Magnetic field due to magnetic dipole and Dipole in Magnetic Field and Poential Energy and Work Done Questions in Gujarati

(A) ચુંબકીય ડાયપોલ (પ્રવાહ લૂપ) ની અક્ષ પર $x$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2M}{x^3}$
આપેલ છે:
$M$ = $2.1 \times 10^{-25} \text{ A m}^2$
x = $1 \text{ Å} = 10^{-10} \text{ m}$
$\frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7} \text{ T m/A}$
કિંમતો મૂકતા:
$B = 10^{-7} \times \frac{2 \times 2.1 \times 10^{-25}}{(10^{-10})^3}$
$B = 10^{-7} \times \frac{4.2 \times 10^{-25}}{10^{-30}}$
$B = 4.2 \times 10^{-7} \times 10^{-25} \times 10^{30}$
$B = 4.2 \times 10^{-2} \text{ Wb/m}^2$

(C) $M$ ચુંબકીય મોમેન્ટ ધરાવતા ટૂંકા ગજિયા ચુંબકના કેન્દ્રથી $d$ અંતરે આવેલા અક્ષીય બિંદુ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B_{axial} = \frac{\mu_0}{4\pi} \times \frac{2M}{d^3}$
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$B_{axial} = \frac{\mu_0}{2\pi} \times \frac{M}{d^3}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) નાના ગજિયા ચુંબકની અક્ષ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2M}{d^3}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $d$ એ ચુંબકના કેન્દ્રથી અંતર છે.
અહીં અંતર $x$ એ નજીકના ધ્રુવથી આપેલ છે. ચુંબકની લંબાઈ $2l = 2 \ cm$ છે,તેથી $l = 1 \ cm$. કેન્દ્રથી અંતર $r = (x + l)$ થશે.
નાના ચુંબક માટે જ્યારે $x \gg l$ હોય,ત્યારે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B \propto \frac{1}{x^3}$ થાય.
તેથી,$A$ અને $B$ આગળ ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ગુણોત્તર $\frac{B_A}{B_B} = \left( \frac{2x}{x} \right)^3 = \frac{8}{1}$ થશે.
ચુંબકની લંબાઈ અંતરની સરખામણીમાં નાની હોવાથી,આ પરિણામ આશરે મળે છે.

(C) ચુંબકના કેન્દ્રથી $d$ અંતરે તેની અક્ષ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2Md}{(d^2 - l^2)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $2l$ એ ચુંબકની લંબાઈ છે.
અહીં $d_1 = 10 \, cm$ અને $d_2 = 20 \, cm$ આપેલ છે.
ચુંબકીય તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{B_1}{B_2} = \frac{d_1}{d_2} \left( \frac{d_2^2 - l^2}{d_1^2 - l^2} \right)^2 = 12.5$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{10}{20} \left( \frac{400 - l^2}{100 - l^2} \right)^2 = 12.5$.
$\frac{1}{2} \left( \frac{400 - l^2}{100 - l^2} \right)^2 = 12.5 \Rightarrow \left( \frac{400 - l^2}{100 - l^2} \right)^2 = 25$.
વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{400 - l^2}{100 - l^2} = 5$.
$400 - l^2 = 500 - 5l^2 \Rightarrow 4l^2 = 100 \Rightarrow l^2 = 25 \Rightarrow l = 5 \, cm$.
ચુંબકની લંબાઈ $2l = 2 \times 5 = 10 \, cm$ થાય.

(C) ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ ધરાવતા ટૂંકા ગજિયા ચુંબક માટે,$d$ અંતરે આવેલા અક્ષીય બિંદુ (longitudinal position) પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2M}{d^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તે જ ચુંબક માટે,$d$ અંતરે આવેલા વિષુવવૃત્તીય બિંદુ (broad side-on position) પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{M}{d^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને ક્ષેત્રોનો ગુણોત્તર લેતા,આપણને $\frac{B_1}{B_2} = \frac{\frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2M}{d^3}}{\frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{M}{d^3}} = \frac{2}{1}$ મળે છે.
તેથી,ગુણોત્તર $2:1$ છે.

(C) ગજિયા ચુંબકની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ એ ધ્રુવ પ્રબળતા $m$ અને ચુંબકીય લંબાઈ $l$ ના ગુણાકાર જેટલી હોય છે:
$M = m \times l = 48 \, A \cdot m \times 0.25 \, m = 12 \, A \cdot m^2$.
સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ચુંબકીય ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = MB \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $M = 12 \, A \cdot m^2$,$B = 0.15 \, N \cdot A^{-1} \cdot m^{-1}$,અને $\theta = 30^{\circ}$ આપેલ છે.
$\tau = 12 \times 0.15 \times \sin(30^{\circ}) = 12 \times 0.15 \times 0.5 = 0.9 \, N \cdot m$.

(C) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં $M$ ચુંબકીય મોમેન્ટ ધરાવતા ચુંબકને તેની સંતુલન સ્થિતિમાંથી $\theta$ ખૂણે ફેરવવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$W = MB(1 - \cos \theta)$
આપેલ છે:
ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = 20$ $C.G.S.$ એકમ
ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $B = 0.3$ $C.G.S.$ એકમ
વિચલનનો ખૂણો $\theta = 30^{\circ}$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$W = 20 \times 0.3 \times (1 - \cos 30^{\circ})$
$W = 6 \times (1 - \frac{\sqrt{3}}{2})$
$W = 3 \times (2 - \sqrt{3})$ $C.G.S.$ એકમ.

