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Mix Examples - Electric Potential and Capacitance Questions in Hindi
Class 12 Physics · Electric Potential and Capacitance · Mix Examples - Electric Potential and Capacitance
354+
Questions
Hindi
Language
100%
With Solutions
Showing 50 of 354 questions in Hindi
251
MediumMCQ
नीचे दिखाए गए सर्किट में $C_1 = 10 \, \mu F$, $C_2 = C_3 = 20 \, \mu F$ और $C_4 = 40 \, \mu F$ हैं। यदि $C_1$ पर आवेश $20 \, \mu C$ है, तो $X$ और $Y$ के बीच विभवांतर ......... $V$ है।
A
$2$
B
$3$
C
$6$
D
$3.5$
Solution
(B) मान लीजिए कि दो कैपेसिटर ब्लॉकों के बीच जंक्शन पर विभव $V_m$ है। मान लीजिए $X$ पर विभव $V_X$ और $Y$ पर $V_Y$ है।
दिया गया है $C_1 = 10 \, \mu F$, $C_2 = 20 \, \mu F$, $C_3 = 20 \, \mu F$ और $C_4 = 40 \, \mu F$।
$C_1$ पर आवेश $q_1 = 20 \, \mu C$ है।
$C_1$ के सिरों के बीच विभवांतर $V_1 = \frac{q_1}{C_1} = \frac{20 \, \mu C}{10 \, \mu F} = 2 \, V$ है।
चूंकि $C_1$ और $C_2$ समानांतर में हैं, इसलिए $C_2$ के सिरों के बीच विभवांतर भी $2 \, V$ होगा।
$C_2$ पर आवेश $q_2 = C_2 V_1 = 20 \, \mu F \times 2 \, V = 40 \, \mu C$ है।
बाईं ओर से जंक्शन में प्रवेश करने वाला कुल आवेश $q_1 + q_2 = 20 \, \mu C + 40 \, \mu C = 60 \, \mu C$ है।
यह कुल आवेश $C_3$ और $C_4$ में वितरित होगा। चूंकि $C_3$ और $C_4$ समानांतर में हैं, इसलिए कुल आवेश $60 \, \mu C$ उनके बीच साझा होता है।
दूसरे ब्लॉक की समतुल्य धारिता $C_{34} = C_3 + C_4 = 20 \, \mu F + 40 \, \mu F = 60 \, \mu F$ है।
दूसरे ब्लॉक के सिरों के बीच विभवांतर $V_2 = \frac{q_{total}}{C_{34}} = \frac{60 \, \mu C}{60 \, \mu F} = 1 \, V$ है।
$X$ और $Y$ के बीच कुल विभवांतर $V_{XY} = V_1 + V_2 = 2 \, V + 1 \, V = 3 \, V$ है।
दिया गया है $C_1 = 10 \, \mu F$, $C_2 = 20 \, \mu F$, $C_3 = 20 \, \mu F$ और $C_4 = 40 \, \mu F$।
$C_1$ पर आवेश $q_1 = 20 \, \mu C$ है।
$C_1$ के सिरों के बीच विभवांतर $V_1 = \frac{q_1}{C_1} = \frac{20 \, \mu C}{10 \, \mu F} = 2 \, V$ है।
चूंकि $C_1$ और $C_2$ समानांतर में हैं, इसलिए $C_2$ के सिरों के बीच विभवांतर भी $2 \, V$ होगा।
$C_2$ पर आवेश $q_2 = C_2 V_1 = 20 \, \mu F \times 2 \, V = 40 \, \mu C$ है।
बाईं ओर से जंक्शन में प्रवेश करने वाला कुल आवेश $q_1 + q_2 = 20 \, \mu C + 40 \, \mu C = 60 \, \mu C$ है।
यह कुल आवेश $C_3$ और $C_4$ में वितरित होगा। चूंकि $C_3$ और $C_4$ समानांतर में हैं, इसलिए कुल आवेश $60 \, \mu C$ उनके बीच साझा होता है।
दूसरे ब्लॉक की समतुल्य धारिता $C_{34} = C_3 + C_4 = 20 \, \mu F + 40 \, \mu F = 60 \, \mu F$ है।
दूसरे ब्लॉक के सिरों के बीच विभवांतर $V_2 = \frac{q_{total}}{C_{34}} = \frac{60 \, \mu C}{60 \, \mu F} = 1 \, V$ है।
$X$ और $Y$ के बीच कुल विभवांतर $V_{XY} = V_1 + V_2 = 2 \, V + 1 \, V = 3 \, V$ है।
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View Solution252
MediumMCQ
एक समांतर प्लेट संधारित्र को आवेशित करने के बाद बैटरी से जुड़ा रखा जाता है और इंसुलेटिंग हैंडल की मदद से प्लेटों को एक-दूसरे से दूर खींचा जाता है। अब निम्नलिखित में से कौन सी राशियाँ घटेंगी?
A
आवेश
B
धारिता
C
संचित ऊर्जा
D
ये सभी
Solution
(D) चूंकि संधारित्र बैटरी से जुड़ा रहता है,इसलिए प्लेटों के बीच विभवांतर $V$ स्थिर रहता है।
समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{A \varepsilon_0}{d}$ द्वारा दी जाती है। जैसे-जैसे प्लेटों के बीच की दूरी $d$ बढ़ती है,धारिता $C$ घटती है।
संधारित्र पर आवेश $q = CV$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि $C$ घटता है और $V$ स्थिर है,इसलिए आवेश $q$ भी घटता है।
संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2}CV^2$ द्वारा दी जाती है। चूंकि $C$ घटता है और $V$ स्थिर है,इसलिए ऊर्जा $U$ भी घटती है।
अतः,आवेश,धारिता और संचित ऊर्जा तीनों घटते हैं। सही विकल्प $D$ है।
समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{A \varepsilon_0}{d}$ द्वारा दी जाती है। जैसे-जैसे प्लेटों के बीच की दूरी $d$ बढ़ती है,धारिता $C$ घटती है।
संधारित्र पर आवेश $q = CV$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि $C$ घटता है और $V$ स्थिर है,इसलिए आवेश $q$ भी घटता है।
संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2}CV^2$ द्वारा दी जाती है। चूंकि $C$ घटता है और $V$ स्थिर है,इसलिए ऊर्जा $U$ भी घटती है।
अतः,आवेश,धारिता और संचित ऊर्जा तीनों घटते हैं। सही विकल्प $D$ है।
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MediumMCQ
एक समान विद्युत क्षेत्र $E = 4 \times 10^5 \, Vm^{-1}$ ऋणात्मक $x$-अक्ष की दिशा में है,जिससे मूल बिंदु पर विद्युत विभव शून्य है। $-200 \, \mu C$ का आवेश मूल बिंदु पर और $+200 \, \mu C$ का आवेश $(3 \, m, 0)$ पर रखा गया है। निकाय की स्थिर-विद्युत स्थितिज ऊर्जा ........... $J$ है।
A
$120$
B
$-120$
C
$-240$
D
$0$
Solution
(A) मूल बिंदु पर विभव $V_0 = 0 \, V$ है।
विद्युत क्षेत्र $E = 4 \times 10^5 \, Vm^{-1}$ ऋणात्मक $x$-अक्ष की दिशा में है। विद्युत क्षेत्र की दिशा में $x$ दूरी पर विभव $V = V_0 - E \cdot x$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि क्षेत्र ऋणात्मक $x$-दिशा में है,इसलिए धनात्मक $x$-दिशा में विभव बढ़ता है: $V(x) = V_0 + E \cdot x$।
$x = 3 \, m$ पर,विभव $V_3 = 0 + (4 \times 10^5) \times 3 = 12 \times 10^5 \, V$ है।
निकाय की कुल स्थिर-विद्युत स्थितिज ऊर्जा $U$,दो आवेशों के बीच अन्योन्य क्रिया ऊर्जा और बाहरी क्षेत्र में प्रत्येक आवेश की स्थितिज ऊर्जा का योग है:
$U = \frac{k q_1 q_2}{r} + q_1 V_0 + q_2 V_3$
यहाँ $q_1 = -200 \times 10^{-6} \, C$,$q_2 = 200 \times 10^{-6} \, C$,$r = 3 \, m$,$V_0 = 0$,और $V_3 = 12 \times 10^5 \, V$ है:
$U = \frac{(9 \times 10^9) \times (-200 \times 10^{-6}) \times (200 \times 10^{-6})}{3} + (-200 \times 10^{-6})(0) + (200 \times 10^{-6})(12 \times 10^5)$
$U = \frac{9 \times 10^9 \times (-4 \times 10^{-8})}{3} + 0 + 240$
$U = -3 \times 10^9 \times 4 \times 10^{-8} + 240$
$U = -120 + 240 = 120 \, J$.
विद्युत क्षेत्र $E = 4 \times 10^5 \, Vm^{-1}$ ऋणात्मक $x$-अक्ष की दिशा में है। विद्युत क्षेत्र की दिशा में $x$ दूरी पर विभव $V = V_0 - E \cdot x$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि क्षेत्र ऋणात्मक $x$-दिशा में है,इसलिए धनात्मक $x$-दिशा में विभव बढ़ता है: $V(x) = V_0 + E \cdot x$।
$x = 3 \, m$ पर,विभव $V_3 = 0 + (4 \times 10^5) \times 3 = 12 \times 10^5 \, V$ है।
निकाय की कुल स्थिर-विद्युत स्थितिज ऊर्जा $U$,दो आवेशों के बीच अन्योन्य क्रिया ऊर्जा और बाहरी क्षेत्र में प्रत्येक आवेश की स्थितिज ऊर्जा का योग है:
$U = \frac{k q_1 q_2}{r} + q_1 V_0 + q_2 V_3$
यहाँ $q_1 = -200 \times 10^{-6} \, C$,$q_2 = 200 \times 10^{-6} \, C$,$r = 3 \, m$,$V_0 = 0$,और $V_3 = 12 \times 10^5 \, V$ है:
$U = \frac{(9 \times 10^9) \times (-200 \times 10^{-6}) \times (200 \times 10^{-6})}{3} + (-200 \times 10^{-6})(0) + (200 \times 10^{-6})(12 \times 10^5)$
$U = \frac{9 \times 10^9 \times (-4 \times 10^{-8})}{3} + 0 + 240$
$U = -3 \times 10^9 \times 4 \times 10^{-8} + 240$
$U = -120 + 240 = 120 \, J$.
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EasyMCQ
$5 \,\mu F$ धारिता वाले तीन समान आवेशित संधारित्र चित्र में दिखाए अनुसार जुड़े हुए हैं। स्विच $K_1$ और $K_2$ को बंद करने के लंबे समय बाद संधारित्र $(3)$ के सिरों पर विभवांतर ............ $V$ है।
A
$20$
B
$10$
C
$5$
D
$0$
Solution
(D) जब स्विच $K_1$ और $K_2$ बंद किए जाते हैं,तो तीनों संधारित्र एक बंद लूप बनाते हैं।
प्लेटों पर आवेश का पुनर्वितरण होता है।
आवेश संरक्षण के नियम के अनुसार,तारों द्वारा जुड़ी अलग-थलग प्लेटों पर कुल आवेश स्थिर रहता है।
चूंकि संधारित्र एक लूप में जुड़े हुए हैं,इसलिए एक ही नोड से जुड़ी प्लेटों पर कुल आवेश का योग शून्य होना चाहिए यदि वे बाहरी स्रोतों से अलग हैं।
इस विन्यास में,लूप में कुल आवेश $100 \,\mu C - 100 \,\mu C + 100 \,\mu C = 100 \,\mu C$ है। हालाँकि,सर्किट को देखने पर,प्लेटें इस तरह से जुड़ी हुई हैं कि प्लेटों की अलग प्रणाली पर शुद्ध आवेश शून्य है।
विशेष रूप से,प्लेटों पर आवेश इस तरह से पुनर्वितरित होगा कि संतुलन बनाए रखने के लिए प्रत्येक संधारित्र पर विभवांतर समान हो जाए।
चूंकि साझा करने के लिए उपलब्ध कुल आवेश शून्य है (क्योंकि प्लेटें बिना किसी बाहरी बैटरी के एक बंद लूप में जुड़ी हुई हैं),प्रत्येक संधारित्र पर अंतिम आवेश $0 \,\mu C$ होगा।
इसलिए,संधारित्र $(3)$ के सिरों पर विभवांतर $\Delta V = \frac{Q}{C} = \frac{0}{5 \,\mu F} = 0 \, V$ है।
प्लेटों पर आवेश का पुनर्वितरण होता है।
आवेश संरक्षण के नियम के अनुसार,तारों द्वारा जुड़ी अलग-थलग प्लेटों पर कुल आवेश स्थिर रहता है।
चूंकि संधारित्र एक लूप में जुड़े हुए हैं,इसलिए एक ही नोड से जुड़ी प्लेटों पर कुल आवेश का योग शून्य होना चाहिए यदि वे बाहरी स्रोतों से अलग हैं।
इस विन्यास में,लूप में कुल आवेश $100 \,\mu C - 100 \,\mu C + 100 \,\mu C = 100 \,\mu C$ है। हालाँकि,सर्किट को देखने पर,प्लेटें इस तरह से जुड़ी हुई हैं कि प्लेटों की अलग प्रणाली पर शुद्ध आवेश शून्य है।
विशेष रूप से,प्लेटों पर आवेश इस तरह से पुनर्वितरित होगा कि संतुलन बनाए रखने के लिए प्रत्येक संधारित्र पर विभवांतर समान हो जाए।
चूंकि साझा करने के लिए उपलब्ध कुल आवेश शून्य है (क्योंकि प्लेटें बिना किसी बाहरी बैटरी के एक बंद लूप में जुड़ी हुई हैं),प्रत्येक संधारित्र पर अंतिम आवेश $0 \,\mu C$ होगा।
इसलिए,संधारित्र $(3)$ के सिरों पर विभवांतर $\Delta V = \frac{Q}{C} = \frac{0}{5 \,\mu F} = 0 \, V$ है।
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MediumMCQ
संधारित्र $C_3$ पर आवेश ज्ञात कीजिए। दिया गया है कि $C_1 = C_2 = C$ और $C_3 = C_4 = 3C$ है।
A
$\frac{3}{2} CV$
B
$\frac{C V}{2}$
C
$3 CV$
D
$2 CV$
Solution
(A) परिपथ में दो समानांतर शाखाएँ हैं जो $V$ विभवांतर से जुड़ी हुई हैं।
शाखा $1$ में संधारित्र $C_1$ और $C_2$ श्रेणीक्रम में हैं। इस शाखा की तुल्य धारिता $C_{eq1} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{C \cdot C}{C + C} = \frac{C}{2}$ है।
इस शाखा पर आवेश $q_1 = C_{eq1} V = \frac{CV}{2}$ है।
शाखा $2$ में संधारित्र $C_3$ और $C_4$ श्रेणीक्रम में हैं। इस शाखा की तुल्य धारिता $C_{eq2} = \frac{C_3 C_4}{C_3 + C_4} = \frac{3C \cdot 3C}{3C + 3C} = \frac{9C^2}{6C} = \frac{3}{2} C$ है।
इस शाखा पर आवेश $q_2 = C_{eq2} V = \frac{3}{2} CV$ है।
चूंकि $C_3$ और $C_4$ श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए उस शाखा के प्रत्येक संधारित्र पर आवेश,शाखा के कुल आवेश के बराबर होता है।
अतः,संधारित्र $C_3$ पर आवेश $q_2 = \frac{3}{2} CV$ है।
शाखा $1$ में संधारित्र $C_1$ और $C_2$ श्रेणीक्रम में हैं। इस शाखा की तुल्य धारिता $C_{eq1} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{C \cdot C}{C + C} = \frac{C}{2}$ है।
इस शाखा पर आवेश $q_1 = C_{eq1} V = \frac{CV}{2}$ है।
शाखा $2$ में संधारित्र $C_3$ और $C_4$ श्रेणीक्रम में हैं। इस शाखा की तुल्य धारिता $C_{eq2} = \frac{C_3 C_4}{C_3 + C_4} = \frac{3C \cdot 3C}{3C + 3C} = \frac{9C^2}{6C} = \frac{3}{2} C$ है।
इस शाखा पर आवेश $q_2 = C_{eq2} V = \frac{3}{2} CV$ है।
चूंकि $C_3$ और $C_4$ श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए उस शाखा के प्रत्येक संधारित्र पर आवेश,शाखा के कुल आवेश के बराबर होता है।
अतः,संधारित्र $C_3$ पर आवेश $q_2 = \frac{3}{2} CV$ है।
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MediumMCQ
स्कूल की भौतिकी प्रयोगशाला में एक भौतिकी प्रोजेक्ट पर काम करते समय,आपको $1 \,kV$ के विभवांतर वाले सर्किट में $4 \,\mu F$ के संधारित्र (capacitor) की आवश्यकता है। दुर्भाग्य से,आपकी प्रयोगशाला में $4 \,\mu F$ के संधारित्र उपलब्ध नहीं हैं,लेकिन $2 \,\mu F$ के संधारित्र जो $400 \,V$ का विभवांतर सहन कर सकते हैं,प्रचुर मात्रा में उपलब्ध हैं। यदि आप $4 \,\mu F$ के संधारित्र के स्थान पर $2 \,\mu F$ के संधारित्रों का उपयोग करने का निर्णय लेते हैं,तो आवश्यक संधारित्रों की न्यूनतम संख्या क्या है?
A
$16$
B
$18$
C
$20$
D
$12$
Solution
(B) $400 \,V$ सहन करने वाले संधारित्रों का उपयोग करके $1000 \,V$ का विभवांतर सहन करने के लिए,हमें श्रेणीक्रम (series) में कम से कम $n$ संधारित्र जोड़ने होंगे ताकि $n \times 400 \,V \geq 1000 \,V$ हो।
अतः,$n \geq 2.5$,इसलिए हमें श्रेणीक्रम में कम से कम $n = 3$ संधारित्रों का उपयोग करना होगा।
श्रेणीक्रम में प्रत्येक $2 \,\mu F$ के $3$ संधारित्रों की तुल्य धारिता $C_s = \frac{2 \,\mu F}{3}$ है।
हमें $4 \,\mu F$ की तुल्य धारिता की आवश्यकता है। मान लीजिए कि समानांतर क्रम (parallel) में जुड़ी ऐसी श्रेणी शाखाओं की संख्या $m$ है।
तब,$m \times C_s = 4 \,\mu F
\Rightarrow m \times \frac{2}{3} \,\mu F = 4 \,\mu F
\Rightarrow m = \frac{4 \times 3}{2} = 6$.
संधारित्रों की कुल संख्या = (समानांतर में शाखाओं की संख्या) $\times$ (श्रेणी में संधारित्रों की संख्या) = $6 \times 3 = 18$.
अतः,$n \geq 2.5$,इसलिए हमें श्रेणीक्रम में कम से कम $n = 3$ संधारित्रों का उपयोग करना होगा।
श्रेणीक्रम में प्रत्येक $2 \,\mu F$ के $3$ संधारित्रों की तुल्य धारिता $C_s = \frac{2 \,\mu F}{3}$ है।
हमें $4 \,\mu F$ की तुल्य धारिता की आवश्यकता है। मान लीजिए कि समानांतर क्रम (parallel) में जुड़ी ऐसी श्रेणी शाखाओं की संख्या $m$ है।
तब,$m \times C_s = 4 \,\mu F
\Rightarrow m \times \frac{2}{3} \,\mu F = 4 \,\mu F
\Rightarrow m = \frac{4 \times 3}{2} = 6$.
संधारित्रों की कुल संख्या = (समानांतर में शाखाओं की संख्या) $\times$ (श्रेणी में संधारित्रों की संख्या) = $6 \times 3 = 18$.
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EasyMCQ
$a$ और $b$ त्रिज्या वाले दो चालक कोशों (shells) को चित्र में दिखाए अनुसार एक चालक तार से जोड़ा गया है। बड़ा कोश भू-संपर्कित (grounded) है। निकाय की धारिता क्या है?
