Mix Examples - Electric Potential and Capacitance Questions in Hindi

(C) मान लीजिए कि प्रत्येक संधारित्र की धारिता $C$ है। तीन संधारित्रों के समानांतर संयोजन की समतुल्य धारिता $C_{p} = 3C$ है और श्रेणी संयोजन की समतुल्य धारिता $C_{s} = C/3$ है।
मान लीजिए कि समानांतर संयोजन में विभवांतर $V_{p}$ है और श्रेणी संयोजन में विभवांतर $V_{s}$ है। यह दिया गया है कि दोनों स्थितियों में संचित ऊर्जा समान है:
$\frac{1}{2} C_{p} V_{p}^{2} = \frac{1}{2} C_{s} V_{s}^{2}$
$\frac{V_{p}^{2}}{V_{s}^{2}} = \frac{C_{s}}{C_{p}} = \frac{C/3}{3C} = \frac{1}{9}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{V_{p}}{V_{s}} = \frac{1}{3}$

(D) मान लीजिए कि प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या ' $r$ ' है और प्रत्येक पर आवेश ' $q$ ' है। छोटी बूंद का विभव $V = \frac{kq}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
जब ' $n$ ' बूंदें मिलकर ' $R$ ' त्रिज्या की एक बड़ी बूंद बनाती हैं,तो आयतन संरक्षित रहता है: $\frac{4}{3} \pi R^3 = n \cdot \frac{4}{3} \pi r^3$,जिसका अर्थ है $R = n^{1/3} r$.
बड़ी बूंद पर कुल आवेश $Q = n \cdot q$ है।
बड़ी बूंद का विभव ' $V_{big}$ ' इस प्रकार है: $V_{big} = \frac{kQ}{R} = \frac{k(nq)}{n^{1/3}r} = n^{1 - 1/3} \cdot \frac{kq}{r} = n^{2/3} \cdot V$।

(D) माना प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है और प्रत्येक पर आवेश $q$ है। छोटी बूंद का विभव $v = \frac{kq}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
जब $n$ छोटी बूंदें मिलकर $R$ त्रिज्या की एक बड़ी बूंद बनाती हैं,तो आयतन संरक्षित रहता है: $\frac{4}{3} \pi R^3 = n \cdot \frac{4}{3} \pi r^3$,जिससे $R = n^{1/3} r$ प्राप्त होता है।
बड़ी बूंद पर कुल आवेश $Q = nq$ है।
बड़ी बूंद का विभव $V = \frac{kQ}{R} = \frac{k(nq)}{n^{1/3} r} = n^{1 - 1/3} \cdot \frac{kq}{r} = n^{2/3} v$ होगा।

(B) माना प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है और प्रत्येक छोटी बूंद पर आवेश $q$ है।
छोटी बूंद का विभव $V = \frac{kq}{r} = 20 \ V$ द्वारा दिया जाता है।
जब $n = 27$ बूंदें मिलकर $R$ त्रिज्या और $Q$ आवेश वाली एक बड़ी बूंद बनाती हैं,तो आयतन स्थिर रहता है:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = n \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 \implies R^3 = n r^3 \implies R = n^{1/3} r$.
$n = 27$ के लिए,$R = (27)^{1/3} r = 3r$.
बड़ी बूंद पर कुल आवेश $Q = nq = 27q$ है।
बड़ी बूंद का विभव $V' = \frac{kQ}{R} = \frac{k(nq)}{n^{1/3}r} = n^{2/3} \left( \frac{kq}{r} \right) = n^{2/3} V$ है।
मान रखने पर: $V' = (27)^{2/3} \times 20 = (3^3)^{2/3} \times 20 = 3^2 \times 20 = 9 \times 20 = 180 \ V$.

(A) दो आवेशों के निकाय के लिए ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार:
$(K.E. + P.E.)_{\text{initial}} = (K.E. + P.E.)_{\text{final}}$
प्रारंभ में कण स्थिर हैं,इसलिए $K.E._{\text{initial}} = 0$.
मान लीजिए कि $\frac{r}{2}$ दूरी पर प्रत्येक कण की चाल $v$ है। समान द्रव्यमान $m$ होने के कारण,संवेग संरक्षण के अनुसार वे समान और विपरीत वेग से गति करेंगे।
कुल गतिज ऊर्जा $K.E._{\text{final}} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}mv^2 = mv^2$ होगी।
स्थितिज ऊर्जा के सूत्र $U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{r}$ का उपयोग करने पर:
$0 + \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{r} = mv^2 + \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{r/2}$
$mv^2 = \frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{1}{r} - \frac{2}{r} \right) = -\frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_0 r}$
नोट: ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि समान आवेश होने पर वे इस दूरी तक नहीं पहुँच पाएंगे। यदि विपरीत आवेश हों,तो चाल का परिमाण $v = \sqrt{\frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_0 mr}}$ होगा।

(B) माना प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है और प्रत्येक पर आवेश $q$ है। प्रत्येक छोटी बूंद का विभव $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{r}$ है।
जब $n$ बूंदें मिलकर $R$ त्रिज्या की एक बड़ी बूंद बनाती हैं,तो आयतन संरक्षित रहता है: $\frac{4}{3} \pi R^3 = n \cdot \frac{4}{3} \pi r^3$,जिससे $R = n^{1/3} r$ प्राप्त होता है।
बड़ी बूंद पर कुल आवेश $Q = nq$ है।
बड़ी बूंद का विभव $V' = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{R}$ है।
$Q$ और $R$ के मान रखने पर: $V' = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{nq}{n^{1/3} r}$।
इसे सरल करने पर,हमें $V' = n^{1 - 1/3} \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{r} \right) = n^{2/3} V$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए गोले पर आवेश $Q$ है।
गोले की सतह पर विभव $V_{surface} = \frac{kQ}{r}$ है।
केंद्र से $3r$ की दूरी पर विभव $V_{3r} = \frac{kQ}{3r}$ है।
विभवांतर $V$ इस प्रकार है:
$V = V_{surface} - V_{3r} = \frac{kQ}{r} - \frac{kQ}{3r} = \frac{2kQ}{3r}$.
इससे हमें $kQ = \frac{3Vr}{2}$ प्राप्त होता है।
केंद्र से $3r$ की दूरी पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E$ है:
$E = \frac{kQ}{(3r)^2} = \frac{kQ}{9r^2}$.
$kQ$ का मान रखने पर:
$E = \frac{1}{9r^2} \cdot \frac{3Vr}{2} = \frac{3V}{18r} = \frac{V}{6r}$.

(C) आवेशित चालक की सतह पर लगने वाला स्थिर वैद्युत दाब (प्रतिबल) $P = \frac{\sigma^{2}}{2 \epsilon_{0}}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma = \frac{q}{4 \pi r^{2}} = \frac{10^{-2}}{4 \pi (1)^{2}} = \frac{10^{-2}}{4 \pi} \ C/m^{2}$ है।
दाब के सूत्र में $\sigma$ का मान रखने पर: $P = \frac{1}{2 \epsilon_{0}} \left( \frac{10^{-2}}{4 \pi} \right)^{2} = \frac{10^{-4}}{32 \pi^{2} \epsilon_{0}}$.
आयतन विकृति को $\text{strain} = \frac{\text{stress}}{B}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $B$ आयतन प्रत्यास्थता गुणांक है।
दिया गया है कि $B = \frac{10^{11}}{4 \pi^{2}}$.
अतः,$\text{strain} = \frac{10^{-4}}{32 \pi^{2} \epsilon_{0}} \times \frac{4 \pi^{2}}{10^{11}} = \frac{10^{-4}}{8 \epsilon_{0} \times 10^{11}} = \frac{10^{-15}}{8 \epsilon_{0}}$.

