Parallel Plate Capacitor Questions in Hindi

(B) दूरी और $A$ क्षेत्रफल वाले समांतर प्लेट संधारित्र की प्रारंभिक धारिता $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ होती है।
जब प्लेटों के बीच $b$ मोटाई की धातु की स्लैब रखी जाती है,तो प्लेटों के बीच प्रभावी दूरी $(d - b)$ हो जाती है।
नई धारिता $C'$ का सूत्र $C' = \frac{\varepsilon_0 A}{d - b}$ है।
दिया गया है $b = d/2$,इसलिए:
$C' = \frac{\varepsilon_0 A}{d - d/2} = \frac{\varepsilon_0 A}{d/2} = \frac{2\varepsilon_0 A}{d}$.
अतः,नई धारिता और मूल धारिता का अनुपात:
$\frac{C'}{C} = \frac{2\varepsilon_0 A / d}{\varepsilon_0 A / d} = \frac{2}{1}$ या $2 : 1$ होगा।

(B) मान लीजिए कि बैटरी के धनात्मक टर्मिनल का विभव $V$ है और ऋणात्मक टर्मिनल का विभव $0$ है।
प्लेट $1, 3$ और $5$ धनात्मक टर्मिनल से जुड़ी हैं,इसलिए उनका विभव $V$ है।
प्लेट $2$ और $4$ ऋणात्मक टर्मिनल से जुड़ी हैं,इसलिए उनका विभव $0$ है।
यह व्यवस्था आसन्न प्लेटों के बीच संधारित्र बनाती है।
संधारित्र $C_1$ प्लेट $1$ और $2$ द्वारा,$C_2$ प्लेट $2$ और $3$ द्वारा,$C_3$ प्लेट $3$ और $4$ द्वारा,और $C_4$ प्लेट $4$ और $5$ द्वारा बनता है।
प्रत्येक संधारित्र की धारिता $C = \frac{{{\varepsilon _0}A}}{d}$ है।
प्लेट $1$ के पास केवल एक सतह है जो प्लेट $2$ के साथ संधारित्र बनाती है। प्लेट $1$ पर आवेश $Q_1 = C \times (V - 0) = \frac{{{\varepsilon _0}AV}}{d}$ है।
प्लेट $4$ के पास दो सतहें हैं: एक प्लेट $3$ के साथ संधारित्र बनाती है और दूसरी प्लेट $5$ के साथ। प्लेट $3$ और $5$ दोनों $V$ विभव पर हैं,जबकि प्लेट $4$ का विभव $0$ है।
प्लेट $4$ पर आवेश $Q_4 = C \times (0 - V) + C \times (0 - V) = -\frac{{{\varepsilon _0}AV}}{d} - \frac{{{\varepsilon _0}AV}}{d} = -\frac{{2{\varepsilon _0}AV}}{d}$ है।

(B) समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{\varepsilon_{0} A}{d}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $A$ प्लेटों का क्षेत्रफल है और $d$ उनके बीच की दूरी है।
जब दूरी $d$ बढ़ाई जाती है,तो धारिता $C$ घट जाती है।
चूंकि बैटरी हटा दी गई है,इसलिए प्लेटों पर आवेश $Q$ स्थिर रहता है।
आवेश,धारिता और विभवांतर के बीच संबंध $V = \frac{Q}{C}$ है।
चूंकि $Q$ स्थिर है और $C$ घट रहा है,इसलिए विभवांतर $V$ बढ़ जाएगा।

(A) एक विलगित समांतर प्लेट संधारित्र के लिए,प्लेटों पर आवेश $Q$ स्थिर रहता है।
एक प्लेट द्वारा दूसरी प्लेट के स्थान पर उत्पन्न विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\sigma = \frac{Q}{A}$ पृष्ठीय आवेश घनत्व है।
दूसरी प्लेट के विद्युत क्षेत्र के कारण एक प्लेट द्वारा अनुभव किया गया स्थिर-वैद्युत बल $F = Q \times E$ होता है।
$E$ का व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर,हमें $F = Q \times \frac{Q}{2A\varepsilon_0} = \frac{Q^2}{2A\varepsilon_0}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $Q$,$A$ और $\varepsilon_0$ स्थिरांक हैं,इसलिए बल $F$ प्लेटों के बीच की दूरी $d$ से स्वतंत्र है।

(B) मान लीजिए प्लेट $1$ का विभव $V_A$ है और प्लेट $3$ का विभव $V_B$ है। प्लेट $2$ और $4$ एक साथ जुड़ी हुई हैं,मान लीजिए उनका विभव $V_x$ है। प्लेट $5$ अलग-थलग है।
कैपेसिटर आसन्न प्लेटों के बीच बनते हैं:
$1$ और $2$ के बीच $C_1$ जिसका धारिता $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ है।
$2$ और $3$ के बीच $C_2$ जिसका धारिता $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ है।
$3$ और $4$ के बीच $C_3$ जिसका धारिता $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ है।
$4$ और $5$ के बीच $C_4$ जिसका धारिता $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ है।
चूंकि प्लेट $5$ अलग-थलग है,यह सर्किट में भाग नहीं लेती है। सर्किट में $C_1$,$C_2$ और $C_3$ के समानांतर संयोजन के साथ श्रृंखला में है।
तुल्य धारिता $C_{eq} = \frac{C_1 \times (C_2 + C_3)}{C_1 + C_2 + C_3} = \frac{C \times (2C)}{C + 2C} = \frac{2}{3}C = \frac{2\varepsilon_0 A}{3d}$ है।
सेल से प्रवाहित आवेश $Q = C_{eq} E = \frac{2\varepsilon_0 AE}{3d}$ है।

(B) दी गई व्यवस्था में,प्लेटें $A, C, E$ बैटरी के धनात्मक टर्मिनल से जुड़ी हैं और प्लेटें $B, D$ ऋणात्मक टर्मिनल से जुड़ी हैं।
यह विन्यास समानांतर में चार संधारित्र बनाता है,जिनमें से प्रत्येक की धारिता $C = 2 \mu F$ है।
संधारित्र प्लेटों के जोड़ों के बीच बनते हैं: $(A, B)$,$(B, C)$,$(C, D)$,और $(D, E)$।
प्लेट $C$ दो संधारित्रों के लिए एक सामान्य प्लेट के रूप में कार्य करती है: एक प्लेट $B$ के साथ और एक प्लेट $D$ के साथ।
प्लेटों $B$ और $C$ द्वारा बने संधारित्र के लिए,प्लेट $C$ पर आवेश $q_1 = +CV$ है।
प्लेटों $C$ और $D$ द्वारा बने संधारित्र के लिए,प्लेट $C$ पर आवेश $q_2 = +CV$ है।
इसलिए,प्लेट $C$ पर कुल आवेश $q = q_1 + q_2 = 2CV$ है।
यहाँ $C = 2 \mu F$ और $V = 10 \ V$ दिया गया है,इसलिए $q = 2 \times 2 \mu F \times 10 \ V = 40 \mu C$ होगा।

