनंत लंबाई के धारावाही तार के कारण $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
$x_1 = 1 \text{ cm} = 10^{-2} \text{ m}$ पर स्थित तार के लिए,मूल बिंदु $(0,0)$ पर चुंबकीय क्षेत्र धनात्मक $y$-अक्ष की दिशा में है (दाएं हाथ के नियम का उपयोग करते हुए): $\vec{B}_1 = \frac{\mu_0 i}{2 \pi (10^{-2})} \hat{j}$।
$x_2 = 2 \text{ cm} = 2 \times 10^{-2} \text{ m}$ पर स्थित तार के लिए,मूल बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र भी धनात्मक $y$-अक्ष की दिशा में है: $\vec{B}_2 = \frac{\mu_0 i}{2 \pi (2 \times 10^{-2})} \hat{j}$।
मूल बिंदु पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B} = \vec{B}_1 + \vec{B}_2 = \frac{\mu_0 i}{2 \pi} \left[ \frac{1}{10^{-2}} + \frac{1}{2 \times 10^{-2}} \right] \hat{j} = \frac{\mu_0 i}{2 \pi \times 10^{-2}} \left[ 1 + \frac{1}{2} \right] \hat{j} = \frac{\mu_0 i}{2 \pi \times 10^{-2}} \left( \frac{3}{2} \right) \hat{j}$।
दिया गया है कि $B_0$ केवल पहले तार के कारण क्षेत्र का परिमाण है: $B_0 = \frac{\mu_0 i}{2 \pi \times 10^{-2}}$।
अतः,अनुपात $B / B_0 = \frac{3}{2}$ है।

(D) $i_1$ और $i_2$ धारा ले जाने वाले और $r$ दूरी पर स्थित दो लंबे समानांतर तारों के बीच प्रति इकाई लंबाई बल $f$ का सूत्र है:
$f = \frac{\mu_0 i_1 i_2}{2 \pi r}$
दिया गया है:
$f = 4 \times 10^{-5} \ N \ m^{-1}$
$r = 2.50 \ cm = 2.50 \times 10^{-2} \ m$
$i_1 = 0.5 \ A$
$\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ T \ m \ A^{-1}$
सूत्र में मान रखने पर:
$4 \times 10^{-5} = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 0.5 \times i_2}{2 \pi \times 2.50 \times 10^{-2}}$
$4 \times 10^{-5} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 0.5 \times i_2}{2.50 \times 10^{-2}}$
$4 \times 10^{-5} = \frac{10^{-7} \times i_2}{2.50 \times 10^{-2}}$
$i_2 = \frac{4 \times 10^{-5} \times 2.50 \times 10^{-2}}{10^{-7}}$
$i_2 = 4 \times 2.50 = 10 \ A$
चूंकि तार एक-दूसरे को प्रतिकर्षित करते हैं,इसलिए धाराएं विपरीत दिशाओं में प्रवाहित होनी चाहिए।

(A) दिया गया है,तार से प्रवाहित धारा $I=8 \text{ A}$ है।
अर्ध-वृत्ताकार तार की त्रिज्या $R=10 \pi \text{ cm} = 10 \pi \times 10^{-2} \text{ m} = 0.1 \pi \text{ m}$ है।
अर्ध-वृत्ताकार धारावाही तार द्वारा इसके केंद्र $O$ पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B$ का मान है:
$B = \frac{\mu_0 I}{4 R}$
मान रखने पर $(\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \text{ T m/A})$:
$B = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 8}{4 \times 0.1 \pi} = \frac{32 \pi \times 10^{-7}}{0.4 \pi} = 80 \times 10^{-7} = 8 \times 10^{-6} \text{ T}$.
चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही तार पर प्रति इकाई लंबाई लगने वाला बल $f = I B \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि चुंबकीय क्षेत्र तार के लंबवत है,$\sin 90^{\circ} = 1$,इसलिए $f = I B$ होगा।
$f = 8 \text{ A} \times 8 \times 10^{-6} \text{ T} = 64 \times 10^{-6} \text{ N/m} = 64 \mu \text{N/m}$.