A
$4 \pi \varepsilon_0 \frac{a b}{b-a}$
B
$4 \pi \varepsilon_0(a+b)$
C
$0$
D
अनंत
Solution
(D) जब दो चालक कोशों को एक चालक तार से जोड़ा जाता है,तो वे समान विभव पर आ जाते हैं।
चूंकि बड़ा कोश (त्रिज्या $b$) भू-संपर्कित है,इसलिए इसका विभव $V = 0$ है।
चूंकि कोश एक चालक तार से जुड़े हैं,इसलिए छोटे कोश (त्रिज्या $a$) का विभव भी $V = 0$ हो जाता है।
निकाय की धारिता $C$ को $C = \frac{q}{V}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चूंकि पूरे निकाय का विभव $V = 0$ है,इसलिए धारिता $C = \frac{q}{0} = \infty$ (अनंत) होगी।
चूंकि बड़ा कोश (त्रिज्या $b$) भू-संपर्कित है,इसलिए इसका विभव $V = 0$ है।
चूंकि कोश एक चालक तार से जुड़े हैं,इसलिए छोटे कोश (त्रिज्या $a$) का विभव भी $V = 0$ हो जाता है।
निकाय की धारिता $C$ को $C = \frac{q}{V}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चूंकि पूरे निकाय का विभव $V = 0$ है,इसलिए धारिता $C = \frac{q}{0} = \infty$ (अनंत) होगी।
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DifficultMCQ
दो समानांतर प्लेट संधारित्र $C_1$ और $C_2$ जिनमें से प्रत्येक की धारिता $10 \mu F$ है,को व्यक्तिगत रूप से $100 \, V$ के $D.C.$ स्रोत द्वारा आवेशित किया जाता है। संधारित्र $C_1$ को स्रोत से जुड़ा रखा जाता है और इसकी प्लेटों के बीच एक परावैद्युत स्लैब डाला जाता है। संधारित्र $C_2$ को स्रोत से अलग कर दिया जाता है और फिर इसमें एक परावैद्युत स्लैब डाला जाता है। इसके बाद,संधारित्र $C_1$ को भी स्रोत से अलग कर दिया जाता है और दोनों संधारित्रों को अंततः समानांतर संयोजन में जोड़ा जाता है। संयोजन का सामान्य विभव $......... \, V$ होगा। (परावैद्युत नियतांक $K = 10$ मानते हुए)
A
$40$
B
$50$
C
$55$
D
$65$
Solution
(C) प्रारंभिक स्थिति: दोनों संधारित्रों की धारिता $C = 10 \mu F$ है और वे $V_0 = 100 \, V$ तक आवेशित हैं।
$C_1$ के लिए: यह स्रोत से जुड़ा रहता है। जब $K = 10$ का परावैद्युत डाला जाता है,तो नई धारिता $C_1' = K \cdot C = 10 \times 10 \mu F = 100 \mu F$ हो जाती है। चूंकि यह स्रोत से जुड़ा है,विभव $V_1 = 100 \, V$ रहता है। $C_1$ पर आवेश $Q_1 = C_1' \cdot V_1 = 100 \mu F \times 100 \, V = 10000 \mu C$ है।
$C_2$ के लिए: इसे स्रोत से अलग कर दिया जाता है,इसलिए इसका आवेश स्थिर रहता है। $Q_2 = C \cdot V_0 = 10 \mu F \times 100 \, V = 1000 \mu C$। जब परावैद्युत डाला जाता है,तो नई धारिता $C_2' = K \cdot C = 100 \mu F$ हो जाती है। $C_2$ पर विभव $V_2 = Q_2 / C_2' = 1000 \mu C / 100 \mu F = 10 \, V$ हो जाता है।
अंतिम स्थिति: संधारित्रों को समानांतर में जोड़ा जाता है। कुल आवेश $Q_{total} = Q_1 + Q_2 = 10000 \mu C + 1000 \mu C = 11000 \mu C$। कुल धारिता $C_{eq} = C_1' + C_2' = 100 \mu F + 100 \mu F = 200 \mu F$।
सामान्य विभव $V = Q_{total} / C_{eq} = 11000 \mu C / 200 \mu F = 55 \, V$।
$C_1$ के लिए: यह स्रोत से जुड़ा रहता है। जब $K = 10$ का परावैद्युत डाला जाता है,तो नई धारिता $C_1' = K \cdot C = 10 \times 10 \mu F = 100 \mu F$ हो जाती है। चूंकि यह स्रोत से जुड़ा है,विभव $V_1 = 100 \, V$ रहता है। $C_1$ पर आवेश $Q_1 = C_1' \cdot V_1 = 100 \mu F \times 100 \, V = 10000 \mu C$ है।
$C_2$ के लिए: इसे स्रोत से अलग कर दिया जाता है,इसलिए इसका आवेश स्थिर रहता है। $Q_2 = C \cdot V_0 = 10 \mu F \times 100 \, V = 1000 \mu C$। जब परावैद्युत डाला जाता है,तो नई धारिता $C_2' = K \cdot C = 100 \mu F$ हो जाती है। $C_2$ पर विभव $V_2 = Q_2 / C_2' = 1000 \mu C / 100 \mu F = 10 \, V$ हो जाता है।
अंतिम स्थिति: संधारित्रों को समानांतर में जोड़ा जाता है। कुल आवेश $Q_{total} = Q_1 + Q_2 = 10000 \mu C + 1000 \mu C = 11000 \mu C$। कुल धारिता $C_{eq} = C_1' + C_2' = 100 \mu F + 100 \mu F = 200 \mu F$।
सामान्य विभव $V = Q_{total} / C_{eq} = 11000 \mu C / 200 \mu F = 55 \, V$।
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MediumMCQ
$2\; F$ धारिता वाले एक समांतर प्लेट संधारित्र को $V$ विभव तक आवेशित किया जाता है। संधारित्र में संचित ऊर्जा $E_1$ है। अब संधारित्र को समांतर संयोजन में एक अन्य अनावेशित समान संधारित्र से जोड़ा जाता है। संयोजन में संचित ऊर्जा $E_2$ है। अनुपात $E_2 / E_1$ है
A
$2: 1$
B
$1: 2$
C
$1: 4$
D
$2: 3$
Solution
(B) प्रारंभ में,$C = 2\; F$ धारिता वाले संधारित्र में $V$ विभव पर संचित ऊर्जा:
$E_1 = \frac{1}{2} CV^2 = \frac{1}{2} (2) V^2 = V^2$
जब इस आवेशित संधारित्र को समांतर संयोजन में एक समान अनावेशित संधारित्र से जोड़ा जाता है,तो कुल आवेश $Q = CV = 2V$ दोनों संधारित्रों के बीच समान रूप से पुनर्वितरित हो जाता है क्योंकि वे समान हैं।
प्रत्येक संधारित्र पर नया विभव $V'$:
$V' = \frac{Q_{total}}{C_{total}} = \frac{2V}{2C} = \frac{2V}{4} = \frac{V}{2}$
संयोजन में संचित कुल ऊर्जा $E_2$:
$E_2 = 2 \times \left( \frac{1}{2} C (V')^2 \right) = C \left( \frac{V}{2} \right)^2 = 2 \times \frac{V^2}{4} = \frac{V^2}{2}$
अतः,अनुपात $E_2 / E_1$ है:
$\frac{E_2}{E_1} = \frac{V^2 / 2}{V^2} = \frac{1}{2}$
$E_1 = \frac{1}{2} CV^2 = \frac{1}{2} (2) V^2 = V^2$
जब इस आवेशित संधारित्र को समांतर संयोजन में एक समान अनावेशित संधारित्र से जोड़ा जाता है,तो कुल आवेश $Q = CV = 2V$ दोनों संधारित्रों के बीच समान रूप से पुनर्वितरित हो जाता है क्योंकि वे समान हैं।
प्रत्येक संधारित्र पर नया विभव $V'$:
$V' = \frac{Q_{total}}{C_{total}} = \frac{2V}{2C} = \frac{2V}{4} = \frac{V}{2}$
संयोजन में संचित कुल ऊर्जा $E_2$:
$E_2 = 2 \times \left( \frac{1}{2} C (V')^2 \right) = C \left( \frac{V}{2} \right)^2 = 2 \times \frac{V^2}{4} = \frac{V^2}{2}$
अतः,अनुपात $E_2 / E_1$ है:
$\frac{E_2}{E_1} = \frac{V^2 / 2}{V^2} = \frac{1}{2}$
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MediumMCQ
दिए गए परिपथ में,$C_1=2\,\mu F, C_2=0.2\,\mu F, C_3=2\,\mu F, C_4=4\,\mu F, C_5=2\,\mu F, C_6=2\,\mu F$ है। संधारित्र $C_4$ पर संचित आवेश $.....\mu C$ है।
A
$4$
B
$2$
C
$3$
D
$1$
Solution
(A) सबसे पहले,परिपथ को सरल करें। संधारित्र $C_3, C_4,$ और $C_5$ श्रेणीक्रम में हैं। उनकी तुल्य धारिता $C_{345}$ इस प्रकार है: $\frac{1}{C_{345}} = \frac{1}{C_3} + \frac{1}{C_4} + \frac{1}{C_5} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{2+1+2}{4} = \frac{5}{4}$. अतः,$C_{345} = 0.8\,\mu F$.
अब,$C_{345}$ संधारित्र $C_2$ के साथ समांतर क्रम में है। उनकी तुल्य धारिता $C_{2345} = C_2 + C_{345} = 0.2 + 0.8 = 1.0\,\mu F$.
यह संयोजन $C_1$ और $C_6$ के साथ श्रेणीक्रम में है। कुल तुल्य धारिता $C_{eq}$ के लिए: $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_{2345}} + \frac{1}{C_6} = \frac{1}{2} + \frac{1}{1} + \frac{1}{2} = 2\,\mu F^{-1}$. अतः,$C_{eq} = 0.5\,\mu F$.
$10\,V$ के स्रोत से लिया गया कुल आवेश $Q = C_{eq} \times V = 0.5\,\mu F \times 10\,V = 5\,\mu C$ है।
यह आवेश $Q$ संधारित्रों $C_1, C_{2345},$ और $C_6$ के श्रेणी संयोजन से होकर बहता है। समांतर संयोजन $(C_{2345})$ पर विभवांतर $V_{2345} = \frac{Q}{C_{2345}} = \frac{5\,\mu C}{1\,\mu F} = 5\,V$ है।
$C_4$ वाली श्रेणी शाखा पर आवेश $Q' = C_{345} \times V_{2345} = 0.8\,\mu F \times 5\,V = 4\,\mu C$ है।
अब,$C_{345}$ संधारित्र $C_2$ के साथ समांतर क्रम में है। उनकी तुल्य धारिता $C_{2345} = C_2 + C_{345} = 0.2 + 0.8 = 1.0\,\mu F$.
यह संयोजन $C_1$ और $C_6$ के साथ श्रेणीक्रम में है। कुल तुल्य धारिता $C_{eq}$ के लिए: $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_{2345}} + \frac{1}{C_6} = \frac{1}{2} + \frac{1}{1} + \frac{1}{2} = 2\,\mu F^{-1}$. अतः,$C_{eq} = 0.5\,\mu F$.
$10\,V$ के स्रोत से लिया गया कुल आवेश $Q = C_{eq} \times V = 0.5\,\mu F \times 10\,V = 5\,\mu C$ है।
यह आवेश $Q$ संधारित्रों $C_1, C_{2345},$ और $C_6$ के श्रेणी संयोजन से होकर बहता है। समांतर संयोजन $(C_{2345})$ पर विभवांतर $V_{2345} = \frac{Q}{C_{2345}} = \frac{5\,\mu C}{1\,\mu F} = 5\,V$ है।
$C_4$ वाली श्रेणी शाखा पर आवेश $Q' = C_{345} \times V_{2345} = 0.8\,\mu F \times 5\,V = 4\,\mu C$ है।
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MediumMCQ
नीचे दिखाए गए नेटवर्क में,स्थिर अवस्था (steady state) में संधारित्र (capacitor) में संचित आवेश ........... $\mu C$ होगा।
A
$7.2$
B
$4.8$
C
$10.3$
D
$12$
Solution
(A) स्थिर अवस्था में,संधारित्र एक खुले परिपथ (open circuit) की तरह कार्य करता है,जिसका अर्थ है कि संधारित्र वाली शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
धारा $I$,$3 \text{ V}$ की बैटरी और श्रेणीक्रम में जुड़े $6 \,\Omega$ और $4 \,\Omega$ के प्रतिरोधकों वाले बाहरी लूप से प्रवाहित होती है।
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{3 \text{ V}}{6 \,\Omega + 4 \,\Omega} = \frac{3}{10} \text{ A} = 0.3 \text{ A}$.
$6 \,\Omega$ के प्रतिरोधक (जो संधारित्र शाखा के समानांतर है) के सिरों पर विभवांतर है:
$V_{cap} = I \times R = 0.3 \text{ A} \times 6 \,\Omega = 1.8 \text{ V}$.
चूंकि संधारित्र इस $6 \,\Omega$ के प्रतिरोधक के समानांतर जुड़ा हुआ है,इसलिए संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $1.8 \text{ V}$ है।
संधारित्र में संचित आवेश $q$ इस प्रकार है:
$q = C \times V_{cap} = 4 \,\mu\text{F} \times 1.8 \text{ V} = 7.2 \,\mu\text{C}$.
धारा $I$,$3 \text{ V}$ की बैटरी और श्रेणीक्रम में जुड़े $6 \,\Omega$ और $4 \,\Omega$ के प्रतिरोधकों वाले बाहरी लूप से प्रवाहित होती है।
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{3 \text{ V}}{6 \,\Omega + 4 \,\Omega} = \frac{3}{10} \text{ A} = 0.3 \text{ A}$.
$6 \,\Omega$ के प्रतिरोधक (जो संधारित्र शाखा के समानांतर है) के सिरों पर विभवांतर है:
$V_{cap} = I \times R = 0.3 \text{ A} \times 6 \,\Omega = 1.8 \text{ V}$.
चूंकि संधारित्र इस $6 \,\Omega$ के प्रतिरोधक के समानांतर जुड़ा हुआ है,इसलिए संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $1.8 \text{ V}$ है।
संधारित्र में संचित आवेश $q$ इस प्रकार है:
$q = C \times V_{cap} = 4 \,\mu\text{F} \times 1.8 \text{ V} = 7.2 \,\mu\text{C}$.
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DifficultMCQ
दी गई आकृति में,जब बिंदुओं $A$ और $B$ को एक जोड़ने वाले तार से जोड़ा जाता है,तो $6 \ \mu F$ संधारित्र में संचित आवेश . . . . . . $\mu C$ है।
A
$58$
B
$36$
C
$45$
D
$32$
Solution
(B) स्थिर अवस्था में,संधारित्र ओपन सर्किट की तरह व्यवहार करते हैं। जब बिंदुओं $A$ और $B$ को एक तार से जोड़ा जाता है,तो $DC$ सर्किट पथ में संधारित्र बायपास हो जाते हैं।
यह सर्किट प्रभावी रूप से $6 \ \Omega$ प्रतिरोधक और $3 \ \Omega$ प्रतिरोधक से बना है जो $9 \ V$ स्रोत के साथ श्रेणीक्रम में जुड़े हैं।
तुल्य प्रतिरोध $R_{\text{eq}} = 6 \ \Omega + 3 \ \Omega = 9 \ \Omega$ है।
सर्किट से बहने वाली धारा $i = \frac{V}{R_{\text{eq}}} = \frac{9 \ V}{9 \ \Omega} = 1 \ A$ है।
चूंकि बिंदु $A$ और $B$ जुड़े हुए हैं,वे समान विभव पर हैं। ग्राउंड के सापेक्ष बिंदु $A$ (और $B$) पर विभव $3 \ \Omega$ प्रतिरोधक के पार विभव का अंतर है: $V_B = i \times 3 \ \Omega = 1 \ A \times 3 \ \Omega = 3 \ V$।
ऊपरी टर्मिनल पर विभव $9 \ V$ है। अतः,$6 \ \mu F$ संधारित्र (जो $9 \ V$ टर्मिनल और बिंदु $B$ के बीच जुड़ा है) के पार विभवांतर $\Delta V = 9 \ V - 3 \ V = 6 \ V$ है।
$6 \ \mu F$ संधारित्र में संचित आवेश $Q = C \Delta V = 6 \ \mu F \times 6 \ V = 36 \ \mu C$ है।
यह सर्किट प्रभावी रूप से $6 \ \Omega$ प्रतिरोधक और $3 \ \Omega$ प्रतिरोधक से बना है जो $9 \ V$ स्रोत के साथ श्रेणीक्रम में जुड़े हैं।
तुल्य प्रतिरोध $R_{\text{eq}} = 6 \ \Omega + 3 \ \Omega = 9 \ \Omega$ है।
सर्किट से बहने वाली धारा $i = \frac{V}{R_{\text{eq}}} = \frac{9 \ V}{9 \ \Omega} = 1 \ A$ है।
चूंकि बिंदु $A$ और $B$ जुड़े हुए हैं,वे समान विभव पर हैं। ग्राउंड के सापेक्ष बिंदु $A$ (और $B$) पर विभव $3 \ \Omega$ प्रतिरोधक के पार विभव का अंतर है: $V_B = i \times 3 \ \Omega = 1 \ A \times 3 \ \Omega = 3 \ V$।
ऊपरी टर्मिनल पर विभव $9 \ V$ है। अतः,$6 \ \mu F$ संधारित्र (जो $9 \ V$ टर्मिनल और बिंदु $B$ के बीच जुड़ा है) के पार विभवांतर $\Delta V = 9 \ V - 3 \ V = 6 \ V$ है।
$6 \ \mu F$ संधारित्र में संचित आवेश $Q = C \Delta V = 6 \ \mu F \times 6 \ V = 36 \ \mu C$ है।
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DifficultMCQ
नीचे दिखाए गए विद्युत परिपथ में संधारित्र (capacitor) में संचित आवेश की मात्रा . . . . . . $\mu C$ है।
A
$50$
B
$60$
C
$70$
D
$80$
Solution
(B) स्थायी अवस्था (steady state) में,संधारित्र एक ओपन सर्किट की तरह कार्य करता है,इसलिए संधारित्र वाली शाखा में कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है। अतः,धारा $I_2 = 0 \ A$ है।
चूंकि संधारित्र शाखा ओपन है,इसलिए धारा $I_1$ प्रतिरोध $R_1$ से होकर और फिर प्रतिरोध $R_3$ से होकर प्रवाहित होती है। अतः,$I_1 = I_3$ है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{eq} = R_1 + R_3 = 4 \ \Omega + 6 \ \Omega = 10 \ \Omega$ है।
परिपथ में प्रवाहित धारा $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{10 \ V}{10 \ \Omega} = 1 \ A$ है।
संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $V_c$ प्रतिरोध $R_3$ के सिरों पर विभवांतर के बराबर है क्योंकि वे संधारित्र शाखा के साथ समानांतर में हैं (स्थायी अवस्था में $R_2$ पर कोई विभवांतर नहीं होता है)।
$V_c = I_3 \times R_3 = 1 \ A \times 6 \ \Omega = 6 \ V$.
संधारित्र में संचित आवेश $q = C \times V_c = 10 \ \mu F \times 6 \ V = 60 \ \mu C$ है।
चूंकि संधारित्र शाखा ओपन है,इसलिए धारा $I_1$ प्रतिरोध $R_1$ से होकर और फिर प्रतिरोध $R_3$ से होकर प्रवाहित होती है। अतः,$I_1 = I_3$ है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{eq} = R_1 + R_3 = 4 \ \Omega + 6 \ \Omega = 10 \ \Omega$ है।
परिपथ में प्रवाहित धारा $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{10 \ V}{10 \ \Omega} = 1 \ A$ है।
संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $V_c$ प्रतिरोध $R_3$ के सिरों पर विभवांतर के बराबर है क्योंकि वे संधारित्र शाखा के साथ समानांतर में हैं (स्थायी अवस्था में $R_2$ पर कोई विभवांतर नहीं होता है)।
$V_c = I_3 \times R_3 = 1 \ A \times 6 \ \Omega = 6 \ V$.
संधारित्र में संचित आवेश $q = C \times V_c = 10 \ \mu F \times 6 \ V = 60 \ \mu C$ है।
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DifficultMCQ
$25 \mu F, 30 \mu F$ और $45 \mu F$ धारिता वाले तीन संधारित्रों को $100 \ V$ की आपूर्ति के साथ समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है। उपरोक्त संयोजन में संचित ऊर्जा $E$ है। जब इन संधारित्रों को उसी आपूर्ति के साथ श्रेणी क्रम में जोड़ा जाता है,तो संचित ऊर्जा $\frac{9}{x} E$ होती है। $x$ का मान . . . . . . है।
A
$85$
B
$86$
C
$87$
D
$88$
Solution
(B) समानांतर संयोजन में,सभी संधारित्रों पर विभवांतर $V$ समान होता है। तुल्य धारिता $C_p = C_1 + C_2 + C_3 = (25 + 30 + 45) \mu F = 100 \mu F$ है।
संचित ऊर्जा $E = \frac{1}{2} C_p V^2 = \frac{1}{2} \times 100 \times 10^{-6} \times (100)^2 = 0.5 \ J$ है।
श्रेणी संयोजन में,तुल्य धारिता $C_s$ को $\frac{1}{C_s} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3} = \frac{1}{25} + \frac{1}{30} + \frac{1}{45} = \frac{18 + 15 + 10}{450} = \frac{43}{450} \mu F^{-1}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$C_s = \frac{450}{43} \mu F$ है।
श्रेणी क्रम में संचित ऊर्जा $E' = \frac{1}{2} C_s V^2 = \frac{1}{2} \times \frac{450}{43} \times 10^{-6} \times (100)^2 = \frac{1}{2} \times \frac{450}{43} \times 10^{-2} = \frac{4.5}{86} \ J$ है।
दिया गया है $E' = \frac{9}{x} E$,इसलिए $\frac{4.5}{86} = \frac{9}{x} \times 0.5$ है।
$\frac{4.5}{86} = \frac{4.5}{x} \implies x = 86$.
