Sharing of Charge in Capacitor Circuit Questions in Hindi

(B) संधारित्र में संचित ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{C}$ है।
प्रारंभ में,संधारित्र को $100 \ V$ की बैटरी द्वारा आवेशित किया जाता है। संधारित्र पर आवेश $Q = CV = 900 \times 10^{-12} \ F \times 100 \ V = 9 \times 10^{-8} \ C$ है।
प्रारंभिक ऊर्जा $U_i = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{C} = 4.5 \times 10^{-6} \ J$ है।
जब आवेशित संधारित्र को समानांतर क्रम में $900 \ pF$ के दूसरे अनावेशित संधारित्र से जोड़ा जाता है,तो कुल आवेश $Q$ उनके बीच पुनर्वितरित हो जाता है।
निकाय की तुल्य धारिता $C' = C + C = 2C = 1800 \ pF$ हो जाती है।
चूंकि आवेश $Q$ संरक्षित रहता है,इसलिए निकाय की अंतिम ऊर्जा $U_f = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{C'} = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{2C} = \frac{1}{2} U_i$ होगी।
अतः,$U_f = \frac{4.5 \times 10^{-6} \ J}{2} = 2.25 \times 10^{-6} \ J$।

(C) प्रारंभिक धारिता $C_1 = 0.2 \, \mu F$ और प्रारंभिक विभव $V_1 = 600 \, V$ है।
संधारित्र पर प्रारंभिक आवेश $Q = C_1 V_1 = 0.2 \, \mu F \times 600 \, V = 120 \, \mu C$ है।
जब इस संधारित्र को $1.0 \, \mu F$ के अनावेशित संधारित्र $C_2$ के साथ समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो कुल आवेश $Q$ संरक्षित रहता है।
समानांतर संयोजन की तुल्य धारिता $C_{eq} = C_1 + C_2 = 0.2 \, \mu F + 1.0 \, \mu F = 1.2 \, \mu F$ है।
अंतिम विभव $V_f$ का मान $V_f = \frac{Q}{C_{eq}}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$V_f = \frac{120 \, \mu C}{1.2 \, \mu F} = 100 \, V$।

(D) कुल आवेश $Q = Q_1 + Q_2 = 80 \ \mu C + 40 \ \mu C = 120 \ \mu C$ है।
जब उन्हें एक चालक तार से जोड़ा जाता है,तो गोले एक समान विभव $V$ प्राप्त करते हैं।
$r_1 = 4 \ cm$ और $r_2 = 6 \ cm$ त्रिज्या वाले गोलों पर नया आवेश $Q_1'$ और $Q_2'$ इस प्रकार है:
$Q_1' = Q \left( \frac{r_1}{r_1 + r_2} \right) = 120 \left( \frac{4}{4 + 6} \right) = 120 \times 0.4 = 48 \ \mu C$।
$4 \ cm$ त्रिज्या वाले गोले पर प्रारंभिक आवेश $80 \ \mu C$ था।
अतः,$4 \ cm$ वाले गोले से $6 \ cm$ वाले गोले पर प्रवाहित होने वाला आवेश $\Delta Q = Q_1 - Q_1' = 80 \ \mu C - 48 \ \mu C = 32 \ \mu C$ होगा।

(C) दिया गया है: $C_1 = 2\ \mu F = 2 \times 10^{-6}\ F$, $V_1 = 300\ V$, $C_2 = 3\ \mu F = 3 \times 10^{-6}\ F$, $V_2 = 500\ V$।
दो संधारित्रों को समानांतर क्रम में जोड़ने पर खोई हुई ऊर्जा का सूत्र:
$\Delta U = \frac{C_1 C_2}{2(C_1 + C_2)} (V_1 - V_2)^2$
मान रखने पर:
$\Delta U = \frac{(2 \times 10^{-6}) \times (3 \times 10^{-6})}{2(2 \times 10^{-6} + 3 \times 10^{-6})} (300 - 500)^2$
$\Delta U = \frac{6 \times 10^{-12}}{10 \times 10^{-6}} (40000) = 0.024\ J$।

(B) जब दो संधारित्रों को समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो आवेश संरक्षित रहता है और उभयनिष्ठ विभव $V$ का सूत्र निम्नलिखित है:
$V = \frac{C_1V_1 + C_2V_2}{C_1 + C_2}$
दिया गया है:
$C_1 = 20\,\mu F, V_1 = 500\,V$
$C_2 = 10\,\mu F, V_2 = 200\,V$
मान रखने पर:
$V = \frac{(20 \times 500) + (10 \times 200)}{20 + 10}$
$V = \frac{10000 + 2000}{30}$
$V = \frac{12000}{30} = 400\,V$
अतः,उभयनिष्ठ विभव $400\,V$ है।

(B) संधारित्रों पर प्रारंभिक आवेश हैं:
$Q_1 = C_1 V = 1\,\mu F \times 1200\,V = 1200\,\mu C$
$Q_2 = C_2 V = 2\,\mu F \times 1200\,V = 2400\,\mu C$
जब विपरीत ध्रुवता के साथ जोड़ा जाता है,तो पुनर्वितरण के लिए उपलब्ध कुल आवेश $Q_{net} = |Q_2 - Q_1| = |2400 - 1200| = 1200\,\mu C$ है।
पुनर्वितरण के बाद उभयनिष्ठ विभव $V'$ इस प्रकार है:
$V' = \frac{Q_{net}}{C_1 + C_2} = \frac{1200\,\mu C}{1\,\mu F + 2\,\mu F} = \frac{1200}{3} = 400\,V$.
संधारित्रों पर नया आवेश है:
$Q_1' = C_1 V' = 1\,\mu F \times 400\,V = 400\,\mu C$
$Q_2' = C_2 V' = 2\,\mu F \times 400\,V = 800\,\mu C$.

(C) जब दो धात्विक गोलों को एक चालक तार से जोड़ा जाता है,तो आवेश तब तक प्रवाहित होता है जब तक कि दोनों गोले समान विभव $V$ प्राप्त न कर लें।
कुल आवेश $Q_{total} = q_1 + q_2 = -1 \times 10^{-2} + 5 \times 10^{-2} = 4 \times 10^{-2} \, C$.
कुल धारिता $C_{total} = C_1 + C_2 = 4 \pi \varepsilon_0 R_1 + 4 \pi \varepsilon_0 R_2 = 4 \pi \varepsilon_0 (R_1 + R_2)$.
समान विभव $V = \frac{Q_{total}}{C_{total}} = \frac{4 \times 10^{-2}}{4 \pi \varepsilon_0 (1 \times 10^{-2} + 3 \times 10^{-2})} = \frac{4 \times 10^{-2}}{4 \pi \varepsilon_0 (4 \times 10^{-2})} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}$.
बड़े गोले $(R_2 = 3 \, cm)$ पर अंतिम आवेश $q_2' = C_2 V = (4 \pi \varepsilon_0 R_2) \times V$ है।
$q_2' = (4 \pi \varepsilon_0 \times 3 \times 10^{-2}) \times \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 3 \times 10^{-2} \, C$.

