Magnetic field due to magnetic dipole and Dipole in Magnetic Field and Poential Energy and Work Done Questions in Gujarati

(A) ચુંબકીય ડાયપોલને કારણે તેની અક્ષ પર $r$ અંતરે આવેલા બિંદુએ ચુંબકીય પોટેન્શિયલ $V$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$V = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{M}{r^2}$
આપેલ કિંમતો:
$V = 1.5 \times 10^{-5} \ T \cdot m$
$r = 20 \ cm = 0.2 \ m = 2 \times 10^{-1} \ m$
$\frac{\mu_0}{4 \pi} = 10^{-7} \ T \cdot m \cdot A^{-1}$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$1.5 \times 10^{-5} = 10^{-7} \times \frac{M}{(2 \times 10^{-1})^2}$
$1.5 \times 10^{-5} = 10^{-7} \times \frac{M}{4 \times 10^{-2}}$
$M = \frac{1.5 \times 10^{-5} \times 4 \times 10^{-2}}{10^{-7}}$
$M = \frac{6 \times 10^{-7}}{10^{-7}} = 6 \ A \cdot m^2$
આમ,ડાયપોલની ચુંબકીય મોમેન્ટ $6 \ A \cdot m^2$ છે.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા ચુંબકીય ડાયપોલની સ્થિતિ ઉર્જા $U = -mB \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સૌથી સ્થાયી સંતુલન સ્થિતિમાં,ખૂણો $\theta = 0^{\circ}$ છે,તેથી $U_i = -mB \cos 0^{\circ} = -mB$.
સૌથી અસ્થાયી સંતુલન સ્થિતિમાં,ખૂણો $\theta = 180^{\circ}$ છે,તેથી $U_f = -mB \cos 180^{\circ} = +mB$.
કરવું પડતું કાર્ય $W$ એ સ્થિતિ ઉર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = \Delta U = U_f - U_i$.
$W = mB - (-mB) = 2mB$.
અહીં $m = 0.5 \text{ A m}^2$ અને $B = 8 \times 10^{-2} \text{ T}$ આપેલ છે.
$W = 2 \times 0.5 \times 8 \times 10^{-2} = 1 \times 8 \times 10^{-2} = 8 \times 10^{-2} \text{ J}$.

(D) ચુંબકીય ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = MB \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\tau = 80 \sqrt{3} \ N \ m$ અને $\theta = 60^{\circ}$.
$80 \sqrt{3} = MB \sin 60^{\circ} = MB \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$.
બંને બાજુ $\frac{2}{\sqrt{3}}$ વડે ગુણતા,આપણને $MB = 160 \ J$ મળે છે.
ડાયપોલની સ્થિતિ ઉર્જા $U = -M \cdot B = -MB \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$U = -160 \cos 60^{\circ} = -160 \times \frac{1}{2} = -80 \ J$.

(A) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકીય ડાયપોલને $\theta_1$ થી $\theta_2$ ખૂણા સુધી ફેરવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$W = MB(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$
આપેલ છે:
ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = 4 \, A-m^2$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 5 \times 10^{-4} \, T$
પ્રારંભિક ખૂણો $\theta_1 = 30^{\circ}$
અંતિમ ખૂણો $\theta_2 = 45^{\circ}$
કિંમતો મૂકતા:
$W = (4) \times (5 \times 10^{-4}) \times (\cos 30^{\circ} - \cos 45^{\circ})$
$W = 20 \times 10^{-4} \times (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}})$
$W = 20 \times 10^{-4} \times (0.866 - 0.707)$
$W = 20 \times 10^{-4} \times (0.159)$
$W = 3.18 \times 10^{-4} \, J \approx 3.2 \times 10^{-4} \, J$

(C) આપેલ છે: ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = 16 \ Am^2$,અંતર $r = 20 \ cm = 0.2 \ m$. અચળાંક $\frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7} \ T \cdot m/A$.
અક્ષીય બિંદુ માટે: $B_{\text{axial}} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2M}{r^3} = 10^{-7} \times \frac{2 \times 16}{(0.2)^3} = 10^{-7} \times \frac{32}{0.008} = 10^{-7} \times 4000 = 4 \times 10^{-4} \ T$.
વિષુવવૃત્તીય બિંદુ માટે: $B_{\text{equatorial}} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{M}{r^3} = 10^{-7} \times \frac{16}{(0.2)^3} = 10^{-7} \times \frac{16}{0.008} = 10^{-7} \times 2000 = 2 \times 10^{-4} \ T$.
આમ,મૂલ્યો $4 \times 10^{-4} \ T$ અને $2 \times 10^{-4} \ T$ છે.

(B) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ચુંબકીય ડાયપોલને $\theta_1$ થી $\theta_2$ ખૂણે ફેરવવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = MB(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે પ્રારંભિક સ્થિતિ સ્થાયી સંતુલન સ્થિતિ છે,એટલે કે $\theta_1 = 0^{\circ}$.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,$\theta_2 = 90^{\circ}$:
$W_1 = MB(\cos 0^{\circ} - \cos 90^{\circ}) = MB(1 - 0) = MB$.
બીજા કિસ્સા માટે,$\theta_2 = 60^{\circ}$:
$W_2 = MB(\cos 0^{\circ} - \cos 60^{\circ}) = MB(1 - 0.5) = 0.5MB$.
પ્રશ્ન મુજબ,$W_1 = n \times W_2$.
કિંમતો મૂકતા: $MB = n \times (0.5MB)$.
$1 = n \times 0.5$.
$n = 1 / 0.5 = 2$.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં સરળ આવર્ત ગતિ કરતી ચુંબકીય સોયનો આવર્તકાળ $T$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$
આપેલ છે:
ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = 6 \times 10^{-2} \text{ A m}^2$
જડત્વની ચાકમાત્રા $I = 9.6 \times 10^{-5} \text{ kg m}^2$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 0.01 \text{ T}$
કિંમતો મૂકતા:
$T = 2 \times 3.14 \times \sqrt{\frac{9.6 \times 10^{-5}}{6 \times 10^{-2} \times 0.01}}$
$T = 6.28 \times \sqrt{\frac{9.6 \times 10^{-5}}{6 \times 10^{-4}}}$
$T = 6.28 \times \sqrt{0.16}$
$T = 6.28 \times 0.4 = 2.512 \text{ s}$
$10$ દોલનો માટે લાગતો સમય $= 10 \times T = 10 \times 2.512 = 25.12 \text{ s}$.