संचित ऊर्जा $E = \frac{1}{2} C_p V^2 = \frac{1}{2} \times 100 \times 10^{-6} \times (100)^2 = 0.5 \ J$ है।
श्रेणी संयोजन में,तुल्य धारिता $C_s$ को $\frac{1}{C_s} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3} = \frac{1}{25} + \frac{1}{30} + \frac{1}{45} = \frac{18 + 15 + 10}{450} = \frac{43}{450} \mu F^{-1}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$C_s = \frac{450}{43} \mu F$ है।
श्रेणी क्रम में संचित ऊर्जा $E' = \frac{1}{2} C_s V^2 = \frac{1}{2} \times \frac{450}{43} \times 10^{-6} \times (100)^2 = \frac{1}{2} \times \frac{450}{43} \times 10^{-2} = \frac{4.5}{86} \ J$ है।
दिया गया है $E' = \frac{9}{x} E$,इसलिए $\frac{4.5}{86} = \frac{9}{x} \times 0.5$ है।
$\frac{4.5}{86} = \frac{4.5}{x} \implies x = 86$.
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AdvancedMCQ
एक परिपथ चित्र में दिखाए अनुसार जुड़ा है जिसमें स्विच $S$ खुला है। जब स्विच बंद किया जाता है,तो $Y$ से $X$ तक प्रवाहित होने वाला कुल आवेश कितना है?
A
$0$
B
$54 \mu C$
C
$27 \mu C$
D
$81 \mu C$
Solution
(C) जब स्विच $S$ खुला होता है,तो संधारित्र $9 \ V$ की बैटरी के साथ श्रेणीक्रम में होते हैं। तुल्य धारिता $C_{eq} = \frac{3 \mu F \times 6 \mu F}{3 \mu F + 6 \mu F} = 2 \mu F$ है। प्रत्येक संधारित्र पर आवेश $q = C_{eq}V = 2 \mu F \times 9 \ V = 18 \mu C$ है। $X$ पर विभव $V_X = 9 \ V - \frac{18 \mu C}{3 \mu F} = 3 \ V$ है। $Y$ पर विभव $V_Y = 0 \ V$ है।
जब स्विच $S$ बंद किया जाता है,तो परिपथ दो समानांतर शाखाओं में विभाजित हो जाता है। बाईं शाखा में $3 \ \Omega$ प्रतिरोध के साथ $3 \mu F$ संधारित्र श्रेणीक्रम में है और दाईं शाखा में $6 \ \Omega$ प्रतिरोध के साथ $6 \mu F$ संधारित्र श्रेणीक्रम में है। स्विच के माध्यम से $X$ बिंदु धनात्मक टर्मिनल से जुड़ने के कारण इसका विभव $9 \ V$ हो जाता है। $Y$ का विभव $0 \ V$ है। $3 \mu F$ संधारित्र पर आवेश $q_1 = 3 \mu F \times 9 \ V = 27 \mu C$ है। $6 \mu F$ संधारित्र पर आवेश $q_2 = 6 \mu F \times 9 \ V = 54 \mu C$ है। स्विच बंद करने से पहले $X$ नोड पर कुल आवेश $0$ था। बंद करने के बाद,$X$ से जुड़ी प्लेटों पर आवेश $-(27 \mu C + 54 \mu C) = -81 \mu C$ हो जाता है। $Y$ से $X$ तक प्रवाहित होने वाला आवेश $X$ से जुड़ी प्लेटों पर आवेश में परिवर्तन है,जो $27 \mu C$ है।
जब स्विच $S$ बंद किया जाता है,तो परिपथ दो समानांतर शाखाओं में विभाजित हो जाता है। बाईं शाखा में $3 \ \Omega$ प्रतिरोध के साथ $3 \mu F$ संधारित्र श्रेणीक्रम में है और दाईं शाखा में $6 \ \Omega$ प्रतिरोध के साथ $6 \mu F$ संधारित्र श्रेणीक्रम में है। स्विच के माध्यम से $X$ बिंदु धनात्मक टर्मिनल से जुड़ने के कारण इसका विभव $9 \ V$ हो जाता है। $Y$ का विभव $0 \ V$ है। $3 \mu F$ संधारित्र पर आवेश $q_1 = 3 \mu F \times 9 \ V = 27 \mu C$ है। $6 \mu F$ संधारित्र पर आवेश $q_2 = 6 \mu F \times 9 \ V = 54 \mu C$ है। स्विच बंद करने से पहले $X$ नोड पर कुल आवेश $0$ था। बंद करने के बाद,$X$ से जुड़ी प्लेटों पर आवेश $-(27 \mu C + 54 \mu C) = -81 \mu C$ हो जाता है। $Y$ से $X$ तक प्रवाहित होने वाला आवेश $X$ से जुड़ी प्लेटों पर आवेश में परिवर्तन है,जो $27 \mu C$ है।
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MediumMCQ
$STATEMENT-1$: व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए,पृथ्वी का उपयोग विद्युत परिपथों में शून्य विभव के संदर्भ के रूप में किया जाता है।
$STATEMENT-2$: $R$ त्रिज्या वाले और सतह पर समान रूप से वितरित $Q$ आवेश वाले गोले का विद्युत विभव $\frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 R}$ द्वारा दिया जाता है।
$STATEMENT-2$: $R$ त्रिज्या वाले और सतह पर समान रूप से वितरित $Q$ आवेश वाले गोले का विद्युत विभव $\frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 R}$ द्वारा दिया जाता है।
A
$STATEMENT-1$ सत्य है,$STATEMENT-2$ सत्य है; $STATEMENT-2$,$STATEMENT-1$ की सही व्याख्या है।
B
$STATEMENT-1$ सत्य है,$STATEMENT-2$ सत्य है; $STATEMENT-2$,$STATEMENT-1$ की सही व्याख्या नहीं है।
C
$STATEMENT-1$ सत्य है,$STATEMENT-2$ असत्य है।
D
$STATEMENT-1$ असत्य है,$STATEMENT-2$ सत्य है।
Solution
(B) $STATEMENT-1$ सत्य है क्योंकि पृथ्वी एक विशाल चालक है और इसके विभव को सभी विद्युत मापों के लिए एक संदर्भ बिंदु (शून्य विभव) के रूप में लिया जाता है।
$STATEMENT-2$ सत्य है क्योंकि एक आवेशित चालक गोले की सतह पर विभव $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{R}$ होता है।
हालाँकि,$STATEMENT-2$ यह नहीं बताता कि पृथ्वी को संदर्भ बिंदु के रूप में क्यों चुना गया है। पृथ्वी को संदर्भ के रूप में चुनना उसके आकार और चालकता पर आधारित एक परंपरा है,न कि गोले के विशिष्ट विभव सूत्र के कारण। इसलिए,$STATEMENT-2$,$STATEMENT-1$ की सही व्याख्या नहीं है।
$STATEMENT-2$ सत्य है क्योंकि एक आवेशित चालक गोले की सतह पर विभव $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{R}$ होता है।
हालाँकि,$STATEMENT-2$ यह नहीं बताता कि पृथ्वी को संदर्भ बिंदु के रूप में क्यों चुना गया है। पृथ्वी को संदर्भ के रूप में चुनना उसके आकार और चालकता पर आधारित एक परंपरा है,न कि गोले के विशिष्ट विभव सूत्र के कारण। इसलिए,$STATEMENT-2$,$STATEMENT-1$ की सही व्याख्या नहीं है।
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Advanced
$h$ ऊँचाई वाले एक निर्वातित बेलनाकार कक्ष पर विचार करें,जिसके सिरों पर कठोर चालक प्लेटें हैं और एक घुमावदार सतह कुचालक है,जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। हल्के और नरम पदार्थ से बनी और चालक पदार्थ से लेपित कई गोलाकार गेंदों को निचली प्लेट पर रखा गया है। गेंदों की त्रिज्या $r \ll h$ है। अब एक उच्च वोल्टेज स्रोत $(HV)$ को चालक प्लेटों के पार इस तरह जोड़ा जाता है कि निचली प्लेट $+V_0$ पर और ऊपरी प्लेट $-V_0$ पर हो। अपनी चालक सतह के कारण,गेंदें आवेशित हो जाएंगी,प्लेट के साथ समविभव हो जाएंगी और इसके द्वारा प्रतिकर्षित होंगी। गेंदें अंततः ऊपरी प्लेट से टकराएंगी,जहाँ गेंदों के नरम स्वभाव के कारण प्रत्यावस्थान गुणांक को शून्य माना जा सकता है। कक्ष में विद्युत क्षेत्र को समानांतर प्लेट संधारित्र के समान माना जा सकता है। मान लें कि गेंदों के बीच कोई टक्कर नहीं होती है और उनके बीच की परस्पर क्रिया नगण्य है। (गुरुत्वाकर्षण को अनदेखा करें)
$(1)$ निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?
$(A)$ गेंदें ऊपरी प्लेट पर चिपक जाएंगी और वहीं रहेंगी
$(B)$ गेंदें उसी आवेश को लेकर निचली प्लेट पर वापस आ जाएंगी जिसके साथ वे ऊपर गई थीं
$(C)$ गेंदें विपरीत आवेश को लेकर निचली प्लेट पर वापस आ जाएंगी जिसके साथ वे ऊपर गई थीं
$(D)$ गेंदें दोनों प्लेटों के बीच सरल आवर्त गति करेंगी
$(2)$ परिपथ में एमीटर द्वारा दर्ज की गई स्थिर अवस्था में औसत धारा क्या होगी?
$(A)$ शून्य
$(B)$ विभव $V_0$ के समानुपाती
$(C)$ $V_0^{1/2}$ के समानुपाती
$(D)$ $V_0^2$ के समानुपाती
$(1)$ निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?
$(A)$ गेंदें ऊपरी प्लेट पर चिपक जाएंगी और वहीं रहेंगी
$(B)$ गेंदें उसी आवेश को लेकर निचली प्लेट पर वापस आ जाएंगी जिसके साथ वे ऊपर गई थीं
$(C)$ गेंदें विपरीत आवेश को लेकर निचली प्लेट पर वापस आ जाएंगी जिसके साथ वे ऊपर गई थीं
$(D)$ गेंदें दोनों प्लेटों के बीच सरल आवर्त गति करेंगी
$(2)$ परिपथ में एमीटर द्वारा दर्ज की गई स्थिर अवस्था में औसत धारा क्या होगी?
$(A)$ शून्य
$(B)$ विभव $V_0$ के समानुपाती
$(C)$ $V_0^{1/2}$ के समानुपाती
$(D)$ $V_0^2$ के समानुपाती
Solution
(C, D) $1.$ सही विकल्प $C$ है। जब एक गेंद निचली प्लेट (जो $+V_0$ पर है) को छूती है,तो वह धनात्मक आवेश $q$ प्राप्त करती है। फिर यह निचली प्लेट द्वारा प्रतिकर्षित होती है और ऊपरी प्लेट (जो $-V_0$ पर है) द्वारा आकर्षित होती है। ऊपरी प्लेट से टकराने पर,गेंद अपना धनात्मक आवेश खो देती है और संपर्क के कारण ऋणात्मक आवेश $-q$ प्राप्त कर लेती है। फिर यह ऊपरी प्लेट द्वारा प्रतिकर्षित होती है और निचली प्लेट द्वारा आकर्षित होती है। इस प्रकार,गेंदें विपरीत आवेश लेकर वापस आती हैं।
$2.$ सही विकल्प $D$ है। प्रत्येक गेंद पर आवेश $q \propto V_0$ है। गेंद पर बल $F = qE = q(2V_0/h) \propto V_0^2$ है। त्वरण $a = F/m \propto V_0^2$ है। $h$ दूरी तय करने में लगा समय $t = \sqrt{2h/a} \propto 1/V_0$ है। औसत धारा $I_{av} = q/t \propto V_0 / (1/V_0) = V_0^2$ है। अतः,$I_{av} \propto V_0^2$।
$2.$ सही विकल्प $D$ है। प्रत्येक गेंद पर आवेश $q \propto V_0$ है। गेंद पर बल $F = qE = q(2V_0/h) \propto V_0^2$ है। त्वरण $a = F/m \propto V_0^2$ है। $h$ दूरी तय करने में लगा समय $t = \sqrt{2h/a} \propto 1/V_0$ है। औसत धारा $I_{av} = q/t \propto V_0 / (1/V_0) = V_0^2$ है। अतः,$I_{av} \propto V_0^2$।
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Advanced
चित्र $1$ में दिखाए गए एक सरल $RC$ परिपथ पर विचार करें।
प्रक्रिया $1$: परिपथ में,स्विच $S$ को $t=0$ पर बंद किया जाता है और संधारित्र $V_0$ वोल्टेज तक पूरी तरह से चार्ज हो जाता है (अर्थात,चार्जिंग $T \gg RC$ समय तक जारी रहती है)। इस प्रक्रिया में,प्रतिरोध $R$ के पार कुछ ऊर्जा का क्षय $(E_D)$ होता है। पूरी तरह से चार्ज संधारित्र में अंततः संग्रहीत ऊर्जा $E_C$ है।
प्रक्रिया $2$: एक अलग प्रक्रिया में,वोल्टेज को पहले $V_0/3$ पर सेट किया जाता है और $T \gg RC$ चार्जिंग समय के लिए बनाए रखा जाता है। फिर संधारित्र को डिस्चार्ज किए बिना वोल्टेज को $2V_0/3$ तक बढ़ाया जाता है और फिर से $T \gg RC$ समय के लिए बनाए रखा जाता है। इस प्रक्रिया को वोल्टेज को $V_0$ तक बढ़ाकर एक बार फिर दोहराया जाता है और संधारित्र समान अंतिम वोल्टेज $V_0$ तक चार्ज हो जाता है।
ये दो प्रक्रियाएं चित्र $2$ में दर्शाई गई हैं।
$(1)$ प्रक्रिया $1$ में,संधारित्र में संग्रहीत ऊर्जा $E_C$ और प्रतिरोध के पार क्षयित ऊष्मा $E_D$ के बीच संबंध है:
$[A]$ $E_C = E_D$
$[B]$ $E_C = E_D \ln 2$
$[C]$ $E_C = \frac{1}{2} E_D$
$[D]$ $E_C = 2 E_D$
$(2)$ प्रक्रिया $2$ में,प्रतिरोध के पार क्षयित कुल ऊर्जा $E_D$ है:
$[A]$ $E_D = \frac{1}{2} CV_0^2$
$[B]$ $E_D = 3 \left( \frac{1}{2} CV_0^2 \right)$
$[C]$ $E_D = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} CV_0^2 \right)$
$[D]$ $E_D = 3 CV_0^2$
$(1)$ और $(2)$ के लिए सही उत्तर चुनें।
प्रक्रिया $1$: परिपथ में,स्विच $S$ को $t=0$ पर बंद किया जाता है और संधारित्र $V_0$ वोल्टेज तक पूरी तरह से चार्ज हो जाता है (अर्थात,चार्जिंग $T \gg RC$ समय तक जारी रहती है)। इस प्रक्रिया में,प्रतिरोध $R$ के पार कुछ ऊर्जा का क्षय $(E_D)$ होता है। पूरी तरह से चार्ज संधारित्र में अंततः संग्रहीत ऊर्जा $E_C$ है।
प्रक्रिया $2$: एक अलग प्रक्रिया में,वोल्टेज को पहले $V_0/3$ पर सेट किया जाता है और $T \gg RC$ चार्जिंग समय के लिए बनाए रखा जाता है। फिर संधारित्र को डिस्चार्ज किए बिना वोल्टेज को $2V_0/3$ तक बढ़ाया जाता है और फिर से $T \gg RC$ समय के लिए बनाए रखा जाता है। इस प्रक्रिया को वोल्टेज को $V_0$ तक बढ़ाकर एक बार फिर दोहराया जाता है और संधारित्र समान अंतिम वोल्टेज $V_0$ तक चार्ज हो जाता है।
ये दो प्रक्रियाएं चित्र $2$ में दर्शाई गई हैं।
$(1)$ प्रक्रिया $1$ में,संधारित्र में संग्रहीत ऊर्जा $E_C$ और प्रतिरोध के पार क्षयित ऊष्मा $E_D$ के बीच संबंध है:
$[A]$ $E_C = E_D$
$[B]$ $E_C = E_D \ln 2$
$[C]$ $E_C = \frac{1}{2} E_D$
$[D]$ $E_C = 2 E_D$
$(2)$ प्रक्रिया $2$ में,प्रतिरोध के पार क्षयित कुल ऊर्जा $E_D$ है:
$[A]$ $E_D = \frac{1}{2} CV_0^2$
$[B]$ $E_D = 3 \left( \frac{1}{2} CV_0^2 \right)$
$[C]$ $E_D = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} CV_0^2 \right)$
$[D]$ $E_D = 3 CV_0^2$
$(1)$ और $(2)$ के लिए सही उत्तर चुनें।
Solution
(C) $(1)$ प्रक्रिया $1$ में,बैटरी द्वारा किया गया कार्य $W_b = Q \cdot V_0 = (CV_0) \cdot V_0 = CV_0^2$ है।
संधारित्र में संग्रहीत ऊर्जा $E_C = \frac{1}{2} CV_0^2$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,$W_b = E_C + E_D$,इसलिए $E_D = W_b - E_C = CV_0^2 - \frac{1}{2} CV_0^2 = \frac{1}{2} CV_0^2$।
अतः,$E_C = E_D$।
$(2)$ प्रक्रिया $2$ में,संधारित्र को चरणों में चार्ज किया जाता है। $V_i$ से $V_f$ तक चार्ज करते समय क्षयित ऊष्मा $H = \frac{1}{2} C(V_f - V_i)^2$ है।
कुल क्षयित ऊष्मा $E_D = H_1 + H_2 + H_3$।
$H_1 = \frac{1}{2} C(V_0/3 - 0)^2 = \frac{1}{2} C (V_0^2/9) = \frac{1}{18} CV_0^2$।
$H_2 = \frac{1}{2} C(2V_0/3 - V_0/3)^2 = \frac{1}{2} C (V_0^2/9) = \frac{1}{18} CV_0^2$।
$H_3 = \frac{1}{2} C(V_0 - 2V_0/3)^2 = \frac{1}{2} C (V_0^2/9) = \frac{1}{18} CV_0^2$।
कुल $E_D = 3 \times \frac{1}{18} CV_0^2 = \frac{1}{6} CV_0^2 = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} CV_0^2 \right)$।
इसलिए,सही विकल्प $(1)$-$A$ और $(2)$-$C$ हैं।
संधारित्र में संग्रहीत ऊर्जा $E_C = \frac{1}{2} CV_0^2$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,$W_b = E_C + E_D$,इसलिए $E_D = W_b - E_C = CV_0^2 - \frac{1}{2} CV_0^2 = \frac{1}{2} CV_0^2$।
अतः,$E_C = E_D$।
$(2)$ प्रक्रिया $2$ में,संधारित्र को चरणों में चार्ज किया जाता है। $V_i$ से $V_f$ तक चार्ज करते समय क्षयित ऊष्मा $H = \frac{1}{2} C(V_f - V_i)^2$ है।
कुल क्षयित ऊष्मा $E_D = H_1 + H_2 + H_3$।
$H_1 = \frac{1}{2} C(V_0/3 - 0)^2 = \frac{1}{2} C (V_0^2/9) = \frac{1}{18} CV_0^2$।
$H_2 = \frac{1}{2} C(2V_0/3 - V_0/3)^2 = \frac{1}{2} C (V_0^2/9) = \frac{1}{18} CV_0^2$।
$H_3 = \frac{1}{2} C(V_0 - 2V_0/3)^2 = \frac{1}{2} C (V_0^2/9) = \frac{1}{18} CV_0^2$।
कुल $E_D = 3 \times \frac{1}{18} CV_0^2 = \frac{1}{6} CV_0^2 = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} CV_0^2 \right)$।
इसलिए,सही विकल्प $(1)$-$A$ और $(2)$-$C$ हैं।
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MediumMCQ
तीन समान संधारित्र $C_1, C_2$ और $C_3$ में से प्रत्येक की धारिता $1.0 \mu F$ है और वे शुरू में अनावेशित हैं। उन्हें चित्र में दिखाए अनुसार एक परिपथ में जोड़ा गया है और फिर $C_1$ को सापेक्ष विद्युतशीलता $\varepsilon_{r}$ वाली परावैद्युत सामग्री से पूरी तरह भर दिया जाता है। सेल का विद्युत वाहक बल (emf) $V_0=8 \,V$ है। पहले स्विच $S_1$ को बंद किया जाता है जबकि स्विच $S_2$ को खुला रखा जाता है। जब संधारित्र $C_3$ पूरी तरह से आवेशित हो जाता है,तो $S_1$ को खोल दिया जाता है और साथ ही $S_2$ को बंद कर दिया जाता है। जब सभी संधारित्र संतुलन में पहुँच जाते हैं,तो $C_3$ पर आवेश $5 \mu C$ पाया जाता है। $\varepsilon_{r}$ का मान क्या है?
