Magnetic field due to magnetic dipole and Dipole in Magnetic Field and Poential Energy and Work Done Questions in Gujarati

(A) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકીય ડાયપોલને ફેરવવા માટે થયેલ કાર્યનું સૂત્ર $W = MB(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$ છે.
શરૂઆતમાં,ચુંબક ક્ષેત્રને સમાંતર છે,તેથી $\theta_1 = 0^\circ$. તેને $60^\circ$ ફેરવતા $\theta_2 = 60^\circ$ થાય છે.
આપેલ છે કે $W = 0.8\, J$,તેથી $0.8 = MB(\cos 0^\circ - \cos 60^\circ) = MB(1 - 0.5) = 0.5 MB$.
આમ,$MB = 1.6\, J$.
હવે,તેને $60^\circ$ થી વધુ $30^\circ$ ફેરવવા માટે,નવી મર્યાદા $\theta_1 = 60^\circ$ થી $\theta_2 = 90^\circ$ થશે.
થયેલ કાર્ય $W' = MB(\cos 60^\circ - \cos 90^\circ) = 1.6(0.5 - 0) = 0.8\, J$.
કારણ કે $1\, J = 10^7\, \text{ergs}$,તેથી થયેલ કાર્ય $0.8 \times 10^7\, \text{ergs}$ છે.

(B) ચુંબકીય સોય પૃથ્વીના સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકાયેલ ચુંબકીય ડાયપોલ તરીકે કાર્ય કરે છે. સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા ચુંબકીય ડાયપોલ પર કોઈ ચોખ્ખું બળ લાગતું નથી,કારણ કે ઉત્તર અને દક્ષિણ ધ્રુવો પર લાગતા બળો સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે ($F = mB$ અને $F = -mB$). જો કે,તે ટોર્ક (બળયુગ્મ) અનુભવી શકે છે જે તેને પરિભ્રમણ કરાવે છે. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,$mB_H$ બળો વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે,જેના પરિણામે ચોખ્ખું બળ શૂન્ય થાય છે. તેથી,સોય કોર્ક સાથે મળીને તળાવના ઉત્તર તરફ સ્થાનાંતરિત ગતિ કરશે નહીં; તેના બદલે,તે ત્યાં સુધી પરિભ્રમણ કરશે જ્યાં સુધી તે પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રના સમક્ષિતિજ ઘટકને સમાંતર ગોઠવાય નહીં,અને તેનો ઉત્તર ધ્રુવ ભૌગોલિક ઉત્તર દિશા તરફ નિર્દેશ કરે.

(D) લાંબા સીધા તાર $W$ દ્વારા ચુંબકના કોઈપણ બિંદુ પર ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર જમણા હાથના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે. પ્રવાહ કાગળના સમતલમાં અંદરની તરફ હોવાથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ તારની આસપાસ કેન્દ્રિત વર્તુળો છે.
બિંદુ $P$ એ ગજિયા ચુંબકનું મધ્યબિંદુ હોવાથી,તાર દ્વારા ઉત્તર ધ્રુવ $(N)$ અને દક્ષિણ ધ્રુવ $(S)$ પર ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર લઘુત્તમ અંતરની રેખાની સાપેક્ષમાં સંમિત હશે.
ઉત્તર ધ્રુવ પર લાગતું બળ $(F_N = mB_N)$ અને દક્ષિણ ધ્રુવ પર લાગતું બળ $(F_S = mB_S)$ સમાન મૂલ્યના અને ચુંબકની અક્ષની સાપેક્ષમાં વિરુદ્ધ દિશાના હશે,પરંતુ લઘુત્તમ અંતરની રેખા પર તેમના ઘટકો સમાન દિશામાં હશે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર મધ્યબિંદુ $P$ માંથી પસાર થતી લઘુત્તમ અંતરની રેખાની આસપાસ સંમિત હોવાથી,તેના કેન્દ્ર $P$ ની આસપાસ ચુંબક પર લાગતું કુલ ટોર્ક શૂન્ય છે.
જોકે,ચુંબક પર લાગતું કુલ બળ લઘુત્તમ અંતરની રેખાની દિશામાં તાર તરફ અથવા તારથી દૂર લાગશે,જે ચુંબકના ધ્રુવોની ગોઠવણી પર આધાર રાખે છે.

(B) લૂપ પરનો ઋણ વીજભાર ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં ફરે છે. વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ ને ધન વીજભારના પ્રવાહ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવતો હોવાથી,સમતુલ્ય વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં વહે છે.
જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,આ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં વહેતા વિદ્યુતપ્રવાહ દ્વારા ઉત્પન્ન થતી ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ લૂપના કેન્દ્રમાં કાગળના સમતલમાંથી બહાર આવે છે.
આ વિદ્યુતપ્રવાહ લૂપ એક ચુંબકીય ડાયપોલ તરીકે વર્તે છે,જેનો ઉત્તર ધ્રુવ નિરીક્ષક તરફ (સમતલની બહાર) અને દક્ષિણ ધ્રુવ નિરીક્ષકથી દૂર (સમતલની અંદર) હોય છે.
લૂપની ઉપર મૂકવામાં આવેલા નાના ચુંબકનો ઉત્તર ધ્રુવ જમણી બાજુ અને દક્ષિણ ધ્રુવ ડાબી બાજુ છે. લૂપ દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર નાના ચુંબકના ચુંબકીય ડાયપોલ સાથે આંતરક્રિયા કરે છે.
લૂપના ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા નાના ચુંબક પર લાગતા ટોર્કને કારણે,ચુંબક એક બળ અનુભવશે જે તેને ફેરવશે. ખાસ કરીને,આ આંતરક્રિયાને કારણે ચુંબક નીચેથી જોતા ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં ફરે છે.

(A) આપેલ છે: ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = 1.0 \, A-m^2$,ડાયપોલ વચ્ચેનું અંતર $d = 2 \, m$. બિંદુ મધ્યમાં છે,તેથી દરેક ડાયપોલથી બિંદુનું અંતર $r = 1 \, m$ છે.
પ્રથમ ડાયપોલ માટે,બિંદુ તેની અક્ષીય રેખા પર છે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2M}{r^3} = 10^{-7} \times \frac{2 \times 1}{1^3} = 2 \times 10^{-7} \, T$ છે.
બીજા ડાયપોલ માટે,બિંદુ તેની વિષુવવૃત્તીય રેખા પર છે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{M}{r^3} = 10^{-7} \times \frac{1}{1^3} = 1 \times 10^{-7} \, T$ છે.
અક્ષો લંબ હોવાથી,ક્ષેત્રો $B_1$ અને $B_2$ એકબીજાને લંબ છે.
પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = \sqrt{B_1^2 + B_2^2} = \sqrt{(2 \times 10^{-7})^2 + (1 \times 10^{-7})^2} = \sqrt{4 + 1} \times 10^{-7} = \sqrt{5} \times 10^{-7} \, T$ થાય.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકીય ડાયપોલને ફેરવવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$W = MB_H(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$
જ્યાં $M$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે અને $B_H$ એ પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક છે.
શરૂઆતમાં,ચુંબક ચુંબકીય મેરિડિયનને સમાંતર છે,તેથી પ્રારંભિક ખૂણો $\theta_1 = 0^\circ$ છે.
અંતિમ ખૂણો $\theta_2 = \theta$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$W = MB_H(\cos 0^\circ - \cos \theta)$
કારણ કે $\cos 0^\circ = 1$,તેથી આપણને મળે છે:
$W = MB_H(1 - \cos \theta)$