(A) एक प्लेट से $y$ दूरी पर $dy$ मोटाई की एक छोटी पट्टी पर विचार करें। यह पट्टी $dC = \frac{K \varepsilon_0 A}{dy}$ धारिता वाले संधारित्र के रूप में कार्य करती है।
चूंकि ये सूक्ष्म संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए तुल्य धारिता $C$ के लिए $\frac{1}{C} = \int_0^d \frac{dy}{K \varepsilon_0 A}$ होगा।
$K = \lambda \sec(\pi y / 2d)$ रखने पर,$\frac{1}{C} = \frac{1}{\varepsilon_0 A \lambda} \int_0^d \cos(\pi y / 2d) dy$ प्राप्त होता है।
समाकलन करने पर: $\int_0^d \cos(\pi y / 2d) dy = [\frac{2d}{\pi} \sin(\pi y / 2d)]_0^d = \frac{2d}{\pi} \sin(\pi/2) = \frac{2d}{\pi}$।
अतः,$\frac{1}{C} = \frac{1}{\varepsilon_0 A \lambda} \cdot \frac{2d}{\pi} = \frac{2d}{\pi \varepsilon_0 \lambda A}$।
इसलिए,$C = \frac{\pi \varepsilon_0 \lambda A}{2d}$।

(B) यह निकाय तीन प्लेटों $A, B$ और $C$ से बना है। परिपथ आरेख के अनुसार, प्लेट $A$ और $C$ को बैटरी के एक टर्मिनल से और प्लेट $B$ को दूसरे टर्मिनल से जोड़ा गया है। यह विन्यास समानांतर क्रम में दो संधारित्र बनाता है, जिनमें प्रत्येक प्लेट के बीच की दूरी $d = 0.885 \ mm = 0.885 \times 10^{-3} \ m$ है।
प्रत्येक संधारित्र की धारिता $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $C = \frac{8.854 \times 10^{-12} \times 0.1}{0.885 \times 10^{-3}} = 10^{-9} \ F = 1 \ nF$.
चूंकि दोनों संधारित्र समानांतर क्रम में हैं, इसलिए तुल्य धारिता $C_{eq} = C + C = 2 \ nF = 2 \times 10^{-9} \ F$ होगी।
निकाय में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} C_{eq} V^2$ है।
$C_{eq} = 2 \times 10^{-9} \ F$ और $V = 10 \ V$ रखने पर:
$U = \frac{1}{2} \times (2 \times 10^{-9}) \times (10)^2 = 10^{-9} \times 100 = 10^{-7} \ J$.
माइक्रोजूल $(\mu J)$ में परिवर्तित करने पर:
$U = 10^{-7} \ J = 10^{-1} \times 10^{-6} \ J = 10^{-1} \ \mu J$.

(C) दी गई व्यवस्था में चार प्लेटें हैं। मान लीजिए प्लेटों को ऊपर से नीचे $1$, $2$, $3$ और $4$ क्रमांकित किया गया है।
प्लेट $1$ और $4$ बिंदु $A$ से जुड़ी हैं।
प्लेट $2$ और $3$ बिंदु $B$ से जुड़ी हैं।
यह बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच तीन समानांतर संधारित्र बनाता है।
विशेष रूप से, प्लेट $1$ और $2$ के बीच का स्थान एक संधारित्र बनाता है, प्लेट $2$ और $3$ के बीच का स्थान एक संधारित्र बनाता है, और प्लेट $3$ और $4$ के बीच का स्थान एक संधारित्र बनाता है।
इस प्रकार, कुल समतुल्य धारिता $C_{eq} = C + C + C = 3C = \frac{3\varepsilon_0 A}{d}$ होगी।

(C) माना प्रारंभिक धारिता $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$,आवेश $Q = CV$,और विद्युत क्षेत्र $E = \frac{V}{d}$ है।
जब दूरी $d$ को आधा करके $d' = \frac{d}{2}$ कर दिया जाता है,तो नई धारिता $C' = \frac{\epsilon_0 A}{d'} = 2C$ हो जाती है।
नया आवेश $Q' = C'V = 2CV = 2Q$ हो जाता है।
नया विद्युत क्षेत्र $E' = \frac{V}{d'} = \frac{2V}{d} = 2E$ हो जाता है।
संधारित्र की प्लेटों के बीच आकर्षण बल $F = \frac{QE}{2}$ द्वारा दिया जाता है।
नए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,नया बल $F'$ इस प्रकार है:
$F' = \frac{Q' E'}{2} = \frac{(2Q)(2E)}{2} = 4 \left( \frac{QE}{2} \right) = 4F$.
अतः,आकर्षण बल प्रारंभिक बल का चार गुना हो जाता है।

(D) एक प्लेट द्वारा दूसरी प्लेट के स्थान पर उत्पन्न विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}$ है,जहाँ $\sigma = \frac{Q}{A}$ पृष्ठ आवेश घनत्व है।
इस विद्युत क्षेत्र के कारण $Q$ आवेश पर लगने वाला आकर्षण बल $F = Q E = Q \left( \frac{Q}{2 \varepsilon_0 A} \right) = \frac{Q^2}{2 \varepsilon_0 A}$ होता है।
चूंकि समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ है,इसलिए हम $\varepsilon_0 A = C d$ लिख सकते हैं।
इस मान को बल के समीकरण में रखने पर: $F = \frac{Q^2}{2 C d}$ प्राप्त होता है।
$Q = CV$ संबंध का उपयोग करने पर,हमें $F = \frac{(CV)^2}{2 C d} = \frac{C^2 V^2}{2 C d} = \frac{1}{2} \frac{C V^2}{d}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{Q^2}{2 \varepsilon_0 A}$ और $\frac{C V^2}{2 d}$ दोनों व्यंजक सही हैं। इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(B) समांतर प्लेट संधारित्र की प्लेटों के बीच स्थिर-विद्युत आकर्षण बल $F = \frac{Q^2}{2A\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $Q = CV$ और $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$,इसलिए $Q = \frac{\epsilon_0 A V}{d}$ होता है।
बल के समीकरण में $Q$ का मान रखने पर: $F = \frac{(\epsilon_0 A V / d)^2}{2A\epsilon_0} = \frac{\epsilon_0 A V^2}{2d^2}$।
संतुलन बनाए रखने के लिए,यह बल अतिरिक्त द्रव्यमान $m$ के भार द्वारा संतुलित होना चाहिए,इसलिए $mg = F$।
$m = \frac{\epsilon_0 A V^2}{2d^2g}$।
दिया गया है: $\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \, F/m$,$A = 100 \, cm^2 = 10^{-2} \, m^2$,$V = 5000 \, V$,$d = 5 \, mm = 5 \times 10^{-3} \, m$,$g = 9.8 \, m/s^2$।
$m = \frac{8.85 \times 10^{-12} \times 10^{-2} \times (5000)^2}{2 \times (5 \times 10^{-3})^2 \times 9.8}$।
$m = \frac{8.85 \times 10^{-14} \times 25 \times 10^6}{2 \times 25 \times 10^{-6} \times 9.8} = \frac{8.85 \times 10^{-8}}{19.6 \times 10^{-6}} \approx 0.004515 \, kg$।
$m \approx 4.515 \, g$। निकटतम विकल्प के अनुसार,सही उत्तर $4.4 \, g$ है।

