Faraday's and Lenz's Law Questions in Hindi

(A) लेंज़ के नियम के अनुसार,कुंडली में प्रेरित धारा की दिशा ऐसी होती है कि वह उस चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन का विरोध करती है जिसने इसे उत्पन्न किया है।
जब किसी चुंबक के $N$ ध्रुव को कुंडली की ओर ले जाया जाता है,तो कुंडली से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स बढ़ जाता है।
इस वृद्धि का विरोध करने के लिए,कुंडली एक ऐसी चुंबकीय ध्रुवता विकसित करती है जो निकट आते $N$ ध्रुव को प्रतिकर्षित करती है।
चूंकि समान ध्रुव एक-दूसरे को प्रतिकर्षित करते हैं,इसलिए चुंबक के सामने वाला कुंडली का सिरा $N$ ध्रुव की तरह व्यवहार करेगा।

(N/A) फैराडे के नियम के अनुसार,प्रेरित विद्युत वाहक बल (emf) का परिमाण है:
$|\varepsilon| = \frac{\Delta \Phi_{B}}{\Delta t} \quad \dots(1)$
हम जानते हैं कि ओम के नियम से प्रेरित धारा $I = \frac{|\varepsilon|}{r}$,जहाँ $r$ कुंडली का प्रतिरोध है। अतः,$|\varepsilon| = I r$ होगा।
चूंकि $I = \frac{\Delta Q}{\Delta t}$,हम लिख सकते हैं:
$|\varepsilon| = \frac{\Delta Q}{\Delta t} r \quad \dots(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर:
$\frac{\Delta \Phi_{B}}{\Delta t} = \frac{\Delta Q}{\Delta t} r$
दोनों पक्षों से $\Delta t$ को हटाने पर:
$\Delta \Phi_{B} = \Delta Q \cdot r$
अतः,प्रेरित आवेश:
$\Delta Q = \frac{\Delta \Phi_{B}}{r}$
यह दर्शाता है कि प्रेरित आवेश केवल चुंबकीय फ्लक्स में कुल परिवर्तन और परिपथ के प्रतिरोध पर निर्भर करता है,और यह फ्लक्स परिवर्तन की दर पर निर्भर नहीं करता है।

(N/A) फैराडे के विद्युतचुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित विद्युत वाहक बल (emf) का परिमाण है:
$|\varepsilon| = \frac{\Delta \Phi_{B}}{\Delta t} \quad \dots (1)$
हम जानते हैं कि ओम के नियम के अनुसार प्रेरित धारा $I = \frac{|\varepsilon|}{r}$,जहाँ $r$ कुंडली का प्रतिरोध है। अतः,$|\varepsilon| = I r = \frac{\Delta Q}{\Delta t} r \quad \dots (2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर:
$\frac{\Delta \Phi_{B}}{\Delta t} = \frac{\Delta Q}{\Delta t} r$
दोनों पक्षों से $\Delta t$ को हटाने पर:
$\Delta \Phi_{B} = \Delta Q \cdot r$
अतः,प्रेरित आवेश:
$\Delta Q = \frac{\Delta \Phi_{B}}{r}$
चूंकि $\Delta Q$ का व्यंजक केवल चुंबकीय फ्लक्स में कुल परिवर्तन $\Delta \Phi_{B}$ और प्रतिरोध $r$ पर निर्भर करता है,यह समय अंतराल $\Delta t$ पर निर्भर नहीं करता है,और परिणामस्वरूप यह फ्लक्स के परिवर्तन की दर $\frac{\Delta \Phi_{B}}{\Delta t}$ से स्वतंत्र है।

(N/A) फैराडे के विद्युत चुम्बकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित विद्युत वाहक बल $(e)$ है: $e = -\frac{d\phi}{dt}$।
ओम के नियम के अनुसार,प्रेरित धारा $(I)$ है $I = \frac{e}{R}$,जहाँ $R$ परिपथ का प्रतिरोध है।
$e$ का मान रखने पर,हमें $I = -\frac{1}{R} \frac{d\phi}{dt}$ प्राप्त होता है।
चूंकि धारा आवेश के प्रवाह की दर है,$I = \frac{dq}{dt}$।
$I$ के दोनों समीकरणों की तुलना करने पर,$\frac{dq}{dt} = -\frac{1}{R} \frac{d\phi}{dt}$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,कुल प्रेरित आवेश $(q)$ का समीकरण: $q = -\frac{\Delta\phi}{R}$ प्राप्त होता है।

(D) फैराडे के विद्युतचुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $\varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
ओम के नियम के अनुसार,प्रेरित धारा $I = \frac{\varepsilon}{R} = -\frac{1}{R} \frac{d\Phi}{dt}$ है।
चूंकि धारा आवेश के प्रवाह की दर है,इसलिए $I = \frac{dq}{dt}$ होता है।
अतः,$\frac{dq}{dt} = -\frac{1}{R} \frac{d\Phi}{dt}$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,हमें $q = -\frac{\Delta\Phi}{R}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,प्रेरित आवेश $q$ चुंबकीय फ्लक्स में कुल परिवर्तन $\Delta\Phi$ और परिपथ के प्रतिरोध $R$ पर निर्भर करता है। यह परिवर्तन में लगने वाले समय पर निर्भर नहीं करता है।

(N/A) कुंडली (coil) से जुड़े चुंबकीय फ्लक्स को बदलकर प्रेरित $emf$ प्राप्त किया जा सकता है। चुंबकीय फ्लक्स $\phi = AB \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है। इसलिए,फ्लक्स को निम्नलिखित विधियों द्वारा बदला जा सकता है:
$(1)$ चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता $\vec{B}$ को बदलकर।
$(2)$ कुंडली के क्षेत्रफल $A$ को बदलकर।
$(3)$ क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ और चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B}$ के बीच के कोण $\theta$ को बदलकर।

(N/A) नहीं, सर्किट में धारा प्रवाहित नहीं होगी।
फैराडे के विद्युत चुम्बकीय प्रेरण के नियम के अनुसार, प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ और परिणामस्वरूप प्रेरित धारा केवल तब उत्पन्न होती है जब कुंडली से जुड़े चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन होता है。
इस स्थिति में, चुंबक तार के लूप के सापेक्ष स्थिर है। जब स्विच $S$ को बंद किया जाता है, तब भी लूप से गुजरने वाली चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं स्थिर रहती हैं। चूंकि चुंबकीय फ्लक्स में कोई परिवर्तन नहीं होता है $(\Delta \Phi = 0)$, इसलिए सर्किट में कोई प्रेरित धारा उत्पन्न नहीं होगी।

