Sharing of Charge in Capacitor Circuit Questions in Hindi

(D) दिया गया है: धारिता $C = 900\,\mu F = 900 \times 10^{-6}\,F$,वोल्टेज $V = 100\,V$.
संधारित्र पर प्रारंभिक आवेश: $Q = CV = 900 \times 10^{-6} \times 100 = 9 \times 10^{-2}\,C = 90\,mC$.
प्रारंभिक संचित ऊर्जा: $U_i = \frac{1}{2} CV^2 = \frac{1}{2} \times (900 \times 10^{-6}) \times (100)^2 = 4.5\,J$.
जब इसे समानांतर क्रम में एक समान अनावेशित संधारित्र से जोड़ा जाता है,तो आवेश का पुनर्वितरण होता है। चूंकि संधारित्र समान हैं,प्रत्येक पर अंतिम विभव $V_f = \frac{Q}{C_1 + C_2} = \frac{90\,mC}{900\,\mu F + 900\,\mu F} = 50\,V$ होगा।
अंतिम संचित ऊर्जा: $U_f = 2 \times \left( \frac{1}{2} C V_f^2 \right) = 900 \times 10^{-6} \times (50)^2 = 900 \times 10^{-6} \times 2500 = 2.25\,J$.
ऊर्जा की हानि: $\Delta U = U_i - U_f = 4.5\,J - 2.25\,J = 2.25\,J$.
दिया गया है कि $\Delta U = x \times 10^{-2}\,J$,इसलिए $2.25 = x \times 10^{-2} \implies x = 225$.

(A) संधारित्र पर प्रारंभिक आवेश: $Q = CV = 600 \times 10^{-12} \, F \times 200 \, V = 12 \times 10^{-8} \, C$.
संचित प्रारंभिक स्थिर-विद्युत ऊर्जा: $U_i = \frac{1}{2} CV^2 = \frac{1}{2} \times 600 \times 10^{-12} \times (200)^2 = 12 \times 10^{-6} \, J = 12 \, \mu J$.
जब आवेशित संधारित्र को एक समान अनावेशित संधारित्र से जोड़ा जाता है,तो आवेश $Q$ उनके बीच समान रूप से वितरित हो जाता है क्योंकि संधारित्र समानांतर क्रम में हैं और उनकी धारिता समान है।
प्रत्येक संधारित्र पर नया आवेश: $Q' = \frac{Q}{2} = 6 \times 10^{-8} \, C$.
निकाय में संचित अंतिम स्थिर-विद्युत ऊर्जा: $U_f = 2 \times \left( \frac{Q'^2}{2C} \right) = \frac{Q'^2}{C} = \frac{(6 \times 10^{-8})^2}{600 \times 10^{-12}} = \frac{36 \times 10^{-16}}{600 \times 10^{-12}} = 6 \times 10^{-6} \, J = 6 \, \mu J$.
इस प्रक्रिया में नष्ट हुई ऊर्जा: $\Delta U = U_i - U_f = 12 \, \mu J - 6 \, \mu J = 6 \, \mu J$.

(C) पहले संधारित्र की प्रारंभिक ऊर्जा: $E_1 = \frac{1}{2} C V^2 = E$.
दूसरे संधारित्र की प्रारंभिक ऊर्जा: $E_2 = \frac{1}{2} (2C) (2V)^2 = \frac{1}{2} (2C) (4V^2) = 4 C V^2 = 8E$.
कुल प्रारंभिक ऊर्जा: $E_i = E_1 + E_2 = E + 8E = 9E$.
कुल आवेश: $Q_{total} = Q_1 + Q_2 = CV + (2C)(2V) = CV + 4CV = 5CV$.
कुल धारिता: $C_{eq} = C + 2C = 3C$.
उभयनिष्ठ विभव: $V_{common} = \frac{Q_{total}}{C_{eq}} = \frac{5CV}{3C} = \frac{5}{3} V$.
अंतिम ऊर्जा: $E_f = \frac{1}{2} C_{eq} V_{common}^2 = \frac{1}{2} (3C) (\frac{5}{3} V)^2 = \frac{1}{2} (3C) (\frac{25}{9} V^2) = \frac{25}{6} C V^2 = \frac{25}{3} E$.
ऊर्जा की हानि: $\Delta E = E_i - E_f = 9E - \frac{25}{3} E = \frac{27E - 25E}{3} = \frac{2}{3} E$.
$\frac{x}{3} E$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 2$ प्राप्त होता है।

(A) निकाय की प्रारंभिक ऊर्जा $U_i = \frac{1}{2}CV^2 + \frac{1}{2}C(2V)^2 = \frac{1}{2}CV^2 + 2CV^2 = \frac{5}{2}CV^2$ है।
जब संधारित्रों को समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो उभयनिष्ठ विभव $V_c = \frac{q_1 + q_2}{C_1 + C_2} = \frac{CV + 2CV}{C + C} = \frac{3CV}{2C} = \frac{3V}{2}$ होता है।
निकाय की अंतिम ऊर्जा $U_f = \frac{1}{2}(C + C)V_c^2 = C \left(\frac{3V}{2}\right)^2 = C \left(\frac{9V^2}{4}\right) = \frac{9}{4}CV^2$ है।
ऊर्जा में कमी $\Delta U = U_i - U_f = \frac{5}{2}CV^2 - \frac{9}{4}CV^2 = \frac{10}{4}CV^2 - \frac{9}{4}CV^2 = \frac{1}{4}CV^2$ है।

(D) $2 \ \mu F$ संधारित्र में संचित प्रारंभिक ऊर्जा $U_i = \frac{1}{2} C_1 V^2 = \frac{1}{2} \times 2 \times 10^{-6} \times V^2 = 10^{-6} V^2 \ \text{J}$ है।
जब स्विच को स्थिति $2$ पर घुमाया जाता है,तो आवेश $Q = C_1 V = 2 \times 10^{-6} V$ समानांतर क्रम में जुड़े $2 \ \mu F$ और $8 \ \mu F$ संधारित्रों के बीच साझा हो जाता है।
उभयनिष्ठ विभव $V_f = \frac{Q}{C_1 + C_2} = \frac{2 \times 10^{-6} V}{2 \times 10^{-6} + 8 \times 10^{-6}} = \frac{2V}{10} = 0.2V$ है।
निकाय में संचित अंतिम ऊर्जा $U_f = \frac{1}{2} (C_1 + C_2) V_f^2 = \frac{1}{2} \times (10 \times 10^{-6}) \times (0.2V)^2 = 5 \times 10^{-6} \times 0.04 V^2 = 0.2 \times 10^{-6} V^2 \ \text{J}$ है।
व्यय हुई ऊर्जा $\Delta U = U_i - U_f = 10^{-6} V^2 - 0.2 \times 10^{-6} V^2 = 0.8 \times 10^{-6} V^2 \ \text{J}$ है।
व्यय हुई ऊर्जा का प्रतिशत $\frac{\Delta U}{U_i} \times 100 = \frac{0.8 \times 10^{-6} V^2}{10^{-6} V^2} \times 100 = 80 \%$ है।

