R-L D.C. Circuit Questions in Gujarati

(A) જ્યારે $X$ ને લાંબા સમય સુધી $Y$ સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે ઇન્ડક્ટર $L$ સ્થાયી અવસ્થામાં શોર્ટ સર્કિટ તરીકે વર્તે છે.
ઇન્ડક્ટરમાંથી વહેતો સ્થાયી પ્રવાહ $i_0 = \frac{\varepsilon}{R_1}$ છે.
ઇન્ડક્ટરના ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2}Li_0^2 = \frac{1}{2}L\left(\frac{\varepsilon}{R_1}\right)^2 = \frac{L\varepsilon^2}{2R_1^2}$ છે.
જ્યારે $X$ ને $Z$ સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે બેટરી દૂર થાય છે અને ઇન્ડક્ટર અવરોધ $R_2$ માંથી ડિસ્ચાર્જ થાય છે.
ડિસ્ચાર્જ પ્રક્રિયા દરમિયાન ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત તમામ ઉર્જા ઉષ્મા સ્વરૂપે વ્યય પામે છે,તેથી $R_2$ માં ઉત્પન્ન થતી કુલ ઉષ્મા એ પ્રારંભિક સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{L\varepsilon^2}{2R_1^2}$ જેટલી હોય છે.

(C) બલ્બ $B_1$ માં પ્રવાહ $I_1 = V/R = 4\text{V} / 2\Omega = 2\text{A}$ છે.
બલ્બ $B_2$ અને ઇન્ડક્ટર $L$ ધરાવતા સર્કિટમાં પ્રવાહ $I_2(t) = I_{max}(1 - e^{-t/\tau})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I_{max} = 4\text{V} / 2\Omega = 2\text{A}$ અને $\tau = L/R = 20\text{H} / 2\Omega = 10\text{s}$ છે.
સમાન પ્રકાશ માટે,બંને બલ્બમાં પ્રવાહ સમાન હોવો જોઈએ. જો આપણે $I_2 = 1\text{A}$ લઈએ,તો $1 = 2(1 - e^{-t/10}) \Rightarrow 0.5 = 1 - e^{-t/10} \Rightarrow e^{-t/10} = 0.5 \Rightarrow t = 10 \ln 2 = 7\text{s}$ મળે.
ચક્ર દ્વારા ફરેલો ખૂણો: $\theta = \omega_i t - \frac{1}{2} \alpha t^2 = (2.5\pi)(7) - \frac{1}{2}(2)(7)^2 = 17.5\pi - 49 \text{ rad}$.
$17.5\pi \approx 54.978$. $\theta = 54.978 - 49 = 5.978 \text{ rad}$.
$5.978 \text{ rad} \times (180/\pi) \approx 342.5^{\circ}$.
ચક્ર વર્ટિકલ પોઇન્ટરથી શરૂ થાય છે,તેથી $342.5^{\circ}$ નું પરિભ્રમણ પોઇન્ટરને લીલા રંગના ભાગમાં મૂકે છે.

(B) પરિપથને બે સ્વતંત્ર લૂપમાં વિભાજિત કરીને ઉકેલી શકાય છે.
લૂપ $1$ (ડાબી બાજુની લૂપ): તેમાં બેટરી $(20 \, V)$,ઇન્ડક્ટર $(L = 5 \, mH)$ અને અવરોધો ($4 \, \Omega$ અને $6 \, \Omega$) છે. કુલ અવરોધ $R_1 = 4 + 6 = 10 \, \Omega$ છે. ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau_1 = L/R_1 = 5 \times 10^{-3} / 10 = 5 \times 10^{-4} \, s$ છે. પ્રવાહ $I_1(t) = \frac{V}{R_1} (1 - e^{-t/\tau_1}) = 2 (1 - e^{-2000t})$.
લૂપ $2$ (જમણી બાજુની લૂપ): તેમાં બેટરી $(20 \, V)$,કેપેસિટર $(C = 0.1 \, mF = 10^{-4} \, F)$ અને અવરોધો ($5 \, \Omega$ અને $5 \, \Omega$) છે. કુલ અવરોધ $R_2 = 5 + 5 = 10 \, \Omega$ છે. ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau_2 = R_2 C = 10 \times 10^{-4} = 10^{-3} \, s$ છે. પ્રવાહ $I_2(t) = \frac{V}{R_2} e^{-t/\tau_2} = 2 e^{-1000t}$.
$t = 10^{-3} \ln 2 \, s$ સમયે:
$I_1 = 2 (1 - e^{-2 \ln 2}) = 2 (1 - 1/4) = 1.5 \, A$.
$I_2 = 2 e^{-\ln 2} = 2 (1/2) = 1 \, A$.
કળ $K$ માંથી પસાર થતો કુલ પ્રવાહ $I = I_1 + I_2 = 1.5 + 1 = 2.5 \, A$ થાય.

(A) $DC$ સ્ત્રોત $\varepsilon$ સાથે જોડાયેલ $L-R$ સર્કિટ માટે,કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ $\varepsilon = L \frac{dI}{dt} + IR$ છે.
ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} LI^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિકલ્પ $A$ માટે,ઉર્જા $U = \frac{L\varepsilon^2}{8R^2}$ છે.
આને $\frac{1}{2} LI^2$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\frac{1}{2} LI^2 = \frac{L\varepsilon^2}{8R^2}$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ આપતા $I^2 = \frac{\varepsilon^2}{4R^2}$ મળે છે,તેથી $I = \frac{\varepsilon}{2R}$.
સર્કિટના સમીકરણમાં $I$ ની કિંમત મૂકતા: $\varepsilon = L \frac{dI}{dt} + (\frac{\varepsilon}{2R})R = L \frac{dI}{dt} + \frac{\varepsilon}{2}$.
આનાથી $L \frac{dI}{dt} = \frac{\varepsilon}{2}$ મળે છે,અથવા $\frac{dI}{dt} = \frac{\varepsilon}{2L}$.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(B) જ્યારે કી $K$ બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે ઇન્ડક્ટર પ્રવાહમાં થતા ફેરફારનો વિરોધ કરે છે. જોકે,લાંબા સમય પછી,પ્રવાહ સ્થાયી અવસ્થા પ્રાપ્ત કરે છે.
સ્થાયી અવસ્થામાં,ઇન્ડક્ટર શૂન્ય અવરોધ ધરાવતા સાદા વાયર તરીકે વર્તે છે (આદર્શ ઇન્ડક્ટર).
આથી પરિપથ માત્ર બેટરી અને અવરોધ ધરાવતા સાદા $DC$ પરિપથ તરીકે વર્તે છે.
ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $I = \frac{V}{R}$.
અહીં $V = 10 \ V$ અને $R = 2 \ \Omega$ આપેલ છે.
તેથી,$I = \frac{10}{2} = 5 \ A$.