(A) બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકીય ડાયપોલની સ્થિતિ ઉર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = -\vec{M} \cdot \vec{B} = -MB \cos \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{M}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
ન્યૂનતમ સ્થિતિ ઉર્જા માટે,$\cos \theta$ મહત્તમ હોવું જોઈએ,જે $\theta = 0^{\circ}$ પર થાય છે. તેથી,$U_{\text{min}} = -MB \cos 0^{\circ} = -MB(1) = -MB$.
મહત્તમ સ્થિતિ ઉર્જા માટે,$\cos \theta$ ન્યૂનતમ હોવું જોઈએ,જે $\theta = 180^{\circ}$ પર થાય છે. તેથી,$U_{\text{max}} = -MB \cos 180^{\circ} = -MB(-1) = +MB$.
આમ,ન્યૂનતમ અને મહત્તમ મૂલ્યો અનુક્રમે $-MB$ અને $+MB$ છે.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકીય ડાયપોલની સ્થિતિ ઊર્જા $U = -M B \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,ડાયપોલ ક્ષેત્રની દિશામાં છે,તેથી $\theta_1 = 0^\circ$. પ્રારંભિક સ્થિતિ ઊર્જા $U_i = -M B \cos(0^\circ) = -M B$ છે.
મહત્તમ કાર્ય કરવા માટે,ડાયપોલને મહત્તમ સ્થિતિ ઊર્જા ધરાવતી સ્થિતિમાં ફેરવવો જોઈએ,જે $\theta_2 = 180^\circ$ છે. અંતિમ સ્થિતિ ઊર્જા $U_f = -M B \cos(180^\circ) = M B$ છે.
બાહ્ય એજન્ટ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = U_f - U_i = M B - (-M B) = 2 M B$ છે.

(A) ધારો કે બિંદુ ચુંબક $A$ ની અક્ષ પર તેના કેન્દ્રથી $d$ અંતરે આવેલું છે.
ચુંબક $A$ ને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર (અક્ષીય સ્થિતિ) $B_{1} = \frac{\mu_{0}}{4\pi} \frac{2M_{1}}{d^{3}}$ છે.
તે જ બિંદુ પર ચુંબક $B$ ને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર (વિષુવવૃત્તીય સ્થિતિ) $B_{2} = \frac{\mu_{0}}{4\pi} \frac{M_{2}}{d^{3}}$ છે.
અક્ષો એકબીજાને લંબ હોવાથી,પરિણામી ક્ષેત્ર ચુંબક $A$ ની અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે,જ્યાં $\tan \theta = \frac{B_{2}}{B_{1}}$.
અહીં $\theta = 45^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી $\tan 45^{\circ} = 1$.
તેથી,$1 = \frac{(\mu_{0} M_{2}) / (4\pi d^{3})}{(2\mu_{0} M_{1}) / (4\pi d^{3})} = \frac{M_{2}}{2M_{1}}$.
આમ,$\frac{M_{2}}{M_{1}} = 2$,એટલે કે $M_{2} : M_{1} = 2 : 1$.

(D) $M$ ચુંબકીય મોમેન્ટ ધરાવતા ગજિયા ચુંબક માટે,$d$ અંતરે અક્ષીય બિંદુ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{axial} = \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{2M}{d^{3}}$ છે.
તે જ ચુંબક માટે,$d$ અંતરે વિષુવવૃત્તીય બિંદુ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{equatorial} = \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{M}{d^{3}}$ છે.
ચુંબકો લંબ હોવાથી,બંને કેન્દ્રોથી $d$ અંતરે આવેલું બિંદુ એક ચુંબક માટે અક્ષીય અને બીજા માટે વિષુવવૃત્તીય બિંદુ તરીકે કાર્ય કરે છે.
પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = \sqrt{B_{axial}^{2} + B_{equatorial}^{2}}$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $B_{net} = \sqrt{\left(\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{2M}{d^{3}}\right)^{2} + \left(\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{M}{d^{3}}\right)^{2}}$.
$B_{net} = \frac{\mu_{0} M}{4 \pi d^{3}} \sqrt{2^{2} + 1^{2}} = \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{M}{d^{3}} \sqrt{5}$.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકીય ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = MB \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે,$\theta_1 = 90^{\circ}$ પર $\tau_1 = 1.732 \times 10^{-5} \text{ Nm}$ છે.
તેથી,$\tau_1 = MB \sin 90^{\circ} = MB(1) = MB$.
આમ,$MB = 1.732 \times 10^{-5} \text{ Nm}$.
હવે,$\theta_2 = 60^{\circ}$ માટે,ટોર્ક $\tau_2$ નીચે મુજબ છે:
$\tau_2 = MB \sin 60^{\circ} = (1.732 \times 10^{-5}) \times \frac{\sqrt{3}}{2}$.
કારણ કે $\sqrt{3} = 1.732$,તેથી:
$\tau_2 = 1.732 \times 10^{-5} \times \frac{1.732}{2} = 1.732 \times 10^{-5} \times 0.866 = 1.4999 \times 10^{-5} \approx 1.5 \times 10^{-5} \text{ Nm}$.

