Magnetic field due to magnetic dipole and Dipole in Magnetic Field and Poential Energy and Work Done Questions in Hindi

(D) चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा $U = -\vec{M} \cdot \vec{B} = -MB \cos \theta$ द्वारा दी जाती है।
सबसे स्थिर स्थिति $\theta_1 = 0^\circ$ पर होती है,जहाँ $U_1 = -MB \cos(0^\circ) = -MB$ है।
सबसे अस्थिर स्थिति $\theta_2 = 180^\circ$ पर होती है,जहाँ $U_2 = -MB \cos(180^\circ) = MB$ है।
किया गया कार्य $W$ स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन है: $W = U_2 - U_1 = MB - (-MB) = 2MB$।
यहाँ $M = 2.5 \text{ Am}^2$ और $B = 4 \times 10^{-5} \text{ T}$ दिया गया है।
$W = 2 \times 2.5 \times 4 \times 10^{-5} \text{ J} = 20 \times 10^{-5} \text{ J}$।

(A) दिया गया है:
छड़ चुंबक का चुंबकीय आघूर्ण,$m = 10^{-4} Am^2$
चुंबकीय क्षेत्र,$B = 12 \times 10^{-3} T$
कोण,$\theta = 30^{\circ}$
एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में छड़ चुंबक पर कार्य करने वाला बल आघूर्ण $\tau$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\tau = mB \sin \theta$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\tau = (10^{-4} Am^2) \times (12 \times 10^{-3} T) \times \sin(30^{\circ})$
चूंकि $\sin(30^{\circ}) = 0.5$:
$\tau = 10^{-4} \times 12 \times 10^{-3} \times 0.5$
$\tau = 12 \times 10^{-7} \times 0.5$
$\tau = 6 \times 10^{-7} Nm$

(A) चुंबकीय द्विध्रुव की भूमध्यरेखीय स्थिति पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र इस प्रकार है:
$B_{\text{equator}} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \times \frac{M}{r^3}$
दिया गया है:
चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $M = 27 \times 10^{22} \ A \ m^2$
त्रिज्या $r = 300 \ km = 300 \times 10^3 \ m = 3 \times 10^5 \ m$
स्थिरांक $\frac{\mu_0}{4 \pi} = 10^{-7} \ T \ m/A$
मान रखने पर:
$B_{\text{equator}} = 10^{-7} \times \frac{27 \times 10^{22}}{(3 \times 10^5)^3}$
$B_{\text{equator}} = 10^{-7} \times \frac{27 \times 10^{22}}{27 \times 10^{15}}$
$B_{\text{equator}} = 10^{-7} \times 10^7 = 1 \ T$
अतः,भूमध्य रेखा पर चुंबकीय क्षेत्र $1 \ T$ है।

(C) दोनों चुम्बकों को चित्र में दिखाए अनुसार जोड़ा गया है। $Y$-अक्ष पर स्थित चुम्बक $(M_1)$ के कारण बिंदु $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र उसकी अक्षीय रेखा पर है,जबकि $X$-अक्ष पर स्थित चुम्बक $(M_2)$ के कारण चुंबकीय क्षेत्र उसकी निरक्षीय रेखा पर है।
$M$ द्विध्रुव आघूर्ण वाले एक छोटे चुम्बक के लिए,$R$ दूरी पर अक्षीय चुंबकीय क्षेत्र $B_{\text{axial}} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{2M}{R^3}$ और निरक्षीय चुंबकीय क्षेत्र $B_{\text{equatorial}} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{M}{R^3}$ होता है।
चूंकि बिंदु $P$ पर ये क्षेत्र एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए परिणामी चुंबकीय क्षेत्र होगा:
$B_{\text{net}} = \sqrt{B_{\text{axial}}^2 + B_{\text{equatorial}}^2} = \sqrt{\left(\frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{2M}{R^3}\right)^2 + \left(\frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{M}{R^3}\right)^2}$
$B_{\text{net}} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{M}{R^3} \sqrt{2^2 + 1^2} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{\sqrt{5}M}{R^3}$
दिया गया है कि $B_{\text{net}} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{M_0}{R^3}$,अतः दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{\sqrt{5}M}{R^3} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{M_0}{R^3}$
$\sqrt{5}M = M_0 \implies M = \frac{M_0}{\sqrt{5}}$