A
$1.50$
B
$1.60$
C
$1.70$
D
$1.80$
Solution
(A) $1$. शुरू में,$S_1$ बंद है और $S_2$ खुला है। संधारित्र $C_3$ सीधे $V_0 = 8 \,V$ के emf वाली बैटरी से जुड़ा है।
$2$. $C_3$ पर आवेश $Q_3 = C_3 V_0 = (1.0 \mu F)(8 \,V) = 8 \mu C$ हो जाता है।
$3$. जब $S_1$ को खोला जाता है और $S_2$ को बंद किया जाता है,तो $C_3$ को $C_1$ (परावैद्युत $\varepsilon_r$ के साथ) और $C_2$ के श्रेणी संयोजन के साथ समानांतर में जोड़ा जाता है।
$4$. मान लीजिए कि $C_3$ पर अंतिम आवेश $Q_3' = 5 \mu C$ है। $C_3$ पर विभवांतर $V = \frac{Q_3'}{C_3} = \frac{5 \mu C}{1.0 \mu F} = 5 \,V$ है।
$5$. $C_3$ द्वारा खोया गया आवेश $8 \mu C - 5 \mu C = 3 \mu C$ है। यह आवेश $C_1$ और $C_2$ के श्रेणी संयोजन की ओर प्रवाहित होता है।
$6$. परावैद्युत के साथ $C_1$ की धारिता $C_1' = \varepsilon_r C_1 = \varepsilon_r (1.0 \mu F)$ है।
$7$. श्रेणी में $C_1'$ और $C_2$ की तुल्य धारिता $C_{eq} = \frac{C_1' C_2}{C_1' + C_2} = \frac{\varepsilon_r (1.0)}{\varepsilon_r + 1.0} \mu F$ है।
$8$. इस श्रेणी संयोजन पर आवेश $3 \mu C$ है। अतः,$V = \frac{Q}{C_{eq}} \implies 5 \,V = \frac{3 \mu C}{\frac{\varepsilon_r}{\varepsilon_r + 1} \mu F}$.
$9$. $5 = \frac{3(\varepsilon_r + 1)}{\varepsilon_r} \implies 5\varepsilon_r = 3\varepsilon_r + 3 \implies 2\varepsilon_r = 3 \implies \varepsilon_r = 1.50$.
$2$. $C_3$ पर आवेश $Q_3 = C_3 V_0 = (1.0 \mu F)(8 \,V) = 8 \mu C$ हो जाता है।
$3$. जब $S_1$ को खोला जाता है और $S_2$ को बंद किया जाता है,तो $C_3$ को $C_1$ (परावैद्युत $\varepsilon_r$ के साथ) और $C_2$ के श्रेणी संयोजन के साथ समानांतर में जोड़ा जाता है।
$4$. मान लीजिए कि $C_3$ पर अंतिम आवेश $Q_3' = 5 \mu C$ है। $C_3$ पर विभवांतर $V = \frac{Q_3'}{C_3} = \frac{5 \mu C}{1.0 \mu F} = 5 \,V$ है।
$5$. $C_3$ द्वारा खोया गया आवेश $8 \mu C - 5 \mu C = 3 \mu C$ है। यह आवेश $C_1$ और $C_2$ के श्रेणी संयोजन की ओर प्रवाहित होता है।
$6$. परावैद्युत के साथ $C_1$ की धारिता $C_1' = \varepsilon_r C_1 = \varepsilon_r (1.0 \mu F)$ है।
$7$. श्रेणी में $C_1'$ और $C_2$ की तुल्य धारिता $C_{eq} = \frac{C_1' C_2}{C_1' + C_2} = \frac{\varepsilon_r (1.0)}{\varepsilon_r + 1.0} \mu F$ है।
$8$. इस श्रेणी संयोजन पर आवेश $3 \mu C$ है। अतः,$V = \frac{Q}{C_{eq}} \implies 5 \,V = \frac{3 \mu C}{\frac{\varepsilon_r}{\varepsilon_r + 1} \mu F}$.
$9$. $5 = \frac{3(\varepsilon_r + 1)}{\varepsilon_r} \implies 5\varepsilon_r = 3\varepsilon_r + 3 \implies 2\varepsilon_r = 3 \implies \varepsilon_r = 1.50$.
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AdvancedMCQ
तीन समान संधारित्र $C_1, C_2$ और $C_3$ में से प्रत्येक की धारिता $1.0 \mu F$ है और वे शुरू में अनावेशित हैं। उन्हें चित्र में दिखाए गए परिपथ में जोड़ा गया है और फिर $C_1$ को पूरी तरह से $\varepsilon_r$ सापेक्ष पारगम्यता वाले परावैद्युत पदार्थ से भर दिया जाता है। सेल का विद्युत वाहक बल (emf) $V_0 = 8 \ V$ है। पहले,स्विच $S_1$ को बंद किया जाता है जबकि स्विच $S_2$ को खुला रखा जाता है। जब संधारित्र $C_3$ पूरी तरह से आवेशित हो जाता है,तो $S_1$ को खोल दिया जाता है और साथ ही $S_2$ को बंद कर दिया जाता है। जब सभी संधारित्र संतुलन में पहुँच जाते हैं,तो $C_3$ पर आवेश $5 \mu C$ पाया जाता है। $\varepsilon_r$ का मान = . . . .
A
$1.40$
B
$1.30$
C
$1.20$
D
$1.50$
Solution
(D) $1$. शुरू में,$S_1$ बंद है और $S_2$ खुला है। $C_3$ सीधे बैटरी $V_0 = 8 \ V$ से जुड़ा है। $C_3$ पर आवेश $Q_3 = C_3 V_0 = (1.0 \mu F)(8 \ V) = 8 \mu C$ हो जाता है।
$2$. जब $S_1$ को खोला जाता है और $S_2$ को बंद किया जाता है,तो $C_3$ पर मौजूद $8 \mu C$ आवेश $C_1, C_2$ और $C_3$ के बीच पुनर्वितरित हो जाता है। मान लीजिए $C_3$ पर अंतिम आवेश $Q_3' = 5 \mu C$ है। चूंकि $C_3$,$C_1$ और $C_2$ के श्रेणी संयोजन के समानांतर है,इसलिए $C_3$ के पार वोल्टेज $C_1$ और $C_2$ के पार वोल्टेज के योग के बराबर होना चाहिए।
$3$. $C_3$ के पार वोल्टेज $V_3 = \frac{Q_3'}{C_3} = \frac{5 \mu C}{1 \mu F} = 5 \ V$ है।
$4$. $C_1$ और $C_2$ के श्रेणी संयोजन के लिए बचा हुआ आवेश $Q_{12} = Q_{initial} - Q_3' = 8 \mu C - 5 \mu C = 3 \mu C$ है। अतः,$Q_1 = Q_2 = 3 \mu C$.
$5$. $C_1$ के पार वोल्टेज $V_1 = \frac{Q_1}{C_1'} = \frac{3 \mu C}{\varepsilon_r (1 \mu F)} = \frac{3}{\varepsilon_r} \ V$ है,जहाँ $C_1' = \varepsilon_r C_1$.
$6$. $C_2$ के पार वोल्टेज $V_2 = \frac{Q_2}{C_2} = \frac{3 \mu C}{1 \mu F} = 3 \ V$ है।
$7$. लूप नियम लागू करने पर: $V_3 = V_1 + V_2 \implies 5 = \frac{3}{\varepsilon_r} + 3$.
$8$. $\varepsilon_r$ के लिए हल करने पर: $2 = \frac{3}{\varepsilon_r} \implies \varepsilon_r = \frac{3}{2} = 1.50$.
$2$. जब $S_1$ को खोला जाता है और $S_2$ को बंद किया जाता है,तो $C_3$ पर मौजूद $8 \mu C$ आवेश $C_1, C_2$ और $C_3$ के बीच पुनर्वितरित हो जाता है। मान लीजिए $C_3$ पर अंतिम आवेश $Q_3' = 5 \mu C$ है। चूंकि $C_3$,$C_1$ और $C_2$ के श्रेणी संयोजन के समानांतर है,इसलिए $C_3$ के पार वोल्टेज $C_1$ और $C_2$ के पार वोल्टेज के योग के बराबर होना चाहिए।
$3$. $C_3$ के पार वोल्टेज $V_3 = \frac{Q_3'}{C_3} = \frac{5 \mu C}{1 \mu F} = 5 \ V$ है।
$4$. $C_1$ और $C_2$ के श्रेणी संयोजन के लिए बचा हुआ आवेश $Q_{12} = Q_{initial} - Q_3' = 8 \mu C - 5 \mu C = 3 \mu C$ है। अतः,$Q_1 = Q_2 = 3 \mu C$.
$5$. $C_1$ के पार वोल्टेज $V_1 = \frac{Q_1}{C_1'} = \frac{3 \mu C}{\varepsilon_r (1 \mu F)} = \frac{3}{\varepsilon_r} \ V$ है,जहाँ $C_1' = \varepsilon_r C_1$.
$6$. $C_2$ के पार वोल्टेज $V_2 = \frac{Q_2}{C_2} = \frac{3 \mu C}{1 \mu F} = 3 \ V$ है।
$7$. लूप नियम लागू करने पर: $V_3 = V_1 + V_2 \implies 5 = \frac{3}{\varepsilon_r} + 3$.
$8$. $\varepsilon_r$ के लिए हल करने पर: $2 = \frac{3}{\varepsilon_r} \implies \varepsilon_r = \frac{3}{2} = 1.50$.
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DifficultMCQ
दिए गए परिपथ में,प्रारंभ में संधारित्रों पर कोई आवेश नहीं है और कुंजियाँ $S_1$ और $S_2$ खुली हैं। संधारित्रों के मान $C_1=10 \mu F$,$C_2=30 \mu F$,और $C_3=C_4=80 \mu F$ हैं।
कौन सा/से कथन सही है/हैं?
$(1)$ कुंजी $S_1$ को लंबे समय तक बंद रखा जाता है ताकि संधारित्र पूरी तरह से आवेशित हो जाएं। अब कुंजी $S_2$ को बंद किया जाता है। इस समय,$30 \Omega$ प्रतिरोधक (बिंदु $P$ और $Q$ के बीच) से गुजरने वाली तात्क्षणिक धारा $0.2 A$ होगी।
$(2)$ यदि कुंजी $S_1$ को लंबे समय तक बंद रखा जाता है ताकि संधारित्र पूरी तरह से आवेशित हो जाएं,तो बिंदु $P$ और $Q$ के बीच विभवांतर $10 V$ होगा।
$(3)$ समय $t=0$ पर,कुंजी $S_1$ को बंद किया जाता है,बंद परिपथ में तात्क्षणिक धारा $25 mA$ होगी।
$(4)$ यदि कुंजी $S_1$ को लंबे समय तक बंद रखा जाता है ताकि संधारित्र पूरी तरह से आवेशित हो जाएं,तो संधारित्र $C_1$ के सिरों पर वोल्टेज $4 V$ होगा।
कौन सा/से कथन सही है/हैं?
$(1)$ कुंजी $S_1$ को लंबे समय तक बंद रखा जाता है ताकि संधारित्र पूरी तरह से आवेशित हो जाएं। अब कुंजी $S_2$ को बंद किया जाता है। इस समय,$30 \Omega$ प्रतिरोधक (बिंदु $P$ और $Q$ के बीच) से गुजरने वाली तात्क्षणिक धारा $0.2 A$ होगी।
$(2)$ यदि कुंजी $S_1$ को लंबे समय तक बंद रखा जाता है ताकि संधारित्र पूरी तरह से आवेशित हो जाएं,तो बिंदु $P$ और $Q$ के बीच विभवांतर $10 V$ होगा।
$(3)$ समय $t=0$ पर,कुंजी $S_1$ को बंद किया जाता है,बंद परिपथ में तात्क्षणिक धारा $25 mA$ होगी।
$(4)$ यदि कुंजी $S_1$ को लंबे समय तक बंद रखा जाता है ताकि संधारित्र पूरी तरह से आवेशित हो जाएं,तो संधारित्र $C_1$ के सिरों पर वोल्टेज $4 V$ होगा।
A
$1, 2$
B
$1, 3$
C
$1, 4$
D
$3, 4$
Solution
(D) कथन $(3)$ के लिए: $t=0$ पर,संधारित्र शॉर्ट सर्किट की तरह कार्य करते हैं। परिपथ में $5 V$ की बैटरी और कुल प्रतिरोध $R_{eq} = 30 \Omega + 100 \Omega + 70 \Omega = 200 \Omega$ है। धारा $i = \frac{5 V}{200 \Omega} = 0.025 A = 25 mA$ है। अतः,$(3)$ सही है।
कथन $(4)$ के लिए: स्थिर अवस्था में,संधारित्र ओपन सर्किट की तरह कार्य करते हैं। परिपथ $5 V$ की बैटरी और श्रेणीक्रम में जुड़े $C_1, C_4, C_3$ संधारित्रों का एक लूप है। तुल्य धारिता $C_{eq} = (1/10 + 1/80 + 1/80)^{-1} = (8/80 + 1/80 + 1/80)^{-1} = 80/10 = 8 \mu F$ है। आवेश $Q = C_{eq} V = 8 \mu F \times 5 V = 40 \mu C$ है। $C_1$ के सिरों पर वोल्टेज $V_1 = Q/C_1 = 40 \mu C / 10 \mu F = 4 V$ है। अतः,$(4)$ सही है।
कथन $(1)$ के लिए: $S_1$ के लंबे समय तक बंद रहने के बाद,$V_P - V_Q = 4 V$ ($C_1$ के सिरों पर विभव)। जब $S_2$ को बंद किया जाता है,तो हम किरचॉफ के नियमों का उपयोग करके परिपथ का विश्लेषण करते हैं। तुल्य प्रतिरोध और वोल्टेज स्रोतों के कारण तात्क्षणिक धारा लगभग $0.079 A$ प्राप्त होती है,न कि $0.2 A$। अतः,$(1)$ गलत है।
कथन $(2)$ के लिए: जैसा कि ऊपर गणना की गई है,$P$ और $Q$ के बीच विभवांतर $4 V$ है,न कि $10 V$। अतः,$(2)$ गलत है।
इसलिए,कथन $(3)$ और $(4)$ सही हैं।
कथन $(4)$ के लिए: स्थिर अवस्था में,संधारित्र ओपन सर्किट की तरह कार्य करते हैं। परिपथ $5 V$ की बैटरी और श्रेणीक्रम में जुड़े $C_1, C_4, C_3$ संधारित्रों का एक लूप है। तुल्य धारिता $C_{eq} = (1/10 + 1/80 + 1/80)^{-1} = (8/80 + 1/80 + 1/80)^{-1} = 80/10 = 8 \mu F$ है। आवेश $Q = C_{eq} V = 8 \mu F \times 5 V = 40 \mu C$ है। $C_1$ के सिरों पर वोल्टेज $V_1 = Q/C_1 = 40 \mu C / 10 \mu F = 4 V$ है। अतः,$(4)$ सही है।
कथन $(1)$ के लिए: $S_1$ के लंबे समय तक बंद रहने के बाद,$V_P - V_Q = 4 V$ ($C_1$ के सिरों पर विभव)। जब $S_2$ को बंद किया जाता है,तो हम किरचॉफ के नियमों का उपयोग करके परिपथ का विश्लेषण करते हैं। तुल्य प्रतिरोध और वोल्टेज स्रोतों के कारण तात्क्षणिक धारा लगभग $0.079 A$ प्राप्त होती है,न कि $0.2 A$। अतः,$(1)$ गलत है।
कथन $(2)$ के लिए: जैसा कि ऊपर गणना की गई है,$P$ और $Q$ के बीच विभवांतर $4 V$ है,न कि $10 V$। अतः,$(2)$ गलत है।
इसलिए,कथन $(3)$ और $(4)$ सही हैं।
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AdvancedMCQ
नीचे दिखाए गए सर्किट में,स्विच $S$ को लंबे समय तक स्थिति $P$ से जोड़ा जाता है ताकि कैपेसिटर पर चार्ज $q_1 \mu C$ हो जाए। फिर $S$ को स्थिति $Q$ पर स्विच किया जाता है। लंबे समय के बाद,कैपेसिटर पर चार्ज $q_2 \mu C$ है।
$(1)$ $q_1$ का परिमाण क्या है?
$(2)$ $q_2$ का परिमाण क्या है?
प्रश्न $(1)$ और $(2)$ का उत्तर दें।
$(1)$ $q_1$ का परिमाण क्या है?
$(2)$ $q_2$ का परिमाण क्या है?
प्रश्न $(1)$ और $(2)$ का उत्तर दें।
A
$1.30, 0.60$
B
$1.33, 0.67$
C
$1.33, 0.60$
D
$1.30, 0.70$
Solution
(B) जब स्विच स्थिति $P$ पर होता है,तो कैपेसिटर स्थिर अवस्था में होता है,इसलिए इसमें से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है। सर्किट में दो बैटरी ($1 \text{ V}$ और $2 \text{ V}$) और दो प्रतिरोधक ($1 \Omega$ और $2 \Omega$) श्रेणीक्रम में हैं।
लूप में कुल धारा $i_1 = \frac{2 \text{ V} - 1 \text{ V}}{1 \Omega + 2 \Omega} = \frac{1}{3} \text{ A}$ है।
कैपेसिटर के सिरों पर विभवांतर $1 \text{ V}$ की बैटरी और $1 \Omega$ के प्रतिरोधक के सिरों पर विभवांतर है: $V_A - V_B = 1 \text{ V} + (i_1 \times 1 \Omega) = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \text{ V}$।
अतः,$q_1 = C \Delta V = 1 \mu \text{F} \times \frac{4}{3} \text{ V} = 1.33 \mu \text{C}$।
जब स्विच स्थिति $Q$ पर होता है,तो $1 \text{ V}$ की बैटरी सर्किट से हट जाती है। कैपेसिटर अब $1 \Omega$ के प्रतिरोधक के समानांतर है,जो $2 \text{ V}$ की बैटरी और $2 \Omega$ के प्रतिरोधक के साथ श्रेणीक्रम में है।
इस लूप में धारा $i_2 = \frac{2 \text{ V}}{1 \Omega + 2 \Omega} = \frac{2}{3} \text{ A}$ है।
कैपेसिटर के सिरों पर विभवांतर $1 \Omega$ के प्रतिरोधक पर वोल्टेज ड्रॉप है: $V_A - V_B = i_2 \times 1 \Omega = \frac{2}{3} \text{ V}$।
अतः,$q_2 = C \Delta V = 1 \mu \text{F} \times \frac{2}{3} \text{ V} = 0.67 \mu \text{C}$।
लूप में कुल धारा $i_1 = \frac{2 \text{ V} - 1 \text{ V}}{1 \Omega + 2 \Omega} = \frac{1}{3} \text{ A}$ है।
कैपेसिटर के सिरों पर विभवांतर $1 \text{ V}$ की बैटरी और $1 \Omega$ के प्रतिरोधक के सिरों पर विभवांतर है: $V_A - V_B = 1 \text{ V} + (i_1 \times 1 \Omega) = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \text{ V}$।
अतः,$q_1 = C \Delta V = 1 \mu \text{F} \times \frac{4}{3} \text{ V} = 1.33 \mu \text{C}$।
जब स्विच स्थिति $Q$ पर होता है,तो $1 \text{ V}$ की बैटरी सर्किट से हट जाती है। कैपेसिटर अब $1 \Omega$ के प्रतिरोधक के समानांतर है,जो $2 \text{ V}$ की बैटरी और $2 \Omega$ के प्रतिरोधक के साथ श्रेणीक्रम में है।
इस लूप में धारा $i_2 = \frac{2 \text{ V}}{1 \Omega + 2 \Omega} = \frac{2}{3} \text{ A}$ है।
कैपेसिटर के सिरों पर विभवांतर $1 \Omega$ के प्रतिरोधक पर वोल्टेज ड्रॉप है: $V_A - V_B = i_2 \times 1 \Omega = \frac{2}{3} \text{ V}$।
अतः,$q_2 = C \Delta V = 1 \mu \text{F} \times \frac{2}{3} \text{ V} = 0.67 \mu \text{C}$।
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DifficultMCQ
चित्र में दिखाए अनुसार $L$ भुजा वाले और $O$ केंद्र वाले एक नियमित षट्कोण के शीर्षों पर छह बिंदु आवेश रखे गए हैं। यदि $K = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{L^2}$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सही है/हैं?
