Matter Waves and de Broglie Wavelength Questions in Gujarati

(A) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2 m_e K}}$ છે.
અહીં $K = 9 \ eV$ અને $m_e c^2 = 0.5 \ MeV = 0.5 \times 10^6 \ eV$ આપેલ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $m_e = \frac{0.5 \times 10^6 \ eV}{c^2}$.
આ કિંમત તરંગલંબાઈના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2 \left(\frac{0.5 \times 10^6}{c^2}\right) K}} = \frac{hc}{\sqrt{2 \times 0.5 \times 10^6 \times K}}$.
આપેલ છે કે $h = 4 \times 10^{-15} \ eV \cdot s$ અને $c = 3 \times 10^{10} \ cm/s$,તેથી $hc = (4 \times 10^{-15}) \times (3 \times 10^{10}) = 12 \times 10^{-5} \ eV \cdot cm$.
હવે,$\lambda = \frac{12 \times 10^{-5}}{\sqrt{2 \times 0.5 \times 10^6 \times 9}} = \frac{12 \times 10^{-5}}{\sqrt{9 \times 10^6}} = \frac{12 \times 10^{-5}}{3 \times 10^3} = 4 \times 10^{-8} \ cm$.

(A) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2m_p qV}}$ છે।
કિંમતો મૂકતા: $h = 6.63 \times 10^{-34} \,J-s$, $m_p = 1.67 \times 10^{-27} \,kg$, $q = 1.6 \times 10^{-19} \,C$, અને $V = 1000 \,V$.
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 1.67 \times 10^{-27} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 1000}}$
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{5.344 \times 10^{-43}}} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{7.31 \times 10^{-22}} \approx 9.07 \times 10^{-13} \,m$.
આમ, તરંગલંબાઈ આશરે $9.1 \times 10^{-13} \,m$ છે।

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ અને ગતિ ઉર્જા $K$ વચ્ચેનો સંબંધ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ છે.
આ સૂત્ર પરથી કહી શકાય કે $K \propto \frac{1}{\lambda^2}$.
ધારો કે $\lambda_1 = 1 \,nm$ પર પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા $K_1$ છે અને $\lambda_2 = 0.5 \,nm$ પર અંતિમ ગતિ ઉર્જા $K_2$ છે.
તેથી, $\frac{K_2}{K_1} = \left( \frac{\lambda_1}{\lambda_2} \right)^2 = \left( \frac{1}{0.5} \right)^2 = 2^2 = 4$.
આમ, $K_2 = 4K_1$.
ઇલેક્ટ્રોનમાં ઉમેરવી પડતી ઉર્જા $\Delta K = K_2 - K_1 = 4K_1 - K_1 = 3K_1$ થાય.
તેથી, ઉમેરવી પડતી ઉર્જા એ પ્રારંભિક ઉર્જા કરતા ત્રણ ગણી છે.

(B) $m$ દળ અને $q$ વીજભાર ધરાવતા વીજભારિત કણ માટે $V$ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત હેઠળ ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$
અહીં $h$,$m$ અને $q$ અચળ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$
તેથી,તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર:
$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{V_2}{V_1}} = \frac{V_2^{1/2}}{V_1^{1/2}}$
જેને $V_2^{1/2} : V_1^{1/2}$ તરીકે લખી શકાય છે.

(D) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ છે.
ઉર્જા $E$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,$E = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો: $h = 6.6 \times 10^{-34} \ \text{Js}$,$m = 9.1 \times 10^{-31} \ \text{kg}$,અને $\lambda = 5500 \ \text{Å} = 5.5 \times 10^{-7} \ \text{m}$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$E = \frac{(6.6 \times 10^{-34})^2}{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times (5.5 \times 10^{-7})^2}$
$E = \frac{43.56 \times 10^{-68}}{18.2 \times 10^{-31} \times 30.25 \times 10^{-14}}$
$E = \frac{43.56 \times 10^{-68}}{550.55 \times 10^{-45}}$
$E \approx 0.0791 \times 10^{-23} \ \text{J} \approx 7.91 \times 10^{-25} \ \text{J}$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ નજીકનું મૂલ્ય $8 \times 10^{-25} \ \text{J}$ છે.