(A) मान लीजिए कि प्रत्येक तार की लंबाई $L$ है और उनमें प्रवाहित धारा $I$ है।
$N$ फेरों और $R$ त्रिज्या वाली कुंडली के लिए, तार की लंबाई $L = N(2\pi R)$ होती है, इसलिए $R = L / (2\pi N)$।
वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 N I}{2R}$ द्वारा दिया जाता है।
$R$ का मान रखने पर, हमें $B = \frac{\mu_0 N I}{2(L / 2\pi N)} = \frac{\mu_0 \pi N^2 I}{L}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\mu_0$, $\pi$, $I$, और $L$ दोनों कुंडलियों के लिए स्थिर हैं, इसलिए $B \propto N^2$ होगा।
कुंडली $A$ के लिए, $N_A = 2$, इसलिए $B_A \propto (2)^2 = 4$।
कुंडली $B$ के लिए, $N_B = 3$, इसलिए $B_B \propto (3)^2 = 9$।
अतः, चुंबकीय क्षेत्रों का अनुपात $B_A / B_B = 4 / 9$ है।

(D) धारा एक कोने पर प्रवेश करती है और वर्गाकार लूप के निकटतम कोने से बाहर निकलती है।
यह लूप को दो समानांतर पथों में विभाजित करता है: एक पथ में वर्ग की एक भुजा (लंबाई $l = 5 \ cm$) होती है,और दूसरे पथ में वर्ग की तीन भुजाएँ (लंबाई $3l = 15 \ cm$) होती हैं।
चूंकि तार एक समान है,पथों का प्रतिरोध उनकी लंबाई के समानुपाती होता है। मान लीजिए एक भुजा का प्रतिरोध $R$ है। तो पहले पथ का प्रतिरोध $R_1 = R$ और दूसरे पथ का प्रतिरोध $R_2 = 3R$ होगा।
धारा $I = 4 \ A$,$I_1$ और $I_2$ में इस प्रकार विभाजित होती है कि $I_1 R_1 = I_2 R_2$,जिसका अर्थ है $I_1 R = I_2 (3R)$,इसलिए $I_1 = 3I_2$।
चूंकि $I_1 + I_2 = 4 \ A$,हमें $4I_2 = 4 \ A$ प्राप्त होता है,इसलिए $I_2 = 1 \ A$ और $I_1 = 3 \ A$।
$I$ धारा ले जाने वाले $L$ लंबाई के सीधे तार के टुकड़े के कारण केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र,जो लंबवत दूरी $a$ पर है,$B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi a} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ है।
$a = 5 \ cm = 0.05 \ m$ भुजा वाले वर्ग के लिए,केंद्र से प्रत्येक भुजा की दूरी $d = a/2 = 2.5 \ cm = 0.025 \ m$ है।
प्रत्येक भुजा के लिए,$\theta_1 = \theta_2 = 45^\circ$,इसलिए $\sin 45^\circ + \sin 45^\circ = \sqrt{2}$।
$I$ धारा ले जाने वाली एक भुजा के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi (a/2)} (\sqrt{2}) = \frac{\mu_0 I \sqrt{2}}{2 \pi a}$ है।
$I_1 = 3 \ A$ (एक भुजा) वाले पथ द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 (3) \sqrt{2}}{2 \pi (0.05)}$ है।
$I_2 = 1 \ A$ (तीन भुजाएँ) वाले पथ द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = 3 \times \frac{\mu_0 (1) \sqrt{2}}{2 \pi (0.05)}$ है।
चूंकि धाराएँ केंद्र के चारों ओर विपरीत दिशाओं में बहती हैं,इसलिए क्षेत्र $B_1$ और $B_2$ विपरीत दिशाओं में हैं।
इस प्रकार,कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = |B_1 - B_2| = |\frac{3 \mu_0 \sqrt{2}}{2 \pi (0.05)} - \frac{3 \mu_0 \sqrt{2}}{2 \pi (0.05)}| = 0$ है।

(B) $R$ त्रिज्या वाली वृत्ताकार कुंडली की अक्ष पर केंद्र से $x$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र $B_{axis} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ है।
यहाँ व्यास $d = 2R$ दिया गया है,इसलिए त्रिज्या $R = d/2$ है।
दूरी $x = \sqrt{2} d = 2\sqrt{2} R$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$B = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + (2\sqrt{2} R)^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + 8R^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(9R^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(27 R^3)} = \frac{\mu_0 I}{54 R}$.
कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{centre} = \frac{\mu_0 I}{2R}$ होता है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$B_{centre} = \frac{\mu_0 I}{2R} = 27 \times \left( \frac{\mu_0 I}{54 R} \right) = 27 B$.