(C) બે ચુંબકીય ડાયપોલ જેની મોમેન્ટ $M$ છે અને જે તેમની અક્ષ પર $z$ અંતરે રહેલા છે,તેમની વચ્ચેનું બળ નીચે મુજબ છે:
$F = \frac{3\mu_0}{2\pi} \frac{M^2}{z^4}$
ઉપરનું ચુંબક તરતું રહે તે માટે,આ અપાકર્ષી ચુંબકીય બળ તેના પર લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળને સંતુલિત કરવું જોઈએ:
$F = m_d g$
$F$ માટેનું સૂત્ર મૂકતા:
$\frac{3\mu_0 M^2}{2\pi z^4} = m_d g$
$z$ માટે ઉકેલતા:
$z^4 = \frac{3\mu_0 M^2}{2\pi m_d g}$
$z = \left[ \frac{3\mu_0 M^2}{2\pi m_d g} \right]^{1/4}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકીય ડાયપોલને ફેરવવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $W = MB(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$.
અહીં,પ્રારંભિક ખૂણો $\theta_1 = 0^\circ$ (ક્ષેત્રની દિશામાં) અને અંતિમ ખૂણો $\theta_2 = 90^\circ$ (ક્ષેત્રને લંબ) છે.
આપેલ છે: ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = 1.5 \, A \cdot m^2$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 2 \, T$.
કિંમતો મૂકતા: $W = 1.5 \times 2 \times (\cos 0^\circ - \cos 90^\circ)$.
$W = 3 \times (1 - 0) = 3 \, J$.
તેથી,જરૂરી કાર્ય $3 \, J$ છે.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકીય સોયને ફેરવવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = MB(\cos \theta_{1} - \cos \theta_{2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\theta_{1} = 0^{\circ}$ અને $\theta_{2} = 60^{\circ}$ છે,અને કાર્ય $\sqrt{3} \text{ J}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\sqrt{3} = MB(\cos 0^{\circ} - \cos 60^{\circ})$.
$\sqrt{3} = MB(1 - 0.5) = MB(0.5)$.
તેથી,$MB = 2\sqrt{3} \text{ J}$.
સોયને $\theta = 60^{\circ}$ ના ખૂણે જાળવી રાખવા માટે જરૂરી ટોર્ક $\tau = MB \sin \theta$ દ્વારા મળે છે.
$\tau = (2\sqrt{3}) \times \sin 60^{\circ} = 2\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 \text{ J}$.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકીય ડાયપોલને ફેરવવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = MB(\cos \theta_{1} - \cos \theta_{2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\theta_{1} = 0^{\circ}$ અને $\theta_{2} = 60^{\circ}$ છે,અને $W = \sqrt{3} \, J$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $\sqrt{3} = MB(\cos 0^{\circ} - \cos 60^{\circ})$.
$\sqrt{3} = MB(1 - 0.5) = MB(0.5) = \frac{MB}{2}$.
તેથી,$MB = 2\sqrt{3} \, N \cdot m$.
સોયને $\theta = 60^{\circ}$ ના ખૂણે જાળવી રાખવા માટે જરૂરી ટોર્ક $\tau = MB \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\tau = (2\sqrt{3}) \sin 60^{\circ} = (2\sqrt{3}) \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 3 \, N \cdot m$.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા ચુંબકીય ડાયપોલની સ્થિતિ ઉર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = -\overrightarrow{M} \cdot \overrightarrow{B} = -MB \cos \theta$ છે.
સ્થાયી સંતુલન માટે,ચુંબકીય મોમેન્ટ $\overrightarrow{M}$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B}$ ની દિશામાં હોવી જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે ખૂણો $\theta = 0^{\circ}$ છે.
આપેલ કિંમતો $M = 0.4\,JT^{-1}$ અને $B = 0.16\,T$ ને સૂત્રમાં મૂકતા:
$U = -(0.4\,JT^{-1})(0.16\,T) \cos(0^{\circ})$
$U = -0.064 \times 1 = -0.064\,J$.
તેથી,સ્થાયી સંતુલનમાં સ્થિતિ ઉર્જા $-0.064\,J$ છે.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા ચુંબકીય ડાયપોલની સ્થિતિ ઉર્જા $U = -mB \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે અને $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે.
ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = mB \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ટોર્ક મહત્તમ થવા માટે,$\sin \theta = 1$ હોવું જોઈએ,જે $\theta = 90^{\circ}$ પર થાય છે.
સ્થિતિ ઉર્જાના સમીકરણમાં $\theta = 90^{\circ}$ મૂકતા: $U = -mB \cos(90^{\circ}) = -mB(0) = 0$.
તેથી,જ્યારે ટોર્ક મહત્તમ હોય ત્યારે સ્થિતિ ઉર્જા શૂન્ય હોય છે.

(B) ધારો કે બે ચુંબકીય ક્ષેત્રો $B_1 = 15 \, mT$ અને $B_2$ છે. તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha = 75^{\circ}$ છે.
સ્થાયી સંતુલનમાં,ચુંબકીય ડાયપોલ પર લાગતા બે ક્ષેત્રોના ટોર્ક સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવા જોઈએ.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = MB \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ $M$ અને ક્ષેત્ર $B$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
ધારો કે ડાયપોલ $B_1$ સાથે $\theta_1 = 30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે. તો $B_2$ સાથેનો ખૂણો $\theta_2 = \alpha - \theta_1 = 75^{\circ} - 30^{\circ} = 45^{\circ}$ થશે.
સંતુલન માટે,$MB_1 \sin \theta_1 = MB_2 \sin \theta_2$.
$B_1 \sin 30^{\circ} = B_2 \sin 45^{\circ}$.
$15 \times \frac{1}{2} = B_2 \times \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$B_2 = \frac{15 \times \sqrt{2}}{2} = \frac{15}{1.414} \approx 10.6 \, mT$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,$B_2 \approx 11 \, mT$.

(D) $M$ ચુંબકીય મોમેન્ટ ધરાવતા ચુંબકીય ડાયપોલ દ્વારા તેની અક્ષ પર $x$ અંતરે (એન્ડ-ઓન સ્થિતિ) ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2M}{x^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવેલા $M$ ચુંબકીય મોમેન્ટ ધરાવતા બીજા ચુંબકીય ડાયપોલ પર લાગતું બળ $F = M \cdot \frac{dB}{dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$B$ માટેનું સૂત્ર મૂકતા:
$F = M \cdot \frac{d}{dx} \left( \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2M}{x^3} \right)$
$F = M \cdot \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot 2M \cdot (-3) x^{-4}$
$F = - \frac{6 \mu_0 M^2}{4\pi x^4}$
આમ,બળનું મૂલ્ય $F \propto \frac{1}{x^4}$ છે,જેને $F \propto x^{-4}$ તરીકે લખી શકાય છે.
આને $F \propto x^{-n}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n = 4$ મળે છે.

