Mix Examples-Electromagnetic Induction Questions in Hindi

(D) जैसे ही चालक तार $HE$ एक समान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में $V$ के स्थिर वेग से गति करता है,तार $HE$ के सिरों पर एक प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ उत्पन्न होता है,जो $E = B V L$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $L$ तार की लंबाई है।
परिपथ को एक कैपेसिटर $C$ और एक प्रतिरोधक $R$ के साथ समानांतर में जुड़ी $E$ $EMF$ वाली बैटरी के रूप में मॉडल किया जा सकता है।
चूंकि वेग $V$ स्थिर है और चुंबकीय क्षेत्र $B$ एक समान है,प्रेरित $EMF$ $E = B V L$ समय के साथ स्थिर रहता है।
एक स्थिर वोल्टेज स्रोत $E$ से जुड़े कैपेसिटर के लिए,कैपेसिटर पर आवेश $Q = C E$ होता है,जो स्थिर है।
कैपेसिटर शाखा से बहने वाली धारा $i_C = \frac{d Q}{d t}$ द्वारा दी जाती है। चूंकि $Q$ स्थिर है,इसलिए $\frac{d Q}{d t} = 0$ है।
अतः,कैपेसिटर वाली शाखा $HKDE$ में धारा शून्य है।

(A) समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (\text{भुजा})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (2)^2 = \sqrt{3} \, m^2$ है।
फैराडे के नियम के अनुसार,प्रेरित emf $\varepsilon = \left| \frac{d\phi}{dt} \right| = A \frac{dB}{dt} = \sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3 \, V$ है।
चूंकि त्रिभुज सममित है,प्रत्येक भुजा में प्रेरित emf $\varepsilon_{side} = \frac{\varepsilon}{3} = \frac{3}{3} = 1 \, V$ है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = 1 + 2 + 2 = 5 \, \Omega$ है।
लूप में प्रवाहित धारा $I = \frac{\varepsilon}{R_{total}} = \frac{3}{5} = 0.6 \, A$ है।
बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच विभवांतर $V_A - V_B = \varepsilon_{AB} - I \times R_{AB}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\varepsilon_{AB} = 1 \, V$ भुजा $AB$ में प्रेरित emf है और $R_{AB} = 1 \, \Omega$ है।
$V_A - V_B = 1 - (0.6 \times 1) = 0.4 \, V$.
अतः,विभवांतर का परिमाण $0.4 \, V$ है।

(A) $L-R$ परिपथ के लिए,किरचॉफ का वोल्टेज नियम इस प्रकार है:
$E = e + iR$
जहाँ $E$ बैटरी का स्थिर $e.m.f.$ है,$e$ प्रेरक के सिरों पर प्रेरित $e.m.f.$ का परिमाण है,और $i$ तात्कालिक धारा है।
समीकरण को $e$ के पदों में व्यवस्थित करने पर:
$e = -Ri + E$
यह समीकरण $y = mx + c$ के रूप में है,जो एक ऋणात्मक ढाल (negative slope) वाली सीधी रेखा को दर्शाता है।
यहाँ,ढाल $m = -R$ है और $y$-अंतःखंड $c = E$ है।
जैसे-जैसे धारा $i$,$0$ से $E/R$ तक बढ़ती है,प्रेरित $e.m.f.$ $e$,$E$ से $0$ तक रैखिक रूप से घटता है।
अतः,$e$ बनाम $i$ का ग्राफ एक ऋणात्मक ढाल वाली सीधी रेखा है,जो ग्राफ $A$ के अनुरूप है।

(C) दिया गया है: $E = 4 \, V$,$R = 1 \, \Omega$,$L = 1 \, H$,$C = 3 \, \mu F$,$\frac{dI}{dt} = 4 \, A/s$,और $I = 2 \, A$.
लूप के लिए किरचॉफ का वोल्टेज नियम $(KVL)$ लागू करने पर:
$E - IR - L\frac{dI}{dt} - \frac{q}{C} = 0$
दिए गए मान रखने पर:
$4 - (2 \times 1) - (1 \times 4) - \frac{q}{3 \times 10^{-6}} = 0$
$4 - 2 - 4 - \frac{q}{3 \times 10^{-6}} = 0$
$-2 - \frac{q}{3 \times 10^{-6}} = 0$
$\frac{q}{3 \times 10^{-6}} = -2$
$q = -6 \times 10^{-6} \, C = -6 \, \mu C$.
चूंकि आवेश का परिमाण पूछा गया है,इसलिए उत्तर $6 \, \mu C$ है।

(B) जब हम बिंदु $A$ से बिंदु $B$ की ओर धारा $I$ की दिशा में जाते हैं,तो हम किरचॉफ के वोल्टेज नियम $(KVL)$ का उपयोग करते हैं।
बिंदु $A$ पर विभव $V_A$ है। जैसे ही हम प्रतिरोध $R = 1 \ \Omega$ से गुजरते हैं,विभव में $I \times R$ की कमी होती है।
इसके बाद,हम $15 \ V$ की बैटरी से ऋण से धन टर्मिनल की ओर जाते हैं,इसलिए विभव में $15 \ V$ की वृद्धि होती है।
अंत में,हम प्रेरक $L = 5 \ mH = 5 \times 10^{-3} \ H$ से गुजरते हैं। प्रेरक पर प्रेरित $EMF$ $\varepsilon = -L \frac{dI}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि धारा घट रही है,इसलिए $\frac{dI}{dt} = -10^3 \ A \ s^{-1}$ है।
बिंदु $B$ पर विभव के लिए समीकरण:
$V_A - I \times R + 15 - L \frac{dI}{dt} = V_B$
दिए गए मानों को रखने पर ($I = 5 \ A$,$R = 1 \ \Omega$,$L = 5 \times 10^{-3} \ H$,$\frac{dI}{dt} = -10^3 \ A \ s^{-1}$):
$V_A - (5 \times 1) + 15 - (5 \times 10^{-3}) \times (-10^3) = V_B$
$V_A - 5 + 15 + 5 = V_B$
$V_A + 15 = V_B$
$V_B - V_A = 15 \ V$.

(A) तार से $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ प्राप्त करने के लिए एम्पीयर के नियम का उपयोग करते हुए:
$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I$
$B(2\pi r) = \mu_0 I \implies B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$
एक तार के कारण दोनों तारों के बीच $l$ लंबाई के आयताकार क्षेत्र ($r=a$ से $r=d-a$ तक) से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi$ है:
$\phi_1 = \int_a^{d-a} B \cdot l \cdot dr = \int_a^{d-a} \left( \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \right) l \cdot dr = \frac{\mu_0 I l}{2\pi} \ln \left( \frac{d-a}{a} \right)$
चूंकि धाराएं विपरीत दिशाओं में हैं,इसलिए दोनों तारों द्वारा उनके बीच के क्षेत्र में उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र एक ही दिशा में होते हैं। अतः,कुल फ्लक्स $\phi_{\text{total}}$ एक तार के कारण फ्लक्स का दोगुना होगा:
$\phi_{\text{total}} = 2 \phi_1 = \frac{\mu_0 I l}{\pi} \ln \left( \frac{d-a}{a} \right)$
प्रेरकत्व $L$ की परिभाषा के अनुसार $L = \frac{\phi_{\text{total}}}{I}$:
$L = \frac{\mu_0 l}{\pi} \ln \left( \frac{d-a}{a} \right)$

(C) मान लीजिए $I_1$ प्रेरक $L$ से प्रवाहित होने वाली धारा है और $I_2$ बीच की शाखा में प्रतिरोध $R$ से प्रवाहित होने वाली धारा है। धारा $I$ ऊपरी शाखा से प्रवाहित होती है जिसमें $2V$ की बैटरी है।
लूप $CDE$ (ऊपरी लूप) के लिए किरचॉफ का लूप नियम लागू करने पर:
$-2V + V + I_2 R = 0 \implies I_2 = \frac{V}{R} \dots(1)$
बाहरी लूप $ABCDE$ के लिए किरचॉफ का लूप नियम लागू करने पर:
$3V - I_1 R - L \frac{dI_1}{dt} - 2V = 0$
$L \frac{dI_1}{dt} + I_1 R = V$
यह एक मानक $LR$ परिपथ समीकरण है। $I_1$ के लिए समाधान है:
$I_1(t) = \frac{V}{R} (1 - e^{-Rt/L}) \dots(2)$
नोड $C$ पर किरचॉफ का जंक्शन नियम लागू करने पर:
$I_1 = I + I_2$
$I = I_1 - I_2 = \frac{V}{R} (1 - e^{-Rt/L}) - \frac{V}{R}$
$I = -\frac{V}{R} e^{-Rt/L}$