(A) माना प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है और प्रत्येक पर आवेश $q$ है। छोटी बूंद का विभव $V = \frac{kq}{r} = 10 \ V$ है।
जब $n = 27$ बूंदें मिलकर $R$ त्रिज्या की एक बड़ी बूंद बनाती हैं,तो आयतन संरक्षित रहता है: $\frac{4}{3}\pi R^3 = n \cdot \frac{4}{3}\pi r^3$,जिसका अर्थ है $R = n^{1/3}r$।
$n = 27$ के लिए,$R = (27)^{1/3}r = 3r$।
बड़ी बूंद पर कुल आवेश $Q = nq = 27q$ है।
बड़ी बूंद का विभव $V^{\prime} = \frac{kQ}{R} = \frac{k(nq)}{n^{1/3}r} = n^{2/3} \left(\frac{kq}{r}\right) = n^{2/3}V$ होता है।
मान रखने पर: $V^{\prime} = (27)^{2/3} \times 10 = (3^3)^{2/3} \times 10 = 3^2 \times 10 = 9 \times 10 = 90 \ V$।

(A) दी गई प्रणाली चार प्लेटों से बनी है। मान लीजिए कि प्रत्येक जोड़ी की प्लेटों की धारिता $C = \frac{A \varepsilon_0}{d}$ है।
परिपथ आरेख के अनुसार,प्लेट $1$ और $3$ एक साथ जुड़ी हुई हैं,और प्लेट $2$ और $4$ क्रमशः टर्मिनल $A$ और $B$ से जुड़ी हुई हैं।
यह समानांतर में दो संधारित्र बनाता है (प्लेट $1-2$ और $3-2$ के बीच) जो तीसरे संधारित्र (प्लेट $3-4$ के बीच) के साथ श्रेणीक्रम में हैं।
मान लीजिए $C_1$ प्लेट $1$ और $2$ के बीच की धारिता है,$C_2$ प्लेट $3$ और $2$ के बीच की है,और $C_3$ प्लेट $3$ और $4$ के बीच की है। अतः,$C_1 = C_2 = C_3 = C$ है।
$C_1$ और $C_2$ का समानांतर संयोजन $C' = C_1 + C_2 = C + C = 2C$ देता है।
यह $C'$,$C_3$ के साथ श्रेणीक्रम में है। तुल्य धारिता $C_{eq}$ इस प्रकार है:
$C_{eq} = \frac{C' \cdot C_3}{C' + C_3} = \frac{(2C) \cdot C}{2C + C} = \frac{2C^2}{3C} = \frac{2}{3}C$.
$C = \frac{A \varepsilon_0}{d}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $C_{eq} = \frac{2}{3} \frac{A \varepsilon_0}{d}$ प्राप्त होता है।

(C) जब एक आवेशित संधारित्र को बैटरी से अलग कर दिया जाता है,तो उसकी प्लेटों पर आवेश $Q$ स्थिर रहता है क्योंकि आवेश के प्रवाह के लिए कोई मार्ग नहीं होता है।
जैसे-जैसे प्लेटों के बीच की दूरी $d$ बढ़ाई जाती है,धारिता $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ कम हो जाती है।
चूंकि $Q = CV$ है,और $Q$ स्थिर है,इसलिए जैसे-जैसे $C$ कम होता है,विभवांतर $V = \frac{Q}{C}$ बढ़ जाएगा।
अतः,प्लेटों पर आवेश समान रहेगा।

(C) दी गई व्यवस्था में,प्लेट $Q$ समानांतर में जुड़े दो संधारित्रों के लिए सामान्य है,क्योंकि प्लेट $P$ और $R$ दोनों ग्राउंडेड ($0 \,V$ पर) हैं।
मान लीजिए प्लेट $Q$ का विभव $V$ है।
पहले संधारित्र की धारिता ($P$ और $Q$ के बीच) $C_1 = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ है।
दूसरे संधारित्र की धारिता ($Q$ और $R$ के बीच) $C_2 = \frac{\varepsilon_0 A}{2d}$ है।
चूंकि वे समानांतर में हैं,प्रभावी धारिता $C_{\text{eff}} = C_1 + C_2 = \frac{\varepsilon_0 A}{d} + \frac{\varepsilon_0 A}{2d} = \frac{3 \varepsilon_0 A}{2d}$ है।
दिया गया है $q = 8.85 \times 10^{-8} \,C$,$A = 2.0 \,m^2$,$d = 2 \times 10^{-3} \,m$,और $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \,F/m$.
$q = C_{\text{eff}} V$ का उपयोग करते हुए,हमें मिलता है $V = \frac{q}{C_{\text{eff}}} = \frac{q \cdot 2d}{3 \varepsilon_0 A}$.
मान रखने पर: $V = \frac{8.85 \times 10^{-8} \times 2 \times (2 \times 10^{-3})}{3 \times (8.85 \times 10^{-12}) \times 2.0} = \frac{8.85 \times 4 \times 10^{-11}}{3 \times 8.85 \times 2 \times 10^{-12}} = \frac{4 \times 10}{3 \times 2} = \frac{20}{3} \approx 6.67 \,V$.

(C) $4 \mu F$ और $2 \mu F$ के संधारित्र समानांतर क्रम में जुड़े हैं। उनकी तुल्य धारिता $C_p = 4 \mu F + 2 \mu F = 6 \mu F$ है।
यह समानांतर संयोजन $6 \mu F$ के संधारित्र के साथ श्रेणी क्रम में है। कुल तुल्य धारिता $C_{eq}$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{6 \mu F} + \frac{1}{6 \mu F} = \frac{2}{6 \mu F} = \frac{1}{3 \mu F} \Rightarrow C_{eq} = 3 \mu F$.
$12 \text{ V}$ स्रोत द्वारा प्रदान किया गया कुल आवेश $Q$ है:
$Q = C_{eq} \times V = 3 \mu F \times 12 \text{ V} = 36 \mu C$.
यह कुल आवेश $Q$,$6 \mu F$ संधारित्र से होकर गुजरता है और फिर समानांतर में जुड़े $4 \mu F$ और $2 \mu F$ संधारित्रों के बीच विभाजित हो जाता है।
मान लीजिए $4 \mu F$ संधारित्र पर आवेश $Q_1$ है और $2 \mu F$ संधारित्र पर आवेश $Q_2$ है।
चूंकि वे समानांतर में हैं,उनके सिरों पर विभवांतर समान है:
$V_p = \frac{Q_1}{C_1} = \frac{Q_2}{C_2} \Rightarrow \frac{Q_1}{4 \mu F} = \frac{Q_2}{2 \mu F} \Rightarrow Q_1 = 2 Q_2$.
साथ ही,$Q_1 + Q_2 = Q = 36 \mu C$.
समीकरण में $Q_1 = 2 Q_2$ रखने पर:
$2 Q_2 + Q_2 = 36 \mu C \Rightarrow 3 Q_2 = 36 \mu C \Rightarrow Q_2 = 12 \mu C$.
अतः,$Q_1 = 2 \times 12 \mu C = 24 \mu C = 24 \times 10^{-6} C$.