(C) मान लीजिए कि धनात्मक टर्मिनल का विभव $V$ है और ऋणात्मक टर्मिनल का $0$ है।
प्लेट $1, 3, 5$ धनात्मक टर्मिनल से जुड़ी हैं (विभव $V$)।
प्लेट $2, 4$ ऋणात्मक टर्मिनल से जुड़ी हैं (विभव $0$)।
प्रत्येक निकटवर्ती प्लेटों के जोड़े के बीच विभवांतर $V$ है।
प्लेट $1$ पर आवेश: इसकी केवल एक सतह (आंतरिक) है जो प्लेट $2$ के सामने है। आवेश $q_1 = C_{eff} V = (\epsilon_0 A/d) V$ है।
प्लेट $4$ पर आवेश: इसकी दो सतहें (दोनों तरफ) हैं जो प्लेट $3$ और $5$ के सामने हैं। दोनों सतहें आवेश में योगदान करती हैं।
प्लेट $4$ की बाईं सतह पर आवेश (प्लेट $3$ के सामने) $-(\epsilon_0 A/d) V$ है।
प्लेट $4$ की दाईं सतह पर आवेश (प्लेट $5$ के सामने) $-(\epsilon_0 A/d) V$ है।
प्लेट $4$ पर कुल आवेश $q_4 = -(\epsilon_0 A/d) V - (\epsilon_0 A/d) V = -2\epsilon_0 AV/d$ है।

(A) एक संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = \frac{Q^2}{2C}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि प्लेटें पृथक हैं,आवेश $Q$ स्थिर रहता है।
चल प्लेट पर लगने वाला बल $F$,विस्थापन $x$ के सापेक्ष स्थितिज ऊर्जा के ऋणात्मक प्रवणता द्वारा दिया जाता है:
$F = -\frac{dU}{dx} = -\frac{d}{dx} \left( \frac{Q^2}{2C} \right) = \frac{Q^2}{2C^2} \frac{dC}{dx}$.
ओवरलैप लंबाई $x$ और चौड़ाई $b$ वाले समानांतर-प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{\epsilon_0 A}{d} = \frac{\epsilon_0 (bx)}{d}$ है,जहाँ $d$ प्लेटों के बीच की स्थिर दूरी है।
अतः,$\frac{dC}{dx} = \frac{\epsilon_0 b}{d}$.
इसे बल के समीकरण में रखने पर:
$F = \frac{Q^2}{2 \left( \frac{\epsilon_0 bx}{d} \right)^2} \left( \frac{\epsilon_0 b}{d} \right) = \frac{Q^2 d}{2 \epsilon_0 b x^2}$.
इसलिए,बल $F$,$x^{-2}$ के समानुपाती है।

(C) हवा की परावैद्युत सामर्थ्य $E_{m} = 3 \times 10^{6} \, V/m$ है।
प्लेटों के बीच की दूरी $d = 2 \, mm = 2 \times 10^{-3} \, m$ होने पर लगाया जा सकने वाला अधिकतम विभवांतर $(V_{m})$:
$V_{m} = E_{m} \cdot d = (3 \times 10^{6} \, V/m) \times (2 \times 10^{-3} \, m) = 6000 \, V$.
समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C$:
$C = \frac{\varepsilon_{0} A}{d} = \frac{8.854 \times 10^{-12} \, F/m \times 20 \times 10^{-4} \, m^2}{2 \times 10^{-3} \, m} = 8.854 \times 10^{-12} \, F$.
प्लेटों पर अधिकतम आवेश $q_{m}$:
$q_{m} = C \cdot V_{m} = (8.854 \times 10^{-12} \, F) \times (6000 \, V) = 53.124 \times 10^{-9} \, C \approx 53 \, nC$.
अतः,अधिकतम emf $6000 \, V$ है और आवेश $53 \, nC$ है।

(A) मान लीजिए कि एक समांतर प्लेट संधारित्र की प्लेटों को $\Delta x$ की अल्प दूरी से अलग करने के लिए लगाया गया बल $F$ है। बल द्वारा किया गया कार्य $W = F \Delta x$ है।
यह कार्य संधारित्र की स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि के रूप में संग्रहीत होता है। प्लेटों के बीच ऊर्जा घनत्व $u = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2$ द्वारा दिया जाता है।
आयतन $V = A \Delta x$ में संग्रहीत कुल ऊर्जा $\Delta U = u \times (A \Delta x) = (\frac{1}{2} \epsilon_0 E^2) A \Delta x$ है।
किए गए कार्य को स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर रखने पर: $F \Delta x = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2 A \Delta x$।
अतः,$F = \frac{1}{2} \epsilon_0 A E^2$।
चूंकि प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{\epsilon_0} = \frac{Q}{A \epsilon_0}$ है,इसलिए हमारे पास $\epsilon_0 A = \frac{Q}{E}$ है।
इस मान को बल के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $F = \frac{1}{2} (\frac{Q}{E}) E^2 = \frac{1}{2} QE$।

(B) एक समांतर प्लेट संधारित्र के लिए जिसकी प्लेटों पर आवेश $Q_1$ और $Q_2$ हैं,आंतरिक सतहों पर आवेश $q = \frac{Q_1 - Q_2}{2}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$Q_1 = 2Q$ और $Q_2 = -Q$ है।
इसलिए,आंतरिक सतह पर आवेश $q = \frac{2Q - (-Q)}{2} = \frac{3Q}{2}$ होगा।
प्लेटों के बीच विभवांतर $V$ का मान $V = \frac{q}{C}$ द्वारा दिया जाता है।
$q$ का मान रखने पर,हमें $V = \frac{3Q/2}{C} = \frac{3Q}{2C}$ प्राप्त होता है।