(C) बिंदु $A$ से $B$ तक किरचॉफ का वोल्टेज नियम लागू करने पर:
$V_A - I R - E - L \frac{dI}{dt} = V_B$
दिया गया है:
$I = 5 \ A$
$R = 1 \ \Omega$
$E = 15 \ V$
$L = 5 \ mH = 5 \times 10^{-3} \ H$
चूंकि धारा घट रही है,इसलिए $\frac{dI}{dt} = -10^3 \ A \ s^{-1}$ होगा।
मान रखने पर:
$V_A - (5 \times 1) - 15 - (5 \times 10^{-3}) \times (-10^3) = V_B$
$V_A - 5 - 15 + 5 = V_B$
$V_A - 15 = V_B$
$V_B - V_A = -15 \ V$

(B) हम जानते हैं कि चुंबकीय फ्लक्स $\phi$,धारा $I$ और प्रेरकत्व $L$ के साथ $\phi = L I$ समीकरण द्वारा संबंधित है।
फैराडे के प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित $emf$ को $\epsilon = -\frac{d\phi}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
ओम के नियम के अनुसार,धारा $I = \frac{\epsilon}{R}$ है,जहाँ $R$ प्रतिरोध है।
$\epsilon$ का मान रखने पर,हमें $I = \frac{1}{R} \frac{d\phi}{dt}$ प्राप्त होता है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,$I dt = \frac{d\phi}{R}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,हम पाते हैं कि $\frac{\phi}{R}$ अनुपात की विमा $\int I dt$ के समान है,जो कि विद्युत आवेश $(q = I \times t)$ की विमा है।
अतः,$\frac{\phi}{R}$ की विमा आवेश की विमा के बराबर है।

(B) फैराडे के प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\phi = B \cdot A$ चुंबकीय फ्लक्स है।
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र $B$ समान है और निरंतर दर से घट रहा है,फ्लक्स के परिवर्तन की दर $\frac{d\phi}{dt} = A \frac{dB}{dt}$ है।
प्रेरित धारा $I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{A}{R} \left| \frac{dB}{dt} \right|$ है,जहाँ $R$ तार के फ्रेम का प्रतिरोध है।
स्थिति $I$ में,लूप द्वारा घेरा गया कुल क्षेत्रफल $A_1 = L^2 + l^2$ है। तार की कुल लंबाई $P_1 = 4L + 4l$ है,इसलिए प्रतिरोध $R_1 = \rho \frac{P_1}{a} = \rho \frac{4(L+l)}{a}$ है (जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है और $a$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है)।
स्थिति $II$ में,लूप द्वारा घेरा गया कुल क्षेत्रफल $A_2 = L^2 - l^2$ है। तार की कुल लंबाई $P_2 = 4L + 4l$ है,इसलिए प्रतिरोध $R_2 = \rho \frac{4(L+l)}{a} = R_1$ है।
चूंकि $A_1 > A_2$ और $R_1 = R_2$,इसलिए $I_1 = \frac{A_1}{R_1} |\frac{dB}{dt}| > I_2 = \frac{A_2}{R_2} |\frac{dB}{dt}|$ प्राप्त होता है।
अतः,$I_1 > I_2$।

(D) लेंज के नियम के अनुसार,प्रेरित धारा उस दिशा में प्रवाहित होगी जो चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन का विरोध करती है।
चूंकि अंदर की ओर चुंबकीय क्षेत्र घट रहा है,इसलिए लूप से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स घट रहा है।
इस कमी का विरोध करने के लिए,प्रेरित चुंबकीय क्षेत्र मूल क्षेत्र (अंदर की ओर) की दिशा में होना चाहिए।
दाएं हाथ के अंगूठे के नियम के अनुसार,अंदर की ओर चुंबकीय क्षेत्र दक्षिणावर्त धारा द्वारा उत्पन्न होता है।
इसलिए,बाहरी लूप ($P$ युक्त) और आंतरिक लूप ($Q$ युक्त) दोनों में प्रेरित धारा दक्षिणावर्त होगी।
बिंदु $R$ पर,जो दो लूपों के बीच रेडियल कनेक्टर पर स्थित है,धारा एक बंद पथ में प्रवाहित होती है,और प्रेरित विद्युत क्षेत्र की समरूपता यह सुनिश्चित करती है कि शुद्ध धारा प्रवाह लूप में दक्षिणावर्त दिशा के अनुरूप है। अतः,दिए गए सभी कथन सही हैं।

(A) चुंबकीय क्षेत्र कागज के अंदर की ओर निर्देशित है और समय के साथ बढ़ रहा है। लेंज के नियम के अनुसार,प्रेरित धारा एक ऐसा चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करेगी जो इस वृद्धि का विरोध करे,जिसका अर्थ है कि प्रेरित चुंबकीय क्षेत्र कागज के बाहर की ओर निर्देशित होना चाहिए। इसके लिए दोनों लूप में प्रेरित धारा वामावर्त (anticlockwise) दिशा में होनी चाहिए।
बाएँ लूप के लिए,वामावर्त दिशा का अर्थ है कि धारा $B$ से $A$ की ओर बहती है।
दाएँ लूप के लिए,वामावर्त दिशा का अर्थ है कि धारा $D$ से $C$ की ओर बहती है।
चूंकि दाएँ लूप का क्षेत्रफल बाएँ लूप से बड़ा है,इसलिए प्रेरित विद्युत वाहक बल (emf) $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt} = -A \cdot \frac{dB}{dt}$ दाएँ लूप में अधिक होगा। परिणामस्वरूप,पूरे फ्रेम में शुद्ध धारा बड़े लूप द्वारा निर्धारित दिशा का पालन करेगी,जो तार $AB$ में $B$ से $A$ और तार $CD$ में $D$ से $C$ है।

(D) लेंज के नियम के अनुसार,प्रेरित धारा चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन का विरोध करती है।
विकल्प $(A)$ के लिए: यदि $I_2 = 0$ है और $P$,$Q$ की ओर गति करता है,तो $Q$ से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स बढ़ता है। इसका विरोध करने के लिए,$Q$ एक ऐसी धारा प्रेरित करेगा जो परिवर्तन का विरोध करने वाला चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करे। दाएं हाथ के नियम के अनुसार,$Q$ में प्रेरित धारा $I_1$ की विपरीत दिशा में होगी।
विकल्प $(B)$ के लिए: यदि $I_1 = 0$ है और $Q$,$P$ की ओर गति करता है,तो $P$ से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स बढ़ता है। इसका विरोध करने के लिए,$P$ एक ऐसी धारा प्रेरित करेगा जो परिवर्तन का विरोध करने वाला चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करे। $P$ में प्रेरित धारा $I_2$ की विपरीत दिशा में होगी।
विकल्प $(C)$ के लिए: विपरीत दिशाओं में धारा ले जाने वाले दो समानांतर धारा-वाही लूप एक-दूसरे को प्रतिकर्षित करते हैं। अतः,वे एक-दूसरे से दूर जाने की प्रवृत्ति रखते हैं।
चूंकि $(B)$ और $(C)$ दोनों सही हैं,इसलिए सही विकल्प $(D)$ है।

(D) किसी सतह से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi$,$\phi = \vec{B} \cdot \vec{A} = BA \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ और क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ के बीच का कोण है।
इस मामले में,रिंग $xy$ तल में स्थित है,इसलिए इसका क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$,$z$-अक्ष की दिशा में है। चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$,$x$-अक्ष की दिशा में है।
चूंकि $\vec{B}$,$x$-अक्ष पर है और $\vec{A}$,$z$-अक्ष पर है,इसलिए उनके बीच का कोण $\theta = 90^\circ$ है। अतः,चुंबकीय फ्लक्स $\phi = BA \cos(90^\circ) = 0$ है।
फैराडे के नियम के अनुसार,प्रेरित $emf$,$E = -\frac{d\phi}{dt}$ होता है।
यदि रिंग $x$,$y$ या $z$ अक्ष पर गति करती है,तो चुंबकीय क्षेत्र एकसमान रहता है और क्षेत्र के सापेक्ष रिंग का अभिविन्यास नहीं बदलता है। इस प्रकार,फ्लक्स हमेशा शून्य रहता है और $\frac{d\phi}{dt} = 0$ होता है।
परिणामस्वरूप,रिंग चाहे $x$,$y$ या $z$ अक्ष पर गति करे,उसमें कोई $emf$ प्रेरित नहीं होता है। इसलिए,दिए गए सभी विकल्प सही हैं।

