Matter Waves and de Broglie Wavelength Questions in Gujarati

(B) કણની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $p$ એ વેગમાન છે અને $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે.
કણની ગતિઊર્જા $K$ અને વેગમાન $p$ વચ્ચેનો સંબંધ $K = \frac{p^2}{2m}$ છે,જ્યાં $m$ એ કણનું દળ છે.
આ પરથી,વેગમાનને $p = \sqrt{2mK}$ તરીકે લખી શકાય. ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈના સૂત્રમાં આ કિંમત મૂકતા,આપણને $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ મળે છે.
કણનું દળ $m$ અચળ રહેતું હોવાથી,તરંગલંબાઈ અને ગતિઊર્જા વચ્ચેનો સંબંધ $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{K}}$ છે.
આપેલ છે કે $K = 1 \ \text{eV}$ માટે $\lambda = 2000 \ \mathring{A}$ છે,અને આપણે $K' = 1 \ \text{MeV} = 10^6 \ \text{eV}$ માટે $\lambda'$ શોધવાની છે.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{\lambda'}{\lambda} = \sqrt{\frac{K}{K'}} = \sqrt{\frac{1 \ \text{eV}}{10^6 \ \text{eV}}} = \sqrt{\frac{1}{10^6}} = \frac{1}{10^3}$.
તેથી,$\lambda' = \frac{\lambda}{10^3} = \frac{2000}{1000} \ \mathring{A} = 2 \ \mathring{A}$.

(B) $V$ જેટલા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતથી પ્રવેગિત થતા ઇલેક્ટ્રોનની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$ છે.
આ સંબંધ પરથી જોઈ શકાય છે કે $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$.
ધારો કે શરૂઆતની તરંગલંબાઈ $\lambda_1 = \lambda$ છે જ્યારે વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_1 = V$ છે.
ધારો કે નવી તરંગલંબાઈ $\lambda_2$ છે જ્યારે વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_2 = 9V$ છે.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{V_1}{V_2}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\lambda_2}{\lambda} = \sqrt{\frac{V}{9V}} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$.
તેથી,$\lambda_2 = \frac{\lambda}{3}$.

(C) આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ છે.
વર્ક ફંક્શન અવગણ્ય હોવાથી,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની ગતિ ઉર્જા $K$ એ આપાત ફોટોનની ઉર્જા જેટલી જ હશે: $K = \frac{hc}{\lambda}$.
ઈલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda_1 = \frac{h}{p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $p$ એ ઈલેક્ટ્રોનનું વેગમાન છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $K = \frac{p^2}{2m}$,તેથી $p = \sqrt{2mK}$.
$K = \frac{hc}{\lambda}$ મૂકતા,આપણને $p = \sqrt{2m \cdot \frac{hc}{\lambda}}$ મળે છે.
આમ,$\lambda_1 = \frac{h}{\sqrt{\frac{2mhc}{\lambda}}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\lambda_1^2 = \frac{h^2}{\frac{2mhc}{\lambda}} = \frac{h^2 \lambda}{2mhc} = \frac{h \lambda}{2mc}$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $\frac{\lambda}{\lambda_1^2} = \frac{2mc}{h}$ મળે છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\lambda : \lambda_1^2$ એ $2mc : h$ છે.

(A) કણની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ નીચેના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\lambda = \frac{h}{p}$,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $p$ એ કણનું વેગમાન છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $\lambda \propto \frac{1}{p}$.
તેથી,ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ એ કણના વેગમાનના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(C) ન્યુટ્રોનની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE_k}}$ છે,જ્યાં $E_k$ એ ગતિઊર્જા છે.
તાપમાન $T$ પર ઉષ્મીય સંતુલનમાં રહેલા ન્યુટ્રોન માટે સરેરાશ ગતિઊર્જા $E_k = \frac{3}{2} k_B T$ છે.
તેથી,$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m(\frac{3}{2} k_B T)}} = \frac{h}{\sqrt{3mk_B T}}$.
આનો અર્થ એ છે કે $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{T}}$.
અહીં $T_1 = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$ અને $T_2 = 927^{\circ} C = 927 + 273 = 1200 \ K$ છે.
તેથી,$\frac{\lambda_2}{\lambda_0} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}} = \sqrt{\frac{300}{1200}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
આમ,$\lambda_2 = \frac{\lambda_0}{2}$.