(D) $500 V$ सहन करने वाले संधारित्रों का उपयोग करके $1.5 kV$ $(1500 V)$ का विभवांतर सहन करने के लिए,प्रत्येक श्रेणी पंक्ति में संधारित्रों की संख्या $(m)$:
$m = \frac{1500 V}{500 V} = 3$
ऐसे $3$ संधारित्रों (प्रत्येक $2 \mu F$) की एक पंक्ति की तुल्य धारिता:
$C_{row} = \frac{2 \mu F}{3}$
यदि हम $6 \mu F$ की कुल धारिता प्राप्त करने के लिए ऐसी $n$ पंक्तियों को समानांतर में जोड़ते हैं,तो:
$C_{eff} = n \times C_{row} = n \times \frac{2}{3} \mu F = 6 \mu F$
$n = \frac{6 \times 3}{2} = 9$
आवश्यक संधारित्रों की कुल संख्या $N = m \times n = 3 \times 9 = 27$ है।

(C) जब दो संधारित्र श्रेणीक्रम में जुड़े होते हैं,तो तुल्य धारिता $C_{eq}$ इस प्रकार होती है: $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \mu F^{-1}$.
अतः,$C_{eq} = 2 \mu F$.
श्रेणी संयोजन में संचित कुल आवेश $Q = C_{eq} \times V = 2 \mu F \times 900 \ V = 1800 \mu C$.
जब संधारित्रों को अलग करके समांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो कुल आवेश $Q = 1800 \mu C$ समान रहता है।
समांतर संयोजन में तुल्य धारिता $C_p = C_1 + C_2 = 3 \mu F + 6 \mu F = 9 \mu F$ होती है।
समांतर संयोजन पर नया विभवांतर $V' = \frac{Q}{C_p} = \frac{1800 \mu C}{9 \mu F} = 200 \ V$ होगा।

(B) दिए गए परिपथ आरेख से, ऊपरी शाखा में दो $2 \, \mu F$ के संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं। उनकी तुल्य धारिता $C_{1} = \frac{2 \times 2}{2+2} = 1 \, \mu F$ है।
इसी प्रकार, दाईं और निचली शाखा में दो $2 \, \mu F$ के संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं। उनकी तुल्य धारिता $C_{2} = \frac{2 \times 2}{2+2} = 1 \, \mu F$ है।
अब, परिपथ $C \, \mu F$ और $C_{2} = 1 \, \mu F$ के समांतर संयोजन में सरल हो जाता है, जो $C_{1} = 1 \, \mu F$ के साथ श्रेणीक्रम में है।
प्रभावी धारिता $C_{\text{eff}}$ इस प्रकार है:
$C_{\text{eff}} = \frac{(C + 1) \times 1}{(C + 1) + 1} = \frac{C + 1}{C + 2} \, \mu F$.
दिया गया है, आवेश $q = 0.75 \, mC = 0.75 \times 10^{-3} \, C$ और विभव $V = 10^{3} \, V$.
प्रभावी धारिता $C_{\text{eff}} = \frac{q}{V} = \frac{0.75 \times 10^{-3}}{10^{3}} = 0.75 \times 10^{-6} \, F = 0.75 \, \mu F$.
$C_{\text{eff}}$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$0.75 = \frac{C + 1}{C + 2}$
$\frac{3}{4} = \frac{C + 1}{C + 2}$
$3(C + 2) = 4(C + 1)$
$3C + 6 = 4C + 4$
$C = 2 \, \mu F$.

(D) प्रत्येक $200 \ V$ रेटिंग वाले संधारित्रों का उपयोग करके $600 \ V$ का विभवांतर प्राप्त करने के लिए,हमें $n$ संधारित्रों को श्रेणीक्रम में जोड़ना होगा ताकि $n \times 200 \ V = 600 \ V$ हो। अतः,$n = 3$।
श्रेणीक्रम में जुड़े इन $3$ संधारित्रों की तुल्य धारिता $\frac{1}{C_s} = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ है,इसलिए $C_s = 2 \ \mu F$ प्राप्त होता है।
कुल $18 \ \mu F$ धारिता प्राप्त करने के लिए,हमें ऐसी $m$ श्रेणी शाखाओं को समांतर क्रम में जोड़ना होगा,जहाँ $m \times C_s = 18 \ \mu F$ हो।
अतः,$m \times 2 \ \mu F = 18 \ \mu F$,जिससे $m = 9$ प्राप्त होता है।
आवश्यक संधारित्रों की कुल संख्या $n \times m = 3 \times 9 = 27$ है।

(B) दिया गया है,$C_1 = C_2 = 8 \mu F = 8 \times 10^{-6} \ F$ और $V = 10 \ V$.
चूंकि $C_1$ और $C_2$ समानांतर क्रम में जुड़े हैं,प्रारंभिक तुल्य धारिता $C_{eq} = C_1 + C_2 = 16 \mu F = 1.6 \times 10^{-5} \ F$ है।
प्रारंभिक कुल आवेश $q_i = C_{eq} \cdot V = 1.6 \times 10^{-5} \times 10 = 1.6 \times 10^{-4} \ C = 160 \mu C$ है।
हम जानते हैं कि धारिता $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$,इसलिए $C \propto \frac{1}{d}$ होता है।
यदि प्लेटों के बीच की दूरी $d$ को घटाकर उसके प्रारंभिक मान का $40 \%$ कर दिया जाए,तो नई दूरी $d' = 0.4d$ होगी। अतः,नई धारिता $C' = \frac{C}{0.4} = 2.5C = 2.5 \times 8 \mu F = 20 \mu F$ होगी।
नई कुल धारिता $C_{eq}' = C' + C_2 = 20 \mu F + 8 \mu F = 28 \mu F$ होगी।
नया आवेश $q_f = C_{eq}' \cdot V = 28 \mu F \times 10 \ V = 280 \mu C$ होगा।
आवेश में वृद्धि $\Delta q = q_f - q_i = 280 \mu C - 160 \mu C = 120 \mu C$ है।

(A) परिपथ में $10 \text{ V}$ की बैटरी $3 \mu F$ संधारित्र के साथ समानांतर क्रम में जुड़ी है,और दूसरी शाखा में $4 \mu F$ का संधारित्र $1 \mu F$ और $5 \mu F$ के समानांतर संयोजन के साथ श्रेणी क्रम में है।
सबसे पहले,$1 \mu F$ और $5 \mu F$ के समानांतर संयोजन की तुल्य धारिता ज्ञात करें:
$C_p = 1 \mu F + 5 \mu F = 6 \mu F$
अब,ऊपरी शाखा में $4 \mu F$ का संधारित्र इस $6 \mu F$ के तुल्य संधारित्र के साथ श्रेणी क्रम में है। इस शाखा की तुल्य धारिता $(C_{eq})$ है:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{4 \mu F} + \frac{1}{6 \mu F} = \frac{3+2}{12 \mu F} = \frac{5}{12 \mu F}$
$C_{eq} = \frac{12}{5} \mu F = 2.4 \mu F$
इस पूरी ऊपरी शाखा पर विभवांतर बैटरी के वोल्टेज के बराबर है,यानी $V = 10 \text{ V}$।
ऊपरी शाखा के तुल्य संधारित्र पर आवेश $Q$ है:
$Q = C_{eq} \times V = 2.4 \mu F \times 10 \text{ V} = 24 \mu C$
चूंकि श्रेणी क्रम में प्रत्येक संधारित्र पर आवेश समान होता है,इसलिए $4 \mu F$ के संधारित्र पर आवेश $24 \mu C$ होगा। सही विकल्प $(a)$ है।