(B) આપેલ છે કે ફોટોનની ઊર્જા $E$ એ પ્રોટોનની ગતિઊર્જા $K_p = E$ જેટલી છે.
પ્રોટોન માટે,ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda_1 = \frac{h}{p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $p$ એ પ્રોટોનનું વેગમાન છે.
$E = \frac{p^2}{2m}$ હોવાથી,$p = \sqrt{2mE}$ મળે.
તેથી,$\lambda_1 = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$.
ફોટોન માટે,તરંગલંબાઈ $\lambda_2 = \frac{hc}{E}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{\lambda_1}{\lambda_2}$ ની ગણતરી કરતા:
$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{h / \sqrt{2mE}}{hc / E} = \frac{h}{\sqrt{2mE}} \cdot \frac{E}{hc} = \frac{E}{c \sqrt{2mE}} = \frac{\sqrt{E}}{c \sqrt{2m}}$.
અહીં $c$ અને $m$ અચળ હોવાથી,$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} \propto \sqrt{E}$ અથવા $E^{1/2}$ થાય.

(A) $m$ દળ અને $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા કણને $V$ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત કરતા મળતી દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ છે.
પ્રોટોન $(p)$ માટે: $\lambda_p = \frac{h}{\sqrt{2m_p q_p V}}$.
$\alpha$-કણ $(\alpha)$ માટે: $\lambda_\alpha = \frac{h}{\sqrt{2m_\alpha q_\alpha V_\alpha}}$.
આપેલ છે કે $\lambda_p = \lambda_\alpha$, તેથી $\sqrt{2m_p q_p V} = \sqrt{2m_\alpha q_\alpha V_\alpha}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $m_p q_p V = m_\alpha q_\alpha V_\alpha$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $m_\alpha = 4m_p$ અને $q_\alpha = 2q_p$.
આ કિંમતો મૂકતા: $m_p q_p V = (4m_p)(2q_p) V_\alpha$.
$m_p q_p V = 8 m_p q_p V_\alpha$.
તેથી, $V_\alpha = \frac{V}{8}$.

(D) ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda_e = \frac{h}{mv}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ છે.
ફોટોનની તરંગલંબાઈ $\lambda_p = \frac{h}{p_p} = \frac{hc}{E_p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E_p$ એ ફોટોનની ઊર્જા છે.
આપેલ છે કે $\lambda_e = \lambda_p$,તેથી $\frac{h}{mv} = \frac{hc}{E_p}$.
આના પરથી $E_p = mvc$ મળે છે.
ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $K_e = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા અને ફોટોનની ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K_e}{E_p} = \frac{\frac{1}{2}mv^2}{mvc} = \frac{v}{2c}$ થાય છે.
આપેલ કિંમતો $v = 1.5 \times 10^8 \ m/s$ અને $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ મૂકતા:
$\frac{K_e}{E_p} = \frac{1.5 \times 10^8}{2 \times 3 \times 10^8} = \frac{1.5}{6} = \frac{1}{4}$.

(C) $V$ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત $m$ દળ અને $q$ વીજભાર ધરાવતા કણની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રોટોન માટે,$\lambda_0 = \frac{h}{\sqrt{2m_p q_p V}}$.
$\alpha$-કણ માટે,દળ $m_{\alpha} = 4m_p$ અને વીજભાર $q_{\alpha} = 2q_p$ છે.
આ કિંમતોને $\alpha$-કણના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\lambda_{\alpha} = \frac{h}{\sqrt{2(4m_p)(2q_p)V}} = \frac{h}{\sqrt{8(2m_p q_p V)}} = \frac{1}{\sqrt{8}} \left( \frac{h}{\sqrt{2m_p q_p V}} \right)$.
કારણ કે $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$,તેથી $\lambda_{\alpha} = \frac{\lambda_0}{2\sqrt{2}}$ મળે છે.