(A) $1$. प्रारंभ में, $S_1$ बंद है। संधारित्र $C_1$ अपनी ऊपरी प्लेट पर $Q_1 = C(2V_0) = 2CV_0$ आवेश प्राप्त करता है। फिर $S_1$ को खोल दिया जाता है।
$2$. इसके बाद, $S_2$ को बंद किया जाता है। $C_1$ पर मौजूद $2CV_0$ आवेश $C_1$ और $C_2$ के बीच पुनर्वितरित हो जाता है। चूंकि दोनों की धारिता $C$ है, इसलिए दोनों के बीच विभवांतर $V = \frac{Q_{total}}{C_{eq}} = \frac{2CV_0}{2C} = V_0$ हो जाता है। इस प्रकार, $C_1$ की ऊपरी प्लेट पर आवेश $CV_0$ हो जाता है और $C_2$ की ऊपरी प्लेट पर आवेश $CV_0$ हो जाता है। फिर $S_2$ को खोल दिया जाता है।
$3$. अंत में, $S_3$ को बंद किया जाता है। संधारित्र $C_2$ को $V_0$ विभव वाली बैटरी से जोड़ा जाता है, जिसका धनात्मक टर्मिनल निचली प्लेट से जुड़ा होता है। इस प्रकार, $C_2$ की ऊपरी प्लेट का विभव निचली प्लेट के सापेक्ष $-V_0$ हो जाता है। $C_2$ की ऊपरी प्लेट पर आवेश $Q_2 = C(-V_0) = -CV_0$ हो जाता है। $C_1$ अलग-थलग होने के कारण उस पर आवेश $CV_0$ ही रहता है।
$4$. अतः, $C_1$ की ऊपरी प्लेट पर आवेश $CV_0$ (कथन $B$) है और $C_2$ की ऊपरी प्लेट पर आवेश $-CV_0$ (कथन $D$) है।

(B) पहले संधारित्र पर प्रारंभिक आवेश,$Q = C_1 V_1 = 100 \ pF \times 60 \ V = 6000 \ pC$ है।
जब दूसरे संधारित्र $C_2$ को समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो कुल आवेश $Q$ संरक्षित रहता है और दोनों संधारित्रों के बीच वितरित हो जाता है।
अंतिम उभयनिष्ठ विभव $V_f$ का सूत्र $V_f = \frac{Q}{C_1 + C_2}$ है।
दिया गया है $V_f = 20 \ V$,इसलिए $20 = \frac{6000}{100 + C_2}$ है।
$20(100 + C_2) = 6000$.
$2000 + 20C_2 = 6000$.
$20C_2 = 4000$.
$C_2 = 200 \ pF$.

(D) निकाय का कुल आवेश $Q_{total} = q + (-2q) = -q$ है।
जब दो चालक गोलों को तार से जोड़ा जाता है,तो आवेश तब तक प्रवाहित होता है जब तक कि उनका विभव समान न हो जाए।
मान लीजिए कि गोलों पर अंतिम आवेश क्रमशः $Q_1$ और $Q_2$ हैं।
गोले का विभव $V = \frac{kQ}{r}$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि $V_1 = V_2$,हमारे पास $\frac{kQ_1}{R} = \frac{kQ_2}{2R}$ है,जिसका अर्थ है $\frac{Q_1}{Q_2} = \frac{1}{2}$,या $Q_2 = 2Q_1$।
चूंकि कुल आवेश संरक्षित रहता है,$Q_1 + Q_2 = -q$।
$Q_2 = 2Q_1$ प्रतिस्थापित करने पर,$Q_1 + 2Q_1 = -q$,इसलिए $3Q_1 = -q$,जिससे $Q_1 = -\frac{q}{3}$ प्राप्त होता है।
पहले गोले पर प्रारंभिक आवेश $q$ था। अंतिम आवेश $-\frac{q}{3}$ है।
पहले गोले से प्रवाहित आवेश $\Delta q = q_{initial} - q_{final} = q - (-\frac{q}{3}) = \frac{4q}{3}$ है।

(C) मान लीजिए कि दोनों संधारित्रों की धारिता $C_1 = C_2 = C$ है।
प्रारंभ में,$C_1$ में संचित ऊर्जा $E = \frac{1}{2} CV^2$ है,जहाँ $V$ संधारित्र $C_1$ के सिरों पर प्रारंभिक विभवांतर है।
जब अनावेशित संधारित्र $C_2$ को $C_1$ के समांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो आवेश $Q = CV$ दोनों संधारित्रों के बीच तब तक पुनर्वितरित होता है जब तक कि वे समान विभव $V'$ तक नहीं पहुँच जाते।
उभयनिष्ठ विभव $V' = \frac{Q_{total}}{C_{total}} = \frac{CV}{C+C} = \frac{V}{2}$ द्वारा दिया जाता है।
संधारित्र $C_2$ में संचित ऊर्जा $E_{C_2} = \frac{1}{2} C_2 (V')^2$ है।
मान रखने पर,$E_{C_2} = \frac{1}{2} C \left(\frac{V}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} C \frac{V^2}{4} = \frac{1}{4} \left(\frac{1}{2} CV^2\right)$।
चूंकि $E = \frac{1}{2} CV^2$,इसलिए हमें $E_{C_2} = \frac{E}{4}$ प्राप्त होता है।

(D) $C_1$ संधारित्र पर संचित प्रारंभिक आवेश $Q = C_1 V_1$ है।
जब अनावेशित संधारित्र $C_2$ को समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो कुल आवेश $Q$ दोनों संधारित्रों में पुनर्वितरित हो जाता है।
समानांतर संयोजन की कुल समतुल्य धारिता $C_{eq} = C_1 + C_2$ होती है।
चूंकि आवेश संरक्षित रहता है,इसलिए नया विभव $V_2 = \frac{Q}{C_{eq}}$ द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर,हमें $V_2 = \frac{C_1 V_1}{C_1 + C_2}$ प्राप्त होता है।

