Parallel Plate Capacitor Questions in Hindi

(A) इस व्यवस्था को समानांतर क्रम में जुड़े तीन संधारित्रों के रूप में देखा जा सकता है,जिनमें से प्रत्येक का क्षेत्रफल $\frac{A}{3}$ है लेकिन प्लेटों के बीच की दूरी अलग-अलग है।
पहले संधारित्र के लिए,दूरी $d$ है। इसकी धारिता $C_1 = \frac{\varepsilon_0 (A/3)}{d} = \frac{\varepsilon_0 A}{3d}$ है।
दूसरे संधारित्र के लिए,दूरी $2d$ है। इसकी धारिता $C_2 = \frac{\varepsilon_0 (A/3)}{2d} = \frac{\varepsilon_0 A}{6d}$ है।
तीसरे संधारित्र के लिए,दूरी $3d$ है। इसकी धारिता $C_3 = \frac{\varepsilon_0 (A/3)}{3d} = \frac{\varepsilon_0 A}{9d}$ है।
चूंकि वे समानांतर क्रम में हैं,इसलिए तुल्य धारिता $C_{eq} = C_1 + C_2 + C_3$ होगी।
$C_{eq} = \frac{\varepsilon_0 A}{3d} + \frac{\varepsilon_0 A}{6d} + \frac{\varepsilon_0 A}{9d} = \frac{\varepsilon_0 A}{d} \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{9} \right)$.
$3, 6, 9$ का लघुत्तम समापवर्त्य $18$ लेने पर:
$C_{eq} = \frac{\varepsilon_0 A}{d} \left( \frac{6 + 3 + 2}{18} \right) = \frac{11 \varepsilon_0 A}{18 d}$.

(A) यह दिया गया है कि संधारित्र एक बैटरी से जुड़ा है,इसलिए विभवांतर $V$ स्थिर रहता है।
$(i)$ धारिता $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$। जैसे-जैसे प्लेटें करीब आती हैं,दूरी $d$ घटती है,इसलिए धारिता $C$ बढ़ती है। अतः,कथन $C$ सही है।
$(ii)$ आवेश $Q = CV$। चूंकि $C$ बढ़ता है और $V$ स्थिर है,इसलिए आवेश $Q$ बढ़ता है। अतः,कथन $A$ सही है।
$(iii)$ संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2}CV^2$। चूंकि $C$ बढ़ता है और $V$ स्थिर है,इसलिए ऊर्जा $U$ बढ़ती है। अतः,कथन $B$ गलत है।
$(iv)$ आवेश और विभव का अनुपात $\frac{Q}{V} = C$ है। चूंकि $C$ बढ़ता है,इसलिए अनुपात $\frac{Q}{V}$ बदल जाता है। अतः,कथन $D$ गलत है।
$(v)$ आवेश और वोल्टेज का गुणनफल $QV = CV^2$ है। चूंकि $C$ बढ़ता है और $V$ स्थिर है,इसलिए गुणनफल $QV$ बढ़ता है। अतः,कथन $E$ सही है।
इसलिए,कथन $A, C$ और $E$ सही हैं।

(A) एक समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $A = l \times b$ प्लेटों का क्षेत्रफल है और $d$ उनके बीच की दूरी है।
प्रारंभिक धारिता $C_i = \frac{\epsilon_0 (3 \ cm \times 1 \ cm)}{3 \ \mu m} = \epsilon_0 \times 10^4 \ cm^2/m$.
हम नई धारिता $C_f = 10 C_i$ प्राप्त करना चाहते हैं।
विकल्प $A$ के लिए: $C_A = \frac{\epsilon_0 (30 \times 1)}{1} = 30 C_i$ (गलत)।
विकल्प $B$ के लिए: $C_B = \frac{\epsilon_0 (3 \times 1)}{30} = 0.1 C_i$ (गलत)।
विकल्प $C$ के लिए: $C_C = \frac{\epsilon_0 (6 \times 5)}{3} = 10 C_i$ (सही)।
विकल्प $D$ के लिए: $C_D = \frac{\epsilon_0 (1 \times 1)}{10} = 0.033 C_i$ (गलत)।
विकल्प $E$ के लिए: $C_E = \frac{\epsilon_0 (5 \times 2)}{1} = 10 C_i$ (सही)।
अतः,विकल्प $C$ और $E$ धारिता को $10$ के गुणक से बढ़ाते हैं।