(A) ટૂંકા ગજિયા ચુંબક માટે,અક્ષીય રેખા પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{axial} = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2M}{X^3} = 200 \, G$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તે જ અંતર $X$ પર વિષુવવૃત્તીય રેખા (તટસ્થ અક્ષ) પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{equatorial} = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{M}{X^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણને $B_{equatorial} = \frac{B_{axial}}{2}$ મળે છે.
આપેલ કિંમત મૂકતા: $B_{equatorial} = \frac{200 \, G}{2} = 100 \, G$.

(D) ટૂંકા ગજિયા ચુંબકની અક્ષ પરના બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2M}{R^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ટૂંકા ગજિયા ચુંબકની વિષુવરેખા પરના બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{M}{R^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને કિસ્સાઓમાં,ટૂંકા ચુંબક માટે જ્યાં અંતર $R$ એ ચુંબકની લંબાઈ કરતા ઘણું વધારે હોય,ત્યારે ચુંબકીય ક્ષેત્ર કેન્દ્રથી અંતરના ઘનના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,$B \propto 1/R^3$.

(C) નાના ગજિયા ચુંબકની વિષુવરેખા પર (અક્ષને લંબ) તેના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે આવેલા બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{M}{r^3}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $M$ એ ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ છે.
બિંદુઓ મોટા અંતરે હોવાથી,આપણે ટૂંકી ડાયપોલ માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
આમ,$B \propto \frac{1}{r^3}$.
આપેલા અંતરો $r_A = X$ અને $r_B = 3X$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રોનો ગુણોત્તર $\frac{B_A}{B_B} = \left( \frac{r_B}{r_A} \right)^3$ થશે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{B_A}{B_B} = \left( \frac{3X}{X} \right)^3 = (3)^3 = 27$.
તેથી,ગુણોત્તર $27:1$ છે.

(C) જ્યારે ટૂંકા ચુંબકની ધરી ચુંબકીય મેરિડિયનને લંબ હોય,ત્યારે સોયના કેન્દ્ર પર (ચુંબકની અક્ષ પર) ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2M}{d^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સોયમાં કોઈ વિચલન થતું ન હોવાથી,બંને ચુંબકો દ્વારા સોયના સ્થાન પર ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ હોવું જોઈએ.
તેથી,$B_1 = B_2$.
$\frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2M_1}{d_1^3} = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2M_2}{d_2^3}$.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{M_1}{M_2} = \left( \frac{d_1}{d_2} \right)^3$ મળે છે.
અહીં $d_1 = 40 \, cm$ અને $d_2 = 50 \, cm$ આપેલ છે,તેથી $\frac{M_1}{M_2} = \left( \frac{40}{50} \right)^3 = \left( \frac{4}{5} \right)^3 = \frac{64}{125}$.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા ચુંબકીય ડાયપોલની સ્થિતિ ઊર્જા $U = -MB \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકને પ્રારંભિક ખૂણા $\theta_1 = 0^\circ$ (સ્થાયી સંતુલન) થી અંતિમ ખૂણા $\theta$ સુધી ફેરવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W$ એ સ્થિતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$W = U_f - U_i$
$W = (-MB \cos \theta) - (-MB \cos 0^\circ)$
$W = -MB \cos \theta + MB(1)$
$W = MB(1 - \cos \theta)$
વૈકલ્પિક રીતે,સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:
$W = \int_{0}^{\theta} \tau \, d\theta = \int_{0}^{\theta} MB \sin \theta \, d\theta$
$W = MB [-\cos \theta]_{0}^{\theta}$
$W = MB(-\cos \theta - (-1)) = MB(1 - \cos \theta)$.

(D) જ્યારે બે ટૂંકા ગજિયા ચુંબકો (ચુંબકીય ડાયપોલ) ને અક્ષીય સ્થિતિમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે એક ચુંબક દ્વારા બીજા ચુંબકના સ્થાન પર ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2M}{d^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ ક્ષેત્રમાં $M'$ ચુંબકીય મોમેન્ટ ધરાવતા બીજા ચુંબક પર લાગતું બળ $F = M' \cdot \frac{dB}{dr}$ છે.
અહીં $B \propto \frac{1}{d^3}$ હોવાથી,તેનું વિકલન $\frac{dB}{dd} \propto \frac{1}{d^4}$ થાય છે.
તેથી,બે ચુંબકો વચ્ચે લાગતું બળ $F$ એ $d^4$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $F \propto \frac{1}{d^4}$.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકીય ડાયપોલને ફેરવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $W = MB(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$.
શરૂઆતમાં, ચુંબક ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશામાં છે, તેથી પ્રારંભિક ખૂણો $\theta_1 = 0^{\circ}$ છે.
આપણે તેને $180^{\circ}$ ના ખૂણે ફેરવવાનું છે, તેથી અંતિમ ખૂણો $\theta_2 = 180^{\circ}$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$W = MB(\cos 0^{\circ} - \cos 180^{\circ})$
કારણ કે $\cos 0^{\circ} = 1$ અને $\cos 180^{\circ} = -1$, આપણને મળે છે:
$W = MB(1 - (-1)) = MB(1 + 1) = 2MB$.
તેથી, કરવું પડતું કાર્ય $2MB$ છે.