(B) ગતિ ઉર્જા $E$ ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આના પરથી,$E = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$,જેનો અર્થ છે કે $E \propto \frac{1}{\lambda^2}$.
ધારો કે પ્રારંભિક ઉર્જા $E_1$ છે જે તરંગલંબાઈ $\lambda$ ને અનુરૂપ છે. તેથી,$E_1 = \frac{k}{\lambda^2}$ (જ્યાં $k = \frac{h^2}{2m}$).
અંતિમ તરંગલંબાઈ $\lambda_2 = \frac{\lambda}{2}$ છે. અંતિમ ઉર્જા $E_2$ એ $E_2 = \frac{k}{(\lambda/2)^2} = \frac{4k}{\lambda^2} = 4E_1$ થશે.
ઉમેરવી પડતી ઉર્જા $\Delta E = E_2 - E_1 = 4E_1 - E_1 = 3E_1$ છે.
આપેલ છે કે $\Delta E = nE_1$,તેથી $n = 3$ મળે છે.

(D) $V$ જેટલા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$ છે.
આ સંબંધ પરથી જોઈ શકાય છે કે $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$.
ધારો કે $V_1 = 10 \ kV$ વોલ્ટેજ પર પ્રારંભિક તરંગલંબાઈ $\lambda_1 = \lambda$ છે અને $V_2 = 20 \ kV$ વોલ્ટેજ પર અંતિમ તરંગલંબાઈ $\lambda_2$ છે.
તેથી,$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{V_1}{V_2}}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{\lambda_2}{\lambda} = \sqrt{\frac{10 \ kV}{20 \ kV}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ,$\lambda_2 = \frac{\lambda}{\sqrt{2}}$.

(A) ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું બળ $F = eE$ છે. તેનો પ્રવેગ $a = \frac{eE}{m}$ છે.
ઇલેક્ટ્રોન સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂઆત કરતું હોવાથી,$t$ સમયે તેનો વેગ $v = at = \frac{eEt}{m}$ થશે.
ઇલેક્ટ્રોનનું વેગમાન $p = mv = m(\frac{eEt}{m}) = eEt$ છે.
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{eEt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તરંગલંબાઈમાં થતા ફેરફારનો દર શોધવા માટે,આપણે $\lambda$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીશું:
$\frac{d\lambda}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{h}{eEt}) = \frac{h}{eE} \frac{d}{dt}(t^{-1}) = \frac{h}{eE} (-t^{-2}) = -\frac{h}{eEt^2}$.

(C) $1$. ફોટોનની ઊર્જા $(E_p)$ નું સૂત્ર $E_p = \frac{hc}{\lambda}$ છે.
$2$. ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{p}$ છે,જ્યાં $p$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું વેગમાન છે. તેથી,$p = \frac{h}{\lambda}$.
$3$. ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $(K_e)$ નું સૂત્ર $K_e = \frac{p^2}{2m}$ છે.
$4$. $p = \frac{h}{\lambda}$ ને ગતિઊર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા: $K_e = \frac{(h/\lambda)^2}{2m} = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$.
$5$. ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા અને ફોટોનની ઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K_e}{E_p} = \frac{h^2 / (2m\lambda^2)}{hc / \lambda}$ થાય.
$6$. પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{K_e}{E_p} = \frac{h^2}{2m\lambda^2} \times \frac{\lambda}{hc} = \frac{h}{2mc\lambda}$.

(B) ઇલેક્ટ્રોનની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda_e = h / p_e = h / (m_e v)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે $v = c / 100$,તેથી $\lambda_e = h / (m_e c / 100) = 100h / (m_e c)$.
ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $E_e = (1/2) m_e v^2 = (1/2) m_e (c / 100)^2 = m_e c^2 / 20000$.
ફોટોનની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda_p = h / p_p = hc / E_p$ છે,જેનો અર્થ થાય છે $E_p = hc / \lambda_p$.
આપેલ છે $\lambda_p = 2 \lambda_e$,તેથી $\lambda_e$ ની કિંમત મૂકતા:
$\lambda_p = 2 \times (100h / (m_e c)) = 200h / (m_e c)$.
હવે,$E_p = hc / (200h / (m_e c)) = m_e c^2 / 200$ ગણતરી કરો.
અંતે,ગુણોત્તર $E_p / E_e = (m_e c^2 / 200) / (m_e c^2 / 20000) = 20000 / 200 = 100 = 10^2$.