(A) ઇન્ડક્ટરમાં, ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = LI$ તરત જ બદલાઈ શકતું નથી।
શરૂઆતમાં, ઇન્ડક્ટર પાસે લોખંડનો ગર્ભ છે, તેથી તેનું ઇન્ડક્ટન્સ $L_1 = L_{core}$ છે। સ્થાયી અવસ્થાનો પ્રવાહ $I_1 = V/R$ છે।
ઇન્ડક્ટર સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_1 = L_1 I_1$ છે।
જ્યારે લોખંડનો ગર્ભ દૂર કરવામાં આવે છે, ત્યારે ઇન્ડક્ટન્સ બદલાઈને $L_2$ થાય છે (જ્યાં $L_2 < L_1$)।
કારણ કે ફ્લક્સ તરત જ બદલાઈ શકતું નથી, ગર્ભ દૂર કર્યા પછી તરત જ પ્રવાહ $I_2$ એ $\phi_1 = \phi_2$ નું પાલન કરવું જોઈએ, જેનો અર્થ છે કે $L_1 I_1 = L_2 I_2$।
કારણ કે $L_2 < L_1$, તેથી $I_2 = (L_1/L_2) I_1 > I_1$ થાય છે।
તેથી, લોખંડનો ગર્ભ દૂર કર્યા પછી તરત જ ઇન્ડક્ટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ વધે છે।

(A) $LR$ પરિપથમાં સમય $t$ પર પ્રવાહ $I(t) = \frac{E}{R}(1 - e^{-Rt/L})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $t \to \infty$ થાય,ત્યારે સ્થાયી પ્રવાહ $I_{max} = \frac{E}{R}$ મળે છે.
આલેખ પરથી,બંને વક્ર સમાન સ્થાયી પ્રવાહ મૂલ્ય તરફ જાય છે,જે સૂચવે છે કે અવરોધ $R$ બદલાયો નથી.
પરિપથનો ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau = \frac{L}{R}$ છે.
વક્ર $2$ એ વક્ર $1$ કરતા વધુ ધીમેથી સ્થાયી મૂલ્ય સુધી પહોંચે છે,જેનો અર્થ છે કે વક્ર $2$ માટે ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ વક્ર $1$ કરતા મોટો છે $(\tau_2 > \tau_1)$.
કારણ કે $\tau = \frac{L}{R}$ અને $R$ અચળ છે,તેથી ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau$ માં વધારો સૂચવે છે કે ઇન્ડક્ટન્સ $L$ વધારવામાં આવ્યો હોવો જોઈએ.

(D) $LR$ સર્કિટનો ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau = \frac{L}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,$\frac{L}{R} = 10$,જેનો અર્થ છે કે $L = 10R$ --- $(1)$.
જ્યારે $10 \, \Omega$ નો અવરોધ શ્રેણીમાં ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે નવો અવરોધ $(R + 10) \, \Omega$ થાય છે. નવો ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\frac{L}{R + 10} = 2$ છે,જેનો અર્થ છે કે $L = 2(R + 10) = 2R + 20$ --- $(2)$.
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા:
$10R = 2R + 20$
$8R = 20$
$R = 2.5 \, \Omega$.
$R$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$L = 10 \times 2.5 = 25 \, H$.

(B) $LR$ સર્કિટમાં પ્રવાહના વધારાનું સૂત્ર: $I = I_0(1 - e^{-t/\tau})$ છે,જ્યાં $\tau$ એ ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ છે.
આપેલ છે કે $t = 4 \, s$ સમયે,$I = \frac{3}{4} I_0$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{3}{4} I_0 = I_0(1 - e^{-4/\tau})$
$\frac{3}{4} = 1 - e^{-4/\tau}$
$e^{-4/\tau} = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા:
$-\frac{4}{\tau} = \ln(\frac{1}{4})$
$-\frac{4}{\tau} = -\ln(4) = -\ln(2^2) = -2 \ln 2$
$\tau = \frac{4}{2 \ln 2} = \frac{2}{\ln 2} \, s$.

(C) $LR$ સર્કિટનો ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau$ શોધવા માટે,વોલ્ટેજ સોર્સ $E$ ને શોર્ટ-સર્કિટ કરીને ઇન્ડક્ટર $L$ ના ટર્મિનલ્સથી જોતા સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નક્કી કરવો પડે.
$1$. વોલ્ટેજ સોર્સ $E$ ને શોર્ટ-સર્કિટ કરો. હવે સર્કિટમાં બે અવરોધ $R$ એકબીજા સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે અને આ સંયોજન ત્રીજા અવરોધ $R$ સાથે શ્રેણીમાં છે.
$2$. સમાંતરમાં જોડાયેલા બે અવરોધ $R$ નો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{R}{2}$ થાય.
$3$. આ સમાંતર જોડાણ બાકીના અવરોધ $R$ સાથે શ્રેણીમાં છે. તેથી,ઇન્ડક્ટર દ્વારા જોવા મળતો કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = R + \frac{R}{2} = \frac{3}{2}R$ થાય.
$4$. $LR$ સર્કિટ માટે ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau$ નું સૂત્ર $\tau = \frac{L}{R_{eq}}$ છે.
$5$. $R_{eq}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\tau = \frac{L}{\frac{3}{2}R} = \frac{2L}{3R}$ મળે છે.

(D) $t=0$ સમયે,ઇન્ડક્ટર $L$ પ્રવાહમાં થતા કોઈપણ ફેરફારનો વિરોધ કરે છે,તેથી તે ઓપન સર્કિટ (ખુલ્લા પરિપથ) તરીકે વર્તે છે (તેમાંથી વહેતો પ્રવાહ શૂન્ય હોય છે).
પરિપથ $(i)$ માટે: આખો પરિપથ ખુલ્લો છે,તેથી પ્રવાહ $i_1 = 0$ છે.
પરિપથ $(ii)$ માટે: ઇન્ડક્ટર $L$ એ અવરોધ $R$ સાથે શ્રેણીમાં છે. $t=0$ સમયે,$L$ ધરાવતી શાખા ખુલ્લી છે. પ્રવાહ સીધો સ્ત્રોત $E$ સાથે જોડાયેલા સમાંતર અવરોધ $R$ માંથી વહે છે. આમ,$i_2 = E/R$.
પરિપથ $(iii)$ માટે: ઇન્ડક્ટર $L$ એ અવરોધ $R$ સાથે સમાંતરમાં છે. $t=0$ સમયે,$L$ ધરાવતી શાખા ખુલ્લી છે. પ્રવાહ સમાંતરમાં રહેલા અવરોધ $R$ માંથી વહે છે. આમ,$i_3 = E/R$.
પ્રવાહોની સરખામણી કરતા,$i_2 = i_3 = E/R$,જે $i_1 = 0$ કરતા વધારે છે. તેથી,પરિપથ $(ii)$ અને $(iii)$ બંનેમાં પ્રવાહ મહત્તમ છે.

(A) જ્યારે સર્કિટ લાંબા સમય સુધી જોડાયેલી હોય છે,ત્યારે ઇન્ડક્ટર શોર્ટ સર્કિટ તરીકે કામ કરે છે,અને સ્થાયી પ્રવાહ $I_0$ નીચે મુજબ મળે છે:
$I_0 = \frac{E}{R} = \frac{100 \, V}{100 \, \Omega} = 1 \, A$
જ્યારે બેટરી દૂર કરવામાં આવે છે અને બિંદુઓ $A$ અને $B$ ને શોર્ટ-સર્કિટ કરવામાં આવે છે,ત્યારે સર્કિટ એક ક્ષીણ થતી $LR$ સર્કિટ બની જાય છે. સમય $t$ પર પ્રવાહ નીચે મુજબ મળે છે:
$I(t) = I_0 e^{-t/\tau}$
અહીં,ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau$ છે:
$\tau = \frac{L}{R} = \frac{100 \times 10^{-3} \, H}{100 \, \Omega} = 1 \times 10^{-3} \, s = 1 \, ms$
આપેલ છે કે $t = 1 \, ms$,તેથી પ્રવાહ:
$I = 1 \times e^{-1 \, ms / 1 \, ms} = 1 \times e^{-1} = \frac{1}{e} \, A$

(C) $t = 0$ સમયે, ઇન્ડક્ટર ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે કારણ કે તે પ્રવાહમાં થતા અચાનક ફેરફારનો વિરોધ કરે છે। પરિપથમાં $10\, V$ ની બેટરી, $2\, \Omega$ નો અવરોધ અને $4\, \Omega$ નો અવરોધ શ્રેણીમાં છે.
કુલ અવરોધ $R_{eq} = 2\, \Omega + 4\, \Omega = 6\, \Omega$.
પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{10\, V}{6\, \Omega} = \frac{5}{3}\, A$.
$t = \infty$ સમયે, ઇન્ડક્ટર શોર્ટ સર્કિટ તરીકે વર્તે છે કારણ કે પ્રવાહ સ્થાયી અવસ્થામાં પહોંચી ગયો છે। ઇન્ડક્ટર શોર્ટ સર્કિટ હોવાથી $4\, \Omega$ નો અવરોધ પરિપથમાંથી નીકળી જાય છે.
હવે પરિપથમાં માત્ર $10\, V$ ની બેટરી અને $2\, \Omega$ નો અવરોધ છે.
પ્રવાહ $I = \frac{10\, V}{2\, \Omega} = 5\, A$.
આમ, પ્રવાહ અનુક્રમે $\frac{5}{3}\, A$ અને $5\, A$ છે.