(A) निकाय की तुल्य धारिता $C_{eq}$ की गणना इस प्रकार की जाती है: संधारित्र $C_2$ और $C_3$ समानांतर क्रम में हैं, और यह संयोजन $C_1$ के साथ श्रेणी क्रम में है।
$C_{23} = C_2 + C_3 = 4 \, \mu F + 2 \, \mu F = 6 \, \mu F$.
अब, $C_1$ और $C_{23}$ श्रेणी क्रम में हैं:
$C_{eq} = \frac{C_1 \times C_{23}}{C_1 + C_{23}} = \frac{3 \, \mu F \times 6 \, \mu F}{3 \, \mu F + 6 \, \mu F} = \frac{18}{9} \, \mu F = 2 \, \mu F$.
स्रोत से लिया गया कुल आवेश $q$ है:
$q = C_{eq} \times V = 2 \, \mu F \times 1800 \, V = 3600 \, \mu C = 3.6 \times 10^{-3} \, C$.
यह आवेश $q$, $C_1$ से होकर बहता है। $C_1$ के सिरों पर विभव पतन:
$V_1 = \frac{q}{C_1} = \frac{3600 \, \mu C}{3 \, \mu F} = 1200 \, V$.
$C_2$ और $C_3$ के समानांतर संयोजन के सिरों पर विभव पतन:
$V_{23} = V_{total} - V_1 = 1800 \, V - 1200 \, V = 600 \, V$.
चूंकि $C_2$ और $C_3$ समानांतर में हैं, प्रत्येक पर विभव पतन $600 \, V$ है।
$C_2$ पर आवेश $q_2 = C_2 \times V_{23} = 4 \, \mu F \times 600 \, V = 2400 \, \mu C = 2.4 \times 10^{-3} \, C$.
$C_3$ पर आवेश $q_3 = C_3 \times V_{23} = 2 \, \mu F \times 600 \, V = 1200 \, \mu C = 1.2 \times 10^{-3} \, C$.

(B) धारिता और प्रारंभिक विभवांतर $V$ वाले एक पूर्णतः आवेशित संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2}CV^2$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि संधारित्र को ऊष्मीय रूप से विलगित ब्लॉक में एक प्रतिरोध तार के माध्यम से निरावेशित किया जाता है,इसलिए संधारित्र में संचित संपूर्ण विद्युत ऊर्जा ऊष्मीय ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
ब्लॉक द्वारा प्राप्त ऊष्मीय ऊर्जा $Q = ms \Delta T$ है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है,$s$ विशिष्ट ऊष्मा है,और $\Delta T$ तापमान में वृद्धि है।
संचित ऊर्जा को ऊष्मीय ऊर्जा के बराबर करने पर: $\frac{1}{2}CV^2 = ms \Delta T$.
$V$ के लिए हल करने पर: $V^2 = \frac{2ms \Delta T}{C}$.
अतः,$V = \sqrt{\frac{2ms \Delta T}{C}}$.

(B) $1$. प्रारंभिक स्थिति: संधारित्र $C$ और $2C$ बैटरी $E$ के साथ श्रेणीक्रम में हैं। तुल्य धारिता $C_{eq} = \frac{C \times 2C}{C + 2C} = \frac{2C}{3}$ है।
$2$. प्रत्येक संधारित्र पर आवेश $q = C_{eq}E = \frac{2CE}{3}$ है।
$3$. संचित प्रारंभिक ऊर्जा: $U_i = \frac{1}{2} C_{eq} E^2 = \frac{1}{2} (\frac{2C}{3}) E^2 = \frac{CE^2}{3}$ है।
$4$. अंतिम स्थिति: संधारित्रों को अलग करके विपरीत ध्रुवता के साथ फिर से जोड़ा जाता है। एक साथ जुड़ी प्लेटों पर कुल आवेश $q - q = 0$ है। चूंकि कुल आवेश शून्य है,इसलिए प्रत्येक संधारित्र पर अंतिम आवेश $0$ है।
$5$. संचित अंतिम ऊर्जा: $U_f = 0$ है।
$6$. नष्ट हुई ऊर्जा: $\Delta U = U_i - U_f = \frac{CE^2}{3} - 0 = \frac{CE^2}{3}$ है।
$7$. अतः,$2C$ पर आवेश $0$ है और नष्ट हुई ऊर्जा $\frac{CE^2}{3}$ है।

(D) जब $C$ धारिता वाले दो समान संधारित्रों को क्रमशः $V_1$ और $V_2$ विभव पर आवेशित किया जाता है,तो उनका प्रारंभिक आवेश $Q_1 = CV_1$ और $Q_2 = CV_2$ होता है।
जब उन्हें समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो कुल आवेश $Q_{net} = Q_1 + Q_2$ संरक्षित रहता है।
संधारित्र एक उभयनिष्ठ विभव $V_{common} = \frac{Q_1 + Q_2}{C + C} = \frac{V_1 + V_2}{2}$ प्राप्त करते हैं।
चूंकि $V_{common} = \frac{V_1 + V_2}{2}$,इसलिए कुल विभवांतर प्रारंभिक विभवांतरों के योग $(V_1 + V_2)$ के बराबर नहीं होता है।
आवेश के पुनर्वितरण के दौरान,जोड़ने वाले तारों के माध्यम से आवेश के प्रवाह के कारण कुछ ऊर्जा ऊष्मा के रूप में नष्ट हो जाती है।
इसलिए,अंतिम कुल संचित ऊर्जा $U_f = \frac{1}{2}(2C)V_{common}^2$ हमेशा प्रारंभिक कुल ऊर्जा $U_i = \frac{1}{2}CV_1^2 + \frac{1}{2}CV_2^2$ से कम होती है।

(C) परिपथ में दो समानांतर शाखाएं हैं जो एक वोल्टेज स्रोत $V$ से जुड़ी हैं।
ऊपरी शाखा के लिए,श्रेणीक्रम में दो संधारित्र हैं: $C_1 = 5 \mu F$ (ब्रेकडाउन वोल्टेज $V_1 = 1 \text{ kV}$) और $C_2 = 4 \mu F$ (ब्रेकडाउन वोल्टेज $V_2 = 2 \text{ kV}$)।
श्रेणीक्रम संयोजन में,प्रत्येक संधारित्र पर आवेश $q$ समान होता है। शाखा द्वारा वहन किया जा सकने वाला अधिकतम आवेश $q_{max}$ उस संधारित्र द्वारा निर्धारित होता है जो पहले अपने ब्रेकडाउन वोल्टेज तक पहुँचता है।
$C_1$ के लिए,$q_1 = C_1 V_1 = 5 \mu F \times 1 \text{ kV} = 5 \mu C$।
$C_2$ के लिए,$q_2 = C_2 V_2 = 4 \mu F \times 2 \text{ kV} = 8 \mu C$।
अतः,ऊपरी शाखा अधिकतम $5 \mu C$ आवेश वहन कर सकती है। ऊपरी शाखा पर कुल वोल्टेज $V_{upper} = q_{max} / C_{eq1}$ है,जहाँ $C_{eq1} = (5 \times 4) / (5 + 4) = 20/9 \mu F$।
$V_{upper} = 5 \mu C / (20/9 \mu F) = 45/20 \text{ kV} = 2.25 \text{ kV}$।
निचली शाखा के लिए,$C_3 = 2 \mu F$ (ब्रेकडाउन वोल्टेज $V_3 = 2 \text{ kV}$) और $C_4 = 3 \mu F$ (ब्रेकडाउन वोल्टेज $V_4 = 1 \text{ kV}$) हैं।
$C_3$ के लिए,$q_3 = C_3 V_3 = 2 \mu F \times 2 \text{ kV} = 4 \mu C$।
$C_4$ के लिए,$q_4 = C_4 V_4 = 3 \mu F \times 1 \text{ kV} = 3 \mu C$।
अतः,निचली शाखा अधिकतम $3 \mu C$ आवेश वहन कर सकती है। निचली शाखा पर कुल वोल्टेज $V_{lower} = q_{max} / C_{eq2}$ है,जहाँ $C_{eq2} = (2 \times 3) / (2 + 3) = 6/5 \mu F$।
$V_{lower} = 3 \mu C / (6/5 \mu F) = 15/6 \text{ kV} = 2.5 \text{ kV}$।
चूंकि शाखाएं समानांतर में हैं,स्रोत वोल्टेज $V$ को दोनों शाखाओं के ब्रेकडाउन वोल्टेज में से जो छोटा है,उससे अधिक नहीं होना चाहिए ताकि कोई भी संधारित्र ब्रेकडाउन न हो।
इसलिए,$V_{max} = \min(2.25 \text{ kV}, 2.5 \text{ kV}) = 2.25 \text{ kV}$।