(B) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $H$ માં મૂકવામાં આવેલા $M$ મોમેન્ટ ધરાવતા ચુંબકીય ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\tau = MH \sin \theta$.
અહીં ખૂણો $\theta = 30^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$\tau = MH \sin(30^{\circ})$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2}$,તેથી ટોર્ક:
$\tau = MH \times \frac{1}{2} = \frac{MH}{2}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) અક્ષીય સ્થિતિમાં (end-on position) રહેલા બે નાના ચુંબકો વચ્ચે લાગતું બળ $F$ શોધવાનું સૂત્ર:
$F = \frac{\mu_0}{4\pi} \left( \frac{6MM'}{d^4} \right)$
આપેલ છે:
$M = M' = 10 \, A \cdot m^2$
$d = 0.1 \, m = 10^{-1} \, m$
$\frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7} \, T \cdot m/A$
કિંમતો મૂકતા:
$F = 10^{-7} \times \frac{6 \times 10 \times 10}{(0.1)^4}$
$F = 10^{-7} \times \frac{600}{10^{-4}}$
$F = 600 \times 10^{-7} \times 10^4$
$F = 600 \times 10^{-3} = 0.6 \, N$

(A) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકીય ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = MB \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિચલન $\theta$ ની સાપેક્ષે ટોર્કના ફેરફારનો દર શોધવા માટે,આપણે $\tau$ નું $\theta$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરીએ છીએ:
$\frac{d\tau}{d\theta} = \frac{d}{d\theta}(MB \sin \theta) = MB \cos \theta$.
ટોર્કના ફેરફારનો દર $\frac{d\tau}{d\theta}$ મહત્તમ હોવા માટે,$\cos \theta$ નું મૂલ્ય મહત્તમ હોવું જોઈએ.
$\cos \theta$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $1$ છે,જે $\theta = 0^\circ$ હોય ત્યારે મળે છે.

(D) $M$ ચુંબકીય મોમેન્ટ ધરાવતા ચુંબકીય ડાયપોલને $B$ (અથવા $H$) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં $\theta_1$ થી $\theta_2$ ખૂણે ફેરવવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$W = MB(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$
અહીં,ચુંબકને $360^{\circ}$ જેટલું ફેરવવામાં આવે છે,તેથી $\theta_1 = 0^{\circ}$ અને $\theta_2 = 360^{\circ}$ થાય.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$W = MH(\cos 0^{\circ} - \cos 360^{\circ})$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos 0^{\circ} = 1$ અને $\cos 360^{\circ} = 1$ છે.
તેથી,$W = MH(1 - 1) = 0$
આમ,થયેલું કુલ કાર્ય શૂન્ય છે.

(B) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ચુંબકીય ડાયપોલને $\theta_1$ થી $\theta_2$ ખૂણે ફેરવવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = MB(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,ચુંબકને મેરિડિયન $(\theta_1 = 0^{\circ})$ થી $\theta_2 = 90^{\circ}$ સુધી ફેરવવામાં આવે છે:
$W_1 = MB(\cos 0^{\circ} - \cos 90^{\circ}) = MB(1 - 0) = MB$.
બીજા કિસ્સામાં,ચુંબકને મેરિડિયન $(\theta_1 = 0^{\circ})$ થી $\theta_2 = 60^{\circ}$ સુધી ફેરવવામાં આવે છે:
$W_2 = MB(\cos 0^{\circ} - \cos 60^{\circ}) = MB(1 - 0.5) = 0.5MB = \frac{MB}{2}$.
આપેલ છે કે $W_1 = n W_2$,તેથી:
$MB = n \times \frac{MB}{2}$.
$n$ માટે ઉકેલતા,આપણને $n = 2$ મળે છે.

(A) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકીય ડાયપોલને $\theta_1$ થી $\theta_2$ ખૂણે ફેરવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$W = MB(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$
અહીં,પ્રારંભિક ખૂણો $\theta_1 = 0^\circ$ (ક્ષેત્રને સમાંતર) અને અંતિમ ખૂણો $\theta_2 = 60^\circ$ છે.
ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = 10^4\,J/T$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 4 \times 10^{-5}\,T$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$W = (10^4) \times (4 \times 10^{-5}) \times (\cos 0^\circ - \cos 60^\circ)$
$W = 0.4 \times (1 - 0.5)$
$W = 0.4 \times 0.5 = 0.2\,J$.

(C) ટૂંકા ગજિયા ચુંબકની અક્ષ પરના બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2M}{d^3}$
આપેલ છે:
ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $M = 1.25 \, A-m^2$
અંતર $d = 0.5 \, m$
અચળાંક $\frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7} \, T-m/A$
કિંમતો મૂકતા:
$B = 10^{-7} \times \frac{2 \times 1.25}{(0.5)^3}$
$B = 10^{-7} \times \frac{2.5}{0.125}$
$B = 10^{-7} \times 20$
$B = 2 \times 10^{-6} \, T$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) બિંદુ $P$ પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર એ બે ચુંબકો દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો છે.
$1$. ઉભા ચુંબક માટે,બિંદુ $P$ તેની વિષુવરેખા પર છે. આ ચુંબકને કારણે બિંદુ $P$ પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1$ ઉપરની તરફ નિર્દેશ કરે છે.
$2$. આડા ચુંબક માટે,બિંદુ $P$ તેની અક્ષીય રેખા પર છે. આ ચુંબકને કારણે બિંદુ $P$ પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2$ જમણી તરફ નિર્દેશ કરે છે.
$3$. પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{\text{net}} = B_1 + B_2$ એ આ બે લંબ ક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો હશે. $B_1$ ઉપરની તરફ અને $B_2$ જમણી તરફ હોવાથી,પરિણામી સદિશ $B_{\text{net}}$ ઉત્તર-પૂર્વ દિશામાં હશે,જે $\nearrow$ દ્વારા દર્શાવેલ છે.