(D) ગતિઊર્જા,$KE = 80 eV = 80 \times 1.6 \times 10^{-19} J = 128 \times 10^{-19} J$.
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m(KE)}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 9 \times 10^{-31} \times 128 \times 10^{-19}}} = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{256 \times 9 \times 10^{-50}}}$.
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{16 \times 3 \times 10^{-25}} = \frac{6.6}{48} \times 10^{-9} m$.
$\lambda = 0.1375 \times 10^{-9} m \approx 1.375 \times 10^{-10} m = 1.375 Å$.
નજીકની કિંમત લેતા,$\lambda \approx 1.4 Å$ મળે છે.

(C) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર: $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2 m_{e} K}}$, જ્યાં $K$ એ ગતિઊર્જા છે。
આપેલ છે: $h = 6.0 \times 10^{-34} \text{ J s}$, $m_{e} = 9.0 \times 10^{-31} \text{ kg}$, $K = 320 \text{ eV} = 320 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.0 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 9.0 \times 10^{-31} \times 320 \times 1.6 \times 10^{-19}}}$
$\lambda = \frac{6.0 \times 10^{-34}}{\sqrt{18 \times 10^{-31} \times 512 \times 10^{-19}}}$
$\lambda = \frac{6.0 \times 10^{-34}}{\sqrt{9216 \times 10^{-50}}}$
$\lambda = \frac{6.0 \times 10^{-34}}{96 \times 10^{-25}}$
$\lambda = 0.0625 \times 10^{-9} \text{ m} = 62.5 \times 10^{-12} \text{ m} = 62.5 \text{ pm}$.

(C) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p}$ છે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{p^2}{2m}$ હોવાથી,વેગમાન $p = \sqrt{2mK}$ થાય.
આ કિંમત તરંગલંબાઈના સૂત્રમાં મૂકતા,$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ મળે.
સમાન ગતિઊર્જા $K$ માટે,તરંગલંબાઈ દળના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$.
દળની સરખામણી કરતા: $m_{\text{electron}} < m_{\text{proton}} \approx m_{\text{neutron}} < m_{\alpha\text{-particle}}$.
આપેલા વિકલ્પોમાં $\alpha$-કણનું દળ સૌથી વધુ હોવાથી,તેની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ સૌથી ટૂંકી હશે.

(B) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p}$ છે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{p^2}{2m}$ હોવાથી, $p = \sqrt{2mK}$ થાય.
તેથી, $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$.
અહીં $h = 4.14 \times 10^{-15} eVs$, $K = 100 eV$, અને $m = \frac{0.5 \times 10^6}{c^2} eV/c^2$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા, જ્યાં $c = 3 \times 10^8 m/s$ છે:
$\lambda = \frac{4.14 \times 10^{-15}}{\sqrt{2 \times (0.5 \times 10^6 / c^2) \times 100}}$
$\lambda = \frac{4.14 \times 10^{-15} \times c}{\sqrt{10^8}}$
$\lambda = \frac{4.14 \times 10^{-15} \times 3 \times 10^8}{10^4} = 1.242 \times 10^{-10} m = 124.2 pm$.

(A) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,ધારો કે દળ $m$,ઝડપ $v$ અને ગતિઊર્જા $E = \frac{1}{2}mv^2$ છે. તેથી,$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$.
કેટલાક મુસાફરો ઉતરી ગયા પછી,ધારો કે નવું દળ $m'$,નવી ઝડપ $v' = 2v$ અને નવી ગતિઊર્જા $E' = 2E$ છે.
ગતિઊર્જાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $E' = \frac{1}{2}m'(v')^2$.
કિંમતો મૂકતા: $2E = \frac{1}{2}m'(2v)^2 = \frac{1}{2}m'(4v^2) = 2m'v^2$.
કારણ કે $E = \frac{1}{2}mv^2$,તેથી $2(\frac{1}{2}mv^2) = 2m'v^2$,જેનો અર્થ છે કે $m' = \frac{m}{2}$.
હવે,નવી દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda'$ છે:
$\lambda' = \frac{h}{\sqrt{2m'E'}} = \frac{h}{\sqrt{2(\frac{m}{2})(2E)}} = \frac{h}{\sqrt{2mE}} = \lambda$.
તેથી,નવી દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ જ રહે છે.