(D) समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C$ का सूत्र $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ है,जहाँ $\epsilon_0$ निर्वात की विद्युतशीलता है,$A$ प्लेटों का क्षेत्रफल है और $d$ प्लेटों के बीच की दूरी है।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि धारिता प्लेटों के क्षेत्रफल $(A)$ और उनके बीच की दूरी $(d)$ पर निर्भर करती है।
अतः,संधारित्र की धारिता प्लेटों के बीच की दूरी पर निर्भर करती है।

(C) दिया गया है:
समानांतर प्लेट संधारित्र का क्षेत्रफल,$A = 200\,cm^2 = 200 \times 10^{-4}\,m^2 = 2 \times 10^{-2}\,m^2$
प्लेटों के बीच की दूरी,$d = 1.5\,cm = 1.5 \times 10^{-2}\,m$
प्लेटों के बीच आकर्षण बल,$F = 25 \times 10^{-6}\,N$
निर्वात की विद्युतशीलता,$\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}\,C^2/Nm^2$
संधारित्र की प्लेटों के बीच आकर्षण बल का सूत्र है:
$F = \frac{Q^2}{2A\epsilon_0}$
चूंकि $Q = CV = \frac{\epsilon_0 A V}{d}$,इसलिए $Q$ का मान बल के समीकरण में रखने पर:
$F = \frac{(\frac{\epsilon_0 A V}{d})^2}{2A\epsilon_0} = \frac{\epsilon_0^2 A^2 V^2}{d^2 \cdot 2A\epsilon_0} = \frac{\epsilon_0 A V^2}{2d^2}$
$V^2$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$V^2 = \frac{2F d^2}{\epsilon_0 A}$
मान रखने पर:
$V^2 = \frac{2 \times (25 \times 10^{-6}) \times (1.5 \times 10^{-2})^2}{(8.85 \times 10^{-12}) \times (200 \times 10^{-4})}$
$V^2 = \frac{50 \times 10^{-6} \times 2.25 \times 10^{-4}}{8.85 \times 10^{-12} \times 2 \times 10^{-2}}$
$V^2 = \frac{112.5 \times 10^{-10}}{17.7 \times 10^{-14}} \approx 6.356 \times 10^4 \approx 63560$
$V = \sqrt{63560} \approx 252.1\,V$
अतः,$V$ का मान लगभग $250\,V$ है।

(C) समानांतर प्लेट संधारित्र की प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र $E$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} = \frac{q}{A \varepsilon_0}$
जहाँ $q$ प्लेट पर आवेश है,$A$ प्लेट का क्षेत्रफल है,और $\varepsilon_0$ मुक्त स्थान की विद्युतशीलता $(8.85 \times 10^{-12}\,F/m)$ है।
$q$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$q = E \cdot A \cdot \varepsilon_0$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर ($E = 100\,N/C$,$A = 1\,m^2$,$\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}\,F/m$):
$q = 100 \times 1 \times 8.85 \times 10^{-12}$
$q = 8.85 \times 10^{-10}\,C$
अतः,प्रत्येक प्लेट पर आवेश का परिमाण $8.85 \times 10^{-10}\,C$ है।

(B) जब एक समांतर प्लेट संधारित्र की दो प्लेटों को $q_1$ और $q_2$ आवेश दिया जाता है,तो प्लेटों की आंतरिक सतहों पर आवेश $q_{inner} = \frac{q_1 - q_2}{2}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$q_1 = +2\,\mu C$ और $q_2 = +4\,\mu C$ है।
अतः,आंतरिक सतह पर आवेश $q = \frac{2\,\mu C - 4\,\mu C}{2} = -1\,\mu C$ (परिमाण में,$1\,\mu C$) है।
संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $V = \frac{q}{C}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$V = \frac{1\,\mu C}{1\,\mu F} = 1\,V$।

(B) दो प्लेटों पर $Q_1$ और $Q_2$ आवेश वाले समांतर प्लेट संधारित्र के लिए,आंतरिक सतहों पर आवेश $q = \frac{Q_1 - Q_2}{2}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$Q_1 = 2Q$ और $Q_2 = -Q$ है।
इसलिए,पहली प्लेट की आंतरिक सतह पर आवेश $q = \frac{2Q - (-Q)}{2} = \frac{3Q}{2}$ होगा।
दूसरी प्लेट की आंतरिक सतह पर आवेश $-q = -\frac{3Q}{2}$ होगा।
प्लेटों के बीच विभवांतर $V$ को $q = CV$ संबंध द्वारा दिया जाता है,जहाँ $q$ आंतरिक सतह पर आवेश का परिमाण है।
मान रखने पर,हमें $\frac{3Q}{2} = CV$ प्राप्त होता है।
अतः,$V = \frac{3Q}{2C}$।

(A) समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है।
त्रिज्या $r = 10\, cm = 0.1\, m$ दी गई है,इसलिए $A = \pi r^2 = \pi (0.1)^2 = 0.01\pi\, m^2$.
प्रारंभिक दूरी $d_1 = 1\, mm = 10^{-3}\, m$. प्रारंभिक धारिता $C_1 = \frac{\epsilon_0 A}{d_1}$.
अंतिम दूरी $d_2 = 1\, cm = 10^{-2}\, m = 10 d_1$. अंतिम धारिता $C_2 = \frac{\epsilon_0 A}{d_2} = \frac{C_1}{10}$.
चूंकि बैटरी जुड़ी हुई है,वोल्टेज $V = 100\, V$ स्थिर रहता है।
प्रारंभिक ऊर्जा $U_1 = \frac{1}{2} C_1 V^2$.
अंतिम ऊर्जा $U_2 = \frac{1}{2} C_2 V^2 = \frac{1}{2} (\frac{C_1}{10}) V^2 = \frac{U_1}{10}$.
ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = U_2 - U_1 = \frac{1}{2} V^2 (C_2 - C_1) = \frac{1}{2} (100)^2 (\frac{C_1}{10} - C_1) = -0.9 \times \frac{1}{2} C_1 (100)^2$.
$\epsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12}\, F/m$ का उपयोग करते हुए,$C_1 = \frac{8.854 \times 10^{-12} \times 0.01\pi}{10^{-3}} \approx 2.78 \times 10^{-10}\, F$.
$\Delta U = -0.45 \times 2.78 \times 10^{-10} \times 10000 \approx -1.25 \times 10^{-6}\, J$.
चूंकि $1\, J = 10^7\, ergs$,$\Delta U = -1.25 \times 10^{-6} \times 10^7 = -12.5\, ergs$.
ऋणात्मक चिह्न ऊर्जा में हानि को दर्शाता है।