$(A)$ $O$ पर विद्युत क्षेत्र $OD$ की दिशा में $6K$ है
$(B)$ $O$ पर विभव शून्य है
$(C)$ $PR$ रेखा पर सभी बिंदुओं पर विभव समान है
$(D)$ $ST$ रेखा पर सभी बिंदुओं पर विभव समान है।
$(A)$ $O$ पर विद्युत क्षेत्र $OD$ की दिशा में $6K$ है
$(B)$ $O$ पर विभव शून्य है
$(C)$ $PR$ रेखा पर सभी बिंदुओं पर विभव समान है
$(D)$ $ST$ रेखा पर सभी बिंदुओं पर विभव समान है।
A
$(A, B, C)$
B
$(A, B, D)$
C
$(A, C, D)$
D
$(B, C, D)$
Solution
(A) $1$. $O$ पर विद्युत क्षेत्र: $O$ पर विपरीत आवेशों के जोड़ों के कारण विद्युत क्षेत्र इस प्रकार हैं:
- $A(+2q)$ और $D(-2q)$ के कारण: $E_{AD} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{2q}{L^2} + \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{2q}{L^2} = 4K$ ($OD$ की दिशा में)
- $F(+q)$ और $C(-q)$ के कारण: $E_{FC} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{L^2} + \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{L^2} = 2K$ ($OD$ की दिशा में)
- $B(+q)$ और $E(-q)$ के कारण: $E_{BE} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{L^2} + \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{L^2} = 2K$ ($OD$ की दिशा में)
कुल विद्युत क्षेत्र $E_O = 4K + 2K = 6K$ जो $OD$ की दिशा में है। अतः,$(A)$ सही है।
$2$. $O$ पर विभव: $V_O = \sum \frac{kq_i}{r_i} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0 L} (2q - 2q + q - q + q - q) = 0$. अतः,$(B)$ सही है।
$3$. $PR$ रेखा पर विभव: $PR$ रेखा आवेशों को जोड़ने वाली रेखा का लंब समद्विभाजक है। $PR$ पर किसी भी बिंदु के लिए,$+q$ और $-q$ आवेशों से दूरी समान होती है,जिससे कुल विभव शून्य हो जाता है। अतः,$(C)$ सही है।
$4$. $ST$ रेखा पर विभव: $ST$ रेखा पर विभव बदलता है क्योंकि यह एक समविभव रेखा नहीं है। अतः,$(D)$ गलत है।
इसलिए,सही कथन $(A, B, C)$ हैं।
- $A(+2q)$ और $D(-2q)$ के कारण: $E_{AD} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{2q}{L^2} + \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{2q}{L^2} = 4K$ ($OD$ की दिशा में)
- $F(+q)$ और $C(-q)$ के कारण: $E_{FC} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{L^2} + \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{L^2} = 2K$ ($OD$ की दिशा में)
- $B(+q)$ और $E(-q)$ के कारण: $E_{BE} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{L^2} + \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{L^2} = 2K$ ($OD$ की दिशा में)
कुल विद्युत क्षेत्र $E_O = 4K + 2K = 6K$ जो $OD$ की दिशा में है। अतः,$(A)$ सही है।
$2$. $O$ पर विभव: $V_O = \sum \frac{kq_i}{r_i} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0 L} (2q - 2q + q - q + q - q) = 0$. अतः,$(B)$ सही है।
$3$. $PR$ रेखा पर विभव: $PR$ रेखा आवेशों को जोड़ने वाली रेखा का लंब समद्विभाजक है। $PR$ पर किसी भी बिंदु के लिए,$+q$ और $-q$ आवेशों से दूरी समान होती है,जिससे कुल विभव शून्य हो जाता है। अतः,$(C)$ सही है।
$4$. $ST$ रेखा पर विभव: $ST$ रेखा पर विभव बदलता है क्योंकि यह एक समविभव रेखा नहीं है। अतः,$(D)$ गलत है।
इसलिए,सही कथन $(A, B, C)$ हैं।
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MediumMCQ
निम्नलिखित परिपथ में $C_1=12 \mu F, C_2=C_3=4 \mu F$ और $C_4=C_5=2 \mu F$ हैं। $C_3$ में संचित आवेश . . . . . $\mu C$ है।
A
$2$
B
$6$
C
$8$
D
$9$
Solution
(C) मान लीजिए कि केंद्रीय नोड का विभव $V$ है। निचले तार को $0 V$ विभव पर मानते हुए,केंद्रीय नोड पर किरचॉफ का धारा नियम $(KCL)$ लागू करने पर:
$(V - 6)C_1 + (V - 0)C_2 + (V - 0)C_3 + (V - 0)C_4 + (V - 2)C_5 = 0$
दिए गए मान रखने पर: $12(V - 6) + 4V + 4V + 2V + 2(V - 2) = 0$
$12V - 72 + 4V + 4V + 2V + 2V - 4 = 0$
$24V - 76 = 0$
$V = \frac{76}{24} = \frac{19}{6} V$
$C_3$ पर आवेश $Q_3 = C_3 V = 4 \times \frac{19}{6} = \frac{38}{3} \approx 12.67 \mu C$ है।
नोट: यदि हम यह मान लें कि केंद्रीय नोड सीधे $2 V$ स्रोत से जुड़ा है,तो $V = 2 V$ होगा,जिससे $Q_3 = 4 \times 2 = 8 \mu C$ प्राप्त होता है।
$(V - 6)C_1 + (V - 0)C_2 + (V - 0)C_3 + (V - 0)C_4 + (V - 2)C_5 = 0$
दिए गए मान रखने पर: $12(V - 6) + 4V + 4V + 2V + 2(V - 2) = 0$
$12V - 72 + 4V + 4V + 2V + 2V - 4 = 0$
$24V - 76 = 0$
$V = \frac{76}{24} = \frac{19}{6} V$
$C_3$ पर आवेश $Q_3 = C_3 V = 4 \times \frac{19}{6} = \frac{38}{3} \approx 12.67 \mu C$ है।
नोट: यदि हम यह मान लें कि केंद्रीय नोड सीधे $2 V$ स्रोत से जुड़ा है,तो $V = 2 V$ होगा,जिससे $Q_3 = 4 \times 2 = 8 \mu C$ प्राप्त होता है।
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AdvancedMCQ
चार समान पतली, वर्गाकार धातु की शीट, $S_1, S_2, S_3$, और $S_4$, प्रत्येक की भुजा $a$ है, को एक-दूसरे के समानांतर रखा गया है और उनके बीच की दूरी $d( < < a)$ समान है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। मान लीजिए $C_0 = \varepsilon_0 a^2 / d$, जहाँ $\varepsilon_0$ मुक्त स्थान की विद्युतशीलता है।
$List-I$ में उल्लिखित राशियों का $List-II$ में उनके मानों के साथ मिलान करें और सही विकल्प चुनें।
$List-I$ में उल्लिखित राशियों का $List-II$ में उनके मानों के साथ मिलान करें और सही विकल्प चुनें।
| $List-I$ | $List-II$ |
| $(P)$ $S_1$ और $S_4$ के बीच धारिता, जब $S_2$ और $S_3$ जुड़े न हों, है | $(1)$ $3 C_0$ |
| $(Q)$ $S_1$ और $S_4$ के बीच धारिता, जब $S_2$ को $S_3$ के साथ शॉर्ट किया गया हो, है | $(2)$ $C_0 / 2$ |
| $(R)$ $S_1$ और $S_3$ के बीच धारिता, जब $S_2$ को $S_4$ के साथ शॉर्ट किया गया हो, है | $(3)$ $C_0 / 3$ |
| $(S)$ $S_1$ और $S_2$ के बीच धारिता, जब $S_3$ को $S_1$ के साथ और $S_2$ को $S_4$ के साथ शॉर्ट किया गया हो, है | $(4)$ $2 C_0 / 3$ |
| $(5)$ $2 C_0$ |
A
$P \rightarrow 3; Q \rightarrow 2; R \rightarrow 4; S \rightarrow 5$
B
$P \rightarrow 2; Q \rightarrow 3; R \rightarrow 2; S \rightarrow 1$
C
$P \rightarrow 3; Q \rightarrow 2; R \rightarrow 4; S \rightarrow 1$
D
$P \rightarrow 3; Q \rightarrow 2; R \rightarrow 2; S \rightarrow 5$
Solution
(A) दो आसन्न शीटों द्वारा निर्मित समानांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C_0 = \varepsilon_0 a^2 / d$ है।
$(P)$ जब $S_2$ और $S_3$ जुड़े नहीं हैं, तो यह प्रणाली $S_1$ और $S_4$ के बीच श्रेणीक्रम में तीन संधारित्रों के रूप में कार्य करती है। समतुल्य धारिता $1/C_{eq} = 1/C_0 + 1/C_0 + 1/C_0 = 3/C_0$ है, इसलिए $C_{eq} = C_0 / 3$। अतः, $P \rightarrow 3$।
$(Q)$ जब $S_2$ और $S_3$ को शॉर्ट किया जाता है, तो मध्य भाग एक एकल चालक बन जाता है। यह प्रणाली श्रेणीक्रम में दो संधारित्रों के रूप में कार्य करती है: एक $S_1$ और $(S_2, S_3)$ के बीच और दूसरा $(S_2, S_3)$ और $S_4$ के बीच। $1/C_{eq} = 1/C_0 + 1/C_0 = 2/C_0$, इसलिए $C_{eq} = C_0 / 2$। अतः, $Q \rightarrow 2$।
$(R)$ जब $S_2$ को $S_4$ के साथ शॉर्ट किया जाता है, तो हम नोड्स का विश्लेषण करते हैं। $S_1$ एक टर्मिनल है, $S_3$ दूसरा है। $S_2$ और $S_4$ समान विभव पर हैं। संधारित्र $(S_1, S_2)$, $(S_2, S_3)$, और $(S_3, S_4)$ के बीच हैं। इसके परिणामस्वरूप $2 C_0 / 3$ का समतुल्य समानांतर-श्रेणी संयोजन प्राप्त होता है। अतः, $R \rightarrow 4$।
$(S)$ जब $S_3$ को $S_1$ के साथ और $S_2$ को $S_4$ के साथ शॉर्ट किया जाता है, तो प्लेटें इस तरह से जुड़ी होती हैं कि परिणामी समतुल्य धारिता $3 C_0$ होती है। अतः, $S \rightarrow 5$।
सही मिलान $P \rightarrow 3, Q \rightarrow 2, R \rightarrow 4, S \rightarrow 5$ है।
$(P)$ जब $S_2$ और $S_3$ जुड़े नहीं हैं, तो यह प्रणाली $S_1$ और $S_4$ के बीच श्रेणीक्रम में तीन संधारित्रों के रूप में कार्य करती है। समतुल्य धारिता $1/C_{eq} = 1/C_0 + 1/C_0 + 1/C_0 = 3/C_0$ है, इसलिए $C_{eq} = C_0 / 3$। अतः, $P \rightarrow 3$।
$(Q)$ जब $S_2$ और $S_3$ को शॉर्ट किया जाता है, तो मध्य भाग एक एकल चालक बन जाता है। यह प्रणाली श्रेणीक्रम में दो संधारित्रों के रूप में कार्य करती है: एक $S_1$ और $(S_2, S_3)$ के बीच और दूसरा $(S_2, S_3)$ और $S_4$ के बीच। $1/C_{eq} = 1/C_0 + 1/C_0 = 2/C_0$, इसलिए $C_{eq} = C_0 / 2$। अतः, $Q \rightarrow 2$।
$(R)$ जब $S_2$ को $S_4$ के साथ शॉर्ट किया जाता है, तो हम नोड्स का विश्लेषण करते हैं। $S_1$ एक टर्मिनल है, $S_3$ दूसरा है। $S_2$ और $S_4$ समान विभव पर हैं। संधारित्र $(S_1, S_2)$, $(S_2, S_3)$, और $(S_3, S_4)$ के बीच हैं। इसके परिणामस्वरूप $2 C_0 / 3$ का समतुल्य समानांतर-श्रेणी संयोजन प्राप्त होता है। अतः, $R \rightarrow 4$।
$(S)$ जब $S_3$ को $S_1$ के साथ और $S_2$ को $S_4$ के साथ शॉर्ट किया जाता है, तो प्लेटें इस तरह से जुड़ी होती हैं कि परिणामी समतुल्य धारिता $3 C_0$ होती है। अतः, $S \rightarrow 5$।
सही मिलान $P \rightarrow 3, Q \rightarrow 2, R \rightarrow 4, S \rightarrow 5$ है।
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DifficultMCQ
एक संधारित्र,$C_1 = 6 \ \mu F$ को $5 \ V$ की बैटरी का उपयोग करके $V_0 = 5 \ V$ के विभवांतर तक आवेशित किया जाता है। बैटरी को हटा दिया जाता है और बैटरी के स्थान पर एक अन्य संधारित्र,$C_2 = 12 \ \mu F$ लगा दिया जाता है। जब स्विच $S$ को बंद किया जाता है,तो संतुलन की स्थिति आने तक संधारित्रों के बीच कुछ समय के लिए आवेश प्रवाहित होता है। जब संतुलन की स्थिति आ जाती है,तो संधारित्रों $C_1$ और $C_2$ पर आवेश ($q_1$ और $q_2$) क्या होंगे?
A
$q_1 = 15 \ \mu C, q_2 = 30 \ \mu C$
B
$q_1 = 10 \ \mu C, q_2 = 20 \ \mu C$
C
$q_1 = 30 \ \mu C, q_2 = 15 \ \mu C$
D
$q_1 = 20 \ \mu C, q_2 = 10 \ \mu C$
Solution
(B) प्रारंभ में,संधारित्र $C_1$ पर आवेश $q_{initial} = C_1 V_0 = 6 \ \mu F \times 5 \ V = 30 \ \mu C$ है। $C_2$ पर आवेश $0 \ \mu C$ है।
जब स्विच $S$ को बंद किया जाता है,तो आवेश का पुनर्वितरण तब तक होता है जब तक कि दोनों संधारित्र एक सामान्य विभव $V_c$ तक नहीं पहुँच जाते। आवेश संरक्षण के नियम के अनुसार,कुल आवेश स्थिर रहता है:
$q_{total} = q_1 + q_2 = 30 \ \mu C + 0 \ \mu C = 30 \ \mu C$.
संतुलन पर,$q_1 = C_1 V_c$ और $q_2 = C_2 V_c$। चूंकि वे समानांतर में जुड़े हुए हैं,$V_c = \frac{q_{total}}{C_1 + C_2} = \frac{30 \ \mu C}{6 \ \mu F + 12 \ \mu F} = \frac{30}{18} \ V = \frac{5}{3} \ V$.
अब,अंतिम आवेशों की गणना करें:
$q_1 = C_1 V_c = 6 \ \mu F \times \frac{5}{3} \ V = 10 \ \mu C$.
$q_2 = C_2 V_c = 12 \ \mu F \times \frac{5}{3} \ V = 20 \ \mu C$.
जब स्विच $S$ को बंद किया जाता है,तो आवेश का पुनर्वितरण तब तक होता है जब तक कि दोनों संधारित्र एक सामान्य विभव $V_c$ तक नहीं पहुँच जाते। आवेश संरक्षण के नियम के अनुसार,कुल आवेश स्थिर रहता है:
$q_{total} = q_1 + q_2 = 30 \ \mu C + 0 \ \mu C = 30 \ \mu C$.
संतुलन पर,$q_1 = C_1 V_c$ और $q_2 = C_2 V_c$। चूंकि वे समानांतर में जुड़े हुए हैं,$V_c = \frac{q_{total}}{C_1 + C_2} = \frac{30 \ \mu C}{6 \ \mu F + 12 \ \mu F} = \frac{30}{18} \ V = \frac{5}{3} \ V$.
अब,अंतिम आवेशों की गणना करें:
$q_1 = C_1 V_c = 6 \ \mu F \times \frac{5}{3} \ V = 10 \ \mu C$.
$q_2 = C_2 V_c = 12 \ \mu F \times \frac{5}{3} \ V = 20 \ \mu C$.
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MediumMCQ
$4 \ cm^2$ प्लेट क्षेत्रफल और $d = 1.77 \ mm$ पृथक्करण वाले एक समानांतर प्लेट संधारित्र की प्लेटों के बीच की जगह को चित्र में दिखाए अनुसार $k_1 = 5$ और $k_2 = 3$ परावैद्युत स्थिरांक वाली समान परावैद्युत सामग्रियों से भरा गया है। इसके समानांतर में $7.5 \ pF$ धारिता का एक और संधारित्र जोड़ा गया है। इस संयोजन की प्रभावी धारिता . . . . . . $pF$ है। (दिया गया है $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \ F/m$)
A
$14$
B
$11$
C
$15$
D
$20$
Solution
(C) संधारित्र को श्रेणीक्रम में दो संधारित्रों में विभाजित किया गया है,प्रत्येक का प्लेट पृथक्करण $d' = d/2 = 0.885 \ mm = 0.885 \times 10^{-3} \ m$ और क्षेत्रफल $A = 4 \ cm^2 = 4 \times 10^{-4} \ m^2$ है।
पहले भाग की धारिता $C_1 = \frac{k_1 \varepsilon_0 A}{d'} = \frac{5 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 4 \times 10^{-4}}{0.885 \times 10^{-3}} = 20 \ pF$ है।
दूसरे भाग की धारिता $C_2 = \frac{k_2 \varepsilon_0 A}{d'} = \frac{3 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 4 \times 10^{-4}}{0.885 \times 10^{-3}} = 12 \ pF$ है।
चूंकि ये श्रेणीक्रम में हैं,तुल्य धारिता $C_{eq} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{20 \times 12}{20 + 12} = \frac{240}{32} = 7.5 \ pF$ है।
यह संधारित्र $7.5 \ pF$ के एक अन्य संधारित्र के साथ समानांतर में जुड़ा हुआ है। कुल प्रभावी धारिता $C_{total} = C_{eq} + 7.5 \ pF = 7.5 + 7.5 = 15 \ pF$ है।
पहले भाग की धारिता $C_1 = \frac{k_1 \varepsilon_0 A}{d'} = \frac{5 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 4 \times 10^{-4}}{0.885 \times 10^{-3}} = 20 \ pF$ है।
दूसरे भाग की धारिता $C_2 = \frac{k_2 \varepsilon_0 A}{d'} = \frac{3 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 4 \times 10^{-4}}{0.885 \times 10^{-3}} = 12 \ pF$ है।
चूंकि ये श्रेणीक्रम में हैं,तुल्य धारिता $C_{eq} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{20 \times 12}{20 + 12} = \frac{240}{32} = 7.5 \ pF$ है।
यह संधारित्र $7.5 \ pF$ के एक अन्य संधारित्र के साथ समानांतर में जुड़ा हुआ है। कुल प्रभावी धारिता $C_{total} = C_{eq} + 7.5 \ pF = 7.5 + 7.5 = 15 \ pF$ है।
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DifficultMCQ
चित्र में दिखाए गए परिपथ के लिए,$4 \mu F$ संधारित्र पर आवेश $....... \mu C$ है।
A
$30$
B
$40$
C
$24$
D
$54$
Solution
(C) परिपथ में $4 \mu F$ का संधारित्र,$1 \mu F$ और $5 \mu F$ के समांतर संयोजन के साथ श्रेणीक्रम में है।
सबसे पहले,समांतर संयोजन की तुल्य धारिता की गणना करें: $C_p = 1 \mu F + 5 \mu F = 6 \mu F$.
अब,परिपथ $4 \mu F$ के संधारित्र और $6 \mu F$ के संधारित्र के श्रेणी संयोजन में सरल हो जाता है,जो $10 V$ की बैटरी से जुड़ा है।
श्रेणी संयोजन की तुल्य धारिता $C_{eq}$ इस प्रकार है: $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{3+2}{12} = \frac{5}{12}$,इसलिए $C_{eq} = 2.4 \mu F$.
बैटरी से लिया गया कुल आवेश $Q = C_{eq} \times V = 2.4 \mu F \times 10 V = 24 \mu C$ है।
चूंकि $4 \mu F$ का संधारित्र शेष परिपथ के साथ श्रेणीक्रम में है,इसलिए इस पर आवेश कुल आवेश $Q = 24 \mu C$ के बराबर होगा।
सबसे पहले,समांतर संयोजन की तुल्य धारिता की गणना करें: $C_p = 1 \mu F + 5 \mu F = 6 \mu F$.
अब,परिपथ $4 \mu F$ के संधारित्र और $6 \mu F$ के संधारित्र के श्रेणी संयोजन में सरल हो जाता है,जो $10 V$ की बैटरी से जुड़ा है।
श्रेणी संयोजन की तुल्य धारिता $C_{eq}$ इस प्रकार है: $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{3+2}{12} = \frac{5}{12}$,इसलिए $C_{eq} = 2.4 \mu F$.
बैटरी से लिया गया कुल आवेश $Q = C_{eq} \times V = 2.4 \mu F \times 10 V = 24 \mu C$ है।
चूंकि $4 \mu F$ का संधारित्र शेष परिपथ के साथ श्रेणीक्रम में है,इसलिए इस पर आवेश कुल आवेश $Q = 24 \mu C$ के बराबर होगा।
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MediumMCQ
यदि $V_{A}-V_{B}=7 \text{ V}$ है,तो $C_1$ में संचित ऊर्जा ज्ञात कीजिए।
A
$\frac{4}{3} \mu \text{ J}$
B
$6 \mu \text{ J}$
C
$\frac{8}{3} \mu \text{ J}$
D
$\frac{10}{3} \mu \text{ J}$
Solution
(C) श्रेणीक्रम में जुड़े दो संधारित्रों $C_1 = 3 \mu \text{F}$ और $C_2 = 6 \mu \text{F}$ की तुल्य धारिता $C_{eq}$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2+1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \mu \text{F}^{-1}$
अतः,$C_{eq} = 2 \mu \text{F}$.
लूप में किरचॉफ का वोल्टेज नियम $(KVL)$ लागू करने पर:
$V_A - \frac{q}{C_1} - 5 - \frac{q}{C_2} - V_B = 0$
$V_A - V_B - 5 = q \left( \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} \right)$
दिया गया है $V_A - V_B = 7 \text{ V}$,इसलिए:
$7 - 5 = q \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \right)$
$2 = q \left( \frac{1}{2} \right)$
$q = 4 \mu \text{C}$.