(C) प्रारंभ में,$2\,\mu F$ संधारित्र में संचित ऊर्जा:
$U_{i} = \frac{1}{2} C V^{2} = \frac{1}{2} (2 \times 10^{-6}) V^{2} = V^{2} \times 10^{-6} \, J$
प्रारंभ में,$2\,\mu F$ संधारित्र में संचित आवेश:
$Q_{i} = C V = (2 \times 10^{-6}) V = 2V \times 10^{-6} \, C$
जब स्विच $S$ को स्थिति $2$ पर घुमाया जाता है,तो आवेश प्रवाहित होता है और दोनों संधारित्र तब तक आवेश साझा करते हैं जब तक कि एक सामान्य विभव $V_{c}$ प्राप्त न हो जाए।
$V_{c} = \frac{\text{कुल आवेश}}{\text{कुल धारिता}} = \frac{2V \times 10^{-6}}{(2 + 8) \times 10^{-6}} = \frac{V}{5} \, V$
अंत में,दोनों संधारित्रों में संचित ऊर्जा:
$U_{f} = \frac{1}{2} (C_{1} + C_{2}) V_{c}^{2} = \frac{1}{2} (10 \times 10^{-6}) \left(\frac{V}{5}\right)^{2} = 5 \times 10^{-6} \times \frac{V^{2}}{25} = \frac{V^{2}}{5} \times 10^{-6} \, J$
ऊर्जा का प्रतिशत व्यय:
$\Delta U \% = \frac{U_{i} - U_{f}}{U_{i}} \times 100 \%$
$\Delta U \% = \frac{V^{2} \times 10^{-6} - \frac{V^{2}}{5} \times 10^{-6}}{V^{2} \times 10^{-6}} \times 100 \% = \left(1 - \frac{1}{5}\right) \times 100 \% = \frac{4}{5} \times 100 \% = 80 \%$

(B) माना प्रारंभिक धारिता $C$ है और बैटरी द्वारा प्रदान किया गया विभवांतर $V$ है। संधारित्र पर प्रारंभिक आवेश $q = CV$ है।
संधारित्र में संचित प्रारंभिक स्थिर-वैद्युत ऊर्जा $U_i = \frac{1}{2} CV^2$ है।
जब बैटरी को हटा दिया जाता है और $C$ धारिता का एक अन्य समान अनावेशित संधारित्र समानांतर में जोड़ा जाता है,तो कुल आवेश $q$ दोनों संधारित्रों के बीच साझा हो जाता है। चूंकि संधारित्र समान हैं,प्रत्येक संधारित्र पर आवेश $q' = q/2 = CV/2$ हो जाता है।
समानांतर संयोजन पर सामान्य विभवांतर $V_c = \frac{q}{C_{eq}} = \frac{CV}{C + C} = \frac{V}{2}$ है।
निकाय की अंतिम स्थिर-वैद्युत ऊर्जा दोनों संधारित्रों में संचित ऊर्जा का योग है:
$U_f = \frac{1}{2} C V_c^2 + \frac{1}{2} C V_c^2 = C V_c^2$.
$V_c = V/2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$U_f = C \left(\frac{V}{2}\right)^2 = C \left(\frac{V^2}{4}\right) = \frac{1}{4} CV^2$.
अंतिम ऊर्जा की प्रारंभिक ऊर्जा से तुलना करने पर:
$U_f = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2} CV^2\right) = \frac{1}{2} U_i$.
अतः,परिणामी निकाय की कुल स्थिर-वैद्युत ऊर्जा $2$ के गुणक से घट जाती है।

(A) जब पिंड $1$ (आवेश $Q$,धारिता $C$) को पिंड $2$ (आवेश $0$,धारिता $2C$) से स्पर्श कराया जाता है,तो कुल आवेश $Q$ उनकी धारिता के अनुपात में साझा होता है। पिंड $1$ पर नया आवेश $Q_1' = Q \times \frac{C}{C + 2C} = \frac{Q}{3}$ होता है।
पिंड $2$ को पिंड $3$ (धारिता $C_3 \rightarrow \infty$) से स्पर्श कराने के बाद,पिंड $2$ अनावेशित हो जाता है क्योंकि उसका सारा आवेश पिंड $3$ के अनंत भंडार में चला जाता है।
इस प्रकार,एक पूर्ण प्रक्रिया के बाद,पिंड $1$ पर आवेश $Q_1 = \frac{Q}{3}$ हो जाता है।
दूसरी प्रक्रिया के बाद,पिंड $1$ पर आवेश $Q_2 = \frac{Q_1}{3} = \frac{Q}{3^2}$ हो जाता है।
इस प्रक्रिया को $N$ बार दोहराने पर,$N$ प्रक्रियाओं के बाद पिंड $1$ पर आवेश $Q_N = \frac{Q}{3^N}$ होगा।

(B) संधारित्रों पर प्रारंभिक आवेश हैं:
$q_1 = C \times V = CV$
$q_2 = 2C \times 2V = 4CV$
जब विपरीत ध्रुवता के साथ जोड़ा जाता है,तो निकाय पर कुल आवेश है:
$Q_{net} = |q_2 - q_1| = |4CV - CV| = 3CV$
समांतर क्रम में संधारित्रों की तुल्य धारिता है:
$C_{eq} = C + 2C = 3C$
संयोजन पर उभयनिष्ठ विभव $V'$ है:
$V' = \frac{Q_{net}}{C_{eq}} = \frac{3CV}{3C} = V$
विन्यास में संचित अंतिम ऊर्जा है:
$U = \frac{1}{2} C_{eq} (V')^2 = \frac{1}{2} (3C) (V)^2 = \frac{3}{2} CV^2$

(B) संधारित्रों पर प्रारंभिक आवेश:
$Q_1 = C_1 V_1 = 2 \mu F \times 10 \ V = 20 \mu C$
$Q_2 = C_2 V_2 = 4 \mu F \times 20 \ V = 80 \mu C$
संधारित्रों में संचित प्रारंभिक ऊर्जा:
$U_i = \frac{1}{2} C_1 V_1^2 + \frac{1}{2} C_2 V_2^2 = \frac{1}{2} (2 \times 10^{-6}) (10)^2 + \frac{1}{2} (4 \times 10^{-6}) (20)^2 = 100 \mu J + 800 \mu J = 900 \mu J$
चूंकि प्लेटें विपरीत ध्रुवता के साथ जुड़ी हैं,इसलिए कुल आवेश:
$Q_{net} = |Q_2 - Q_1| = |80 \mu C - 20 \mu C| = 60 \mu C$
जुड़ने के बाद सामान्य विभव $V$:
$V = \frac{Q_{net}}{C_1 + C_2} = \frac{60 \mu C}{2 \mu F + 4 \mu F} = \frac{60}{6} V = 10 \ V$
संधारित्रों में संचित अंतिम ऊर्जा:
$U_f = \frac{1}{2} (C_1 + C_2) V^2 = \frac{1}{2} (6 \mu F) (10 \ V)^2 = 300 \mu J$
परिपथ में उत्पन्न ऊष्मा ऊर्जा में हुई हानि है:
$H = U_i - U_f = 900 \mu J - 300 \mu J = 600 \mu J$