(C) ગજિયા ચુંબકની વિષુવરેખા પરના બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $B$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{M}{(r^2 + l^2)^{3/2}}$
આપેલ કિંમતો:
ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = 4\,J\,T^{-1}$
કેન્દ્રથી અંતર $r = 200\,cm = 2\,m$
ચુંબકની લંબાઈ $2l = 6\,cm$,તેથી $l = 3\,cm = 0.03\,m$
અહીં $r \gg l$ હોવાથી,સૂત્રને આ રીતે લખી શકાય:
$B \approx \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{M}{r^3}$
કિંમતો મૂકતા:
$B = 10^{-7} \times \frac{4}{2^3}$
$B = 10^{-7} \times \frac{4}{8}$
$B = 0.5 \times 10^{-7}\,T = 5 \times 10^{-8}\,T$
આમ,ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $5 \times 10^{-8}\,T$ છે.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકીય ડાયપોલની સ્થિતિ ઉર્જા $U = -\vec{M} \cdot \vec{B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$t = 1 \text{ s}$ સમયે, ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = 1 \cdot \cos(0.125 \times 1) \hat{i} = \cos(0.125) \hat{i} \text{ T}$ છે.
ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{M} = 10^{-2} \hat{i} \text{ A} \cdot \text{m}^2$ સાથેની પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જા $U_i = -M B \cos(0.125)$ છે.
ચુંબકીય મોમેન્ટને ઉલટાવવા માટે, નવી ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{M}' = -10^{-2} \hat{i} \text{ A} \cdot \text{m}^2$ થશે.
અંતિમ સ્થિતિ ઉર્જા $U_f = -\vec{M}' \cdot \vec{B} = -(-10^{-2}) \cos(0.125) = 10^{-2} \cos(0.125)$ છે.
કરેલું કાર્ય $W = U_f - U_i = 10^{-2} \cos(0.125) - (-10^{-2} \cos(0.125)) = 2 \times 10^{-2} \cos(0.125) \text{ J}$ છે.
$\cos(0.125) \approx 0.992$ નો ઉપયોગ કરતા, $W = 2 \times 10^{-2} \times 0.992 = 0.01984 \text{ J} \approx 0.02 \text{ J}$ મળે છે.

(A) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ચુંબકીય ડાયપોલના દોલનનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{\mu B}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $\mu$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે.
હૂપ માટે,$I_h = MR^2$ અને $\mu_h = 2\mu_0$.
નક્કર નળાકાર માટે,$I_c = \frac{1}{2}MR^2$ અને $\mu_c = \mu_0$.
આવર્તકાળનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{T_h}{T_c} = \sqrt{\frac{I_h}{I_c} \cdot \frac{\mu_c}{\mu_h}}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{T_h}{T_c} = \sqrt{\frac{MR^2}{\frac{1}{2}MR^2} \cdot \frac{\mu_0}{2\mu_0}}$
$\frac{T_h}{T_c} = \sqrt{2 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{1} = 1$
તેથી,$T_h = T_c$.

(B) બિંદુ $P$ પર ડાયપોલ $X$ (અક્ષીય સ્થિતિ) ને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \left( \frac{\mu_0}{4\pi} \right) \frac{2M}{(d/2)^3}$ છે જે સમક્ષિતિજ દિશામાં છે.
બિંદુ $P$ પર ડાયપોલ $Y$ (વિષુવવૃત્તીય સ્થિતિ) ને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \left( \frac{\mu_0}{4\pi} \right) \frac{2M}{(d/2)^3}$ છે જે શિરોલંબ દિશામાં છે.
અહીં $B_1 = B_2$ હોવાથી,પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net}$ સમક્ષિતિજ સાથે $45^\circ$ નો ખૂણો બનાવે છે.
વિદ્યુતભાર $q$ નો વેગ સદિશ $\vec{v}$ પણ સમક્ષિતિજ સાથે $45^\circ$ ના ખૂણે છે,જેનો અર્થ છે કે $\vec{v}$ અને $\vec{B}_{net}$ સમાંતર છે.
ગતિમાન વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\vec{v}$ અને $\vec{B}$ સમાંતર હોવાથી,તેમનો ક્રોસ પ્રોડક્ટ શૂન્ય થાય છે,તેથી કણ પર લાગતું બળ $0$ છે.

(A) નાના ગજિયા ચુંબકની અક્ષ પર તેના કેન્દ્રથી $d$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2Md}{ (d^2 - l^2)^2 }$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $M$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે અને $2l$ એ ચુંબકની લંબાઈ છે.
અહીં અંતર $d_A = 24 \, cm$ અને $d_B = 48 \, cm$ એ ચુંબકની લંબાઈ $2l = 3 \, cm$ કરતા ઘણા મોટા હોવાથી,આપણે $B \propto \frac{1}{d^3}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકીએ.
તેથી,બિંદુઓ $A$ અને $B$ પરના ચુંબકીય ક્ષેત્રોનો ગુણોત્તર:
$\frac{B_A}{B_B} = \left( \frac{d_B}{d_A} \right)^3$
કિંમતો $d_A = 24 \, cm$ અને $d_B = 48 \, cm$ મૂકતા:
$\frac{B_A}{B_B} = \left( \frac{48}{24} \right)^3 = (2)^3 = 8$.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા ચુંબકીય ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\vec{\tau}$ સદિશ ગુણાકાર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\vec{\tau} = \vec{\mu} \times \vec{B}$.
આપેલ છે:
$\vec{\mu} = 50 \hat{i} \text{ Am}^2$
$\vec{B} = (0.5 \hat{i} + 3.0 \hat{j}) \text{ T}$
કિંમતો મૂકતા:
$\vec{\tau} = (50 \hat{i}) \times (0.5 \hat{i} + 3.0 \hat{j})$
સદિશ ગુણાકારના વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\vec{\tau} = (50 \times 0.5) (\hat{i} \times \hat{i}) + (50 \times 3.0) (\hat{i} \times \hat{j})$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\hat{i} \times \hat{i} = 0$ અને $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$:
$\vec{\tau} = 0 + 150 \hat{k} \text{ Nm}$
$\vec{\tau} = 150 \hat{k} \text{ Nm}$.

(A) ધારો કે ચોરસ $CDEF$ છે. ચુંબકો ખૂણા $D$ અને $F$ પર મૂકવામાં આવ્યા છે. આપણે ખૂણા $E$ પર ચુંબકીય પ્રેરણ શોધવાનું છે.
$1$. $F$ પર રહેલ ચુંબક $E$ થી તેની અક્ષ પર $d$ અંતરે છે. આમ,$E$ એ $F$ પરના ચુંબક માટે અક્ષીય બિંદુ છે. $F$ પરના ચુંબકને કારણે $E$ પરનું ચુંબકીય પ્રેરણ $B_1$ નીચે મુજબ છે:
$B_1 = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2m}{d^3}$
આ ક્ષેત્ર $EF$ ની દિશામાં કાર્ય કરે છે.
$2$. $D$ પર રહેલ ચુંબક $E$ થી તેની વિષુવરેખા પર $d$ અંતરે છે. આમ,$E$ એ $D$ પરના ચુંબક માટે વિષુવરેખીય બિંદુ છે. $D$ પરના ચુંબકને કારણે $E$ પરનું ચુંબકીય પ્રેરણ $B_2$ નીચે મુજબ છે:
$B_2 = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{m}{d^3}$
આ ક્ષેત્ર $D$ પરના ચુંબકની ચુંબકીય મોમેન્ટની વિરુદ્ધ દિશામાં,એટલે કે $FE$ ની દિશામાં કાર્ય કરે છે.
$3$. $B_1$ અને $B_2$ વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,$E$ પરનું પરિણામી ચુંબકીય પ્રેરણ $B$:
$B = B_1 - B_2 = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2m}{d^3} - \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{m}{d^3} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{m}{d^3}$

(C) નાના ચુંબકની અક્ષીય રેખા પર ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $B_{\text{axial}} = \frac{2M}{x^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $B_{\text{axial}} = 9 \ G$,તેથી $9 = \frac{2M}{x^3}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{M}{x^3} = 4.5 \ G$ ... $(i)$.
વિષુવરેખીય રેખા પર $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $B_{\text{equatorial}} = \frac{M}{r^3}$ છે.
અહીં,$r = \frac{x}{2}$ છે. આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$B_{\text{equatorial}} = \frac{M}{(\frac{x}{2})^3} = \frac{M}{\frac{x^3}{8}} = 8 \times \frac{M}{x^3}$.
સમીકરણ $(i)$ ની કિંમતનો ઉપયોગ કરતા:
$B_{\text{equatorial}} = 8 \times 4.5 = 36 \ G$.