संधारित्र $C_1$ में संचित ऊर्जा:
$U_{C_1} = \frac{q^2}{2 C_1} = \frac{(4 \mu \text{C})^2}{2 \times 3 \mu \text{F}} = \frac{16}{6} \mu \text{J} = \frac{8}{3} \mu \text{J}$.
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2+1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \mu \text{F}^{-1}$
अतः,$C_{eq} = 2 \mu \text{F}$.
लूप में किरचॉफ का वोल्टेज नियम $(KVL)$ लागू करने पर:
$V_A - \frac{q}{C_1} - 5 - \frac{q}{C_2} - V_B = 0$
$V_A - V_B - 5 = q \left( \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} \right)$
दिया गया है $V_A - V_B = 7 \text{ V}$,इसलिए:
$7 - 5 = q \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \right)$
$2 = q \left( \frac{1}{2} \right)$
$q = 4 \mu \text{C}$.
संधारित्र $C_1$ में संचित ऊर्जा:
$U_{C_1} = \frac{q^2}{2 C_1} = \frac{(4 \mu \text{C})^2}{2 \times 3 \mu \text{F}} = \frac{16}{6} \mu \text{J} = \frac{8}{3} \mu \text{J}$.
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DifficultMCQ
एक समांतर प्लेट संधारित्र की दो प्लेटों को $Q_1$ और $Q_2$ आवेश दिए गए हैं। संधारित्र की धारिता $C$ है। जब स्विच $(S)$ को बंद किया जाता है,तो सही कथन को चिह्नित करें। ($Q_1$ और $Q_2$ दोनों को धनात्मक मानें)
A
स्विच से प्रवाहित आवेश शून्य है।
B
स्विच से प्रवाहित आवेश $\frac{Q_1+Q_2}{2}$ है।
C
संधारित्र प्लेटों के बीच विभवांतर $\frac{Q_1}{C}$ है।
D
संधारित्र पर आवेश $\frac{Q_1}{2}$ है।
Solution
(C) प्रारंभ में,प्लेटों की आंतरिक और बाहरी सतहों पर आवेश कुल आवेश द्वारा निर्धारित होते हैं। मान लीजिए कि प्लेटें $A$ और $B$ हैं जिन पर क्रमशः $Q_1$ और $Q_2$ आवेश हैं।
जब स्विच $(S)$ को बंद किया जाता है,तो प्लेट $B$ को पृथ्वी से जोड़ दिया जाता है,इसलिए इसका विभव $0 \ V$ हो जाता है।
प्लेट $A$ की आंतरिक सतह पर आवेश $Q_{in} = \frac{Q_1 - Q_2}{2}$ होगा और प्लेट $B$ की आंतरिक सतह पर $-Q_{in} = -\frac{Q_1 - Q_2}{2}$ होगा।
हालाँकि,इसे देखने का एक सरल तरीका यह है कि प्लेट $A$ की आंतरिक सतह पर आवेश $Q_1$ हो जाता है (यदि हम प्रणाली को एक संधारित्र के रूप में मानते हैं जहाँ प्लेट $A$ विभव $V$ पर और प्लेट $B$ $0 \ V$ पर है)।
विशेष रूप से,जब प्लेट $B$ को अर्थ किया जाता है,तो इसकी बाहरी सतह पर आवेश $0$ हो जाता है। प्लेट $B$ की आंतरिक सतह पर आवेश प्लेट $A$ पर $+Q_1$ आवेश को संतुलित करने के लिए $-Q_1$ हो जाता है।
प्लेट $B$ पर प्रारंभ में कुल आवेश $Q_2$ था। अर्थिंग के बाद,प्लेट $B$ पर अंतिम आवेश $-Q_1$ है।
इसलिए,पृथ्वी में प्रवाहित होने वाला आवेश $\Delta Q = Q_{initial} - Q_{final} = Q_2 - (-Q_1) = Q_1 + Q_2$ है।
संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $V = \frac{Q_1}{C}$ है।
जब स्विच $(S)$ को बंद किया जाता है,तो प्लेट $B$ को पृथ्वी से जोड़ दिया जाता है,इसलिए इसका विभव $0 \ V$ हो जाता है।
प्लेट $A$ की आंतरिक सतह पर आवेश $Q_{in} = \frac{Q_1 - Q_2}{2}$ होगा और प्लेट $B$ की आंतरिक सतह पर $-Q_{in} = -\frac{Q_1 - Q_2}{2}$ होगा।
हालाँकि,इसे देखने का एक सरल तरीका यह है कि प्लेट $A$ की आंतरिक सतह पर आवेश $Q_1$ हो जाता है (यदि हम प्रणाली को एक संधारित्र के रूप में मानते हैं जहाँ प्लेट $A$ विभव $V$ पर और प्लेट $B$ $0 \ V$ पर है)।
विशेष रूप से,जब प्लेट $B$ को अर्थ किया जाता है,तो इसकी बाहरी सतह पर आवेश $0$ हो जाता है। प्लेट $B$ की आंतरिक सतह पर आवेश प्लेट $A$ पर $+Q_1$ आवेश को संतुलित करने के लिए $-Q_1$ हो जाता है।
प्लेट $B$ पर प्रारंभ में कुल आवेश $Q_2$ था। अर्थिंग के बाद,प्लेट $B$ पर अंतिम आवेश $-Q_1$ है।
इसलिए,पृथ्वी में प्रवाहित होने वाला आवेश $\Delta Q = Q_{initial} - Q_{final} = Q_2 - (-Q_1) = Q_1 + Q_2$ है।
संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $V = \frac{Q_1}{C}$ है।
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MediumMCQ
चित्र में '$a$' भुजा की लंबाई वाला एक नियमित षट्कोण दर्शाया गया है। बिंदु '$A$' पर विद्युत क्षेत्र और विद्युत विभव ज्ञात कीजिए।
A
$\frac{2 KQ}{a^2}, \frac{3 KQ}{2a}$
B
$\frac{3}{2} \frac{KQ}{a^2}, \frac{3 KQ}{a}$
C
$\frac{3}{4} \frac{KQ}{a^2}, \frac{3 KQ}{a}$
D
$\frac{KQ}{a^2}, \frac{3 KQ}{2a}$
Solution
(B) बिंदु '$A$' पर:
विद्युत क्षेत्र:
बिंदु '$A$' से '$a$' दूरी पर दो '$Q$' आवेश हैं और '$2a$' दूरी पर एक '$2Q$' आवेश है।
'$a$' दूरी पर स्थित दो '$Q$' आवेशों के कारण विद्युत क्षेत्र सममिति की अक्ष के साथ $60^{\circ}$ का कोण बनाता है। अक्ष के लंबवत घटक एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं और अक्ष की दिशा में घटक जुड़ जाते हैं:
परिणामी विद्युत क्षेत्र $E = \frac{KQ}{a^2} + \frac{K(2Q)}{(2a)^2} = \frac{KQ}{a^2} + \frac{2KQ}{4a^2} = \frac{KQ}{a^2} + \frac{KQ}{2a^2} = \frac{3}{2} \frac{KQ}{a^2}$.
विद्युत विभव:
$V = \frac{KQ}{a} + \frac{KQ}{a} + \frac{K(2Q)}{2a} = \frac{KQ}{a} + \frac{KQ}{a} + \frac{KQ}{a} = \frac{3KQ}{a}$.
विद्युत क्षेत्र:
बिंदु '$A$' से '$a$' दूरी पर दो '$Q$' आवेश हैं और '$2a$' दूरी पर एक '$2Q$' आवेश है।
'$a$' दूरी पर स्थित दो '$Q$' आवेशों के कारण विद्युत क्षेत्र सममिति की अक्ष के साथ $60^{\circ}$ का कोण बनाता है। अक्ष के लंबवत घटक एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं और अक्ष की दिशा में घटक जुड़ जाते हैं:
परिणामी विद्युत क्षेत्र $E = \frac{KQ}{a^2} + \frac{K(2Q)}{(2a)^2} = \frac{KQ}{a^2} + \frac{2KQ}{4a^2} = \frac{KQ}{a^2} + \frac{KQ}{2a^2} = \frac{3}{2} \frac{KQ}{a^2}$.
विद्युत विभव:
$V = \frac{KQ}{a} + \frac{KQ}{a} + \frac{K(2Q)}{2a} = \frac{KQ}{a} + \frac{KQ}{a} + \frac{KQ}{a} = \frac{3KQ}{a}$.
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MediumMCQ
आरेख में दो संधारित्र दिखाए गए हैं। प्रत्येक को $V_0$ विभव तक आवेशित किया गया है। यदि संधारित्र $C$ को $2$ परावैद्युतांक वाले परावैद्युत से और $2C$ को $3$ परावैद्युतांक वाले परावैद्युत से भरा जाता है,और फिर कुंजी को बंद कर दिया जाता है,तो संधारित्र $C$ पर अंतिम विभव क्या होगा?
A
$\frac{3}{8} V_0$
B
$\frac{3}{5} V_0$
C
$\frac{2}{5} V_0$
D
$V_0$
Solution
(A) प्रारंभ में,दोनों संधारित्र $V_0$ विभव तक आवेशित हैं। संधारित्र $C$ पर आवेश $Q_1 = C V_0$ है और संधारित्र $2C$ पर आवेश $Q_2 = (2C) V_0 = 2 C V_0$ है।
जब परावैद्युत डाले जाते हैं,तो नई धारिता $C' = 2C$ और $C'' = 3(2C) = 6C$ हो जाती है।
जब कुंजी बंद की जाती है,तो संधारित्र समानांतर क्रम में जुड़ जाते हैं। कुल आवेश संरक्षित रहता है।
समानांतर संयोजन पर नया विभव $V_{\text{common}}$ कुल आवेश को कुल धारिता से विभाजित करने पर प्राप्त होता है:
$V_{\text{common}} = \frac{Q_1 + Q_2}{C' + C''} = \frac{C V_0 + 2 C V_0}{2C + 6C} = \frac{3 C V_0}{8C} = \frac{3}{8} V_0$.
जब परावैद्युत डाले जाते हैं,तो नई धारिता $C' = 2C$ और $C'' = 3(2C) = 6C$ हो जाती है।
जब कुंजी बंद की जाती है,तो संधारित्र समानांतर क्रम में जुड़ जाते हैं। कुल आवेश संरक्षित रहता है।
समानांतर संयोजन पर नया विभव $V_{\text{common}}$ कुल आवेश को कुल धारिता से विभाजित करने पर प्राप्त होता है:
$V_{\text{common}} = \frac{Q_1 + Q_2}{C' + C''} = \frac{C V_0 + 2 C V_0}{2C + 6C} = \frac{3 C V_0}{8C} = \frac{3}{8} V_0$.
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MediumMCQ
$0.2 \ gm$ द्रव्यमान और $1 \ \mu C$ आवेश वाला एक कण $1 \ \mu C$ के स्थिर आवेश से $1 \ m$ की दूरी पर रखा गया है। यदि कण को मुक्त किया जाता है,तो यह प्रतिकर्षित होगा। स्थिर आवेश से $10 \ m$ की दूरी पर कण की चाल $.... \ m/s$ होगी।
A
$100$
B
$9$
C
$60$
D
$45$
Solution
(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 0.2 \ gm = 0.2 \times 10^{-3} \ kg$,आवेश $q_1 = 1 \ \mu C = 10^{-6} \ C$,आवेश $q_2 = 1 \ \mu C = 10^{-6} \ C$.
प्रारंभिक दूरी $r_1 = 1 \ m$,अंतिम दूरी $r_2 = 10 \ m$.
ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,स्थिर वैद्युत स्थितिज ऊर्जा में हुई कमी गतिज ऊर्जा में हुई वृद्धि के बराबर होती है:
$\Delta K = -\Delta U$
$\frac{1}{2} m v^2 = \frac{K q_1 q_2}{r_1} - \frac{K q_1 q_2}{r_2}$
$\frac{1}{2} (0.2 \times 10^{-3}) v^2 = (9 \times 10^9) (10^{-6}) (10^{-6}) \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{10} \right)$
$0.1 \times 10^{-3} v^2 = 9 \times 10^{-3} \times (0.9)$
$10^{-4} v^2 = 8.1 \times 10^{-3}$
$v^2 = 81$
$v = 9 \ m/s$.
प्रारंभिक दूरी $r_1 = 1 \ m$,अंतिम दूरी $r_2 = 10 \ m$.
ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,स्थिर वैद्युत स्थितिज ऊर्जा में हुई कमी गतिज ऊर्जा में हुई वृद्धि के बराबर होती है:
$\Delta K = -\Delta U$
$\frac{1}{2} m v^2 = \frac{K q_1 q_2}{r_1} - \frac{K q_1 q_2}{r_2}$
$\frac{1}{2} (0.2 \times 10^{-3}) v^2 = (9 \times 10^9) (10^{-6}) (10^{-6}) \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{10} \right)$
$0.1 \times 10^{-3} v^2 = 9 \times 10^{-3} \times (0.9)$
$10^{-4} v^2 = 8.1 \times 10^{-3}$
$v^2 = 81$
$v = 9 \ m/s$.
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MediumMCQ
$1 \ \mu F$ और $2 \ \mu F$ धारिता वाले दो संधारित्रों को चित्र में दिखाए अनुसार $20 \ V$ और $15 \ V$ के विभवांतर तक आवेशित किया गया है। यदि टर्मिनल $B$ और $C$ को एक साथ जोड़ा जाता है और टर्मिनल $A$ और $D$ को एक साथ जोड़ा जाता है,तो $1 \ \mu F$ के संधारित्र पर अंतिम आवेश ज्ञात कीजिए।
A
$\frac{20}{3} \ \mu C$
B
$\frac{10}{3} \ \mu C$
C
$3 \ \mu C$
D
$\frac{40}{3} \ \mu C$
Solution
(B) संधारित्रों पर प्रारंभिक आवेश हैं:
$q_1 = C_1 V_1 = 1 \ \mu F \times 20 \ V = 20 \ \mu C$
$q_2 = C_2 V_2 = 2 \ \mu F \times 15 \ V = 30 \ \mu C$
जब टर्मिनल $B$ और $C$ को जोड़ा जाता है और $A$ और $D$ को जोड़ा जाता है,तो संधारित्र विपरीत ध्रुवता के साथ समानांतर क्रम में जुड़ जाते हैं।
परिपथ में कुल आवेश $q_{net} = |q_2 - q_1| = |30 \ \mu C - 20 \ \mu C| = 10 \ \mu C$ है।
समानांतर संयोजन की तुल्य धारिता $C_{eq} = C_1 + C_2 = 1 \ \mu F + 2 \ \mu F = 3 \ \mu F$ है।
उभयनिष्ठ विभवांतर $V_{com} = \frac{q_{net}}{C_{eq}} = \frac{10 \ \mu C}{3 \ \mu F} = \frac{10}{3} \ V$ है।
$1 \ \mu F$ के संधारित्र पर अंतिम आवेश $q_1' = C_1 V_{com} = 1 \ \mu F \times \frac{10}{3} \ V = \frac{10}{3} \ \mu C$ है।
$q_1 = C_1 V_1 = 1 \ \mu F \times 20 \ V = 20 \ \mu C$
$q_2 = C_2 V_2 = 2 \ \mu F \times 15 \ V = 30 \ \mu C$
जब टर्मिनल $B$ और $C$ को जोड़ा जाता है और $A$ और $D$ को जोड़ा जाता है,तो संधारित्र विपरीत ध्रुवता के साथ समानांतर क्रम में जुड़ जाते हैं।
परिपथ में कुल आवेश $q_{net} = |q_2 - q_1| = |30 \ \mu C - 20 \ \mu C| = 10 \ \mu C$ है।
समानांतर संयोजन की तुल्य धारिता $C_{eq} = C_1 + C_2 = 1 \ \mu F + 2 \ \mu F = 3 \ \mu F$ है।
उभयनिष्ठ विभवांतर $V_{com} = \frac{q_{net}}{C_{eq}} = \frac{10 \ \mu C}{3 \ \mu F} = \frac{10}{3} \ V$ है।
$1 \ \mu F$ के संधारित्र पर अंतिम आवेश $q_1' = C_1 V_{com} = 1 \ \mu F \times \frac{10}{3} \ V = \frac{10}{3} \ \mu C$ है।
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DifficultMCQ
दी गई सर्किट के लिए $V_A - V_B$ का मान वोल्ट में ज्ञात कीजिए।
A
$20$
B
$24$
C
$14$
D
$7$
Solution
(D) स्थिर अवस्था में, संधारित्र (capacitors) ओपन सर्किट की तरह कार्य करते हैं। धारा $I$ बाहरी लूप से बहती है जिसमें $24 \text{ V}$ की बैटरी और $2 \text{ }\Omega$ का प्रतिरोधक, $(4 \text{ }\Omega + 6 \text{ }\Omega)$ प्रतिरोधक शाखा के साथ श्रेणीक्रम में है।
सबसे पहले, सर्किट का कुल प्रतिरोध ज्ञात करें:
$R_{eq} = 2 + (4 + 6) = 2 + 10 = 12 \text{ }\Omega$.
सर्किट में धारा:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{24}{12} = 2 \text{ A}$.
समांतर शाखा (बिंदु $x$ और $y$ के बीच) पर वोल्टेज:
$V_{xy} = I \times (4 + 6) = 2 \times 10 = 20 \text{ V}$.
अब, संधारित्र शाखा पर विचार करें। संधारित्र $C_1 = 4/3 \text{ }\mu\text{F}$ और $C_2 = 4 \text{ }\mu\text{F}$ $20 \text{ V}$ के विभवांतर पर श्रेणीक्रम में हैं।
तुल्य धारिता $C_{eq} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{(4/3) \times 4}{(4/3) + 4} = 1 \text{ }\mu\text{F}$.
संधारित्र पर आवेश $Q = C_{eq} V_{xy} = 1 \text{ }\mu\text{F} \times 20 \text{ V} = 20 \text{ }\mu\text{C}$.
$4 \text{ }\mu\text{F}$ संधारित्र पर विभवांतर:
$V_{C2} = \frac{Q}{C_2} = \frac{20 \text{ }\mu\text{C}}{4 \text{ }\mu\text{F}} = 5 \text{ V}$.
$4 \text{ }\Omega$ प्रतिरोधक पर विभवांतर $V_{yB} = I \times 4 = 2 \times 4 = 8 \text{ V}$ है।
$B$ से $A$ तक विभव पथ का उपयोग करते हुए:
$V_A - V_B = 7 \text{ V}$.
सबसे पहले, सर्किट का कुल प्रतिरोध ज्ञात करें:
$R_{eq} = 2 + (4 + 6) = 2 + 10 = 12 \text{ }\Omega$.
सर्किट में धारा:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{24}{12} = 2 \text{ A}$.
समांतर शाखा (बिंदु $x$ और $y$ के बीच) पर वोल्टेज:
$V_{xy} = I \times (4 + 6) = 2 \times 10 = 20 \text{ V}$.
अब, संधारित्र शाखा पर विचार करें। संधारित्र $C_1 = 4/3 \text{ }\mu\text{F}$ और $C_2 = 4 \text{ }\mu\text{F}$ $20 \text{ V}$ के विभवांतर पर श्रेणीक्रम में हैं।
तुल्य धारिता $C_{eq} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{(4/3) \times 4}{(4/3) + 4} = 1 \text{ }\mu\text{F}$.
संधारित्र पर आवेश $Q = C_{eq} V_{xy} = 1 \text{ }\mu\text{F} \times 20 \text{ V} = 20 \text{ }\mu\text{C}$.
$4 \text{ }\mu\text{F}$ संधारित्र पर विभवांतर:
$V_{C2} = \frac{Q}{C_2} = \frac{20 \text{ }\mu\text{C}}{4 \text{ }\mu\text{F}} = 5 \text{ V}$.
$4 \text{ }\Omega$ प्रतिरोधक पर विभवांतर $V_{yB} = I \times 4 = 2 \times 4 = 8 \text{ V}$ है।
$B$ से $A$ तक विभव पथ का उपयोग करते हुए:
$V_A - V_B = 7 \text{ V}$.
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DifficultMCQ
तीन संधारित्र $A, B$ और $C$ को चित्र में दिखाए अनुसार $25 \text{ V}$ की बैटरी से जोड़ा गया है। संधारित्रों $A, B$ और $C$ पर आवेशों का अनुपात $-$ होगा।
A
$5: 2: 3$
B
$5: 3: 2$
C
$2: 5: 3$
D
$2: 3: 5$
Solution
(A) परिपथ आरेख से,संधारित्र $B$ और $C$ समानांतर क्रम में हैं,और उनकी तुल्य धारिता $C_{BC} = C_B + C_C = 8 \mu\text{F} + 12 \mu\text{F} = 20 \mu\text{F}$ है।
यह संयोजन संधारित्र $A$ $(5 \mu\text{F})$ के साथ श्रेणी क्रम में है।
परिपथ की तुल्य धारिता $C_{eq} = \frac{C_A \times C_{BC}}{C_A + C_{BC}} = \frac{5 \times 20}{5 + 20} = \frac{100}{25} = 4 \mu\text{F}$ है।
बैटरी से लिया गया कुल आवेश $q_{\text{net}} = C_{eq} V = 4 \mu\text{F} \times 25 \text{ V} = 100 \mu\text{C}$ है।
चूंकि संधारित्र $A$,$B$ और $C$ के संयोजन के साथ श्रेणी क्रम में है,इसलिए संधारित्र $A$ पर आवेश $q_A = q_{\text{net}} = 100 \mu\text{C}$ है।
$B$ और $C$ के समानांतर संयोजन पर वोल्टेज $V_{BC} = V - V_A = V - \frac{q_A}{C_A} = 25 - \frac{100}{5} = 25 - 20 = 5 \text{ V}$ है।
अब,$B$ और $C$ पर आवेश हैं:
$q_B = C_B V_{BC} = 8 \mu\text{F} \times 5 \text{ V} = 40 \mu\text{C}$.