(C) जब दो संधारित्रों को इस प्रकार जोड़ा जाता है कि उनकी विपरीत ध्रुवता वाली प्लेटें एक साथ जुड़ जाएं,तो अंतिम विभव शून्य होने के लिए जुड़ी हुई प्लेटों पर कुल आवेश शून्य होना चाहिए।
संधारित्रों पर प्रारंभिक आवेश $q_1 = C_1 V_1 = 120 C_1$ और $q_2 = C_2 V_2 = 200 C_2$ हैं।
अंतिम विभव शून्य होने के लिए,कुल आवेश शून्य होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि आवेशों के परिमाण समान होने चाहिए:
$120 C_1 = 200 C_2$
दोनों पक्षों को $40$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$3 C_1 = 5 C_2$

(A) प्रारंभ में,$AB$ के सिरों पर जुड़ा संधारित्र $C$,$Q$ आवेश तक आवेशित है। संचित प्रारंभिक ऊर्जा $U_i = \frac{Q^2}{2C}$ है।
जब स्विच को स्थिति $2$ पर स्थानांतरित किया जाता है,तो संधारित्र $C$ अन्य दो संधारित्रों (प्रत्येक की धारिता $C$) के साथ समानांतर क्रम में जुड़ जाता है। परिपथ की कुल तुल्य धारिता $C_{eq} = C + C + C = 3C$ हो जाती है।
अब $Q$ आवेश इन तीन संधारित्रों के बीच पुनर्वितरित हो जाता है। चूंकि वे समानांतर में हैं,इसलिए प्रत्येक के सिरों पर अंतिम विभवांतर समान रहता है। निकाय में संचित अंतिम ऊर्जा $U_f = \frac{Q^2}{2C_{eq}} = \frac{Q^2}{2(3C)} = \frac{Q^2}{6C}$ है।
उत्पन्न ऊष्मा प्रारंभिक और अंतिम ऊर्जा के बीच का अंतर है: $\text{Heat} = U_i - U_f = \frac{Q^2}{2C} - \frac{Q^2}{6C} = \frac{3Q^2 - Q^2}{6C} = \frac{2Q^2}{6C} = \frac{Q^2}{3C}$.

(B) किसी चालक का विद्युत विभव $V$ सूत्र $V = \frac{Q}{C}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $Q$ आवेश है और $C$ धारिता है।
चालक $A$ के लिए:
$V_A = \frac{Q_A}{C_A} = \frac{30 \, \mu\text{C}}{10 \, \mu\text{F}} = 3 \, \text{V}$
चालक $B$ के लिए:
$V_B = \frac{Q_B}{C_B} = \frac{20 \, \mu\text{C}}{5 \, \mu\text{F}} = 4 \, \text{V}$
चूंकि धनात्मक आवेश हमेशा उच्च विभव वाले पिंड से निम्न विभव वाले पिंड की ओर प्रवाहित होता है,और यहाँ $V_B > V_A$ $(4 \, \text{V} > 3 \, \text{V})$ है,इसलिए धनात्मक आवेश $B$ से $A$ की ओर प्रवाहित होगा।

(C) जब दो संधारित्रों को समांतर क्रम में इस प्रकार जोड़ा जाता है कि उनकी समान रूप से आवेशित प्लेटें एक साथ जुड़ी हों,तो कुल आवेश संरक्षित रहता है और संधारित्र एक उभयनिष्ठ विभव $V$ प्राप्त कर लेते हैं।
कुल आवेश $Q_{total} = Q_1 + Q_2 = C_1 V_1 + C_2 V_2$ है।
कुल धारिता $C_{total} = C_1 + C_2$ है।
उभयनिष्ठ विभव $V$ का सूत्र है:
$V = \frac{C_1 V_1 + C_2 V_2}{C_1 + C_2}$
यहाँ $C_1 = 20 \, \mu F$,$V_1 = 30 \, V$,$C_2 = 30 \, \mu F$,$V_2 = 20 \, V$ दिया गया है।
$V = \frac{(20 \times 30) + (30 \times 20)}{20 + 30} \, V$
$V = \frac{600 + 600}{50} \, V$
$V = \frac{1200}{50} \, V = 24 \, V$.

(B) संधारित्रों पर प्रारंभिक आवेश:
$Q_1 = C_1 V_1 = 2\,\mu F \times 10\,V = 20\,\mu C$
$Q_2 = C_2 V_2 = 4\,\mu F \times 20\,V = 80\,\mu C$
चूंकि एक की धनात्मक प्लेट दूसरे की ऋणात्मक प्लेट से जुड़ी है,कुल आवेश $Q_{net} = |Q_2 - Q_1| = |80 - 20| = 60\,\mu C$ होगा।
जुड़ने के बाद उभयनिष्ठ विभव $V = \frac{Q_{net}}{C_1 + C_2} = \frac{60\,\mu C}{2\,\mu F + 4\,\mu F} = \frac{60}{6} = 10\,V$ होगा।
प्रारंभिक ऊर्जा $U_i = \frac{1}{2} C_1 V_1^2 + \frac{1}{2} C_2 V_2^2 = \frac{1}{2}(2)(10)^2 + \frac{1}{2}(4)(20)^2 = 100 + 800 = 900\,\mu J$।
अंतिम ऊर्जा $U_f = \frac{1}{2} (C_1 + C_2) V^2 = \frac{1}{2}(2 + 4)(10)^2 = \frac{1}{2}(6)(100) = 300\,\mu J$।
उत्पन्न ऊष्मा $H = U_i - U_f = 900\,\mu J - 300\,\mu J = 600\,\mu J$।

(B) प्रथम संधारित्र का आवेश $Q_1 = C \times V = CV$ है।
द्वितीय संधारित्र का आवेश $Q_2 = 2C \times 2V = 4CV$ है।
चूंकि उन्हें विपरीत ध्रुवता के साथ जोड़ा गया है,कुल आवेश $Q_{net} = |Q_2 - Q_1| = |4CV - CV| = 3CV$ है।
कुल धारिता $C_{eq} = C + 2C = 3C$ है।
समांतर संयोजन के बाद उभयनिष्ठ विभवांतर $V' = \frac{Q_{net}}{C_{eq}} = \frac{3CV}{3C} = V$ है।
अंतिम ऊर्जा $U_f = \frac{1}{2} C_{eq} (V')^2 = \frac{1}{2} (3C) V^2 = \frac{3}{2} CV^2$ है।

(C) धारिता वाले संधारित्र को प्रारंभ में $V_0$ विभवांतर तक आवेशित किया जाता है। संधारित्र पर प्रारंभिक आवेश $Q = CV_0$ है।
जब इस संधारित्र को $C_x$ धारिता वाले एक अनावेशित संधारित्र से जोड़ा जाता है,तो कुल आवेश $Q$ संरक्षित रहता है और दोनों संधारित्रों के बीच वितरित हो जाता है।
चूंकि वे समानांतर में जुड़े हुए हैं,इसलिए वे समान विभवांतर $V$ प्राप्त करेंगे।
कुल आवेश $Q = (C + C_x)V$ रहता है।
प्रारंभिक और अंतिम आवेशों की तुलना करने पर: $CV_0 = (C + C_x)V$.
$C_x$ के लिए हल करने पर: $C + C_x = \frac{CV_0}{V}$.
अतः,$C_x = C\left( \frac{V_0}{V} - 1 \right)$.