(D) निकाय की प्रारंभिक ऊर्जा,$U_i = \frac{1}{2} CV_1^2 + \frac{1}{2} CV_2^2 = \frac{1}{2} C(V_1^2 + V_2^2)$.
जब संधारित्रों को समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो उभयनिष्ठ विभव $V = \frac{CV_1 + CV_2}{C + C} = \frac{V_1 + V_2}{2}$ होता है।
निकाय की अंतिम ऊर्जा,$U_f = \frac{1}{2}(2C)V^2 = C \left(\frac{V_1 + V_2}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} C(V_1 + V_2)^2$.
ऊर्जा में कमी,$\Delta U = U_i - U_f = \frac{1}{2} C(V_1^2 + V_2^2) - \frac{1}{4} C(V_1 + V_2)^2$.
$\Delta U = \frac{1}{4} C [2V_1^2 + 2V_2^2 - (V_1^2 + V_2^2 + 2V_1V_2)]$.
$\Delta U = \frac{1}{4} C(V_1^2 + V_2^2 - 2V_1V_2) = \frac{1}{4} C(V_1 - V_2)^2$.

(A) निकाय की प्रारंभिक ऊर्जा $U_i = \frac{1}{2} C V_1^2 + \frac{1}{2} C V_2^2$ है।
जब संधारित्रों को समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो कुल आवेश $Q = Q_1 + Q_2 = C V_1 + C V_2$ पुनर्वितरित हो जाता है।
निकाय की तुल्य धारिता $C_{eq} = C + C = 2C$ है।
जुड़ने के बाद उभयनिष्ठ विभव $V = \frac{Q_{total}}{C_{eq}} = \frac{C(V_1 + V_2)}{2C} = \frac{V_1 + V_2}{2}$ है।
निकाय की अंतिम ऊर्जा $U_f = \frac{1}{2} (2C) V^2 = C \left( \frac{V_1 + V_2}{2} \right)^2 = \frac{C}{4} (V_1 + V_2)^2$ है।
ऊर्जा में कमी $\Delta U = U_i - U_f = \frac{1}{2} C (V_1^2 + V_2^2) - \frac{1}{4} C (V_1 + V_2)^2$ है।
$\Delta U = \frac{C}{4} [2V_1^2 + 2V_2^2 - (V_1^2 + V_2^2 + 2V_1V_2)]$.
$\Delta U = \frac{1}{4} C (V_1 - V_2)^2$.

(D) जब दो संधारित्र समानांतर में जुड़े होते हैं,तो कुल आवेश $Q_{total}$ व्यक्तिगत आवेशों का योग होता है और कुल धारिता $C_{eq}$ व्यक्तिगत धारिताओं का योग होती है।
दिया गया है: $C_1 = 100 \mu F$,$V_1 = 20 \text{ V}$,$C_2 = 50 \mu F$,$V_2 = 40 \text{ V}$.
पहले संधारित्र पर आवेश: $Q_1 = C_1 V_1 = 100 \mu F \times 20 \text{ V} = 2000 \mu C$.
दूसरे संधारित्र पर आवेश: $Q_2 = C_2 V_2 = 50 \mu F \times 40 \text{ V} = 2000 \mu C$.
कुल आवेश: $Q_{total} = Q_1 + Q_2 = 2000 \mu C + 2000 \mu C = 4000 \mu C$.
तुल्य धारिता: $C_{eq} = C_1 + C_2 = 100 \mu F + 50 \mu F = 150 \mu F$.
उभयनिष्ठ विभव $V$ का मान $V = \frac{Q_{total}}{C_{eq}}$ द्वारा दिया जाता है।
$V = \frac{4000 \mu C}{150 \mu F} = \frac{400}{15} \text{ V} = \frac{80}{3} \text{ V}$.

(D) समांतर क्रम में जुड़े दो संधारित्रों का उभयनिष्ठ विभव $V$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$V = \frac{Q_1 + Q_2}{C_1 + C_2}$
चूंकि $Q = CV$,हमारे पास है:
$V = \frac{C_1 V_1 + C_2 V_2}{C_1 + C_2}$
दिया गया है:
$C_1 = 2 \mu F, V_1 = 50 \ V$
$C_2 = 3 \mu F, V_2 = 100 \ V$
मान रखने पर:
$V = \frac{(2 \times 10^{-6} \times 50) + (3 \times 10^{-6} \times 100)}{2 \times 10^{-6} + 3 \times 10^{-6}}$
$V = \frac{(100 + 300) \times 10^{-6}}{5 \times 10^{-6}}$
$V = \frac{400}{5} = 80 \ V$

(C) संधारित्र की प्रारंभिक ऊर्जा $U = \frac{Q^2}{2C}$ है।
जब संधारित्र को बैटरी से अलग किया जाता है और $2C$ धारिता वाले दूसरे अनावेशित संधारित्र के साथ समानांतर में जोड़ा जाता है,तो कुल आवेश $Q$ का पुनर्वितरण इस प्रकार होता है कि दोनों संधारित्रों का विभवांतर $V'$ समान हो जाता है।
चूंकि वे समानांतर में हैं,$V' = \frac{Q_1}{C} = \frac{Q_2}{2C}$।
इसका अर्थ है $Q_2 = 2Q_1$।
चूंकि कुल आवेश संरक्षित रहता है,$Q = Q_1 + Q_2 = Q_1 + 2Q_1 = 3Q_1$।
इसलिए,$Q_1 = \frac{Q}{3}$ और $Q_2 = \frac{2Q}{3}$।
पहले संधारित्र की नई ऊर्जा $U_1 = \frac{Q_1^2}{2C} = \frac{(Q/3)^2}{2C} = \frac{1}{9} \left(\frac{Q^2}{2C}\right) = \frac{1}{9} U$ है।
दूसरे संधारित्र की नई ऊर्जा $U_2 = \frac{Q_2^2}{2(2C)} = \frac{(2Q/3)^2}{4C} = \frac{4Q^2/9}{4C} = \frac{1}{9} \left(\frac{Q^2}{C}\right) = \frac{2}{9} \left(\frac{Q^2}{2C}\right) = \frac{2}{9} U$ है।
अतः,ऊर्जाएं क्रमशः $\frac{1}{9} U$ और $\frac{2}{9} U$ हैं।