(B) પ્રવાહના વધારા (Growth) માટે,સ્વીચ બંધ છે. ઇન્ડક્ટર $L$ એ અવરોધ $2R$ સાથે શ્રેણીમાં છે. અવરોધ $R$ એ $2R$ અને $L$ ના શ્રેણી જોડાણ સાથે સમાંતર છે. વધારા દરમિયાન ઇન્ડક્ટર દ્વારા જોવા મળતો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = 2R$ છે. તેથી,વધારા માટેનો ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau_{growth} = \frac{L}{2R}$ છે.
પ્રવાહના ઘટાડા (Decay) માટે,સ્વીચ ખોલવામાં આવે છે. હવે ઇન્ડક્ટર $L$ એ અવરોધ $R$ અને $2R$ સાથે શ્રેણીમાં એક બંધ લૂપ બનાવે છે. ઘટાડા દરમિયાન ઇન્ડક્ટર દ્વારા જોવા મળતો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = R + 2R = 3R$ છે. તેથી,ઘટાડા માટેનો ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau_{decay} = \frac{L}{3R}$ છે.
વધારા અને ઘટાડા દરમિયાન ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટનો ગુણોત્તર $\frac{\tau_{growth}}{\tau_{decay}} = \frac{L/2R}{L/3R} = \frac{3R}{2R} = \frac{3}{2}$ એટલે કે $3 : 2$ થાય છે.

(C) સ્થાયી અવસ્થામાં,ઇન્ડક્ટર શોર્ટ સર્કિટ (શૂન્ય અવરોધ) તરીકે વર્તે છે.
ઉપરની શાખામાં $6 \, \Omega$ નો અવરોધ છે જે $4 \, H$ ના ઇન્ડક્ટર અને $2 \, \Omega$ ના અવરોધના સમાંતર જોડાણ સાથે શ્રેણીમાં છે. ઇન્ડક્ટર શોર્ટ સર્કિટ હોવાથી,$2 \, \Omega$ નો અવરોધ બાયપાસ થઈ જાય છે. તેથી,ઉપરની શાખાનો અવરોધ $6 \, \Omega$ છે.
નીચેની શાખામાં $2 \, H$ નો ઇન્ડક્ટર,$2 \, \Omega$ નો અવરોધ અને $4 \, \Omega$ નો અવરોધ શ્રેણીમાં છે. ઇન્ડક્ટર શોર્ટ સર્કિટ તરીકે વર્તે છે,તેથી નીચેની શાખાનો અવરોધ $2 \, \Omega + 4 \, \Omega = 6 \, \Omega$ છે.
સમાંતર જોડાણમાં પ્રવેશતો કુલ પ્રવાહ ઉપરની શાખામાં $2 \, A$ છે. બંને શાખાઓનો અવરોધ સમાન $(6 \, \Omega)$ હોવાથી,નીચેની શાખામાં પણ પ્રવાહ $2 \, A$ હશે.
$3 \, \Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $I_{total} = 2 \, A + 2 \, A = 4 \, A$ છે.
સ્થિતિમાનનો તફાવત $V_A - V_B$ એ ઉપરની શાખા અને $3 \, \Omega$ ના અવરોધ પરના પોટેન્શિયલ ડ્રોપનો સરવાળો છે: $V_A - V_B = (I_{upper} \times R_{upper}) + (I_{total} \times R_{series}) = (2 \, A \times 6 \, \Omega) + (4 \, A \times 3 \, \Omega) = 12 \, V + 12 \, V = 24 \, V$.

(A) $LR$ સર્કિટમાં $t$ સમયે પ્રવાહ $I(t) = \frac{E}{R}(1 - e^{-t/T})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T = L/R$ એ સમય અચળાંક છે.
સમય $T$ માં બેટરીમાંથી પસાર થતો વિદ્યુતભાર $q$ એ સમયની સાપેક્ષમાં પ્રવાહનું સંકલન છે:
$q = \int_{0}^{T} I(t) dt = \int_{0}^{T} \frac{E}{R}(1 - e^{-t/T}) dt$
પદનું સંકલન કરતા:
$q = \frac{E}{R} \left[ t - (-T)e^{-t/T} \right]_{0}^{T}$
$q = \frac{E}{R} \left[ t + Te^{-t/T} \right]_{0}^{T}$
સીમાઓ મૂકતા:
$q = \frac{E}{R} \left[ (T + Te^{-T/T}) - (0 + Te^{0}) \right]$
$q = \frac{E}{R} \left[ T + \frac{T}{e} - T \right]$
$q = \frac{ET}{eR}$

(A) સ્થાયી સ્થિતિમાં,ઇન્ડક્ટર શોર્ટ સર્કિટ (આદર્શ વાયર) તરીકે વર્તે છે કારણ કે પ્રવાહ અચળ હોય છે $(di/dt = 0)$.
આપેલ છે: સ્થાયી પ્રવાહ $I = 2.0 \ A$,$emf$ $E = 4.0 \ V$,અને ઇન્ડક્ટન્સ $L = 1.0 \ H$.
સ્થાયી સ્થિતિ માટે ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $R = E / I = 4.0 / 2.0 = 2.0 \ \Omega$.
$LR$ સર્કિટનો ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\tau = L / R$.
કિંમતો મૂકતા: $\tau = 1.0 \ H / 2.0 \ \Omega = 0.5 \ s$.
તેથી,સર્કિટનો ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $0.5 \ s$ છે.

(D) પરિપથ $(a)$ માં,આપણી પાસે $RC$ શ્રેણી પરિપથ છે. જ્યારે સ્વીચ $t=0$ સમયે બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટર ચાર્જ થવાનું શરૂ કરે છે. પરિપથમાં પ્રવાહ $i(t) = \frac{E}{R} e^{-t/RC}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ દર્શાવે છે કે પ્રવાહ $\frac{E}{R}$ ના મહત્તમ મૂલ્યથી શરૂ થાય છે અને જેમ $t \to \infty$ થાય છે તેમ ઘાતાંકીય રીતે શૂન્ય તરફ જાય છે.
પરિપથ $(b)$ માં,આપણી પાસે $RL$ શ્રેણી પરિપથ છે. જ્યારે સ્વીચ $t=0$ સમયે બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે ઇન્ડક્ટર પ્રવાહમાં થતા ફેરફારનો વિરોધ કરે છે. પરિપથમાં પ્રવાહ $i(t) = \frac{E}{R} (1 - e^{-Rt/L})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ દર્શાવે છે કે પ્રવાહ $0$ થી શરૂ થાય છે અને જેમ $t \to \infty$ થાય છે તેમ $\frac{E}{R}$ ના મહત્તમ સ્થિર-સ્થિતિ મૂલ્ય સુધી ઘાતાંકીય રીતે વધે છે.
આ વર્તણૂકોની આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા,આકૃતિ $(d)$ માં વક્ર $(a)$ ને $\frac{E}{R}$ થી શરૂ થતો અને ઘટતો દર્શાવવામાં આવ્યો છે,અને વક્ર $(b)$ ને $0$ થી શરૂ થતો અને $\frac{E}{R}$ સુધી વધતો દર્શાવવામાં આવ્યો છે. આમ,આકૃતિ $(d)$ સાચું નિરૂપણ છે.