(C) $Y$-अक्ष पर स्थित चुंबक के कारण मूल बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र (अक्षीय स्थिति) है:
$B_1 = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{2M}{d^3}$ ($+Y$ दिशा में)।
$X$-अक्ष पर स्थित चुंबक के कारण मूल बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र (निरक्षीय स्थिति) है:
$B_2 = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{M}{d^3}$ ($+Y$ दिशा में)।
चूंकि दोनों चुंबकीय क्षेत्र एक ही दिशा में हैं,इसलिए मूल बिंदु पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B$ होगा:
$B = B_1 + B_2 = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{2M}{d^3} + \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{M}{d^3} = 3 \left[ \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{M}{d^3} \right]$.
दिए गए समीकरण $B = \alpha \left[ \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{M}{d^3} \right]$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha = 3$ प्राप्त होता है।

(B) स्थिर संतुलन में,चुंबकीय द्विध्रुव पर कार्य करने वाला कुल टॉर्क शून्य होता है। क्षेत्र $B_1$ के कारण टॉर्क को क्षेत्र $B_2$ के कारण टॉर्क को संतुलित करना चाहिए।
मान लीजिए $M$ द्विध्रुव का चुंबकीय आघूर्ण है। $B_1$ के कारण टॉर्क $\tau_1 = M B_1 \sin(90^{\circ} - \theta) = M B_1 \cos \theta$ है।
$B_2$ के कारण टॉर्क $\tau_2 = M B_2 \sin \theta$ है।
संतुलन के लिए,$\tau_1 = \tau_2$,इसलिए $M B_1 \cos \theta = M B_2 \sin \theta$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\tan \theta = \frac{B_1}{B_2}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\tan \theta = \frac{0.5 \times 10^{-3}}{0.866 \times 10^{-3}} = \frac{0.5}{0.866} \approx \frac{0.5}{0.5 \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
चूंकि $\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए $\theta = 30^{\circ}$।

(C) दूरी पर एक छोटे छड़ चुंबक की अक्ष पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{axis} = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2M}{d^3} = B$ द्वारा दिया जाता है।
दूसरे चुंबक के लिए,बिंदु $P$ उसकी निरक्षीय रेखा पर स्थित है क्योंकि अक्षें लंबवत हैं। $2M$ चुंबकीय आघूर्ण वाले छोटे छड़ चुंबक की निरक्षीय रेखा पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{equatorial} = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{M'}{d^3} = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2M}{d^3} = B$ होता है।
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B_{res} = \sqrt{B_{axis}^2 + B_{equatorial}^2} = \sqrt{B^2 + B^2} = \sqrt{2} B$ होगा।

(C) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय द्विध्रुव को घुमाने के लिए बाहरी टॉर्क द्वारा किया गया कार्य $W$, स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन द्वारा दिया जाता है: $W = U_f - U_i = -MB \cos \theta_f - (-MB \cos \theta_i) = MB(\cos \theta_i - \cos \theta_f)$.
दिया गया है: चुंबकीय आघूर्ण $M = 2 \text{ A m}^2$, चुंबकीय क्षेत्र $B = 0.3 \text{ T}$.
प्रारंभ में, चुंबक क्षेत्र के साथ संरेखित है, इसलिए $\theta_i = 0^\circ$.
अंत में, चुंबक क्षेत्र के लंबवत है, इसलिए $\theta_f = 90^\circ$.
मान रखने पर:
$W = MB(\cos 0^\circ - \cos 90^\circ)$
$W = 2 \times 0.3 \times (1 - 0)$
$W = 0.6 \times 1 = 0.6 \text{ J}$.