(B) समानांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $A = \pi r^2$ है।
दिया गया है कि $V = \frac{Q}{C}$,इसलिए $V = \frac{Q d}{\epsilon_0 A}$ होता है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{dV}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{Q d}{\epsilon_0 A} \right) = \frac{d}{\epsilon_0 A} \frac{dQ}{dt}$.
चूँकि $\frac{dQ}{dt} = I$,इसलिए विभवांतर के परिवर्तन की दर $\frac{dV}{dt} = \frac{I d}{\epsilon_0 A}$ है।
$d$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$d = \frac{\epsilon_0 A (dV/dt)}{I} = \frac{\epsilon_0 (\pi r^2) (dV/dt)}{I}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $r = 0.1 \ m$,$I = 0.15 \ A$,$\frac{dV}{dt} = 7 \times 10^8 \ V/s$,$\epsilon_0 = 9 \times 10^{-12} \ F/m$,और $\pi = 22/7$.
$d = \frac{(9 \times 10^{-12}) \times (22/7) \times (0.1)^2 \times (7 \times 10^8)}{0.15} \ m$.
$d = \frac{9 \times 10^{-12} \times 22 \times 0.01 \times 10^8}{0.15} \ m = \frac{9 \times 22 \times 10^{-6}}{0.15} \ m = \frac{198 \times 10^{-6}}{0.15} \ m = 1320 \times 10^{-6} \ m$.
चूँकि $1 \ \mu m = 10^{-6} \ m$,इसलिए दूरी $d = 1320 \ \mu m$ है।

(C) समांतर प्लेट संधारित्र की प्लेटों के बीच आकर्षण बल का सूत्र $F = \frac{Q^2}{2 \varepsilon_0 A}$ होता है।
चूंकि आवेश $Q = CV$ और धारिता $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ है,इसलिए हम $\varepsilon_0 A = Cd$ लिख सकते हैं।
इन मानों को बल के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$F = \frac{(CV)^2}{2(Cd)} = \frac{C^2 V^2}{2 Cd} = \frac{CV^2}{2 d}$.

(B) आवेश $(Q)$,वोल्टेज $(V)$ और धारिता $(C)$ के बीच संबंध $Q = CV$ है,जिसे $V = Q/C$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दिए गए ग्राफ में,वोल्टेज $(V)$ को $y$-अक्ष पर और आवेश $(Q)$ को $x$-अक्ष पर दर्शाया गया है।
इस ग्राफ की ढाल (slope) $V/Q = 1/C$ है।
ग्राफ से,एक निश्चित आवेश $Q$ के लिए,वोल्टेज $V_B > V_A$ है।
चूंकि ढाल धारिता $(C)$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है,इसलिए अधिक ढाल का अर्थ कम धारिता है।
अतः,रेखा $B$ की ढाल रेखा $A$ की ढाल से अधिक है,जिसका अर्थ है कि $A$ की धारिता $B$ की धारिता से अधिक है $(C_A > C_B)$.

(C) जब $q_1$ और $q_2$ आवेश वाली दो प्लेटों को एक समांतर प्लेट संधारित्र बनाने के लिए करीब लाया जाता है,तो प्लेटों के आंतरिक फलकों पर आवेश $q_{inner} = \frac{q_1 - q_2}{2}$ हो जाता है।
इसका कारण यह है कि प्लेटों के बीच एकसमान विद्युत क्षेत्र बनाने के लिए आंतरिक सतहों पर कुल आवेश समान और विपरीत होना चाहिए।
संधारित्र के सिरों के बीच विभवांतर $V$ को सूत्र $V = \frac{Q}{C}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $Q$ संधारित्र की प्लेटों के आंतरिक फलक पर आवेश का परिमाण है।
$Q = \frac{q_1 - q_2}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $V = \frac{q_1 - q_2}{2C}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) प्रथम संधारित्र के लिए,धारिता $C_1 = \frac{\varepsilon_0 A_1}{d} = \frac{\varepsilon_0 \pi r^2}{d}$ है।
दूसरे संधारित्र के लिए,नई त्रिज्या $r' = \sqrt{2}r$ और नई दूरी $d' = \frac{d}{2}$ है।
नया क्षेत्रफल $A_2 = \pi (r')^2 = \pi (\sqrt{2}r)^2 = 2\pi r^2$ होगा।
नई धारिता $C_2 = \frac{\varepsilon_0 A_2}{d'} = \frac{\varepsilon_0 (2\pi r^2)}{d/2} = \frac{4\varepsilon_0 \pi r^2}{d} = 4C_1$ होगी।
अतः,अनुपात $\frac{C_1}{C_2} = \frac{C_1}{4C_1} = \frac{1}{4}$ है।