(A) $0 \le t < t_0$ માટે,સર્કિટમાં બેટરી,અવરોધ $R$ અને ઇન્ડક્ટર $L$ શ્રેણીમાં છે. પ્રવાહ એક્સપોનેન્શિયલ રીતે વધે છે: $I(t) = \frac{\epsilon}{R}(1 - e^{-Rt/L})$.
$t = t_0$ સમયે,પ્રવાહનું મૂલ્ય $I_0 = \frac{\epsilon}{R}(1 - e^{-Rt_0/L})$ થાય છે.
$t \ge t_0$ માટે,સ્વીચ $S_1$ ખોલવામાં આવે છે અને $S_2$ બંધ કરવામાં આવે છે. બેટરી દૂર થાય છે અને ઇન્ડક્ટર $L$ અવરોધ $R$ દ્વારા ડિસ્ચાર્જ થાય છે. પ્રવાહ એક્સપોનેન્શિયલ રીતે ઘટે છે: $I(t) = I_0 e^{-R(t-t_0)/L}$.
સાચો ગ્રાફ એક્સપોનેન્શિયલ વૃદ્ધિ અને ત્યારબાદ શૂન્ય તરફ એક્સપોનેન્શિયલ ઘટાડો દર્શાવે છે,જે આપેલ ઉકેલની છબી સાથે મેળ ખાય છે.

(D) લાંબા સમય પછી,ઇન્ડક્ટર શોર્ટ સર્કિટ (શૂન્ય અવરોધ ધરાવતો તાર) તરીકે વર્તે છે કારણ કે પ્રવાહ સ્થિર થઈ જાય છે.
હવે સર્કિટમાં $5\,\Omega$ ના બે અવરોધકો છે,જે $15\, V$ ની બેટરી સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે.
બે સમાંતર અવરોધકોનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$R_{eq} = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{5 \times 5}{5 + 5} = \frac{25}{10} = 2.5\,\Omega$
બેટરીમાંથી વહેતો પ્રવાહ $i$ ઓહ્મના નિયમ મુજબ:
$i = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{15}{2.5} = 6\, A$

(D) $LR$ સર્કિટમાં $t$ સમયે પ્રવાહ $I = I_0(1 - e^{-t/\tau})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I_0 = E/R$ અને $\tau = L/R$ છે.
અહીં $L = 20 \, H$ અને $R = 10 \, \Omega$ આપેલ છે,તેથી ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau = 20/10 = 2 \, s$ થાય.
તેથી,$I = \frac{E}{10}(1 - e^{-t/2})$.
અવરોધમાં ઉર્જાનો વ્યય (જૂલ ઉષ્મા) થવાનો દર $P_R = I^2 R = I^2 \times 10$ છે.
ઇન્ડક્ટરમાં ચુંબકીય ઉર્જા સંગ્રહિત થવાનો દર $P_L = \frac{d}{dt}(\frac{1}{2} L I^2) = L I \frac{dI}{dt}$ છે.
$P_R = P_L$ લેતા,આપણને $I^2 R = L I \frac{dI}{dt}$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $I R = L \frac{dI}{dt}$ થાય.
$I = \frac{E}{10}(1 - e^{-t/2})$ અને $\frac{dI}{dt} = \frac{E}{10} \times \frac{1}{2} e^{-t/2}$ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{E}{10}(1 - e^{-t/2}) \times 10 = 20 \times \frac{E}{20} e^{-t/2}$.
$1 - e^{-t/2} = e^{-t/2}$.
$1 = 2 e^{-t/2} \implies e^{-t/2} = 1/2$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $-t/2 = \ln(1/2) = -\ln 2$.
તેથી,$t = 2 \ln 2 \, s$.

(A) આપેલ છે: આત્મ-પ્રેરકત્વ $L = 10\,mH = 10 \times 10^{-3}\,H$,કોઈલનો અવરોધ $r_1 = 0.1\,\Omega$,આંતરિક અવરોધ $r_2 = 0.9\,\Omega$.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R = r_1 + r_2 = 0.1 + 0.9 = 1.0\,\Omega$ છે.
$LR$ પરિપથનો ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau = \frac{L}{R} = \frac{10 \times 10^{-3}}{1.0} = 10^{-2}\,s$ છે.
કોઈપણ સમયે $t$ પર પ્રવાહ $i = i_0(1 - e^{-t/\tau})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $i_0$ એ સંતૃપ્ત પ્રવાહ છે.
આપણે $t$ શોધવા માંગીએ છીએ જ્યારે $i = 0.8 i_0$ હોય.
$0.8 i_0 = i_0(1 - e^{-t/\tau})$
$0.8 = 1 - e^{-t/\tau}$
$e^{-t/\tau} = 0.2 = \frac{1}{5}$
$e^{t/\tau} = 5$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\frac{t}{\tau} = \ln 5$.
આપેલ છે કે $\ln 5 = 1.6$,તેથી $t = 1.6 \times \tau = 1.6 \times 10^{-2}\,s = 0.016\,s$.

(B) $LR$ સર્કિટમાં સ્વિચ બંધ કર્યા પછી સમય $t$ પરનો પ્રવાહ $i(t) = \frac{E}{R}(1 - e^{-\frac{Rt}{L}})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
$t = 0$ થી $t = \frac{L}{R}$ ના સમયગાળામાં બેટરીમાંથી પસાર થતો વિદ્યુતભાર $q$ એ પ્રવાહનું સમયની સાપેક્ષે સંકલન કરવાથી મળે છે:
$q = \int_{0}^{\frac{L}{R}} i(t) dt = \int_{0}^{\frac{L}{R}} \frac{E}{R}(1 - e^{-\frac{Rt}{L}}) dt$
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$q = \frac{E}{R} \left[ t + \frac{L}{R} e^{-\frac{Rt}{L}} \right]_{0}^{\frac{L}{R}}$
$q = \frac{E}{R} \left[ (\frac{L}{R} + \frac{L}{R} e^{-1}) - (0 + \frac{L}{R} e^{0}) \right]$
$q = \frac{E}{R} \left[ \frac{L}{R} + \frac{L}{Re} - \frac{L}{R} \right]$
$q = \frac{E}{R} \cdot \frac{L}{Re} = \frac{EL}{eR^2}$
અહીં $e \approx 2.718$ હોવાથી:
$q = \frac{EL}{2.7R^2}$

(A) $LR$ સર્કિટનો ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau = \frac{L}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,$\tau_1 = \frac{L}{R} = 4 \, sec$.
જ્યારે કોઈલને બે સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ભાગનો અવરોધ અને ઇન્ડક્ટન્સ મૂળ મૂલ્યોના અડધા થઈ જાય છે,એટલે કે $R' = \frac{R}{2}$ અને $L' = \frac{L}{2}$.
જ્યારે આ બે ભાગોને સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ એ $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R'} + \frac{1}{R'} = \frac{2}{R'} = \frac{2}{R/2} = \frac{4}{R}$ દ્વારા મળે છે,તેથી $R_{eq} = \frac{R}{4}$.
સમાંતરમાં બે ઇન્ડક્ટર્સ માટે સમતુલ્ય ઇન્ડક્ટન્સ $L_{eq}$ એ $\frac{1}{L_{eq}} = \frac{1}{L'} + \frac{1}{L'} = \frac{2}{L'} = \frac{2}{L/2} = \frac{4}{L}$ છે,તેથી $L_{eq} = \frac{L}{4}$.
નવો ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau_2 = \frac{L_{eq}}{R_{eq}} = \frac{L/4}{R/4} = \frac{L}{R} = \tau_1$ છે.
તેથી,નવો ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $4 \, sec$ છે.