(B) जब स्विच $S$ खुला होता है,तो दो संधारित्र $C$ ($A$ और $B$ के रूप में लेबल किए गए) बैटरी $E$ के साथ श्रेणीक्रम में होते हैं। तुल्य धारिता $C_{eq} = \frac{C \times C}{C + C} = \frac{C}{2}$ है।
बैटरी द्वारा आपूर्ति किया गया प्रारंभिक आवेश $Q_1 = C_{eq}E = \frac{CE}{2}$ है।
जब स्विच $S$ बंद हो जाता है,तो संधारित्र $B$ शॉर्ट-सर्किट हो जाता है। केवल संधारित्र $A$ ही बैटरी $E$ के साथ जुड़ा रहता है।
बैटरी द्वारा आपूर्ति किया गया अंतिम आवेश $Q_2 = CE$ है।
बैटरी से प्रवाहित होने वाला आवेश,आवेश में परिवर्तन है: $\Delta Q = Q_2 - Q_1 = CE - \frac{CE}{2} = \frac{CE}{2}$.

(D) एक चालक गोले का विभव $V = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 R}$ द्वारा दिया जाता है।
जब दो गोलों को संपर्क में लाया जाता है,तो आवेश तब तक प्रवाहित होता है जब तक कि उनके विभव समान न हो जाएं।
निकाय की प्रारंभिक ऊर्जा $U_i = \frac{1}{2} \frac{Q_1^2}{C_1} + \frac{1}{2} \frac{Q_2^2}{C_2}$ है,जहाँ $C_1 = 4 \pi \varepsilon_0 R_1$ और $C_2 = 4 \pi \varepsilon_0 R_2$ है।
निकाय की अंतिम ऊर्जा $U_f = \frac{1}{2} (C_1 + C_2) V^2$ है,जहाँ $V = \frac{Q_1 + Q_2}{C_1 + C_2}$ है।
ऊर्जा में हानि $\Delta U = U_i - U_f = \frac{C_1 C_2}{2(C_1 + C_2)} (V_1 - V_2)^2$ द्वारा दी जाती है।
चूँकि $(V_1 - V_2)^2$ हमेशा धनात्मक होता है,इसलिए यदि $V_1 \neq V_2$ है तो $\Delta U > 0$ होगा।
$V_1 = V_2$ का अर्थ है $\frac{Q_1}{R_1} = \frac{Q_2}{R_2}$,जिसका अर्थ है $Q_1 R_2 = Q_2 R_1$ है।
अतः,यदि $Q_1 R_2 \neq Q_2 R_1$ है,तो निकाय की ऊर्जा में कमी आती है।

(C) जब $C_1$ और $C_2$ धारिता वाले दो संधारित्रों को $V_1$ और $V_2$ विभव पर जोड़ा जाता है,तो ऊर्जा की हानि $\Delta U$ का सूत्र है:
$\Delta U = \frac{1}{2} \frac{C_1 C_2 (V_1 - V_2)^2}{C_1 + C_2}$
दिया गया है: $C_1 = 3\,\mu F = 3 \times 10^{-6}\,F$,$V_1 = 300\,V$,$C_2 = 5\,\mu F = 5 \times 10^{-6}\,F$,$V_2 = 500\,V$.
मान रखने पर:
$\Delta U = \frac{1}{2} \times \frac{(3 \times 10^{-6}) \times (5 \times 10^{-6}) \times (500 - 300)^2}{(3 \times 10^{-6} + 5 \times 10^{-6})}$
$\Delta U = \frac{1}{2} \times \frac{15 \times 10^{-12} \times (200)^2}{8 \times 10^{-6}}$
$\Delta U = \frac{15 \times 10^{-12} \times 40000}{16 \times 10^{-6}}$
$\Delta U = \frac{600000 \times 10^{-12}}{16 \times 10^{-6}}$
$\Delta U = \frac{6 \times 10^5 \times 10^{-12}}{16 \times 10^{-6}} = \frac{6}{16} \times 10^{-1} = 0.375 \times 10^{-1} = 0.0375\,J$.

(C) आवेश हमेशा उच्च विभव से निम्न विभव की ओर प्रवाहित होता है। संधारित्र का विभव $V = \frac{Q}{C}$ द्वारा दिया जाता है।
सर्किट $(a)$ के लिए:
बाएं संधारित्र का विभव $V_L = \frac{2Q}{3C} = \frac{2}{3} \frac{Q}{C}$.
दाएं संधारित्र का विभव $V_R = \frac{Q}{C}$.
चूंकि $V_R > V_L$, आवेश $R$ से $L$ की ओर प्रवाहित होगा।
सर्किट $(b)$ के लिए:
बाएं संधारित्र का विभव $V_L = \frac{2Q}{2C} = \frac{Q}{C}$.
दाएं संधारित्र का विभव $V_R = \frac{Q}{2C} = 0.5 \frac{Q}{C}$.
चूंकि $V_L > V_R$, आवेश $L$ से $R$ की ओर प्रवाहित होगा।

(C) जब $S_1$ बंद होता है,तब $C_1$ पर प्रारंभिक आवेश:
$q = C_1 V = 6\,\mu F \times 20\,V = 120\,\mu C$.
जब $S_1$ को खोल दिया जाता है,तो $q = 120\,\mu C$ आवेश $C_1$ पर संचित रहता है।
जब $S_2$ को बंद किया जाता है,तो आवेश समानांतर क्रम में जुड़े $C_1$ और $C_2$ के बीच साझा होता है। मान लीजिए उभयनिष्ठ विभव $V'$ है।
कुल आवेश संरक्षित रहता है: $q = (C_1 + C_2) V'$.
$120\,\mu C = (6\,\mu F + 3\,\mu F) V' = 9\,\mu F \times V'$.
$V' = \frac{120}{9} = \frac{40}{3}\,V$.
$C_2$ पर अंतिम आवेश:
$q_2 = C_2 V' = 3\,\mu F \times \frac{40}{3}\,V = 40\,\mu C$.

(B) प्रारंभ में,$C$ धारिता वाले संधारित्र को बैटरी द्वारा $V$ विभव तक आवेशित किया जाता है। संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} CV^2 = \frac{Q^2}{2C}$ है,जहाँ $Q$ प्रारंभिक आवेश है।
जब बैटरी को हटा दिया जाता है और समान धारिता $C$ का दूसरा संधारित्र समानांतर में जोड़ा जाता है,तो कुल आवेश $Q$ दोनों संधारित्रों के बीच पुनर्वितरित हो जाता है।
चूंकि संधारित्र समानांतर में हैं,वे आवेश को समान रूप से साझा करेंगे,इसलिए प्रत्येक संधारित्र पर अब $Q' = \frac{Q}{2}$ आवेश होगा।
प्रत्येक संधारित्र पर नया विभवांतर $V' = \frac{Q'}{C} = \frac{Q}{2C} = \frac{V}{2}$ है।
प्रत्येक संधारित्र में संचित ऊर्जा $U' = \frac{1}{2} C(V')^2 = \frac{1}{2} C \left(\frac{V}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} C \frac{V^2}{4} = \frac{1}{4} \left(\frac{1}{2} CV^2\right) = \frac{U}{4}$ है।

(A) संधारित्र पर प्रारंभिक आवेश $Q = C_1 V_1 = 0.2 \, F \times 600 \, V = 120 \, C$ है।
जब बैटरी को हटा दिया जाता है और संधारित्र को $C_2 = 1 \, F$ के दूसरे संधारित्र से जोड़ा जाता है,तो कुल आवेश $Q$ संरक्षित रहता है और दोनों संधारित्रों में वितरित हो जाता है।
नया विभव $V'$ का सूत्र $V' = \frac{Q}{C_1 + C_2}$ है।
मान रखने पर: $V' = \frac{120 \, C}{0.2 \, F + 1 \, F} = \frac{120}{1.2} \, V$.
$V' = 100 \, V$.