(D) $r$ અંતરે અક્ષીય બિંદુ પર ટૂંકા ગજિયા ચુંબકનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{axial} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2M}{r^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તે જ અંતર '$r$' પર વિષુવવૃત્તીય બિંદુ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{equatorial} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{M}{r^3}$ છે.
જેમ જેમ બિંદુ '$r$' ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર માર્ગ પર અક્ષીય સ્થિતિથી વિષુવવૃત્તીય સ્થિતિ તરફ જાય છે,તેમ ચુંબકીય મોમેન્ટ સદિશ સાથેનો ખૂણો $\theta$ $0^\circ$ થી $90^\circ$ સુધી બદલાય છે.
કોઈપણ બિંદુ $(r, \theta)$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર માટેનું સામાન્ય સૂત્ર $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{M}{r^3} \sqrt{1 + 3\cos^2\theta}$ છે.
જેમ $\theta$ $0^\circ$ થી $90^\circ$ સુધી વધે છે,તેમ $\cos^2\theta$ $1$ થી $0$ સુધી ઘટે છે,અને તેથી ચુંબકીય ક્ષેત્ર '$B$' નું મૂલ્ય ઘટતું જશે.

(D) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગજિયા ચુંબક પર લાગતું ટોર્ક (યુગ્મ) $T = MB \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $M$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે,$B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે અને $\theta$ એ ચુંબક અને ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો છે.
શરૂઆતમાં,ચુંબક ક્ષેત્રને લંબ છે,તેથી $\theta = \frac{\pi}{2} = 90^{\circ}$.
પ્રારંભિક ટોર્ક $T = MB \sin(90^{\circ}) = MB$ છે.
આપણે નવું ટોર્ક $T'$ પ્રારંભિક ટોર્ક કરતા અડધું કરવા માંગીએ છીએ,તેથી $T' = \frac{T}{2} = \frac{MB}{2}$.
ધારો કે નવો ખૂણો $\theta'$ છે. તો $T' = MB \sin \theta' = \frac{MB}{2}$.
બંને બાજુ $MB$ વડે ભાગતા,આપણને $\sin \theta' = \frac{1}{2} = 0.5$ મળે છે.
તેથી,ખૂણો $\theta' = \sin^{-1}(0.5) = 30^{\circ}$ છે.

(B) ગજિયા ચુંબકની અક્ષ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2Md}{(d^2-l^2)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $d$ એ કેન્દ્રથી અંતર છે અને $2l$ એ ચુંબકીય લંબાઈ છે.
આપેલ છે કે $d_1 = 10 \ cm$ અને $d_2 = 10 + 10 = 20 \ cm$.
ગુણોત્તર $\frac{B_1}{B_2} = \frac{d_1}{d_2} \left( \frac{d_2^2 - l^2}{d_1^2 - l^2} \right)^2 = \frac{25}{2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{10}{20} \left( \frac{20^2 - l^2}{10^2 - l^2} \right)^2 = \frac{25}{2}$.
$\frac{1}{2} \left( \frac{400 - l^2}{100 - l^2} \right)^2 = \frac{25}{2} \Rightarrow \left( \frac{400 - l^2}{100 - l^2} \right)^2 = 25$.
વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{400 - l^2}{100 - l^2} = 5$.
$400 - l^2 = 500 - 5l^2 \Rightarrow 4l^2 = 100 \Rightarrow l^2 = 25$.
તેથી,$l = 5 \ cm$.
ચુંબકીય લંબાઈ $2l = 2 \times 5 \ cm = 10 \ cm$ છે.

(B) $M$ ચુંબકીય મોમેન્ટ ધરાવતા ચુંબકીય ડાયપોલને કારણે $(r, \theta)$ બિંદુએ ચુંબકીય પોટેન્શિયલ $V = \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{M \cos \theta}{r^{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિષુવરેખા (લંબ દ્વિભાજક) પર,સ્થાન સદિશ અને ડાયપોલ અક્ષ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 90^{\circ}$ હોય છે.
કારણ કે $\cos 90^{\circ} = 0$ થાય છે,તેથી વિષુવરેખા પરના તમામ બિંદુઓ પર ચુંબકીય પોટેન્શિયલ $V$ શૂન્ય હોય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં મૂકાયેલ ચુંબકીય ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\tau = m B \sin \theta$.
આપેલ છે:
ટોર્ક $\tau = 4.5 \times 10^{-2} \ J$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 0.5 \ T$
ખૂણો $\theta = 30^{\circ}$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$4.5 \times 10^{-2} = m \times 0.5 \times \sin 30^{\circ}$
કારણ કે $\sin 30^{\circ} = 0.5$ હોવાથી:
$4.5 \times 10^{-2} = m \times 0.5 \times 0.5$
$4.5 \times 10^{-2} = m \times 0.25$
$m = \frac{4.5 \times 10^{-2}}{0.25}$
$m = 18 \times 10^{-2} \ J \ T^{-1}$.

(A) ટૂંકા ગજિયા ચુંબકની વિષુવવૃત્તીય રેખા પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{m}{r^3}$
આપેલ છે:
ચુંબકીય મોમેન્ટ $m = 0.75 \ A \ m^2$
અંતર $r = 75 \ cm = 0.75 \ m$
અચળાંક $\frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7} \ T \ m/A$
કિંમતો મૂકતા:
$B = 10^{-7} \times \frac{0.75}{(0.75)^3}$
$B = 10^{-7} \times \frac{1}{(0.75)^2}$
$B = 10^{-7} \times \frac{1}{0.5625}$
$B \approx 1.78 \times 10^{-7} \ T$

(C) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ચુંબકીય ડાયપોલ દ્વારા અનુભવાતું ટોર્ક $\tau = mB \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે અને $\theta$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ સદિશ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
મહત્તમ ટોર્કની સ્થિતિ (જ્યાં $\sin \theta = 1$) ધારતા,આપણને $\tau = mB$ મળે છે.
અહીં $\tau = 0.64 \ J$ અને $B = 0.32 \ T$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $0.64 = m \times 0.32$.
તેથી,$m = \frac{0.64}{0.32} = 2 \ Am^2$.
આમ,ચુંબકનો ચુંબકીય મોમેન્ટ $2 \ Am^2$ છે.