(C) एक लंबे सीधे तार के कारण $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए कि $I_1 = 8 \ A$ वाला तार $x = 0$ पर है और $I_2 = 10 \ A$ वाला तार $x = 9 \ cm$ पर है।
बिंदु $x = 4 \ cm$ पर स्थित है।
पहले तार के लिए $(I_1 = 8 \ A)$: $r_1 = 4 \ cm = 0.04 \ m$. चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 \times 8}{2 \pi \times 0.04} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 8}{0.04} = 4 \times 10^{-5} \ T$.
दूसरे तार के लिए $(I_2 = 10 \ A)$: $r_2 = 9 \ cm - 4 \ cm = 5 \ cm = 0.05 \ m$. चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 \times 10}{2 \pi \times 0.05} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 10}{0.05} = 4 \times 10^{-5} \ T$.
चूंकि धाराएं विपरीत दिशाओं में हैं,दाएं हाथ के नियम के अनुसार,तारों के बीच के बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र एक ही दिशा में होंगे।
इसलिए,कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = B_1 + B_2 = 4 \times 10^{-5} \ T + 4 \times 10^{-5} \ T = 8 \times 10^{-5} \ T$.

(A) $r$ त्रिज्या वाले वृत्ताकार लूप की अक्ष पर केंद्र से $x$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ इस प्रकार दिया जाता है:
$B = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{2 \pi N I r^2}{(x^2 + r^2)^{3/2}}$
अतः,$B \propto \frac{1}{(x^2 + r^2)^{3/2}}$.
यहाँ $x_A = 4 \ cm$ और $x_B = 3 \sqrt{3} \ cm$ दिया गया है।
चुंबकीय क्षेत्रों का अनुपात $\frac{B_A}{B_B} = \frac{216}{125}$ है।
मान रखने पर:
$\frac{B_A}{B_B} = \left( \frac{x_B^2 + r^2}{x_A^2 + r^2} \right)^{3/2} = \frac{216}{125}$
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर:
$\left( \frac{x_B^2 + r^2}{x_A^2 + r^2} \right)^{1/2} = \frac{6}{5}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{(3 \sqrt{3})^2 + r^2}{4^2 + r^2} = \frac{36}{25}$
$\frac{27 + r^2}{16 + r^2} = \frac{36}{25}$
$25(27 + r^2) = 36(16 + r^2)$
$675 + 25r^2 = 576 + 36r^2$
$11r^2 = 99$
$r^2 = 9 \Rightarrow r = 3 \ cm$.

(B) दिया गया है: तार $A$ में धारा $I_1 = 2 \ A$। तार $B$ में धारा $I_2 = 6 \ A$। तार $A$ से बिंदु $P$ की दूरी $r_1 = 2 \ m$। तार $B$ से बिंदु $P$ की दूरी $r_2 = 5 \ m - 2 \ m = 3 \ m$।
दाएं हाथ के अंगूठे के नियम का उपयोग करते हुए,तार $A$ के कारण बिंदु $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र पृष्ठ के अंदर की ओर है,और तार $B$ के कारण बिंदु $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र पृष्ठ के बाहर की ओर है।
एक लंबे सीधे तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
तार $A$ के कारण $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र: $B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2 \pi r_1} = 2 \times 10^{-7} \times \frac{2}{2} = 2 \times 10^{-7} \ T$ (अंदर की ओर)।
तार $B$ के कारण $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र: $B_2 = \frac{\mu_0 I_2}{2 \pi r_2} = 2 \times 10^{-7} \times \frac{6}{3} = 4 \times 10^{-7} \ T$ (बाहर की ओर)।
परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = |B_2 - B_1| = |4 \times 10^{-7} - 2 \times 10^{-7}| = 2 \times 10^{-7} \ T$।