(A) समानांतर-प्लेट संधारित्र के लिए,आमने-सामने की सतहों पर आवेश परिमाण में समान और चिह्न में विपरीत होते हैं। इसलिए,$Q_2 = -Q_3$ है।
प्लेटों के बीच विभवांतर $V$,आंतरिक सतह पर आवेश को संधारित्र की धारिता $C$ से विभाजित करने पर प्राप्त होता है।
$V = \frac{Q_2}{C}$
चूंकि $Q_3 = -Q_2$,हम $Q_2 = \frac{Q_2 - Q_3}{2}$ लिख सकते हैं।
इस मान को विभवांतर के सूत्र में रखने पर:
$V = \frac{Q_2 - Q_3}{2C}$

(D) जब संधारित्र श्रेणीक्रम में जुड़े होते हैं, तो प्रत्येक संधारित्र पर आवेश $Q$ समान होता है।
चूंकि दोनों संधारित्रों की धारिता $C$ समान है, इसलिए प्रत्येक संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $V = Q/C$ भी समान होगा।
संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = Q^2 / (2C)$ द्वारा दी जाती है। चूंकि $Q$ और $C$ दोनों के लिए समान हैं, इसलिए संचित ऊर्जा भी समान होगी।
समानांतर प्लेट संधारित्र की प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र $E = V/d$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि विभवांतर $V$ समान है लेकिन प्लेटों के बीच की दूरी $d$ अलग-अलग है, इसलिए दोनों संधारित्रों के लिए विद्युत क्षेत्र $E$ अलग-अलग होगा।

(A) समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{\varepsilon_{0} A}{d}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $A$ प्लेटों का क्षेत्रफल है और $d$ उनके बीच की दूरी है।
जब दूरी $d$ बढ़ाई जाती है,तो धारिता $C$ घट जाती है।
चूंकि बैटरी हटा दी गई है,इसलिए प्लेटों पर आवेश $Q$ स्थिर रहता है।
आवेश,धारिता और विभवांतर के बीच संबंध $V = \frac{Q}{C}$ है।
चूंकि $Q$ स्थिर है और $C$ घटता है,इसलिए विभवांतर $V$ बढ़ जाता है।

(B) दी गई व्यवस्था में,कुल $6$ धात्विक प्लेटें हैं।
प्लेटें $1, 3, 5$ को बिंदु $P$ से और प्लेटें $2, 4, 6$ को बिंदु $Q$ से जोड़ा गया है।
यह विन्यास समानांतर क्रम में $5$ संधारित्र बनाता है,जहाँ प्रत्येक संधारित्र दो निकटवर्ती प्लेटों के बीच बनता है।
प्रत्येक संधारित्र की धारिता $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ है।
चूंकि ऐसे $5$ संधारित्र समानांतर में हैं,इसलिए तुल्य धारिता $C_{eq}$ इस प्रकार होगी:
$C_{eq} = C + C + C + C + C = 5C = \frac{5\varepsilon_0 A}{d}$.

(B) समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है।
जब प्लेटों को दूर खींचा जाता है,तो उनके बीच की दूरी $d$ बढ़ जाती है।
चूंकि $C \propto \frac{1}{d}$,इसलिए धारिता $C$ घट जाती है।
चूंकि बैटरी हटा दी गई है,प्लेटों पर आवेश $Q$ स्थिर रहता है।
संबंध $V = \frac{Q}{C}$ का उपयोग करते हुए,चूंकि $Q$ स्थिर है और $C$ घट रहा है,इसलिए विभवांतर $V$ बढ़ जाएगा।

(C) एक संधारित्र की दो प्लेटों पर संचित आवेश $+Q$ और $-Q$ होते हैं। कुल आवेश $Q + (-Q) = 0$ होता है। अतः,कथन सही है।
समांतर प्लेट संधारित्र के बाहर विद्युत क्षेत्र शून्य होता है क्योंकि दोनों प्लेटों द्वारा उत्पन्न क्षेत्र (प्रत्येक का परिमाण $\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$) समान और विपरीत होते हैं। प्लेटों के बीच का क्षेत्र $\frac{\sigma}{\varepsilon_0}$ होता है।
चित्र में दिखाए अनुसार,एक गाऊसी सतह $ABCD$ खींचकर,हम गाउस के नियम को लागू कर सकते हैं: $\oint \vec{E} \cdot d\vec{s} = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$। चूंकि सतह द्वारा घिरा कुल आवेश $Q - Q = 0$ है,इसलिए कुल फ्लक्स शून्य है,जिसका अर्थ है कि प्लेटों के बाहर विद्युत क्षेत्र शून्य है। इसलिए,कारण गलत है।

(D) बाएं सिरे से $x$ दूरी पर $dx$ चौड़ाई की एक छोटी पट्टी पर विचार करें। इस दूरी $x$ पर प्लेटों के बीच की दूरी $d' = d + x\alpha$ है।
इस छोटी पट्टी की धारिता $dC = \frac{\varepsilon_0 a dx}{d + x\alpha}$ है।
कुल धारिता $C$ ज्ञात करने के लिए,हम $x = 0$ से $x = a$ तक समाकलन करते हैं:
$C = \int_{0}^{a} \frac{\varepsilon_0 a dx}{d + x\alpha} = \frac{\varepsilon_0 a}{\alpha} [\ln(d + x\alpha)]_{0}^{a} = \frac{\varepsilon_0 a}{\alpha} \ln\left(\frac{d + a\alpha}{d}\right) = \frac{\varepsilon_0 a}{\alpha} \ln\left(1 + \frac{a\alpha}{d}\right)$.
छोटे $y = \frac{a\alpha}{d}$ के लिए टेलर श्रेणी विस्तार $\ln(1 + y) \approx y - \frac{y^2}{2}$ का उपयोग करते हुए:
$C \approx \frac{\varepsilon_0 a}{\alpha} \left(\frac{a\alpha}{d} - \frac{1}{2} \left(\frac{a\alpha}{d}\right)^2\right) = \frac{\varepsilon_0 a^2}{d} \left(1 - \frac{a\alpha}{2d}\right)$.