(N/A) प्रारंभ में,धातु की रिंग के साथ कोई चुंबकीय फ्लक्स संबद्ध नहीं होता है।
जब धारा अचानक चालू की जाती है,तो परिनालिका द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र तेजी से बढ़ता है।
फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,चुंबकीय फ्लक्स में यह परिवर्तन धातु की रिंग में एक विद्युत वाहक बल $(EMF)$ और परिणामस्वरूप एक प्रेरित धारा उत्पन्न करता है।
लेंज के नियम के अनुसार,इस प्रेरित धारा की दिशा ऐसी होती है कि यह उस कारण का विरोध करती है जिसने इसे उत्पन्न किया है,जो कि बढ़ता हुआ चुंबकीय फ्लक्स है।
इसलिए,रिंग में प्रेरित धारा परिनालिका की धारा की विपरीत दिशा में बहती है।
इस कारण से,रिंग और परिनालिका दो ऐसे चुंबकों की तरह कार्य करते हैं जिनके समान ध्रुव एक-दूसरे के सामने होते हैं,जिसके परिणामस्वरूप एक प्रतिकर्षण बल उत्पन्न होता है।
यह प्रतिकर्षण बल धातु की रिंग को ऊपर की ओर उछाल देता है।

(N/A) जब परिनालिका में धारा बंद कर दी जाती है,तो धातु की रिंग से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स कम हो जाता है।
लेंज के नियम के अनुसार,रिंग में प्रेरित धारा ऐसी दिशा में बहेगी जो चुंबकीय फ्लक्स में इस कमी का विरोध करे।
इसका मतलब है कि रिंग में एक ऐसी चुंबकीय ध्रुवता विकसित होगी जो इसे परिनालिका की ओर आकर्षित करेगी।
इसलिए,रिंग कार्डबोर्ड पर ही बनी रहेगी और दूर नहीं जाएगी।

(N/A) अनंत लंबे तार से $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ होता है।
तार से $r$ दूरी पर $dr$ मोटाई और $L_1$ लंबाई की एक पट्टी पर विचार करें।
इस पट्टी से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $d\phi = B \cdot dA = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} (L_1 dr)$ है।
आयताकार लूप $ABCD$ से जुड़ा कुल चुंबकीय फ्लक्स $\phi$,$r = x$ से $r = x + L_2$ तक $d\phi$ का समाकलन है:
$\phi = \int_{x}^{x+L_2} \frac{\mu_0 I L_1}{2 \pi r} dr = \frac{\mu_0 I L_1}{2 \pi} [\ln r]_{x}^{x+L_2} = \frac{\mu_0 I L_1}{2 \pi} \ln \left( \frac{x + L_2}{x} \right)$.
प्रेरित धारा $i = \frac{|d\phi/dt|}{R}$ है। समय $T$ में गुजरने वाला कुल आवेश $Q = \int i dt = \frac{1}{R} \int |d\phi| = \frac{|\Delta \phi|}{R}$ है।
$t = 0$ पर,$I(0) = I_0$,इसलिए $\phi_i = \frac{\mu_0 I_0 L_1}{2 \pi} \ln \left( \frac{x + L_2}{x} \right)$.
$t = T$ पर,$I(T) = 0$,इसलिए $\phi_f = 0$.
फ्लक्स में परिवर्तन का परिमाण $|\Delta \phi| = |\phi_f - \phi_i| = \frac{\mu_0 I_0 L_1}{2 \pi} \ln \left( \frac{x + L_2}{x} \right)$ है।
अतः,कुल आवेश $Q = \frac{\mu_0 I_0 L_1}{2 \pi R} \ln \left( 1 + \frac{L_2}{x} \right)$ प्राप्त होता है।

(D) रिंग से गुजरने वाले चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन $\Delta \phi = \pi a^2 B$ है। फैराडे के नियम के अनुसार,प्रेरित इलेक्ट्रोमोटिव बल (emf) $\varepsilon = \frac{\Delta \phi}{\Delta t} = \frac{B \pi a^2}{\Delta t}$ है।
यह प्रेरित emf रिंग पर एक प्रेरित विद्युत क्षेत्र $E$ उत्पन्न करता है,जिससे $\varepsilon = E(2 \pi b)$ होता है। अतः,$E = \frac{B a^2}{2 b \Delta t}$ है।
आवेश $Q$ पर लगने वाला बल $F = QE = \frac{Q B a^2}{2 b \Delta t}$ है।
रिंग पर लगने वाला टॉर्क $\tau = F \cdot b = \frac{Q B a^2}{2 \Delta t}$ है।
कोणीय गति के लिए आवेग-संवेग प्रमेय का उपयोग करते हुए,$\tau \Delta t = \Delta L = I \omega$,जहाँ $I = m b^2$ रिंग का जड़त्व आघूर्ण है।
मान रखने पर: $\left( \frac{Q B a^2}{2 \Delta t} \right) \Delta t = m b^2 \omega$.
अतः,$\omega = \frac{Q B a^2}{2 m b^2}$ प्राप्त होता है।

(C) प्रेरित emf $(\varepsilon)$ का परिमाण फैराडे के प्रेरण के नियम द्वारा दिया जाता है: $|\varepsilon| = |\frac{d\phi}{dt}|$.
दिया गया चुंबकीय फ्लक्स $\phi = 5t^2 + 3t + 16$ है।
समय $t$ के सापेक्ष $\phi$ का अवकलन करने पर:
$\frac{d\phi}{dt} = \frac{d}{dt}(5t^2 + 3t + 16) = 10t + 3$.
चौथे सेकंड $(t = 4 \, s)$ पर प्रेरित emf का परिमाण ज्ञात करने के लिए:
$|\varepsilon| = 10(4) + 3 = 40 + 3 = 43 \, V$.

(A) जब निकाय को गर्म किया जाता है,तो तापमान में वृद्धि के कारण कुंडलियों का प्रतिरोध बढ़ जाता है।
चूंकि कुंडली $A$ एक स्रोत से जुड़ी है,इसलिए इसके प्रतिरोध में वृद्धि के कारण कुंडली $A$ में धारा $I$ लगातार कम हो जाती है।
फैराडे के विद्युत चुम्बकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,कुंडली $A$ में बदलती धारा कुंडली $B$ से गुजरने वाले चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन उत्पन्न करती है।
यह बदलता चुंबकीय फ्लक्स कुंडली $B$ में एक विद्युत वाहक बल (emf) और परिणामस्वरूप प्रेरित धारा उत्पन्न करता है।
लेंज के नियम के अनुसार,कुंडली $B$ में प्रेरित धारा उस दिशा में बहेगी जो उसके उत्पादन के कारण का विरोध करे,जो कि कुंडली $A$ में धारा का घटना है।
धारा में कमी का विरोध करने के लिए,कुंडली $B$ में प्रेरित धारा कुंडली $A$ की धारा की समान दिशा में बहेगी।
समान दिशा में धारा ले जाने वाली दो समानांतर कुंडलियाँ एक-दूसरे को आकर्षित करती हैं। इसलिए,दोनों कुंडलियों के बीच आकर्षण होता है।