(B) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં મૂકાયેલ ચુંબકીય ડાયપોલ દ્વારા અનુભવાતું ટોર્ક $\tau$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\tau = MB \sin \theta$.
આપેલ છે:
ટોર્ક $\tau = 0.032 \ J$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 0.16 \ T$
ખૂણો $\theta = 30^{\circ}$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$0.032 = M \times 0.16 \times \sin(30^{\circ})$
કારણ કે $\sin(30^{\circ}) = 0.5$,તેથી:
$0.032 = M \times 0.16 \times 0.5$
$0.032 = M \times 0.08$
$M = \frac{0.032}{0.08} = 0.4 \ J/T$.
આમ,ગજિયા ચુંબકની ચુંબકીય મોમેન્ટ $0.4 \ J/T$ છે.

(B) $M$ ચુંબકીય મોમેન્ટ ધરાવતા ટૂંકા ચુંબકીય ડાયપોલ માટે,કેન્દ્રથી $r$ અંતરે વિષુવવૃત્તીય રેખા પરના બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$B_{equatorial} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{M}{r^3}$
આ સૂત્ર ડાયપોલના ઉત્તર અને દક્ષિણ ધ્રુવો દ્વારા વિષુવવૃત્તીય બિંદુ પર ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્રોના સુપરપોઝિશન (અધ્યાપન) પરથી મેળવવામાં આવે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) $2l$ લંબાઈ ધરાવતા ગજિયા ચુંબકને $\overrightarrow{B}$ જેટલા સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ક્ષેત્રની દિશા સાથે $\theta$ ખૂણે મૂકવામાં આવે છે.
ચુંબકના દરેક ધ્રુવ પર લાગતું બળ $F = mB$ છે, જ્યાં $m$ એ ધ્રુવમાન છે.
આ બે સમાન અને વિરુદ્ધ બળો એક બળયુગ્મ બનાવે છે જે ચુંબક પર ટોર્ક $\tau$ લગાડે છે.
ટોર્કનું સૂત્ર: $\tau = \text{બળ} \times \text{લંબ અંતર } (d)$.
ભૂમિતિ મુજબ, બળો વચ્ચેનું લંબ અંતર $d = 2l \sin \theta$ છે.
તેથી, $\tau = (mB) \times (2l \sin \theta) = (m \times 2l) B \sin \theta$.
ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = m \times 2l$ હોવાથી, આપણને $\tau = MB \sin \theta$ મળે છે.
સદિશ સ્વરૂપમાં, આને $\overrightarrow{\tau} = \overrightarrow{M} \times \overrightarrow{B}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

(B) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકીય ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = MB \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$M$ એ ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ છે,$M = m \times L$,જ્યાં $m = 40 \, A-m$ એ ધ્રુવ શક્તિ છે અને $L = 10 \, cm = 0.1 \, m$ એ ચુંબકની લંબાઈ છે.
$M = 40 \times 0.1 = 4 \, A-m^2$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $B = 2 \times 10^{-4} \, T$ અને ખૂણો $\theta = 45^\circ$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\tau = 4 \times (2 \times 10^{-4}) \times \sin 45^\circ$
$\tau = 8 \times 10^{-4} \times \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\tau = 8 \times 10^{-4} \times 0.7071$
$\tau = 5.6568 \times 10^{-4} \, N-m = 0.5656 \times 10^{-3} \, N-m$.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકીય ડાયપોલની સ્થિતિ ઉર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = -M \cdot H = -MH \cos \theta$ છે, જ્યાં $\theta$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $H$ વચ્ચેનો ખૂણો છે。
મહત્તમ સ્થિતિ ઉર્જા શોધવા માટે, આપણે $\theta$ ની એવી કિંમત શોધીએ છીએ જે $U$ ને મહત્તમ બનાવે。
જ્યારે $\cos \theta = -1$ હોય ત્યારે સ્થિતિ ઉર્જા મહત્તમ હોય છે, જે $\theta = 180^\circ$ પર થાય છે。
સૂત્રમાં $\cos 180^\circ = -1$ મૂકતા, આપણને $U_{\max} = -MH(-1) = MH$ મળે છે。
તેથી, $MH$ નો સહગુણક $1$ છે.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા ચુંબકીય ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\tau = MB \sin \theta$.
અહીં,ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = 200 \, A-m^2$,ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $B = 0.25 \, N/A-m$,અને વિચલનનો ખૂણો $\theta = 30^\circ$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\tau = 200 \times 0.25 \times \sin 30^\circ$
$\tau = 50 \times 0.5$
$\tau = 25 \, N-m$.