(C) यह दिया गया है कि दोनों समानांतर प्लेट संधारित्रों में समान आवेश $q$ और समान विभव $V$ है, इसलिए उनकी धारिता समान होगी क्योंकि $C = q/V$ होता है।
अतः, $C_1 = C_2$ है।
समानांतर प्लेट संधारित्र की धारिता का सूत्र $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ है।
दोनों धारिताओं की तुलना करने पर: $\frac{\varepsilon_0 A_1}{d_1} = \frac{\varepsilon_0 A_2}{d_2}$।
इसे सरल करने पर $d_2 = \frac{A_2}{A_1} d_1$ प्राप्त होता है।
यहाँ $A_1 = 100 \,cm^2$, $A_2 = 500 \,cm^2$, और $d_1 = 0.5 \,mm = 0.05 \,cm$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $d_2 = \frac{500}{100} \times 0.05 \,cm = 5 \times 0.05 \,cm = 0.25 \,cm$।

(C) समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता का सूत्र $C = \frac{k A \varepsilon_0}{d}$ है, जहाँ $k$ परावैद्युतांक है, $A$ प्लेटों का क्षेत्रफल है, $\varepsilon_0$ निर्वात की विद्युतशीलता है, और $d$ प्लेटों के बीच की दूरी है。
प्रारंभ में, धारिता $C_1 = \frac{k A \varepsilon_0}{d}$ है。
जब प्लेटों को इस प्रकार करीब लाया जाता है कि नई दूरी $d' = \frac{d}{2}$ हो जाए, तो नई धारिता $C_2$ होगी:
$C_2 = \frac{k A \varepsilon_0}{d'} = \frac{k A \varepsilon_0}{d/2} = 2 \left( \frac{k A \varepsilon_0}{d} \right)$.
इस समीकरण में $C_1$ का मान रखने पर, हमें $C_2 = 2C_1$ प्राप्त होता है।

(A) एक समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C$ का सूत्र है:
$C = \frac{\varepsilon_{0} A}{d}$
जहाँ $A$ प्लेटों का क्षेत्रफल है और $d$ उनके बीच की दूरी है।
प्रारंभिक धारिता $C = 10 \mu F$ दी गई है।
यदि दूरी को दोगुना कर दिया जाए,तो नई दूरी $d' = 2d$ होगी।
नई धारिता $C'$ होगी:
$C' = \frac{\varepsilon_{0} A}{d'} = \frac{\varepsilon_{0} A}{2d}$
प्रारंभिक धारिता के व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर:
$C' = \frac{C}{2}$
$C' = \frac{10 \mu F}{2} = 5 \mu F$
अतः,नई धारिता $5 \mu F$ होगी।

(C) एक समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C$ का सूत्र इस प्रकार है:
$C = \frac{k \varepsilon_{0} A}{d}$
जहाँ $k$ परावैद्युत स्थिरांक है,$\varepsilon_{0}$ निर्वात की विद्युतशीलता है,$A$ प्लेटों का क्षेत्रफल है,और $d$ प्लेटों के बीच की दूरी है।
सूत्र से हम देख सकते हैं कि $C \propto A$ है।
अतः,यदि प्लेट का क्षेत्रफल बढ़ाया जाता है तो संधारित्र की धारिता बढ़ जाती है।