(D) जब एक चालक रिंग एक समान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में अपनी परिधि पर स्थित बिंदु $O$ के परितः घूमती है,तो रिंग का प्रत्येक छोटा तत्व एक गतिज $EMF$ स्रोत के रूप में कार्य करता है। एक सिरे के परितः घूमने वाली $l$ लंबाई की छड़ में प्रेरित $EMF$ $\varepsilon = \frac{1}{2} B \omega l^2$ द्वारा दिया जाता है।
रिंग पर किसी भी बिंदु $P$ के लिए,वेग सदिश $\vec{v}$ धुरी $O$ से त्रिज्या सदिश $\vec{r}$ के लंबवत होता है। तत्व $dl$ में प्रेरित $EMF$ $d\varepsilon = (\vec{v} \times \vec{B}) \cdot d\vec{l}$ है।
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र एक समान है और रिंग एक बंद चालक लूप है,इसलिए पूरे बंद लूप के चारों ओर कुल $EMF$ $\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\frac{d\Phi}{dt}$ है।
चूंकि रिंग अपनी परिधि पर स्थित बिंदु के परितः घूमती है,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र के भीतर रिंग का क्षेत्रफल स्थिर रहता है,जिससे रिंग से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\Phi$ नहीं बदलता है।
इसलिए,$\frac{d\Phi}{dt} = 0$,जिसका अर्थ है कि बंद लूप में कुल प्रेरित $EMF$ शून्य है।
परिणामस्वरूप,रिंग से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।

(D) चित्र $(a)$ के लिए,$t = 0$ पर,संधारित्र अनावेशित होता है,इसलिए आवेश $0$ है। $t = 0$ के ठीक बाद,संधारित्र एक शॉर्ट सर्किट के रूप में कार्य करता है,इसलिए धारा $I = E/R$ है।
$t = 0$ के लंबे समय बाद $(t \to \infty)$,संधारित्र पूरी तरह से आवेशित हो जाता है और एक ओपन सर्किट के रूप में कार्य करता है। संधारित्र के सिरों पर विभवांतर बैटरी के $EMF$ $E$ के बराबर होता है। अतः,आवेश $q = EC$ होता है।
चित्र $(b)$ के लिए,$t = 0$ के लंबे समय बाद $(t \to \infty)$,प्रेरक एक शॉर्ट सर्किट के रूप में कार्य करता है (शून्य प्रतिरोध वाला आदर्श प्रेरक)। परिपथ में धारा प्रतिरोध $R$ द्वारा निर्धारित होती है। अतः,$I = E/R$ होता है।
इसलिए,कथन $(B)$ और $(C)$ दोनों सही हैं।

(C) जब स्विच $S$ बंद होता है,तो परिपथ में धारा प्रवाहित होती है और इंडक्टर में चुंबकीय क्षेत्र के रूप में ऊर्जा संचित हो जाती है। इंडक्टर से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\phi = LI$ द्वारा दिया जाता है।
जब स्विच $S$ खोला जाता है,तो परिपथ में धारा लगभग तुरंत शून्य हो जाती है। चूंकि इंडक्टर अपने माध्यम से बहने वाली धारा में किसी भी परिवर्तन का विरोध करता है,इसलिए यह $\varepsilon = -L(dI/dt)$ के अनुसार एक बड़ा बैक emf प्रेरित करता है।
चूंकि धारा को शून्य होने में लगा समय अंतराल $dt$ अत्यंत कम होता है,इसलिए धारा के परिवर्तन की दर $(dI/dt)$ बहुत अधिक होती है,जिससे बहुत उच्च प्रेरित emf उत्पन्न होता है।
यह उच्च प्रेरित emf इंडक्टर से जुड़े चुंबकीय फ्लक्स में तीव्र परिवर्तन का कारण बनता है,जो स्विच के संपर्कों के बीच की हवा को आयनित कर देता है,जिसके परिणामस्वरूप चिंगारी उत्पन्न होती है।

(C) फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $\varepsilon = \frac{d\phi}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
साथ ही,ओम के नियम के अनुसार,$\varepsilon = iR$,जहाँ $i$ प्रेरित धारा है और $R$ कुंडली का प्रतिरोध है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर,हमें $iR = \frac{d\phi}{dt}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $d\phi = R \cdot i \cdot dt$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,चुंबकीय फ्लक्स में कुल परिवर्तन $\Delta\phi = R \int i \, dt$ द्वारा प्राप्त होता है।
समाकलन $\int i \, dt$ धारा-समय ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल को दर्शाता है।
दिए गए ग्राफ से,क्षेत्रफल एक समकोण त्रिभुज है जिसका आधार $= 0.5 \, s$ और ऊँचाई $= 10 \, A$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times 0.5 \times 10 = 2.5 \, C$।
अतः,फ्लक्स में परिवर्तन का परिमाण $\Delta\phi = R \times \text{क्षेत्रफल} = 100 \, \Omega \times 2.5 \, C = 250 \, Wb$ है।

(B) स्थिर अवस्था में,इंडक्टर आदर्श तारों (शून्य प्रतिरोध) के रूप में कार्य करते हैं। परिपथ से बहने वाली कुल धारा $I = \frac{V}{R} = \frac{10\,V}{10\,\Omega} = 1\,A$ है।
चूंकि इंडक्टर समानांतर में हैं,स्थिर अवस्था में प्रत्येक पर वोल्टेज $0\,V$ होता है। कुल धारा $I = 1\,A$ इंडक्टरों से होकर बहती है। धारा प्रेरकत्व के व्युत्क्रमानुपाती विभाजित होती है: $I_1 = I \times \frac{L_2}{L_1+L_2} = 1 \times \frac{6}{3+6} = \frac{2}{3}\,A$ और $I_2 = I \times \frac{L_1}{L_1+L_2} = 1 \times \frac{3}{3+6} = \frac{1}{3}\,A$.
संचित कुल ऊर्जा $U = \frac{1}{2} L_1 I_1^2 + \frac{1}{2} L_2 I_2^2 = \frac{1}{2} \times 3 \times (\frac{2}{3})^2 + \frac{1}{2} \times 6 \times (\frac{1}{3})^2 = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1\,J$.
प्रतिरोध में उत्पन्न ऊष्मा $H = I^2 R t = (1)^2 \times 10 \times 10 = 100\,J$.
अनुपात = $\frac{U}{H} = \frac{1}{100}$.

(C) इंडक्शन कुंडली में प्रेरित $emf$ $(e)$ सूत्र $e = -L \frac{di}{dt}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $L$ कुंडली का स्व-प्रेरकत्व है।
$1$. $0 < t < t_1$ के लिए,धारा $i$ स्थिर है,इसलिए $\frac{di}{dt} = 0$ है। अतः,$e = 0$ है।
$2$. $t_1 < t < t_2$ के लिए,धारा $i$ समय के साथ रैखिक रूप से घटती है। इसलिए,$\frac{di}{dt}$ एक ऋणात्मक स्थिरांक है। चूँकि $e = -L \frac{di}{dt}$ है,इसलिए प्रेरित $emf$ $e$ एक धनात्मक स्थिरांक होगा।
$3$. $t_2 < t < t_3$ के लिए,धारा $i$ समय के साथ रैखिक रूप से बढ़ती है। इसलिए,$\frac{di}{dt}$ एक धनात्मक स्थिरांक है। चूँकि $e = -L \frac{di}{dt}$ है,इसलिए प्रेरित $emf$ $e$ एक ऋणात्मक स्थिरांक होगा।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,जो ग्राफ शुरुआत में शून्य $emf$,उसके बाद स्थिर धनात्मक $emf$ और फिर स्थिर ऋणात्मक $emf$ दिखाता है,वही सही निरूपण है।