(D) मान लीजिए कि संधारित्र पर प्रारंभिक आवेश $Q$ है और इसकी धारिता $C$ है।
संधारित्र में संचित प्रारंभिक ऊर्जा $U = \frac{Q^2}{2C}$ है।
जब बैटरी को हटा दिया जाता है और समानांतर क्रम में एक समान अनावेशित संधारित्र जोड़ा जाता है,तो कुल आवेश $Q$ दोनों संधारित्रों के बीच समान रूप से साझा हो जाता है क्योंकि वे समान हैं।
इस प्रकार,प्रत्येक संधारित्र पर आवेश $Q' = \frac{Q}{2}$ हो जाता है।
प्रत्येक संधारित्र में संचित ऊर्जा $U' = \frac{(Q')^2}{2C} = \frac{(Q/2)^2}{2C} = \frac{Q^2}{8C} = \frac{1}{4} \left( \frac{Q^2}{2C} \right) = \frac{U}{4}$ है।
प्रणाली की कुल ऊर्जा दोनों संधारित्रों की ऊर्जा का योग है:
$U_{total} = U' + U' = \frac{U}{4} + \frac{U}{4} = \frac{U}{2}$।

(B) जब संधारित्र समांतर क्रम में जुड़े होते हैं,तो प्रत्येक संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $V$ समान होता है।
दिया गया है कि $C_1$ और $C_2$ समांतर हैं,इसलिए दोनों पर विभव $V$ समान है,अर्थात $V_1 = V_2 = V$।
संधारित्र पर आवेश $q = CV$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,$C_1$ पर आवेश $q_1 = C_1 V$ और $C_2$ पर आवेश $q_2 = C_2 V$ होगा।
$C_1$ पर आवेश और $C_2$ पर आवेश का अनुपात $\frac{q_1}{q_2} = \frac{C_1 V}{C_2 V} = \frac{C_1}{C_2}$ है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) संधारित्र में संचित प्रारंभिक ऊर्जा $U = \frac{Q^2}{2C}$ है,जहाँ $Q$ प्रारंभिक आवेश है और $C$ धारिता है।
जब आवेशित संधारित्र को बैटरी से हटाकर समानांतर में दो अन्य समान अनावेशित संधारित्रों से जोड़ा जाता है,तो कुल आवेश $Q$ तीनों संधारित्रों के बीच समान रूप से विभाजित हो जाता है क्योंकि वे समान हैं।
इसलिए,प्रत्येक संधारित्र पर आवेश $Q' = \frac{Q}{3}$ हो जाता है।
प्रत्येक संधारित्र में संचित नई ऊर्जा $U'$ का मान $U' = \frac{(Q')^2}{2C}$ है।
समीकरण में $Q' = \frac{Q}{3}$ रखने पर:
$U' = \frac{(\frac{Q}{3})^2}{2C} = \frac{Q^2}{9 \times 2C} = \frac{1}{9} \times \frac{Q^2}{2C}$.
चूंकि $U = \frac{Q^2}{2C}$,इसलिए हमें $U' = \frac{U}{9}$ प्राप्त होता है।

(A) जब दो संधारित्रों को समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो वे एक उभयनिष्ठ विभव $V_c$ प्राप्त करते हैं।
कुल आवेश $Q_{total} = Q + 0 = Q$ है।
कुल धारिता $C_{total} = C + 2C = 3C$ है।
उभयनिष्ठ विभव $V_c = \frac{Q_{total}}{C_{total}} = \frac{Q}{3C}$ द्वारा दिया जाता है।
पहले संधारित्र पर अंतिम आवेश $Q_1 = C \cdot V_c = C \cdot \frac{Q}{3C} = \frac{Q}{3}$ है।
दूसरे संधारित्र पर अंतिम आवेश $Q_2 = 2C \cdot V_c = 2C \cdot \frac{Q}{3C} = \frac{2Q}{3}$ है।
अतः,अंतिम आवेश $\frac{Q}{3}$ और $\frac{2Q}{3}$ हैं।

(D) जब दो संधारित्रों को समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो ऊर्जा में हानि का सूत्र है: $\Delta U = \frac{1}{2} \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} (V_1 - V_2)^2$.
दिया गया है: $C_1 = C_2 = 5 \mu F = 5 \times 10^{-6} \ F$,$V_1 = 2 \ kV = 2000 \ V$,और $V_2 = 1 \ kV = 1000 \ V$.
मान रखने पर:
$\Delta U = \frac{1}{2} \times \frac{(5 \times 10^{-6}) \times (5 \times 10^{-6})}{5 \times 10^{-6} + 5 \times 10^{-6}} \times (2000 - 1000)^2$
$\Delta U = \frac{1}{2} \times \frac{25 \times 10^{-12}}{10 \times 10^{-6}} \times (1000)^2$
$\Delta U = \frac{1}{2} \times 2.5 \times 10^{-6} \times 10^6$
$\Delta U = 1.25 \ J$.

(C) जब दो धातु के गोलों को एक तार से जोड़ा जाता है,तो आवेश उच्च विभव वाले गोले से निम्न विभव वाले गोले की ओर तब तक प्रवाहित होता है जब तक कि वे समान विभव प्राप्त न कर लें।
मान लीजिए कि अंतिम आवेश $q_1'$ और $q_2'$ हैं। चूँकि विभव $V$ समान है,$V_1 = V_2$.
$\frac{k q_1'}{r_1} = \frac{k q_2'}{r_2} \implies \frac{q_1'}{q_2'} = \frac{r_1}{r_2} = \frac{0.01}{0.02} = \frac{1}{2}$.
कुल आवेश संरक्षित रहता है: $q_1' + q_2' = 15 \ mC + 45 \ mC = 60 \ mC$.
अनुपात का उपयोग करते हुए,$q_1' = \left( \frac{1}{1+2} \right) \times 60 \ mC = \frac{1}{3} \times 60 \ mC = 20 \ mC$.
चूँकि $20 \ mC = 20 \times 10^{-3} \ C$,इसलिए पहले गोले पर अंतिम आवेश $20 \times 10^{-3} \ C$ है।

(A) समांतर क्रम में जुड़े दो संधारित्रों का उभयनिष्ठ विभव $V$ ज्ञात करने का सूत्र है: $V = \frac{C_1 V_1 + C_2 V_2}{C_1 + C_2}$।
दिया गया है: $C_1 = 10 \ pF$,$V_1 = 200 \ V$,$C_2 = 20 \ pF$,$V_2 = 100 \ V$।
मान रखने पर:
$V = \frac{(10 \times 10^{-12} \times 200) + (20 \times 10^{-12} \times 100)}{10 \times 10^{-12} + 20 \times 10^{-12}}$
$V = \frac{2000 \times 10^{-12} + 2000 \times 10^{-12}}{30 \times 10^{-12}}$
$V = \frac{4000 \times 10^{-12}}{30 \times 10^{-12}} = \frac{400}{3} \approx 133.33 \ V$।
अतः,संधारित्रों का उभयनिष्ठ विभव $133.33 \ V$ है।