(B) फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित $e.m.f.$ $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
$1$. जैसे ही चुंबक का उत्तरी ध्रुव लूप के करीब आता है,लूप से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स बढ़ता है। लेंज के नियम के अनुसार,प्रेरित धारा इस वृद्धि का विरोध करने वाला चुंबकीय क्षेत्र बनाती है,जिसके परिणामस्वरूप ऋणात्मक प्रेरित $e.m.f.$ प्राप्त होता है।
$2$. जब चुंबक पूरी तरह से लूप के अंदर होता है,तो लूप से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स स्थिर रहता है (यह मानते हुए कि चुंबक पर्याप्त लंबा है),इसलिए $\frac{d\phi}{dt} = 0$ होता है और प्रेरित $e.m.f.$ शून्य होता है।
$3$. जैसे ही चुंबक का दक्षिणी ध्रुव लूप से बाहर निकलता है,लूप से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स घट जाता है। प्रेरित धारा इस कमी का विरोध करने के लिए चुंबकीय क्षेत्र बनाती है,जिसके परिणामस्वरूप धनात्मक प्रेरित $e.m.f.$ प्राप्त होता है।
इसलिए,ग्राफ एक ऋणात्मक पल्स और उसके बाद एक धनात्मक पल्स दिखाता है,जो ग्राफ $B$ के अनुरूप है।

(A) $1$. कुंडली से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\Phi = \vec{B} \cdot \vec{A} = BA \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है। प्रेरित धारा के लिए,चुंबकीय फ्लक्स को समय के साथ बदलना चाहिए।
$2$. यदि $\vec{B}$ कुंडली के तल के समानांतर है,तो कोण $\theta = 90^\circ$ होगा,इसलिए $\Phi = 0$ होगा। अतः,विकल्प $B$ और $D$ गलत हैं।
$3$. कुंडली में प्रेरित धारा वामावर्त (anticlockwise) दिशा में है। लेंज के नियम के अनुसार,प्रेरित चुंबकीय क्षेत्र फ्लक्स में परिवर्तन का विरोध करता है।
$4$. यदि बाहरी चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ बाहर की ओर (कुंडली के तल के लंबवत) निर्देशित है,तो वामावर्त प्रेरित धारा परिवर्तन का विरोध करने के लिए अंदर की ओर चुंबकीय क्षेत्र बनाती है।
$5$. प्रेरित धारा के वामावर्त होने के लिए,बाहर की ओर का फ्लक्स कम होना चाहिए ताकि प्रेरित क्षेत्र बाहर की दिशा का समर्थन कर सके। इसलिए,$\vec{B}$ को बाहर की ओर होना चाहिए और समय के साथ कम होना चाहिए।

(A) चुंबकीय फ्लक्स $\phi = 5t^3 + 4t^2 + 2t - 5$ द्वारा दिया गया है।
फैराडे के प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ का परिमाण $|e| = |\frac{d\phi}{dt}|$ होता है।
$t$ के सापेक्ष $\phi$ का अवकलन करने पर:
$|e| = \frac{d}{dt}(5t^3 + 4t^2 + 2t - 5) = 15t^2 + 8t + 2$.
$t = 2 \; s$ पर,प्रेरित $EMF$:
$|e| = 15(2)^2 + 8(2) + 2 = 15(4) + 16 + 2 = 60 + 16 + 2 = 78 \; V$.
प्रेरित धारा $I = \frac{|e|}{R}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $R = 5 \; \Omega$ है।
$I = \frac{78}{5} = 15.6 \; A$.

(D) दिया गया चुंबकीय फ्लक्स $\phi = 8t^2 - 9t + 5$ है।
फैराडे के प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित $emf$ $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
$\varepsilon = -\frac{d}{dt}(8t^2 - 9t + 5) = -(16t - 9) = 9 - 16t$.
$t = 0.25\,s$ पर,प्रेरित $emf$ $\varepsilon = 9 - 16(0.25) = 9 - 4 = 5\,V$ है।
प्रेरित धारा $I$ का परिमाण $I = \frac{|\varepsilon|}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया प्रतिरोध $R = 20\,\Omega$ है,इसलिए $I = \frac{5\,V}{20\,\Omega} = 0.25\,A$.
मिलीएम्पियर $(mA)$ में बदलने पर,$I = 0.25 \times 1000\,mA = 250\,mA$।

(C) दिया गया है,$\phi = \frac{2}{3}(9 - t^2)$.
फ्लक्स शून्य तब होता है जब $\phi = 0$,इसलिए $\frac{2}{3}(9 - t^2) = 0$,जिससे $t^2 = 9$ या $t = 3 \, \text{s}$ प्राप्त होता है।
प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ फैराडे के नियम द्वारा दिया जाता है: $e = -\frac{d\phi}{dt}$.
$e = -\frac{d}{dt} [\frac{2}{3}(9 - t^2)] = -\frac{2}{3}(0 - 2t) = \frac{4t}{3}$.
कुंडली में उत्पन्न ऊष्मा $H$ का सूत्र $H = \int_{0}^{t} \frac{e^2}{R} dt$ है।
$e = \frac{4t}{3}$ और $R = 8 \, \Omega$ का मान रखने पर:
$H = \int_{0}^{3} \frac{(\frac{4t}{3})^2}{8} dt = \int_{0}^{3} \frac{16t^2}{9 \times 8} dt = \int_{0}^{3} \frac{2t^2}{9} dt$.
$H = \frac{2}{9} [\frac{t^3}{3}]_{0}^{3} = \frac{2}{9} \times \frac{27}{3} = \frac{2}{9} \times 9 = 2 \, \text{J}$.