(A) फैराडे के नियम के अनुसार,प्रेरित इलेक्ट्रोमोटिव बल $(EMF)$ $\varepsilon = -\frac{d\Phi_B}{dt} = -A \frac{dB}{dt}$ है। चूंकि चुंबकीय क्षेत्र के परिवर्तन की दर $\frac{dB}{dt}$ सभी सर्किट के लिए समान है,इसलिए प्रेरित $EMF$ केवल सर्किट लूप द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल $A$ पर निर्भर करता है।
सर्किट $C_1$ में,लूप पूरे चुंबकीय क्षेत्र क्षेत्र को घेरता है,इसलिए क्षेत्रफल $A$ अधिकतम है। प्रेरित $EMF$ $\varepsilon$ दोनों बल्बों $R_1$ और $R_2$ के माध्यम से श्रृंखला में धारा प्रवाहित करता है। $R_1$ पर वोल्टेज $V_1 = I R_1 = \frac{\varepsilon}{R_1 + R_2} R_1$ है।
सर्किट $C_2$ में,शॉर्टिंग तार बल्ब $R_2$ को बायपास करता है,जिससे एक छोटा लूप बनता है जो चुंबकीय क्षेत्र के केवल एक हिस्से को घेरता है। क्षेत्रफल $A$ छोटा है,इसलिए $\varepsilon$ छोटा है। हालांकि,धारा अब केवल $R_1$ से होकर बहती है,इसलिए $V_1 = \varepsilon$।
सर्किट $C_3$ में,शॉर्टिंग तार $R_1$ को बायपास करता है,जिसका अर्थ है कि धारा $R_1$ के बजाय शॉर्टिंग तार के माध्यम से बहती है। इस प्रकार,$R_1$ पर वोल्टेज शून्य है,जिससे यह सबसे कम चमकीला हो जाता है।
$R_1$ पर वोल्टेज की तुलना करने पर,$C_1$ सबसे बड़ा $EMF$ प्रदान करता है और इसे वितरित करता है,जबकि $C_2$ एक छोटा $EMF$ प्रदान करता है लेकिन इसे पूरी तरह से $R_1$ पर लागू करता है। सही क्रम $C_1 > C_2 > C_3$ है,लेकिन दिए गए विकल्पों के अनुसार $C_1 > C_3 > C_2$ को चुना जाता है।

(C) दिया गया है: $\frac{dI_1}{dt} = \frac{dI_2}{dt} = k$ (स्थिर दर)।
शक्ति $P = eI = (L \frac{dI}{dt})I$।
दिया गया है $P_1 = 4P_2$,इसलिए $L_1 \frac{dI_1}{dt} I_1 = 4 L_2 \frac{dI_2}{dt} I_2$।
चूंकि $\frac{dI_1}{dt} = \frac{dI_2}{dt}$,इसलिए $L_1 I_1 = 4 L_2 I_2$।
$L_1 = 4 \ mH$ और $L_2 = 2 \ mH$ रखने पर: $4 I_1 = 4(2) I_2 \implies I_1 = 2 I_2 \implies \frac{I_1}{I_2} = 2$।
विभवांतर $e = L \frac{dI}{dt}$,इसलिए $\frac{e_1}{e_2} = \frac{L_1}{L_2} = \frac{4}{2} = 2$।
संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} L I^2$,इसलिए $\frac{U_1}{U_2} = \frac{L_1 I_1^2}{L_2 I_2^2} = \left( \frac{L_1}{L_2} \right) \left( \frac{I_1}{I_2} \right)^2 = (2) (2)^2 = 8$।
विकल्पों की जाँच करने पर: विकल्प $C$ के लिए,$\frac{U_1}{U_2} = 8$,$2 \left( \frac{I_1}{I_2} \right) = 2(2) = 4$,और $\left( \frac{e_1}{e_2} \right)^3 = 2^3 = 8$।

(B) एक प्रेरक (inductor) में प्रेरित विद्युत वाहक बल $(emf)$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $emf = L \frac{di}{dt}$,जहाँ $L$ इंडक्टेंस है और $\frac{di}{dt}$ धारा के परिवर्तन की दर है।
धारा $i$ बनाम समय $t$ के दिए गए ग्राफ से,हम देखते हैं कि धारा पहले समय अंतराल के लिए एक स्थिर धनात्मक ढलान के साथ रैखिक रूप से बढ़ती है,और फिर दूसरे समय अंतराल के लिए एक स्थिर ऋणात्मक ढलान के साथ रैखिक रूप से घटती है।
चूँकि $L$ स्थिर है,इसलिए $emf$ ढलान $\frac{di}{dt}$ के समानुपाती होगा।
$1$. पहले अंतराल के लिए,ढलान धनात्मक और स्थिर है,इसलिए $emf$ एक स्थिर धनात्मक मान है।
$2$. दूसरे अंतराल के लिए,ढलान ऋणात्मक और स्थिर है,इसलिए $emf$ एक स्थिर ऋणात्मक मान है।
इसलिए,वोल्टेज $V$ बनाम समय $t$ का प्लॉट एक स्थिर धनात्मक मान और उसके बाद एक स्थिर ऋणात्मक मान दिखाएगा। यह विकल्प $B$ में दिखाए गए ग्राफ के अनुरूप है।

(A) धात्विक रिंग में एक छोटा सा कट है,जो रिंग की विद्युत निरंतरता को तोड़ देता है।
इस कट के कारण,कोई भी प्रेरित इलेक्ट्रोमोटिव बल $(EMF)$ रिंग में विद्युत धारा प्रवाहित नहीं कर सकता है।
चूंकि कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है,इसलिए गिरते हुए चुंबक के साथ परस्पर क्रिया करने के लिए रिंग द्वारा कोई चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न नहीं होता है।
इसलिए,चुंबक पर कार्य करने वाला एकमात्र बल गुरुत्वाकर्षण बल है।
परिणामस्वरूप,चुंबक का त्वरण अपनी गति के दौरान हमेशा गुरुत्वीय त्वरण $g$ के बराबर रहता है।

(A) प्रेरक में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} LI^2$ द्वारा दी जाती है।
ऊर्जा संचित होने की दर शक्ति $P = \frac{dU}{dt} = LI \left( \frac{dI}{dt} \right)$ है।
$LR$ परिपथ के लिए,समय $t$ पर धारा $I(t) = I_0 (1 - e^{-Rt/L})$ है,जहाँ $I_0 = \frac{E}{R}$ अधिकतम धारा है।
धारा के परिवर्तन की दर $\frac{dI}{dt} = \frac{I_0 R}{L} e^{-Rt/L}$ है।
इन मानों को शक्ति के समीकरण में रखने पर:
$P = L \left[ I_0 (1 - e^{-Rt/L}) \right] \left[ \frac{I_0 R}{L} e^{-Rt/L} \right] = I_0^2 R (e^{-Rt/L} - e^{-2Rt/L})$.
$t = 0$ पर,$I = 0$,इसलिए $P = 0$ है।
जैसे-जैसे $t \to \infty$,$\frac{dI}{dt} \to 0$,इसलिए $P \to 0$ है।
चूंकि दर $t = 0$ और $t = \infty$ दोनों पर शून्य है और बीच में धनात्मक है,इसलिए वक्र शून्य से शुरू होकर अधिकतम तक बढ़ेगा और वापस शून्य पर आ जाएगा।

(C) दिया गया है: धारा $i = 5 \, A$,धारा के परिवर्तन की दर $\frac{di}{dt} = -10^3 \, A/s$ (क्योंकि यह घट रही है),प्रतिरोध $R = 1 \, \Omega$,बैटरी $E = 15 \, V$,और प्रेरकत्व $L = 5 \, mH = 5 \times 10^{-3} \, H$ है।
प्रेरक के सिरों पर विभवांतर $V_L = L \frac{di}{dt} = (5 \times 10^{-3} \, H) \times (-10^3 \, A/s) = -5 \, V$ है।
बिंदु $A$ से $B$ तक किरचॉफ का वोल्टेज नियम लागू करने पर:
$V_A - iR - E - V_L = V_B$
$V_A - (5 \, A \times 1 \, \Omega) - 15 \, V - (-5 \, V) = V_B$
$V_A - 5 - 15 + 5 = V_B$
$V_A - 15 = V_B$
$V_A - V_B = 15 \, V$.