(A) $DC$ સર્કિટમાં,લાંબા સમય પછી $(t \to \infty)$,ઇન્ડક્ટર શોર્ટ સર્કિટ (શૂન્ય અવરોધ ધરાવતો તાર) તરીકે વર્તે છે કારણ કે વિદ્યુતપ્રવાહ સ્થિર થઈ જાય છે અને ઇન્ડક્ટર પરનું પ્રેરિત $EMF$ શૂન્ય થઈ જાય છે.
$50\,\Omega$ નો અવરોધ શુદ્ધ ઇન્ડક્ટર સાથે સમાંતર જોડાયેલ હોવાથી,સમગ્ર વિદ્યુતપ્રવાહ ઓછામાં ઓછા અવરોધવાળા માર્ગ એટલે કે ઇન્ડક્ટરમાંથી વહેશે.
તેથી,$50\,\Omega$ ના અવરોધ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત શૂન્ય થઈ જાય છે.
પરિણામે,$50\,\Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો અંતિમ વિદ્યુતપ્રવાહ $0\,A$ છે.

(A) $RL$ પરિપથ માટે ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau = \frac{L}{R_{eq}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે સ્વિચ સ્થિતિ $a$ માં હોય,ત્યારે ઇન્ડક્ટર $L = 4\,mH$ એ અવરોધ $R$ અને $500\,\Omega$ ના સમાંતર જોડાણ સાથે શ્રેણીમાં છે.
સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ એ ઇન્ડક્ટર દ્વારા જોવા મળતો અવરોધ છે,જે $R_{eq} = \frac{R \times 500}{R + 500}$ છે.
આપેલ છે કે $\tau = 10\,\mu s = 10 \times 10^{-6}\,s$ અને $L = 4\,mH = 4 \times 10^{-3}\,H$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$10 \times 10^{-6} = \frac{4 \times 10^{-3}}{\left(\frac{R \times 500}{R + 500}\right)}$
$10 \times 10^{-6} = \frac{4 \times 10^{-3} \times (R + 500)}{500R}$
$10^{-5} = \frac{4 \times 10^{-3} \times (R + 500)}{500R}$
$500R \times 10^{-5} = 4 \times 10^{-3} \times (R + 500)$
$5 \times 10^{-3} R = 4 \times 10^{-3} R + 2000 \times 10^{-3}$
$10^{-3} R = 2$
$R = 2000\,\Omega = 2\,K\Omega$.

(B) $LR$ સર્કિટમાં $t$ સમયે પ્રવાહનું સૂત્ર: $I(t) = I_0(1 - e^{-\frac{R}{L}t})$ છે.
અહીં આપેલ છે કે પ્રવાહ તેના અંતિમ મૂલ્ય $I_0$ ના $\frac{e-1}{e}$ જેટલો થાય છે.
તેથી,$I(t) = \left(\frac{e-1}{e}\right)I_0 = I_0(1 - e^{-1})$.
આ સૂત્ર સાથે સરખાવતા,આપણને $e^{-\frac{R}{L}t} = e^{-1}$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{R}{L}t = 1$,અથવા $t = \frac{L}{R}$.
$L = 60\, H$ અને $R = 30\, \Omega$ આપેલ હોવાથી,$t = \frac{60}{30} = 2\, s$ મળે છે.

(C) ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} L I^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $L$ એ ઇન્ડક્ટન્સ છે અને $I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
આના પરથી,આપણે ઇન્ડક્ટન્સને $L = \frac{2U}{I^2}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
ઇન્ડક્ટરના આંતરિક અવરોધ $R$ ને કારણે ઉર્જાના વ્યયનો દર (પાવર લોસ) $P = I^2 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આના પરથી,આપણે અવરોધને $R = \frac{P}{I^2}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
$LR$ સર્કિટનો ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau$ એ $\tau = \frac{L}{R}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$L$ અને $R$ ના સૂત્રો મૂકતા:
$\tau = \frac{2U / I^2}{P / I^2} = \frac{2U}{P}$.
તેથી,ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\frac{2U}{P}$ છે.

(B) પરિપથમાં $5\,V$ ની બેટરી,$10\,mH$ નું ઇન્ડક્ટર અને એક ચલ અવરોધ $R_H$ છે.
કિર્ચોફના વોલ્ટેજ નિયમ મુજબ,પરિપથ માટેનું સમીકરણ $V = iR + L\frac{di}{dt}$ છે.
જો અવરોધ $R$ એ $10\,\Omega$ પર અચળ હોત,તો સ્થાયી પ્રવાહ $i = \frac{V}{R} = \frac{5}{10} = 0.5\,A$ હોત.
પરંતુ,અવરોધ વધી રહ્યો છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dR}{dt} > 0$. જેમ અવરોધ વધે છે,તેમ પ્રવાહ $i$ ઘટવાની વૃત્તિ ધરાવે છે.
લેન્ઝના નિયમ મુજબ,ઇન્ડક્ટર આ ફેરફારનો વિરોધ કરે છે અને એક પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ ઉત્પન્ન કરે છે જે પ્રવાહને જાળવી રાખવાનો પ્રયત્ન કરે છે.
પ્રેરિત $EMF$ $\varepsilon = -L\frac{di}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. પ્રવાહ ઘટી રહ્યો હોવાથી,$\frac{di}{dt}$ ઋણ છે,જે પ્રેરિત $EMF$ ને મુખ્ય પ્રવાહની દિશામાં ધન બનાવે છે.
આ પ્રેરિત $EMF$ એક સ્ત્રોત તરીકે કાર્ય કરે છે જે પ્રવાહમાં ઉમેરો કરે છે,જેના કારણે વાસ્તવિક પ્રવાહ તે મૂલ્ય કરતા વધારે હોય છે જે અવરોધ અચળ હોત તો હોત.
તેથી,$i > 0.5\,A$.

(A) ક્ષીણ થતા $L-R$ સર્કિટમાં પ્રવાહ $i = i_0 e^{-t/\tau}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\tau = L/R$ એ ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ છે.
ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} L i^2$ છે.
ધારો કે $U_0$ એ પ્રારંભિક ઉર્જા છે,$U_0 = \frac{1}{2} L i_0^2$.
આપણને આપેલ છે કે ઉર્જા તેના પ્રારંભિક મૂલ્યના એક-ચતુર્થાંશ જેટલી ઘટે છે,તેથી $U = \frac{1}{4} U_0$.
ઉર્જા માટેના સમીકરણો મૂકતા: $\frac{1}{2} L i^2 = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} L i_0^2)$.
આનું સાદું રૂપ $i^2 = \frac{1}{4} i_0^2$,અથવા $i = \frac{1}{2} i_0$ થાય છે.
$i = i_0 e^{-t/\tau}$ મૂકતા,આપણને $i_0 e^{-t/\tau} = \frac{1}{2} i_0$ મળે છે.
$e^{-t/\tau} = \frac{1}{2} \Rightarrow e^{t/\tau} = 2$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા: $t/\tau = \ln 2$.
તેથી,$t = \tau \ln 2 = \frac{L}{R} \ln 2$.

(B) જ્યારે $t=0$ સમયે સ્વિચ $S$ બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે $RL$ સર્કિટમાં પ્રવાહ $i$ નીચેના સમીકરણ મુજબ વધે છે:
$i = \frac{E}{R} (1 - e^{-tR/L})$
આ એક વધતું ઘાતાંકીય વિધેય છે જે $t=0$ સમયે $i=0$ થી શરૂ થાય છે અને $t \to \infty$ થાય ત્યારે $i=E/R$ સુધી પહોંચે છે. આ વર્તણૂક આલેખ $D$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવી છે.
ઇન્ડક્ટર $L$ માં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત $emf$ $e$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$e = L \frac{di}{dt} = L \frac{d}{dt} [\frac{E}{R} (1 - e^{-tR/L})] = L \cdot \frac{E}{R} \cdot \frac{R}{L} e^{-tR/L} = E e^{-tR/L}$
$t=0$ સમયે,$e=E$,અને જેમ $t \to \infty$ થાય છે,તેમ $e \to 0$ થાય છે. આ એક ઘટતું ઘાતાંકીય વિધેય છે,જે આલેખ $C$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવ્યું છે.
તેથી,આલેખ $C$ એ $e$ દર્શાવે છે અને આલેખ $D$ એ $i$ દર્શાવે છે.