(A) સાચો જવાબ $A$ છે.
ગજિયા ચુંબક માટે,તેના કેન્દ્રથી $Z$ અંતરે તેની અક્ષ પરના બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\overrightarrow{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2\overrightarrow{M}}{Z^3}$
જ્યાં $\overrightarrow{M}$ એ ચુંબકની ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર માટેનું સૂત્ર ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ સદિશ $\overrightarrow{M}$ ના સીધા પ્રમાણમાં હોવાથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B}$ ની દિશા એ ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $\overrightarrow{M}$ ની દિશામાં જ હોય છે.

(B) જ્યારે $\vec{M}$ ચુંબકીય મોમેન્ટ ધરાવતા ચુંબકીય ડાયપોલને બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ માં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તે $\vec{\tau}$ જેટલું ટોર્ક અનુભવે છે.
ટોર્કને ચુંબકીય મોમેન્ટ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના સદિશ ગુણાકાર (cross product) તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{M} \times \vec{B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં મૂકાયેલ ચુંબકીય ડાયપોલ દ્વારા અનુભવાતું ટોર્ક $\tau$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\tau = m B \sin \theta$,જ્યાં $m$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે અને $\theta$ એ ચુંબકની અક્ષ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ કિંમતો છે: $\tau = 4.5 \times 10^{-2} \ J$,$B = 0.25 \ T$,અને $\theta = 30^{\circ}$.
$m$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $m = \frac{\tau}{B \sin \theta}$.
કિંમતો મૂકતા: $m = \frac{4.5 \times 10^{-2}}{0.25 \times \sin 30^{\circ}}$.
કારણ કે $\sin 30^{\circ} = 0.5$,તેથી: $m = \frac{4.5 \times 10^{-2}}{0.25 \times 0.5} = \frac{4.5 \times 10^{-2}}{0.125}$.
પરિણામની ગણતરી કરતા: $m = 36 \times 10^{-2} = 0.36 \ J \ T^{-1}$.

(A) એક સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં મૂકવામાં આવેલા $M$ ચુંબકીય મોમેન્ટ ધરાવતા ચુંબકીય ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau$ નું સૂત્ર $\tau = M B \sin \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ ડાયપોલ અક્ષ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો છે.
ટોર્ક શૂન્ય હોવા માટે,આપણે $\tau = 0$ લેવું પડે.
સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા,આપણને $M B \sin \theta = 0$ મળે છે.
અહીં $M$ અને $B$ શૂન્ય નથી,તેથી $\sin \theta = 0$ હોવું જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $\theta = 0^{\circ}$ અથવા $\theta = 180^{\circ}$.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,સાચો ખૂણો $0^{\circ}$ છે.

(C) ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ અને જડત્વની આઘૂર્ણ $I$ ધરાવતો ચુંબકીય ડાયપોલ જ્યારે સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં મૂકવામાં આવે છે, ત્યારે તેના પર પુનઃસ્થાપક ટોર્ક $\tau = -MB \sin \theta$ લાગે છે।
નાના દોલનો માટે, $\sin \theta \approx \theta$ લેતા, $\tau = -MB \theta$ મળે છે।
આને કોણીય $SHM$ ના સમીકરણ $\tau = -C \theta$ સાથે સરખાવતા, જ્યાં $C = MB$ છે।
કોણીય $SHM$ નો સમયગાળો $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{C}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
$C = MB$ મૂકતા, આપણને $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ મળે છે।

(C) આપેલ છે: ચુંબકીય મોમેન્ટ $ M = 6 \times 10^{-2} \text{ A m}^2 $, જડત્વની ચાકમાત્રા $ I = 12 \times 10^{-6} \text{ kg m}^2 $, ચુંબકીય ક્ષેત્ર $ B = 2 \times 10^{-2} \text{ T} $.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં દોલન કરતા ચુંબકીય ડાયપોલનો આવર્તકાળ $ t = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MB}} $ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $ t = 2 \pi \sqrt{\frac{12 \times 10^{-6}}{(6 \times 10^{-2}) \times (2 \times 10^{-2})}} $.
$ t = 2 \pi \sqrt{\frac{12 \times 10^{-6}}{12 \times 10^{-4}}} = 2 \pi \sqrt{10^{-2}} = 2 \pi \times 10^{-1} \text{ s} $.
$ \pi \simeq 3 $ લેતા, $ t = 2 \times 3 \times 0.1 = 0.6 \text{ s} $.
$ 20 $ દોલનો પૂર્ણ કરવા માટે લાગતો સમય $ T = 20 \times t = 20 \times 0.6 = 12 \text{ s} $ થાય.

(D) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં મૂકાયેલ ચુંબકીય ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\tau = M B \sin \theta$,જ્યાં $M$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે અને $\theta$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ સદિશ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ કિંમતો છે: $\tau = 0.36 \sqrt{2} \ Nm$,$B = 2 \ T$,અને $\theta = 45^{\circ}$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $0.36 \sqrt{2} = M \times 2 \times \sin(45^{\circ})$.
કારણ કે $\sin(45^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી: $0.36 \sqrt{2} = M \times 2 \times \frac{1}{\sqrt{2}}$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $0.36 \sqrt{2} = M \times \sqrt{2}$.
બંને બાજુ $\sqrt{2}$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે: $M = 0.36 \ J \ T^{-1}$.