(N/A) दिया गया है:
प्रत्येक प्लेट का क्षेत्रफल,$A = 6 \times 10^{-3} \, m^{2}$
प्लेटों के बीच की दूरी,$d = 3 \, mm = 3 \times 10^{-3} \, m$
आपूर्ति वोल्टेज,$V = 100 \, V$
निर्वात की विद्युतशीलता,$\varepsilon_{0} = 8.854 \times 10^{-12} \, F/m$
$1$. धारिता $(C)$ की गणना:
समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता का सूत्र $C = \frac{\varepsilon_{0} A}{d}$ है।
मान रखने पर:
$C = \frac{8.854 \times 10^{-12} \times 6 \times 10^{-3}}{3 \times 10^{-3}}$
$C = 8.854 \times 10^{-12} \times 2 = 17.708 \times 10^{-12} \, F \approx 17.71 \, pF$.
$2$. आवेश $(q)$ की गणना:
प्रत्येक प्लेट पर आवेश $q = CV$ द्वारा दिया जाता है।
$q = 17.71 \times 10^{-12} \, F \times 100 \, V$
$q = 1.771 \times 10^{-9} \, C$.
अतः,धारिता $17.71 \, pF$ है और प्रत्येक प्लेट पर आवेश $1.771 \times 10^{-9} \, C$ है।

(N/A) समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए मान $C = 2\,\mu F = 2 \times 10^{-6}\, F$ और $d = 0.5\, cm = 0.5 \times 10^{-2}\, m$ हैं।
निर्वात की विद्युतशीलता $\epsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12}\, F/m$ है।
क्षेत्रफल $A$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $A = \frac{C d}{\epsilon_0}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $A = \frac{(2 \times 10^{-6}) \times (0.5 \times 10^{-2})}{8.854 \times 10^{-12}}$.
$A = \frac{1 \times 10^{-8}}{8.854 \times 10^{-12}} \approx 1129.43\, m^2$.
अतः,प्लेटों का क्षेत्रफल लगभग $1130\, m^2$ है।

(N/A) मान लीजिए कि एक समांतर प्लेट संधारित्र की प्लेटों को $\Delta x$ दूरी से अलग करने के लिए लगाया गया बल $F$ है।
बाह्य बल द्वारा किया गया कार्य $W = F \Delta x$ है।
यह कार्य संधारित्र की स्थितिज ऊर्जा को उस मात्रा से बढ़ाता है जो ऊर्जा घनत्व में परिवर्तन और आयतन में परिवर्तन के गुणनफल के बराबर होती है: $\Delta U = u A \Delta x$,जहाँ $u = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2$ ऊर्जा घनत्व है,$A$ प्लेटों का क्षेत्रफल है और $\Delta x$ पृथक्करण में परिवर्तन है।
किए गए कार्य को स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर रखने पर:
$F \Delta x = (\frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2) A \Delta x$
$F = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2 A$
चूंकि विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} = \frac{Q}{A \varepsilon_0}$ है,इसलिए हम $\varepsilon_0 A = \frac{Q}{E}$ लिख सकते हैं।
इसे बल के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$F = \frac{1}{2} (\frac{Q}{E}) E^2 = \frac{1}{2} Q E$.
$\frac{1}{2}$ कारक इसलिए आता है क्योंकि प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र $E$ दोनों प्लेटों द्वारा उत्पन्न क्षेत्रों का योग है। प्रत्येक प्लेट केवल दूसरी प्लेट द्वारा उत्पन्न क्षेत्र के कारण बल का अनुभव करती है,जो $\frac{E}{2}$ है। अतः,$Q$ आवेश वाली प्लेट पर बल $F = Q \times (\frac{E}{2}) = \frac{1}{2} Q E$ होता है।

(C) दिया गया है:
वोल्टेज रेटिंग,$V = 1\; kV = 1000\; V$
परावैद्युत स्थिरांक,$\varepsilon_{r} = 3$
परावैद्युत शक्ति,$E_{max} = 10^{7}\; V/m$
विद्युत क्षेत्र के लिए सुरक्षा सीमा,$E = 10^{7}$ का $10\% = 10^{6}\; V/m$
धारिता,$C = 50\; pF = 50 \times 10^{-12}\; F$
प्लेटों के बीच की दूरी $d = V/E = 1000 / 10^{6} = 10^{-3}\; m$ द्वारा दी जाती है।
धारिता के सूत्र $C = \frac{\varepsilon_{0} \varepsilon_{r} A}{d}$ का उपयोग करके,हम क्षेत्रफल $A$ ज्ञात कर सकते हैं:
$A = \frac{C \cdot d}{\varepsilon_{0} \cdot \varepsilon_{r}}$
मान रखने पर:
$A = \frac{50 \times 10^{-12} \times 10^{-3}}{8.854 \times 10^{-12} \times 3}$
$A = \frac{50 \times 10^{-15}}{26.562 \times 10^{-12}} \approx 1.882 \times 10^{-3}\; m^2$
$cm^2$ में बदलने पर $(1\; m^2 = 10^{4}\; cm^2)$:
$A \approx 1.882 \times 10^{-3} \times 10^{4} = 18.82\; cm^2 \approx 19\; cm^2$.

(N/A) एक समांतर प्लेट संधारित्र दो बड़ी समतल समांतर चालक प्लेटों से बना होता है जो एक-दूसरे से $d$ की अल्प दूरी पर स्थित होती हैं।
ऐसे संधारित्र की दो प्लेटों के बीच एक अचालक माध्यम रखा जाता है।
मान लीजिए कि प्लेट $1$ और प्लेट $2$ पर आवेश क्रमशः $+Q$ और $-Q$ हैं,प्रत्येक प्लेट का क्षेत्रफल $A$ है और उनके बीच की दूरी $d$ है।
चूंकि $d$ प्लेटों के रैखिक आयामों की तुलना में बहुत छोटा है $(d^2 << A)$,हम एकसमान पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma = \frac{Q}{A}$ वाली एक अनंत समतल शीट द्वारा उत्पन्न विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}$ के परिणाम का उपयोग कर सकते हैं।
प्लेटों के बीच के क्षेत्र में,दोनों प्लेटों के कारण विद्युत क्षेत्र एक ही दिशा में (धनात्मक से ऋणात्मक प्लेट की ओर) कार्य करता है:
$E = E_1 + E_2 = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} + \frac{\sigma}{2\epsilon_0} = \frac{\sigma}{\epsilon_0} = \frac{Q}{A\epsilon_0}$.
प्लेटों के बीच विभवांतर $V = E \cdot d = \frac{Qd}{A\epsilon_0}$ होता है।
धारिता $C$ की परिभाषा के अनुसार,$C = \frac{Q}{V} = \frac{Q}{(Qd / A\epsilon_0)} = \frac{\epsilon_0 A}{d}$.
धारिता निम्नलिखित कारकों पर निर्भर करती है:
$1$. प्लेटों का क्षेत्रफल $(A)$।
$2$. प्लेटों के बीच की दूरी $(d)$।
$3$. प्लेटों के बीच के माध्यम की विद्युतशीलता ($\epsilon_0$ या $\epsilon = k\epsilon_0$)।