(C) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકીય ડાયપોલને $\theta_1$ ખૂણેથી $\theta_2$ ખૂણે ફેરવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$W = MB(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$
આપેલ છે:
ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = 1.5 \, J/T$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 0.22 \, T$
પ્રારંભિક ખૂણો $\theta_1 = 0^{\circ}$ (ક્ષેત્રની દિશામાં)
અંતિમ ખૂણો $\theta_2 = 90^{\circ}$ (ક્ષેત્રને લંબ)
કિંમતો મૂકતા:
$W = 1.5 \times 0.22 \times (\cos 0^{\circ} - \cos 90^{\circ})$
$W = 1.5 \times 0.22 \times (1 - 0)$
$W = 0.33 \, J$
આમ,જરૂરી કાર્ય $0.33 \, J$ છે.

(D) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકીય ડાયપોલને $\theta_1$ થી $\theta_2$ ખૂણે ફેરવવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $W = MB(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$.
$W_1$ માટે,પરિભ્રમણ $0^o$ થી $60^o$ છે:
$W_1 = MB(\cos 0^o - \cos 60^o) = MB(1 - 0.5) = 0.5 MB$.
$W_2$ માટે,પરિભ્રમણ $30^o$ થી $90^o$ છે:
$W_2 = MB(\cos 30^o - \cos 90^o) = MB(\frac{\sqrt{3}}{2} - 0) = \frac{\sqrt{3}}{2} MB$.
$W_1$ અને $W_2$ ની સરખામણી કરતા:
$W_2 = \sqrt{3} \times (0.5 MB) = \sqrt{3} W_1$.

(C) જ્યારે ચુંબકીય ડાયપોલની ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{m}$ એ બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ને સમાંતર અથવા પ્રતિ-સમાંતર હોય (એટલે કે $\theta = 0^{\circ}$ અથવા $180^{\circ}$),ત્યારે તે સંતુલનમાં હોય છે.
બિંદુ $O$ પર,ચુંબકીય સોય $P$ ની ચુંબકીય મોમેન્ટ ઉપરની તરફ છે.
કોઈપણ સ્થાન પર મૂકવામાં આવેલ ચુંબક $Q$ એ ડાયપોલ $P$ ને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ અનુભવે છે. જો ચુંબક $Q$ ની ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{m}_Q$ એ $P$ દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલા ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ને સમાંતર અથવા પ્રતિ-સમાંતર હોય,તો તંત્ર સંતુલનમાં છે.
$1$. $Q_1$ અને $Q_2$ (અક્ષીય સ્થાનો) પર,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ એ $P$ ની ચુંબકીય મોમેન્ટને સમાંતર છે. જોકે,$Q_1$ અને $Q_2$ નો અભિવિન્યાસ આડો (ક્ષૈતિજ) છે,જ્યારે ક્ષેત્ર ઉભું (શિરોલંબ) છે. તેથી,તેઓ સંતુલનમાં નથી.
$2$. $Q_3, Q_4, Q_5, Q_6$ (વિષુવવૃત્તીય સ્થાનો) પર,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ એ $P$ ની ચુંબકીય મોમેન્ટને પ્રતિ-સમાંતર છે. આ ચુંબકોનો અભિવિન્યાસ શિરોલંબ છે,જે ક્ષેત્રને સમાંતર/પ્રતિ-સમાંતર છે,તેથી તેઓ સંતુલનમાં છે.
તેથી,$PQ_1$ અને $PQ_2$ ગોઠવણી માટે તંત્ર સંતુલનમાં નથી.

(B) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકીય ડાયપોલને ફેરવવા માટે થયેલ કાર્યનું સૂત્ર $W = MB(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$ છે.
શરૂઆતમાં,ચુંબક ક્ષેત્રને સમાંતર છે,તેથી $\theta_1 = 0^\circ$. તેને $60^\circ$ ફેરવતા $\theta_2 = 60^\circ$ થાય છે.
આપેલ છે કે $W_1 = 0.8\, J$,તેથી $0.8 = MB(\cos 0^\circ - \cos 60^\circ) = MB(1 - 0.5) = 0.5 MB$.
આમ,$MB = 1.6\, J$.
હવે,તેને વધુ $30^\circ$ ફેરવવાનો અર્થ છે કે તેને $\theta_1 = 60^\circ$ થી $\theta_2 = 90^\circ$ સુધી ફેરવવું.
થયેલ કાર્ય $W_2 = MB(\cos 60^\circ - \cos 90^\circ) = 1.6(0.5 - 0) = 0.8\, J$.

(N/A) ટોર્કનું સૂત્ર $\tau = mB \sin \theta$ છે. આપેલ છે કે $\theta = 30^{\circ}$,$\sin 30^{\circ} = 0.5$,$B = 800 \; G = 0.08 \; T$,અને $\tau = 0.016 \; Nm$.
$0.016 = m \times 0.08 \times 0.5$
$m = 0.016 / 0.04 = 0.40 \; Am^{2}$.
$(b)$ સૌથી સ્થાયી સ્થિતિ $\theta = 0^{\circ}$ છે અને સૌથી અસ્થાયી સ્થિતિ $\theta = 180^{\circ}$ છે. કાર્ય $W = U(\theta = 180^{\circ}) - U(\theta = 0^{\circ}) = -mB \cos 180^{\circ} - (-mB \cos 0^{\circ}) = mB + mB = 2mB$.
$W = 2 \times 0.40 \times 0.08 = 0.064 \; J$.
$(c)$ સોલેનોઇડ માટે,$m = NIA$. આપેલ છે કે $m = 0.40 \; Am^{2}$,$N = 1000$,અને $A = 2 \times 10^{-4} \; m^{2}$.
$0.40 = 1000 \times I \times 2 \times 10^{-4}$
$0.40 = 0.2 \times I$
$I = 0.40 / 0.2 = 2 \; A$.