(C) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગજિયા ચુંબક પર લાગતું ટોર્ક (યુગ્મ) $\tau = MB \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $M$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે,$B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે,અને $\theta$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ અને ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો છે.
શરૂઆતમાં,ચુંબક ક્ષેત્રને લંબ છે,તેથી $\theta_1 = 90^\circ$. આમ,$\tau_1 = MB \sin 90^\circ = MB$.
આપણે નવું ટોર્ક $\tau_2$ શરૂઆતના ટોર્ક કરતા અડધું કરવા માંગીએ છીએ,તેથી $\tau_2 = \frac{\tau_1}{2} = \frac{MB}{2}$.
સૂત્ર $\tau_2 = MB \sin \theta_2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{MB}{2} = MB \sin \theta_2$ મળે છે.
આનાથી $\sin \theta_2 = \frac{1}{2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\theta_2 = 30^\circ$.
ભ્રમણનો ખૂણો એ પ્રારંભિક અને અંતિમ ખૂણાઓ વચ્ચેનો તફાવત છે: $\Delta \theta = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકેલા ચુંબકીય ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = MB \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $M$ એ ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ છે,$B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે અને $\theta$ એ ખૂણો છે.
ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $M = m \times L$ (જ્યાં $m$ એ ધ્રુવ પ્રબળતા છે અને $L$ એ ચુંબકની લંબાઈ છે),તેથી સૂત્ર $\tau = (m \times L) B \sin \theta$ બને છે.
આપેલ છે: $\tau = 25 \times 10^{-6} \,N-m$,$B = 5 \times 10^{-2} \,T$,$L = 5 \,cm = 5 \times 10^{-2} \,m$,અને $\theta = 30^o$.
કિંમતો મૂકતા: $25 \times 10^{-6} = (m \times 5 \times 10^{-2}) \times (5 \times 10^{-2}) \times \sin 30^o$.
$\sin 30^o = 0.5$ હોવાથી,$25 \times 10^{-6} = m \times 25 \times 10^{-4} \times 0.5$.
$25 \times 10^{-6} = m \times 12.5 \times 10^{-4}$.
$m = \frac{25 \times 10^{-6}}{12.5 \times 10^{-4}} = 2 \times 10^{-2} \,A-m$.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકીય ડાયપોલને ફેરવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W = MB(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,પ્રારંભિક ખૂણો $\theta_1 = 0^\circ$ (ક્ષેત્રની દિશામાં) અને અંતિમ ખૂણો $\theta_2 = 180^\circ$ (ક્ષેત્રની વિરુદ્ધ દિશામાં) છે.
કિંમતો મૂકતા: $W = MB(\cos 0^\circ - \cos 180^\circ)$.
કારણ કે $\cos 0^\circ = 1$ અને $\cos 180^\circ = -1$,તેથી $W = MB(1 - (-1)) = 2MB$ મળે છે.
આપેલ છે કે $M = 2 \, A-m^2$ અને $B = 5 \times 10^{-3} \, T$.
$W = 2 \times (2) \times (5 \times 10^{-3}) = 20 \times 10^{-3} = 2 \times 10^{-2} \, J$.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકીય ડાયપોલને ફેરવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W = MB(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,પ્રારંભિક ખૂણો $\theta_1 = 0^\circ$ (ક્ષેત્રની દિશામાં) અને અંતિમ ખૂણો $\theta_2 = 90^\circ$ (ક્ષેત્રને લંબ) છે.
આપેલ છે: ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = 2 \, J \, T^{-1}$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 0.1 \, T$.
કિંમતો મૂકતા: $W = 2 \times 0.1 \times (\cos 0^\circ - \cos 90^\circ)$.
$W = 0.2 \times (1 - 0) = 0.2 \, J$.

(D) ગજિયા ચુંબકની અક્ષ પર તેના કેન્દ્રથી $d$ અંતરે ચુંબકીય પોટેન્શિયલ $V$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$V = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{M}{d^2}$
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે ચુંબકીય પોટેન્શિયલ એ ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટના સમપ્રમાણમાં છે,એટલે કે $V \propto M$.
અહીં આપેલ છે કે પ્રારંભિક ડાયપોલ મોમેન્ટ $M_1 = M$ અને પોટેન્શિયલ $V_1 = V$ છે,અને નવી ડાયપોલ મોમેન્ટ $M_2 = \frac{M}{4}$ છે,તેથી આપણે લખી શકીએ:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{M_1}{M_2}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{V}{V_2} = \frac{M}{M/4} = 4$
તેથી,નવું ચુંબકીય પોટેન્શિયલ $V_2$ થશે:
$V_2 = \frac{V}{4}$