(D) लेंज के नियम के अनुसार,लूप $L_2$ में प्रेरित धारा उससे जुड़े चुंबकीय फ्लक्स में होने वाले परिवर्तन का विरोध करेगी।
जैसे-जैसे लूप $L_1$ में धारा समय के साथ बढ़ती है,लूप $L_2$ से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स भी बढ़ता है।
फ्लक्स में इस वृद्धि का विरोध करने के लिए,लूप $L_2$ में प्रेरित धारा इस दिशा में बहती है कि इसके द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $L_1$ के चुंबकीय क्षेत्र का विरोध करे। इसके परिणामस्वरूप दोनों लूपों की निकटवर्ती भुजाओं में धारा विपरीत दिशाओं में बहती है।
चूंकि $L_1$ और $L_2$ की निकटवर्ती भुजाओं में धारा विपरीत दिशाओं में है,इसलिए उनके बीच प्रतिकर्षण बल कार्य करता है।
परिणामस्वरूप,लूप $L_2$,लूप $L_1$ से दूर चला जाता है।

(B) $I$ धारा ले जाने वाले लंबे तार द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B$ लूप के क्षेत्र में पृष्ठ के अंदर की ओर है। जैसे ही लूप को दाईं ओर खींचा जाता है,यह ऐसे क्षेत्र में चला जाता है जहाँ चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता कम हो जाती है,इसलिए लूप से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स कम हो जाता है।
लेंज़ के नियम के अनुसार,लूप में प्रेरित धारा फ्लक्स में इस कमी का विरोध करने के लिए प्रवाहित होगी,जिसका अर्थ है कि यह पृष्ठ के अंदर की ओर निर्देशित अपना चुंबकीय क्षेत्र बनाएगी। दाहिने हाथ के नियम के अनुसार,यह दक्षिणावर्त प्रेरित धारा के अनुरूप है।
लूप की बाईं भुजा के लिए (तार के सबसे निकट),धारा ऊपर की ओर बहती है,जो लंबे तार में धारा $I$ की दिशा में ही है। समानांतर धाराएं एक-दूसरे को आकर्षित करती हैं,इसलिए बाईं भुजा पर बल लंबे तार की ओर (बाईं ओर) कार्य करता है।
लूप की दाईं भुजा के लिए,धारा नीचे की ओर बहती है,जो लंबे तार में धारा $I$ की विपरीत दिशा में है। प्रति-समानांतर धाराएं एक-दूसरे को प्रतिकर्षित करती हैं,इसलिए दाईं भुजा पर बल लंबे तार से दूर (दाईं ओर) कार्य करता है।

(C) लूप $B$ में धारा $I_B$ बाईं ओर (लूप $A$ से गुजरने वाला) चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करती है।
लेंज के नियम के अनुसार,लूप $A$ में प्रेरित धारा उससे गुजरने वाले चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन का विरोध करेगी।
यदि हम लूप $A$ को दाईं ओर ($B$ के करीब) ले जाते हैं,तो $A$ से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स बढ़ जाता है। इस वृद्धि का विरोध करने के लिए,$A$ में प्रेरित धारा दाईं ओर चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करेगी,जो बाईं ओर से देखने पर वामावर्त धारा के अनुरूप है।
यदि हम $A$ को $Y$-अक्ष के परितः वामावर्त घुमाते हैं (ऊपर से देखने पर),तो $A$ के क्षेत्रफल सदिश और $B$ से आने वाली चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं के बीच का कोण इस प्रकार बदलता है कि $A$ से गुजरने वाला फ्लक्स बढ़ जाता है,जिससे भी वामावर्त धारा प्रेरित होती है।
अतः,दोनों क्रियाएं $(I)$ और $(IV)$ के परिणामस्वरूप $A$ से गुजरने वाले चुंबकीय फ्लक्स में वृद्धि होती है,जो वांछित दिशा में धारा प्रेरित करती है।

(C) लेंज के नियम के अनुसार,प्रेरित धारा की दिशा ऐसी होती है कि वह उस चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन का विरोध करती है जिसने इसे उत्पन्न किया है।
$1$. जब चुंबक वलय के ऊपर होता है और उसकी ओर गिरता है,तो वलय से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स बढ़ता है। इसका विरोध करने के लिए,वलय अपने ऊपरी फलक पर एक उत्तरी ध्रुव विकसित करता है ताकि गिरते हुए चुंबक को प्रतिकर्षित किया जा सके। ऊपर से देखने पर उत्तरी ध्रुव घड़ी की विपरीत दिशा में धारा को दर्शाता है।
$2$. जब चुंबक वलय से होकर नीचे निकल जाता है,तो वलय से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स घटता है। इस कमी का विरोध करने के लिए,वलय अपने निचले फलक पर एक दक्षिणी ध्रुव विकसित करता है (जो दूर जाते चुंबक के सापेक्ष ऊपरी फलक पर उत्तरी ध्रुव के रूप में कार्य करता है) ताकि चुंबक को आकर्षित किया जा सके। ऊपर से देखने पर यह घड़ी की दिशा में धारा को दर्शाता है।
अतः,जब चुंबक वलय के ऊपर होता है तो धारा घड़ी की विपरीत दिशा में होती है और जब वह वलय के नीचे होता है तो घड़ी की दिशा में होती है।

(C) फैराडे के विद्युतचुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार, जब भी कुंडली से जुड़े चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन होता है, तो कुंडली में एक विद्युत वाहक बल (emf) प्रेरित होता है।
$(I)$ चुंबक को कुंडली से दूर ले जाने पर कुंडली से गुजरने वाले चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन होता है, जिससे emf प्रेरित होता है।
$(II)$ कुंडली को चुंबक की ओर ले जाने पर भी कुंडली से जुड़े चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन होता है, जिससे emf प्रेरित होता है।
$(III)$ कुंडली को उसके ऊर्ध्वाधर व्यास के परितः घुमाने से कुंडली के क्षेत्रफल सदिश और चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं के बीच का कोण बदल जाता है, जिससे चुंबकीय फ्लक्स $(\Phi = B A \cos \theta)$ में परिवर्तन होता है। फ्लक्स में यह परिवर्तन emf उत्पन्न करता है।
$(IV)$ कुंडली को उसकी अपनी अक्ष के परितः घुमाने से कुंडली से जुड़े चुंबकीय फ्लक्स में कोई परिवर्तन नहीं होता है क्योंकि चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं के सापेक्ष कुंडली का अभिविन्यास स्थिर रहता है। इसलिए, इस स्थिति में कोई emf प्रेरित नहीं होता है।
अतः, केवल स्थितियों $(I), (II)$ और $(III)$ में emf उत्पन्न होता है।

(B) धारा $i$ ले जाने वाले लंबे तार द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र लूप के स्थान पर कागज के तल के अंदर की ओर होता है।
लेंज के नियम के अनुसार,लूप में प्रेरित धारा उससे जुड़े चुंबकीय फ्लक्स में होने वाले परिवर्तन का विरोध करेगी।
लूप में दक्षिणावर्त धारा प्रेरित होने के लिए,लूप से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स कम होना चाहिए (दाएं हाथ के नियम के अनुसार,एक दक्षिणावर्त धारा अंदर की ओर चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करती है,जो अंदर की ओर मौजूद फ्लक्स में कमी का विरोध करेगी)।
जब लूप को धारा ले जाने वाले तार से दूर ले जाया जाता है तो लूप से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स कम हो जाता है।
आरेख को देखने पर,लूप को $E$ (पूर्व) दिशा में ले जाने से तार से दूरी बढ़ जाती है,जिससे लूप से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स कम हो जाता है। अतः,जब लूप को $E$ की ओर खींचा जाता है तो दक्षिणावर्त धारा प्रेरित होती है।