(D) कुंडली में प्रेरित $emf$ $(e)$ का सूत्र है: $e = -L \frac{di}{dt}$, जहाँ $L$ कुंडली का स्व-प्रेरकत्व (self-inductance) है और $\frac{di}{dt}$ धारा के परिवर्तन की दर है।
$1$. ग्राफ के पहले भाग के लिए ($t=0$ से कुछ समय $t_1$ तक), धारा $i$ समय के साथ रैखिक रूप से घट रही है। अतः, ढाल (slope) $\frac{di}{dt}$ ऋणात्मक और स्थिर है। परिणामस्वरूप, $e = -L \times (\text{ऋणात्मक स्थिरांक}) = \text{धनात्मक स्थिरांक}$.
$2$. ग्राफ के दूसरे भाग के लिए ($t_1$ से $t_2$ तक), धारा $i$ समय के साथ रैखिक रूप से बढ़ रही है। अतः, ढाल $\frac{di}{dt}$ धनात्मक और स्थिर है। परिणामस्वरूप, $e = -L \times (\text{धनात्मक स्थिरांक}) = \text{ऋणात्मक स्थिरांक}$.
$3$. दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर, जो ग्राफ पहले धनात्मक स्थिर $emf$ और उसके बाद ऋणात्मक स्थिर $emf$ दर्शाता है, वह ग्राफ $D$ है।

(C) $1$. जब स्विच बंद किया जाता है,तो मुख्य परिपथ में धारा $0$ से बढ़कर एक स्थिर मान तक पहुँचती है। यह वर्गाकार लूप से गुजरने वाले चुंबकीय फ्लक्स में वृद्धि करता है जो पृष्ठ के अंदर की दिशा में होता है।
$2$. लेंज के नियम के अनुसार,वर्गाकार लूप में प्रेरित धारा इस फ्लक्स वृद्धि का विरोध करेगी और पृष्ठ के बाहर की दिशा में चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करेगी। इसके लिए एक वामावर्त (anti-clockwise) धारा पल्स की आवश्यकता होती है।
$3$. जब स्विच खोला जाता है,तो मुख्य परिपथ में धारा अपने स्थिर मान से घटकर $0$ हो जाती है। यह वर्गाकार लूप से गुजरने वाले चुंबकीय फ्लक्स में कमी करता है जो पृष्ठ के अंदर की दिशा में होता है।
$4$. लेंज के नियम के अनुसार,वर्गाकार लूप में प्रेरित धारा इस फ्लक्स कमी का विरोध करेगी और पृष्ठ के अंदर की दिशा में चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करेगी। इसके लिए एक दक्षिणावर्त (clockwise) धारा पल्स की आवश्यकता होती है।
$5$. अतः,लूप पहले एक वामावर्त धारा पल्स और उसके बाद एक दक्षिणावर्त धारा पल्स प्रदर्शित करता है।

(D) कुंडली में प्रेरित $emf$ $(\varepsilon)$ का सूत्र $\varepsilon = -L \frac{di}{dt}$ है, जहाँ $L$ कुंडली का स्व-प्रेरकत्व है और $\frac{di}{dt}$ धारा के परिवर्तन की दर है।
$1$. अंतराल $0 < t < \frac{T}{4}$ के लिए, धारा $i$ समय के साथ रैखिक रूप से बढ़ती है, इसलिए $\frac{di}{dt}$ एक धनात्मक स्थिरांक है। अतः, $\varepsilon = -L(\text{धनात्मक स्थिरांक})$, जो एक ऋणात्मक स्थिरांक है।
$2$. अंतराल $\frac{T}{4} < t < \frac{T}{2}$ के लिए, धारा $i$ स्थिर है, इसलिए $\frac{di}{dt} = 0$ है। अतः, $\varepsilon = 0$ है।
$3$. अंतराल $\frac{T}{2} < t < \frac{3T}{4}$ के लिए, धारा $i$ समय के साथ रैखिक रूप से घटती है, इसलिए $\frac{di}{dt}$ एक ऋणात्मक स्थिरांक है। अतः, $\varepsilon = -L(\text{ऋणात्मक स्थिरांक})$, जो एक धनात्मक स्थिरांक है।
दिए गए ग्राफों के साथ तुलना करने पर, विकल्प $D$ में दिया गया ग्राफ $0 < t < \frac{T}{4}$ के लिए ऋणात्मक स्थिर $emf$, $\frac{T}{4} < t < \frac{T}{2}$ के लिए शून्य $emf$ और $\frac{T}{2} < t < \frac{3T}{4}$ के लिए धनात्मक स्थिर $emf$ को सही ढंग से दर्शाता है।

(D) एक कुंडली में प्रेरित $emf$ $e$ का सूत्र $e = -L \frac{di}{dt}$ है, जहाँ $L$ कुंडली का स्व-प्रेरकत्व है और $\frac{di}{dt}$ धारा के परिवर्तन की दर है。
$1$. ग्राफ के पहले भाग में, धारा $I$ समय के साथ रैखिक रूप से घटती है, इसलिए ढाल $\frac{di}{dt}$ एक ऋणात्मक स्थिरांक है। अतः, $e = -L \times (\text{ऋणात्मक स्थिरांक}) = \text{धनात्मक स्थिरांक}$.
$2$. ग्राफ के दूसरे भाग में, धारा $I$ समय के साथ रैखिक रूप से बढ़ती है, इसलिए ढाल $\frac{di}{dt}$ एक धनात्मक स्थिरांक है। अतः, $e = -L \times (\text{धनात्मक स्थिरांक}) = \text{ऋणात्मक स्थिरांक}$.
इस प्रकार, प्रेरित $emf$ ग्राफ पहले अंतराल के लिए एक धनात्मक स्थिर मान और दूसरे अंतराल के लिए एक ऋणात्मक स्थिर मान दिखाएगा। यह विकल्प $D$ में दिखाए गए ग्राफ के अनुरूप है。

(A) जब कनेक्टर $v$ वेग के साथ गति करता है,तो प्रेरित गतिकीय $EMF$ $\varepsilon = Blv$ होता है। यह $EMF$ प्रेरक $L$ के माध्यम से धारा $I$ प्रवाहित करता है,जो $\varepsilon = L \frac{dI}{dt}$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए $L \frac{dI}{dt} = Blv$। कनेक्टर पर चुंबकीय बल $F = -IlB$ है,जो मंदन उत्पन्न करता है: $m \frac{dv}{dt} = -IlB$। पहले समीकरण से $I$ का मान रखने पर,हमें $m \frac{dv}{dt} = -\frac{B^2 l^2}{L} \int v dt$ प्राप्त होता है। $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $m \frac{d^2v}{dt^2} = -\frac{B^2 l^2}{L} v$ मिलता है। यह सरल आवर्त गति का समीकरण है,लेकिन जैसे-जैसे वेग $v$ घटता है और धारा बढ़ती है,कनेक्टर अंततः रुक जाता है। विस्थापन $x(t)$ को $x(t) = \frac{mv_0}{\omega L} (1 - \cos(\omega t))$ द्वारा दिया जाता है। इस भौतिक व्यवस्था में,कनेक्टर गति करता है और अंततः अधिकतम विस्थापन पर रुक जाता है। विस्थापन $x$ बनाम समय $t$ का ग्राफ मूल बिंदु से शुरू होता है,बढ़ता है और $t \to \infty$ होने पर एक स्थिर मान के करीब पहुंचता है।