(B) ટૂંકા ગજિયા ચુંબકની અક્ષીય રેખા પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2M}{d^3}$
આપેલ છે:
ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = 1.2 \, A-m^2$
અંતર $d = 0.1 \, m$
પરમીએબિલિટી અચળાંક $\frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7} \, T-m/A$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$B = 10^{-7} \times \frac{2 \times 1.2}{(0.1)^3}$
$B = 10^{-7} \times \frac{2.4}{0.001}$
$B = 10^{-7} \times 2400$
$B = 2.4 \times 10^{-4} \, T$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) ધારો કે બે ચુંબકો $M_1$ અને $M_2$ છે,જેની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = 10 \, Am^2$ છે. તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $0.2 \, m$ છે,તેથી દરેક ચુંબકના કેન્દ્રથી મધ્યબિંદુ $P$ સુધીનું અંતર $d = 0.1 \, m$ થાય.
ચુંબક $1$ માટે,બિંદુ $P$ તેની અક્ષીય રેખા પર આવેલું છે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_a = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2M}{d^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબક $2$ માટે,બિંદુ $P$ તેની વિષુવવૃત્તીય રેખા પર આવેલું છે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_e = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{M}{d^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ ક્ષેત્રો એકબીજાને લંબ હોવાથી,પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = \sqrt{B_a^2 + B_e^2}$ થાય.
$B_{net} = \sqrt{\left( \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2M}{d^3} \right)^2 + \left( \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{M}{d^3} \right)^2} = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{M}{d^3} \sqrt{2^2 + 1^2} = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{M}{d^3} \sqrt{5}$.
કિંમતો મૂકતા: $B_{net} = 10^{-7} \cdot \frac{10}{(0.1)^3} \cdot \sqrt{5} = 10^{-7} \cdot \frac{10}{0.001} \cdot \sqrt{5} = 10^{-7} \cdot 10^4 \cdot \sqrt{5} = \sqrt{5} \times 10^{-3} \, T$.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા ચુંબકીય ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\tau = M B \sin \theta$.
અહીં,$M$ એ ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ છે,$M = m \times (2l)$,જ્યાં $m$ એ ધ્રુવમાન છે અને $(2l)$ એ ચુંબકની લંબાઈ છે.
આપેલ છે: ધ્રુવમાન $m = 10^{-4} \, A \cdot m$,લંબાઈ $2l = 0.1 \, m$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 30 \, Wb/m^2$,અને ખૂણો $\theta = 30^\circ$.
કિંમતો મૂકતા: $\tau = (10^{-4} \times 0.1) \times 30 \times \sin(30^\circ)$.
કારણ કે $\sin(30^\circ) = 0.5$,તેથી: $\tau = 10^{-4} \times 0.1 \times 30 \times 0.5 = 1.5 \times 10^{-4} \, N \cdot m$.

(B) બે ડાયપોલ વચ્ચેનું અંતર $2 \, m$ છે. બિંદુ $P$ તેમની વચ્ચે મધ્યમાં છે,તેથી દરેક ડાયપોલથી $P$ નું અંતર $d = 1 \, m$ છે.
પ્રથમ ચુંબક માટે,બિંદુ $P$ તેની અક્ષીય રેખા પર (અક્ષીય સ્થિતિમાં) આવેલું છે.
પ્રથમ ચુંબકને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1$ નીચે મુજબ છે:
$B_1 = \frac{\mu_0}{4\pi} \left( \frac{2M}{d^3} \right) = 10^{-7} \times \left( \frac{2 \times 1.0}{1^3} \right) = 2 \times 10^{-7} \, T$ (જમણી તરફ).
બીજા ચુંબક માટે,બિંદુ $P$ તેની વિષુવવૃત્તીય રેખા પર (વિષુવવૃત્તીય સ્થિતિમાં) આવેલું છે.
બીજા ચુંબકને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2$ નીચે મુજબ છે:
$B_2 = \frac{\mu_0}{4\pi} \left( \frac{M}{d^3} \right) = 10^{-7} \times \left( \frac{1.0}{1^3} \right) = 10^{-7} \, T$ (ઉપરની તરફ).
$B_1$ અને $B_2$ પરસ્પર લંબ હોવાથી,પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_R$:
$B_R = \sqrt{B_1^2 + B_2^2} = \sqrt{(2 \times 10^{-7})^2 + (10^{-7})^2} = \sqrt{4 \times 10^{-14} + 1 \times 10^{-14}} = \sqrt{5 \times 10^{-14}} = \sqrt{5} \times 10^{-7} \, T$.

(D) બંને ચુંબકો એકબીજાના ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવ્યા છે. ચુંબક $1$ દ્વારા ચુંબક $2$ ના સ્થાન પર (તેની અક્ષીય રેખા પર) ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1$ નીચે મુજબ છે:
$B_1 = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2M_1}{r^3}$
બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1$ માં ચુંબકીય ડાયપોલ $M_2$ ની સ્થિતિ ઊર્જા $U = -M_2 B_1 \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ચુંબકો એક જ અક્ષ પર સમાન ધ્રુવો સામસામે રહે તેમ મૂકવામાં આવ્યા હોવાથી,ચુંબકીય મોમેન્ટ્સ એક જ દિશામાં છે,તેથી $\theta = 0^\circ$ અને $\cos 0^\circ = 1$ થાય. આમ:
$U = -M_2 B_1 = -M_2 \left( \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2M_1}{r^3} \right) = -\frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2M_1 M_2}{r^3}$
ચુંબકો વચ્ચેનું બળ $F$ એ સ્થિતિ ઊર્જાના ઋણ ઢાળ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$F = -\frac{dU}{dr} = -\frac{d}{dr} \left( -\frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2M_1 M_2}{r^3} \right)$
$F = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot 2M_1 M_2 \cdot \frac{d}{dr} (r^{-3}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot 2M_1 M_2 \cdot (-3r^{-4})$
$F = -\frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{6M_1 M_2}{r^4}$
બળનું મૂલ્ય $F = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{6M_1 M_2}{r^4}$ છે.
તેથી,બળ અંતરની ચતુર્થ ઘાત સાથે વ્યસ્ત પ્રમાણમાં બદલાય છે,એટલે કે $F \propto \frac{1}{r^4}$.