(B) लूप से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \cdot A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $B$ चुंबकीय क्षेत्र है और $A$ लूप का क्षेत्रफल है।
जब लूप को बाहर की ओर खींचा जाता है,तो उसका क्षेत्रफल $A$ बढ़ जाता है।
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र $B$ तल के अंदर की ओर निर्देशित है,इसलिए लूप से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स बढ़ जाता है।
लेंज़ के नियम के अनुसार,प्रेरित धारा उस दिशा में बहेगी जो चुंबकीय फ्लक्स में इस वृद्धि का विरोध करती है।
अंदर की ओर चुंबकीय फ्लक्स में वृद्धि का विरोध करने के लिए,प्रेरित चुंबकीय क्षेत्र को बाहर की ओर निर्देशित होना चाहिए।
दाएं हाथ के अंगूठे के नियम के अनुसार,वामावर्त (anti-clockwise) दिशा में बहने वाली धारा बाहर की ओर चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करती है। इसलिए,प्रेरित धारा वामावर्त होगी।

(D) फैराडे के विद्युतचुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित e.m.f. $E$,समय $t$ के सापेक्ष चुंबकीय फ्लक्स $\phi$ के परिवर्तन की दर के ऋणात्मक मान के बराबर होता है:
$E = -\frac{d\phi}{dt}$
दिए गए आरेख से,चुंबकीय फ्लक्स $\phi$ समय $t$ के साथ ज्यावक्रीय (sinusoidal) रूप से बदलता है,जिसे इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:
$\phi = \phi_0 \sin(\omega t)$
अब,प्रेरित e.m.f. $E$ ज्ञात करने के लिए इस समीकरण का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$E = -\frac{d}{dt} [\phi_0 \sin(\omega t)]$
$E = -\phi_0 \omega \cos(\omega t)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $-\cos(\theta) = \sin(\theta - \frac{\pi}{2})$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$E = \phi_0 \omega \sin(\omega t - \frac{\pi}{2})$
यह दर्शाता है कि प्रेरित e.m.f. $E$ भी समय $t$ के साथ ज्यावक्रीय रूप से बदलता है,लेकिन इसमें चुंबकीय फ्लक्स $\phi$ के सापेक्ष $-\frac{\pi}{2}$ का कलांतर (phase shift) होता है। $t = 0$ पर,फ्लक्स $\phi = 0$ है,जबकि प्रेरित e.m.f. $E = -\phi_0 \omega$ है,जो कि एक ऋणात्मक अधिकतम मान है। दिए गए विकल्पों में से,वह ग्राफ जो ऋणात्मक अधिकतम मान से शुरू होता है और ज्यावक्रीय पैटर्न का पालन करता है,उसे विकल्प $(D)$ द्वारा दर्शाया गया है।

(C) लेंज़ के नियम के अनुसार,लूप में प्रेरित धारा हमेशा चुंबकीय फ्लक्स में उस परिवर्तन का विरोध करती है जो इसे उत्पन्न करता है।
जब चालक तार $XY$ दाईं ओर गति करता है,तो लूप का क्षेत्रफल बढ़ जाता है,जिससे लूप से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स बढ़ जाता है।
फ्लक्स में इस वृद्धि का विरोध करने के लिए,प्रेरित धारा को एक ऐसा चुंबकीय क्षेत्र बनाना चाहिए जो मौजूदा चुंबकीय क्षेत्र का विरोध करे।
यह देखते हुए कि प्रेरित धारा वामावर्त दिशा में बहती है,हम दाहिने हाथ के अंगूठे के नियम का उपयोग कर सकते हैं। दाहिने हाथ की उंगलियों को धारा की दिशा (वामावर्त) में मोड़ने पर,अंगूठा कागज के तल के लंबवत,बाहर की ओर इंगित करता है।
इसलिए,बिंदु $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र की दिशा कागज के लंबवत और बाहर की ओर है।

(B) $1$. चुंबकीय क्षेत्र एक समान है और कागज के तल के अंदर की ओर निर्देशित है (क्रॉस द्वारा दर्शाया गया है)।
$2$. जैसे-जैसे अनियमित लूप फैलकर गोलाकार आकार लेता है,लूप द्वारा घेरा गया क्षेत्रफल बढ़ जाता है।
$3$. चूंकि चुंबकीय क्षेत्र स्थिर है,इसलिए क्षेत्रफल में वृद्धि के कारण लूप से जुड़े चुंबकीय फ्लक्स में वृद्धि होती है।
$4$. लेंज के नियम के अनुसार,प्रेरित धारा उस दिशा में बहेगी जो चुंबकीय फ्लक्स में इस वृद्धि का विरोध करती है।
$5$. अंदर की ओर चुंबकीय फ्लक्स का विरोध करने के लिए,प्रेरित धारा को बाहर की ओर चुंबकीय क्षेत्र बनाना होगा।
$6$. दाएं हाथ के अंगूठे के नियम के अनुसार,बाहर की ओर चुंबकीय क्षेत्र वामावर्त (anti-clockwise) धारा द्वारा उत्पन्न होता है।
$7$. इसलिए,प्रेरित धारा की दिशा वामावर्त होगी।

(B) जब स्विच $S$ को बंद किया जाता है,तो बाहरी कुंडली $B$ में धारा प्रवाहित होने लगती है। आरेख में दिखाई गई बैटरी की ध्रुवता के आधार पर,कुंडली $B$ में धारा दक्षिणावर्त दिशा में बहती है।
जैसे-जैसे कुंडली $B$ में धारा शून्य से अपने स्थिर मान तक बढ़ती है,कुंडली $A$ से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स अंदर की दिशा में (कुंडली के तल के लंबवत) बढ़ता है।
लेंज़ के नियम के अनुसार,कुंडली $A$ में प्रेरित धारा चुंबकीय फ्लक्स में इस वृद्धि का विरोध करेगी और बाहर की दिशा में अपना चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करेगी।
बाहर की दिशा में चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करने के लिए,कुंडली $A$ में प्रेरित धारा को वामावर्त दिशा में बहना चाहिए।