(A) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ છે,જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$m$ કણનું દળ છે અને $K$ ગતિઊર્જા છે.
ત્રણેય કણો માટે દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ સમાન હોવાથી,$\sqrt{2mK} = \text{અચળ}$,જેનો અર્થ છે કે $mK = \text{અચળ}$ અથવા $K \propto \frac{1}{m}$.
કણોના દળ $m_e$ (ઇલેક્ટ્રોન),$m_p$ (પ્રોટોન) અને $m_{\alpha}$ (આલ્ફા કણ) છે. આપણે જાણીએ છીએ કે $m_e < m_p < m_{\alpha}$.
ગતિઊર્જા $K$ એ દળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી,આપણને $\varepsilon_1 > \varepsilon_3 > \varepsilon_2$ મળે છે (જ્યાં $\varepsilon_1$ ઇલેક્ટ્રોન માટે,$\varepsilon_3$ પ્રોટોન માટે અને $\varepsilon_2$ આલ્ફા કણ માટે છે).

(D) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2m(KE)}}$ છે.
બંને કણો સમાન વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $V$ દ્વારા પ્રવેગિત થતા હોવાથી,ગતિઊર્જા $KE = qV$ થાય.
તેથી,$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$.
અહીં $h$,$q$ અને $V$ અચળ હોવાથી,$\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$ મળે.
તેથી,$\frac{\lambda_{p}}{\lambda_{e}} = \sqrt{\frac{m_{e}}{m_{p}}}$.
આપેલ છે કે $m_{p} = 2000 m_{e}$,તેથી ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{\lambda_{p}}{\lambda_{e}} = \sqrt{\frac{m_{e}}{2000 m_{e}}} = \sqrt{\frac{1}{2000}} = \frac{1}{\sqrt{400 \times 5}} = \frac{1}{20 \sqrt{5}}$.
આમ,$\lambda_{p} = \frac{\lambda_{e}}{20 \sqrt{5}}$.

(D) $V$ પોટેન્શિયલ દ્વારા પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ નું સૂત્ર: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2 m_e e V}}$ છે.
આ સંબંધ પરથી આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$.
તેથી,$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{V_2}{V_1}}$.
અહીં $\lambda_1 = \lambda$ અને $\lambda_2 = 2\lambda$ આપેલ છે,તેથી $\frac{\lambda}{2\lambda} = \sqrt{\frac{V_2}{10000}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{1}{4} = \frac{V_2}{10000}$.
આમ,$V_2 = \frac{10000}{4} = 2500 \ V$.

(D) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ અને ગતિઊર્જા $E$ વચ્ચેનો સંબંધ: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ છે.
આથી,$\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{E}}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{E_2}{E_1}}$.
આપેલ છે:
$\lambda_1 = 0.4 \times 10^{-10} \ m$
$E_1 = 1.0 \ keV$
$\lambda_2 = 1.0 \times 10^{-10} \ m$
આ કિંમતો ગુણોત્તરમાં મૂકતા:
$\frac{0.4 \times 10^{-10}}{1.0 \times 10^{-10}} = \sqrt{\frac{E_2}{1.0 \ keV}}$
$0.4 = \sqrt{E_2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$E_2 = (0.4)^2 = 0.16 \ keV$.