(A) बाहरी चुंबकीय क्षेत्र $B$ में रखे छड़ चुंबक पर लगने वाला टॉर्क $\tau$ सूत्र $\tau = M B \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$\tau = 0.016 \text{ Nm}$,$B = 800 \text{ G} = 800 \times 10^{-4} \text{ T} = 8 \times 10^{-2} \text{ T}$,और $\theta = 30^{\circ}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$0.016 = M \times (8 \times 10^{-2}) \times \sin(30^{\circ})$
चूंकि $\sin(30^{\circ}) = 0.5$,इसलिए:
$0.016 = M \times 8 \times 10^{-2} \times 0.5$
$0.016 = M \times 4 \times 10^{-2}$
$M = \frac{0.016}{0.04} = 0.4 \text{ Am}^2$.

(A) माना $M_1$ चुंबक $AB$ का चुंबकीय आघूर्ण है और $M_2$ चुंबक $CD$ का चुंबकीय आघूर्ण है। बिंदु $P(2,2)$,चुंबक $AB$ की अक्षीय रेखा पर उसके केंद्र से $r_1 = 2$ की दूरी पर है,और चुंबक $CD$ की निरक्षीय रेखा पर उसके केंद्र से $r_2 = 2$ की दूरी पर है।
$P$ पर $AB$ के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2M_1}{r_1^3} = 10^{-7} \times \frac{2M_1}{2^3} = 10^{-7} \times \frac{M_1}{4}$.
$P$ पर $CD$ के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{M_2}{r_2^3} = 10^{-7} \times \frac{M_2}{2^3} = 10^{-7} \times \frac{M_2}{8}$.
दिया गया है कि परिणामी क्षेत्र $100 \times 10^{-7} \ T$ है,इसलिए $B_1 + B_2 = 100 \times 10^{-7}$.
$10^{-7} (\frac{M_1}{4} + \frac{M_2}{8}) = 100 \times 10^{-7} \Rightarrow 2M_1 + M_2 = 800$ $(i)$.
जब $CD$ के ध्रुवों को उलट दिया जाता है,तो क्षेत्र $B_2$ की दिशा बदल जाती है,इसलिए $B_1 - B_2 = 50 \times 10^{-7}$.
$10^{-7} (\frac{M_1}{4} - \frac{M_2}{8}) = 50 \times 10^{-7} \Rightarrow 2M_1 - M_2 = 400$ (ii).
$(i)$ और (ii) को जोड़ने पर: $4M_1 = 1200 \Rightarrow M_1 = 300 \ Am^2$.
$(i)$ में $M_1$ का मान रखने पर: $2(300) + M_2 = 800 \Rightarrow M_2 = 200 \ Am^2$.

(D) एक समान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में छड़ चुंबक पर कार्य करने वाला टॉर्क $\tau = MB \sin \theta$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $M$ चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण है और $\theta$ चुंबकीय आघूर्ण और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण है।
प्रारंभिक टॉर्क $\tau_1 = MB \sin 30^{\circ} = MB \times 0.5$.
अंतिम टॉर्क $\tau_2 = MB \sin 45^{\circ} = MB \times \frac{1}{\sqrt{2}} \approx MB \times 0.707$.
टॉर्क का अनुपात $\frac{\tau_2}{\tau_1} = \frac{\sin 45^{\circ}}{\sin 30^{\circ}} = \frac{1/\sqrt{2}}{1/2} = \sqrt{2} \approx 1.414$ है।
अतः,$\tau_2 = 1.414 \tau_1$.
टॉर्क में प्रतिशत वृद्धि $\frac{\tau_2 - \tau_1}{\tau_1} \times 100 = (1.414 - 1) \times 100 = 41.4 \%$ है।
इस प्रकार,टॉर्क $41.4 \%$ बढ़ जाता है।

(B) छड़ चुंबक की अक्षीय रेखा पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र इस प्रकार है:
$B_{\text{axial}} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{2M}{d^3}$
दिए गए मान हैं:
$B_{\text{axial}} = 5 \times 10^{-8} \ T$
$d = 1 \ m$
$\frac{\mu_0}{4 \pi} = 10^{-7} \ T \ m/A$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$5 \times 10^{-8} = 10^{-7} \times \frac{2 \times M}{1^3}$
$5 \times 10^{-8} = 10^{-7} \times 2M$
$M = \frac{5 \times 10^{-8}}{2 \times 10^{-7}}$
$M = \frac{5}{20} = 0.25 \ A \ m^2$
अतः,छड़ चुंबक का चुंबकीय आघूर्ण $0.25 \ A \ m^2$ है।