(D) एक समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C$ का सूत्र $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ है,जहाँ $\epsilon_0$ मुक्त आकाश की विद्युतशीलता है,$A$ प्लेटों का क्षेत्रफल है,और $d$ प्लेटों के बीच की दूरी है।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि धारिता $C$,प्लेटों के बीच की दूरी $d$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है $(C \propto \frac{1}{d})$।
अतः,प्लेटों के बीच की दूरी $d$ को घटाकर संधारित्र की धारिता $C$ को बढ़ाया जा सकता है।

(B) जब संधारित्र को आवेशित किया जाता है और फिर बैटरी से अलग कर दिया जाता है,तो प्लेटों पर आवेश $Q$ स्थिर रहता है क्योंकि आवेश के प्रवाह के लिए कोई मार्ग नहीं होता है।
समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{A \varepsilon_0}{d}$ द्वारा दी जाती है।
जब प्लेटों को एक-दूसरे से दूर ले जाया जाता है,तो दूरी $d$ बढ़ जाती है,जिससे धारिता $C$ कम हो जाती है।
चूंकि आवेश $Q$ स्थिर है और $Q = CV$ है,इसलिए विभवांतर $V = \frac{Q}{C}$ बढ़ जाता है क्योंकि $C$ कम हो रहा है।
अतः,संधारित्र के सिरों पर विभवांतर बढ़ जाता है।

(B) एक समांतर प्लेट संधारित्र की प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E$ का सूत्र है:
$E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} = \frac{Q}{A \varepsilon_0}$ --- $(i)$
प्लेट क्षेत्रफल $A$ और पृथक्करण दूरी $t$ वाले समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C$ इस प्रकार है:
$C = \frac{A \varepsilon_0}{t}$
इससे,हम लिख सकते हैं कि $A \varepsilon_0 = Ct$ --- $(ii)$
समीकरण $(ii)$ से $A \varepsilon_0$ का मान समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$E = \frac{Q}{Ct}$
अतः,विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $\frac{Q}{Ct}$ है।

(A) समांतर प्लेट संधारित्र की प्लेटों के बीच कुल विद्युत क्षेत्र $E = \frac{V}{d}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि एक प्लेट के कारण विद्युत क्षेत्र कुल क्षेत्र का आधा होता है,इसलिए एक प्लेट के कारण क्षेत्र $E_1 = \frac{E}{2} = \frac{V}{2 d}$ है।
प्लेटों पर आवेश $Q = C V$ है।
एक प्लेट द्वारा दूसरी प्लेट पर लगाया गया बल $F = Q \times E_1$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें $F = (C V) \times \left( \frac{V}{2 d} \right) = \frac{C V^2}{2 d}$ प्राप्त होता है।

(D) एक समांतर प्लेट संधारित्र की प्लेटों के बीच कुल विद्युत क्षेत्र '$E$',प्रत्येक प्लेट द्वारा व्यक्तिगत रूप से उत्पन्न क्षेत्रों का योग होता है।
चूंकि प्लेटें समान हैं,प्रत्येक प्लेट $\frac{E}{2}$ परिमाण का विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करती है।
एक प्लेट पर बल '$F$',दूसरी प्लेट द्वारा उत्पन्न विद्युत क्षेत्र के कारण होता है।
इसलिए,$F = Q \times (\text{दूसरी प्लेट द्वारा उत्पन्न क्षेत्र}) = Q \times \frac{E}{2} = \frac{QE}{2}$.

(D) दूरी पर स्थित दो समानांतर प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र $E = \frac{V}{d}$ द्वारा दिया जाता है।
इस विद्युत क्षेत्र में $q$ आवेश वाले कण पर लगने वाला बल $F = qE = \frac{qV}{d}$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,त्वरण $a = \frac{F}{m}$ होता है।
$F$ का मान रखने पर,हमें $a = \frac{qV}{md}$ प्राप्त होता है।

(B) एक आदर्श समानांतर प्लेट संधारित्र के लिए,हम मानते हैं कि प्लेटें अनंत विस्तार की हैं,जिसके परिणामस्वरूप उनके बीच एक समान विद्युत क्षेत्र होता है।
हालाँकि,सीमित प्लेट आयामों वाले वास्तविक संधारित्रों के लिए,विद्युत क्षेत्र रेखाएं किनारों के पास पूरी तरह से समानांतर नहीं रहती हैं।
इसके बजाय,वे प्लेटों के किनारों पर बाहर की ओर मुड़ जाती हैं।
इस घटना को फ्रिंजिंग ऑफ द फील्ड (Fringing of the field) के रूप में जाना जाता है।