(N/A) તંત્રની સ્થિતિ ઊર્જા એક ડાયપોલ $(Q)$ ની બીજા ડાયપોલ $(P)$ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં થતી આંતરક્રિયાને કારણે ઉદભવે છે. ડાયપોલ $P$ ને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}_P$ નીચે મુજબ છે:
$1$. અક્ષીય રેખા પર: $\vec{B}_P = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2\vec{m}_P}{r^3}$
$2$. વિષુવરેખીય રેખા પર: $\vec{B}_P = -\frac{\mu_0}{4\pi} \frac{\vec{m}_P}{r^3}$
સંતુલન ત્યારે મળે છે જ્યારે ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{m}_Q \times \vec{B}_P = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\vec{m}_Q$ એ $\vec{B}_P$ ને સમાંતર અથવા પ્રતિ-સમાંતર હોવું જોઈએ.
$(a)$ $PQ_1$ અને $PQ_2$ ગોઠવણીમાં,ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{m}_Q$ એ તે બિંદુઓ પરના ક્ષેત્ર $\vec{B}_P$ ને સમાંતર કે પ્રતિ-સમાંતર નથી. તેથી,ટોર્ક શૂન્ય નથી અને તંત્ર સંતુલનમાં નથી.
$(b)$ જ્યારે $\vec{m}_Q$ એ $\vec{B}_P$ ને સમાંતર હોય ત્યારે સ્થાયી સંતુલન (સ્થિતિ ઊર્જા $U = -\vec{m}_Q \cdot \vec{B}_P$ ન્યૂનતમ હોય) અને જ્યારે $\vec{m}_Q$ એ $\vec{B}_P$ ને પ્રતિ-સમાંતર હોય ત્યારે અસ્થાયી સંતુલન (સ્થિતિ ઊર્જા $U$ મહત્તમ હોય) મળે છે.
$(i)$ સ્થાયી સંતુલન: $PQ_3$ અને $PQ_6$.
$(ii)$ અસ્થાયી સંતુલન: $PQ_4$ અને $PQ_5$.
$(c)$ સ્થિતિ ઊર્જા $U = -\vec{m}_Q \cdot \vec{B}_P$. સૌથી ઓછી સ્થિતિ ઊર્જા તે ગોઠવણીમાં મળે છે જ્યાં $\vec{m}_Q$ અને $\vec{B}_P$ સમાંતર હોય અને $\vec{B}_P$ નું મૂલ્ય મહત્તમ હોય. અક્ષીય ક્ષેત્ર વિષુવરેખીય ક્ષેત્ર કરતા બમણું હોવાથી,$PQ_6$ (અક્ષ પર) સૌથી ઓછી સ્થિતિ ઊર્જા ધરાવે છે.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા,$B = 0.25 \; T$.
ગજિયા ચુંબક પર લાગતું ટોર્ક,$\tau = 4.5 \times 10^{-2} \; J$.
ગજિયા ચુંબક અને બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો,$\theta = 30^{\circ}$.
ટોર્ક અને ચુંબકીય મોમેન્ટ $(M)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$\tau = M B \sin \theta$
$M$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$M = \frac{\tau}{B \sin \theta}$
કિંમતો મૂકતા:
$M = \frac{4.5 \times 10^{-2}}{0.25 \times \sin 30^{\circ}}$
અહીં $\sin 30^{\circ} = 0.5$ હોવાથી:
$M = \frac{4.5 \times 10^{-2}}{0.25 \times 0.5} = \frac{4.5 \times 10^{-2}}{0.125} = 0.36 \; J \; T^{-1}$.
આમ,ચુંબકની ચુંબકીય મોમેન્ટ $0.36 \; J \; T^{-1}$ છે.

(N/A) આપેલ છે:
ચુંબકીય મોમેન્ટ,$M = 0.32 \; J \, T^{-1}$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર,$B = 0.15 \; T$
$(a)$ જ્યારે ચુંબકીય મોમેન્ટ ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશામાં હોય $(\theta = 0^{\circ})$,ત્યારે તે સ્થાયી સંતુલનમાં હોય છે.
સ્થિતિઊર્જા $U = -M B \cos \theta = -0.32 \times 0.15 \times \cos(0^{\circ}) = -0.048 \; J = -4.8 \times 10^{-2} \; J$.
$(b)$ જ્યારે ચુંબકીય મોમેન્ટ ચુંબકીય ક્ષેત્રની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય $(\theta = 180^{\circ})$,ત્યારે તે અસ્થાયી સંતુલનમાં હોય છે.
સ્થિતિઊર્જા $U = -M B \cos \theta = -0.32 \times 0.15 \times \cos(180^{\circ}) = -0.048 \times (-1) = 0.048 \; J = 4.8 \times 10^{-2} \; J$.

(N/A) ચુંબકીય મોમેન્ટ,$M = 1.5 \, J \, T^{-1}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા,$B = 0.22 \, T$.
$(i)$ અક્ષ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો પ્રારંભિક ખૂણો,$\theta_{1} = 0^{\circ}$.
અંતિમ ખૂણો,$\theta_{2} = 90^{\circ}$.
ચુંબકીય મોમેન્ટને ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશાને લંબ કરવા માટે જરૂરી કાર્ય:
$W = -MB(\cos \theta_{2} - \cos \theta_{1})$
$W = -1.5 \times 0.22 \times (\cos 90^{\circ} - \cos 0^{\circ})$
$W = -0.33 \times (0 - 1) = 0.33 \, J$.
$(ii)$ પ્રારંભિક ખૂણો,$\theta_{1} = 0^{\circ}$.
અંતિમ ખૂણો,$\theta_{2} = 180^{\circ}$.
ચુંબકીય મોમેન્ટને ચુંબકીય ક્ષેત્રની વિરુદ્ધ દિશામાં કરવા માટે જરૂરી કાર્ય:
$W = -1.5 \times 0.22 \times (\cos 180^{\circ} - \cos 0^{\circ})$
$W = -0.33 \times (-1 - 1) = 0.66 \, J$.
$(b)$ ટોર્ક $\tau = MB \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિસ્સા $(i)$ માટે,$\theta = 90^{\circ}$:
$\tau = 1.5 \times 0.22 \times \sin 90^{\circ} = 0.33 \, N \cdot m$.
કિસ્સા $(ii)$ માટે,$\theta = 180^{\circ}$:
$\tau = 1.5 \times 0.22 \times \sin 180^{\circ} = 0 \, N \cdot m$.

(A) ગજિયા ચુંબકની ચુંબકીય મોમેન્ટ,$M = 5.25 \times 10^{-2} \; J \, T^{-1}$.
પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય,$H = 0.42 \; G = 0.42 \times 10^{-4} \; T$.
$(a)$ વિષુવરેખા પર $R$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_{0} M}{4 \pi R^{3}}$ છે.
પરિણામી ક્ષેત્ર પૃથ્વીના ક્ષેત્ર સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે તે માટે $B = H$ થવું જોઈએ.
$\frac{\mu_{0} M}{4 \pi R^{3}} = H \implies R^{3} = \frac{\mu_{0} M}{4 \pi H} = \frac{10^{-7} \times 5.25 \times 10^{-2}}{0.42 \times 10^{-4}} = 12.5 \times 10^{-5} \; m^{3}$.
$R = (125 \times 10^{-6})^{1/3} \approx 0.05 \; m = 5 \; cm$.
$(b)$ અક્ષ પર $R'$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B' = \frac{\mu_{0} 2 M}{4 \pi R'^{3}}$ છે.
પરિણામી ક્ષેત્ર પૃથ્વીના ક્ષેત્ર સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે તે માટે $B' = H$ થવું જોઈએ.
$\frac{\mu_{0} 2 M}{4 \pi R'^{3}} = H \implies R'^{3} = \frac{2 \mu_{0} M}{4 \pi H} = 2 \times R^{3} = 25 \times 10^{-5} \; m^{3}$.
$R' = (250 \times 10^{-6})^{1/3} \approx 0.063 \; m = 6.3 \; cm$.