(B) $M$ चुंबकीय आघूर्ण वाले छड़ चुंबक के कारण उसकी अक्षीय रेखा पर $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{\text{axis}} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{2M}{r^3}$ द्वारा दिया जाता है।
$X$-अक्ष पर $D$ दूरी पर स्थित पहले चुंबक के लिए,मूल बिंदु उसकी अक्षीय रेखा पर है। अतः,$B_1 = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{2M}{D^3}$ जो ऋणात्मक $X$-अक्ष की दिशा में है (क्योंकि $N$-ध्रुव मूल बिंदु के करीब है)।
छड़ चुंबक के कारण उसकी निरक्षीय रेखा पर $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{\text{equator}} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{M}{r^3}$ द्वारा दिया जाता है।
$Y$-अक्ष पर $2D$ दूरी पर स्थित दूसरे चुंबक के लिए,मूल बिंदु उसकी निरक्षीय रेखा पर है। अतः,$B_2 = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{M}{(2D)^3} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{M}{8D^3}$ जो धनात्मक $Y$-अक्ष की दिशा में है।
यदि हम क्षेत्रों के परिमाण का अंतर लें,तो $|B| = |B_1| - |B_2| = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{M}{D^3} (2 - 1/8) = \frac{15}{8} \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{M}{D^3}$. अतः,$\alpha = \frac{15}{8}$.

(C) एक छोटे छड़ चुंबक के कारण उसकी निरक्षीय रेखा पर स्थित बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{M}{r^3}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,प्रत्येक चुंबक के केंद्र से मध्य बिंदु तक की दूरी $r = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$ है।
चूंकि उत्तरी ध्रुव भौगोलिक दक्षिण की ओर हैं,इसलिए मध्य बिंदु पर दोनों चुंबकों द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र पृथ्वी के क्षैतिज चुंबकीय क्षेत्र $(B_H)$ की दिशा में होगा।
अतः,परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = B_1 + B_2 + B_H$.
$B_1 = \frac{10^{-7} \times 1.2}{(0.1)^3} = \frac{1.2 \times 10^{-7}}{10^{-3}} = 1.2 \times 10^{-4} \text{ T}$.
$B_2 = \frac{10^{-7} \times 1.0}{(0.1)^3} = \frac{1.0 \times 10^{-7}}{10^{-3}} = 1.0 \times 10^{-4} \text{ T}$.
$B_H = 3.6 \times 10^{-5} = 0.36 \times 10^{-4} \text{ T}$.
$B_{net} = (1.2 + 1.0 + 0.36) \times 10^{-4} \text{ T} = 2.56 \times 10^{-4} \text{ T}$.

(B) जब एक चुंबकीय सुई को एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में रखा जाता है,तो चुंबकीय क्षेत्र सुई के उत्तरी ध्रुव पर $F = mB$ और दक्षिणी ध्रुव पर $F = -mB$ का बल लगाता है,जहाँ $m$ ध्रुव की शक्ति है और $B$ चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता है।
चूंकि बल परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होते हैं,इसलिए सुई पर कुल बल $F_{net} = mB - mB = 0$ होता है।
हालाँकि,क्योंकि ये बल अलग-अलग बिंदुओं (ध्रुवों) पर कार्य करते हैं,वे एक बल-युग्म बनाते हैं जो सुई पर $\tau = mB \times l \sin(\theta)$ का आघूर्ण लगाता है,जो इसे चुंबकीय क्षेत्र के साथ संरेखित करने का प्रयास करता है।
इसलिए,आघूर्ण मौजूद है,लेकिन कुल बल शून्य है।