(A) दिया गया है:
$C_1 = 10 \mu F = 10^{-5} \text{ F}$
$V_1 = 9 \text{ V}$
संधारित्र $C_1$ पर प्रारंभिक आवेश:
$q_1 = C_1 V_1 = 10^{-5} \times 9 = 9 \times 10^{-5} \text{ C}$
जब अनावेशित संधारित्र $C_2 = 20 \mu F = 2 \times 10^{-5} \text{ F}$ को आवेशित संधारित्र $C_1$ के साथ समानांतर में जोड़ा जाता है,तो आवेश $C_1$ से $C_2$ में तब तक प्रवाहित होता है जब तक कि दोनों संधारित्र समान विभव $V$ प्राप्त न कर लें।
उभयनिष्ठ विभव $V$ इस प्रकार है:
$V = \frac{\text{कुल आवेश}}{\text{कुल धारिता}} = \frac{q_1}{C_1 + C_2}$
$V = \frac{9 \times 10^{-5}}{10^{-5} + 2 \times 10^{-5}} = \frac{9 \times 10^{-5}}{3 \times 10^{-5}} = 3 \text{ V}$
संतुलन पर संधारित्र $C_2$ पर आवेश:
$q_2 = C_2 V = (2 \times 10^{-5} \text{ F}) \times (3 \text{ V}) = 6 \times 10^{-5} \text{ C}$

(C) पहले संधारित्र $C_1 = 20 \mu F$ पर प्रारंभिक आवेश $Q_0 = C_1 V = 20 \mu F \times 24.3 \ V = 486 \mu C$ है।
जब $C_1$ को एक अनावेशित संधारित्र $C_2 = 10 \mu F$ से जोड़ा जाता है,तो आवेश का पुनर्वितरण होता है। उभयनिष्ठ विभव $V'$ का मान $V' = \frac{Q_{total}}{C_1 + C_2} = \frac{Q}{C_1 + C_2}$ होता है।
$C_1$ पर नया आवेश $Q' = C_1 V' = Q \left( \frac{C_1}{C_1 + C_2} \right)$ हो जाता है।
यहाँ,अनुपात $\frac{C_1}{C_1 + C_2} = \frac{20}{20 + 10} = \frac{20}{30} = \frac{2}{3}$ है।
प्रत्येक प्रक्रिया के बाद,$C_1$ पर आवेश $\frac{2}{3}$ के गुणक से गुणा हो जाता है।
$n$ प्रक्रियाओं के बाद,आवेश $Q_n = Q_0 \left( \frac{2}{3} \right)^n$ होता है।
पांचवीं प्रक्रिया के लिए,$n = 5$,इसलिए $Q_5 = 486 \times \left( \frac{2}{3} \right)^5$.
$Q_5 = 486 \times \frac{32}{243} = 2 \times 32 = 64 \mu C$.

(C) निकाय की प्रारंभिक ऊर्जा $U_i = \frac{1}{2}CV_1^2 + \frac{1}{2}CV_2^2 = \frac{1}{2}C(V_1^2 + V_2^2)$ है।
जब समान प्लेटों को एक साथ जोड़ा जाता है,तो उभयनिष्ठ विभव $V = \frac{Q_1 + Q_2}{C_1 + C_2} = \frac{CV_1 + CV_2}{C + C} = \frac{V_1 + V_2}{2}$ होता है।
निकाय की अंतिम ऊर्जा $U_f = \frac{1}{2}(2C)V^2 = C \left(\frac{V_1 + V_2}{2}\right)^2 = \frac{C}{4}(V_1 + V_2)^2$ है।
ऊर्जा में कमी $\Delta U = U_i - U_f = \frac{1}{2}C(V_1^2 + V_2^2) - \frac{C}{4}(V_1 + V_2)^2$ है।
$\Delta U = \frac{C}{4} [2V_1^2 + 2V_2^2 - (V_1^2 + V_2^2 + 2V_1V_2)] = \frac{C}{4}(V_1^2 + V_2^2 - 2V_1V_2) = \frac{C}{4}(V_1 - V_2)^2$।

(A) प्रारंभिक संचित ऊर्जा $U_i = \frac{1}{2} C_1 V_1^2$
$U_i = \frac{1}{2} \times 500 \times 10^{-12} \times (100)^2 = 2.5 \ \mu J$
जब संधारित्रों को जोड़ा जाता है,तो आवेश का पुनर्वितरण तब तक होता है जब तक विभव समान न हो जाए।
उभयनिष्ठ विभव $V = \frac{C_1 V_1 + C_2 V_2}{C_1 + C_2} = \frac{500 \times 10^{-12} \times 100 + 0}{500 \times 10^{-12} + 500 \times 10^{-12}} = 50 \ V$
अंतिम संचित ऊर्जा $U_f = \frac{1}{2} (C_1 + C_2) V^2$
$U_f = \frac{1}{2} \times (1000 \times 10^{-12}) \times (50)^2 = 1.25 \ \mu J$
नष्ट हुई ऊर्जा $\Delta U = U_i - U_f = 2.5 \ \mu J - 1.25 \ \mu J = 1.25 \ \mu J$

(C) $1$. $2 \mu F$ संधारित्र पर प्रारंभिक आवेश $Q = C_1 V_1 = 2 \mu F \times 60 \ V = 120 \mu C$ है।
$2$. जब बैटरी को हटा दिया जाता है और संधारित्र को $1 \mu F$ के अनावेशित संधारित्र के साथ समानांतर में जोड़ा जाता है,तो कुल आवेश $Q$ संरक्षित रहता है और दोनों संधारित्रों के बीच साझा हो जाता है।
$3$. समानांतर संयोजन की तुल्य धारिता $C_{eq} = C_1 + C_2 = 2 \mu F + 1 \mu F = 3 \mu F$ है।
$4$. संधारित्रों के सिरों पर उभयनिष्ठ विभवांतर $V' = \frac{Q}{C_{eq}} = \frac{120 \mu C}{3 \mu F} = 40 \ V$ है।
$5$. चूंकि संधारित्र समानांतर में हैं,इसलिए $2 \mu F$ संधारित्र के सिरों पर विभवांतर भी $40 \ V$ होगा।

