$5.25 \times 10^{-2} \; J \, T^{-1}$ के चुंबकीय आघूर्ण वाले एक छोटे छड़ चुंबक को पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र की दिशा के लंबवत रखा गया है। चुंबक के केंद्र से कितनी दूरी पर परिणामी चुंबकीय क्षेत्र पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाएगा,यदि वह बिंदु
$(a)$ इसकी निरक्षीय रेखा (normal bisector) पर हो और
$(b)$ इसकी अक्षीय रेखा पर हो।
इस स्थान पर पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का मान $0.42 \; G$ है। चुंबक की लंबाई को दूरियों की तुलना में नगण्य मानें।

(A) छड़ चुंबक का चुंबकीय आघूर्ण,$M = 5.25 \times 10^{-2} \; J \, T^{-1}$।
पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का मान,$H = 0.42 \; G = 0.42 \times 10^{-4} \; T$।
$(a)$ निरक्षीय रेखा पर $R$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_{0} M}{4 \pi R^{3}}$ होता है।
परिणामी क्षेत्र के पृथ्वी के क्षेत्र के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाने के लिए,$B = H$ होना चाहिए।
$\frac{\mu_{0} M}{4 \pi R^{3}} = H \implies R^{3} = \frac{\mu_{0} M}{4 \pi H} = \frac{10^{-7} \times 5.25 \times 10^{-2}}{0.42 \times 10^{-4}} = 12.5 \times 10^{-5} \; m^{3}$।
$R = (125 \times 10^{-6})^{1/3} \approx 0.05 \; m = 5 \; cm$।
$(b)$ अक्षीय रेखा पर $R'$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B' = \frac{\mu_{0} 2 M}{4 \pi R'^{3}}$ होता है।
परिणामी क्षेत्र के पृथ्वी के क्षेत्र के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाने के लिए,$B' = H$ होना चाहिए।
$\frac{\mu_{0} 2 M}{4 \pi R'^{3}} = H \implies R'^{3} = \frac{2 \mu_{0} M}{4 \pi H} = 2 \times R^{3} = 25 \times 10^{-5} \; m^{3}$।
$R' = (250 \times 10^{-6})^{1/3} \approx 0.063 \; m = 6.3 \; cm$।