(N/A) समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है।
$C = 1$ $F$ की धारिता के लिए,प्लेटों के बीच की दूरी $d = 1$ $cm = 10^{-2}$ $m$ लेते हुए,आवश्यक क्षेत्रफल $A$ होगा:
$A = \frac{C d}{\epsilon_0} = \frac{1 \times 10^{-2}}{8.854 \times 10^{-12}} \approx 1.13 \times 10^9$ $m^2$ ।
यदि प्लेटें वर्गाकार हैं,तो भुजा की लंबाई $L = \sqrt{A} \approx \sqrt{1.13 \times 10^9} \approx 33.6$ $km$ होगी।
चूंकि इतनी विशाल प्लेटों वाला संधारित्र बनाना व्यावहारिक रूप से असंभव है,इसलिए $1$ $F$ को व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए एक अत्यंत बड़ी इकाई माना जाता है।

(A) समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C$ का सूत्र है:
$C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$
दिया गया है:
क्षेत्रफल $A = 1 \ m^2$
दूरी $d = 1 \ mm = 1 \times 10^{-3} \ m$
निर्वात की विद्युतशीलता $\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \ F/m$
मान रखने पर:
$C = \frac{8.85 \times 10^{-12} \times 1}{1 \times 10^{-3}}$
$C = 8.85 \times 10^{-12} \times 10^3$
$C = 8.85 \times 10^{-9} \ F$

(A) समांतर प्लेट संधारित्र एक मूलभूत विद्युत घटक है जिसका उपयोग विद्युत क्षेत्र में विद्युत ऊर्जा को संग्रहीत करने के लिए किया जाता है।
इसमें $A$ क्षेत्रफल वाली दो बड़ी समतल समांतर चालक प्लेटें होती हैं,जो एक-दूसरे से $d$ की छोटी दूरी पर स्थित होती हैं।
प्लेटों के बीच का स्थान एक कुचालक पदार्थ (जिसे परावैद्युत या डाइइलेक्ट्रिक कहते हैं) या निर्वात से भरा होता है।
जब प्लेटों के बीच विभवांतर $V$ लगाया जाता है,तो उन पर समान और विपरीत आवेश $+Q$ और $-Q$ जमा हो जाते हैं,जिससे उनके बीच एक समान विद्युत क्षेत्र उत्पन्न होता है।

(A) समानांतर प्लेट संधारित्र के लिए,एक प्लेट के कारण विद्युत क्षेत्र $E_1 = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}$ होता है,जहाँ $\sigma = \frac{Q}{A}$ पृष्ठीय आवेश घनत्व है।
चूंकि दोनों प्लेटें उनके बीच समान दिशा में विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करती हैं,इसलिए कुल विद्युत क्षेत्र $E$ दोनों प्लेटों के क्षेत्रों का योग होता है।
$E = E_1 + E_2 = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} + \frac{\sigma}{2\epsilon_0} = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$.
$\sigma = \frac{Q}{A}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $E = \frac{Q}{\epsilon_0 A}$ प्राप्त होता है।

(C) समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $(C)$ का सूत्र $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ है,जहाँ $\epsilon_0$ निर्वात की विद्युतशीलता है,$A$ प्लेटों का क्षेत्रफल है और $d$ उनके बीच की दूरी है।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि धारिता केवल संधारित्र के भौतिक आयामों (क्षेत्रफल और दूरी) और प्लेटों के बीच के परावैद्युत पदार्थ के गुणों पर निर्भर करती है।
यह प्लेटों पर संचित आवेश $(Q)$ या उनके बीच लगाए गए विभवांतर $(V)$ पर निर्भर नहीं करती है।
अतः,सही उत्तर यह है कि यह विभवांतर पर निर्भर नहीं करती है।

(N/A) समानांतर प्लेट संधारित्र की प्लेटों के बीच निर्वात या वायु होने पर उसकी धारिता $C_0 = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\epsilon_0$ मुक्त आकाश की विद्युतशीलता है,$A$ प्लेटों का क्षेत्रफल है और $d$ उनके बीच की दूरी है।
जब प्लेटों के बीच $K$ परावैद्युतांक वाला एक परावैद्युत माध्यम रखा जाता है,तो माध्यम की विद्युतशीलता $\epsilon = K \epsilon_0$ हो जाती है।
अतः,नई धारिता $C = \frac{\epsilon A}{d} = \frac{K \epsilon_0 A}{d}$ द्वारा प्राप्त होती है।
$C_0$ का व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर,हमें $C = K C_0$ प्राप्त होता है।

(C) यह व्यवस्था समानांतर क्रम में जुड़े तीन समानांतर प्लेट संधारित्रों से बनी है।
एक समानांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है।
चित्र से,प्लेटों के बीच की दूरी $b$,$3b$,और $5b$ है।
अतः,व्यक्तिगत धारिताएँ हैं:
$C_1 = \frac{\varepsilon_0 A}{b}$
$C_2 = \frac{\varepsilon_0 A}{3b}$
$C_3 = \frac{\varepsilon_0 A}{5b}$
चूंकि वे समानांतर क्रम में हैं,तुल्य धारिता है:
$C_{eq} = C_1 + C_2 + C_3$
$C_{eq} = \frac{\varepsilon_0 A}{b} + \frac{\varepsilon_0 A}{3b} + \frac{\varepsilon_0 A}{5b}$
$C_{eq} = \frac{\varepsilon_0 A}{b} \left( 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} \right)$
$C_{eq} = \frac{\varepsilon_0 A}{b} \left( \frac{15 + 5 + 3}{15} \right) = \frac{23}{15} \frac{\varepsilon_0 A}{b}$
अतः,$x = 23$.

(C) जब $q_{1}$ और $q_{2}$ आवेश वाली दो बड़ी चालक प्लेटों को एक-दूसरे के समांतर रखा जाता है,तो आंतरिक सतहों पर आवेश $q_{inner} = \frac{q_{1}-q_{2}}{2}$ होता है।
प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र $E$ इन आंतरिक आवेशों के कारण होता है: $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_{0}} = \frac{q_{inner}}{A\varepsilon_{0}} = \frac{q_{1}-q_{2}}{2A\varepsilon_{0}}$.
प्लेटों के बीच विभवांतर $V = E \cdot d$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $d$ प्लेटों के बीच की दूरी है।
चूंकि समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{A\varepsilon_{0}}{d}$ है,हम लिख सकते हैं $V = \frac{q_{1}-q_{2}}{2A\varepsilon_{0}} \cdot d = \frac{q_{1}-q_{2}}{2(A\varepsilon_{0}/d)}$.
$C$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $V = \frac{q_{1}-q_{2}}{2C}$ प्राप्त होता है।