(D) दिया गया है: तार की लंबाई $L = 20 \text{ cm} = 0.2 \text{ m}$,धारा $I = \frac{3}{\pi^2} \text{ A}$।
जब तार को एक वृत्त में मोड़ा जाता है,तो इसकी लंबाई वृत्त की परिधि के बराबर हो जाती है: $L = 2 \pi R$।
$20 \times 10^{-2} = 2 \pi R \Rightarrow R = \frac{10^{-1}}{\pi} \text{ m}$।
वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $B = \frac{(4 \pi \times 10^{-7}) \times (\frac{3}{\pi^2})}{2 \times (\frac{10^{-1}}{\pi})}$।
$B = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 3}{2 \times 10^{-1} \times \pi} = \frac{12 \pi \times 10^{-7}}{2 \pi \times 10^{-1}} = 6 \times 10^{-6} \text{ T}$।

(D) छड़ की त्रिज्या $R = \text{व्यास} / 2 = 4 \text{ mm} / 2 = 2 \text{ mm}$ है।
छड़ के अंदर $r_1 = 1 \text{ mm}$ $(r_1 < R)$ दूरी पर स्थित बिंदु के लिए,चुंबकीय क्षेत्र है:
$B_1 = \frac{\mu_0 i r_1}{2 \pi R^2}$
छड़ के बाहर $r_2 = 4 \text{ mm}$ $(r_2 > R)$ दूरी पर स्थित बिंदु के लिए,चुंबकीय क्षेत्र है:
$B_2 = \frac{\mu_0 i}{2 \pi r_2}$
चुंबकीय क्षेत्रों का अनुपात लेने पर:
$\frac{B_1}{B_2} = \frac{\frac{\mu_0 i r_1}{2 \pi R^2}}{\frac{\mu_0 i}{2 \pi r_2}} = \frac{r_1 r_2}{R^2}$
$r_1 = 1 \text{ mm}$,$r_2 = 4 \text{ mm}$,और $R = 2 \text{ mm}$ मान रखने पर:
$\frac{B_1}{B_2} = \frac{1 \times 4}{(2)^2} = \frac{4}{4} = 1: 1$

(C) दिया गया है: धारा $i = 18 \,A$ और दूरी $a = 12 \,cm = 0.12 \,m$ है।
एक लंबे सीधे तार से $a$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र इस प्रकार है:
$B = \frac{\mu_0 i}{2 \pi a}$
मान रखने पर:
$B = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 18}{2 \pi \times 0.12}$
$B = \frac{2 \times 10^{-7} \times 18}{0.12}$
$B = \frac{36 \times 10^{-7}}{0.12}$
$B = 300 \times 10^{-7} \,T = 3 \times 10^{-5} \,T$.

(A) $i$ धारा ले जाने वाले एक लंबे सीधे तार से $r$ लंबवत दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र इस प्रकार है:
$B = \frac{\mu_0 i}{2 \pi r}$
यहाँ दिए गए मान $i = 1 \,A$ और $r = 1 \,m$ हैं।
निर्वात की पारगम्यता $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \,T \cdot m/A$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$B = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 1}{2 \pi \times 1}$
$B = 2 \times 10^{-7} \,T$.

(B) बायो-सावर्ट नियम के अनुसार,एक धारा अवयव $Id\vec{l}$ द्वारा स्थिति सदिश $\vec{r}$ पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $dB$ इस प्रकार दिया जाता है:
$dB = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I(d\vec{l} \times \vec{r})}{r^3} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{Idl r \sin \theta}{r^3}$
जहाँ $\theta$ धारा अवयव $Id\vec{l}$ और स्थिति सदिश $\vec{r}$ के बीच का कोण है।
चुंबकीय क्षेत्र $dB$ के शून्य होने के लिए,$\sin \theta$ पद का शून्य होना आवश्यक है।
यह तब होता है जब $\theta = 0^{\circ}$ या $\theta = 180^{\circ}$ हो।
अतः,धारा अवयव और स्थिति सदिश के बीच का कोण $0^{\circ}$ या $180^{\circ}$ हो सकता है।