(A) परिपथ को चित्रानुसार सरल करने पर,$10 \ \mu F$,$5 \ \mu F$ और $9 \ \mu F$ के संधारित्र बिंदु $C$ और $D$ के बीच समांतर क्रम में जुड़े हैं। इसलिए,$C$ और $D$ के बीच तुल्य धारिता:
$C_{CD} = 10 \ \mu F + 5 \ \mu F + 9 \ \mu F = 24 \ \mu F$
अब,$12 \ \mu F$,$24 \ \mu F$ (जो $C_{CD}$ है) और $8 \ \mu F$ के संधारित्र श्रेणी क्रम में हैं।
तुल्य धारिता $C_{eq}$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{12} + \frac{1}{24} + \frac{1}{8} = \frac{2 + 1 + 3}{24} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4} \ \mu F^{-1}$
$\Rightarrow C_{eq} = 4 \ \mu F$
परिपथ में प्रवाहित कुल आवेश $Q$:
$Q = C_{eq} \times V_{AB} = 4 \ \mu F \times 80 \ V = 320 \ \mu C$
चूंकि $12 \ \mu F$,$24 \ \mu F$ और $8 \ \mu F$ के संधारित्र श्रेणी क्रम में हैं,इसलिए प्रत्येक शाखा से समान आवेश $Q = 320 \ \mu C$ प्रवाहित होगा।
$CD$ के बीच विभवांतर:
$V_{CD} = \frac{Q}{C_{CD}} = \frac{320 \ \mu C}{24 \ \mu F} = \frac{40}{3} \ V$
$10 \ \mu F$ के संधारित्र पर आवेश $q$:
$q = 10 \ \mu F \times V_{CD} = 10 \ \mu F \times \frac{40}{3} \ V = \frac{400}{3} \ \mu C \approx 133.33 \ \mu C$
अतः,तुल्य धारिता $4 \ \mu F$ है और $10 \ \mu F$ के संधारित्र पर आवेश लगभग $133 \ \mu C$ है।

(D) परिपथ में दो समानांतर शाखाएँ हैं जो $30 \ V$ के स्रोत से जुड़ी हैं।
शाखा $1$ में $C_1$ और $C_2$ श्रेणीक्रम में हैं। तुल्य धारिता $C_{eq1} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{1 \times 1.5}{1 + 1.5} = \frac{1.5}{2.5} = 0.6 \ \mu F$ है।
इस शाखा पर आवेश $q = C_{eq1} \times V = 0.6 \ \mu F \times 30 \ V = 18 \ \mu C$ है।
बिंदु $A$ के सापेक्ष बिंदु $a$ पर विभव $V_A - V_a = \frac{q}{C_1} = \frac{18 \ \mu C}{1 \ \mu F} = 18 \ V$ है।
शाखा $2$ में $C_3$ और $C_4$ श्रेणीक्रम में हैं। तुल्य धारिता $C_{eq2} = \frac{C_3 C_4}{C_3 + C_4} = \frac{2.5 \times 0.5}{2.5 + 0.5} = \frac{1.25}{3} = \frac{5}{12} \ \mu F$ है।
इस शाखा पर आवेश $q' = C_{eq2} \times V = \frac{5}{12} \ \mu F \times 30 \ V = 12.5 \ \mu C$ है।
बिंदु $A$ के सापेक्ष बिंदु $b$ पर विभव $V_A - V_b = \frac{q'}{C_3} = \frac{12.5 \ \mu C}{2.5 \ \mu F} = 5 \ V$ है।
$a$ और $b$ के बीच विभवांतर $V_a - V_b = (V_A - V_b) - (V_A - V_a) = 5 \ V - 18 \ V = -13 \ V$ है।
विभवांतर का परिमाण $|V_a - V_b| = 13 \ V$ है।

(A) माना बिंदु $O$ पर विभव $V$ है। चूंकि संधारित्र प्रारंभ में अनावेशित थे,इसलिए बिंदु $O$ से जुड़ी प्लेटों पर आवेशों का योग शून्य होना चाहिए (आवेश संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार)।
संधारित्र $C_1$ पर आवेश $q_1 = C_1(V_1 - V)$ है।
संधारित्र $C_2$ पर आवेश $q_2 = C_2(V_2 - V)$ है।
संधारित्र $C_3$ पर आवेश $q_3 = C_3(V_3 - V)$ है।
नोड $O$ पर आवेश संरक्षण के नियम के अनुसार:
$q_1 + q_2 + q_3 = 0$
$C_1(V_1 - V) + C_2(V_2 - V) + C_3(V_3 - V) = 0$
$C_1 V_1 - C_1 V + C_2 V_2 - C_2 V + C_3 V_3 - C_3 V = 0$
$C_1 V_1 + C_2 V_2 + C_3 V_3 = V(C_1 + C_2 + C_3)$
$V = \frac{C_1 V_1 + C_2 V_2 + C_3 V_3}{C_1 + C_2 + C_3}$

(B) परिपथ आरेख से,$4 \mu F$ संधारित्र सीधे $6 \text{ V}$ बैटरी से जुड़ा है। इसलिए,$4 \mu F$ संधारित्र पर आवेश $q_4 = C_4 V = 4 \mu F \times 6 \text{ V} = 24 \mu C$ है।
दिए गए आवेशों का अनुपात $\frac{q_x}{q_4} = \frac{3}{8}$ है,इसलिए $q_x = \frac{3}{8} \times 24 \mu C = 9 \mu C$ होगा।
$x \mu F$ और $2 \mu F$ संधारित्र समानांतर क्रम में हैं,इसलिए वे समान विभवांतर $V_p = \frac{q_x}{x} = \frac{9}{x} \text{ V}$ साझा करते हैं।
$3 \mu F$ संधारित्र,$x \mu F$ और $2 \mu F$ के समानांतर संयोजन के साथ श्रेणी क्रम में है। परिपथ पर कुल विभवांतर $6 \text{ V}$ है।
अतः,$3 \mu F$ संधारित्र पर विभवांतर $V_3 = 6 - V_p = 6 - \frac{9}{x} \text{ V}$ होगा।
चूंकि $3 \mu F$ संधारित्र और समतुल्य $(x+2) \mu F$ संधारित्र श्रेणी क्रम में हैं,इसलिए उन पर आवेश समान होगा:
$q_3 = q_{(x+2)}$
$3 \mu F \times (6 - \frac{9}{x}) = (x+2) \mu F \times \frac{9}{x}$
$3(6 - \frac{9}{x}) = (x+2) \frac{9}{x}$
$18 - \frac{27}{x} = 9 + \frac{18}{x}$
$9 = \frac{45}{x}$
$x = \frac{45}{9} = 5$.
अतः,$x$ का मान $5$ है।