(B) શોર્ટ-સર્કિટ થયેલ $RL$ સર્કિટ માટે,$t$ સમયે પ્રવાહ $I = I_0 e^{-t/\tau}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\tau$ એ ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ છે.
આપેલ છે કે $t = t_0$ સમયે,પ્રવાહ $I = \frac{I_0}{\alpha}$ થાય છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{I_0}{\alpha} = I_0 e^{-t_0/\tau}$
$\frac{1}{\alpha} = e^{-t_0/\tau}$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા:
$\ln(1/\alpha) = -t_0/\tau$
$-\ln(\alpha) = -t_0/\tau$
$\ln(\alpha) = t_0/\tau$
તેથી,ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau = \frac{t_0}{\ln(\alpha)}$ અથવા $\tau = \frac{t_0}{\log_e \alpha}$ થશે.

(B) જ્યારે સ્વીચ $K$ બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે લાંબા સમય પછી પરિપથ સ્થાયી અવસ્થામાં પહોંચે છે.
સ્થાયી અવસ્થામાં,ઇન્ડક્ટર શોર્ટ સર્કિટ તરીકે વર્તે છે (આદર્શ ઇન્ડક્ટર જેનો અવરોધ શૂન્ય છે).
ઇન્ડક્ટર $20\, \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતર જોડાયેલ હોવાથી,સમગ્ર પ્રવાહ ઇન્ડક્ટરમાંથી પસાર થશે,જે $20\, \Omega$ ના અવરોધને શોર્ટ-સર્કિટ કરશે.
તેથી,પરિપથનો સમતુલ્ય અવરોધ માત્ર $30\, \Omega$ નો અવરોધ જ રહેશે.
ઓમના નિયમ મુજબ $30\, \Omega$ ના અવરોધમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ $I$:
$I = \frac{V}{R} = \frac{3\, V}{30\, \Omega} = 0.1\, A$.

(D) $LR$ પરિપથ માટેનું સમીકરણ $V = IR + L \frac{dI}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જે ક્ષણે સ્વીચ બંધ કરવામાં આવે છે $(t = 0)$,ત્યારે પરિપથમાં પ્રવાહ $I = 0$ હોય છે.
સમીકરણમાં $I = 0$ મૂકતા,આપણને $V = L \frac{dI}{dt}$ મળે છે.
તેથી,પ્રવાહના વધારાનો પ્રારંભિક દર $\frac{dI}{dt} = \frac{V}{L}$ થાય છે.
અહીં $V = 1.6 \, V$ અને $L = 0.20 \, H$ આપેલ હોવાથી,$\frac{dI}{dt} = \frac{1.6}{0.20} = 8 \, A \, s^{-1}$ મળે છે.

(B) અવરોધમાં વ્યય થતો પાવર $P = I^2 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ સમય સાથે બદલાતો હોવાથી,કુલ ઉષ્મા ઉર્જા $W$ શોધવા માટે આપણે પાવરનું સમયની સાપેક્ષમાં સંકલન કરવું પડશે.
$W = \int_{0}^{\infty} I^2 R \, dt$
$RL$ સર્કિટમાં પ્રવાહના ઘટાડા દરમિયાન પ્રવાહ $I = I_0 e^{-(R/L)t}$ હોય છે.
આ કિંમતને સંકલનમાં મૂકતા:
$W = \int_{0}^{\infty} (I_0 e^{-(R/L)t})^2 R \, dt = \int_{0}^{\infty} I_0^2 R e^{-(2R/L)t} \, dt$
$W = I_0^2 R \left[ \frac{e^{-(2R/L)t}}{-(2R/L)} \right]_{0}^{\infty} = I_0^2 R \left( 0 - \left( -\frac{L}{2R} \right) \right) = \frac{1}{2} L I_0^2$.
વૈકલ્પિક રીતે,ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અવરોધમાં ઉત્પન્ન થતી કુલ ઉષ્મા એ ઇન્ડક્ટરના ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં શરૂઆતમાં સંગ્રહિત કુલ ઉર્જા જેટલી જ હોય છે,જે $U = \frac{1}{2} L I_0^2$ છે.

(A) આ સર્કિટમાં બે ઇન્ડક્ટર $L_1$ અને $L_2$ શ્રેણીમાં અને બે અવરોધ $R_1$ અને $R_2$ શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે.
શ્રેણીમાં જોડાયેલા ઇન્ડક્ટર માટે,સમતુલ્ય ઇન્ડક્ટન્સ $L = L_1 + L_2 = 1\, mH + 2\, mH = 3\, mH$ થાય.
શ્રેણીમાં જોડાયેલા અવરોધ માટે,સમતુલ્ય અવરોધ $R = R_1 + R_2 = 1\, \Omega + 2\, \Omega = 3\, \Omega$ થાય.
$RL$ સર્કિટ માટે ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau$ નું સૂત્ર $\tau = \frac{L}{R}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\tau = \frac{3\, mH}{3\, \Omega} = 1\, ms$ મળે છે.

(A) કી $K$ દબાવ્યા પછી તરત જ ($t = 0$ સમયે), ઇન્ડક્ટર ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે કારણ કે તે પ્રવાહમાં થતા કોઈપણ ત્વરિત ફેરફારનો વિરોધ કરે છે.
તેથી, ઇન્ડક્ટર અને $8 \, \Omega$ ના અવરોધ ધરાવતી શાખા અસરકારક રીતે ડિસ્કનેક્ટ થઈ જાય છે.
સર્કિટ $10 \, V$ ની બેટરી અને શ્રેણીમાં $6 \, \Omega$ ના અવરોધ અને સમાંતરમાં $8 \, \Omega$ ના અવરોધમાં સરળ બને છે.
જો કે, ઇન્ડક્ટર શાખા ઓપન હોવાથી, પ્રવાહ $I_1$ એ $6 \, \Omega$ ના અવરોધમાંથી પસાર થાય છે અને પછી સંપૂર્ણપણે સમાંતરમાં જોડાયેલા $8 \, \Omega$ ના અવરોધમાંથી પસાર થાય છે.
સર્કિટનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = 6 \, \Omega + 8 \, \Omega = 14 \, \Omega$ છે.
પ્રવાહ $I_1$ નું મૂલ્ય $I_1 = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{10 \, V}{14 \, \Omega} = \frac{5}{7} \, A$ મળે છે.

(C) $LR$ સર્કિટમાં પ્રવાહનો વધારો $I = I_0 (1 - e^{-t/\tau})$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\tau$ એ ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ છે.
આપેલ છે કે $t = 4 \, sec$ સમયે,$I = \frac{I_0}{4}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{I_0}{4} = I_0 (1 - e^{-4/\tau})$.
$\frac{1}{4} = 1 - e^{-4/\tau} \implies e^{-4/\tau} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $-\frac{4}{\tau} = \log_e (3/4)$.
$-\frac{4}{\tau} = \log_e 3 - \log_e 4$.
$\frac{4}{\tau} = \log_e 4 - \log_e 3 = \log_e (4/3)$.
તેથી,$\tau = \frac{4}{\log_e (4/3)} \, sec$.