(C) $10\,\mu F$ संधारित्र पर प्रारंभिक आवेश $q = C_1 V_1 = 10\,\mu F \times 1000\, V = 10000\,\mu C$ है।
जब दो संधारित्रों को समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो कुल आवेश $q$ उनके बीच पुनर्वितरित हो जाता है।
निकाय की कुल धारिता $C_{eq} = C_1 + C_2 = 10\,\mu F + 6\,\mu F = 16\,\mu F$ है।
प्रत्येक संधारित्र पर अंतिम विभवांतर $V' = q / C_{eq}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$V' = 10000\,\mu C / 16\,\mu F = 625\, V$.

(D) मान लीजिए कि वायु-क्रोड वाले संधारित्र की धारिता $C$ है। तब $K$ परावैद्युत वाले संधारित्र की धारिता $C_K = KC$ होगी।
जुड़ने पर,कुल आवेश $Q = C \times V + KC \times 0 = CV$ होता है।
निकाय की कुल धारिता $C_{total} = C + KC = C(1 + K)$ है।
उभयनिष्ठ विभव $V'$ को $V' = \frac{Q}{C_{total}} = \frac{CV}{C(1 + K)} = \frac{V}{1 + K}$ द्वारा दिया जाता है।
$K$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $1 + K = \frac{V}{V'}$.
अतः,$K = \frac{V}{V'} - 1 = \frac{V - V'}{V'}$.

(D) प्रारंभ में,संधारित्र $C_1$ पर आवेश $Q$ है और $C_2$ अनावेशित है। जब स्विच बंद किया जाता है,तो आवेश तब तक प्रवाहित होता है जब तक कि दोनों संधारित्र समान विभव $V$ तक नहीं पहुँच जाते।
स्थिर अवस्था में,दोनों संधारित्रों के सिरों पर विभवांतर समान होता है:
$V = \frac{Q_1}{C_1} = \frac{Q_2}{C_2}$
दिया गया है कि $C_2 = 2C_1$,इसलिए:
$\frac{Q_1}{C_1} = \frac{Q_2}{2C_1} \implies Q_2 = 2Q_1$
आवेश संरक्षण के नियम के अनुसार,कुल आवेश स्थिर रहता है:
$Q_1 + Q_2 = Q$
समीकरण में $Q_2 = 2Q_1$ रखने पर:
$Q_1 + 2Q_1 = Q \implies 3Q_1 = Q \implies Q_1 = \frac{Q}{3}$
अतः,$Q_2 = 2Q_1 = \frac{2Q}{3}$
इस प्रकार,संधारित्रों पर आवेश $\frac{Q}{3}$ और $\frac{2Q}{3}$ है।

(A) संधारित्र $C_1$ में संचित प्रारंभिक ऊर्जा:
$U_1 = \frac{1}{2} C_1 V_0^2$
जब स्विच $S$ को बंद किया जाता है,तो आवेश $Q = C_1 V_0$ दोनों संधारित्रों के बीच तब तक पुनर्वितरित होता है जब तक कि वे समान विभव $V$ प्राप्त न कर लें। आवेश संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार:
$C_1 V_0 = (C_1 + C_2) V$
$V = \frac{C_1 V_0}{C_1 + C_2}$
निकाय में संचित अंतिम ऊर्जा:
$U_2 = \frac{1}{2} (C_1 + C_2) V^2 = \frac{1}{2} (C_1 + C_2) \left( \frac{C_1 V_0}{C_1 + C_2} \right)^2 = \frac{1}{2} \frac{C_1^2 V_0^2}{C_1 + C_2}$
जुड़ने से पहले और बाद की ऊर्जा का अनुपात:
$\frac{U_1}{U_2} = \frac{\frac{1}{2} C_1 V_0^2}{\frac{1}{2} \frac{C_1^2 V_0^2}{C_1 + C_2}} = \frac{C_1 (C_1 + C_2)}{C_1^2} = \frac{C_1 + C_2}{C_1}$

(A) संधारित्र में संचित प्रारंभिक ऊर्जा: $U_i = \frac{1}{2} C V^2 = \frac{1}{2} \times (400 \times 10^{-12} \, F) \times (100 \, V)^2 = 2 \times 10^{-6} \, J$।
जब आवेशित संधारित्र को एक समान अनावेशित संधारित्र से जोड़ा जाता है,तो आवेश का पुनर्वितरण तब तक होता है जब तक कि दोनों पर विभव समान न हो जाए।
उभयनिष्ठ विभव $V' = \frac{C_1 V_1 + C_2 V_2}{C_1 + C_2} = \frac{400 \times 100 + 400 \times 0}{400 + 400} = 50 \, V$ है।
निकाय में संचित अंतिम ऊर्जा $U_f = \frac{1}{2} (C_1 + C_2) (V')^2 = \frac{1}{2} \times (800 \times 10^{-12} \, F) \times (50 \, V)^2 = 1 \times 10^{-6} \, J$ है।
ऊर्जा हानि $\Delta U = U_i - U_f = 2 \times 10^{-6} \, J - 1 \times 10^{-6} \, J = 1 \times 10^{-6} \, J$ है।

(B) संधारित्र में संचित प्रारंभिक ऊर्जा $U = \frac{1}{2}CV^2$ है,जहाँ $C$ धारिता है और $V$ विभवांतर है।
जब समान धारिता $C$ का एक अनावेशित संधारित्र समांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो कुल आवेश $Q = CV$ दोनों संधारित्रों के बीच पुनर्वितरित हो जाता है।
चूंकि संधारित्र समांतर क्रम में हैं,प्रत्येक संधारित्र पर नया विभवांतर $V' = \frac{Q}{C_{eq}} = \frac{CV}{C + C} = \frac{V}{2}$ होगा।
प्रत्येक संधारित्र में संचित नई ऊर्जा $U' = \frac{1}{2}C(V')^2$ है।
$V' = \frac{V}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $U' = \frac{1}{2}C(\frac{V}{2})^2 = \frac{1}{2}C(\frac{V^2}{4}) = \frac{1}{4}(\frac{1}{2}CV^2) = \frac{U}{4}$ प्राप्त होता है।