(D) ધારો કે પ્રથમ ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $B_{1} = 1.2 \times 10^{-2} \; T$ છે.
ધારો કે બીજા ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $B_{2}$ છે.
બંને ક્ષેત્રો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 60^{\circ}$ છે.
સ્થિર સંતુલન સ્થિતિમાં,ડાયપોલ પ્રથમ ક્ષેત્ર $B_{1}$ સાથે $\theta_{1} = 15^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
ડાયપોલ અને બીજા ક્ષેત્ર $B_{2}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta_{2} = \theta - \theta_{1} = 60^{\circ} - 15^{\circ} = 45^{\circ}$ થશે.
ડાયપોલ પરિભ્રમણીય સંતુલનમાં રહે તે માટે,તેના પર લાગતું કુલ ટોર્ક શૂન્ય હોવું જોઈએ.
તેથી,$B_{1}$ ને કારણે લાગતું ટોર્ક અને $B_{2}$ ને કારણે લાગતું ટોર્ક એકબીજાને સંતુલિત કરશે:
$M B_{1} \sin \theta_{1} = M B_{2} \sin \theta_{2}$
જ્યાં $M$ એ ડાયપોલની ચુંબકીય મોમેન્ટ છે.
બંને બાજુથી $M$ ને દૂર કરતા:
$B_{2} = \frac{B_{1} \sin \theta_{1}}{\sin \theta_{2}}$
કિંમતો મૂકતા:
$B_{2} = \frac{1.2 \times 10^{-2} \times \sin 15^{\circ}}{\sin 45^{\circ}}$
$\sin 15^{\circ} \approx 0.2588$ અને $\sin 45^{\circ} \approx 0.7071$ લેતા:
$B_{2} = \frac{1.2 \times 10^{-2} \times 0.2588}{0.7071} \approx 4.39 \times 10^{-3} \; T$.

(N/A) ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $M$ અને લંબાઈ $2l$ ધરાવતા ગજિયા ચુંબકના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે તેની વિષુવરેખા પર આવેલા બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{M}{(r^{2} + l^{2})^{3/2}}$
નાના ગજિયા ચુંબક માટે જ્યાં $r \gg l$ હોય,ત્યારે આ સૂત્ર નીચે મુજબ સરળ બને છે:
$B = \frac{\mu_{0} M}{4 \pi r^{3}}$
જ્યાં:
$\mu_{0} = \text{શૂન્યાવકાશની પરમિયેબિલિટી}$
$M = \text{ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ}$
$r = \text{ચુંબકના કેન્દ્રથી લંબ અંતર}$

(N/A) ધારો કે $m$ ચુંબકીય મોમેન્ટ અને $2l$ લંબાઈ ધરાવતી એક ચુંબકીય સોય (ચુંબકીય ડાયપોલ) ને સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ માં ક્ષેત્રની દિશા સાથે $\theta$ ખૂણે મૂકવામાં આવી છે.
ધારો કે $q_m$ એ સોયના દરેક ધ્રુવની ધ્રુવ પ્રબળતા છે.
ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $m = q_m \times 2l$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉત્તર ધ્રુવ $(N)$ પર લાગતું બળ $\vec{F}_N = q_m \vec{B}$ છે (ક્ષેત્રની દિશામાં).
દક્ષિણ ધ્રુવ $(S)$ પર લાગતું બળ $\vec{F}_S = -q_m \vec{B}$ છે (ક્ષેત્રની વિરુદ્ધ દિશામાં).
આ બે સમાન અને વિરુદ્ધ બળો એક કપલ બનાવે છે જે સોય પર ટોર્ક $(\tau)$ લગાડે છે, જે તેને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સાથે સંરેખિત કરવા માટે ફેરવવાનો પ્રયત્ન કરે છે.
ટોર્ક $\tau = (\text{કોઈપણ એક બળનું મૂલ્ય}) \times (\text{બે બળો વચ્ચેનું લંબ અંતર})$.
ત્રિકોણ $NDS$ ની ભૂમિતિ પરથી, લંબ અંતર $ND = 2l \sin \theta$ છે.
તેથી, $\tau = (q_m B) \times (2l \sin \theta)$.
કારણ કે $m = q_m(2l)$, તેથી $\tau = m B \sin \theta$ મળે છે.
સદિશ સ્વરૂપમાં, આને $\vec{\tau} = \vec{m} \times \vec{B}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

(N/A) ધારો કે $\vec{m}$ ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ ધરાવતી એક ચુંબકીય સોય સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ માં મૂકેલી છે.
$N$ અને $S$ ધ્રુવો પર લાગતા બળો સમાન અને વિરુદ્ધ દિશાના હોય છે,જે એક બળયુગ્મ બનાવે છે અને સોય પર ટોર્ક $\vec{\tau}$ લગાડે છે.
ટોર્કનું સૂત્ર $\vec{\tau} = \vec{m} \times \vec{B}$ છે.
આમ,ટોર્કનું મૂલ્ય $\tau = mB \sin \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ $\vec{m}$ અને $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આ ટોર્ક સોયને તેની સંતુલન સ્થિતિમાં પાછી લાવવા માટે પ્રયત્ન કરે છે,તેથી પુનઃસ્થાપક ટોર્ક $\tau = -mB \sin \theta$ લખી શકાય.
ભ્રમણ માટે ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ,$\tau = I \alpha = I \frac{d^2 \theta}{dt^2}$,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
ટોર્કના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $I \frac{d^2 \theta}{dt^2} = -mB \sin \theta$.
નાના દોલનો માટે,$\sin \theta \approx \theta$ લેતા,$I \frac{d^2 \theta}{dt^2} = -mB \theta$.
તેથી,$\frac{d^2 \theta}{dt^2} = -\left( \frac{mB}{I} \right) \theta$.
આ સમીકરણ સરળ આવર્ત ગતિનું છે,$\frac{d^2 \theta}{dt^2} = -\omega^2 \theta$,જ્યાં $\omega^2 = \frac{mB}{I}$.
તેથી,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{mB}{I}}$ થાય.
$\omega = \frac{2\pi}{T}$ હોવાથી,$\frac{2\pi}{T} = \sqrt{\frac{mB}{I}}$.
આમ,$T$ માટે ઉકેલતા,$T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{mB}}$ મળે છે.

(N/A) આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,એક ગજિયો ચુંબક સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B}$ ની દિશા સાથે $\theta$ ખૂણે રાખેલ છે.
ગજિયા ચુંબક પર લાગતું ટોર્ક $\tau = m B \sin \theta$ છે.
ગજિયા ચુંબકની સ્થિતિ ઊર્જા $U_m$ એ ચુંબકીય ટોર્કની વિરુદ્ધ તેને ફેરવવા માટે કરેલા કાર્ય જેટલી હોય છે:
$U_m = \int \tau(\theta) d\theta = \int m B \sin \theta d\theta = -m B \cos \theta$
આમ,સ્થિતિ ઊર્જાને અદિશ ગુણાકાર તરીકે દર્શાવી શકાય:
$U_m = -\vec{m} \cdot \overrightarrow{B}$
ખાસ કિસ્સાઓ:
$(1)$ જો ગજિયો ચુંબક ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B}$ સાથે $\theta = 0^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે:
$U_m = -m B \cos 0^{\circ} = -m B$. આ સ્થિતિ ઊર્જાનું લઘુત્તમ મૂલ્ય છે,અને ચુંબક સૌથી વધુ સ્થાયી સ્થિતિમાં છે.
$(2)$ જો ગજિયો ચુંબક ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B}$ સાથે $\theta = 180^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે:
$U_m = -m B \cos 180^{\circ} = +m B$. આ સ્થિતિ ઊર્જાનું મહત્તમ મૂલ્ય છે,અને ચુંબક સૌથી વધુ અસ્થાયી સ્થિતિમાં છે.
$(3)$ જો ગજિયો ચુંબક $\overrightarrow{B}$ ને લંબ હોય $(\theta = 90^{\circ})$:
$U_m = -m B \cos 90^{\circ} = 0$.

(N/A) જ્યારે $\vec{m}$ ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ ધરાવતા ગજિયા ચુંબકને સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ માં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તેના પર લાગતું ટોર્ક $\vec{\tau}$ એ ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના સદિશ ગુણાકાર જેટલું હોય છે.
તેનું સમીકરણ છે: $\vec{\tau} = \vec{m} \times \vec{B}$.