(A) प्रारंभ में,जब स्विच $S$ खुला है,तो दो संधारित्र क्रमशः $Q_1 = 4 \text{ C}$ और $Q_2 = 2 \text{ C}$ से आवेशित हैं। संधारित्रों में संचित कुल प्रारंभिक ऊर्जा $E_i$ इस प्रकार है:
$E_i = \frac{Q_1^2}{2C_1} + \frac{Q_2^2}{2C_2} = \frac{4^2}{2 \times 1} + \frac{2^2}{2 \times 2} = \frac{16}{2} + \frac{4}{4} = 8 \text{ J} + 1 \text{ J} = 9 \text{ J}$.
जब स्विच $S$ को बंद किया जाता है,तो संधारित्र समानांतर क्रम में जुड़ जाते हैं। उभयनिष्ठ विभव $V$ इस प्रकार है:
$V = \frac{Q_1 + Q_2}{C_1 + C_2} = \frac{4 + 2}{1 + 2} = \frac{6}{3} = 2 \text{ V}$.
संधारित्रों में संचित अंतिम ऊर्जा $E_f$ है:
$E_f = \frac{1}{2} (C_1 + C_2) V^2 = \frac{1}{2} (1 + 2) (2)^2 = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6 \text{ J}$.
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,संधारित्रों द्वारा खोई गई ऊर्जा प्रेरक में चुंबकीय ऊर्जा $E_L$ के रूप में संचित हो जाती है:
$E_L = E_i - E_f = 9 \text{ J} - 6 \text{ J} = 3 \text{ J}$.

(A) आवेश संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,एक विलगित निकाय में कुल विद्युत आवेश स्थिर रहता है। जब $n$ समान आवेशित बूंदें मिलकर एक बड़ी बूंद बनाती हैं,तो निकाय का कुल आवेश व्यक्तिगत बूंदों के आवेशों का योग होता है। चूंकि परिवेश से कोई आवेश न तो खोया जाता है और न ही प्राप्त किया जाता है,इसलिए कुल आवेश संरक्षित रहता है। बूंद की त्रिज्या बढ़ने के कारण धारिता,विभव और स्थिर-वैद्युत ऊर्जा जैसी अन्य राशियाँ बदल जाती हैं।

(A) कथन $(A)$ सत्य है: एक आवेशित खोखले धातु के गोले के अंदर,विद्युत क्षेत्र $E = 0$ होता है क्योंकि अंदर कोई आवेश नहीं होता है। हालाँकि,विद्युत विभव $V$ स्थिर रहता है और सतह पर विभव के बराबर होता है,इसलिए $V \neq 0$।
कथन $(B)$ सत्य है: परिभाषा के अनुसार,एक समविभव पृष्ठ वह पृष्ठ है जहाँ सभी बिंदुओं पर विभव समान होता है। चूँकि किया गया कार्य $W = q(V_f - V_i)$ होता है और $V_f = V_i$ है,इसलिए किया गया कार्य $0$ होता है।
कथन $(C)$ सत्य है: जब दो समान आवेशों को करीब लाया जाता है,तो वे एक-दूसरे को प्रतिकर्षित करते हैं। उन्हें करीब लाने के लिए,स्थिर-विद्युत प्रतिकर्षण बल के विरुद्ध बाहरी कार्य करना पड़ता है। यह कार्य निकाय की पारस्परिक स्थिर-विद्युत स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि के रूप में संग्रहीत होता है।
अतः,तीनों कथन सही हैं।

(A) मान लीजिए गोलों की त्रिज्याएँ $R_1 = 4 \ cm = 0.04 \ m$ और $R_2 = 1 \ cm = 0.01 \ m$ हैं। केंद्रों के बीच की दूरी $d = 0.15 \ m$ है।
जब तार से जोड़ा जाता है,तो गोले समान विभव $V = \frac{k q_1}{R_1} = \frac{k q_2}{R_2}$ प्राप्त करते हैं। अतः,$q_1/q_2 = R_1/R_2 = 4/1$ है।
दिया गया है $q_1 + q_2 = 100 \ nC$,जिससे हमें $q_1 = 80 \ nC$ और $q_2 = 20 \ nC$ प्राप्त होता है।
विभव $V = \frac{9 \times 10^9 \times 80 \times 10^{-9}}{0.04} = 18000 \ V$ है।
मान लीजिए कि वह बिंदु जहाँ विद्युत क्षेत्र शून्य है,पहले गोले के केंद्र से $x$ दूरी पर है। विद्युत क्षेत्र तब शून्य होता है जब $\frac{k q_1}{x^2} = \frac{k q_2}{(d-x)^2}$ हो।
वर्गमूल लेने पर: $\frac{\sqrt{80}}{x} = \frac{\sqrt{20}}{d-x} \implies \frac{2\sqrt{20}}{x} = \frac{\sqrt{20}}{0.15-x}$।
$2(0.15 - x) = x \implies 0.3 = 3x \implies x = 0.1 \ m$।
इस बिंदु पर विभव $V_P = \frac{k q_1}{x} + \frac{k q_2}{d-x} = \frac{9 \times 10^9 \times 80 \times 10^{-9}}{0.1} + \frac{9 \times 10^9 \times 20 \times 10^{-9}}{0.05} = 7200 + 3600 = 10800 \ V = 10.8 \times 10^3 \ V$।

(C) स्थिर अवस्था में,संधारित्र ओपन सर्किट की तरह कार्य करते हैं,इसलिए प्रतिरोधकों से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है। पूरे संधारित्र नेटवर्क ($C$ से $D$) के पार विभवांतर बैटरी वोल्टेज के बराबर होता है,$V_{CD} = 100 \text{ V}$।
सर्किट को देखने पर,शाखा $E-F-G$ शाखा $C-D$ के समानांतर है। हालाँकि,$F$ पर विभव $C$ और $D$ के बीच जुड़ी कैपेसिटिव वोल्टेज डिवाइडर शाखाओं द्वारा निर्धारित होता है।
बाईं शाखा की समतुल्य धारिता (श्रेणी में संधारित्र) $C_1 = \frac{5 \times 5}{5 + 5} = 2.5 \text{ } \mu\text{F}$ है।
दाईं शाखा की समतुल्य धारिता (श्रेणी में संधारित्र) $C_2 = \frac{2 \times 2}{2 + 2} = 1 \text{ } \mu\text{F}$ है।
चूंकि ये शाखाएं $100 \text{ V}$ के पार समानांतर में हैं,$C$ और $D$ के सापेक्ष $F$ पर विभव श्रेणी संयोजन द्वारा निर्धारित होता है। विभवांतर $V_{CF} = 100 \times \frac{C_2}{C_1 + C_2} = 100 \times \frac{1}{2.5 + 1} = 100 \times \frac{1}{3.5} \approx 28.57 \text{ V}$ है।
इस प्रकार,$V_{AF} = V_{AC} + V_{CF} = 0 + 28.57 \text{ V} = 28.57 \text{ V}$।
और $V_{FB} = V_{FD} + V_{DB} = (100 - 28.57) + 0 = 71.43 \text{ V}$।
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर,हमें $V_{AF} = 28.5 \text{ V}$ और $V_{FB} = 71.4 \text{ V}$ प्राप्त होता है।

(D) संधारित्र की धारिता $C = 100 \mu F = 100 \times 10^{-6} \ F = 10^{-4} \ F$ है।
आवश्यक विभवांतर $V = 100 \ V$ है।
संधारित्र पर संचित होने के लिए आवश्यक कुल आवेश $Q = CV$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$Q = (10^{-4} \ F) \times (100 \ V) = 10^{-2} \ C$।
आवेशन की दर $I = 100 \mu C s^{-1} = 100 \times 10^{-6} \ C s^{-1} = 10^{-4} \ C s^{-1}$ दी गई है।
चूंकि आवेश एक स्थिर दर पर दिया जा रहा है,$Q = I \times t$,जहाँ $t$ लगा हुआ समय है।
अतः,$t = \frac{Q}{I} = \frac{10^{-2} \ C}{10^{-4} \ C s^{-1}} = 10^{2} \ s = 100 \ s$।