(A) प्रारंभ में,जब $C_1$ को $9 \ V$ की बैटरी से जोड़ा जाता है,तो उस पर आवेश $q_0 = C_1 V = 1 \ \mu F \times 9 \ V = 9 \ \mu C$ होता है।
जब $C_1$ को $C_2$ और $C_3$ के साथ समानांतर में जोड़ा जाता है,तो कुल आवेश $q_0$ तीनों संधारित्रों के बीच इस प्रकार पुनर्वितरित होता है कि उन सभी का विभवांतर $V'$ समान हो जाता है।
आवेश संरक्षण के नियम के अनुसार,$q_1 + q_2 + q_3 = q_0 = 9 \ \mu C$।
चूंकि वे समानांतर में हैं,$V' = \frac{q_1}{C_1} = \frac{q_2}{C_2} = \frac{q_3}{C_3}$।
मान रखने पर,$\frac{q_1}{1} = \frac{q_2}{2} = \frac{q_3}{3} = V'$।
अतः,$q_1 = V'$,$q_2 = 2V'$,और $q_3 = 3V'$।
इन्हें संरक्षण समीकरण में रखने पर: $V' + 2V' + 3V' = 9 \ \mu C$।
$6V' = 9 \ \mu C \Rightarrow V' = 1.5 \ V$।
$C_3$ पर आवेश $q_3 = C_3 V' = 3 \ \mu F \times 1.5 \ V = 4.5 \ \mu C = 4.5 \times 10^{-6} \ C$ है।

(A) निकाय की प्रारंभिक ऊर्जा, $U_i = \frac{1}{2} C_1 V^2 = \frac{1}{2} \times 20 \times 5^2 = 250 J$.
जब समानांतर में जोड़ा जाता है, तो उभयनिष्ठ विभव $V'$ इस प्रकार प्राप्त होता है: $V' = \frac{C_1 V_1 + C_2 V_2}{C_1 + C_2} = \frac{20 \times 5 + 30 \times 0}{20 + 30} = \frac{100}{50} = 2 V$.
निकाय की अंतिम ऊर्जा, $U_f = \frac{1}{2} (C_1 + C_2) (V')^2 = \frac{1}{2} \times (20 + 30) \times 2^2 = \frac{1}{2} \times 50 \times 4 = 100 J$.
ऊर्जा में कमी, $\Delta U = U_i - U_f = 250 - 100 = 150 J$.

(B) प्रारंभिक आवेश $Q_1 = 80 \mu\text{C}$ और $Q_2 = 40 \mu\text{C}$ हैं।
त्रिज्याएँ $r_1 = 4 \text{ cm}$ और $r_2 = 6 \text{ cm}$ हैं।
जब उन्हें एक तार से जोड़ा जाता है,तो आवेश तब तक प्रवाहित होता है जब तक कि दोनों गोले समान विभव प्राप्त न कर लें।
गोले $A$ पर नया आवेश $Q_1^{\prime}$ इस प्रकार है:
$Q_1^{\prime} = \left( \frac{r_1}{r_1 + r_2} \right) (Q_1 + Q_2) = \left( \frac{4}{4 + 6} \right) (80 + 40) = \left( \frac{4}{10} \right) (120) = 48 \mu\text{C}$.
गोले $A$ से गोले $B$ में प्रवाहित होने वाला आवेश:
$\Delta Q = Q_1 - Q_1^{\prime} = 80 \mu\text{C} - 48 \mu\text{C} = 32 \mu\text{C}$.
चूंकि परिणाम धनात्मक है,इसलिए आवेश $A$ से $B$ की ओर प्रवाहित होता है।

(D) पहले संधारित्र की प्रारंभिक ऊर्जा,$U_i = \frac{1}{2} C_1 V_1^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times 10^{-6} \times (100)^2 = 0.05 J$ है।
जब इसे एक अनावेशित संधारित्र से जोड़ा जाता है,तो उभयनिष्ठ विभव $V = \frac{C_1 V_1 + C_2 V_2}{C_1 + C_2} = \frac{10 \times 100 + 30 \times 0}{10 + 30} = 25 V$ होता है।
निकाय की अंतिम ऊर्जा $U_f = \frac{1}{2} (C_1 + C_2) V^2 = \frac{1}{2} \times (40 \times 10^{-6}) \times (25)^2 = 0.0125 J$ है।
खोई गई ऊर्जा $\Delta U = U_i - U_f = 0.05 - 0.0125 = 0.0375 J = 3.75 \times 10^{-2} J$ है।

(A) दिया गया है: $C_1=5 \mu F$,$C_2=C_3=10 \mu F$ और $\varepsilon=20 \text{ V}$।
जब स्विच $S$ को बिंदु $A$ से जोड़ा जाता है,तो संधारित्र $C_1$ को $\varepsilon=20 \text{ V}$ की बैटरी द्वारा चार्ज किया जाता है।
$C_1$ में संचित आवेश:
$Q = C_1 \varepsilon = 5 \mu F \times 20 \text{ V} = 100 \mu C$।
जब स्विच $S$ को बिंदु $B$ पर ले जाया जाता है,तो आवेशित संधारित्र $C_1$ को अनावेशित संधारित्रों $C_2$ और $C_3$ के साथ समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है।
चूंकि वे समानांतर में जुड़े हुए हैं,आवेश $Q$ तीनों संधारित्रों के बीच तब तक वितरित होता है जब तक कि वे एक समान विभवांतर $V$ प्राप्त न कर लें।
कुल आवेश संरक्षित रहता है:
$Q = (C_1 + C_2 + C_3) V$
$100 \mu C = (5 \mu F + 10 \mu F + 10 \mu F) V$
$100 \mu C = 25 \mu F \times V$
$V = \frac{100}{25} \text{ V} = 4 \text{ V}$।
संधारित्र $C_3$ पर आवेश:
$q_3 = C_3 V = 10 \mu F \times 4 \text{ V} = 40 \mu C$।

(A) दिया गया है: $C_1 = 4 \, \mu F$, $V_1 = 80 \, V$, $C_2 = 6 \, \mu F$, $V_2 = 30 \, V$.
प्रारंभिक ऊर्जा $U_{i} = \frac{1}{2} C_1 V_1^2 = \frac{1}{2} \times 4 \times 10^{-6} \times (80)^2 = 12.8 \, mJ$.
निकाय की कुल ऊर्जा में हानि $\Delta U = \frac{1}{2} \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} (V_1 - V_2)^2 = \frac{1}{2} \times \frac{4 \times 6}{4 + 6} \times 10^{-6} \times (50)^2 = 3.0 \, mJ$.
$4 \, \mu F$ संधारित्र द्वारा खोई गई ऊर्जा $= 12.8 \, mJ - 3.0 \, mJ = 9.8 \, mJ$.