$q_C = C_C V_{BC} = 12 \mu\text{F} \times 5 \text{ V} = 60 \mu\text{C}$.
आवेशों का अनुपात $q_A : q_B : q_C = 100 : 40 : 60 = 5 : 2 : 3$ है।
यह संयोजन संधारित्र $A$ $(5 \mu\text{F})$ के साथ श्रेणी क्रम में है।
परिपथ की तुल्य धारिता $C_{eq} = \frac{C_A \times C_{BC}}{C_A + C_{BC}} = \frac{5 \times 20}{5 + 20} = \frac{100}{25} = 4 \mu\text{F}$ है।
बैटरी से लिया गया कुल आवेश $q_{\text{net}} = C_{eq} V = 4 \mu\text{F} \times 25 \text{ V} = 100 \mu\text{C}$ है।
चूंकि संधारित्र $A$,$B$ और $C$ के संयोजन के साथ श्रेणी क्रम में है,इसलिए संधारित्र $A$ पर आवेश $q_A = q_{\text{net}} = 100 \mu\text{C}$ है।
$B$ और $C$ के समानांतर संयोजन पर वोल्टेज $V_{BC} = V - V_A = V - \frac{q_A}{C_A} = 25 - \frac{100}{5} = 25 - 20 = 5 \text{ V}$ है।
अब,$B$ और $C$ पर आवेश हैं:
$q_B = C_B V_{BC} = 8 \mu\text{F} \times 5 \text{ V} = 40 \mu\text{C}$.
$q_C = C_C V_{BC} = 12 \mu\text{F} \times 5 \text{ V} = 60 \mu\text{C}$.
आवेशों का अनुपात $q_A : q_B : q_C = 100 : 40 : 60 = 5 : 2 : 3$ है।
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AdvancedMCQ
$10^{-8} \ C$ का एक धनात्मक बिंदु आवेश $10 \ cm$ त्रिज्या वाले एक उदासीन चालक गोले के केंद्र से $20 \ cm$ की दूरी पर रखा गया है। गोले को फिर भू-संपर्कित (grounded) किया जाता है और गोले पर आवेश को मापा जाता है। भू-संपर्कन को हटा दिया जाता है और बाद में बिंदु आवेश को गोले के केंद्र से त्रिज्यीय दिशा में $10 \ cm$ और दूर ले जाया जाता है। $\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} = 9 \times 10^9 \ N \cdot m^2 / C^2$ लेते हुए,निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सही है/हैं:
$(A)$ भू-संपर्कन से पहले,गोले का स्थिर वैद्युत विभव $450 \ V$ है।
$(B)$ भू-संपर्कन के कारण गोले से जमीन में प्रवाहित होने वाला आवेश $5 \times 10^{-9} \ C$ है।
$(C)$ भू-संपर्कन हटाने के बाद,गोले पर आवेश $-5 \times 10^{-9} \ C$ है।
$(D)$ गोले का अंतिम स्थिर वैद्युत विभव $300 \ V$ है।
$(A)$ भू-संपर्कन से पहले,गोले का स्थिर वैद्युत विभव $450 \ V$ है।
$(B)$ भू-संपर्कन के कारण गोले से जमीन में प्रवाहित होने वाला आवेश $5 \times 10^{-9} \ C$ है।
$(C)$ भू-संपर्कन हटाने के बाद,गोले पर आवेश $-5 \times 10^{-9} \ C$ है।
$(D)$ गोले का अंतिम स्थिर वैद्युत विभव $300 \ V$ है।
A
$(A, B, C)$
B
$(A, B, D)$
C
$(B, C, D)$
D
$(A, C, D)$
Solution
(A) $1$. भू-संपर्कन से पहले:
बिंदु आवेश $q$ के कारण गोले के केंद्र पर विभव $V = \frac{kq}{d}$ है,जहाँ $d = 20 \ cm = 0.2 \ m$ है।
$V = \frac{9 \times 10^9 \times 10^{-8}}{0.2} = 450 \ V$। अतः,कथन $(A)$ सही है।
$2$. भू-संपर्कन के दौरान:
भू-संपर्कित गोले का विभव शून्य हो जाता है। मान लीजिए गोले पर प्रेरित आवेश $q_s$ है।
$V_{sphere} = \frac{kq}{d} + \frac{kq_s}{R} = 0$,जहाँ $R = 10 \ cm = 0.1 \ m$ है।
$\frac{9 \times 10^9 \times 10^{-8}}{0.2} + \frac{9 \times 10^9 \times q_s}{0.1} = 0 \implies 450 + 9 \times 10^{10} q_s = 0$।
$q_s = -\frac{450}{9 \times 10^{10}} = -5 \times 10^{-9} \ C$।
चूंकि गोला उदासीन था,जमीन में प्रवाहित होने वाला आवेश $-q_s = 5 \times 10^{-9} \ C$ है। अतः,कथन $(B)$ सही है और कथन $(C)$ सही है।
$3$. आवेश को स्थानांतरित करने के बाद:
बिंदु आवेश को $10 \ cm$ और दूर ले जाया जाता है,इसलिए नई दूरी $d' = 20 \ cm + 10 \ cm = 30 \ cm = 0.3 \ m$ है।
गोले पर आवेश $q_s = -5 \times 10^{-9} \ C$ रहता है।
अंतिम विभव $V_{final} = \frac{kq}{d'} + \frac{kq_s}{R} = \frac{9 \times 10^9 \times 10^{-8}}{0.3} + \frac{9 \times 10^9 \times (-5 \times 10^{-9})}{0.1} = 300 - 450 = -150 \ V$। अतः,कथन $(D)$ गलत है।
इसलिए,कथन $(A), (B),$ और $(C)$ सही हैं।
बिंदु आवेश $q$ के कारण गोले के केंद्र पर विभव $V = \frac{kq}{d}$ है,जहाँ $d = 20 \ cm = 0.2 \ m$ है।
$V = \frac{9 \times 10^9 \times 10^{-8}}{0.2} = 450 \ V$। अतः,कथन $(A)$ सही है।
$2$. भू-संपर्कन के दौरान:
भू-संपर्कित गोले का विभव शून्य हो जाता है। मान लीजिए गोले पर प्रेरित आवेश $q_s$ है।
$V_{sphere} = \frac{kq}{d} + \frac{kq_s}{R} = 0$,जहाँ $R = 10 \ cm = 0.1 \ m$ है।
$\frac{9 \times 10^9 \times 10^{-8}}{0.2} + \frac{9 \times 10^9 \times q_s}{0.1} = 0 \implies 450 + 9 \times 10^{10} q_s = 0$।
$q_s = -\frac{450}{9 \times 10^{10}} = -5 \times 10^{-9} \ C$।
चूंकि गोला उदासीन था,जमीन में प्रवाहित होने वाला आवेश $-q_s = 5 \times 10^{-9} \ C$ है। अतः,कथन $(B)$ सही है और कथन $(C)$ सही है।
$3$. आवेश को स्थानांतरित करने के बाद:
बिंदु आवेश को $10 \ cm$ और दूर ले जाया जाता है,इसलिए नई दूरी $d' = 20 \ cm + 10 \ cm = 30 \ cm = 0.3 \ m$ है।
गोले पर आवेश $q_s = -5 \times 10^{-9} \ C$ रहता है।
अंतिम विभव $V_{final} = \frac{kq}{d'} + \frac{kq_s}{R} = \frac{9 \times 10^9 \times 10^{-8}}{0.3} + \frac{9 \times 10^9 \times (-5 \times 10^{-9})}{0.1} = 300 - 450 = -150 \ V$। अतः,कथन $(D)$ गलत है।
इसलिए,कथन $(A), (B),$ और $(C)$ सही हैं।
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MediumMCQ
अज्ञात धारिता वाले एक संधारित्र को $V$ वोल्ट की बैटरी से जोड़ा जाता है। इसमें संचित आवेश $Q$ कूलम्ब है। जब संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $V_1$ वोल्ट कम कर दिया जाता है,तो इसमें संचित आवेश $Q_1$ कूलम्ब हो जाता है। विभव $V$ का मान है
A
$\frac{Q V_1}{Q-Q_1}$
B
$\frac{Q_1 V_1}{Q+Q_1}$
C
$\frac{Q_1}{Q}$
D
$\frac{Q}{Q_1}$
Solution
(A) माना संधारित्र की धारिता $C$ है।
प्रारंभ में,संचित आवेश $Q = C V$ है।
जब विभव को $V_1$ से कम किया जाता है,तो नया विभव $(V - V_1)$ हो जाता है।
नया संचित आवेश $Q_1 = C(V - V_1)$ है।
पहले समीकरण से,$C = Q/V$ है।
इसे दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $Q_1 = (Q/V)(V - V_1)$।
$Q_1 = Q - (Q V_1 / V)$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(Q V_1 / V) = Q - Q_1$।
अतः,$V = \frac{Q V_1}{Q - Q_1}$।
प्रारंभ में,संचित आवेश $Q = C V$ है।
जब विभव को $V_1$ से कम किया जाता है,तो नया विभव $(V - V_1)$ हो जाता है।
नया संचित आवेश $Q_1 = C(V - V_1)$ है।
पहले समीकरण से,$C = Q/V$ है।
इसे दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $Q_1 = (Q/V)(V - V_1)$।
$Q_1 = Q - (Q V_1 / V)$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(Q V_1 / V) = Q - Q_1$।
अतः,$V = \frac{Q V_1}{Q - Q_1}$।
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MediumMCQ
चित्र में दिखाए अनुसार तीन संधारित्र एक बैटरी से जुड़े हैं। संधारित्र $C_3$ और $C_1$ पर आवेश का अनुपात क्या है ($.5$ में)?
A
$1$
B
$2$
C
$3$
D
$4$
Solution
(D) चित्र से,$C_1 = C$,$C_2 = 2C$,और $C_3 = 3C$ है।
$C_1$ और $C_2$ श्रेणीक्रम में $V$ वोल्टेज की बैटरी से जुड़े हैं।
श्रेणी संयोजन की तुल्य धारिता $\frac{1}{C_s} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{1}{C} + \frac{1}{2C} = \frac{3}{2C}$ द्वारा दी जाती है।
अतः,$C_s = \frac{2C}{3}$ है।
श्रेणी संयोजन पर आवेश $Q_s = C_s V = \frac{2CV}{3}$ है।
चूंकि श्रेणीक्रम में जुड़े संधारित्रों पर आवेश समान होता है,इसलिए $C_1$ पर आवेश $Q_1 = Q_s = \frac{2CV}{3}$ होगा।
संधारित्र $C_3$ बैटरी के साथ समानांतर क्रम में जुड़ा है,इसलिए इसके सिरों पर वोल्टेज $V$ है।
$C_3$ पर आवेश $Q_3 = C_3 V = (3C)V = 3CV$ है।
$C_3$ और $C_1$ पर आवेश का अनुपात $\frac{Q_3}{Q_1} = \frac{3CV}{\frac{2CV}{3}} = \frac{9}{2} = 4.5$ है।
$C_1$ और $C_2$ श्रेणीक्रम में $V$ वोल्टेज की बैटरी से जुड़े हैं।
श्रेणी संयोजन की तुल्य धारिता $\frac{1}{C_s} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{1}{C} + \frac{1}{2C} = \frac{3}{2C}$ द्वारा दी जाती है।
अतः,$C_s = \frac{2C}{3}$ है।
श्रेणी संयोजन पर आवेश $Q_s = C_s V = \frac{2CV}{3}$ है।
चूंकि श्रेणीक्रम में जुड़े संधारित्रों पर आवेश समान होता है,इसलिए $C_1$ पर आवेश $Q_1 = Q_s = \frac{2CV}{3}$ होगा।
संधारित्र $C_3$ बैटरी के साथ समानांतर क्रम में जुड़ा है,इसलिए इसके सिरों पर वोल्टेज $V$ है।
$C_3$ पर आवेश $Q_3 = C_3 V = (3C)V = 3CV$ है।
$C_3$ और $C_1$ पर आवेश का अनुपात $\frac{Q_3}{Q_1} = \frac{3CV}{\frac{2CV}{3}} = \frac{9}{2} = 4.5$ है।
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DifficultMCQ
दिए गए परिपथ में जब $15 \ V$ का वोल्टेज स्रोत जोड़ा जाता है,तो प्रत्येक संधारित्र पर आवेश कितना होगा ($\mu C$ में)?
A
$75$
B
$150$
C
$30$
D
$60$
Solution
(A) दिए गए परिपथ में,बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच $15 \ V$ का विभवांतर लगाया गया है।
प्रत्येक $C = 5 \mu F$ धारिता वाले चारों संधारित्र बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच समांतर क्रम में जुड़े हुए हैं।
चूंकि वे समांतर क्रम में हैं,इसलिए प्रत्येक संधारित्र पर विभवांतर समान यानी $V = 15 \ V$ होगा।
प्रत्येक संधारित्र पर आवेश $q$ का मान सूत्र $q = CV$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें $q = 5 \mu F \times 15 \ V = 75 \mu C$ प्राप्त होता है।
प्रत्येक $C = 5 \mu F$ धारिता वाले चारों संधारित्र बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच समांतर क्रम में जुड़े हुए हैं।
चूंकि वे समांतर क्रम में हैं,इसलिए प्रत्येक संधारित्र पर विभवांतर समान यानी $V = 15 \ V$ होगा।
प्रत्येक संधारित्र पर आवेश $q$ का मान सूत्र $q = CV$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें $q = 5 \mu F \times 15 \ V = 75 \mu C$ प्राप्त होता है।
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MediumMCQ
$C$ धारिता वाले एक समांतर प्लेट संधारित्र को एक बैटरी से जोड़कर $V$ विभवांतर तक आवेशित किया जाता है। $3C$ धारिता वाले एक अन्य संधारित्र को भी इसी प्रकार $3V$ विभवांतर तक आवेशित किया जाता है। इसके बाद चार्जिंग बैटरी को हटा दिया जाता है और संधारित्रों को एक-दूसरे के साथ समांतर क्रम में इस प्रकार जोड़ा जाता है कि एक का धनात्मक टर्मिनल दूसरे के ऋणात्मक टर्मिनल से जुड़ जाए। इस विन्यास की अंतिम ऊर्जा क्या होगी?
A
$\frac{3}{2} CV^2$
B
$8 CV^2$
C
$\frac{13}{2} CV^2$
D
$18 CV^2$
Solution
(B) संधारित्रों पर प्रारंभिक आवेश:
$Q_1 = C \times V = CV$
$Q_2 = 3C \times 3V = 9CV$
चूंकि उन्हें विपरीत ध्रुवता के साथ जोड़ा गया है,इसलिए निकाय पर कुल आवेश:
$Q_{net} = |Q_2 - Q_1| = |9CV - CV| = 8CV$
समांतर संयोजन की तुल्य धारिता:
$C_{eq} = C + 3C = 4C$
विन्यास में संचित अंतिम ऊर्जा:
$U = \frac{Q_{net}^2}{2C_{eq}}$
$U = \frac{(8CV)^2}{2(4C)}$
$U = \frac{64C^2V^2}{8C} = 8CV^2$
$Q_1 = C \times V = CV$
$Q_2 = 3C \times 3V = 9CV$
चूंकि उन्हें विपरीत ध्रुवता के साथ जोड़ा गया है,इसलिए निकाय पर कुल आवेश:
$Q_{net} = |Q_2 - Q_1| = |9CV - CV| = 8CV$
समांतर संयोजन की तुल्य धारिता:
$C_{eq} = C + 3C = 4C$
विन्यास में संचित अंतिम ऊर्जा:
$U = \frac{Q_{net}^2}{2C_{eq}}$
$U = \frac{(8CV)^2}{2(4C)}$
$U = \frac{64C^2V^2}{8C} = 8CV^2$
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EasyMCQ
$4$ समान संधारित्रों के श्रेणी और समांतर संयोजन पर लागू किया जाने वाला विभवांतर ऐसा है कि उनमें संचित ऊर्जा समान हो जाती है। श्रेणी और समांतर संयोजन में विभवांतर का अनुपात क्या है?
A
$1: 2$
B
$1: 4$
C
$4: 1$
D
$2: 1$
Solution
(C) मान लीजिए कि प्रत्येक संधारित्र की धारिता $C$ है।
$4$ समान संधारित्रों के श्रेणी संयोजन के लिए,तुल्य धारिता $C_s = \frac{C}{4}$ है।
संचित ऊर्जा $U_s = \frac{1}{2} C_s V_s^2 = \frac{1}{2} (\frac{C}{4}) V_s^2$ है।
$4$ समान संधारित्रों के समांतर संयोजन के लिए,तुल्य धारिता $C_p = 4C$ है।
संचित ऊर्जा $U_p = \frac{1}{2} C_p V_p^2 = \frac{1}{2} (4C) V_p^2$ है।
यह दिया गया है कि संचित ऊर्जा समान है,इसलिए $U_s = U_p$:
$\frac{1}{2} (\frac{C}{4}) V_s^2 = \frac{1}{2} (4C) V_p^2$
$\frac{V_s^2}{4} = 4 V_p^2$
$\frac{V_s^2}{V_p^2} = 16$
$\frac{V_s}{V_p} = 4: 1$.
$4$ समान संधारित्रों के श्रेणी संयोजन के लिए,तुल्य धारिता $C_s = \frac{C}{4}$ है।
संचित ऊर्जा $U_s = \frac{1}{2} C_s V_s^2 = \frac{1}{2} (\frac{C}{4}) V_s^2$ है।
$4$ समान संधारित्रों के समांतर संयोजन के लिए,तुल्य धारिता $C_p = 4C$ है।
संचित ऊर्जा $U_p = \frac{1}{2} C_p V_p^2 = \frac{1}{2} (4C) V_p^2$ है।
यह दिया गया है कि संचित ऊर्जा समान है,इसलिए $U_s = U_p$:
$\frac{1}{2} (\frac{C}{4}) V_s^2 = \frac{1}{2} (4C) V_p^2$
$\frac{V_s^2}{4} = 4 V_p^2$
$\frac{V_s^2}{V_p^2} = 16$
$\frac{V_s}{V_p} = 4: 1$.
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DifficultMCQ
$n_1$ संधारित्रों,जिनमें से प्रत्येक का मान $C_1$ है,के श्रेणी संयोजन को $6 \ V$ के विभवांतर वाले स्रोत द्वारा आवेशित किया जाता है। $n_2$ संधारित्रों,जिनमें से प्रत्येक का मान $C_2$ है,के एक अन्य समांतर संयोजन को $2 \ V$ के विभवांतर वाले स्रोत द्वारा आवेशित किया जाता है। दोनों संयोजनों की कुल ऊर्जा समान है। $C_1$ के पदों में $C_2$ का मान क्या है?
A
$\frac{3 C_1}{n_1 n_2}$
B
$\frac{9 n_2}{n_1} C_1$
C
$\frac{3 n_2}{n_1} C_1$
D
$\frac{9 C_1}{n_1 n_2}$
Solution
(D) $n_1$ संधारित्रों के श्रेणी संयोजन के लिए,प्रत्येक की धारिता $C_1$ है:
तुल्य धारिता $(C_{eq})_1 = \frac{C_1}{n_1}$.
विभवांतर $V_1 = 6 \ V$.
संचित ऊर्जा $U_1 = \frac{1}{2} (C_{eq})_1 V_1^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{C_1}{n_1} \right) (6)^2 = \frac{18 C_1}{n_1}$.
$n_2$ संधारित्रों के समांतर संयोजन के लिए,प्रत्येक की धारिता $C_2$ है:
तुल्य धारिता $(C_{eq})_2 = n_2 C_2$.
विभवांतर $V_2 = 2 \ V$.
संचित ऊर्जा $U_2 = \frac{1}{2} (C_{eq})_2 V_2^2 = \frac{1}{2} (n_2 C_2) (2)^2 = 2 n_2 C_2$.
यह दिया गया है कि कुल ऊर्जा समान है,$U_1 = U_2$:
$\frac{18 C_1}{n_1} = 2 n_2 C_2$.
$C_2$ के लिए हल करने पर:
$C_2 = \frac{18 C_1}{2 n_1 n_2} = \frac{9 C_1}{n_1 n_2}$.
तुल्य धारिता $(C_{eq})_1 = \frac{C_1}{n_1}$.