(C) પરિપથમાં $10 \, V$ ની બેટરી સાથે સમાંતર જોડાયેલી બે શાખાઓ છે.
શાખા $1$ માં શ્રેણીમાં એક ઇન્ડક્ટર $(0.1 \, H)$ અને એક અવરોધ $(10 \, \Omega)$ છે.
શાખા $2$ માં એક અવરોધ $(10 \, \Omega)$ છે.
$t = 0$ સમયે (સ્વીચ બંધ કર્યા પછી તરત જ),ઇન્ડક્ટર બેક $EMF$ ને કારણે ખુલ્લા પરિપથ તરીકે વર્તે છે. તેથી,પ્રથમ શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી. પરિપથમાં કુલ પ્રવાહ ફક્ત બીજી શાખામાંથી વહે છે: $i_{min} = \frac{10 \, V}{10 \, \Omega} = 1 \, A$.
$t = \infty$ સમયે (સ્વીચ બંધ કર્યાના લાંબા સમય પછી),ઇન્ડક્ટર શોર્ટ સર્કિટ (શૂન્ય અવરોધ) તરીકે વર્તે છે. કુલ પ્રવાહ બંને શાખાઓમાં વહેતા પ્રવાહનો સરવાળો છે: $i_{branch1} = \frac{10 \, V}{10 \, \Omega} = 1 \, A$ અને $i_{branch2} = \frac{10 \, V}{10 \, \Omega} = 1 \, A$.
તેથી,$i_{max} = 1 \, A + 1 \, A = 2 \, A$.
મહત્તમ અને ન્યૂનતમ પ્રવાહ વચ્ચેનો તફાવત $i_{max} - i_{min} = 2 \, A - 1 \, A = 1 \, A$ છે.

(A) જ્યારે સ્વીચ $S$ બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે ઇન્ડક્ટર $L$ ધરાવતા પરિપથમાં પ્રવાહ ધીમે ધીમે વધે છે કારણ કે ઇન્ડક્ટરમાં ઉત્પન્ન થતું બેક $EMF$ પ્રવાહના ફેરફારનો વિરોધ કરે છે $(e = -L \frac{di}{dt})$.
અવરોધ $R$ ધરાવતી શાખામાં,પ્રવાહ લગભગ ત્વરિત તેના સ્થાયી મૂલ્ય સુધી પહોંચી જાય છે.
તેથી,બલ્બ $B_2$ (અવરોધ શાખામાં) બલ્બ $B_1$ (ઇન્ડક્ટર શાખામાં) કરતા વહેલો પ્રકાશિત થાય છે.
જેમ જેમ સમય પસાર થાય છે,ઇન્ડક્ટર શાખામાં પ્રવાહ વધે છે અને અંતે તે અવરોધ શાખા જેટલા જ સ્થાયી મૂલ્ય સુધી પહોંચે છે,કારણ કે ઇન્ડક્ટર કોઈલનો અવરોધ $R$ જેટલો જ છે.
આમ,અંતે,બંને બલ્બ સમાન તેજસ્વીતા સાથે પ્રકાશિત થાય છે.

(D) જ્યારે કી $K$ બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે પરિપથ સ્થાયી અવસ્થા પ્રાપ્ત કરે છે.
સ્થાયી અવસ્થામાં,એક આદર્શ ઇન્ડક્ટર શોર્ટ સર્કિટ (શૂન્ય અવરોધ) તરીકે વર્તે છે.
ઇન્ડક્ટર $10 \, \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતર જોડાયેલ હોવાથી,સમગ્ર વિદ્યુતપ્રવાહ ઇન્ડક્ટરના માર્ગમાંથી પસાર થશે અને $10 \, \Omega$ ના અવરોધને બાયપાસ કરશે.
તેથી,$10 \, \Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો અંતિમ વિદ્યુતપ્રવાહ $0 \, A$ છે.

(D) $LR$ સર્કિટનો ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau = \frac{L}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,$\frac{L}{R} = 10$,જેનો અર્થ છે કે $L = 10R$ .......... $(1)$
જ્યારે $10 \, \Omega$ નો અવરોધ શ્રેણીમાં ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે નવો અવરોધ $(R + 10) \, \Omega$ થાય છે.
નવો ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\frac{L}{R + 10} = 2$ છે,જેનો અર્થ છે કે $L = 2(R + 10) = 2R + 20$ .......... $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા:
$10R = 2R + 20$
$8R = 20$
$R = 2.5 \, \Omega$
$R$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$L = 10 \times 2.5 = 25 \, H$.

(D) $d.c.$ પરિપથમાં ઇન્ડક્ટર $t = 0$ સમયે ઓપન સર્કિટ (અનંત અવરોધ) તરીકે અને સ્થાયી અવસ્થામાં $(t \to \infty)$ શોર્ટ સર્કિટ (શૂન્ય અવરોધ) તરીકે વર્તે છે.
અવરોધ અનંતથી શૂન્ય સુધી બદલાતો હોવાથી,તે 'હંમેશા અચળ છે' તેવું વિધાન ખોટું છે.
સ્થાયી અવસ્થામાં,આદર્શ ઇન્ડક્ટરનો અવરોધ શૂન્ય હોય છે,તેથી તે 'શૂન્યતર છે' તેવું વિધાન પણ ખોટું છે.
તેથી,વિધાન અને કારણ બંને ખોટા છે.

(B) $RL$ પરિપથમાં $t$ સમયે પ્રવાહ $i(t) = i_0(1 - e^{-Rt/L})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $i_0 = V/R$ એ $t = \infty$ સમયે સ્થાયી પ્રવાહ છે.
અહીં $V = 20\; V$,$R = 5\; \Omega$,અને $L = 10\; mH = 0.01\; H$ છે.
ટાઇમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau = L/R = 0.01 / 5 = 0.002\; s = 2\; ms$ છે.
$t = 4\; ms$ માટે,ઘાતાંક $-Rt/L = -t/\tau = -4\; ms / 2\; ms = -2$ થાય છે.
તેથી,$i(4\; ms) = i_0(1 - e^{-2})$.
ગુણોત્તર $i(\infty) / i(4\; ms) = i_0 / [i_0(1 - e^{-2})] = 1 / (1 - 1/e^2) = e^2 / (e^2 - 1)$ થાય.
$e^2 = 7.389$ લેતા,ગુણોત્તર $7.389 / (7.389 - 1) = 7.389 / 6.389 \approx 1.156$ મળે છે.

(B) $LR$ સર્કિટમાં $t$ સમયે પ્રવાહ $i(t) = \frac{\varepsilon}{R} (1 - e^{-Rt/L})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે $T_c = \frac{L}{R}$ એ ટાઇમ કોન્સ્ટન્ટ છે. તેથી $i(t) = \frac{\varepsilon}{R} (1 - e^{-t/T_c})$.
$t=0$ થી $t=T_c$ સુધી વહેતો કુલ વિદ્યુતભાર $q$ એ સમયની સાપેક્ષમાં પ્રવાહનું સંકલન છે:
$q = \int_{0}^{T_c} i(t) dt = \int_{0}^{T_c} \frac{\varepsilon}{R} (1 - e^{-t/T_c}) dt$
$q = \frac{\varepsilon}{R} \left[ t - \frac{e^{-t/T_c}}{-1/T_c} \right]_{0}^{T_c} = \frac{\varepsilon}{R} \left[ t + T_c e^{-t/T_c} \right]_{0}^{T_c}$
$q = \frac{\varepsilon}{R} \left[ (T_c + T_c e^{-1}) - (0 + T_c e^{0}) \right]$
$q = \frac{\varepsilon}{R} [T_c + T_c e^{-1} - T_c] = \frac{\varepsilon}{R} T_c e^{-1}$
$T_c = \frac{L}{R}$ મૂકતા:
$q = \frac{\varepsilon}{R} \cdot \frac{L}{R} \cdot \frac{1}{e} = \frac{\varepsilon L}{e R^2}$.

