चित्र में बिंदु $O$ पर रखी एक छोटी चुंबकीय सुई $P$ दिखाई गई है। तीर इसकी चुंबकीय आघूर्ण की दिशा दर्शाता है। अन्य तीर एक अन्य समान चुंबकीय सुई $Q$ की विभिन्न स्थितियों (और चुंबकीय आघूर्ण के अभिविन्यास) को दर्शाते हैं।
$(a)$ किस विन्यास में निकाय संतुलन में नहीं है?
$(b)$ किस विन्यास में निकाय $(i)$ स्थायी,और $(ii)$ अस्थायी संतुलन में है?
$(c)$ दिखाए गए सभी विन्यासों में से कौन सा विन्यास न्यूनतम स्थितिज ऊर्जा के अनुरूप है?

(N/A) निकाय की स्थितिज ऊर्जा एक द्विध्रुव $(Q)$ की दूसरे द्विध्रुव $(P)$ द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र में अन्योन्यक्रिया के कारण उत्पन्न होती है। द्विध्रुव $P$ के कारण चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}_P$ इस प्रकार है:
$1$. अक्षीय रेखा पर: $\vec{B}_P = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2\vec{m}_P}{r^3}$
$2$. निरक्षीय रेखा पर: $\vec{B}_P = -\frac{\mu_0}{4\pi} \frac{\vec{m}_P}{r^3}$
संतुलन तब होता है जब बलाघूर्ण $\vec{\tau} = \vec{m}_Q \times \vec{B}_P = 0$ हो,जिसका अर्थ है कि $\vec{m}_Q$ को $\vec{B}_P$ के समानांतर या प्रति-समानांतर होना चाहिए।
$(a)$ $PQ_1$ और $PQ_2$ विन्यासों में,चुंबकीय आघूर्ण $\vec{m}_Q$ उन बिंदुओं पर क्षेत्र $\vec{B}_P$ के न तो समानांतर है और न ही प्रति-समानांतर। अतः,बलाघूर्ण शून्य नहीं है और निकाय संतुलन में नहीं है।
$(b)$ जब $\vec{m}_Q$,$\vec{B}_P$ के समानांतर होता है तो स्थायी संतुलन (स्थितिज ऊर्जा $U = -\vec{m}_Q \cdot \vec{B}_P$ न्यूनतम होती है) और जब $\vec{m}_Q$,$\vec{B}_P$ के प्रति-समानांतर होता है तो अस्थायी संतुलन (स्थितिज ऊर्जा $U$ अधिकतम होती है) प्राप्त होता है।
$(i)$ स्थायी संतुलन: $PQ_3$ और $PQ_6$.
$(ii)$ अस्थायी संतुलन: $PQ_4$ और $PQ_5$.
$(c)$ स्थितिज ऊर्जा $U = -\vec{m}_Q \cdot \vec{B}_P$ होती है। न्यूनतम स्थितिज ऊर्जा उस विन्यास के अनुरूप है जहाँ $\vec{m}_Q$ और $\vec{B}_P$ समानांतर हैं और $\vec{B}_P$ का परिमाण अधिकतम है। चूंकि अक्षीय क्षेत्र निरक्षीय क्षेत्र का दोगुना होता है,इसलिए $PQ_6$ (अक्ष पर) न्यूनतम स्थितिज ऊर्जा प्रदान करता है।