(C) प्रारंभ में,संधारित्र $C_{1}$ को बैटरी द्वारा $V$ विभव तक आवेशित किया जाता है। $C_{1}$ में संचित प्रारंभिक ऊर्जा $U_{i} = \frac{1}{2} C V^{2}$ है।
जब बैटरी को डिस्कनेक्ट किया जाता है और $C_{1}$ को एक अनावेशित संधारित्र $C_{2}$ (जहाँ $C_{1} = C_{2} = C$) के साथ समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो आवेश का पुनर्वितरण होता है।
जुड़ने के बाद सामान्य विभव $V'$ का मान $V' = \frac{C_{1}V + C_{2}(0)}{C_{1} + C_{2}} = \frac{CV}{2C} = \frac{V}{2}$ होता है।
निकाय में संचित अंतिम ऊर्जा $U_{f} = \frac{1}{2} (C_{1} + C_{2}) (V')^{2} = \frac{1}{2} (2C) (\frac{V}{2})^{2} = C \cdot \frac{V^{2}}{4} = \frac{1}{4} C V^{2}$ है।
ऊर्जा में हानि $\Delta U = U_{i} - U_{f} = \frac{1}{2} C V^{2} - \frac{1}{4} C V^{2} = \frac{1}{4} C V^{2}$ है।
ऊर्जा में प्रतिशत हानि $\frac{\Delta U}{U_{i}} \times 100 = \frac{\frac{1}{4} C V^{2}}{\frac{1}{2} C V^{2}} \times 100 = 50 \%$ है।

(B) संधारित्र पर प्रारंभिक आवेश: $Q = CV = 60 \times 10^{-12} \; F \times 20 \; V = 1200 \times 10^{-12} \; C = 1.2 \times 10^{-9} \; C$.
संचित प्रारंभिक स्थिर वैद्युत ऊर्जा: $U_i = \frac{1}{2} CV^2 = \frac{1}{2} \times 60 \times 10^{-12} \times (20)^2 = 30 \times 10^{-12} \times 400 = 12000 \times 10^{-12} \; J = 12 \; nJ$.
जब समानांतर में जोड़ा जाता है,तो कुल धारिता $C_{eq} = C + C = 2C = 120 \; pF$ हो जाती है। कुल आवेश $Q$ संरक्षित रहता है और प्रत्येक संधारित्र पर $Q/2$ के रूप में समान रूप से पुनर्वितरित हो जाता है।
अंतिम संचित स्थिर वैद्युत ऊर्जा: $U_f = \frac{(Q/2)^2}{2C} + \frac{(Q/2)^2}{2C} = 2 \times \frac{Q^2/4}{2C} = \frac{Q^2}{4C} = \frac{1}{2} \times \frac{Q^2}{2C} = \frac{1}{2} U_i = \frac{1}{2} \times 12 \; nJ = 6 \; nJ$.
नष्ट हुई ऊर्जा: $\Delta U = U_i - U_f = 12 \; nJ - 6 \; nJ = 6 \; nJ$.

(A) प्रारंभिक धारिता $C_1 = 600\; pF = 600 \times 10^{-12}\; F$ और विभव $V_1 = 200\; V$ है।
प्रारंभिक ऊर्जा $E_i = \frac{1}{2} C_1 V_1^2 = \frac{1}{2} \times 600 \times 10^{-12} \times (200)^2 = 1.2 \times 10^{-5}\; J$ है।
जब इसे एक समान अनावेशित संधारित्र $C_2 = 600\; pF$ से जोड़ा जाता है, तो आवेश $Q = C_1 V_1 = 600 \times 10^{-12} \times 200 = 1.2 \times 10^{-7}\; C$ साझा होता है।
उभयनिष्ठ विभव $V'$ का मान $V' = \frac{Q}{C_1 + C_2} = \frac{1.2 \times 10^{-7}}{1200 \times 10^{-12}} = 100\; V$ है।
अंतिम ऊर्जा $E_f = \frac{1}{2} (C_1 + C_2) (V')^2 = \frac{1}{2} \times 1200 \times 10^{-12} \times (100)^2 = 0.6 \times 10^{-5}\; J$ है।
ऊर्जा का ह्रास $\Delta E = E_i - E_f = 1.2 \times 10^{-5} - 0.6 \times 10^{-5} = 0.6 \times 10^{-5}\; J = 6 \times 10^{-6}\; J$ है।

(A) प्रारंभिक धारिता $C_1 = 4 \;\mu F = 4 \times 10^{-6} \;F$ और आपूर्ति वोल्टेज $V_1 = 200 \;V$ है।
प्रारंभिक स्थिरवैद्युत ऊर्जा $E_1 = \frac{1}{2} C_1 V_1^2 = \frac{1}{2} \times 4 \times 10^{-6} \times (200)^2 = 8 \times 10^{-2} \;J$ है।
जब इसे एक अनावेशित संधारित्र $C_2 = 2 \;\mu F$ से जोड़ा जाता है,तो उभयनिष्ठ विभव $V = \frac{C_1 V_1}{C_1 + C_2} = \frac{4 \times 200}{4 + 2} = \frac{800}{6} = \frac{400}{3} \;V$ होता है।
अंतिम ऊर्जा $E_2 = \frac{1}{2} (C_1 + C_2) V^2 = \frac{1}{2} \times (6 \times 10^{-6}) \times (\frac{400}{3})^2 = 3 \times 10^{-6} \times \frac{160000}{9} = \frac{16}{3} \times 10^{-2} \approx 5.33 \times 10^{-2} \;J$ है।
नष्ट हुई ऊर्जा $\Delta E = E_1 - E_2 = 8 \times 10^{-2} - 5.33 \times 10^{-2} = 2.67 \times 10^{-2} \;J$ है।

(N/A) स्थिति $1$: $K_1$ बंद है और $K_2$ खुला है।
संधारित्र $C_1$ और $C_2$ बैटरी $E = 9 \, V$ के साथ श्रेणीक्रम में हैं।
तुल्य धारिता $C_{eq} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{(6C)(3C)}{6C + 3C} = \frac{18C^2}{9C} = 2C = 2 \,\mu F$ है।
प्रत्येक संधारित्र पर आवेश $Q = C_{eq} E = 2 \,\mu F \times 9 \, V = 18 \,\mu C$ है।
अतः,$Q_1 = 18 \,\mu C$,$Q_2 = 18 \,\mu C$,और $Q_3 = 0 \,\mu C$ है।
स्थिति $2$: $K_1$ को खोल दिया गया और $K_2$ को बंद कर दिया गया।
अब,$C_1$ बैटरी से अलग हो गया है। संधारित्र $C_2$ ($18 \,\mu C$ आवेशित) संधारित्र $C_3$ (प्रारंभ में अनावेशित) के साथ समांतर क्रम में जुड़ जाता है।
कुल आवेश $Q_{total} = 18 \,\mu C$ को $C_2$ और $C_3$ के बीच साझा किया जाता है।
चूंकि $C_2 = 3C$ और $C_3 = 3C$ है,इसलिए आवेश समान रूप से साझा होता है।
$Q_2' = Q_3' = \frac{Q_{total}}{2} = \frac{18 \,\mu C}{2} = 9 \,\mu C$ है।
चूंकि $K_1$ खुला है,$C_1$ पर आवेश $18 \,\mu C$ बना रहता है।
अंतिम आवेश: $Q_1 = 18 \,\mu C$,$Q_2 = 9 \,\mu C$,$Q_3 = 9 \,\mu C$।