(D) चुंबक को $AB$ के अनुदिश रखा गया है। बिंदु $C$ चुंबक के केंद्र $O$ के सापेक्ष निरक्षीय (equatorial) स्थिति में है।
चुंबक की लंबाई $2l = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$,इसलिए $l = 0.05 \text{ m}$।
चुंबकीय आघूर्ण $M = 1 \text{ Am}^2$।
दूरी $OC$ भुजा $a = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$ वाले समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई है।
$OC = \sqrt{a^2 - (a/2)^2} = \sqrt{0.1^2 - 0.05^2} = \sqrt{0.01 - 0.0025} = \sqrt{0.0075} = \sqrt{75} \times 10^{-2} \text{ m} = 5\sqrt{3} \times 10^{-2} \text{ m} \approx 0.0866 \text{ m}$।
निरक्षीय स्थिति में चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{M}{(r^2 + l^2)^{3/2}}$ है,जहाँ $r = OC$ है।
$B = 10^{-7} \times \frac{1}{((0.0866)^2 + (0.05)^2)^{3/2}} = 10^{-7} \times \frac{1}{(0.0075 + 0.0025)^{3/2}} = 10^{-7} \times \frac{1}{(0.01)^{3/2}} = 10^{-7} \times \frac{1}{10^{-3}} = 10^{-4} \text{ T}$।

(A) दिया गया है,चुंबकीय आघूर्ण $M = 200 \text{ A m}^2$।
चुंबकीय क्षेत्र $B = 0.30 \text{ N A}^{-1} \text{ m}^{-1}$।
कोण $\theta = 30^{\circ}$।
हम जानते हैं कि चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय द्विध्रुव पर कार्य करने वाला टॉर्क $\tau$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\tau = M B \sin \theta$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\tau = 200 \times 0.30 \times \sin(30^{\circ})$।
चूंकि $\sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2}$,
$\tau = 200 \times 0.30 \times \frac{1}{2} = 100 \times 0.30 = 30 \text{ N m}$।
अतः,आवश्यक टॉर्क $30 \text{ N m}$ है।

(B) एक समान चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय द्विध्रुव को घुमाने में किया गया कार्य $W = MB(1 - \cos \theta)$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $\theta = 60^{\circ}$,इसलिए:
$W = MB(1 - \cos 60^{\circ}) = MB(1 - 0.5) = \frac{MB}{2}$.
अतः,$MB = 2W$.
चुंबकीय सुई पर लगने वाला टॉर्क $\tau = MB \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\tau = (2W) \sin 60^{\circ} = 2W \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} W$.

(D) चुंबकों के केंद्रों के बीच की दूरी $d_{total} = 10 \text{ cm}$ है। बिंदु $P$ मध्य में स्थित है, इसलिए प्रत्येक चुंबक के केंद्र से बिंदु $P$ की दूरी $d = 5 \text{ cm} = 0.05 \text{ m}$ है।
एक छोटे छड़ चुंबक के लिए, निरक्षीय बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{eq} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{M}{d^3}$ द्वारा दिया जाता है।
बाएं चुंबक के लिए, बिंदु $P$ उसकी निरक्षीय रेखा पर स्थित है, इसलिए $B_1 = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{M}{d^3}$.
दाएं चुंबक के लिए, बिंदु $P$ भी उसकी निरक्षीय रेखा पर स्थित है, इसलिए $B_2 = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{M}{d^3}$.
चूंकि अक्ष एक-दूसरे के लंबवत हैं, चुंबकीय क्षेत्र सदिश $B_1$ और $B_2$ एक-दूसरे के लंबवत हैं। परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = \sqrt{B_1^2 + B_2^2} = \sqrt{2} B_{eq} = \sqrt{2} \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{M}{d^3}$ होगा।
मान रखने पर: $M = 3\sqrt{5} \text{ J/T}$, $d = 0.05 \text{ m}$, और $\frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7} \text{ T} \cdot \text{m/A}$.
$B_{net} = \sqrt{2} \times 10^{-7} \times \frac{3\sqrt{5}}{(0.05)^3} = \sqrt{2} \times 10^{-7} \times \frac{3\sqrt{5}}{125 \times 10^{-6}} = \frac{3\sqrt{10} \times 10^{-1}}{125} \approx 7.59 \times 10^{-3} \text{ T}$.
अतः, $\alpha \approx 7.59$.