(C) ઇલેક્ટ્રોન માટે દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ અને પ્રવેગક વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\lambda^2 = \frac{h^2}{2meV}$
$V$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$V = \frac{h^2}{2me\lambda^2}$
ઇલેક્ટ્રોન માટે આ સૂત્રનું સરળ સ્વરૂપ:
$V \approx \frac{150}{\lambda^2} \text{ V}$, જ્યાં $\lambda$ એ $\text{Å}$ માં છે.
અહીં $\lambda = 1 \text{ Å}$ આપેલ છે:
$V = \frac{150}{(1)^2} = 150 \text{ V}$.
આમ, જરૂરી વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $150 \text{ V}$ છે.

(D) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિસ્સો $A$: મુક્ત પતન માટે,$v = \sqrt{2gh}$. $v$ એ દળથી સ્વતંત્ર હોવાથી,$\lambda = \frac{h}{m\sqrt{2gh}} \propto \frac{1}{m}$. આમ,ભારે કણની તરંગલંબાઇ નાની હોય છે.
કિસ્સો $B$: સમાન ગતિઊર્જા $K$ સાથે,$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$. $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$ હોવાથી,ભારે કણની તરંગલંબાઇ નાની હોય છે.
કિસ્સો $C$: સમાન વેગમાન $p$ સાથે,$\lambda = \frac{h}{p}$. $p$ સમાન હોવાથી,બંને માટે $\lambda$ સમાન રહે છે.
કિસ્સો $D$: સમાન ઝડપ $v$ સાથે,$\lambda = \frac{h}{mv}$. $\lambda \propto \frac{1}{m}$ હોવાથી,ભારે કણની તરંગલંબાઇ નાની હોય છે.
નોંધ: વિકલ્પો $A$,$B$,અને $D$ ત્રણેયમાં ભારે કણની તરંગલંબાઇ નાની મળે છે. સામાન્ય રીતે,$D$ એ સૌથી સીધો સંબંધ દર્શાવે છે જ્યાં $\lambda \propto 1/m$ જોવા મળે છે.

(B) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનું સૂત્ર: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ છે.
આપેલ કિંમતો:
$h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \cdot s$
$m = 1 \times 10^{-30} \ kg$
$K = 200 \ eV = 200 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J = 3.2 \times 10^{-17} \ J$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times (1 \times 10^{-30}) \times (3.2 \times 10^{-17})}}$
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{6.4 \times 10^{-47}}}$
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{8 \times 10^{-23.5}}$
ગણતરી કરતા:
$\lambda = 0.825 \times 10^{-10} \ m = 8.25 \times 10^{-11} \ m$.

(A) ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda_e = \frac{h}{m_e v_e}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v_e = c/2$. તેથી,$\lambda_e = \frac{h}{m_e (c/2)} = \frac{2h}{m_e c}$.
ફોટોન માટે,તરંગલંબાઈ $\lambda_p = \frac{h}{p_p} = \frac{h}{E_p/c} = \frac{hc}{E_p}$ છે,જ્યાં $E_p$ એ ફોટોનની ઊર્જા છે.
આપેલ છે કે $\lambda_e = \lambda_p$,તેથી $\frac{2h}{m_e c} = \frac{hc}{E_p}$.
આના પરથી $E_p = \frac{m_e c^2}{2}$ મળે છે.
ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $K_e = \frac{1}{2} m_e v_e^2 = \frac{1}{2} m_e (c/2)^2 = \frac{1}{8} m_e c^2$ છે.
ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K_e}{E_p} = \frac{\frac{1}{8} m_e c^2}{\frac{1}{2} m_e c^2} = \frac{1}{4}$ થાય.