(A) केंद्र $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र,मुड़े हुए भाग और सीधे भाग के कारण उत्पन्न क्षेत्रों का सदिश योग है।
$1$. मुड़े हुए भाग के कारण चुंबकीय क्षेत्र:
चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण $\theta = 2\pi - 2\phi = 2\pi - \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$ है।
$B_{\text{arc}} = \frac{\mu_0 I \theta}{4\pi R} = \frac{10^{-7} \times 5 \times (3\pi/2)}{0.1} = 50 \times 10^{-7} \times 1.5 \times 3.14 \approx 23.55 \mu\text{T}$.
$2$. सीधे भाग के कारण चुंबकीय क्षेत्र:
$O$ से सीधे तार की दूरी $d = R \cos(45^{\circ}) = R/\sqrt{2}$ है।
तार के सिरों द्वारा $O$ पर अंतरित कोण $\phi_1 = 45^{\circ}$ और $\phi_2 = 45^{\circ}$ हैं।
$B_{\text{straight}} = \frac{\mu_0 I}{4\pi d} (\sin 45^{\circ} + \sin 45^{\circ}) = \frac{10^{-7} \times 5}{0.1/\sqrt{2}} \times (1/\sqrt{2} + 1/\sqrt{2}) = \frac{10^{-7} \times 5 \times \sqrt{2}}{0.1} \times \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{10^{-6} \times 5 \times 2}{0.1} = 10 \mu\text{T}$.
$3$. कुल चुंबकीय क्षेत्र:
चूंकि दोनों क्षेत्र एक ही दिशा में (पृष्ठ के अंदर की ओर) हैं,$B_{\text{net}} = B_{\text{arc}} + B_{\text{straight}} = 23.55 \mu\text{T} + 10 \mu\text{T} = 33.55 \mu\text{T} \approx 33.6 \mu\text{T}$.

(C) $R$ त्रिज्या और $\theta$ (रेडियन में) कोण अंतरित करने वाले वृत्ताकार चाप के कारण केंद्र $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i \theta}{4 \pi R}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$\theta = 30^{\circ} = \frac{\pi}{6} \text{ रेडियन}$.
सीधे खंड $AB$ और $CD$ केंद्र $O$ से होकर गुजरते हैं,इसलिए उनके कारण चुंबकीय क्षेत्र शून्य है $(B_{AB} = 0, B_{CD} = 0)$.
चाप $AD$ (त्रिज्या $R_1 = 0.01 \text{ m}$) के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_{AD} = \frac{\mu_0 i}{4 \pi R_1} \times \frac{\pi}{6} = \frac{\mu_0 i}{24 R_1}$ (बाहर की ओर,$\odot$).
चाप $BC$ (त्रिज्या $R_2 = 0.02 \text{ m}$) के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_{BC} = \frac{\mu_0 i}{4 \pi R_2} \times \frac{\pi}{6} = \frac{\mu_0 i}{24 R_2}$ (अंदर की ओर,$\otimes$).
परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = B_{AD} - B_{BC} = \frac{\mu_0 i}{24} \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
मान रखने पर: $B_{net} = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times (1.2 / \pi)}{24} \left( \frac{1}{0.01} - \frac{1}{0.02} \right) = \frac{4.8 \times 10^{-7}}{24} (100 - 50) = 0.2 \times 10^{-7} \times 50 = 10 \times 10^{-7} \text{ T} = 1 \mu \text{T}$.

(A) $N$ फेरों, आंतरिक त्रिज्या $r_1$ और बाहरी त्रिज्या $r_2$ वाली एक सपाट सर्पिल कुंडली के लिए, केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र है:
$B = \frac{\mu_0 N I}{2(r_2 - r_1)} \ln\left(\frac{r_2}{r_1}\right)$
दिया गया है:
$N = 2000$
$r_1 = 1 \,cm = 0.01 \,m$
$r_2 = 3 \,cm = 0.03 \,m$
$I = \frac{10^{-3}}{\pi} \,A$
मान रखने पर:
$B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 2000 \times 10^{-3}}{2 \times (0.03 - 0.01) \times \pi} \ln\left(\frac{0.03}{0.01}\right)$
$B = \frac{8 \times 10^{-6}}{0.04} \ln(3) = 200 \times 10^{-6} \ln(3) \,T$
यहाँ $K = 200$ प्राप्त होता है।