(D) दिया गया है कि समांतर प्लेट संधारित्र को आवेशित करके फिर अलग कर दिया गया है। इसलिए,आवेश $Q$ स्थिर रहता है।
समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{\varepsilon_{0} A}{d}$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $C \propto \frac{1}{d}$।
यदि प्लेटों के बीच की दूरी $d$ बढ़ाई जाती है,तो धारिता $C$ घट जाती है।
संबंध $Q = CV$ से,हमारे पास $V = \frac{Q}{C}$ है। चूंकि $Q$ स्थिर है और $C$ घटता है,इसलिए विभव $V$ बढ़ना चाहिए।
अतः,प्लेटों के बीच की दूरी बढ़ाने पर आवेश स्थिर रहता है,विभव बढ़ता है और धारिता घटती है।

(C) यह निकाय प्लेट '$Q$' के साथ समानांतर में जुड़े दो संधारित्रों से बना है।
एक संधारित्र प्लेट '$P$' और '$Q$' के बीच $d$ दूरी पर बनता है,और दूसरा प्लेट '$Q$' और '$R$' के बीच $2d$ दूरी पर बनता है।
समानांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है।
मान लीजिए '$P$' और '$Q$' के बीच धारिता $C_1$ है: $C_1 = \frac{\epsilon_0 A}{d}$।
मान लीजिए '$Q$' और '$R$' के बीच धारिता $C_2$ है: $C_2 = \frac{\epsilon_0 A}{2d} = \frac{C_1}{2}$।
चूंकि प्लेट '$P$' और '$R$' दोनों ग्राउंडेड हैं,इसलिए दोनों का विभव $0 \,V$ है। अतः,प्लेट '$Q$' के सापेक्ष संधारित्र समानांतर में हैं।
तुल्य धारिता $C_{eq} = C_1 + C_2 = C_1 + \frac{C_1}{2} = \frac{3}{2} C_1$ है।
मान रखने पर: $C_1 = \frac{8.85 \times 10^{-12} \times 2}{2 \times 10^{-3}} = 8.85 \times 10^{-9} \,F$।
$C_{eq} = \frac{3}{2} \times 8.85 \times 10^{-9} = 1.3275 \times 10^{-8} \,F$।
प्लेट '$Q$' का विभव $V = \frac{q}{C_{eq}} = \frac{8.85 \times 10^{-8}}{1.3275 \times 10^{-8}} = \frac{8.85}{1.3275} = \frac{20}{3} \,V$ होगा।

(D) साम्यावस्था में,संधारित्र की प्लेटों के बीच का आकर्षण बल स्प्रिंग बल द्वारा संतुलित होता है।
समांतर प्लेट संधारित्र की प्लेटों के बीच का बल $F = \frac{q^2}{2 \varepsilon_0 A} = \frac{C^2 V^2}{2 \varepsilon_0 A}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d'}$,जहाँ $d'$ प्लेटों के बीच की नई दूरी है,इसलिए $F = \frac{(\varepsilon_0 A / d')^2 V^2}{2 \varepsilon_0 A} = \frac{\varepsilon_0 A V^2}{2 d'^2}$ है।
दिया गया है कि प्रारंभिक दूरी $d$ है और अंतिम दूरी $d' = 0.75 d = \frac{3}{4} d$ है,इसलिए स्प्रिंग में विस्तार $x = d - d' = d - \frac{3}{4} d = \frac{1}{4} d$ है।
स्प्रिंग बल $F_s = kx = k \left( \frac{1}{4} d \right)$ है।
बलों को बराबर करने पर: $\frac{\varepsilon_0 A V^2}{2 (\frac{3}{4} d)^2} = k \left( \frac{1}{4} d \right)$.
$\frac{\varepsilon_0 A V^2}{2 (\frac{9}{16} d^2)} = k \left( \frac{d}{4} \right)$.
$\frac{\varepsilon_0 A V^2}{\frac{9}{8} d^2} = k \left( \frac{d}{4} \right)$.
$\frac{8 \varepsilon_0 A V^2}{9 d^2} = k \left( \frac{d}{4} \right)$.
$k = \frac{32 \varepsilon_0 A V^2}{9 d^3}$.