(C) ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mK_e}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $K_e$ એ ઇલેક્ટ્રોનની ગતિ ઉર્જા છે અને $m$ એ તેનું દળ છે.
આમ,$K_e = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$.
ફોટોનની ઉર્જા $E_p = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણને આપેલ છે કે તરંગલંબાઈ સમાન છે,તેથી $\lambda_e = \lambda_p = \lambda$.
ફોટોનની ઉર્જા અને ઇલેક્ટ્રોનની ગતિ ઉર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{E_p}{K_e} = \frac{hc/\lambda}{h^2/(2m\lambda^2)} = \frac{hc}{\lambda} \cdot \frac{2m\lambda^2}{h^2} = \frac{2mc\lambda}{h}$.
કારણ કે $E_p = \frac{hc}{\lambda}$,તેથી $\lambda = \frac{hc}{E_p}$.
આ કિંમત ગુણોત્તરમાં મૂકતા:
$\frac{E_p}{K_e} = \frac{2mc}{h} \cdot \frac{hc}{E_p} = \frac{2mc^2}{E_p}$.
અહીં $mc^2 = 0.5 \ MeV = 500 \ keV$ અને $E_p = 50 \ keV$ આપેલ છે:
$\frac{E_p}{K_e} = \frac{2 \times 500 \ keV}{50 \ keV} = \frac{1000}{50} = 20$.
તેથી,ગુણોત્તર $20:1$ છે.

(B) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2m \cdot KE}}$ છે.
ડ્યુટેરોન $(d)$ માટે,દળ $m_d = 2m_p$ અને ગતિઊર્જા $KE_d = E$ છે.
આલ્ફા કણ $(\alpha)$ માટે,દળ $m_{\alpha} = 4m_p$ અને ગતિઊર્જા $KE_{\alpha} = 2E$ છે.
તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_d}{\lambda_{\alpha}} = \sqrt{\frac{m_{\alpha} \cdot KE_{\alpha}}{m_d \cdot KE_d}}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\lambda_d}{\lambda_{\alpha}} = \sqrt{\frac{4m_p \cdot 2E}{2m_p \cdot E}} = \sqrt{\frac{8}{2}} = \sqrt{4} = 2$.
આમ,ગુણોત્તર $2:1$ છે,જેનો અર્થ છે કે $n = 2$.

(C) સ્થિતિમાન તફાવત $V$ દ્વારા પ્રવેગિત કણની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ માટેનું સૂત્ર: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$.
આપેલ છે: $h = 6.6 \times 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}$,$q = 3 \times 10^{-19} \text{ C}$,$m = 6 \times 10^{-27} \text{ kg}$,અને $V = 1.21 \text{ V}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times (6 \times 10^{-27}) \times (3 \times 10^{-19}) \times 1.21}}$
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{36 \times 10^{-46} \times 1.21}}$
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{6 \times 10^{-23} \times 1.1}$
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{6.6 \times 10^{-23}}$
$\lambda = 10^{-11} \text{ m} = 10 \times 10^{-12} \text{ m}$.
આને $\alpha \times 10^{-12} \text{ m}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 10$ મળે છે.

(A) ડી બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ છે.
વાયુના અણુ માટે સરેરાશ ગતિઊર્જા $K = \frac{3}{2}kT$ છે.
આ કિંમત તરંગલંબાઈના સૂત્રમાં મૂકતા: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m(\frac{3}{2}kT)}} = \frac{h}{\sqrt{3mkT}}$.
આપેલ કિંમતો: $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$m = 5.31 \times 10^{-26} \ kg$,$k = 1.38 \times 10^{-23} \ J/K$,અને $T = 27 + 273 = 300 \ K$.
છેદની ગણતરી કરતા: $\sqrt{3 \times 5.31 \times 10^{-26} \times 1.38 \times 10^{-23} \times 300} = \sqrt{6587.34 \times 10^{-49}} \approx 2.566 \times 10^{-23}$.
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{2.566 \times 10^{-23}} \approx 2.58 \times 10^{-11} \ m = 25.8 \times 10^{-12} \ m$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,$x = 26$.

(B) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ માટેનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{mv}$ છે.
આપેલ છે:
દળ $m = 0.033 \text{ kg}$
વેગ $v = 1 \text{ km/s} = 1000 \text{ m/s} = 10^3 \text{ m/s}$
પ્લાન્કનો અચળાંક $h = 6.6 \times 10^{-34} \text{ Js}$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{0.033 \times 1000}$
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{33}$
$\lambda = 0.2 \times 10^{-34} \text{ m}$
$\lambda = 2 \times 10^{-35} \text{ m}$.