(D) ધારો કે બે ચુંબકો એવી રીતે મૂકવામાં આવ્યા છે કે બિંદુ $P$ દરેક ચુંબકના કેન્દ્રથી $d$ અંતરે છે.
પ્રથમ ચુંબક માટે,બિંદુ $P$ તેની અક્ષીય રેખા પર આવેલું છે. આ ચુંબકને કારણે $P$ પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2M}{d^3}$ છે.
બીજા ચુંબક માટે,બિંદુ $P$ તેની વિષુવવૃત્તીય રેખા પર આવેલું છે. આ ચુંબકને કારણે $P$ પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{M}{d^3}$ છે.
ચુંબકોની અક્ષો પરસ્પર લંબ હોવાથી,ક્ષેત્રો $B_1$ અને $B_2$ પણ એકબીજાને લંબ છે.
$P$ પરનું પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = \sqrt{B_1^2 + B_2^2}$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $B_{net} = \sqrt{\left(\frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2M}{d^3}\right)^2 + \left(\frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{M}{d^3}\right)^2}$.
$B_{net} = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{M}{d^3} \sqrt{2^2 + 1^2} = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{\sqrt{5}M}{d^3}$.

(C) બિંદુ $P$ પર ચુંબક $A$ (અક્ષીય સ્થિતિ) ને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2M}{d_1^3}$ છે.
બિંદુ $P$ પર ચુંબક $B$ (વિષુવવૃત્તીય સ્થિતિ) ને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{M}{d_2^3}$ છે.
જ્યારે ચુંબકીય સોય $B_1$ ની દિશા સાથે $\theta$ ખૂણે સંતુલનમાં હોય,ત્યારે પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1$ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે,જેથી $\tan \theta = \frac{B_2}{B_1}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $\tan \theta = \frac{(\mu_0 / 4\pi) \cdot (M / d_2^3)}{(\mu_0 / 4\pi) \cdot (2M / d_1^3)} = \frac{d_1^3}{2d_2^3}$.
આથી,$\frac{d_1^3}{d_2^3} = 2 \tan \theta$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{d_1}{d_2} = (2 \tan \theta)^{1/3}$.
આકૃતિ મુજબ,$\theta$ એ શિરોલંબ સાથેનો ખૂણો છે,તેથી $\tan \theta = B_1 / B_2 = \frac{2d_2^3}{d_1^3}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\frac{d_1}{d_2} = (2 \cot \theta)^{1/3}$. આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(C) બે ચુંબકોની પરિણામી ચુંબકીય મોમેન્ટ વ્યક્તિગત ડાયપોલ મોમેન્ટના સદિશ સરવાળા દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેઓ એકબીજાને લંબ હોવાથી,ચોખ્ખી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M_{net} = \sqrt{M^2 + M^2} = M\sqrt{2}$ થશે.
આ ચોખ્ખી ચુંબકીય મોમેન્ટ બે ચુંબકો વચ્ચેના ખૂણાના દ્વિભાજક પર કાર્ય કરે છે.
બિંદુ $P$ આ સમતુલ્ય ચુંબકીય ડાયપોલની અક્ષીય રેખા પર આવેલું છે.
ટૂંકા ચુંબકની અક્ષીય રેખા પર $d$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2M_{net}}{d^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$M_{net} = M\sqrt{2}$ મૂકતા,આપણને $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2(M\sqrt{2})}{d^3} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2\sqrt{2}M}{d^3}$ મળે છે.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ એ ચુંબકીય અદિશ સ્થિતિમાન $V$ સાથે $B = -\nabla V$ સંબંધ દ્વારા જોડાયેલ છે. ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $B = \frac{\Delta V}{\Delta r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta r$ એ બે સમસ્થિતિમાન સપાટીઓ વચ્ચેનું લંબ અંતર છે.
આકૃતિ પરથી,બે ક્રમિક સપાટીઓ વચ્ચે સ્થિતિમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta V = 0.2 \times 10^{-4} - 0.1 \times 10^{-4} = 0.1 \times 10^{-4} \, T \cdot m$ છે.
આ સપાટીઓ વચ્ચે x-અક્ષ પરનું અંતર $\Delta x = 20 \, cm - 10 \, cm = 10 \, cm = 0.1 \, m$ છે.
સપાટીઓ વચ્ચેનું લંબ અંતર $\Delta r = \Delta x \sin(30^\circ) = 0.1 \times \sin(30^\circ) = 0.1 \times 0.5 = 0.05 \, m$ છે.
તેથી,ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $B = \frac{\Delta V}{\Delta r} = \frac{0.1 \times 10^{-4}}{0.05} = 2 \times 10^{-4} \, T$ થાય.