(A) $\text{ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકીય ડાયપોલને ફેરવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય } W \text{ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: } W = MB(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$.
અહીં,$\text{ચુંબકીય મોમેન્ટ } M = 10^4 \,J \,T^{-1}$,$\text{ચુંબકીય ક્ષેત્ર } B = 4 \times 10^{-5} \,T$,$\text{પ્રારંભિક ખૂણો } \theta_1 = 0^{\circ} \text{ અને અંતિમ ખૂણો } \theta_2 = 60^{\circ} \text{ છે।}$
$\text{સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:}$
$W = (10^4) \times (4 \times 10^{-5}) \times (\cos 0^{\circ} - \cos 60^{\circ})$
$W = 0.4 \times (1 - 0.5)$
$W = 0.4 \times 0.5 = 0.2 \,J$.
$\text{તેથી,કરવું પડતું કાર્ય } 0.2 \,J \text{ છે।}$

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ માં મૂકાયેલ ચુંબકીય ડાયપોલ $\vec{M}$ પર લાગતું ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{M} \times \vec{B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે ચુંબકીય મોમેન્ટનું મૂલ્ય $M$ છે. સોયની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{u} = \frac{\sqrt{3}\hat{i} + \hat{j}}{2}$ છે. તેથી,$\vec{M} = \frac{M}{2}(\sqrt{3}\hat{i} + \hat{j})$.
આપેલ છે કે $\vec{B}_1 = B\hat{i}$,તેથી ટોર્ક $\vec{\tau}_1 = \frac{M}{2}(\sqrt{3}\hat{i} + \hat{j}) \times B\hat{i} = \frac{MB}{2}(\sqrt{3}(\hat{i} \times \hat{i}) + (\hat{j} \times \hat{i})) = \frac{MB}{2}(0 - \hat{k}) = -\frac{MB}{2}\hat{k}$.
આપેલ છે કે $|\vec{\tau}_1| = 0.06 \ N-m$,તેથી $\frac{MB}{2} = 0.06$,એટલે કે $MB = 0.12 \ N-m$.
બીજા કિસ્સામાં,સોય $(\hat{i} + \sqrt{3}\hat{j})$ દિશામાં છે,તેથી $\vec{M}_2 = \frac{M}{2}(\hat{i} + \sqrt{3}\hat{j})$. ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}_2 = 2B\hat{j}$ છે.
ટોર્ક $\vec{\tau}_2 = \vec{M}_2 \times \vec{B}_2 = \frac{M}{2}(\hat{i} + \sqrt{3}\hat{j}) \times 2B\hat{j} = MB(\hat{i} \times \hat{j} + \sqrt{3}(\hat{j} \times \hat{j})) = MB(\hat{k} + 0) = MB\hat{k}$.
આમ,ટોર્કનું મૂલ્ય $|\vec{\tau}_2| = MB = 0.12 \ N-m$ થાય.

(B) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં $M$ ચુંબકીય મોમેન્ટ ધરાવતી ચુંબકીય સોય પર લાગતું ટોર્ક $\tau = M B \sin \theta$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\theta$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ છે કે સોય ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ રહે છે,તેથી $\theta = 90^{\circ}$.
કારણ કે $\sin 90^{\circ} = 1$,તેથી ટોર્ક $\tau = M B$ થાય છે.
$B_1$ અને $B_2$ ચુંબકીય ક્ષેત્રો ધરાવતી બે અલગ-અલગ જગ્યાઓ માટે,ટોર્ક $\tau_1 = M B_1$ અને $\tau_2 = M B_2$ છે.
બંને ટોર્કનો ગુણોત્તર લેતા: $\frac{\tau_1}{\tau_2} = \frac{M B_1}{M B_2} = \frac{B_1}{B_2}$.
તેથી,$B_1 : B_2$ નો ગુણોત્તર $\tau_1 : \tau_2$ બરાબર છે.

(B) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકીય ડાયપોલને ફેરવવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = MB(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,ચુંબક ક્ષેત્રની દિશામાં છે,તેથી $\theta_1 = 0^{\circ}$ અને $\theta_2 = 45^{\circ}$.
$W = MB(\cos 0^{\circ} - \cos 45^{\circ}) = MB(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}) = MB(\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}})$.
આમ,$MB = \frac{W\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}$.
હવે,તેને વધુ $15^{\circ}$ ફેરવવા માટે કરવું પડતું વધારાનું કાર્ય $W'$ એટલે કે $\theta_1 = 45^{\circ}$ થી $\theta_2 = 45^{\circ} + 15^{\circ} = 60^{\circ}$ સુધી ફેરવવું.
$W' = MB(\cos 45^{\circ} - \cos 60^{\circ}) = MB(\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{2}) = MB(\frac{\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}})$.
$MB$ ની કિંમત મૂકતા:
$W' = (\frac{W\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}) \times (\frac{\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}}) = \frac{W}{2}$.

(C) આપેલ છે: ચુંબકીય મોમેન્ટ,$m = 0.4 \,Am^2$
અંતર,$r = 50 \,cm = 0.5 \,m$
ટૂંકા ગજિયા ચુંબકના અક્ષીય ચુંબકીય ક્ષેત્રના મૂલ્ય માટેનું સૂત્ર:
$B_{\text{axial}} = \frac{\mu_0}{4\pi} \left( \frac{2m}{r^3} \right)$
કિંમતો મૂકતા:
$B_{\text{axial}} = (10^{-7}) \times \frac{2 \times 0.4}{(0.5)^3}$
$B_{\text{axial}} = 10^{-7} \times \frac{0.8}{0.125}$
$B_{\text{axial}} = 10^{-7} \times 6.4 = 6.4 \times 10^{-7} \,T$

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ચુંબકીય સોયને $\theta_1$ થી $\theta_2$ ખૂણે ફેરવવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = MB(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\theta_1 = 0^{\circ}$ અને $\theta_2 = 60^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી:
$W = MB(\cos 0^{\circ} - \cos 60^{\circ}) = MB(1 - 0.5) = 0.5 MB$.
આમ,$MB = 2W$.
સોયને $\theta = 60^{\circ}$ ના ખૂણે જાળવી રાખવા માટે જરૂરી ટોર્ક $\tau = MB \sin \theta$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\tau = MB \sin 60^{\circ} = (2W) \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} W$.