(C) लेंज के नियम के अनुसार,प्रेरित धारा की दिशा ऐसी होती है कि वह उस चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन का विरोध करती है जिसने इसे उत्पन्न किया है।
$1$. कुंडली $AB$ के लिए: चुंबक का उत्तरी ध्रुव $(N)$ कुंडली $AB$ से दूर जा रहा है। इसका विरोध करने के लिए,चुंबक के पास वाली कुंडली की सतह को दक्षिणी ध्रुव $(S)$ के रूप में कार्य करना चाहिए। इसके लिए चुंबक की ओर से देखने पर धारा को दक्षिणावर्त दिशा में बहना चाहिए,जिसका अर्थ है कि तार में धारा $A$ से $B$ की ओर बहती है।
$2$. कुंडली $CD$ के लिए: चुंबक का दक्षिणी ध्रुव $(S)$ कुंडली $CD$ के करीब आ रहा है। इसका विरोध करने के लिए,चुंबक के पास वाली कुंडली की सतह को दक्षिणी ध्रुव $(S)$ के रूप में कार्य करना चाहिए। इसके लिए चुंबक की ओर से देखने पर धारा को दक्षिणावर्त दिशा में बहना चाहिए,जिसका अर्थ है कि तार में धारा $D$ से $C$ की ओर बहती है।
अतः,प्रेरित धारा $A$ से $B$ और $D$ से $C$ की ओर बहती है।

(C) दिया गया है: फेरों की संख्या $n = 10$, कुंडली का प्रतिरोध $R_{\text{coil}} = 20\,\Omega$, $B$.$G$. का प्रतिरोध $R_G = 30\,\Omega$.
परिपथ में कुल प्रतिरोध $R = R_{\text{coil}} + R_G = 20 + 30 = 50\,\Omega$.
कुंडली का क्षेत्रफल $A = 10^{-2}\,m^2$, चुंबकीय क्षेत्र $B = 10^{-2}\,T$.
क्षेत्रफल सदिश और चुंबकीय क्षेत्र के बीच प्रारंभिक कोण $\theta_1 = 0^{\circ}$.
क्षेत्रफल सदिश और चुंबकीय क्षेत्र के बीच अंतिम कोण $\theta_2 = 60^{\circ}$.
प्रेरित आवेश $q$ का सूत्र $q = \frac{\Delta \phi}{R} = \frac{nAB(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)}{R}$ है।
मान रखने पर: $q = \frac{10 \times 10^{-2} \times 10^{-2} \times (\cos 0^{\circ} - \cos 60^{\circ})}{50}$.
$q = \frac{10^{-3} \times (1 - 0.5)}{50} = \frac{10^{-3} \times 0.5}{50} = \frac{0.5 \times 10^{-3}}{50} = 0.01 \times 10^{-3} = 1 \times 10^{-5}\,C$.
अतः, प्रेरित आवेश $1 \times 10^{-5}\,C$ है।

(A) फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित विद्युत वाहक बल (e.m.f.) $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $\phi = 50t^2 + 4$,समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d\phi}{dt} = \frac{d}{dt}(50t^2 + 4) = 100t$.
अतः,प्रेरित e.m.f. का परिमाण $|\varepsilon| = |-\frac{d\phi}{dt}| = 100t$ है।
$t = 2\,s$ पर,प्रेरित e.m.f. $|\varepsilon| = 100 \times 2 = 200\,V$ है।
प्रेरित धारा $i$ का मान $i = \frac{|\varepsilon|}{R}$ है,जहाँ $R = 400\,\Omega$ है।
इसलिए,$i = \frac{200}{400} = 0.5\,A$।

(C) लेंज के नियम के अनुसार,जब एक छड़ चुंबक का उत्तरी ध्रुव एक क्षैतिज कुंडली की ओर गिरता है,तो कुंडली से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स बढ़ जाता है। इस वृद्धि का विरोध करने के लिए,कुंडली में एक धारा प्रेरित होती है जिससे कुंडली का ऊपरी फलक उत्तरी ध्रुव की तरह व्यवहार करता है।
यह प्रेरित उत्तरी ध्रुव चुंबक के गिरते हुए उत्तरी ध्रुव को प्रतिकर्षित करता है,जिससे ऊपर की ओर एक प्रतिकर्षण बल उत्पन्न होता है। यह बल नीचे की ओर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल का विरोध करता है,जिसके परिणामस्वरूप शुद्ध त्वरण $a < g$ होता है।
चूंकि कुंडली का ऊपरी फलक उत्तरी ध्रुव के रूप में कार्य करता है,इसलिए कुंडली में प्रेरित धारा वामावर्त (एंटी-क्लॉकवाइज) होनी चाहिए (ऊपर से देखने पर),न कि दक्षिणावर्त। अतः,कथन सत्य है,लेकिन कारण असत्य है।

(B) लूप की त्रिज्या $r = \frac{10}{\sqrt{\pi}}\,cm = \frac{0.1}{\sqrt{\pi}}\,m$ है।
लूप का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi \left( \frac{0.1}{\sqrt{\pi}} \right)^2 = \pi \left( \frac{0.01}{\pi} \right) = 0.01\,m^2$ है।
चुंबकीय क्षेत्र $B_i = 0.5\,T$ से बदलकर $B_f = 0\,T$ हो जाता है,जिसके लिए समय $\Delta t = 0.5\,s$ है।
चुंबकीय क्षेत्र के परिवर्तन की दर $\frac{dB}{dt} = \frac{0.5 - 0}{0.5} = 1\,T/s$ है।
फैराडे के नियम के अनुसार,प्रेरित emf $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt} = -A \frac{dB}{dt}$ है।
मान रखने पर,$|\varepsilon| = (0.01\,m^2) \times (1\,T/s) = 0.01\,V$ प्राप्त होता है।
मिलीवोल्ट में बदलने पर,$|\varepsilon| = 0.01 \times 1000\,mV = 10\,mV$ होता है।

(D) चुंबकीय फ्लक्स $\phi = 2t^3 + 4t^2 + 2t + 5$ द्वारा दिया गया है।
फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित $emf$ $(e)$ चुंबकीय फ्लक्स के परिवर्तन की दर के परिमाण के बराबर होता है:
$e = |\frac{d\phi}{dt}|$
$e = |\frac{d}{dt}(2t^3 + 4t^2 + 2t + 5)|$
$e = |6t^2 + 8t + 2|$
अब,$e$ के व्यंजक में $t = 5 \; s$ रखने पर:
$e = 6(5)^2 + 8(5) + 2$
$e = 6(25) + 40 + 2$
$e = 150 + 40 + 2 = 192 \; V$.
अतः,$t = 5 \; s$ पर प्रेरित $emf$ का परिमाण $192 \; V$ है।