(B) प्रारंभ में, $10\,\mu F$ के संधारित्र पर आवेश है:
$Q = C_1 V_1 = (10\,\mu F)(50\, V) = 500\,\mu C$
जब इस संधारित्र को $C_2$ धारिता वाले एक अनावेशित संधारित्र के साथ समांतर क्रम में जोड़ा जाता है, तो कुल आवेश संरक्षित रहता है।
मान लीजिए कि अंतिम विभवांतर $V = 20\, V$ है।
कुल आवेश $Q$ दोनों संधारित्रों के बीच वितरित हो जाता है:
$Q = (C_1 + C_2)V$
$500\,\mu C = (10\,\mu F + C_2)(20\, V)$
दोनों पक्षों को $20\, V$ से विभाजित करने पर:
$25\,\mu F = 10\,\mu F + C_2$
$C_2 = 25\,\mu F - 10\,\mu F = 15\,\mu F$

(A) संधारित्र में संचित प्रारंभिक ऊर्जा: $U_i = \frac{1}{2} C_1 V^2 = \frac{1}{2} \times (5 \times 10^{-6}) \times (220)^2 = 0.121 \, J$.
जब इसे एक अनावेशित संधारित्र $C_2 = 2.5 \, \mu F$ के साथ जोड़ा जाता है,तो आवेश $Q = C_1 V = 5 \times 10^{-6} \times 220 = 1.1 \times 10^{-3} \, C$ का पुनर्वितरण होता है।
उभयनिष्ठ विभव $V'$ इस प्रकार है: $V' = \frac{Q}{C_1 + C_2} = \frac{1.1 \times 10^{-3}}{(5 + 2.5) \times 10^{-6}} = \frac{1100}{7.5} = \frac{440}{3} \, V$.
अंतिम संचित ऊर्जा: $U_f = \frac{1}{2} (C_1 + C_2) (V')^2 = \frac{1}{2} \times (7.5 \times 10^{-6}) \times (\frac{440}{3})^2 = 0.08066 \, J$.
ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = U_f - U_i = 0.08066 - 0.121 = -0.04033 \, J$.
दिया गया है कि $\Delta U = -\frac{X}{100} \, J$ (ऊर्जा में कमी का परिमाण लेने पर),इसलिए $\frac{X}{100} = 0.04033$,जिसका अर्थ है $X \approx 4$।

(A) जब दो चालक गोलों को एक तार से जोड़ा जाता है,तो आवेश तब तक प्रवाहित होता है जब तक कि उनके विभव समान न हो जाएं।
मान लीजिए कि अंतिम आवेश $Q_{1}'$ और $Q_{2}'$ हैं।
आवेश संरक्षण के नियम के अनुसार,कुल आवेश स्थिर रहता है:
$Q_{1}' + Q_{2}' = Q_{1} + Q_{2} = 12\, \mu C - 3\, \mu C = 9\, \mu C$.
चूंकि विभव समान हैं $(V_{1} = V_{2})$,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{K Q_{1}'}{R_{1}} = \frac{K Q_{2}'}{R_{2}} \Rightarrow \frac{Q_{1}'}{2R/3} = \frac{Q_{2}'}{R/3}$.
इसे सरल करने पर $Q_{1}' = 2 Q_{2}'$ प्राप्त होता है।
इस मान को संरक्षण समीकरण में रखने पर:
$2 Q_{2}' + Q_{2}' = 9\, \mu C \Rightarrow 3 Q_{2}' = 9\, \mu C \Rightarrow Q_{2}' = 3\, \mu C$.
अतः,$Q_{1}' = 2 \times 3\, \mu C = 6\, \mu C$.
इस प्रकार,अंतिम आवेश $6\, \mu C$ और $3\, \mu C$ हैं।

(A) संधारित्र $C$ पर प्रारंभिक आवेश $Q = CV_{0}$ है।
संधारित्र में संचित प्रारंभिक ऊर्जा $U_{i} = \frac{1}{2}CV_{0}^{2}$ है।
जब समानांतर में जोड़ा जाता है,तो उभयनिष्ठ विभव $V = \frac{Q_{total}}{C_{total}} = \frac{CV_{0}}{C + C/2} = \frac{CV_{0}}{3C/2} = \frac{2}{3}V_{0}$ होता है।
निकाय में संचित अंतिम ऊर्जा $U_{f} = \frac{1}{2}(C + C/2)V^{2} = \frac{1}{2}(\frac{3C}{2})(\frac{2}{3}V_{0})^{2} = \frac{1}{2}(\frac{3C}{2})(\frac{4}{9}V_{0}^{2}) = \frac{1}{3}CV_{0}^{2}$ है।
ऊर्जा की हानि $\Delta U = U_{i} - U_{f} = \frac{1}{2}CV_{0}^{2} - \frac{1}{3}CV_{0}^{2} = \frac{1}{6}CV_{0}^{2}$ है।
चूंकि $\frac{1}{6} \approx 0.166$,इसलिए सही विकल्प $A$ है।

(D) संधारित्रों पर प्रारंभिक आवेश हैं:
$Q_1 = C \times V = CV$
$Q_2 = 2C \times 2V = 4CV$
चूंकि उन्हें विपरीत ध्रुवता (धनात्मक से ऋणात्मक) के साथ जोड़ा गया है,इसलिए कुल आवेश:
$Q_{net} = Q_2 - Q_1 = 4CV - CV = 3CV$
समानांतर क्रम में,तुल्य धारिता:
$C_{eq} = C + 2C = 3C$
उभयनिष्ठ विभव $V_c$:
$V_c = \frac{Q_{net}}{C_{eq}} = \frac{3CV}{3C} = V$
विन्यास में संचित अंतिम ऊर्जा $U_f$:
$U_f = \frac{1}{2} C_{eq} V_c^2 = \frac{1}{2} \times (3C) \times V^2 = 1.5 CV^2$

(D) $1$. संधारित्र $C_{1}$ पर प्रारंभिक आवेश $Q = C_{1}V = 2\, \mu F \times 10\, V = 20\, \mu C$ है।
$2$. जब बैटरी को हटा दिया जाता है और $C_{1}$ को अनावेशित संधारित्र $C_{2}$ से जोड़ा जाता है,तो कुल आवेश $Q$ संरक्षित रहता है और दोनों संधारित्रों के बीच साझा हो जाता है।
$3$. संयोजन के बाद उभयनिष्ठ विभव $V'$ इस प्रकार है: $V' = \frac{Q}{C_{1} + C_{2}} = \frac{20\, \mu C}{2\, \mu F + 8\, \mu F} = \frac{20}{10} = 2\, V$.
$4$. संतुलन की स्थिति में संधारित्र $C_{2}$ पर आवेश $Q_{2} = C_{2}V' = 8\, \mu F \times 2\, V = 16\, \mu C$ है।