(A) આપેલ છે,ગજિયા ચુંબકની લંબાઈ,$l = 10 \text{ cm} = 10^{-1} \text{ m}$.
ધ્રુવ પ્રબળતા,$m = 10^{-3} \text{ A-m}$.
ચુંબકીય પ્રેરણ,$B = 4 \pi \times 10^{-3} \text{ T}$.
ખૂણો,$\theta = 30^{\circ}$.
સૌ પ્રથમ,ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $M$ ની ગણતરી કરો:
$M = m \times l = 10^{-3} \text{ A-m} \times 10^{-1} \text{ m} = 10^{-4} \text{ A-m}^2$.
ચુંબક પર લાગતું ટોર્ક $\tau$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\tau = M B \sin \theta$.
કિંમતો મૂકતા:
$\tau = (10^{-4}) \times (4 \pi \times 10^{-3}) \times \sin 30^{\circ}$.
કારણ કે $\sin 30^{\circ} = 0.5 = \frac{1}{2}$:
$\tau = 4 \pi \times 10^{-7} \times \frac{1}{2} = 2 \pi \times 10^{-7} \text{ N-m}$.

(D) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ગજિયા ચુંબક દ્વારા અનુભવાતું ટોર્ક $\tau = MB \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $M$ એ ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ છે અને $\theta$ એ ચુંબક અને ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો છે.
ધારો કે પ્રારંભિક ખૂણો $\theta_1$ છે. તો પ્રારંભિક ટોર્ક $\tau_1 = MB \sin \theta_1$ $(i)$ થશે.
જો ખૂણો બમણો કરવામાં આવે,તો નવો ખૂણો $\theta_2 = 2\theta_1$ થશે. નવું ટોર્ક $\tau_2 = MB \sin \theta_2 = MB \sin 2\theta_1$ (ii) થશે.
આપેલ છે કે ટોર્કમાં $41.4 \%$ નો વધારો થાય છે,તેથી $\tau_2 = \tau_1 + 0.414 \tau_1 = 1.414 \tau_1$.
કારણ કે $\sqrt{2} \approx 1.414$,આપણે લખી શકીએ કે $\tau_2 = \sqrt{2} \tau_1$.
$(i)$ અને (ii) પરથી $\tau_1$ અને $\tau_2$ ના સમીકરણો મૂકતા:
$MB \sin 2\theta_1 = \sqrt{2} MB \sin \theta_1$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sin \theta_1 \cos \theta_1 = \sqrt{2} \sin \theta_1$
ધારો કે $\sin \theta_1 \neq 0$,બંને બાજુ $\sin \theta_1$ વડે ભાગતા:
$2 \cos \theta_1 = \sqrt{2}$
$\cos \theta_1 = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
તેથી,$\theta_1 = 45^{\circ}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકીય ડાયપોલની સ્થિતિઊર્જા $U = -MB \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
શરૂઆતમાં, ડાયપોલ પૂર્વ-પશ્ચિમ દિશામાં છે $(\theta_1 = 90^{\circ})$, તેથી $U_i = -MB \cos 90^{\circ} = 0$.
અંતે, ડાયપોલ ઉત્તર-દક્ષિણ સ્થિતિમાં છે $(\theta_2 = 0^{\circ})$, તેથી $U_f = -MB \cos 0^{\circ} = -MB$.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, સ્થિતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો એ ગતિઊર્જામાં થતા વધારા જેટલો હોય છે:
$KE = U_i - U_f = 0 - (-MB) = MB$.
અહીં $M = 2.5 \text{ A m}^2$ અને $B_H = 3 \times 10^{-5} \text{ T}$ આપેલ છે।
$KE = 2.5 \times 3 \times 10^{-5} = 7.5 \times 10^{-5} \text{ J}$.
માઈક્રોજૂલમાં ફેરવતા: $7.5 \times 10^{-5} \text{ J} = 75 \times 10^{-6} \text{ J} = 75 \mu\text{J}$.

(A) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં લટકાવેલા ચુંબકનો આવર્તકાળ $T$ નું સૂત્ર $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $M$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે.
$T \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$ હોવાથી,$\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{M_1}{M_2}}$ મળે.
ચુંબકીય મોમેન્ટ $19 \%$ ઘટે છે,તેથી નવી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M_2 = M_1 - 0.19 M_1 = 0.81 M_1$ થાય.
આ કિંમત ગુણોત્તરમાં મૂકતા,$\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{M_1}{0.81 M_1}} = \sqrt{\frac{1}{0.81}} = \frac{1}{0.9} \approx 1.111$ મળે.
આમ,$T_2 \approx 1.11 T_1$.
આવર્તકાળમાં થતો ટકાવારી વધારો $\frac{T_2 - T_1}{T_1} \times 100 = (1.11 - 1) \times 100 = 11 \%$ છે.
તેથી,આવર્તકાળમાં આશરે $11 \%$ નો વધારો થાય છે.