(D) फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,जब भी कुंडली से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स समय के साथ बदलता है,तो कुंडली में प्रेरित $emf$ उत्पन्न होता है $(\varepsilon = -d\Phi_B / dt)$।
$A.$ एकसमान चुंबकीय क्षेत्र के भीतर कुंडली को एकसमान गति से चलाने पर चुंबकीय फ्लक्स $(\Phi_B = B \cdot A \cdot \cos \theta)$ नहीं बदलता है,इसलिए कोई $emf$ प्रेरित नहीं होता है।
$B.$ एकसमान चुंबकीय क्षेत्र के भीतर कुंडली को असमान गति से चलाने पर भी चुंबकीय फ्लक्स नहीं बदलता है,इसलिए कोई $emf$ प्रेरित नहीं होता है।
$C.$ एकसमान चुंबकीय क्षेत्र के भीतर कुंडली को घुमाने से क्षेत्रफल सदिश और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण $\theta$ बदल जाता है,जिससे चुंबकीय फ्लक्स बदलता है और $emf$ प्रेरित होता है।
$D.$ एकसमान चुंबकीय क्षेत्र के भीतर कुंडली का क्षेत्रफल बदलने से चुंबकीय फ्लक्स बदलता है,जिससे $emf$ प्रेरित होता है।
अतः,$C$ और $D$ दोनों के परिणामस्वरूप प्रेरित $emf$ उत्पन्न होता है।

(B) प्लेट से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi$, $\phi = B \cdot A$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $A = 4\,m^2$ क्षेत्रफल है और $B$ चुंबकीय क्षेत्र है।
ग्राफ से, चुंबकीय क्षेत्र $B$ समय $t$ (सेकंड में) का एक रैखिक फलन है, जहाँ $B$ का मान $mT$ (मिली टेस्ला) में है।
रेखा की ढाल $m = \frac{dB}{dt} = \frac{10\,mT - 0\,mT}{5\,s - 0\,s} = 2\,mT/s$ है।
फैराडे के प्रेरण के नियम के अनुसार, प्रेरित $emf$ $(\varepsilon)$ का परिमाण $\varepsilon = \left| \frac{d\phi}{dt} \right| = A \left| \frac{dB}{dt} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\varepsilon = 4\,m^2 \times 2\,mT/s = 8\,mV$.
अतः, प्रेरित $emf$ का परिमाण $8\,mV$ है।

(B) चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन $\Delta \phi = N A (B_2 - B_1)$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $N = 100$,$A = 24\,cm^2 = 24 \times 10^{-4}\,m^2$,$R = 12\,\Omega$,$B_1 = 1.5\,T$,और $B_2 = -1.5\,T$.
अतः,$\Delta \phi = 100 \times 24 \times 10^{-4} \times (-1.5 - 1.5) = 0.24 \times (-3) = -0.72\,Wb$.
प्रेरित आवेश $Q = \frac{|\Delta \phi|}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
$Q = \frac{0.72}{12} = 0.06\,C$.
$mC$ में बदलने पर: $0.06\,C = 60\,mC$.

(C) लूप से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B A \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ चुंबकीय क्षेत्र सदिश और क्षेत्रफल सदिश के बीच का कोण है।
यहाँ लूप चुंबकीय क्षेत्र के साथ $60^{\circ}$ पर है,इसलिए क्षेत्रफल सदिश और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण $\theta = 60^{\circ}$ लेने पर:
प्रारंभिक फ्लक्स $\phi_i = B A \cos 60^{\circ} = 4 \times (2.5 \times 2) \times 0.5 = 10 \ Wb$.
अंतिम फ्लक्स $\phi_f = 0 \ Wb$ (क्योंकि लूप को क्षेत्र से हटा दिया जाता है)।
औसत प्रेरित emf $\varepsilon = -\frac{\Delta \phi}{\Delta t} = -\frac{\phi_f - \phi_i}{\Delta t} = -\frac{0 - 10}{10} = +1 \ V$.

(C) लूप का क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ पूर्व-पश्चिम तल के लंबवत है,जो उत्तर-दक्षिण दिशा में है। मान लीजिए उत्तर दिशा $\hat{j}$ है। अतः,$\vec{A} = (0.1 \ m)^2 \hat{j} = 0.01 \hat{j} \ m^2$.
चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ उत्तर-पूर्व दिशा में है,जो पूर्व (क्षैतिज) और उत्तर (ऊर्ध्वाधर) अक्षों के साथ $45^\circ$ का कोण बनाता है। अतः,$\vec{B} = 0.20 (\cos 45^\circ \hat{i} + \sin 45^\circ \hat{j}) = 0.20 (\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{j}) \ T$.
लूप से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi = \vec{B} \cdot \vec{A} = [0.20 (\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{j})] \cdot [0.01 \hat{j}] = 0.20 \times 0.01 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{0.002}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \times 10^{-3} \ Wb$.
प्रेरित emf $e$ का परिमाण $|e| = |\frac{\Delta \phi}{\Delta t}| = |\frac{0 - \phi}{1 \ s}| = \sqrt{2} \times 10^{-3} \ V$ द्वारा दिया जाता है।
इसकी तुलना $\sqrt{x} \times 10^{-3} \ V$ से करने पर,हमें $\sqrt{x} = \sqrt{2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $x = 2$।

(A) फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार, प्रेरित emf $\varepsilon = N \left| \frac{\Delta \phi}{\Delta t} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ, $\Delta \phi = (\Delta B) A$, जहाँ $A = \pi r^2$ कुंडली का क्षेत्रफल है।
दिया गया है: $B_i = 5000 \,T$, $B_f = 3000 \,T$, $\Delta t = 2 \,s$, $\varepsilon = 22 \,V$, और व्यास $d = 0.02 \,m$ है।
त्रिज्या $r = \frac{d}{2} = 0.01 \,m$ है।
चुंबकीय क्षेत्र में परिवर्तन $\Delta B = |B_f - B_i| = |3000 - 5000| = 2000 \,T$ है।
क्षेत्रफल $A = \pi (0.01)^2 = 0.0001 \pi \,m^2$ है।
फ्लक्स में परिवर्तन $\Delta \phi = (\Delta B) A = 2000 \times 0.0001 \pi = 0.2 \pi \,Wb$ है।
इन मानों को emf के सूत्र में रखने पर: $22 = N \left( \frac{0.2 \pi}{2} \right)$।
$22 = N (0.1 \pi)$।
$\pi \approx 3.14$ का उपयोग करने पर, $22 = N (0.314) \Rightarrow N = \frac{22}{0.314} \approx 70$।
अतः, फेरों की संख्या $70$ है।

(C) फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\phi = 5t^2 - 36t + 1$ दिया गया है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{d\phi}{dt} = 10t - 36$ प्राप्त होता है।
अतः,$\varepsilon = -(10t - 36) = 36 - 10t$।
$t = 2 \ s$ पर,प्रेरित $EMF$ $\varepsilon = 36 - 10(2) = 36 - 20 = 16 \ V$ होगा।
प्रेरित धारा $i = \frac{|\varepsilon|}{R}$ सूत्र द्वारा दी जाती है,जहाँ $R = 8 \ \Omega$ है।
इसलिए,$i = \frac{16 \ V}{8 \ \Omega} = 2 \ A$ प्राप्त होता है।