(A) पहले संधारित्र में संचित प्रारंभिक ऊर्जा: $U_i = \frac{1}{2} C_1 V^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times 10^{-6} \times (220)^2 = 5 \times 10^{-6} \times 48400 = 0.242 \text{ J} = 242 \text{ mJ}$.
जब इसे दूसरे संधारित्र से जोड़ा जाता है,तो आवेश $Q = C_1 V = 10 \times 10^{-6} \times 220 = 2.2 \times 10^{-3} \text{ C}$ का पुनर्वितरण होता है।
उभयनिष्ठ विभव $V'$ इस प्रकार है: $V' = \frac{Q}{C_1 + C_2} = \frac{2.2 \times 10^{-3}}{10 \times 10^{-6} + 12 \times 10^{-6}} = \frac{2.2 \times 10^{-3}}{22 \times 10^{-6}} = 100 \text{ V}$.
निकाय में संचित अंतिम ऊर्जा: $U_f = \frac{1}{2} (C_1 + C_2) (V')^2 = \frac{1}{2} \times 22 \times 10^{-6} \times (100)^2 = 11 \times 10^{-6} \times 10000 = 0.11 \text{ J} = 110 \text{ mJ}$.
ऊर्जा की हानि: $\Delta U = U_i - U_f = 242 \text{ mJ} - 110 \text{ mJ} = 132 \text{ mJ}$.

(B) संधारित्र पर प्रारंभिक आवेश: $q = C_1 V_1 = 4 \times 10^{-6} \times 200 = 800 \times 10^{-6} \ C$।
प्रारंभिक संचित ऊर्जा: $U_i = \frac{1}{2} C_1 V_1^2 = \frac{1}{2} \times 4 \times 10^{-6} \times (200)^2 = 8 \times 10^{-2} \ J$।
जब इसे एक अनावेशित $2 \mu F$ संधारित्र से जोड़ा जाता है,तो उभयनिष्ठ विभव $V$ होगा: $V = \frac{C_1 V_1 + C_2 V_2}{C_1 + C_2} = \frac{800 \times 10^{-6} + 0}{4 \times 10^{-6} + 2 \times 10^{-6}} = \frac{800}{6} \ V$।
अंतिम संचित ऊर्जा: $U_f = \frac{1}{2} (C_1 + C_2) V^2 = \frac{1}{2} \times (6 \times 10^{-6}) \times (\frac{800}{6})^2 = 3 \times 10^{-6} \times \frac{640000}{36} = \frac{64}{12} \times 10^{-2} \approx 5.33 \times 10^{-2} \ J$।
ऊर्जा में हानि: $\Delta U = U_i - U_f = 8 \times 10^{-2} - 5.33 \times 10^{-2} = 2.67 \times 10^{-2} \ J$।

(D) $1$. प्रारंभ में,संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं। तुल्य धारिता $C_{eq} = \frac{C \cdot 2C}{C + 2C} = \frac{2C}{3}$ है।
$2$. पूरी तरह आवेशित होने पर प्रत्येक संधारित्र पर आवेश $Q = C_{eq}E = \frac{2CE}{3}$ है।
$3$. जब सेल को हटा दिया जाता है और विपरीत ध्रुवता वाली प्लेटों को जोड़ा जाता है,तो कुल आवेश $Q_{net} = Q_B - Q_A = \frac{2CE}{3} - \frac{2CE}{3} = 0$ हो जाता है। चूंकि कुल आवेश शून्य है,इसलिए प्रत्येक संधारित्र पर अंतिम आवेश शून्य होगा।
$4$. कथन $(a)$ और $(b)$ गलत हैं क्योंकि अंतिम आवेश शून्य है।
$5$. प्रारंभिक ऊर्जा $U_i = \frac{1}{2} C_{eq} E^2 = \frac{1}{2} (\frac{2C}{3}) E^2 = \frac{CE^2}{3}$ है।
$6$. अंतिम ऊर्जा $U_f = 0$ (क्योंकि $Q=0$ है)।
$7$. ऊर्जा की हानि $\Delta U = U_i - U_f = \frac{CE^2}{3}$ है। अतः,कथन $(c)$ सही है।

(B) निकाय की प्रारंभिक ऊर्जा,$U_i = \frac{1}{2} C_1 V^2 = \frac{1}{2} \times 20 \times 5^2 = 250 \text{ J}$।
जब समानांतर में जोड़ा जाता है,तो उभयनिष्ठ विभव $V'$ इस प्रकार होता है: $V' = \frac{C_1 V_1 + C_2 V_2}{C_1 + C_2} = \frac{20 \times 5 + 30 \times 0}{20 + 30} = \frac{100}{50} = 2 \text{ V}$।
निकाय की अंतिम ऊर्जा,$U_f = \frac{1}{2} (C_1 + C_2) (V')^2 = \frac{1}{2} \times (20 + 30) \times 2^2 = \frac{1}{2} \times 50 \times 4 = 100 \text{ J}$।
ऊर्जा में कमी,$\Delta U = U_i - U_f = 250 \text{ J} - 100 \text{ J} = 150 \text{ J}$।

(A) प्रारंभ में,पहले संधारित्र $C_1 = 4 \mu F$ को $V = 6 \ V$ तक आवेशित किया जाता है। संचित आवेश $Q = C_1 V = 4 \mu F \times 6 \ V = 24 \mu C$ है।
जब बैटरी को हटा दिया जाता है और दूसरे संधारित्र $C_2 = 8 \mu F$ (जो प्रारंभ में अनावेशित है) को पहले संधारित्र के साथ समांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो कुल आवेश $Q = 24 \mu C$ दोनों के बीच पुनर्वितरित हो जाता है।
समांतर क्रम संयोजन में,दोनों संधारित्रों के सिरों पर विभवांतर $V'$ समान होता है।
कुल धारिता $C_{eq} = C_1 + C_2 = 4 \mu F + 8 \mu F = 12 \mu F$ है।
उभयनिष्ठ विभवांतर $V' = \frac{Q}{C_{eq}} = \frac{24 \mu C}{12 \mu F} = 2 \ V$ प्राप्त होता है।