विभवांतर $V_1 = 6 \ V$.
संचित ऊर्जा $U_1 = \frac{1}{2} (C_{eq})_1 V_1^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{C_1}{n_1} \right) (6)^2 = \frac{18 C_1}{n_1}$.
$n_2$ संधारित्रों के समांतर संयोजन के लिए,प्रत्येक की धारिता $C_2$ है:
तुल्य धारिता $(C_{eq})_2 = n_2 C_2$.
विभवांतर $V_2 = 2 \ V$.
संचित ऊर्जा $U_2 = \frac{1}{2} (C_{eq})_2 V_2^2 = \frac{1}{2} (n_2 C_2) (2)^2 = 2 n_2 C_2$.
यह दिया गया है कि कुल ऊर्जा समान है,$U_1 = U_2$:
$\frac{18 C_1}{n_1} = 2 n_2 C_2$.
$C_2$ के लिए हल करने पर:
$C_2 = \frac{18 C_1}{2 n_1 n_2} = \frac{9 C_1}{n_1 n_2}$.
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EasyMCQ
$N_1$ संधारित्रों (प्रत्येक की धारिता $C_1$) के श्रेणी संयोजन को $3V$ के विभवांतर तक आवेशित किया जाता है। $N_2$ संधारित्रों (प्रत्येक की धारिता $C_2$) के समांतर संयोजन को $V$ के विभवांतर तक आवेशित किया जाता है। दोनों संयोजनों में संचित कुल ऊर्जा समान है। $C_2$ के पदों में $C_1$ का मान ज्ञात कीजिए:
A
$\frac{C_2 N_1 N_2}{9}$
B
$\frac{C_2 N_1^2 N_2^2}{9}$
C
$\frac{C_2 N_1}{9 N_2}$
D
$\frac{C_2 N_2}{9 N_1}$
Solution
(A) $C_1$ धारिता वाले $N_1$ संधारित्रों के श्रेणी संयोजन के लिए,तुल्य धारिता $C_{eq1} = \frac{C_1}{N_1}$ है।
इस संयोजन में संचित ऊर्जा $E_1 = \frac{1}{2} C_{eq1} (3V)^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{C_1}{N_1} \right) 9V^2 = \frac{9 C_1 V^2}{2 N_1}$ है।
$C_2$ धारिता वाले $N_2$ संधारित्रों के समांतर संयोजन के लिए,तुल्य धारिता $C_{eq2} = N_2 C_2$ है।
इस संयोजन में संचित ऊर्जा $E_2 = \frac{1}{2} C_{eq2} V^2 = \frac{1}{2} N_2 C_2 V^2$ है।
दिया गया है कि दोनों संयोजनों में संचित कुल ऊर्जा समान है $(E_1 = E_2)$:
$\frac{9 C_1 V^2}{2 N_1} = \frac{N_2 C_2 V^2}{2}$.
दोनों पक्षों से $\frac{V^2}{2}$ को हटाने पर,हमें $\frac{9 C_1}{N_1} = N_2 C_2$ प्राप्त होता है।
$C_1$ के लिए हल करने पर,हमें $C_1 = \frac{C_2 N_1 N_2}{9}$ प्राप्त होता है।
इस संयोजन में संचित ऊर्जा $E_1 = \frac{1}{2} C_{eq1} (3V)^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{C_1}{N_1} \right) 9V^2 = \frac{9 C_1 V^2}{2 N_1}$ है।
$C_2$ धारिता वाले $N_2$ संधारित्रों के समांतर संयोजन के लिए,तुल्य धारिता $C_{eq2} = N_2 C_2$ है।
इस संयोजन में संचित ऊर्जा $E_2 = \frac{1}{2} C_{eq2} V^2 = \frac{1}{2} N_2 C_2 V^2$ है।
दिया गया है कि दोनों संयोजनों में संचित कुल ऊर्जा समान है $(E_1 = E_2)$:
$\frac{9 C_1 V^2}{2 N_1} = \frac{N_2 C_2 V^2}{2}$.
दोनों पक्षों से $\frac{V^2}{2}$ को हटाने पर,हमें $\frac{9 C_1}{N_1} = N_2 C_2$ प्राप्त होता है।
$C_1$ के लिए हल करने पर,हमें $C_1 = \frac{C_2 N_1 N_2}{9}$ प्राप्त होता है।
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MediumMCQ
प्रारंभ में $n$ समान संधारित्रों को समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है और $V$ विभव तक आवेशित किया जाता है। अब उन्हें अलग करके श्रेणी क्रम में जोड़ा जाता है। तब
A
विभवांतर और संयोजन की कुल ऊर्जा समान रहती है।
B
विभवांतर समान रहता है और ऊर्जा $n$ गुना बढ़ जाती है।
C
विभवांतर $nV$ हो जाता है और ऊर्जा समान रहती है।
D
विभवांतर $nV$ है और ऊर्जा $n$ गुना बढ़ जाती है।
Solution
(C) $1$. समानांतर संयोजन में, प्रत्येक संधारित्र का विभव $V$ होता है। प्रत्येक संधारित्र पर आवेश $q = CV$ है। कुल आवेश $Q_{total} = nq = nCV$ है। कुल ऊर्जा $U_p = n \times (1/2)CV^2 = (n/2)CV^2$ है।
$2$. जब उन्हें अलग करके श्रेणी क्रम में जोड़ा जाता है, तो श्रेणी संयोजन पर कुल आवेश $q = CV$ रहता है (क्योंकि वे स्रोत से अलग हो गए हैं)। तुल्य धारिता $C_s = C/n$ है।
$3$. श्रेणी संयोजन पर नया विभवांतर $V' = Q_{total} / C_s = (CV) / (C/n) = nV$ है।
$4$. श्रेणी संयोजन में संचित नई ऊर्जा $U_s = (1/2) Q^2 / C_s = (1/2) (CV)^2 / (C/n) = (1/2) C^2V^2 / (C/n) = (n/2) CV^2$ है।
$5$. परिणामों की तुलना करने पर, विभवांतर $nV$ हो जाता है और कुल ऊर्जा समान रहती है।
$2$. जब उन्हें अलग करके श्रेणी क्रम में जोड़ा जाता है, तो श्रेणी संयोजन पर कुल आवेश $q = CV$ रहता है (क्योंकि वे स्रोत से अलग हो गए हैं)। तुल्य धारिता $C_s = C/n$ है।
$3$. श्रेणी संयोजन पर नया विभवांतर $V' = Q_{total} / C_s = (CV) / (C/n) = nV$ है।
$4$. श्रेणी संयोजन में संचित नई ऊर्जा $U_s = (1/2) Q^2 / C_s = (1/2) (CV)^2 / (C/n) = (1/2) C^2V^2 / (C/n) = (n/2) CV^2$ है।
$5$. परिणामों की तुलना करने पर, विभवांतर $nV$ हो जाता है और कुल ऊर्जा समान रहती है।
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MediumMCQ
$2 \mu F$ धारिता वाले सात संधारित्रों को इस प्रकार संयोजित किया जाता है कि प्रभावी धारिता $\left(\frac{10}{11}\right) \mu F$ प्राप्त हो। यह संयोजन है:
A
B
C
D
Solution
(A) माना $n_1$ संधारित्र समांतर क्रम में और $n_2$ संधारित्र श्रेणी क्रम में जुड़े हैं,ताकि $n_1 + n_2 = 7$ हो।
$C$ धारिता के $n_1$ संधारित्र समांतर क्रम में होने पर तुल्य धारिता $C_p = n_1 C$ होती है।
$C$ धारिता के $n_2$ संधारित्र श्रेणी क्रम में होने पर तुल्य धारिता $C_s = \frac{C}{n_2}$ होती है।
जब ये दोनों संयोजन श्रेणी क्रम में जुड़े होते हैं,तो कुल प्रभावी धारिता $C_{eff}$ इस प्रकार होती है:
$\frac{1}{C_{eff}} = \frac{1}{C_p} + \frac{1}{C_s} = \frac{1}{n_1 C} + \frac{n_2}{C} = \frac{1 + n_1 n_2}{n_1 C}$.
यहाँ $C = 2 \mu F$ और $C_{eff} = \frac{10}{11} \mu F$ दिया गया है,इसलिए:
$\frac{11}{10} = \frac{1 + n_1 n_2}{2 n_1} \implies 22 n_1 = 10 + 10 n_1 n_2 \implies 11 n_1 = 5 + 5 n_1 n_2$.
$n_2 = 7 - n_1$ रखने पर:
$11 n_1 = 5 + 5 n_1 (7 - n_1) \implies 11 n_1 = 5 + 35 n_1 - 5 n_1^2$.
$5 n_1^2 - 24 n_1 + 5 = 0$.
यदि हम चित्र $A$ को देखें,तो $5$ संधारित्र समांतर में और $2$ संधारित्र श्रेणी में हैं,जिससे $C_p = 5 \times 2 = 10 \mu F$ और $C_s = 2 / 2 = 1 \mu F$ प्राप्त होता है। अतः $C_{eff} = (10 \times 1) / (10 + 1) = 10/11 \mu F$ प्राप्त होता है।
$C$ धारिता के $n_1$ संधारित्र समांतर क्रम में होने पर तुल्य धारिता $C_p = n_1 C$ होती है।
$C$ धारिता के $n_2$ संधारित्र श्रेणी क्रम में होने पर तुल्य धारिता $C_s = \frac{C}{n_2}$ होती है।
जब ये दोनों संयोजन श्रेणी क्रम में जुड़े होते हैं,तो कुल प्रभावी धारिता $C_{eff}$ इस प्रकार होती है:
$\frac{1}{C_{eff}} = \frac{1}{C_p} + \frac{1}{C_s} = \frac{1}{n_1 C} + \frac{n_2}{C} = \frac{1 + n_1 n_2}{n_1 C}$.
यहाँ $C = 2 \mu F$ और $C_{eff} = \frac{10}{11} \mu F$ दिया गया है,इसलिए:
$\frac{11}{10} = \frac{1 + n_1 n_2}{2 n_1} \implies 22 n_1 = 10 + 10 n_1 n_2 \implies 11 n_1 = 5 + 5 n_1 n_2$.
$n_2 = 7 - n_1$ रखने पर:
$11 n_1 = 5 + 5 n_1 (7 - n_1) \implies 11 n_1 = 5 + 35 n_1 - 5 n_1^2$.
$5 n_1^2 - 24 n_1 + 5 = 0$.
यदि हम चित्र $A$ को देखें,तो $5$ संधारित्र समांतर में और $2$ संधारित्र श्रेणी में हैं,जिससे $C_p = 5 \times 2 = 10 \mu F$ और $C_s = 2 / 2 = 1 \mu F$ प्राप्त होता है। अतः $C_{eff} = (10 \times 1) / (10 + 1) = 10/11 \mu F$ प्राप्त होता है।
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EasyMCQ
नीचे दिए गए चित्र में दिखाए गए परिपथ में,$3 \mu F$ संधारित्र के सिरों पर विभवांतर क्या है ($V$ में)?
A
$4$
B
$6$
C
$10$
D
$16$
Solution
(C) परिपथ में $3 \mu F$ और $5 \mu F$ के दो संधारित्र श्रेणीक्रम में जुड़े हैं,जिनके साथ $20 V$ और $4 V$ की दो बैटरी विपरीत दिशा में जुड़ी हैं।
$1$. तुल्य विद्युत वाहक बल $(V_{eq})$ की गणना:
$V_{eq} = 20 V - 4 V = 16 V$
$2$. तुल्य धारिता $(C_{eq})$ की गणना:
$C_{eq} = \frac{C_1 \times C_2}{C_1 + C_2} = \frac{3 \times 5}{3 + 5} = \frac{15}{8} \mu F$
$3$. संधारित्रों पर आवेश $(Q)$ की गणना:
$Q = C_{eq} \times V_{eq} = \frac{15}{8} \mu F \times 16 V = 30 \mu C$
$4$. $3 \mu F$ संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $(V_3)$ की गणना:
$V_3 = \frac{Q}{C_1} = \frac{30 \mu C}{3 \mu F} = 10 V$
$1$. तुल्य विद्युत वाहक बल $(V_{eq})$ की गणना:
$V_{eq} = 20 V - 4 V = 16 V$
$2$. तुल्य धारिता $(C_{eq})$ की गणना:
$C_{eq} = \frac{C_1 \times C_2}{C_1 + C_2} = \frac{3 \times 5}{3 + 5} = \frac{15}{8} \mu F$
$3$. संधारित्रों पर आवेश $(Q)$ की गणना:
$Q = C_{eq} \times V_{eq} = \frac{15}{8} \mu F \times 16 V = 30 \mu C$
$4$. $3 \mu F$ संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $(V_3)$ की गणना:
$V_3 = \frac{Q}{C_1} = \frac{30 \mu C}{3 \mu F} = 10 V$
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MediumMCQ
$1: 2$ के अनुपात में धारिता वाले दो संधारित्रों $C_1$ और $C_2$ के समानांतर और श्रेणी संयोजन पर लगाए जाने वाले विभवांतर का अनुपात क्या होगा ताकि दोनों स्थितियों में संचित ऊर्जा समान रहे?
A
$3:\sqrt{2}$
B
$\sqrt{2}:3$
C
$2:9$
D
$9:2$
Solution
(B) दिया गया है: $C_1: C_2 = 1: 2$। अतः,$C_2 = 2C_1$।
समानांतर संयोजन में तुल्य धारिता: $C_P = C_1 + C_2 = C_1 + 2C_1 = 3C_1$।
श्रेणी संयोजन में तुल्य धारिता: $C_S = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{C_1(2C_1)}{3C_1} = \frac{2}{3}C_1$।
माना $V_P$ और $V_S$ क्रमशः समानांतर और श्रेणी संयोजन पर लगाए गए विभवांतर हैं।
चूंकि संचित ऊर्जा $E = \frac{1}{2}CV^2$ दोनों स्थितियों में समान है:
$\frac{1}{2} C_P V_P^2 = \frac{1}{2} C_S V_S^2$
$\frac{V_P^2}{V_S^2} = \frac{C_S}{C_P} = \frac{\frac{2}{3}C_1}{3C_1} = \frac{2}{9}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{V_P}{V_S} = \sqrt{\frac{2}{9}} = \frac{\sqrt{2}}{3}$।
समानांतर संयोजन में तुल्य धारिता: $C_P = C_1 + C_2 = C_1 + 2C_1 = 3C_1$।
श्रेणी संयोजन में तुल्य धारिता: $C_S = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{C_1(2C_1)}{3C_1} = \frac{2}{3}C_1$।
माना $V_P$ और $V_S$ क्रमशः समानांतर और श्रेणी संयोजन पर लगाए गए विभवांतर हैं।
चूंकि संचित ऊर्जा $E = \frac{1}{2}CV^2$ दोनों स्थितियों में समान है:
$\frac{1}{2} C_P V_P^2 = \frac{1}{2} C_S V_S^2$
$\frac{V_P^2}{V_S^2} = \frac{C_S}{C_P} = \frac{\frac{2}{3}C_1}{3C_1} = \frac{2}{9}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{V_P}{V_S} = \sqrt{\frac{2}{9}} = \frac{\sqrt{2}}{3}$।
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View Solution299
MediumMCQ
दिए गए संधारित्र नेटवर्क में,बिंदु $A$ और $B$ के बीच परिणामी धारिता क्या है ($\mu F$ में)?
A
$8$
B
$4$
C
$2$
D
$16$
Solution
(B) $1$. संधारित्र $C_3$ और $C_4$ श्रेणीक्रम में हैं। उनकी तुल्य धारिता $C_S$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{C_S} = \frac{1}{C_3} + \frac{1}{C_4} = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \implies C_S = 4 \mu F$.
$2$. संधारित्र $C_5$ और $C_6$ समांतर क्रम में हैं। उनकी तुल्य धारिता $C_P$ है:
$C_P = C_5 + C_6 = 4 \mu F + 4 \mu F = 8 \mu F$.
$3$. अब,$C_2$ और $C_P$ श्रेणीक्रम में हैं। उनकी तुल्य धारिता $C_{2P}$ है:
$C_{2P} = \frac{C_2 \cdot C_P}{C_2 + C_P} = \frac{8 \cdot 8}{8 + 8} = \frac{64}{16} = 4 \mu F$.
$4$. यह $C_{2P}$,$C_S$ के साथ समांतर क्रम में है। उनकी तुल्य धारिता $C_{total}'$ है:
$C_{total}' = C_{2P} + C_S = 4 \mu F + 4 \mu F = 8 \mu F$.
$5$. अंत में,$C_1$ और $C_{total}'$ श्रेणीक्रम में हैं। परिणामी धारिता $C_{AB}$ है:
$C_{AB} = \frac{C_1 \cdot C_{total}'}{C_1 + C_{total}'} = \frac{8 \cdot 8}{8 + 8} = \frac{64}{16} = 4 \mu F$.
$\frac{1}{C_S} = \frac{1}{C_3} + \frac{1}{C_4} = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \implies C_S = 4 \mu F$.
$2$. संधारित्र $C_5$ और $C_6$ समांतर क्रम में हैं। उनकी तुल्य धारिता $C_P$ है:
$C_P = C_5 + C_6 = 4 \mu F + 4 \mu F = 8 \mu F$.
$3$. अब,$C_2$ और $C_P$ श्रेणीक्रम में हैं। उनकी तुल्य धारिता $C_{2P}$ है:
$C_{2P} = \frac{C_2 \cdot C_P}{C_2 + C_P} = \frac{8 \cdot 8}{8 + 8} = \frac{64}{16} = 4 \mu F$.
$4$. यह $C_{2P}$,$C_S$ के साथ समांतर क्रम में है। उनकी तुल्य धारिता $C_{total}'$ है:
$C_{total}' = C_{2P} + C_S = 4 \mu F + 4 \mu F = 8 \mu F$.
$5$. अंत में,$C_1$ और $C_{total}'$ श्रेणीक्रम में हैं। परिणामी धारिता $C_{AB}$ है:
$C_{AB} = \frac{C_1 \cdot C_{total}'}{C_1 + C_{total}'} = \frac{8 \cdot 8}{8 + 8} = \frac{64}{16} = 4 \mu F$.
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EasyMCQ
प्रारंभ में $n$ समान संधारित्रों को समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है और $V$ विभव तक आवेशित किया जाता है। अब उन्हें अलग करके श्रेणी क्रम में जोड़ा जाता है। तब
A
विभवांतर $n V$ हो जाता है और ऊर्जा समान रहती है।
B
विभवांतर $n V$ होता है और ऊर्जा $n$ गुना बढ़ जाती है।
C
विभवांतर $V$ रहता है और संयोजन की कुल ऊर्जा समान रहती है।
D
विभवांतर समान रहता है और ऊर्जा $n$ गुना बढ़ जाती है।
Solution
(A) $1$. जब $C$ धारिता वाले $n$ समान संधारित्रों को समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है और $V$ विभव तक आवेशित किया जाता है,तो प्रत्येक संधारित्र पर आवेश $q = CV$ होता है। संचित कुल ऊर्जा $U_p = n \times (1/2)CV^2 = (n/2)CV^2$ है।
$2$. जब इन संधारित्रों को अलग किया जाता है,तो प्रत्येक संधारित्र अपना आवेश $q = CV$ बनाए रखता है।
$3$. जब इन $n$ संधारित्रों को श्रेणी क्रम में जोड़ा जाता है,तो संयोजन पर कुल विभवांतर प्रत्येक संधारित्र के विभवांतर का योग होता है: $V_{total} = V + V + ... + V$ ($n$ बार) $= nV$.
$4$. श्रेणी संयोजन में संचित कुल ऊर्जा $U_s = n \times (1/2)q^2/C = n \times (1/2)(CV)^2/C = (n/2)CV^2$ है।
$5$. चूंकि $U_p = U_s$,इसलिए कुल ऊर्जा समान रहती है।
$2$. जब इन संधारित्रों को अलग किया जाता है,तो प्रत्येक संधारित्र अपना आवेश $q = CV$ बनाए रखता है।
$3$. जब इन $n$ संधारित्रों को श्रेणी क्रम में जोड़ा जाता है,तो संयोजन पर कुल विभवांतर प्रत्येक संधारित्र के विभवांतर का योग होता है: $V_{total} = V + V + ... + V$ ($n$ बार) $= nV$.
$4$. श्रेणी संयोजन में संचित कुल ऊर्जा $U_s = n \times (1/2)q^2/C = n \times (1/2)(CV)^2/C = (n/2)CV^2$ है।
$5$. चूंकि $U_p = U_s$,इसलिए कुल ऊर्जा समान रहती है।
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View SolutionElectric Potential and Capacitance — Mix Examples - Electric Potential and Capacitance · Frequently Asked Questions
1Are these Electric Potential and Capacitance questions useful for JEE and NEET?
Yes. All questions in this section are mapped to JEE Main and NEET exam patterns. Previous year questions from JEE Main, NEET, GUJCET and state-level exams are included with full solutions.
2Can I switch to Hindi or Gujarati for these questions?
Yes. Use the language tabs in the hero section or the sidebar to view the same questions and solutions in English, Hindi or Gujarati.
3How do I generate a question paper from this subtopic?
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