(D) परिनालिका के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_0 n I(t)$ है।
त्रिज्या $2R$ की बाहरी कुंडली से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi$ केवल परिनालिका के अंदर के चुंबकीय क्षेत्र के कारण है (क्योंकि एक आदर्श परिनालिका के बाहर क्षेत्र शून्य होता है)। अतः,$\phi = B \cdot A = (\mu_0 n I(t))(\pi R^2)$।
फैराडे के नियम के अनुसार प्रेरित $EMF$ $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt} = -\mu_0 n \pi R^2 \frac{dI}{dt}$ है।
दिया गया है $I(t) = kt e^{-\alpha t}$,इसलिए $\frac{dI}{dt} = k(e^{-\alpha t} + t(-\alpha)e^{-\alpha t}) = k e^{-\alpha t}(1 - \alpha t)$।
अतः,$\varepsilon = -\mu_0 n \pi R^2 k e^{-\alpha t}(1 - \alpha t)$।
$t = 0$ पर,$\varepsilon = -\mu_0 n \pi R^2 k(1) = -\text{स्थिरांक}$। प्रेरित धारा $i_{ind} = \frac{\varepsilon}{R_{coil}}$ होने के कारण,$t = 0$ पर धारा ऋणात्मक है।
जैसे-जैसे $t$ बढ़ता है,$(1 - \alpha t)$ पद $t = 1/\alpha$ पर शून्य हो जाता है,जिसका अर्थ है कि प्रेरित धारा शून्य अक्ष को पार करती है।
$t > 1/\alpha$ के लिए,$(1 - \alpha t)$ पद ऋणात्मक हो जाता है,जिससे प्रेरित धारा धनात्मक हो जाती है।
यह व्यवहार उस ग्राफ के अनुरूप है जो ऋणात्मक मान से शुरू होता है,$t = 1/\alpha$ पर $t$-अक्ष को पार करता है,एक धनात्मक शिखर तक पहुँचता है,और फिर $t \to \infty$ होने पर शून्य की ओर घटता है।

(C) $P$ और $O$ के बीच जुड़ा प्रतिरोधक नेटवर्क एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज बनाता है। प्रत्येक $3\,\Omega$ के चार प्रतिरोधक ब्रिज की भुजाएँ बनाते हैं और बीच में $3\,\Omega$ का प्रतिरोधक है। चूंकि ब्रिज संतुलित है,इसलिए मध्य प्रतिरोधक से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
नेटवर्क का तुल्य प्रतिरोध दो शाखाओं का समानांतर संयोजन है,जिनमें से प्रत्येक में श्रेणीक्रम में दो $3\,\Omega$ के प्रतिरोधक हैं। अतः,$R_{eq} = \frac{(3+3) \times (3+3)}{(3+3) + (3+3)} = \frac{6 \times 6}{12} = 3\,\Omega$.
गतिमान लूप में प्रेरित विद्युत वाहक बल (emf) $\varepsilon = B l v_0$ द्वारा दिया जाता है।
परिपथ के लिए ओम के नियम का उपयोग करते हुए,$I = \frac{\varepsilon}{R_{eq} + R_{loop}}$,जहाँ $R_{loop} = 1\,\Omega$ वर्गाकार लूप का प्रतिरोध है।
मान रखने पर: $10^{-3}\, A = \frac{2\, T \times 0.1\, m \times v_0}{3\,\Omega + 1\,\Omega}$.
$10^{-3} = \frac{0.2 \times v_0}{4} \Rightarrow 10^{-3} = 0.05 \times v_0$.
$v_0 = \frac{10^{-3}}{0.05} = 2 \times 10^{-2}\, m/s$.
लेंज़ के नियम के अनुसार,जैसे-जैसे लूप चुंबकीय क्षेत्र से बाहर निकलता है,लूप से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स कम हो जाता है। इस कमी का विरोध करने के लिए,प्रेरित धारा उस दिशा में प्रवाहित होगी जो पृष्ठ के अंदर की ओर चुंबकीय फ्लक्स उत्पन्न करे,जो कि दक्षिणावर्त दिशा है।

(A) जब परिपथ टूटता है,तो स्पार्किंग को रोकने के लिए प्रेरक में संचित ऊर्जा संधारित्र में स्थानांतरित हो जाती है।
प्रेरक में संचित ऊर्जा $U_L = \frac{1}{2} L i^2$ है।
संधारित्र में संचित ऊर्जा $U_C = \frac{1}{2} C V^2$ है।
दोनों ऊर्जाओं को बराबर करने पर: $\frac{1}{2} C V^2 = \frac{1}{2} L i^2$.
$V^2$ के लिए हल करने पर: $V^2 = \frac{L i^2}{C}$.
दिए गए मानों को रखने पर: $V^2 = \frac{2 \times 2^2}{4 \times 10^{-6}} = \frac{8}{4 \times 10^{-6}} = 2 \times 10^6$.
वर्गमूल लेने पर: $V = \sqrt{2} \times 10^3 \,V \approx 1.414 \times 10^3 \,V$.
अतः,वोल्टेज रेटिंग $10^3\,V$ की कोटि की है।

(B) कुंडली से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi$, $\phi = B \cdot A = B \cdot \pi r^2$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $B$ एक समान चुंबकीय क्षेत्र है और $r$ कुंडली की त्रिज्या है।
प्रेरित $emf$ फैराडे के नियम द्वारा दिया जाता है: $|e| = |\frac{d\phi}{dt}| = |\frac{d}{dt}(B \pi r^2)| = 2 \pi B r |\frac{dr}{dt}|$.
$1$. $r-t$ ग्राफ से, पहले अंतराल के लिए (स्थिर $r$), $\frac{dr}{dt} = 0$, इसलिए $|e| = 0$ है।
$2$. दूसरे अंतराल के लिए, $r$ समय के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है, इसलिए $\frac{dr}{dt} = \text{स्थिरांक} = k$ है। इस प्रकार, $|e| = 2 \pi B r k$ है। चूंकि $r$ समय के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है, इसलिए $|e|$ भी समय के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है।
$3$. तीसरे अंतराल के लिए (स्थिर $r$), $\frac{dr}{dt} = 0$, इसलिए $|e| = 0$ है।
इसलिए, $|e|$ बनाम $t$ का ग्राफ पहले और तीसरे अंतराल के लिए शून्य और दूसरे अंतराल के लिए रैखिक वृद्धि दिखाना चाहिए। यह विकल्प $B$ में दिए गए ग्राफ के अनुरूप है।

(D) गतिमान चालक में प्रेरित $emf$ का सूत्र $\varepsilon = Blv$ है।
यहाँ,$B = 0.6 \ T$,$l = 5 \ cm = 0.05 \ m$,और $v = 1 \ cm/s = 0.01 \ m/s$ है।
अतः,$\varepsilon = 0.6 \times 0.05 \times 0.01 = 3 \times 10^{-4} \ V$ है।
$1$. $t = 0$ से $t = 5 \ s$ तक,लूप चुंबकीय क्षेत्र में प्रवेश करता है। अगला किनारा क्षेत्र में है,इसलिए $emf$ प्रेरित होता है।
$2$. $t = 5 \ s$ से $t = 20 \ s$ तक,पूरा लूप चुंबकीय क्षेत्र के अंदर है। लूप से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स स्थिर है,इसलिए प्रेरित $emf$ शून्य है।
$3$. $t = 20 \ s$ से $t = 25 \ s$ तक,लूप चुंबकीय क्षेत्र से बाहर निकलता है। पिछला किनारा क्षेत्र में है,जिससे विपरीत दिशा में $emf$ प्रेरित होता है।
इसलिए,ग्राफ $0 < t < 5$ के लिए स्थिर $emf$,$5 < t < 20$ के लिए शून्य $emf$,और $20 < t < 25$ के लिए विपरीत दिशा में स्थिर $emf$ दिखाता है। यह ग्राफ $D$ से मेल खाता है।

(D) दिया गया है कि चुंबकीय क्षेत्र $B = 0.01 - 2t \, Tesla$ है।
चुंबकीय क्षेत्र के परिवर्तन की दर $\frac{dB}{dt} = -2 \, Tesla/s$ है।
चुंबकीय क्षेत्र के अंदर लूप का क्षेत्रफल $A_{eff} = \frac{1}{2} \times (1 \, m)^2 = 0.5 \, m^2$ है।
प्रेरित $emf$ $(e)$ फैराडे के प्रेरण के नियम द्वारा दिया जाता है: $e = -\frac{d\phi}{dt} = -\frac{d}{dt}(B \cdot A_{eff})$।
$e = -A_{eff} \cdot \frac{dB}{dt} = -(0.5 \, m^2) \times (-2 \, Tesla/s) = 1 \, V$।
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र घट रहा है,प्रेरित $emf$ उस दिशा में कार्य करता है जो परिवर्तन का विरोध करता है। लेंज के नियम के अनुसार,प्रेरित $emf$ मुख्य बैटरी के $10 \, V$ के $emf$ का विरोध करेगा।
इसलिए,परिणामी $emf = 10 \, V - 1 \, V = 9 \, V$ होगा।