(D) मान लीजिए कि प्लेटों के प्रत्येक जोड़े की धारिता $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ है।
व्यवस्था के आधार पर,इस प्रणाली को श्रेणीक्रम में दो संधारित्रों ($C_1$ और $C_2$) के रूप में मॉडल किया जा सकता है जो फिर तीसरे संधारित्र $(C_3)$ के साथ समानांतर क्रम में हैं।
यहाँ,$C_1 = C_2 = C_3 = C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ है।
$C_1$ और $C_2$ के श्रेणी संयोजन की तुल्य धारिता $C_{12} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{C^2}{2C} = \frac{C}{2}$ है।
अब,$C_{12}$ और $C_3$ समानांतर क्रम में हैं,इसलिए कुल धारिता $C_T$ होगी:
$C_T = C_{12} + C_3 = \frac{C}{2} + C = \frac{3C}{2}$.
$C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$C_T = \frac{3 \varepsilon_0 A}{2 d}$.

(B) प्लेटों के बीच स्थानांतरित आवेश का परिमाण $Q = N \cdot e$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $N = 10^{12}$ इलेक्ट्रॉन और $e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$ दिया गया है।
अतः,$Q = 10^{12} \times 1.6 \times 10^{-19} = 1.6 \times 10^{-7} \,C$।
उत्पन्न विभवांतर $V = 10 \,V$ है।
धारिता $C$ की परिभाषा के अनुसार $C = \frac{Q}{V}$।
मान रखने पर,$C = \frac{1.6 \times 10^{-7}}{10} = 1.6 \times 10^{-8} \,F$।

(D) इस व्यवस्था को समानांतर में जुड़े तीन समानांतर प्लेट संधारित्रों के रूप में माना जा सकता है,जिनमें से प्रत्येक का क्षेत्रफल $\frac{A}{3}$ है।
मान लीजिए कि समतल प्लेट और पहली,दूसरी और तीसरी सीढ़ी के बीच की दूरी क्रमशः $d$,$2d$ और $3d$ है।
समानांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है।
पहले भाग के लिए,$C_1 = \frac{\varepsilon_0 (A/3)}{d} = \frac{\varepsilon_0 A}{3d}$।
दूसरे भाग के लिए,$C_2 = \frac{\varepsilon_0 (A/3)}{2d} = \frac{\varepsilon_0 A}{6d}$।
तीसरे भाग के लिए,$C_3 = \frac{\varepsilon_0 (A/3)}{3d} = \frac{\varepsilon_0 A}{9d}$।
चूंकि ये संधारित्र समानांतर में जुड़े हुए हैं,इसलिए तुल्य धारिता $C_{eq}$ व्यक्तिगत धारिताओं का योग है:
$C_{eq} = C_1 + C_2 + C_3$
$C_{eq} = \frac{\varepsilon_0 A}{3d} + \frac{\varepsilon_0 A}{6d} + \frac{\varepsilon_0 A}{9d}$
हर में $18d$ को सामान्य लेने पर:
$C_{eq} = \frac{6\varepsilon_0 A + 3\varepsilon_0 A + 2\varepsilon_0 A}{18d} = \frac{11\varepsilon_0 A}{18d}$