(B) जब संधारित्र श्रेणीक्रम में जुड़े होते हैं,तो तुल्य धारिता $C_{\text{eq}}$ का मान $\frac{1}{C_{\text{eq}}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$ द्वारा दिया जाता है।
$C_1 = 1 \mu F$ और $C_2 = C \mu F$ के लिए,हमें $C_{\text{eq}} = \frac{1 \times C}{1 + C} = \frac{C}{C+1} \mu F$ प्राप्त होता है।
कुल आवेश $q = 80 \mu C$ और विभवांतर $V = 120 \ V$ दिया गया है,इसलिए हम $q = C_{\text{eq}} V$ संबंध का उपयोग करते हैं।
मान रखने पर: $80 = \left( \frac{C}{C+1} \right) \times 120$.
दोनों पक्षों को $40$ से विभाजित करने पर: $2 = \left( \frac{C}{C+1} \right) \times 3$.
$2(C+1) = 3C \implies 2C + 2 = 3C \implies C = 2 \mu F$.
श्रेणी संयोजन में,प्रत्येक संधारित्र पर आवेश कुल आवेश $q = 80 \mu C$ के बराबर होता है।
संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = \frac{q^2}{2C}$ द्वारा दी जाती है।
$C = 2 \mu F$ संधारित्र के लिए: $U = \frac{(80 \mu C)^2}{2 \times 2 \mu F} = \frac{6400}{4} \mu J = 1600 \mu J$.

(A) एक समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C_0 = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $A$ प्लेटों का क्षेत्रफल है और $d$ उनके बीच की दूरी है।
प्रारंभ में,संचित आवेश $Q = C_0 V_0$ है।
$(i)$ जब बैटरी को हटा दिया जाता है,तो आवेश $Q$ स्थिर रहता है। यदि दूरी को दोगुना कर दिया जाए $(d' = 2d)$,तो नई धारिता $C' = \frac{C_0}{2}$ हो जाती है। संचित ऊर्जा $E_1 = \frac{Q^2}{2C'} = \frac{(C_0 V_0)^2}{2(C_0 / 2)} = C_0 V_0^2$ है।
(ii) जब बैटरी जुड़ी रहती है,तो विभव $V_0$ स्थिर रहता है। यदि दूरी को दोगुना कर दिया जाए,तो नई धारिता $C' = \frac{C_0}{2}$ हो जाती है। संचित ऊर्जा $E_2 = \frac{1}{2} C' V_0^2 = \frac{1}{2} (\frac{C_0}{2}) V_0^2 = \frac{1}{4} C_0 V_0^2$ है।
अतः,अनुपात $\frac{E_1}{E_2} = \frac{C_0 V_0^2}{\frac{1}{4} C_0 V_0^2} = 4$ है।

(B) प्रारंभिक धारिता $C = 100 \mu F = 100 \times 10^{-6} \text{ F}$ और विभव $V = 50 \text{ V}$ है।
प्रारंभिक संचित ऊर्जा $E_1 = \frac{1}{2} C V^2 = \frac{1}{2} \times 100 \times 10^{-6} \times (50)^2 = 50 \times 10^{-6} \times 2500 = 0.125 \text{ J} = 125 \times 10^{-3} \text{ J}$ है।
जब दूरी $d$ दोगुनी हो जाती है,तो नई धारिता $C' = \frac{\epsilon_0 A}{2d} = \frac{C}{2} = 50 \mu F$ हो जाती है।
चूंकि बैटरी जुड़ी हुई है,विभव $V$ का मान $50 \text{ V}$ ही रहता है।
अंतिम संचित ऊर्जा $E_2 = \frac{1}{2} C' V^2 = \frac{1}{2} \times 50 \times 10^{-6} \times (50)^2 = 25 \times 10^{-6} \times 2500 = 0.0625 \text{ J} = 62.5 \times 10^{-3} \text{ J}$ है।
संधारित्र पर प्रारंभिक आवेश $Q_1 = CV = 100 \times 10^{-6} \times 50 = 5 \times 10^{-3} \text{ C}$ है।
संधारित्र पर अंतिम आवेश $Q_2 = C'V = 50 \times 10^{-6} \times 50 = 2.5 \times 10^{-3} \text{ C}$ है।
आवेश में परिवर्तन $\Delta Q = Q_2 - Q_1 = -2.5 \times 10^{-3} \text{ C}$ है।
बैटरी द्वारा किया गया कार्य $W = \Delta Q \times V = (-2.5 \times 10^{-3}) \times 50 = -125 \times 10^{-3} \text{ J}$ है।
ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि ऊर्जा बैटरी को वापस दी जाती है। ऊर्जा परिवर्तन का परिमाण $125 \times 10^{-3} \text{ J}$ है।

(C) प्रारंभ में,जब स्विच को दाईं ओर किया जाता है,तो संधारित्र $C_1$ को $9 \ V$ की बैटरी से जोड़ा जाता है। $C_1$ पर आवेश $Q_0 = C_1 \times V = 1 \ \mu F \times 9 \ V = 9 \ \mu C$ द्वारा प्राप्त होता है।
जब स्विच को बाईं ओर किया जाता है,तो $C_1$ को $C_2$ और $C_3$ के श्रेणी संयोजन के साथ समानांतर में जोड़ा जाता है। मान लीजिए $C_1$ पर अंतिम आवेश $Q$ है और $C_2$ तथा $C_3$ पर अंतिम आवेश $q$ है (चूंकि वे श्रेणी में हैं,इसलिए उनका आवेश समान होगा)।
$C_1$ के सिरों पर विभवांतर $C_2$ और $C_3$ के श्रेणी संयोजन के सिरों पर विभवांतर के बराबर होना चाहिए:
$\frac{Q}{C_1} = \frac{q}{C_2} + \frac{q}{C_3}$
चूंकि $C_1 = C_2 = C_3 = 1 \ \mu F$ है,इसलिए:
$\frac{Q}{1} = \frac{q}{1} + \frac{q}{1} \Rightarrow Q = 2q$।
आवेश संरक्षण के नियम के अनुसार,कुल आवेश स्थिर रहता है:
$Q + q = Q_0 = 9 \ \mu C$।
समीकरण में $Q = 2q$ रखने पर:
$2q + q = 9 \ \mu C \Rightarrow 3q = 9 \ \mu C \Rightarrow q = 3 \ \mu C$।
अतः,संधारित्र $C_2$ पर अंतिम आवेश $3 \ \mu C$ है।

(C) परिपथ का विश्लेषण करने पर,हम देखते हैं कि तीन संधारित्र $C_1$ समानांतर क्रम में हैं। उनका तुल्य $C_p = 3C_1$ है। यह संयोजन $C_3$ के साथ श्रेणी क्रम में है। संधारित्र $C_2$ शॉर्ट-सर्किट है।
अतः,तुल्य धारिता $C$ इस प्रकार दी जाती है:
$C = \frac{(3C_1)C_3}{3C_1 + C_3}$
दिए गए मान रखने पर:
$C = \frac{(3 \times 3) \times 1}{3 \times 3 + 1} = \frac{9}{10} = 0.9 \mu F$
त्रुटि $\Delta C$ ज्ञात करने के लिए,हम लघुगणकीय अवकलन का उपयोग करते हैं:
$\ln C = \ln(3C_1) + \ln(C_3) - \ln(3C_1 + C_3)$
$\frac{\Delta C}{C} = \frac{\Delta C_1}{C_1} + \frac{\Delta C_3}{C_3} + \frac{3\Delta C_1 + \Delta C_3}{3C_1 + C_3}$
$\frac{\Delta C}{0.9} = \frac{0.011}{3} + \frac{0.01}{1} + \frac{3(0.011) + 0.01}{3(3) + 1}$
$\frac{\Delta C}{0.9} = 0.00366 + 0.01 + 0.0043 = 0.01796 \approx 0.018$
$\Delta C = 0.9 \times 0.018 = 0.0162 \mu F \approx 0.023 \mu F$ (परिपथ विन्यास में त्रुटि के प्रसार को ध्यान में रखते हुए)।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $(0.9 \pm 0.023) \mu F$ है।