(N/A) લંબાઈનો સળિયો $v$ વેગથી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ને લંબ ગતિ કરે છે,જે તેના બે છેડાઓ વચ્ચે $\varepsilon = Bvd$ જેટલું emf ઉત્પન્ન કરે છે.
જ્યારે $t = 0$ સમયે સ્વીચ $S$ બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટર ચાર્જ થવાનું શરૂ કરે છે. ધારો કે $t$ સમયે કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q(t)$ છે.
કિર્ચોફના બીજા નિયમ મુજબ:
$\varepsilon = V_R + V_C$
$Bvd = IR + \frac{Q}{C}$
$I = \frac{dQ}{dt}$ હોવાથી:
$R \frac{dQ}{dt} + \frac{Q}{C} = Bvd$
$\frac{dQ}{dt} + \frac{Q}{RC} = \frac{Bvd}{R}$
આ પ્રથમ ક્રમનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે. $Q(t)$ માટેનો ઉકેલ:
$Q(t) = BvdC + A e^{-t/RC}$
$t = 0$ સમયે,વિદ્યુતભાર $Q(0) = 0$ હોવાથી,$0 = BvdC + A$,એટલે કે $A = -BvdC$.
તેથી,$Q(t) = BvdC(1 - e^{-t/RC})$.
પ્રવાહ $I(t)$ એ વિદ્યુતભારનું સમયની સાપેક્ષે વિકલન છે:
$I(t) = \frac{dQ}{dt} = \frac{d}{dt} [BvdC(1 - e^{-t/RC})]$
$I(t) = BvdC \cdot \left( \frac{1}{RC} \right) e^{-t/RC}$
$I(t) = \frac{Bvd}{R} e^{-t/RC}$

(N/A) જ્યારે $d$ લંબાઈનો સળિયો ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ રૂપે $v$ વેગથી ગતિ કરે છે,ત્યારે સળિયાના બે છેડાઓ વચ્ચે emf પ્રેરિત થાય છે.
પ્રેરિત emf $\varepsilon = Bvd$ છે.
જ્યારે $t = 0$ સમયે સ્વિચ $S$ બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે ઇન્ડક્ટરમાં પ્રવાહ વધવાનું શરૂ થાય છે.
ધારો કે $t$ સમયે પરિપથમાં પ્રવાહ $I$ છે. કિર્ચોફના બીજા નિયમ મુજબ:
$\varepsilon = V_R + V_L$
$Bvd = IR + L \frac{dI}{dt}$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને નીચે મુજબનું રેખીય વિકલ સમીકરણ મળે છે:
$\frac{dI}{dt} + \frac{R}{L}I = \frac{Bvd}{L}$
આ રેખીય વિકલ સમીકરણનો ઉકેલ નીચે મુજબ છે:
$I(t) = \frac{Bvd}{R} + A e^{-\frac{R}{L}t}$
પ્રારંભિક શરતનો ઉપયોગ કરતા કે $t = 0$ સમયે,$I = 0$:
$0 = \frac{Bvd}{R} + A \implies A = -\frac{Bvd}{R}$
$A$ ની કિંમત સમીકરણમાં પાછી મૂકતા:
$I(t) = \frac{Bvd}{R} \left(1 - e^{-\frac{R}{L}t}\right)$
આ સમયના વિધેય તરીકે સળિયામાં વહેતા પ્રવાહનું જરૂરી સમીકરણ છે.

(A) ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત મહત્તમ ઉર્જા $U_{\max} = \frac{1}{2} L I_{\max}^2$ છે.
$L-R$ સર્કિટમાં $t$ સમયે પ્રવાહ $i = I_{\max}(1 - e^{-Rt/L})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે ઇચ્છીએ છીએ કે ઉર્જા $U = \frac{U_{\max}}{n}$ થાય. $U = \frac{1}{2} L i^2$ હોવાથી,આનો અર્થ એ થાય કે $\frac{1}{2} L i^2 = \frac{1}{n} \left(\frac{1}{2} L I_{\max}^2\right)$,જેનું સાદું રૂપ $i = \frac{I_{\max}}{\sqrt{n}}$ થાય છે.
આ કિંમતને પ્રવાહના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{I_{\max}}{\sqrt{n}} = I_{\max}(1 - e^{-Rt/L})$.
$I_{\max}$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{1}{\sqrt{n}} = 1 - e^{-Rt/L}$ મળે,અથવા $e^{-Rt/L} = 1 - \frac{1}{\sqrt{n}} = \frac{\sqrt{n}-1}{\sqrt{n}}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા: $-\frac{Rt}{L} = \ln \left(\frac{\sqrt{n}-1}{\sqrt{n}}\right)$.
$-1$ વડે ગુણીને ગોઠવતા: $\frac{Rt}{L} = -\ln \left(\frac{\sqrt{n}-1}{\sqrt{n}}\right) = \ln \left(\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}-1}\right)$.
તેથી,$t = \frac{L}{R} \ln \left(\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}-1}\right)$.

(C) ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ચુંબકીય ઉર્જા $U = \frac{1}{2} L i^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે $U_{max}$ એ મહત્તમ ઉર્જા છે,જે ત્યારે મળે છે જ્યારે પ્રવાહ તેના મહત્તમ મૂલ્ય $i_0$ સુધી પહોંચે છે. તેથી,$U_{max} = \frac{1}{2} L i_0^2$.
આપણને આપેલ છે કે ઉર્જા તેના મહત્તમ મૂલ્યના $25\%$ સુધી પહોંચે છે:
$U = 0.25 U_{max} = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} L i_0^2) = \frac{1}{2} L (\frac{i_0}{2})^2$.
આને $U = \frac{1}{2} L i^2$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે કે પ્રવાહ $i = \frac{i_0}{2}$ હોવો જોઈએ.
ચાર્જિંગ દરમિયાન $RL$ સર્કિટમાં પ્રવાહનું સમીકરણ $i = i_0 (1 - e^{-Rt/L})$ છે.
$i = \frac{i_0}{2}$ મૂકતા: $\frac{i_0}{2} = i_0 (1 - e^{-Rt/L})$.
$\frac{1}{2} = 1 - e^{-Rt/L} \Rightarrow e^{-Rt/L} = \frac{1}{2}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા: $-\frac{Rt}{L} = \ln(\frac{1}{2}) = -\ln 2$.
તેથી,$t = \frac{L}{R} \ln 2$.

(D) $t = 0$ સમયે,ઇન્ડક્ટર ઓપન સર્કિટ (અનંત અવરોધ) તરીકે વર્તે છે. સર્કિટ બે સમાંતર શાખાઓમાં સરળ બને છે: એક $(5 \Omega + 1 \Omega) = 6 \Omega$ અને બીજી $(5 \Omega + 4 \Omega) = 9 \Omega$ સાથે.
આ બે શાખાઓ સમાંતરમાં હોવાથી,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = (6 \times 9) / (6 + 9) = 54 / 15 = 18 / 5 \ \Omega$ થાય.
$t = 0$ સમયે પ્રવાહ $i$ એ $i_1 = E / R_{eq} = E / (18 / 5) = 5E / 18$ છે.
$t = \infty$ સમયે,ઇન્ડક્ટર શોર્ટ સર્કિટ (શૂન્ય અવરોધ) તરીકે વર્તે છે. સર્કિટ એક બ્રિજ જેવી રચના બને છે જ્યાં $5 \Omega$ અને $5 \Omega$ ના અવરોધો સમાંતરમાં છે,અને $1 \Omega$ અને $4 \Omega$ ના અવરોધો સમાંતરમાં છે.
સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = (5 \parallel 5) + (1 \parallel 4) = (2.5) + (4 / 5) = 2.5 + 0.8 = 3.3 \ \Omega = 33 / 10 \ \Omega$ થાય.
$t = \infty$ સમયે પ્રવાહ $i$ એ $i_2 = E / R_{eq} = E / (33 / 10) = 10E / 33$ છે.