Mix Examples - Electric Potential and Capacitance Questions in Hindi

(A) माना प्रारंभिक दूरी $r_i = 4R$ है और अंतिम दूरी जब वे बस स्पर्श करते हैं,$r_f = 2R$ है।
ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,कुल प्रारंभिक ऊर्जा = कुल अंतिम ऊर्जा।
प्रारंभिक ऊर्जा: $E_i = 2 \times (\frac{1}{2} m u^2) - \frac{G m^2}{4R} + \frac{k Q^2}{4R} = m u^2 - \frac{G m^2}{4R} + \frac{k Q^2}{4R}$.
अंतिम ऊर्जा (स्पर्श करते समय,गति शून्य है): $E_f = 0 - \frac{G m^2}{2R} + \frac{k Q^2}{2R}$.
$E_i = E_f$ को बराबर करने पर:
$m u^2 - \frac{G m^2}{4R} + \frac{k Q^2}{4R} = - \frac{G m^2}{2R} + \frac{k Q^2}{2R}$.
$m u^2 = \frac{k Q^2}{4R} - \frac{G m^2}{4R} = \frac{1}{4R} (k Q^2 - G m^2)$.
$u = \sqrt{\frac{k Q^2}{4 m R} (1 - \frac{G m^2}{k Q^2})}$.

(A) बैटरी से जुड़े संधारित्र की स्थिर-वैद्युत ऊर्जा $U = \frac{1}{2}CV^2$ होती है।
यहाँ $C = \frac{\epsilon_0 A}{x}$,इसलिए $U = \frac{1}{2} \left( \frac{\epsilon_0 A}{x} \right) V^2$ होगा।
चूंकि बैटरी जुड़ी हुई है,इसलिए विभवांतर $V$ स्थिर रहता है।
अतः,$U \propto \frac{1}{x} = x^{-1}$ होगा।
ऊर्जा के परिवर्तन की समय दर $\frac{dU}{dt} = \frac{dU}{dx} \cdot \frac{dx}{dt}$ है।
दिया गया है कि प्लेटों को $v$ की एकसमान गति से दूर खींचा जा रहा है,इसलिए $\frac{dx}{dt} = v$ (एक स्थिरांक)।
अब,$U$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dU}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{\epsilon_0 A V^2}{2} \cdot x^{-1} \right) = -\frac{\epsilon_0 A V^2}{2} \cdot x^{-2}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$\frac{dU}{dt} = \left( -\frac{\epsilon_0 A V^2}{2} \cdot x^{-2} \right) \cdot v$ होगा।
चूंकि $\epsilon_0, A, V,$ और $v$ स्थिरांक हैं,इसलिए $\frac{dU}{dt} \propto x^{-2}$ प्राप्त होता है।
इसे $x^\alpha$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha = -2$ प्राप्त होता है।

(B) अभिकथन $A$ सही है: गॉस के नियम के अनुसार,स्थिर वैद्युत संतुलन में एक चालक के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य होता है,जिसका अर्थ है कि चालक के अंदर नेट आवेश घनत्व शून्य होता है।
कारण $R$ भी सही है: यदि किसी मुक्त आवेश वाहक को संधारित्र की प्लेटों के बीच (निर्वात या हवा में) रखा जाता है,तो वह $F = qE$ बल का अनुभव करता है और अपवाह (drift) करता है।
हालाँकि,एक चालक के अंदर नेट आवेश न होने का कारण सतह पर आवेशों का पुनर्वितरण है जो आंतरिक क्षेत्र को रद्द कर देता है,जो संधारित्र प्लेटों के बीच आवेशों के व्यवहार से स्वतंत्र है। इसलिए,$R$,$A$ की सही व्याख्या नहीं है।

(D) यह परिपथ एक संतुलित व्हीटस्टोन सेतु है क्योंकि $\frac{C_1}{C_2} = \frac{C_4}{C_3} = \frac{10}{10} = 1$ है।
चूंकि सेतु संतुलित है,इसलिए केंद्रीय संधारित्र $C_5$ से कोई आवेश प्रवाहित नहीं होता है।
अतः,परिपथ दो समानांतर शाखाओं में सरल हो जाता है,जिनमें से प्रत्येक में दो संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं।
बाईं शाखा में $C_1$ और $C_2$ श्रेणीक्रम में हैं,और दाईं शाखा में $C_4$ और $C_3$ श्रेणीक्रम में हैं।
प्रत्येक शाखा की तुल्य धारिता: $C_{\text{branch}} = \frac{10 \times 10}{10 + 10} = 5 \mu F$.
कुल तुल्य धारिता: $C_{\text{eq}} = 5 \mu F + 5 \mu F = 10 \mu F$.
बैटरी द्वारा आपूर्ति किया गया कुल आवेश: $Q = C_{\text{eq}}V = 10 \mu F \times 50 \ V = 500 \mu C$.
चूंकि शाखाएं समान हैं,इसलिए आवेश समान रूप से विभाजित होता है: प्रत्येक शाखा से $250 \mu C$ आवेश प्रवाहित होता है।
इस प्रकार,प्रत्येक संधारित्र $C_1, C_2, C_3, C_4$ पर $250 \mu C$ और $C_5$ पर $0 \mu C$ आवेश होता है।