(C) समांतर प्लेट संधारित्र के लिए,धारिता $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है।
यह दिया गया है कि संधारित्र पर आवेश $q$ स्थिर रहता है,इसलिए प्लेटों के बीच विभवांतर $V = \frac{q}{C}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$C$ का व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर,हमें $V = \frac{q d}{\varepsilon_0 A}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $q$,$\varepsilon_0$ और $A$ स्थिर हैं,इसलिए $V \propto d$ होता है।
इसका अर्थ है कि $V$ बनाम $d$ का ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है। हालाँकि,एक वास्तविक भौतिक संधारित्र में,जब प्लेटें संपर्क में होती हैं $(d=0)$,तो धारिता अनंत नहीं होती है और प्लेटों के सीमित आकार और किनारों के प्रभावों के कारण विभवांतर शून्य नहीं होता है। इसलिए,ग्राफ $d$ के एक छोटे धनात्मक मान से शुरू होता है और एक सीधी रेखा है,जो मूल बिंदु से नहीं गुजरती है।

(D) दिया गया है कि दोनों संधारित्रों का आवेश $Q$ और विभव $V$ समान है,इसलिए उनकी धारिता $C = Q/V$ समान होनी चाहिए।
समांतर प्लेट संधारित्र के लिए,$C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ होता है।
चूंकि $C_1 = C_2$,इसलिए $\frac{\varepsilon_0 A_1}{d_1} = \frac{\varepsilon_0 A_2}{d_2}$ होगा।
यहाँ $A_1 = 100 \,cm^2$,$A_2 = 500 \,cm^2$,और $d_1 = 0.5 \,mm = 0.05 \,cm$ है।
मान रखने पर: $\frac{100}{0.05} = \frac{500}{d_2}$।
$d_2 = \frac{500 \times 0.05}{100} = 5 \times 0.05 = 0.25 \,cm$।

(A) समांतर प्लेट संधारित्र की प्लेटों के बीच आकर्षण बल $F = \frac{q^2}{2 A \varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
इस प्रणाली में,आंतरिक प्लेटें स्थिर-वैद्युत आकर्षण बल के कारण अपनी संबंधित स्थिर बाहरी प्लेटों की ओर आकर्षित होती हैं।
साम्यावस्था में,स्प्रिंग बल $F_s = kx$ को आंतरिक प्लेट पर कार्य करने वाले स्थिर-वैद्युत आकर्षण बल $F$ को संतुलित करना चाहिए।
इसलिए,$kx = \frac{q^2}{2 A \varepsilon_0}$.
विस्तार $x$ के लिए हल करने पर,हमें $x = \frac{q^2}{2 A \varepsilon_0 k}$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए कि प्लेटों को ऊपर से नीचे $1, 2, 3, 4, 5$ क्रमांकित किया गया है।
प्लेट $1$ और $4$ एक साथ जुड़े हुए हैं। प्लेट $3$ और $5$ टर्मिनल $Q$ से जुड़े हैं। प्लेट $2$ टर्मिनल $P$ से जुड़ा है।
प्रत्येक आसन्न प्लेटों के जोड़े की धारिता $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ है।
$5$ प्लेटों के बीच $4$ संधारित्र बनते हैं: $C_{12}, C_{23}, C_{34}, C_{45}$।
- $C_{12}$ प्लेट $1$ (जो $4$ से जुड़ा है) और प्लेट $2$ $(P)$ के बीच है।
- $C_{23}$ प्लेट $2$ $(P)$ और प्लेट $3$ $(Q)$ के बीच है।
- $C_{34}$ प्लेट $3$ $(Q)$ और प्लेट $4$ (जो $1$ से जुड़ा है) के बीच है।
- $C_{45}$ प्लेट $4$ (जो $1$ से जुड़ा है) और प्लेट $5$ $(Q)$ के बीच है।
कनेक्शन का विश्लेषण करने पर,हम पाते हैं कि समतुल्य सर्किट श्रेणी और समानांतर संयोजन का मिश्रण है। कुल धारिता $C_{\text{net}} = \frac{5}{3} C = \frac{5 \varepsilon_0 A}{3d}$ के रूप में गणना की जाती है।
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(B) दी गई व्यवस्था में,प्लेटें इस प्रकार जुड़ी हुई हैं कि वे समानांतर क्रम में संधारित्र बनाती हैं।
यहाँ $n = 7$ प्लेटें हैं,जो $n - 1 = 6$ संधारित्र बनाती हैं।
प्रत्येक संधारित्र का क्षेत्रफल $A$ और पृथक्करण $d$ है,इसलिए प्रत्येक की धारिता $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ है।
चूंकि सभी $6$ संधारित्र $P$ और $Q$ बिंदुओं के बीच समानांतर क्रम में जुड़े हैं,इसलिए तुल्य धारिता होगी:
$C_{\text{net}} = C_1 + C_2 + C_3 + C_4 + C_5 + C_6 = 6C$
$C_{\text{net}} = \frac{6 \varepsilon_0 A}{d}$

(D) एक समांतर प्लेट संधारित्र की प्रारंभिक धारिता सूत्र $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $A$ प्लेटों का क्षेत्रफल है और $d$ उनके बीच की दूरी है।
प्रश्न के अनुसार,नई दूरी $d' = 2d$ और नया क्षेत्रफल $A' = A / 2$ है।
अंतिम धारिता $C'$ को $C' = \frac{\varepsilon_0 A'}{d'}$ द्वारा दिया जाता है।
नए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $C' = \frac{\varepsilon_0 (A / 2)}{2d} = \frac{\varepsilon_0 A}{4d}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$,हम लिख सकते हैं कि $C' = \frac{C}{4}$।

(C) चित्र से,कुल दूरी $d = 5 \, mm$,$a + c + b$ से बनी है,जहाँ $c = 1 \, mm$ दो संधारित्रों के बीच रखी गई चालक प्लेट की मोटाई है।
अतः,$a + b = d - c = 5 \, mm - 1 \, mm = 4 \, mm = 4 \times 10^{-3} \, m$.
ये दो संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं,जिनकी प्रभावी दूरी $d_{eff} = a + b = 4 \times 10^{-3} \, m$ है।
समतुल्य धारिता $C_{eq}$ का सूत्र $C_{eq} = \frac{\varepsilon_0 A}{d_{eff}}$ है।
यहाँ $A = 200 \, cm^2 = 200 \times 10^{-4} \, m^2$ दिया गया है।
$C_{eq} = \frac{\varepsilon_0 \times 200 \times 10^{-4}}{4 \times 10^{-3}} = \frac{200 \times 10^{-1}}{4} \varepsilon_0 = 5 \varepsilon_0 \, F$.
इसकी तुलना $x \varepsilon_0 \, F$ से करने पर,हमें $x = 5$ प्राप्त होता है।