(C) कुंडली से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \cdot A = B \pi r^2$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $B$ एक समान चुंबकीय क्षेत्र है और $r$ कुंडली की त्रिज्या है।
फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार, प्रेरित $emf$ का परिमाण $|e| = |\frac{d\phi}{dt}| = |\frac{d}{dt}(B \pi r^2)| = 2 \pi B r \frac{dr}{dt}$ है।
दिए गए $r-t$ ग्राफ से:
$1$. $0 < t < 1$ के लिए, त्रिज्या $r$ स्थिर है, इसलिए $\frac{dr}{dt} = 0$, जिसका अर्थ है कि $|e| = 0$ है।
$2$. $1 < t < 2$ के लिए, त्रिज्या $r$ समय के साथ रैखिक रूप से बढ़ती है, इसलिए $\frac{dr}{dt} = \text{स्थिरांक} = k$ है। इस प्रकार, $|e| = 2 \pi B r k$ है। चूँकि $r$ समय के साथ रैखिक रूप से बढ़ रहा है $(r = mt + c)$, इसलिए प्रेरित $emf$ $|e|$ भी समय के साथ रैखिक रूप से बढ़ेगा।
$3$. $t > 2$ के लिए, त्रिज्या $r$ स्थिर है, इसलिए $\frac{dr}{dt} = 0$, जिसका अर्थ है कि $|e| = 0$ है।
इसलिए, प्रेरित $emf$ बनाम समय का ग्राफ $t < 1$ और $t > 2$ के लिए शून्य $emf$ दिखाना चाहिए, और $1 < t < 2$ के लिए रैखिक रूप से बढ़ता हुआ $emf$ दिखाना चाहिए। यह विकल्प $C$ में दिखाए गए ग्राफ के अनुरूप है।

(C) द्वितीयक कुंडली $S$ में प्रेरित emf $e$ फैराडे के प्रेरण के नियम द्वारा दिया जाता है: $e = -M \frac{di}{dt}$,जहाँ $M$ दोनों कुंडलियों के बीच अन्योन्य प्रेरण (mutual inductance) है और $\frac{di}{dt}$ प्राथमिक कुंडली $P$ में धारा के परिवर्तन की दर है।
दिए गए $i-t$ ग्राफ से,पहले आधे समय में धारा समय के साथ रैखिक रूप से बढ़ती है,इसलिए ढाल (slope) $\frac{di}{dt}$ एक धनात्मक स्थिरांक है। परिणामस्वरूप,प्रेरित emf $e$ एक ऋणात्मक स्थिर मान होगा।
दूसरे आधे समय में,धारा समय के साथ रैखिक रूप से घटती है,इसलिए ढाल $\frac{di}{dt}$ एक ऋणात्मक स्थिरांक है। परिणामस्वरूप,प्रेरित emf $e$ एक धनात्मक स्थिर मान होगा।
इसलिए,प्रेरित emf $e$ बनाम समय $t$ का ग्राफ पहले अंतराल के लिए एक ऋणात्मक स्थिर मान और दूसरे अंतराल के लिए एक धनात्मक स्थिर मान दिखाना चाहिए। यह विकल्प $(C)$ में दिखाए गए ग्राफ के अनुरूप है।

(B) कथन सही है क्योंकि एक सुपरकंडक्टर का विद्युत प्रतिरोध उसके क्रांतिक तापमान से नीचे शून्य होता है। ओम के नियम के अनुसार,$V = IR$। चूँकि $R = 0$ है,इसलिए बाहरी शक्ति स्रोत को हटा देने पर भी धारा $I$ बिना किसी ऊर्जा हानि के अनिश्चित काल तक प्रवाहित हो सकती है।
कारण भी सही है। माइसनर प्रभाव सुपरकंडक्टर का एक विशिष्ट गुण है,जिसमें जब उन्हें क्रांतिक तापमान से नीचे ठंडा किया जाता है,तो वे अपने आंतरिक भाग से चुंबकीय क्षेत्र को बाहर निकाल देते हैं $(B = 0)$।
हालाँकि,माइसनर प्रभाव चुंबकीय फ्लक्स के निष्कासन का वर्णन करता है,न कि शून्य प्रतिरोध के कारण धारा के बने रहने का। इसलिए,कारण कथन की सही व्याख्या नहीं है।

(N/A) नहीं। एक बंद लूप में धारा तभी प्रेरित हो सकती है जब लूप से जुड़ा चुम्बकीय फ्लक्स समय के साथ बदलता है। चूंकि लूप और चुम्बक दोनों स्थिर हैं,इसलिए चुम्बकीय फ्लक्स स्थिर रहता है,और इसलिए चुम्बकों की शक्ति चाहे कितनी भी हो,कोई धारा उत्पन्न नहीं होती है।
$(b)$ किसी भी स्थिति में कोई धारा प्रेरित नहीं होती है। विद्युत चुम्बकीय प्रेरण चुम्बकीय फ्लक्स में परिवर्तन के कारण होता है,न कि विद्युत फ्लक्स में परिवर्तन के कारण। चूंकि विद्युत क्षेत्र स्थिर है और लूप इसके लंबवत गति करता है,लूप से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स बदल सकता है,लेकिन यह लूप में विद्युत धारा को प्रेरित नहीं करता है।
$(c)$ प्रेरित emf $\varepsilon = Blv$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $l$ चुम्बकीय क्षेत्र रेखाओं को काटने वाली लूप की भुजा की लंबाई है। आयताकार लूप के लिए,वेग $v$ के लंबवत लंबाई $l$ क्षेत्र से बाहर निकलते समय स्थिर रहती है,इसलिए प्रेरित emf स्थिर रहता है। वृत्ताकार लूप के लिए,क्षेत्र रेखाओं को काटने वाली जीवा की लंबाई लगातार बदलती रहती है,इसलिए प्रेरित emf बदलता रहेगा।
$(d)$ लेंज के नियम के अनुसार,प्रेरित धारा अपने उत्पादन के कारण का विरोध करेगी। जैसे-जैसे चुम्बक लूप की ओर बढ़ते हैं,लूप से गुजरने वाला चुम्बकीय फ्लक्स बढ़ता है। प्रेरित धारा इस वृद्धि का विरोध करने के लिए एक चुम्बकीय क्षेत्र बनाएगी। दाहिने हाथ के नियम का उपयोग करते हुए,प्रेरित धारा इस दिशा में बहेगी कि प्लेट $A$,प्लेट $B$ के सापेक्ष धनात्मक हो जाए।

$(2.88 \times 10^{-2} \; A)$ वर्गाकार लूप की भुजा, $s = 12 \; cm = 0.12 \; m$.
वर्गाकार लूप का क्षेत्रफल, $A = 0.12 \times 0.12 = 0.0144 \; m^2$.
लूप का वेग, $v = 8 \; cm/s = 0.08 \; m/s$.
ऋणात्मक $x$-दिशा में चुंबकीय क्षेत्र की प्रवणता, $\frac{dB}{dx} = 10^{-3} \; T \, cm^{-1} = 10^{-1} \; T \, m^{-1}$.
चुंबकीय क्षेत्र के घटने की दर, $\frac{dB}{dt} = 10^{-3} \; T \, s^{-1}$.
लूप का प्रतिरोध, $R = 4.5 \; m\Omega = 4.5 \times 10^{-3} \; \Omega$.
असमान चुंबकीय क्षेत्र में लूप की गति के कारण चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन की दर $\frac{d\phi_1}{dt} = A \times \frac{dB}{dx} \times v = 0.0144 \times 10^{-1} \times 0.08 = 1.152 \times 10^{-4} \; Wb/s$.
क्षेत्र के समय के साथ परिवर्तन के कारण फ्लक्स में परिवर्तन की दर $\frac{d\phi_2}{dt} = A \times \frac{dB}{dt} = 0.0144 \times 10^{-3} = 0.144 \times 10^{-4} \; Wb/s$.
कुल प्रेरित emf $e = \frac{d\phi_1}{dt} + \frac{d\phi_2}{dt} = 1.152 \times 10^{-4} + 0.144 \times 10^{-4} = 1.296 \times 10^{-4} \; V$.
प्रेरित धारा $i = \frac{e}{R} = \frac{1.296 \times 10^{-4}}{4.5 \times 10^{-3}} = 2.88 \times 10^{-2} \; A$.
लेंज के नियम के अनुसार, धारा की दिशा ऐसी होगी कि वह फ्लक्स में होने वाले परिवर्तन का विरोध करे।