(N/A) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ માં મૂકવામાં આવેલા $\vec{m}$ ચુંબકીય મોમેન્ટ ધરાવતા ગજિયા ચુંબકની સ્થિતિ ઊર્જા $U$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના અદિશ ગુણાકાર (dot product) દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$U = -\vec{m} \cdot \vec{B}$
વૈકલ્પિક રીતે,તેને આ રીતે દર્શાવી શકાય છે:
$U = -mB \cos \theta$
જ્યાં $\theta$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ સદિશ $\vec{m}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા ચુંબકીય ડાયપોલની સ્થિતિ ઊર્જા $U = -\vec{m} \cdot \vec{B} = -mB \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\theta = 0^{\circ}$ માટે,$U = -mB \cos(0^{\circ}) = -mB$,જે લઘુત્તમ સ્થિતિ ઊર્જા છે. તેથી,ચુંબક સ્થાયી સંતુલનની સ્થિતિમાં છે.
$\theta = 180^{\circ}$ માટે,$U = -mB \cos(180^{\circ}) = +mB$,જે મહત્તમ સ્થિતિ ઊર્જા છે. તેથી,ચુંબક અસ્થાયી સંતુલનની સ્થિતિમાં છે.

(N/A) બિંદુ ડાયપોલ $\vec{M} = M\hat{k}$ નું સ્થાન $\vec{r}$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}(\vec{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \left[ \frac{3(\vec{M} \cdot \hat{r})\hat{r} - \vec{M}}{r^3} \right]$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x-z$ સમતલમાં,$\vec{r} = x\hat{i} + z\hat{k} = r(\sin\theta\hat{i} + \cos\theta\hat{k})$,જ્યાં $\theta$ એ $z$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો છે. તેથી $\hat{r} = \sin\theta\hat{i} + \cos\theta\hat{k}$ અને $\vec{M} \cdot \hat{r} = M\cos\theta$.
આમ,$\vec{B} = \frac{\mu_0 M}{4\pi r^3} [3\cos\theta(\sin\theta\hat{i} + \cos\theta\hat{k}) - \hat{k}] = \frac{\mu_0 M}{4\pi r^3} [3\sin\theta\cos\theta\hat{i} + (3\cos^2\theta - 1)\hat{k}]$.
એમ્પીયરનો નિયમ જણાવે છે કે $\oint_C \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{enclosed}$. બિંદુ ડાયપોલ માટે,કોઈ બંધ પ્રવાહ નથી,તેથી $\oint_C \vec{B} \cdot d\vec{l} = 0$.
$a$ ત્રિજ્યાના ચાપ પર,$d\vec{l} = a d\theta \hat{\phi} = a d\theta (-\cos\theta\hat{i} + \sin\theta\hat{k})$.
$\vec{B} \cdot d\vec{l} = \frac{\mu_0 M}{4\pi a^3} [3\sin\theta\cos\theta(-\cos\theta) + (3\cos^2\theta - 1)\sin\theta] a d\theta = \frac{\mu_0 M}{4\pi a^2} [-3\sin\theta\cos^2\theta + 3\sin\theta\cos^2\theta - \sin\theta] d\theta = -\frac{\mu_0 M}{4\pi a^2} \sin\theta d\theta$.
$\theta = 0$ થી $\pi/2$ સુધી સંકલન કરતા: $\int_0^{\pi/2} -\frac{\mu_0 M}{4\pi a^2} \sin\theta d\theta = -\frac{\mu_0 M}{4\pi a^2} [-\cos\theta]_0^{\pi/2} = -\frac{\mu_0 M}{4\pi a^2}$.
$x$-અક્ષ પર $(z=0, \theta=\pi/2)$,$\vec{B} = \frac{\mu_0 M}{4\pi x^3} [3(1)(0)\hat{i} + (0-1)\hat{k}] = -\frac{\mu_0 M}{4\pi x^3} \hat{k}$. કારણ કે $d\vec{l} = dx \hat{i}$,$\vec{B} \cdot d\vec{l} = 0$.
$z$-અક્ષ પર $(x=0, \theta=0)$,$\vec{B} = \frac{\mu_0 M}{4\pi z^3} [0 + (3-1)\hat{k}] = \frac{2\mu_0 M}{4\pi z^3} \hat{k}$. કારણ કે $d\vec{l} = dz \hat{k}$,$\vec{B} \cdot d\vec{l} = \frac{2\mu_0 M}{4\pi z^3} dz$.
$z=a$ થી $0$ સુધી સંકલન કરતા: $\int_a^0 \frac{2\mu_0 M}{4\pi z^3} dz = \frac{2\mu_0 M}{4\pi} [-\frac{1}{2z^2}]_a^0$. આ સંકલન ઉગમબિંદુ પર અનંત થાય છે,જે પુષ્ટિ કરે છે કે એમ્પીયરનો નિયમ ડાયપોલના ક્ષેત્ર માટે માન્ય છે,પરંતુ માર્ગ ઉગમબિંદુ પરની સિંગ્યુલારિટીમાંથી પસાર થવો જોઈએ નહીં.

(A) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ચુંબકીય ડાયપોલની દોલન આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{mB}{I_0}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે અને $I_0$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
આવૃત્તિ $f$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ બંને ગૂંચળાં માટે સમાન હોવાથી,$\frac{m_1}{I_1} = \frac{m_2}{I_2}$ હોવું જોઈએ.
વર્તુળાકાર ગૂંચળા $C_1$ માટે: આંટાની સંખ્યા $N_1 = \frac{L}{2\pi R}$. ચુંબકીય મોમેન્ટ $m_1 = N_1 I A_1 = \left(\frac{L}{2\pi R}\right) I (\pi R^2) = \frac{LIR}{2}$. જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = \frac{M R^2}{2}$.
ચોરસ ગૂંચળા $C_2$ માટે: આંટાની સંખ્યા $N_2 = \frac{L}{4a}$. ચુંબકીય મોમેન્ટ $m_2 = N_2 I A_2 = \left(\frac{L}{4a}\right) I (a^2) = \frac{LIa}{4}$. જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = \frac{M a^2}{6}$ (કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને બાજુને સમાંતર અક્ષ માટે).
ગુણોત્તરને સરખાવતા: $\frac{m_1}{I_1} = \frac{m_2}{I_2} \Rightarrow \frac{LIR/2}{MR^2/2} = \frac{LIa/4}{Ma^2/6} \Rightarrow \frac{LI}{MR} = \frac{3LI}{2Ma} \Rightarrow \frac{1}{R} = \frac{3}{2a} \Rightarrow a = 1.5R$.

(D) બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ગજિયા ચુંબક પર લાગતું ટોર્ક $\tau = MB \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $\theta = 30^{\circ}$,$\tau = 0.018\, Nm$,$B = 0.06\, T$.
કિંમતો મૂકતા: $0.018 = M \times 0.06 \times \sin 30^{\circ}$.
કારણ કે $\sin 30^{\circ} = 0.5$,તેથી $0.018 = M \times 0.06 \times 0.5 = M \times 0.03$.
આમ,$M = \frac{0.018}{0.03} = 0.6\, A\cdot m^2$.
ચુંબકીય ડાયપોલની સ્થિતિ ઉર્જા $U = -MB \cos \theta$ છે.
સ્થાયી સંતુલન $\theta = 0^{\circ}$ પર હોય છે,તેથી $U_i = -MB \cos 0^{\circ} = -MB$.
અસ્થાયી સંતુલન $\theta = 180^{\circ}$ પર હોય છે,તેથી $U_f = -MB \cos 180^{\circ} = MB$.
થયેલ કાર્ય $W$ એ સ્થિતિ ઉર્જામાં થતો ફેરફાર છે: $W = U_f - U_i = MB - (-MB) = 2MB$.
$W = 2 \times 0.6 \times 0.06 = 0.072\, J = 7.2 \times 10^{-2} J$.