(A) लेंज़ के नियम के अनुसार,कुंडली में प्रेरित धारा उस चुंबकीय फ्लक्स परिवर्तन का विरोध करती है जो इसे उत्पन्न करता है।
सोलेनोइड-$1$ के लिए: चुंबक का उत्तरी ध्रुव इससे दूर जा रहा है। इसका विरोध करने के लिए,सोलेनोइड-$1$ का सिरा $B$ दक्षिणी ध्रुव के रूप में कार्य करना चाहिए। दाएं हाथ के अंगूठे के नियम का उपयोग करते हुए,धारा $B$ से $A$ की ओर प्रवाहित होती है।
सोलेनोइड-$2$ के लिए: चुंबक का दक्षिणी ध्रुव इसके करीब आ रहा है। इसका विरोध करने के लिए,सोलेनोइड-$2$ का सिरा $C$ दक्षिणी ध्रुव के रूप में कार्य करना चाहिए। दाएं हाथ के अंगूठे के नियम का उपयोग करते हुए,धारा $C$ से $D$ की ओर प्रवाहित होती है।
अतः,प्रेरित धारा की दिशाएं क्रमशः $B A$ और $C D$ हैं।

(C) लेंज़ के नियम के अनुसार,प्रेरित धारा चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन का विरोध करेगी।
चुंबकीय क्षेत्र कागज के तल के अंदर की ओर निर्देशित है और इसका परिमाण समय के साथ बढ़ रहा है,इसलिए लूप से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स तल के अंदर की ओर बढ़ रहा है।
इस वृद्धि का विरोध करने के लिए,प्रेरित चुंबकीय क्षेत्र को कागज के तल से बाहर की ओर निर्देशित होना चाहिए।
दाएं हाथ के अंगूठे के नियम का उपयोग करते हुए,तल से बाहर की ओर निर्देशित प्रेरित चुंबकीय क्षेत्र लूप में वामावर्त (anticlockwise) प्रेरित धारा के अनुरूप है।
लूप में वामावर्त पथ का पालन करते हुए,धारा खंड $ab$ में $b$ से $a$ की ओर और खंड $cd$ में $c$ से $d$ की ओर बहती है।

(A) अनंत लंबाई के सीधे तार द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं वृत्ताकार होती हैं और उनका केंद्र तार पर स्थित होता है।
तार के ऊपर किसी भी बिंदु के लिए,चुंबकीय क्षेत्र लूप के तल से बाहर की ओर होता है,और तार के नीचे किसी भी बिंदु के लिए,चुंबकीय क्षेत्र लूप के तल के अंदर की ओर होता है।
व्यास (तार) के सापेक्ष वृत्ताकार लूप की समरूपता के कारण,लूप के ऊपरी आधे हिस्से से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स,लूप के निचले आधे हिस्से से गुजरने वाले चुंबकीय फ्लक्स के परिमाण में बराबर लेकिन दिशा में विपरीत होता है।
इसलिए,तार से बहने वाली धारा $i$ के मान की परवाह किए बिना,पूरे लूप से गुजरने वाला कुल चुंबकीय फ्लक्स $(\phi)$ हमेशा शून्य रहता है।
चूंकि प्रेरित emf $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt}$ होता है,और $\phi = 0$ है,इसलिए धारा स्थिर हो या बदल रही हो,प्रेरित emf हमेशा शून्य ही रहेगा।
अतः,कथन $(A)$ और $(C)$ सही हैं।

(B) फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,लूप से गुजरने वाले चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन एक $EMF$ प्रेरित करता है।
लेंज़ का नियम बताता है कि प्रेरित धारा की दिशा ऐसी होती है कि वह उस चुंबकीय फ्लक्स परिवर्तन का विरोध करती है जिसने इसे उत्पन्न किया है।
दिए गए चित्र में,चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ कागज के तल के अंदर की ओर निर्देशित है (क्रॉस द्वारा दर्शाया गया है) और समय के साथ बढ़ रहा है।
इसका मतलब है कि लूप से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स,जो अंदर की ओर है,बढ़ रहा है।
इस वृद्धि का विरोध करने के लिए,प्रेरित धारा को एक ऐसा चुंबकीय क्षेत्र बनाना चाहिए जो बाहर की ओर (कागज के तल से बाहर) निर्देशित हो।
दाएं हाथ के अंगूठे के नियम के अनुसार,चुंबकीय क्षेत्र के बाहर की ओर होने के लिए,प्रेरित धारा को वामावर्त (anti-clockwise) दिशा में प्रवाहित होना चाहिए।
इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(D) फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार, प्रेरित emf $e$ का परिमाण चुंबकीय फ्लक्स के परिवर्तन की दर के बराबर होता है:
$e = \left| -\frac{d\phi}{dt} \right| = \left| \frac{d}{dt}(2t^2 + 1) \right|$
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$e = |4t + 0| = 4t$
समय $t = 1 \ s$ पर:
$e = 4(1) = 4 \ V$
अतः, प्रेरित emf का परिमाण $4 \ V$ है।

(C) फैराडे के प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित विद्युत वाहक बल $(e)$ $e = -\frac{d\Phi}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
ओम के नियम के अनुसार,प्रेरित धारा $(I)$ $I = \frac{e}{R} = -\frac{1}{R} \frac{d\Phi}{dt}$ है,जहाँ $R$ लूप का प्रतिरोध है।
लूप से प्रवाहित होने वाला आवेश $(q)$ $q = \int I dt$ द्वारा प्राप्त होता है।
$I$ के लिए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $q = \int -\frac{1}{R} \frac{d\Phi}{dt} dt = -\frac{1}{R} \int d\Phi$।
अतः,$q = -\frac{\Delta\Phi}{R}$,जहाँ $\Delta\Phi$ चुंबकीय फ्लक्स में कुल परिवर्तन है।
इस प्रकार,प्रेरित कुल आवेश चुंबकीय फ्लक्स में कुल परिवर्तन पर निर्भर करता है।

(C) दिया गया है: प्रतिरोध $R = 10 \ \Omega$,चुंबकीय फ्लक्स $\phi = 6t^2 + 7t + 1 \ mWb$,और समय $t = 1 \ s$ है।
फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित e.m.f. $(e)$ चुंबकीय फ्लक्स के परिवर्तन की दर के बराबर होता है:
$e = \left| \frac{d\phi}{dt} \right|$
$\phi$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d\phi}{dt} = \frac{d}{dt}(6t^2 + 7t + 1) = 12t + 7$
$t = 1 \ s$ का मान रखने पर:
$e = 12(1) + 7 = 19 \ mV$
अतः,$t = 1 \ s$ पर प्रेरित e.m.f. $19 \ mV$ है।