(B) ફોટોન માટે,ઊર્જા $E_p = h\nu = hc / \lambda_p$ છે.
ઇલેક્ટ્રોન માટે,ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda_e = h / p_e$ છે,તેથી $p_e = h / \lambda_e$.
ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $E_e = p_e^2 / (2m) = h^2 / (2m \lambda_e^2)$ છે.
આપેલ છે કે $\lambda_p = 2\lambda_e$,તેથી $\lambda_e = \lambda_p / 2$.
આ કિંમત ઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા: $E_e = h^2 / (2m (\lambda_p / 2)^2) = 2h^2 / (m \lambda_p^2)$.
હવે,ગુણોત્તર $E_e / E_p$ શોધો:
$E_e / E_p = [2h^2 / (m \lambda_p^2)] / [hc / \lambda_p] = 2h / (mc \lambda_p)$.
કારણ કે $\lambda_e = h / (m v_e)$,તેથી $\lambda_p = 2 \lambda_e = 2h / (m v_e)$.
$\lambda_p$ ની કિંમત ગુણોત્તરમાં મૂકતા: $E_e / E_p = 2h / (mc \cdot (2h / (m v_e))) = v_e / c$.
આપેલ છે કે $v_e = C / 100$,તેથી ગુણોત્તર $E_e / E_p = (C / 100) / C = 1 / 100 = 1 \times 10^{-2}$ થાય.

(B) ગતિઊર્જા $E$ અને વેગમાન $p$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = \frac{p^2}{2m}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $p = \sqrt{2mE}$.
ડી-બ્રોગ્લી ઉત્કલ્પના મુજબ,તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ છે.
આ સંબંધ પરથી કહી શકાય કે $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{E}}$.
જો ગતિઊર્જામાં $2$ ગણો વધારો કરવામાં આવે,તો નવી ગતિઊર્જા $E' = E + 2E = 3E$ થશે.
નવી તરંગલંબાઈ $\lambda' = \frac{h}{\sqrt{2m(3E)}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \lambda$ થશે.
તેથી,તરંગલંબાઈ $\frac{1}{\sqrt{3}}$ ના અવયવથી બદલાશે.

(B) $V$ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ નીચેના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$.
આ સૂચવે છે કે $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$.
ધારો કે પ્રારંભિક વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_1$ છે અને અંતિમ વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_2 = 4V_1$ છે.
તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર આ મુજબ છે: $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{V_1}{V_2}}$.
$V_2$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{V_1}{4V_1}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\lambda_2 = \frac{\lambda_1}{2}$.
આમ,ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ તેની પ્રારંભિક કિંમત કરતા અડધી થઈ જાય છે.

(C) વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $V$ દ્વારા પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $(\lambda)$ નું સૂત્ર: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ છે.
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$.
ધારો કે પ્રારંભિક સ્થિતિમાન $V_1 = V$ અને અંતિમ સ્થિતિમાન $V_2 = 2V$ છે.
તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{V_1}{V_2}} = \sqrt{\frac{V}{2V}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ થાય.
તેથી,નવી તરંગલંબાઇ $\lambda_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \lambda_1$ થાય.
આમ,ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\frac{1}{\sqrt{2}}$ ના અવયવથી ઘટશે.

(B) $V$ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ નીચેના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}} \implies \lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$
અહીં પ્રારંભિક વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_1 = 16 \ kV$ અને અંતિમ વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_2 = 64 \ kV$ છે.
ગુણોત્તરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{V_1}{V_2}}$
$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{16}{64}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$
તેથી,$\lambda_2 = \frac{\lambda_1}{2}$.
આમ,ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ તેના પ્રારંભિક મૂલ્ય કરતા અડધી થઈ જશે.