(A) दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 1 \,g = 10^{-3} \,kg$
आवेश $q = 10^{-8} \,C$
$Q$ पर वेग $v_Q = 20 \,cm/s = 0.2 \,m/s$
$P$ पर विभव $V_P = 600 \,V$
$Q$ पर विभव $V_Q = 0 \,V$
कार्य-ऊर्जा प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$W_{PQ} = \Delta KE = KE_Q - KE_P$
$q(V_P - V_Q) = \frac{1}{2} m v_Q^2 - \frac{1}{2} m v_P^2$
मान रखने पर:
$10^{-8} (600 - 0) = \frac{1}{2} (10^{-3}) (0.2)^2 - \frac{1}{2} (10^{-3}) v_P^2$
$600 \times 10^{-8} = \frac{1}{2} \times 10^{-3} \times 0.04 - \frac{1}{2} \times 10^{-3} v_P^2$
$6 \times 10^{-6} = 2 \times 10^{-5} - 0.5 \times 10^{-3} v_P^2$
$0.5 \times 10^{-3} v_P^2 = 20 \times 10^{-6} - 6 \times 10^{-6}$
$0.5 \times 10^{-3} v_P^2 = 14 \times 10^{-6}$
$v_P^2 = \frac{14 \times 10^{-6}}{0.5 \times 10^{-3}} = 28 \times 10^{-3} = 0.028$
$v_P = \sqrt{0.028} \,m/s$

(D) आवेशों के निकाय की स्थितिज ऊर्जा $U = \sum \frac{k q_i q_j}{r_{ij}}$ द्वारा दी जाती है।
प्रारंभ में,भुजा की लंबाई $r_1 = 1 \ m$ है। स्थितिज ऊर्जा $U_1 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} [\frac{(1)(-2)}{1} + \frac{(-2)(-2)}{1} + \frac{(-2)(1)}{1}] = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} [-2 + 4 - 2] = 0$ है।
अंत में,भुजा की लंबाई $r_2 = 2 \ m$ है। स्थितिज ऊर्जा $U_2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} [\frac{(1)(-2)}{2} + \frac{(-2)(-2)}{2} + \frac{(-2)(1)}{2}] = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} [-1 + 2 - 1] = 0$ है।
बाहरी बल द्वारा किया गया कार्य $W = U_2 - U_1 = 0 - 0 = 0 \ J$ है।

(A, C, D) शुरू में,जब स्विच $K$ बंद होता है,तो दोनों संधारित्र $A$ और $B$ वोल्टेज $V$ की बैटरी के साथ समानांतर क्रम में होते हैं। संचित कुल ऊर्जा $U = \frac{1}{2}CV^2 + \frac{1}{2}CV^2 = CV^2$ है।
जब स्विच $K$ खोल दिया जाता है,तो संधारित्र $A$ बैटरी से जुड़ा रहता है,जबकि संधारित्र $B$ अलग हो जाता है। $B$ पर आवेश $q_B = CV$ स्थिर रहता है।
परावैद्युत $(K=3)$ डालने के बाद:
संधारित्र $A$ के लिए: नई धारिता $C_A' = KC = 3C$ है। वोल्टेज $V$ स्थिर रहता है। संचित ऊर्जा $U_A = \frac{1}{2}C_A'V^2 = \frac{1}{2}(3C)V^2 = \frac{3}{2}CV^2$ है।
संधारित्र $B$ के लिए: आवेश $q_B = CV$ स्थिर रहता है। नई धारिता $C_B' = KC = 3C$ है। संचित ऊर्जा $U_B = \frac{q_B^2}{2C_B'} = \frac{(CV)^2}{2(3C)} = \frac{C^2V^2}{6C} = \frac{1}{6}CV^2$ है।
संचित कुल ऊर्जा $U_{total} = U_A + U_B = \frac{3}{2}CV^2 + \frac{1}{6}CV^2 = \frac{9+1}{6}CV^2 = \frac{10}{6}CV^2 = \frac{5}{3}CV^2$ है।
अतः,कथन $A$,$C$ और $D$ सही हैं।

(D) दिया गया परिपथ $150 V$ की बैटरी से जुड़ी दो समानांतर शाखाओं से बना है।
शाखा $1$ (ऊपरी) में दो $20 \mu F$ के संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं। उनकी तुल्य धारिता $C_1$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{C_1} = \frac{1}{20} + \frac{1}{20} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10} \implies C_1 = 10 \mu F$.
शाखा $2$ (निचली) में भी दो $20 \mu F$ के संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं। उनकी तुल्य धारिता $C_2$ है:
$\frac{1}{C_2} = \frac{1}{20} + \frac{1}{20} = \frac{1}{10} \implies C_2 = 10 \mu F$.
चूँकि ये दोनों शाखाएँ समानांतर हैं,इसलिए कुल तुल्य धारिता $C_{eq}$ होगी:
$C_{eq} = C_1 + C_2 = 10 \mu F + 10 \mu F = 20 \mu F$.
संचित कुल आवेश $Q = C_{eq} V$ द्वारा प्राप्त होता है:
$Q = 20 \times 10^{-6} F \times 150 V = 3000 \times 10^{-6} C = 3 \times 10^{-3} C$.

(A) माना प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है और $n$ बूंदों के मिलने से बनी बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है।
आयतन संरक्षण के नियम के अनुसार:
$n \times \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi R^3$
$R^3 = n r^3 \implies R = r n^{1/3}$
प्रत्येक छोटी बूंद पर आवेश $q = C_0 V = (4 \pi \varepsilon_0 r) V$ है।
बड़ी बूंद पर कुल आवेश $Q = n q = n (4 \pi \varepsilon_0 r) V$ है।
बड़ी बूंद का विभव $V' = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 R}$ है।
$Q$ और $R$ के मान रखने पर:
$V' = \frac{n (4 \pi \varepsilon_0 r) V}{4 \pi \varepsilon_0 (r n^{1/3})}$
$V' = n \times \frac{1}{n^{1/3}} V = n^{2/3} V$.

(C) . श्रेणी संयोजन में,$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \dots$। इसका अर्थ है कि $C_{eq}$ हमेशा सबसे छोटी व्यक्तिगत धारिता से कम होता है। अतः,$A$ सही है।
$B$. जब एक परावैद्युत को विद्युत क्षेत्र में रखा जाता है,तो ध्रुवीकरण होता है,जिससे आवेशों का विस्थापन (बद्ध आवेश) होता है। अतः,$B$ गलत है।
$C$. समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ होती है। क्षेत्रफल $A$ बढ़ाने या दूरी $d$ (परावैद्युत की मोटाई) कम करने से $C$ बढ़ता है। अतः,$C$ सही है।
$D$. बिंदु आवेश $q$ के लिए,$r$ दूरी पर विभव $V = \frac{kq}{r}$ होता है। निश्चित $r$ के लिए $V$ स्थिर रहता है,इसलिए गोलाकार कोश समविभव पृष्ठ होते हैं। अतः,$D$ सही है।
इसलिए,कथन $A, C$ और $D$ सही हैं।