(A) प्रारंभ में,परिपथ में कुल आवेश संधारित्र $C_{1}$ में संचित होता है।
$Q_{\text{total}} = C_{1} V$
जब स्विच $S$ को बंद किया जाता है,तो आवेश $C_{1}$ और $C_{2}$ के बीच तब तक पुनर्वितरित होता है जब तक कि वे एक समान विभव $V'$ तक नहीं पहुँच जाते।
चूँकि संधारित्र समानांतर क्रम में जुड़े हुए हैं,इसलिए उभयनिष्ठ विभव इस प्रकार है:
$V' = \frac{Q_{\text{total}}}{C_{\text{eq}}} = \frac{C_{1} V}{C_{1} + C_{2}}$
साम्यावस्था पर संधारित्र $C_{2}$ पर आवेश:
$Q_{2} = C_{2} V' = C_{2} \left( \frac{C_{1} V}{C_{1} + C_{2}} \right) = \frac{C_{1} C_{2} V}{C_{1} + C_{2}}$

(D) पहले संधारित्र में संचित प्रारंभिक ऊर्जा $U_i = \frac{1}{2} C V^2 = \frac{1}{2} \times 50 \times 10^{-12} \times (100)^2 = 250 \times 10^{-9} \; J = 250 \; nJ$ है।
जब इसे एक समान अनावेशित संधारित्र से जोड़ा जाता है,तो आवेश तब तक पुनर्वितरित होता है जब तक कि दोनों का विभव $V' = \frac{V}{2} = 50 \; V$ न हो जाए।
निकाय में संचित अंतिम ऊर्जा $U_f = 2 \times (\frac{1}{2} C V'^2) = C \times (\frac{V}{2})^2 = 50 \times 10^{-12} \times 2500 = 125 \times 10^{-9} \; J = 125 \; nJ$ है।
ऊर्जा की हानि $\Delta U = U_i - U_f = 250 \; nJ - 125 \; nJ = 125 \; nJ$ है।
वैकल्पिक रूप से,ऊर्जा हानि के सूत्र का उपयोग करते हुए: $\Delta U = \frac{1}{2} \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} (V_1 - V_2)^2 = \frac{1}{2} \frac{50 \times 50}{50 + 50} \times 10^{-12} \times (100 - 0)^2 = 125 \times 10^{-9} \; J = 125 \; nJ$।

(A) स्विच बंद करने से पहले,संधारित्र $C_{1}$ पर कुल आवेश $Q$ इस प्रकार है:
$Q = C_{1} V_{0} = 5\,\mu F \times 30\,V = 150\,\mu C$
स्विच बंद करने के बाद,आवेश तब तक पुनर्वितरित होता है जब तक कि दोनों संधारित्र एक समान विभव $V$ तक नहीं पहुँच जाते। चूंकि कुल आवेश संरक्षित रहता है:
$V = \frac{Q}{C_{1} + C_{2}} = \frac{150\,\mu C}{5\,\mu F + 10\,\mu F} = \frac{150}{15}\,V = 10\,V$
अब,साम्यावस्था में संधारित्र $C_{2}$ पर आवेश:
$Q_{2} = C_{2} V = 10\,\mu F \times 10\,V = 100\,\mu C$

(D) मान लीजिए कि वायु-क्रोड संधारित्र की धारिता $C$ है। परावैद्युत $K$ वाले संधारित्र की धारिता $K C$ है।
प्रारंभ में,वायु-क्रोड संधारित्र पर आवेश $Q = C V$ है और अनावेशित संधारित्र पर आवेश $0$ है।
जब समानांतर में जोड़ा जाता है,तो कुल आवेश संरक्षित रहता है और संधारित्र एक उभयनिष्ठ विभव $V^{\prime}$ तक पहुँच जाते हैं।
कुल आवेश $Q_{total} = C V + 0 = C V$ है।
कुल धारिता $C_{total} = C + K C = C(1 + K)$ है।
उभयनिष्ठ विभव $V^{\prime} = \frac{Q_{total}}{C_{total}}$ के सूत्र का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$V^{\prime} = \frac{C V}{C(1 + K)} = \frac{V}{1 + K}$।
$K$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$1 + K = \frac{V}{V^{\prime}}$
$K = \frac{V}{V^{\prime}} - 1 = \frac{V - V^{\prime}}{V^{\prime}}$।

(B) दोनों संधारित्रों में संचित प्रारंभिक ऊर्जा है:
$U_i = \frac{1}{2} C V^2 + \frac{1}{2} C V^2 = C V^2$
जब संधारित्रों को विपरीत ध्रुवता के साथ जोड़ा जाता है,तो निकाय पर कुल आवेश हो जाता है:
$Q_{net} = (+CV) + (-CV) = 0$
चूंकि कुल आवेश शून्य है,संधारित्रों के सिरों पर अंतिम विभवांतर शून्य है,और इसलिए अंतिम संचित ऊर्जा है:
$U_f = 0$
ऊर्जा की हानि इस प्रकार है:
$\Delta U = U_i - U_f = C V^2 - 0 = C V^2$

(D) मान लीजिए कि हवा वाले संधारित्र की धारिता $C$ है। इसका आवेश $Q = CV$ है।
चूंकि संधारित्र समान हैं,इसलिए परावैद्युत वाले संधारित्र की धारिता $C' = KC$ होगी।
जब दोनों संधारित्रों को समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो कुल आवेश $Q_{total}$ संरक्षित रहता है।
$Q_{total} = Q_1 + Q_2 = 0 + CV = CV$.
समानांतर संयोजन की तुल्य धारिता $C_{eq} = C + KC = C(1+K)$ है।
उभयनिष्ठ विभव $V'$ का सूत्र $V' = \frac{Q_{total}}{C_{eq}}$ है।
मान रखने पर,हमें $V' = \frac{CV}{C(1+K)}$ प्राप्त होता है।
अतः,$V' = \frac{V}{1+K}$।

(B) स्थिर अवस्था में,परिपथ में धारा शून्य हो जाती है और दोनों संधारित्र समान विभवांतर के समांतर क्रम में जुड़े होते हैं। मान लीजिए कि $C_1$ और $C_2$ पर नए आवेश क्रमशः $Q_1$ और $Q_2$ हैं।
चूंकि वे समांतर क्रम में हैं,इसलिए उनके विभव समान होने चाहिए:
$V_1 = V_2 \implies \frac{Q_1}{C_1} = \frac{Q_2}{C_2}$
दिया गया है कि $C_2 = 2C_1$,इसलिए:
$\frac{Q_1}{C_1} = \frac{Q_2}{2C_1} \implies Q_2 = 2Q_1$
आवेश संरक्षण के नियम के अनुसार,कुल आवेश स्थिर रहता है:
$Q_1 + Q_2 = Q$
संरक्षण समीकरण में $Q_2 = 2Q_1$ रखने पर:
$Q_1 + 2Q_1 = Q \implies 3Q_1 = Q \implies Q_1 = \frac{Q}{3}$
अतः,$Q_2 = 2Q_1 = \frac{2Q}{3}$
इस प्रकार,संधारित्रों पर आवेश $\frac{Q}{3}$ और $\frac{2Q}{3}$ होंगे।