(B) मान लीजिए कि चार प्लेटों को ऊपर से नीचे $1, 2, 3, 4$ के रूप में क्रमांकित किया गया है। बाहरी प्लेटें $1$ और $4$ एक साथ जुड़ी हुई हैं। बिंदु $A$ और $B$ क्रमशः प्लेट $2$ और $3$ से जुड़े हैं।
प्लेट $1$ और $2$ के बीच, एक संधारित्र $C_1 = \frac{\varepsilon_0 S}{d}$ है।
प्लेट $2$ और $3$ के बीच, एक संधारित्र $C_2 = \frac{\varepsilon_0 S}{d}$ है।
प्लेट $3$ और $4$ के बीच, एक संधारित्र $C_3 = \frac{\varepsilon_0 S}{d}$ है।
चूंकि प्लेट $1$ और $4$ जुड़ी हुई हैं, वे समान विभव पर हैं। मान लीजिए यह विभव $V_0$ है। प्लेट $2$ विभव $V_A$ पर है और प्लेट $3$ विभव $V_B$ पर है।
संधारित्र $C_1$, $V_A$ और $V_0$ के बीच जुड़ा है। संधारित्र $C_3$, $V_B$ और $V_0$ के बीच जुड़ा है। संधारित्र $C_2$, $V_A$ और $V_B$ के बीच जुड़ा है।
यह $C_1$ और $C_3$ के श्रेणीक्रम संयोजन के बराबर है, जो $C_2$ के साथ समानांतर क्रम में है।
चूंकि $C_1 = C_2 = C_3 = C = \frac{\varepsilon_0 S}{d}$, तुल्य धारिता $C_{eq}$ है:
$C_{eq} = C_2 + (C_1 \text{ और } C_3 \text{ का श्रेणीक्रम संयोजन})$
$C_{eq} = C + \frac{C \times C}{C + C} = C + \frac{C}{2} = \frac{3C}{2}$
$C = \frac{\varepsilon_0 S}{d}$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:
$C_{eq} = \frac{3}{2} \frac{\varepsilon_0 S}{d}$

(A) एक पृथक आवेशित समांतर प्लेट संधारित्र के लिए,प्लेटों पर आवेश $q$ स्थिर रहता है।
प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_{0}} = \frac{q}{A \varepsilon_{0}}$ द्वारा दिया जाता है,जो स्थिर है क्योंकि $q$,$A$ और $\varepsilon_{0}$ स्थिर हैं।
प्लेटों के बीच इलेक्ट्रोस्टैटिक आकर्षण बल $F = qE = \frac{q^2}{2A \varepsilon_{0}}$ है।
चूंकि बल स्थिर है,प्लेटों का त्वरण $a$ स्थिर है $(a = F/m)$।
समय $t$ पर प्लेटों के बीच की दूरी $d(t) = d_{0} - \frac{1}{2} a t^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $d_{0}$ प्रारंभिक दूरी है।
विभवांतर $V = E \cdot d(t) = E (d_{0} - \frac{1}{2} a t^2)$ है।
यह समीकरण $V(t) = E d_{0} - (\frac{E a}{2}) t^2$ नीचे की ओर खुलने वाले परवलय (parabola) को दर्शाता है,जो ग्राफ $A$ के अनुरूप है।

(A) दी गई व्यवस्था में चार प्लेटें शामिल हैं। मान लीजिए कि $P$ से जुड़ी प्लेटें धनात्मक प्लेटें हैं और $Q$ से जुड़ी प्लेटें ऋणात्मक प्लेटें हैं।
चित्र से,हम देख सकते हैं कि प्लेटों के बीच दो संधारित्र बनते हैं।
प्रत्येक संधारित्र $d$ दूरी पर स्थित और $a$ क्षेत्रफल वाली दो निकटवर्ती प्लेटों द्वारा बनता है।
एक समानांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{\varepsilon_{0} a}{d}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि दोनों संधारित्र समानांतर क्रम में जुड़े हुए हैं,इसलिए तुल्य धारिता $C_{eq}$ व्यक्तिगत धारिताओं का योग होगी।
$C_{eq} = C_{1} + C_{2} = \frac{\varepsilon_{0} a}{d} + \frac{\varepsilon_{0} a}{d} = \frac{2 \varepsilon_{0} a}{d}$.

(A) एक समांतर प्लेट संधारित्र में,प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र एकसमान (uniform) होता है।
चूंकि बल का सूत्र $F = eE$ है,जहाँ $e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है और $E$ एकसमान विद्युत क्षेत्र है,इसलिए प्लेटों के बीच किसी भी बिंदु पर इलेक्ट्रॉन द्वारा अनुभव किया गया बल स्थिर रहता है।
अतः,बिंदु $P$ और $Q$ दोनों पर इलेक्ट्रॉनों पर कार्य करने वाले बल समान हैं।
इसलिए,विकल्प $(A)$ सही है।