(A) ચુંબકીય ડાયપોલને સંતુલન સ્થિતિ $(\theta = 0^{\circ})$ થી $\theta$ ખૂણે ફેરવવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = MB(1 - \cos \theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\theta = 60^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી $W = MB(1 - \cos 60^{\circ}) = MB(1 - 0.5) = \frac{MB}{2}$.
આના પરથી,$MB = 2W$ મળે છે.
ચુંબકને $\theta$ ખૂણે જાળવી રાખવા માટે જરૂરી ટોર્ક $\tau = MB \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\tau = MB \sin 60^{\circ} = (2W) \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} W$.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકીય ડાયપોલને $\theta_1$ થી $\theta_2$ ખૂણે ફેરવવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = MB(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,પ્રારંભિક સ્થિતિ સંતુલન સ્થિતિ છે,તેથી $\theta_1 = 0^{\circ}$.
અંતિમ સ્થિતિ $\theta_2 = 30^{\circ}$ છે.
આપેલ છે: ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = 20 \, C.G.S$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 0.3 \, C.G.S$.
કિંમતો મૂકતા:
$W = 20 \times 0.3 \times (\cos 0^{\circ} - \cos 30^{\circ})$
$W = 6 \times (1 - \frac{\sqrt{3}}{2})$
$W = 3 \times (2 - \sqrt{3}) \, C.G.S$ એકમ.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકીય ડાયપોલને ફેરવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $W = MB(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$.
અહીં,પ્રારંભિક સ્થિતિ સ્થાયી સંતુલન છે,તેથી $\theta_1 = 0^\circ$.
અંતિમ સ્થિતિ અસ્થાયી સંતુલન છે,તેથી $\theta_2 = 180^\circ$.
આપેલ છે: ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = 2.5 \, J \, T^{-1}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 0.2 \, T$.
કિંમતો મૂકતા: $W = MB(\cos 0^\circ - \cos 180^\circ)$.
$W = (2.5) \times (0.2) \times (1 - (-1))$.
$W = 0.5 \times (1 + 1) = 0.5 \times 2 = 1 \, J$.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકીય ડાયપોલને ફેરવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$W = MB(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$
આપેલ છે:
ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = 2 \times 10^4 \, JT^{-1}$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 6 \times 10^{-4} \, T$
પ્રારંભિક ખૂણો $\theta_1 = 0^{\circ}$ (ક્ષેત્રને સમાંતર)
અંતિમ ખૂણો $\theta_2 = 60^{\circ}$
કિંમતો મૂકતા:
$W = (2 \times 10^4) \times (6 \times 10^{-4}) \times (\cos 0^{\circ} - \cos 60^{\circ})$
$W = 12 \times (1 - 0.5)$
$W = 12 \times 0.5 = 6 \, J$
આમ,કરવું પડતું કાર્ય $6 \, J$ છે.

(B) આપેલ છે: ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = 0.4 \, J T^{-1}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 0.16 \, T$.
સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા ચુંબકીય ડાયપોલની સ્થિતિ ઊર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = -\vec{M} \cdot \vec{B} = -MB \cos \theta$ છે.
સ્થાયી સંતુલન માટે,ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{M}$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ની દિશામાં હોવી જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે ખૂણો $\theta = 0^{\circ}$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$U = -MB \cos(0^{\circ})$
$U = -(0.4 \, J T^{-1}) \times (0.16 \, T) \times 1$
$U = -0.064 \, J$.
આમ,સ્થાયી સંતુલનમાં સ્થિતિ ઊર્જા $-0.064 \, J$ છે.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ ધરાવતી ચુંબકીય સોયને $\theta_{1}$ થી $\theta_{2}$ ખૂણે ફેરવવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય:
$W = MB(\cos \theta_{1} - \cos \theta_{2})$
અહીં $\theta_{1} = 0^{\circ}$ અને $\theta_{2} = 60^{\circ}$ લેતા,કાર્ય:
$W = MB(\cos 0^{\circ} - \cos 60^{\circ}) = MB(1 - 0.5) = 0.5 MB$
આપેલ છે કે $W = \sqrt{3} \, J$,તેથી $0.5 MB = \sqrt{3} \implies MB = 2\sqrt{3} \, J$.
$\theta = 60^{\circ}$ ના ખૂણે સોયને જાળવી રાખવા માટે જરૂરી ટોર્ક $\tau$:
$\tau = MB \sin \theta$
$\tau = MB \sin 60^{\circ} = (2\sqrt{3}) \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 \, J$.

(D) સંતુલન સ્થિતિમાં,ડાયપોલની પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જા $U_{i} = -MB_{H} \cos 0^{\circ} = -MB_{H}$ છે.
$60^{\circ}$ ના ખૂણે ફેરવ્યા પછી ડાયપોલની અંતિમ સ્થિતિ ઉર્જા $U_{f} = -MB_{H} \cos 60^{\circ} = -\frac{MB_{H}}{2}$ છે.
થયેલ કાર્ય $W$ એ સ્થિતિ ઉર્જામાં થતો ફેરફાર છે: $W = U_{f} - U_{i} = -\frac{MB_{H}}{2} - (-MB_{H}) = \frac{MB_{H}}{2}$.
આના પરથી,આપણને $MB_{H} = 2W$ મળે છે.
ચુંબકને આ નવી સ્થિતિમાં જાળવી રાખવા માટે જરૂરી ટોર્ક $\tau = MB_{H} \sin 60^{\circ}$ છે.
$MB_{H} = 2W$ મૂકતા,આપણને $\tau = (2W) \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} W$ મળે છે.

(C) નાના ચુંબકની અક્ષીય સ્થિતિમાં ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર $B_{axial} = \frac{2M}{x^3} = 9 \ Gauss$ છે ... $(i)$.
નાના ચુંબકની વિષુવરેખીય સ્થિતિમાં ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર $B_{equatorial} = \frac{M}{r^3}$ છે,જ્યાં $r = \frac{x}{2}$ છે.
$r$ ની કિંમત મૂકતા: $B_{equatorial} = \frac{M}{(\frac{x}{2})^3} = \frac{8M}{x^3}$ ... $(ii)$.
સમીકરણ $(i)$ પરથી,$\frac{M}{x^3} = \frac{9}{2} = 4.5 \ Gauss$ મળે છે.
આ કિંમત સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા: $B_{equatorial} = 8 \times 4.5 = 36 \ Gauss$ મળે છે.