(A) $m_{1}$ ડાયપોલ દ્વારા બિંદુ $P$ પર (જે $m_{1}$ ની વિષુવવૃત્તીય રેખા પર છે) ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{1}$ નીચે મુજબ છે:
$B_{1} = \frac{\mu_{0}}{4\pi} \frac{m_{1}}{r^{3}}$
અહીં $m_{1} = 1\, \text{Am}^{2}$, $r = 1\, \text{m}$, અને $\frac{\mu_{0}}{4\pi} = 10^{-7}\, \text{T}\cdot\text{m/A}$ આપેલ છે।
$B_{1} = 10^{-7} \times \frac{1}{(1)^{3}} = 10^{-7}\, \text{T}$.
$B_{1}$ ની દિશા $m_{1}$ ની દિશાથી વિરુદ્ધ છે。
ડાયપોલ $m_{2}$ દ્વારા અનુભવાતું ટોર્ક $\tau$ એ $\vec{\tau} = \vec{m}_{2} \times \vec{B}_{1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે。
કારણ કે $m_{2}$ એ $B_{1}$ ને લંબ છે, ટોર્કનું મૂલ્ય:
$\tau = m_{2} B_{1} \sin(90^{\circ}) = 1 \times 10^{-7} \times 1 = 10^{-7}\, \text{Nm}$.
આમ, જવાબ $1 \times 10^{-7}\, \text{Nm}$ છે।

(A) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકીય ડાયપોલને ફેરવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$W = MB(\cos \theta_{1} - \cos \theta_{2})$
આપેલ છે:
ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = 2.0 \times 10^{5} \; J T^{-1}$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 14 \times 10^{-5} \; T$
પ્રારંભિક ખૂણો $\theta_{1} = 0^{\circ}$ (ક્ષેત્રની દિશામાં)
અંતિમ ખૂણો $\theta_{2} = 60^{\circ}$
કિંમતો મૂકતા:
$W = (2.0 \times 10^{5}) \times (14 \times 10^{-5}) \times (\cos 0^{\circ} - \cos 60^{\circ})$
$W = 2.0 \times 14 \times (1 - 0.5)$
$W = 28 \times 0.5$
$W = 14 \; J$

(C) નાના ગજિયા ચુંબક (ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$) ની વિષુવરેખીય રેખા (અક્ષને લંબ) પર $r$ અંતરે આવેલા બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{M}{r^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુ $A$ માટે અંતર $r_A = x$ છે,તેથી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_A = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{M}{x^3}$ થશે.
બિંદુ $B$ માટે અંતર $r_B = 3x$ છે,તેથી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_B = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{M}{(3x)^3} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{M}{27x^3}$ થશે.
$A$ અને $B$ આગળના ચુંબકીય ક્ષેત્રોનો ગુણોત્તર $\frac{B_A}{B_B} = \frac{\frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{M}{x^3}}{\frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{M}{27x^3}} = 27$ મળે છે.
તેથી,ગુણોત્તર $27: 1$ છે.

(A) ધારો કે ચોરસના શિરોબિંદુઓ $(0,0), (d,0), (d,d),$ અને $(0,d)$ છે. ચુંબકોને $(0,0)$ અને $(d,d)$ પર મૂકવામાં આવ્યા છે.
$(0,0)$ પરના ચુંબક માટે,ખૂણો $(d,0)$ તેની અક્ષીય રેખા પર છે. $(d,0)$ પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{2M}{d^3}$ છે (અક્ષની દિશામાં).
$(d,d)$ પરના ચુંબક માટે,ખૂણો $(d,0)$ તેની વિષુવવૃત્તીય રેખા પર છે. $(d,0)$ પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{M}{d^3}$ છે (અક્ષની વિરુદ્ધ દિશામાં).
કારણ કે સમાન ધ્રુવો એક જ દિશામાં છે,તેથી ક્ષેત્રો $B_1$ અને $B_2$ વિરુદ્ધ દિશામાં છે.
ચોખ્ખું ચુંબકીય પ્રેરણ $B_{\text{net}} = B_1 - B_2 = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{2M}{d^3} - \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{M}{d^3} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{M}{d^3}$ થાય.

(B) દરેક ચુંબકની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ છે. બે સમાન ચુંબકો $120^{\circ}$ ના ખૂણે હોવાથી,પરિણામી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M_{net}$ એ બે વ્યક્તિગત ચુંબકીય મોમેન્ટના સદિશ સરવાળા દ્વારા મળે છે.
$M_{net} = \sqrt{M^2 + M^2 + 2MM \cos(120^{\circ})} = \sqrt{2M^2 + 2M^2(-0.5)} = \sqrt{M^2} = M$.
આ પરિણામી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M_{net}$ ની દિશા $120^{\circ}$ ના ખૂણાના દ્વિભાજક પર છે.
બિંદુ $P$ આ દ્વિભાજક પર ઉગમબિંદુથી $d$ અંતરે આવેલું છે. તેથી,બિંદુ $P$ એ પરિણામી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M_{net}$ ની અક્ષીય રેખા પર છે.
ટૂંકા ગજિયા ચુંબકની અક્ષીય રેખા પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0}{4 \pi} \cdot \frac{2M}{d^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,બિંદુ $P$ આગળ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\frac{\mu_0}{4 \pi} \cdot \frac{2M}{d^3}$ છે.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા ચુંબકીય ડાયપોલની સ્થિતિ ઊર્જા $U = -M B \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$1$. અસ્થાયી સંતુલન સ્થિતિ $\theta = 180^{\circ}$ પર હોય છે,તેથી પ્રારંભિક સ્થિતિ ઊર્જા $U_i = -M B \cos(180^{\circ}) = -M B (-1) = M B$ થાય.
$2$. સ્થાયી સંતુલન સ્થિતિ $\theta = 0^{\circ}$ પર હોય છે,તેથી અંતિમ સ્થિતિ ઊર્જા $U_f = -M B \cos(0^{\circ}) = -M B (1) = -M B$ થાય.
$3$. કરવામાં આવતું કાર્ય $W$ એ સ્થિતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = U_f - U_i$.
$4$. કિંમતો મૂકતા: $W = -M B - (M B) = -2 M B$.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા ચુંબકીય ડાયપોલની સ્થિતિ ઊર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = -MB \cos \theta$ છે.
ચુંબકને $\theta_1$ ખૂણેથી $\theta_2$ ખૂણે ફેરવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W = U_2 - U_1 = -MB \cos \theta_2 - (-MB \cos \theta_1) = MB(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$ છે.
અહીં,પ્રારંભિક સ્થિતિ ક્ષેત્રને સમાંતર છે,તેથી $\theta_1 = 0^{\circ}$.
અંતિમ સ્થિતિ ક્ષેત્રને પ્રતિ-સમાંતર છે,તેથી $\theta_2 = 180^{\circ}$.
કિંમતો મૂકતા: $W = MB(\cos 0^{\circ} - \cos 180^{\circ})$.
$\cos 0^{\circ} = 1$ અને $\cos 180^{\circ} = -1$ હોવાથી,$W = MB(1 - (-1)) = 2MB$ મળે.
અહીં $M = 5.0\,Am^2$ અને $B = 0.4\,T$ આપેલ છે,તેથી કાર્ય $W = 2 \times 5.0 \times 0.4 = 4.0\,J$ થાય.