(B) $I$ धारा ले जाने वाले एक पूर्ण वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{total} = \frac{\mu_0 I}{2 R}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि दिया गया तार एक वृत्ताकार लूप का एक चौथाई हिस्सा है,इसलिए केंद्र पर अंतरित कोण $90^\circ$ या $\frac{\pi}{2}$ रेडियन है।
केंद्र पर $\theta$ कोण अंतरित करने वाले चाप के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I \theta}{4 \pi R}$ होता है।
एक चौथाई रिंग के लिए,$\theta = \frac{\pi}{2}$ है।
$\theta$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $B = \frac{\mu_0 I (\pi/2)}{4 \pi R} = \frac{\mu_0 I}{8 R}$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदु $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र प्रेरण $\frac{\mu_0 I}{8 R}$ है।

(D) दी गई स्थिति चित्र में दिखाई गई है। एक नियमित षट्कोण $6$ समान सीधे तार खंडों से बना होता है।
सबसे पहले,हम एक धारा खंड $AB$ के कारण केंद्र $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र की गणना करेंगे।
$\triangle OAM$ में,केंद्र $O$ से खंड $AB$ तक की लंबवत दूरी $r$,$OM$ है।
चूंकि षट्कोण नियमित है,$\triangle OAB$ एक समबाहु त्रिभुज है जिसकी भुजाएँ $R$ हैं। अतः,$OM = R \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} R$.
खंड $AB$ के कारण बिंदु $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1$ सूत्र $B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$\theta_1 = \theta_2 = 30^{\circ}$.
$B_1 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi (\frac{\sqrt{3}}{2} R)} (\sin 30^{\circ} + \sin 30^{\circ}) = \frac{\mu_0 I}{2 \sqrt{3} \pi R} (\frac{1}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{\mu_0 I}{2 \sqrt{3} \pi R}$.
केंद्र पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B$ सभी $6$ खंडों के कारण उत्पन्न क्षेत्रों का योग है:
$B = 6 \times B_1 = 6 \times \frac{\mu_0 I}{2 \sqrt{3} \pi R} = \frac{3 \mu_0 I}{\sqrt{3} \pi R} = \frac{\sqrt{3} \mu_0 I}{\pi R}$.

(B) $R$ त्रिज्या और $N$ फेरों वाली कुंडली के केंद्र से $x$ दूरी पर $I$ धारा प्रवाहित होने पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र $B = \frac{\mu_0 N I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ है।
यहाँ,$R = 1 \ m$,$N = 80$,$I = 0.2 \ A$ है और बिंदु कुंडलियों के बीच में है,इसलिए दोनों कुंडलियों के लिए $x = 1 \ m$ होगा।
$B_1 = B_2 = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times 80 \times 0.2 \times 1^2}{2(1^2 + 1^2)^{3/2}} = \frac{64\pi \times 10^{-7}}{2(2)^{3/2}} = \frac{32\pi \times 10^{-7}}{2\sqrt{2}} = 8\sqrt{2}\pi \times 10^{-7} \ T$.
कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{\text{net}} = B_1 + B_2 = 16\sqrt{2}\pi \times 10^{-7} \ T$.
माइक्रोटेस्ला में बदलने पर $(1 \ \mu T = 10^{-6} \ T)$:
$B_{\text{net}} = 1.6\sqrt{2}\pi \ \mu T \approx 7.1 \ \mu T$.

(C) $I$ धारा वाले एक अनंत सीधे तार से $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
$I$ धारा वाले तार (ऊपर की ओर) के लिए,बिंदु $P$ पर (उससे $x+y$ दूरी पर) चुंबकीय क्षेत्र तल के अंदर (नीचे की ओर) निर्देशित होता है और इसका परिमाण $B_I = \frac{\mu_0 I}{2 \pi (x+y)}$ है।
$i$ धारा वाले तार (नीचे की ओर) के लिए,बिंदु $P$ पर (उससे $y$ दूरी पर) चुंबकीय क्षेत्र तल के बाहर (ऊपर की ओर) निर्देशित होता है और इसका परिमाण $B_i = \frac{\mu_0 i}{2 \pi y}$ है।
चूंकि बिंदु $P$ पर कुल चुंबकीय क्षेत्र शून्य है,इसलिए चुंबकीय क्षेत्रों के परिमाण समान होने चाहिए:
$B_I = B_i$
$\frac{\mu_0 I}{2 \pi (x+y)} = \frac{\mu_0 i}{2 \pi y}$
$\frac{I}{x+y} = \frac{i}{y}$
$i = I \left( \frac{y}{x+y} \right)$