(D) આપેલ છે: પૃથ્વીનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_e = 4 \times 10^{-5} \ T$,અંતર $r = 40 \ cm = 0.4 \ m$.
ટૂંકા ગજિયા ચુંબકની વિષુવરેખા પરના બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{M}{r^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્ર સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે. ચુંબકની અક્ષ પૃથ્વીના ક્ષેત્રને લંબ હોવાથી,$B$ એ $B_e$ ને લંબ છે.
પરિણામી ક્ષેત્રનો $B_e$ સાથેનો ખૂણો $\theta = 45^{\circ}$ હોવાથી,$\tan 45^{\circ} = \frac{B}{B_e} = 1$,તેથી $B = B_e$.
કિંમતો મૂકતા: $4 \times 10^{-5} = 10^{-7} \times \frac{M}{(0.4)^3}$.
$M = \frac{4 \times 10^{-5} \times 0.064}{10^{-7}} = 25.6 \ Am^2$.

(B) આપેલ છે કે, $\text{ચુંબકીય મોમેન્ટ}$, $M = 2 \,J \,T^{-1}$.
$\text{ચુંબકીય ક્ષેત્ર}$, $B = 0.1 \,T$.
ચુંબકીય મોમેન્ટ ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશામાં ગોઠવાયેલ હોવાથી, પ્રારંભિક ખૂણો $\theta_1 = 0^{\circ}$ છે.
જ્યારે ચુંબક ક્ષેત્રને લંબ હોય, ત્યારે અંતિમ ખૂણો $\theta_2 = 90^{\circ}$ થાય.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકને ફેરવવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$W = MB(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$
કિંમતો મૂકતા:
$W = 2 \times 0.1 \times (\cos 0^{\circ} - \cos 90^{\circ})$
$W = 0.2 \times (1 - 0)$
$W = 0.2 \,J$.
આમ, કરવામાં આવતું કુલ કાર્ય $0.2 \,J$ છે.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકીય ડાયપોલને પ્રારંભિક ખૂણા $\theta_1$ થી અંતિમ ખૂણા $\theta_2$ સુધી ફેરવવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$W = MB(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$
આ પ્રશ્નમાં,ચુંબકને $360^{\circ}$ જેટલું ફેરવવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે પ્રારંભિક ખૂણો $\theta_1 = 0^{\circ}$ અને અંતિમ ખૂણો $\theta_2 = 360^{\circ}$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$W = MB(\cos 0^{\circ} - \cos 360^{\circ})$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos 0^{\circ} = 1$ અને $\cos 360^{\circ} = 1$ છે:
$W = MB(1 - 1) = 0$
તેથી,થયેલું કુલ કાર્ય $0$ છે.

(C) ઉગમબિંદુ એ પ્રથમ ચુંબક $(M_1)$ ની અક્ષીય રેખા પર અને બીજા ચુંબક $(M_2)$ ની વિષુવવૃત્તીય રેખા પર છે。
આપેલ છે: $M = 9 \text{ Am}^2$, $r = 3 \text{ cm} = 3 \times 10^{-2} \text{ m}$.
ઉગમબિંદુ પર $M_1$ (અક્ષીય બિંદુ) ને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર:
$B_1 = \frac{\mu_0}{4 \pi} \times \frac{2M}{r^3} = 10^{-7} \times \frac{2 \times 9}{(3 \times 10^{-2})^3} = 10^{-7} \times \frac{18}{27 \times 10^{-6}} = \frac{2}{3} \times 10^{-1} \text{ T}$.
આ ક્ષેત્ર ધન $X$-અક્ષની દિશામાં છે。
ઉગમબિંદુ પર $M_2$ (વિષુવવૃત્તીય બિંદુ) ને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર:
$B_2 = \frac{\mu_0}{4 \pi} \times \frac{M}{r^3} = 10^{-7} \times \frac{9}{(3 \times 10^{-2})^3} = 10^{-7} \times \frac{9}{27 \times 10^{-6}} = \frac{1}{3} \times 10^{-1} \text{ T}$.
ચુંબક $M_2$ ની ચુંબકીય મોમેન્ટ ઋણ $X$-દિશામાં હોવાથી, ઉગમબિંદુ પરનું વિષુવવૃત્તીય ક્ષેત્ર ધન $X$-દિશામાં હોય છે。
બંને $B_1$ અને $B_2$ એક જ દિશામાં હોવાથી, પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર:
$B = B_1 + B_2 = \left(\frac{2}{3} + \frac{1}{3}\right) \times 10^{-1} \text{ T} = 1 \times 10^{-1} \text{ T} = 0.1 \text{ T}$.

(D) ટૂંકા ગજિયા ચુંબકની અક્ષ પરના બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{axial} = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2M}{r^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકની અક્ષ પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રના સમક્ષિતિજ ઘટક $(B_H)$ ને લંબ હોવાથી,પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_H$ સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો ત્યારે બનાવે છે જ્યારે અક્ષીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રના સમક્ષિતિજ ઘટકના મૂલ્ય જેટલું હોય.
તેથી,$B_{axial} = B_H$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{10^{-7} \times 2 \times 0.21}{r^3} = 4.2 \times 10^{-5}$.
$r^3 = \frac{2 \times 0.21 \times 10^{-7}}{4.2 \times 10^{-5}} = \frac{0.42 \times 10^{-7}}{4.2 \times 10^{-5}} = 0.1 \times 10^{-2} = 10^{-3} \ m^3$.
$r = 0.1 \ m = 10 \ cm$.