(A) जब दो चालक गोलों को तार से जोड़ा जाता है,तो आवेश तब तक प्रवाहित होता है जब तक कि उनके विद्युत विभव समान न हो जाएं। मान लीजिए $S_1$ और $S_2$ पर अंतिम आवेश क्रमशः $q_1$ और $q_2$ हैं।
आवेश संरक्षण के नियम से: $q_1 + q_2 = 10$.
चूंकि विभव समान हैं: $\frac{k q_1}{r_1} = \frac{k q_2}{r_2} \Rightarrow \frac{q_1}{3} = \frac{q_2}{2} \Rightarrow q_1 = 1.5 q_2$.
आवेश संरक्षण समीकरण में $q_1$ का मान रखने पर: $1.5 q_2 + q_2 = 10 \Rightarrow 2.5 q_2 = 10 \Rightarrow q_2 = 4 \text{ units}$.
अतः,$q_1 = 6 \text{ units}$.
बिंदु $P$ पर कुल विभव $V$,जो $S_1$ के केंद्र से $d_1 = 4 \text{ cm}$ और $S_2$ के केंद्र से $d_2 = 3 \text{ cm}$ की दूरी पर है,दोनों गोलों के कारण विभव का योग है:
$V = \frac{k q_1}{d_1} + \frac{k q_2}{d_2} = k \left( \frac{6}{4} + \frac{4}{3} \right) = k \left( \frac{3}{2} + \frac{4}{3} \right) = k \left( \frac{9 + 8}{6} \right) = k \frac{17}{6}$.
$k = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}$ रखने पर,हमें $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{17}{6}$ प्राप्त होता है।

(D) प्रारंभ में,संधारित्र $C_{0}$ को $V_{0}$ विभव तक आवेशित किया गया है। संधारित्र में संचित कुल आवेश $Q = C_{0}V_{0}$ है।
जब स्विच $S$ को बंद किया जाता है,तो दोनों संधारित्र $C_{0}$ और $C$ समानांतर क्रम में जुड़ जाते हैं। कुल आवेश $Q$ अब दोनों संधारित्रों में वितरित हो जाता है,और वे एक उभयनिष्ठ विभव $V$ प्राप्त कर लेते हैं।
आवेश संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,कुल आवेश स्थिर रहता है:
$Q = (C_{0} + C)V$
$Q = C_{0}V_{0}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$C_{0}V_{0} = (C_{0} + C)V$
$C_{0}V_{0} = C_{0}V + CV$
$CV = C_{0}V_{0} - C_{0}V$
$CV = C_{0}(V_{0} - V)$
$C = \frac{C_{0}(V_{0} - V)}{V}$

(D) संधारित्र $P$ पर प्रारंभिक आवेश $Q_1 = C_1 V_1 = (10 \times 10^{-6} \text{ F}) \times (6.0 \text{ V}) = 60 \times 10^{-6} \text{ C} = 6 \times 10^{-5} \text{ C}$ है।
जब दो संधारित्रों को समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो आवेश का पुनर्वितरण तब तक होता है जब तक कि वे समान विभव $V$ प्राप्त न कर लें।
समान विभव $V$ का सूत्र $V = \frac{Q_{total}}{C_{total}} = \frac{C_1 V_1 + C_2 V_2}{C_1 + C_2}$ है।
यहाँ $C_1 = 10 \times 10^{-6} \text{ F}$,$V_1 = 6.0 \text{ V}$,$C_2 = 20 \times 10^{-6} \text{ F}$,और $V_2 = 0 \text{ V}$ है।
$V = \frac{(10 \times 10^{-6} \times 6) + (20 \times 10^{-6} \times 0)}{10 \times 10^{-6} + 20 \times 10^{-6}} = \frac{60 \times 10^{-6}}{30 \times 10^{-6}} = 2 \text{ V}$ है।
संतुलन पर संधारित्र $Q$ पर आवेश $Q_2 = C_2 V = (20 \times 10^{-6} \text{ F}) \times (2 \text{ V}) = 40 \times 10^{-6} \text{ C} = 4 \times 10^{-5} \text{ C}$ है।
इसकी तुलना $\alpha \times 10^{-5} \text{ C}$ से करने पर,हमें $\alpha = 4$ प्राप्त होता है।

(B) प्रारंभिक ऊर्जा $U_i = \frac{1}{2} C V^2 = \frac{1}{2} \times 100 \times 10^{-12} \times (100)^2 = 0.5 \times 10^{-6} \text{ J}$.
संपर्क के बाद,चूंकि गोले समान हैं $(C_1 = C_2 = 100 \text{ pF})$,इसलिए आवेश समान रूप से साझा होता है।
उभयनिष्ठ विभव $V' = \frac{C_1 V + C_2(0)}{C_1 + C_2} = \frac{V}{2} = 50 \text{ V}$.
कुल धारिता $C_{eq} = C_1 + C_2 = 200 \text{ pF}$.
अंतिम ऊर्जा $U_f = \frac{1}{2} C_{eq} (V')^2 = \frac{1}{2} \times 200 \times 10^{-12} \times (50)^2 = 0.25 \times 10^{-6} \text{ J}$.
ऊर्जा में ह्रास $\Delta U = U_i - U_f = 0.5 \times 10^{-6} - 0.25 \times 10^{-6} = 0.25 \times 10^{-6} \text{ J} = 2.5 \times 10^{-7} \text{ J}$.
$\alpha \times 10^{-7} \text{ J}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha = 2.5 = \frac{5}{2}$ प्राप्त होता है।

(C) प्रारंभिक ऊर्जा $U_i = \frac{1}{2} C V^2$.
यहाँ $C = 200 \text{ pF} = 200 \times 10^{-12} \text{ F}$ और $V = 100 \text{ V}$ दिया गया है।
$U_i = \frac{1}{2} \times 200 \times 10^{-12} \times (100)^2 = 100 \times 10^{-12} \times 10^4 = 10^{-6} \text{ J}$.
जब आवेशित संधारित्र को एक समान अनावेशित संधारित्र से जोड़ा जाता है,तो आवेश का पुनर्वितरण तब तक होता है जब तक विभव समान न हो जाए।
उभयनिष्ठ विभव $V' = \frac{CV + 0}{C+C} = \frac{V}{2} = \frac{100}{2} = 50 \text{ V}$.
अंतिम ऊर्जा $U_f = \frac{1}{2} (C+C) (V')^2 = C (\frac{V}{2})^2 = \frac{1}{4} CV^2 = \frac{U_i}{2}$.
$U_f = \frac{10^{-6}}{2} = 0.5 \times 10^{-6} \text{ J}$.
नष्ट हुई ऊर्जा $\Delta U = U_i - U_f = 10^{-6} - 0.5 \times 10^{-6} = 0.5 \times 10^{-6} \text{ J}$ है।