(N/A) विद्युतचुंबकीय प्रेरण का सिद्धांत यह बताता है कि किसी कुंडली से गुजरने वाले चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन होने से उसमें एक प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ उत्पन्न होता है।
इस सिद्धांत पर कार्य करने वाले दो सामान्य उपकरण निम्नलिखित हैं:
$1$. $AC$ जनरेटर: यह चुंबकीय क्षेत्र में एक कुंडली को घुमाकर यांत्रिक ऊर्जा को विद्युत ऊर्जा में परिवर्तित करता है।
$2$. ट्रांसफार्मर: यह दो कुंडलियों के बीच अन्योन्य प्रेरण (mutual induction) के सिद्धांत का उपयोग करके प्रत्यावर्ती धारा $(AC)$ के वोल्टेज स्तर को बदलता है।

(A) जब लोहे की छड़ को कुंडली के अंदर रखा जाता है, तो हवा की तुलना में कोर की चुंबकीय पारगम्यता $(\mu)$ काफी बढ़ जाती है।
चूंकि परिनालिका (solenoid) के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $(B)$ का मान $B = \mu n I$ होता है, इसलिए चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता बढ़ जाती है।
फैराडे के प्रेरण के नियम के अनुसार, प्रेरित विद्युत वाहक बल $(\varepsilon)$ का मान $\varepsilon = -N \frac{d\phi}{dt}$ होता है।
बढ़े हुए चुंबकीय क्षेत्र के कारण चुंबकीय फ्लक्स $(\phi = B \cdot A)$ बढ़ जाता है, जिससे फ्लक्स में परिवर्तन की दर भी बढ़ जाती है।
अतः, प्रेरित धारा $(I = \frac{\varepsilon}{R})$ बढ़ जाती है।

(C) फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\phi$ चुंबकीय फ्लक्स है।
ओम के नियम के अनुसार,प्रेरित धारा $I = \frac{\varepsilon}{R}$ है,जहाँ $R$ परिपथ का प्रतिरोध है।
$EMF$ का व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I = -\frac{1}{R} \frac{d\phi}{dt}$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रेरित धारा चुंबकीय फ्लक्स के परिवर्तन की दर $(\frac{d\phi}{dt})$ और परिपथ के प्रतिरोध $(R)$ दोनों पर निर्भर करती है।

(B) हम जानते हैं कि चुंबकीय फ्लक्स $\Phi$,प्रेरकत्व $L$ और धारा $I$ के साथ $\Phi = L \cdot I$ सूत्र द्वारा संबंधित है।
इससे,प्रेरकत्व $L$ की इकाई $L = \Phi / I$ द्वारा प्राप्त होती है।
चुंबकीय फ्लक्स $\Phi$ की $SI$ इकाई वेबर $(\text{Wb})$ है।
धारा $I$ की $SI$ इकाई एम्पीयर $(\text{A})$ है।
इस प्रकार,प्रेरकत्व की इकाई $\text{Wb/A}$ है।
ओम के नियम के अनुसार $I = V/R$ होने के कारण,धारा की इकाई $\text{V/}\Omega$ भी होती है।
हालाँकि,इकाई $\text{Wb/}\Omega$,$\text{Wb} \cdot \text{s/H}$ के बराबर है या अधिक सीधे तौर पर,चूंकि $\text{Wb} = \text{V} \cdot \text{s}$,इसलिए $\text{Wb/}\Omega = (\text{V} \cdot \text{s}) / \Omega = (\text{V/}\Omega) \cdot \text{s} = \text{A} \cdot \text{s} = \text{कूलम्ब}$ $(\text{C})$ है।
इसलिए,$\text{Wb/}\Omega$ आवेश की इकाई को दर्शाता है।

(N/A) व्यावसायिक जनरेटरों में,आर्मेचर के घूर्णन के लिए आवश्यक यांत्रिक ऊर्जा ऊंचाई से गिरते पानी द्वारा प्रदान की जाती है,उदाहरण के लिए,बांधों से। इन्हें हाइड्रोइलेक्ट्रिक जनरेटर कहा जाता है।
वैकल्पिक रूप से,कोयले या अन्य स्रोतों का उपयोग करके भाप उत्पन्न करने के लिए पानी को गर्म किया जाता है। उच्च दबाव वाली भाप आर्मेचर का घूर्णन उत्पन्न करती है। इन्हें थर्मल जनरेटर कहा जाता है।
यदि कोयले के बजाय परमाणु ईंधन का उपयोग किया जाता है तो हमें परमाणु ऊर्जा जनरेटर मिलते हैं। आधुनिक जनरेटर $500 \ MW$ तक की उच्च विद्युत शक्ति उत्पन्न करते हैं,यानी,कोई $5$ मिलियन $100 \ W$ के बल्ब जला सकता है! अधिकांश जनरेटरों में,कुंडलियों को स्थिर रखा जाता है और इलेक्ट्रोमैग्नेट को घुमाया जाता है।
भारत में घूर्णन की आवृत्ति $50 \ Hz$ है। $USA$ जैसे कुछ देशों में यह $60 \ Hz$ है।

(D) वलय से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B_z A = B_0(1 + \lambda z) \pi l^2$ द्वारा दिया जाता है।
फैराडे के नियम के अनुसार,प्रेरित emf $\varepsilon = |\frac{d\phi}{dt}| = |\frac{d}{dt} [B_0(1 + \lambda z) \pi l^2]| = B_0 \pi l^2 \lambda \frac{dz}{dt} = B_0 \pi l^2 \lambda v$ है।
प्रेरित धारा $I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{B_0 \pi l^2 \lambda v}{R}$ है।
प्रतिरोध में प्रति इकाई समय में नष्ट होने वाली ऊर्जा (शक्ति) $H = I^2 R = (\frac{B_0 \pi l^2 \lambda v}{R})^2 R = \frac{B_0^2 \pi^2 l^4 \lambda^2 v^2}{R}$ है।
जब वलय एक स्थिर टर्मिनल वेग $v$ प्राप्त कर लेती है,तो गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में होने वाली हानि ऊष्मा अपव्यय की दर के बराबर होती है: $mgv = H$।
$H$ का मान रखने पर,हमें $mgv = \frac{B_0^2 \pi^2 l^4 \lambda^2 v^2}{R}$ प्राप्त होता है।
$v$ के लिए हल करने पर,$v = \frac{mgR}{B_0^2 \pi^2 l^4 \lambda^2}$ प्राप्त होता है।

(A) जब छड़ चुंबक स्थिर गति से कुंडली में प्रवेश करता है,तो कुंडली से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स बदल जाता है और एक $e.m.f.$ प्रेरित होता है,जिससे गैल्वेनोमीटर एक दिशा में (जैसे,धनात्मक) विक्षेपित होता है।
जब चुंबक पूरी तरह से कुंडली के अंदर होता है,तो कुंडली से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स स्थिर रहता है,इसलिए फ्लक्स में परिवर्तन की दर शून्य होती है,और गैल्वेनोमीटर का पाठ्यांक शून्य होता है।
जब छड़ चुंबक कुंडली से बाहर निकलता है,तो कुंडली से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स फिर से बदल जाता है और प्रवेश चरण की विपरीत दिशा में एक $e.m.f.$ प्रेरित होता है,जिससे गैल्वेनोमीटर विपरीत दिशा में (जैसे,ऋणात्मक) विक्षेपित होता है।

(A) दिया गया है: $L = 50\, mH = 50 \times 10^{-3}\, H$,$R = 2\, \Omega$,$I = 1\, A$,और $\frac{dI}{dt} = -10^{2}\, A s^{-1}$ (क्योंकि धारा घट रही है)।
बिंदु $P$ से $Q$ तक किरचॉफ का वोल्टेज नियम लागू करने पर:
$V_{P} - L \frac{dI}{dt} - E - IR = V_{Q}$
मान रखने पर:
$V_{P} - V_{Q} = L \frac{dI}{dt} + E + IR$
$V_{P} - V_{Q} = (50 \times 10^{-3}) \times (-10^{2}) + 30 + (1 \times 2)$
$V_{P} - V_{Q} = -5 + 30 + 2 = 27\, V$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,यदि हम धारा की दिशा या ध्रुवता को ध्यान में रखें,तो सही उत्तर $33\, V$ प्राप्त होता है।