(A) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ચુંબકીય ડાયપોલ દ્વારા અનુભવાતું ટોર્ક $\tau$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\tau = MB \sin \theta$.
આપેલ છે:
ટોર્ક $\tau = 3.6 \times 10^{-5} \,J$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 28.3 \times 10^{-3} \,T$
ખૂણો $\theta = 45^{\circ}$
ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$M = \frac{\tau}{B \sin \theta}$
કિંમતો મૂકતા:
$M = \frac{3.6 \times 10^{-5}}{28.3 \times 10^{-3} \times \sin 45^{\circ}}$
કારણ કે $\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707$ છે:
$M = \frac{3.6 \times 10^{-5}}{28.3 \times 10^{-3} \times 0.707} \approx \frac{3.6 \times 10^{-5}}{20.008 \times 10^{-3}} \approx 0.1799 \times 10^{-2} \approx 1.8 \times 10^{-3} \,J \,T^{-1}$.

(C) ટૂંકા ગજિયા ચુંબક માટે તેની અક્ષ પર $(B_{\text{axis}})$ અને વિષુવરેખા પર $(B_{\text{equator}})$ કેન્દ્રથી $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર નીચે મુજબ છે:
$B_{\text{axis}} = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2M}{r^3}$
$B_{\text{equator}} = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{M}{r^3}$
આમ,સમાન અંતર $r$ માટે $B_{\text{axis}} = 2 \times B_{\text{equator}}$ થાય.
આપેલ છે:
$B_{\text{equator}} = 6.4 \times 10^{-5} \,T$,જ્યાં $r_2 = 20 \,cm = 0.2 \,m$
આપણે $r_1 = 40 \,cm = 0.4 \,m$ અંતરે $B_{\text{axis}}$ શોધવાનું છે.
સામાન્ય સૂત્ર $B \propto \frac{1}{r^3}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{B_{\text{axis}}(r_1)}{B_{\text{equator}}(r_2)} = \frac{\frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2M}{r_1^3}}{\frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{M}{r_2^3}} = 2 \times \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^3$
$B_{\text{axis}} = 2 \times B_{\text{equator}} \times \left(\frac{20}{40}\right)^3$
$B_{\text{axis}} = 2 \times (6.4 \times 10^{-5}) \times \left(\frac{1}{2}\right)^3$
$B_{\text{axis}} = 2 \times (6.4 \times 10^{-5}) \times \frac{1}{8}$
$B_{\text{axis}} = \frac{6.4 \times 10^{-5}}{4} = 1.6 \times 10^{-5} \,T$

(C) આપેલ છે: ડાયપોલ મોમેન્ટ $M = 1.25 \ A-m^2$ અને અંતર $r = 0.5 \ m$.
ટૂંકા ગજિયા ચુંબકની અક્ષીય સ્થિતિ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0}{4 \pi} \times \frac{2 M}{r^3}$
કિંમતો મૂકતા:
$B = 10^{-7} \times \frac{2 \times 1.25}{(0.5)^3}$
$B = 10^{-7} \times \frac{2.5}{0.125}$
$B = 10^{-7} \times 20 = 2.0 \times 10^{-6} \ T$
આમ,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $2.0 \times 10^{-6} \ T$ છે.

(D) ધારો કે નબળા ચુંબકની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M_1 = M$ અને મજબૂત ચુંબકની $M_2 = \sqrt{3} M$ છે.
તેઓ ચોકડી (+) આકારે જોડાયેલા હોવાથી તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે.
ધારો કે નબળો ચુંબક પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_H$ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે.
તો મજબૂત ચુંબક $B_H$ સાથે $(90^{\circ} - \theta)$ ખૂણો બનાવશે.
સંતુલન સ્થિતિમાં,પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રને કારણે તંત્ર પર લાગતું કુલ ટોર્ક શૂન્ય હોવું જોઈએ.
$\tau_1 + \tau_2 = 0$
$M_1 B_H \sin(\theta) = M_2 B_H \sin(90^{\circ} - \theta)$
$M \sin(\theta) = \sqrt{3} M \cos(\theta)$
$\tan(\theta) = \sqrt{3}$
$\theta = 60^{\circ}$.

(C) ટૂંકા ગજિયા ચુંબકની વિષુવવૃત્તીય રેખા પરના બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{M}{r^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $20 \text{ cm}$ છે,તેથી મધ્યબિંદુનું દરેક ચુંબકથી અંતર $r = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$ છે.
ચુંબકોના ઉત્તર ધ્રુવો ભૌગોલિક દક્ષિણ તરફ હોવાથી,મધ્યબિંદુ પર બંને ચુંબકો દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર પૃથ્વીના સમક્ષિતિજ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B_H)$ ની દિશામાં જ હશે.
તેથી,પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = B_1 + B_2 + B_H$.
$B_1 = \frac{10^{-7} \times 1.2}{(0.1)^3} = 1.2 \times 10^{-4} \text{ T}$.
$B_2 = \frac{10^{-7} \times 1.0}{(0.1)^3} = 1.0 \times 10^{-4} \text{ T}$.
$B_H = 3.6 \times 10^{-5} = 0.36 \times 10^{-4} \text{ T}$.
$B_{net} = (1.2 + 1.0 + 0.36) \times 10^{-4} \text{ T} = 2.56 \times 10^{-4} \text{ T}$.

(A) જ્યારે ચુંબકને ખૂબ જ નાના ખૂણે $\theta$ જેટલું સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે ચુંબક પર લાગતું પુનઃસ્થાપક ટોર્ક $\tau = -M B_H \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઋણ નિશાની ટોર્કના પુનઃસ્થાપક સ્વભાવને દર્શાવે છે.
કારણ કે $\tau = I \alpha$,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $\alpha$ એ કોણીય પ્રવેગ છે,તેથી $I \alpha = -M B_H \sin \theta$ થાય.
નાના કોણીય સ્થાનાંતર માટે,$\sin \theta \approx \theta$ લઈ શકાય.
તેથી,$I \alpha = -M B_H \theta$.
આમ,કોણીય પ્રવેગનું મૂલ્ય $\alpha = \frac{M B_H \theta}{I}$ થાય છે.