(B) तार को मूल बिंदु $O$ पर मोड़ा गया है। एक खंड धनात्मक $x$-अक्ष पर और दूसरा धनात्मक $y$-अक्ष पर स्थित है。
बिंदु $P(-2 \,mm, 0)$ ऋणात्मक $x$-अक्ष पर स्थित है。
$1$. $x$-अक्ष पर स्थित तार के खंड के लिए: बिंदु $P$ इस तार की रेखा पर ही स्थित है। इसलिए, इस खंड द्वारा बिंदु $P$ पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र शून्य है。
$2$. $y$-अक्ष पर स्थित तार के खंड के लिए: यह एक अर्ध-अनंत तार है जो मूल बिंदु $O$ से शुरू होकर धनात्मक $y$-अक्ष पर स्थित है। अर्ध-अनंत तार से $r$ लंबवत दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है。
यहाँ, $I = 16 \,A$ और $r = 2 \,mm = 2 \times 10^{-3} \,m$ है。
मान रखने पर:
$B = 10^{-7} \times \frac{16}{2 \times 10^{-3}}$
$B = 10^{-7} \times 8 \times 10^3$
$B = 8 \times 10^{-4} \,T = 0.8 \times 10^{-3} \,T = 0.8 \,mT$.

(B) डिस्क के $r$ त्रिज्या और $dr$ मोटाई वाले एक पतले वलय (ring) जैसे तत्व पर विचार करें।
यदि $\sigma$ पृष्ठ आवेश घनत्व है,तो इस तत्व पर आवेश $dq$ है:
$dq = \sigma (2 \pi r) dr$
घूमते हुए आवेश $dq$ से संबंधित धारा $di$ है:
$di = \frac{dq}{T} = \frac{dq \omega}{2 \pi} \quad (\because T = \frac{2 \pi}{\omega})$
$di$ के समीकरण में $dq$ का मान रखने पर:
$di = \frac{(\sigma 2 \pi r dr) \omega}{2 \pi} = \sigma \omega r dr$
इस धारावाही वलय के कारण केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $dB$ है:
$dB = \frac{\mu_0 di}{2r} = \frac{\mu_0 (\sigma \omega r dr)}{2r} = \frac{\mu_0 \sigma \omega}{2} dr$
केंद्र पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{\text{net}}$ ज्ञात करने के लिए,$r = 0$ से $r = R$ तक समाकलन करने पर:
$B_{\text{net}} = \int_0^R \frac{\mu_0 \sigma \omega}{2} dr = \frac{\mu_0 \sigma \omega}{2} [r]_0^R = \frac{\mu_0 \sigma \omega R}{2}$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) दिया गया है: चुंबकीय क्षेत्र $B = 5 \times 10^{-5} \,T$, दूरी $r = 0.2 \,m$, और मुक्त आकाश की पारगम्यता $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \,T \cdot m/A$ है।
एक लंबे सीधे धारावाही तार द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र है:
$B = \frac{\mu_0}{2 \pi} \cdot \frac{I}{r}$
दिए गए मानों को समीकरण में रखने पर:
$5 \times 10^{-5} = \frac{4 \pi \times 10^{-7}}{2 \pi} \times \frac{I}{0.2}$
$5 \times 10^{-5} = 2 \times 10^{-7} \times \frac{I}{0.2}$
$5 \times 10^{-5} = 10^{-6} \times I$
$I = \frac{5 \times 10^{-5}}{10^{-6}} = 5 \times 10^1 = 50 \,A$
अतः, तार से प्रवाहित होने वाली विद्युत धारा $50 \,A$ है।