(B) ફોટોન માટે,વેગમાન $p$ એ $p = \frac{h}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે.
દ-બ્રોગ્લી સંબંધ મુજબ,$p$ વેગમાન ધરાવતા કણ સાથે સંકળાયેલ તરંગલંબાઈ $\lambda'$ એ $\lambda' = \frac{h}{p}$ છે.
$p$ માટેના સમીકરણને દ-બ્રોગ્લી સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\lambda' = \frac{h}{h/\lambda} = \lambda$ મળે છે.
આમ,ફોટોનની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ તેની સાથે સંકળાયેલ વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણની તરંગલંબાઈ જેટલી જ હોય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું બળ $\vec{F} = q\vec{E} = (-e)(-2E_0\hat{i}) = 2eE_0\hat{i}$ છે.
ઇલેક્ટ્રોનનો પ્રવેગ $a = \frac{F}{m} = \frac{2eE_0}{m}$ છે.
સમય $t$ પર ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v(t) = v_0 + at = v_0 + \left(\frac{2eE_0}{m}\right)t = v_0 \left[1 + \frac{2eE_0 t}{m v_0}\right]$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ પર દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{mv(t)}$ છે.
$v(t)$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\lambda = \frac{h}{m v_0 [1 + \frac{2eE_0 t}{m v_0}]} = \frac{\lambda_0}{[1 + \frac{2eE_0 t}{m v_0}]}$ મળે છે.

(C) મુક્ત અવકાશમાં,દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda_0 = h/mv$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન માધ્યમમાં પ્રવેશે છે,ત્યારે તેનો વેગ $20\%$ ઘટે છે.
તેથી,નવો વેગ $v' = v - 0.20v = 0.8v$ થાય છે.
માધ્યમમાં નવી દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = h/mv'$ છે.
$v' = 0.8v$ મૂકતા,આપણને $\lambda = h/(m \times 0.8v) = (1/0.8) \times (h/mv)$ મળે છે.
કારણ કે $\lambda_0 = h/mv$,તેથી $\lambda = (1/0.8) \times \lambda_0 = 1.25 \lambda_0$ થાય છે.
આને $\alpha\lambda_0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 1.25$ મળે છે.

(A) $V$ જેટલા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતથી પ્રવેગિત થતા $m$ દળ અને $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા કણની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}} = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ છે.
અહીં ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોન બંને સમાન વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $V$ થી પ્રવેગિત થાય છે અને બંનેનો વિદ્યુતભાર $q$ સમાન છે,તેથી $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$ મળે.
આથી,તેમની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_e}{\lambda_p} = \sqrt{\frac{m_p}{m_e}}$ થાય.

(A) $V$ સ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોનની ડી બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$.
આનો અર્થ એ છે કે $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$.
ધારો કે $V_1$ સ્થિતિમાન પર તરંગલંબાઇ $\lambda_1$ છે,તેથી $\lambda_1 = \frac{k}{\sqrt{V_1}}$,જ્યાં $k$ અચળાંક છે.
જ્યારે સ્થિતિમાન બદલીને $V_2$ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તરંગલંબાઇમાં $50\%$ નો વધારો થાય છે,તેથી $\lambda_2 = \lambda_1 + 0.5\lambda_1 = 1.5\lambda_1$.
આમ,$\lambda_2 = \frac{k}{\sqrt{V_2}}$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{\sqrt{V_1}}{\sqrt{V_2}} = 1.5$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{V_1}{V_2} = (1.5)^2 = 2.25$.
આપણે $2.25$ ને $\frac{225}{100} = \frac{9}{4}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
આપેલ છે કે $(V_1/V_2) = (9/\alpha)$,બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા $\alpha = 4$ મળે છે.