(D) પ્રોટોન માટે,ગતિઊર્જા $E$ અને વેગમાન $p$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = \frac{p^2}{2m}$ છે,જ્યાં $m$ એ પ્રોટોનનું દળ છે.
આથી,વેગમાન $p = \sqrt{2mE}$ થાય.
પ્રોટોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda_1 = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ છે.
ફોટોન માટે,ઊર્જા $E$ અને તરંગલંબાઈ $\lambda_2$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = \frac{hc}{\lambda_2}$ છે,જ્યાં $c$ એ પ્રકાશની ગતિ છે.
તેથી,ફોટોનની તરંગલંબાઈ $\lambda_2 = \frac{hc}{E}$ થાય.
હવે,તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \left( \frac{h}{\sqrt{2mE}} \right) \times \left( \frac{E}{hc} \right) = \frac{1}{c} \sqrt{\frac{E}{2m}}$.
આ સમીકરણને સાદું રૂપ આપતા $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \left( \frac{1}{c\sqrt{2m}} \right) E^{1/2}$ મળે છે.
$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} \propto E^n$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n = 1/2 = 0.5$ મળે છે.

(B) $V$ જેટલા વિદ્યુતસ્થિતિમાન દ્વારા પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}} = \frac{1.228}{\sqrt{V}} \text{ nm}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{V_2}{V_1}}$ અથવા $\frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{\lambda_2}{\lambda_1}\right)^2$.
આપેલ છે કે તરંગલંબાઈમાં $50 \%$ નો વધારો થાય છે,તેથી નવી તરંગલંબાઈ $\lambda_2 = \lambda_1 + 0.5\lambda_1 = 1.5\lambda_1 = \frac{3}{2}\lambda_1$ થાય.
આ કિંમત ગુણોત્તરમાં મૂકતા:
$\frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{1.5\lambda_1}{\lambda_1}\right)^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$.

(C) $V$ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ નું સૂત્ર: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ છે.
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$.
ધારો કે પ્રારંભિક વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_1 = V$ છે અને અંતિમ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_2 = 2V$ છે.
તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{V_1}{V_2}} = \sqrt{\frac{V}{2V}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ થાય છે.
તેથી,ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\frac{1}{\sqrt{2}}$ ના અવયવ જેટલી ઘટે છે.

(D) $V$ સ્થિતિમાન દ્વારા પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ નું સૂત્ર: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$ છે.
આ સંબંધ પરથી આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$.
ધારો કે પ્રારંભિક સ્થિતિમાન $V_1 = V$ પર તરંગલંબાઇ $\lambda_1 = 4\lambda$ છે.
ધારો કે અંતિમ સ્થિતિમાન $V_2 = 4V$ પર તરંગલંબાઇ $\lambda_2$ છે.
પ્રમાણસરતાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{V_1}{V_2}}$ મળે છે.
તેથી,$\frac{\lambda_2}{4\lambda} = \sqrt{\frac{V}{4V}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
આમ,$\lambda_2 = 4\lambda \times \frac{1}{2} = 2\lambda$.

(A) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$p = \sqrt{2mqV}$ હોવાથી,આપણને $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ મળે છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,$\lambda = \left( \frac{h}{\sqrt{2mq}} \right) \left( \frac{1}{\sqrt{V}} \right)$ મળે છે.
આને સુરેખ રેખાના સમીકરણ $y = mx$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = \lambda$ અને $x = \frac{1}{\sqrt{V}}$,આલેખનો ઢાળ $\text{Slope} = \frac{h}{\sqrt{2mq}}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $h$ અને $q$ અચળ હોવાથી,ઢાળ એ દળના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે: $\text{Slope} \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$.
તેથી,નાનો ઢાળ એ મોટા દળને અનુરૂપ છે.
આલેખ જોતા,$m_1$ ને અનુરૂપ રેખાનો ઢાળ સૌથી ઓછો છે.
આમ,$m_1$ એ સૌથી વધુ દળ ધરાવતો કણ છે.

(D) કણની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p}$ છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $p$ એ કણનું વેગમાન છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ગતિઊર્જા $(E)$ અને વેગમાન $(p)$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = \frac{p^2}{2m}$ છે,જેનો અર્થ થાય છે કે $p = \sqrt{2mE}$.
આ કિંમતને ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ મળે છે.
અહીં $h$ અને $m$ (કણનું દળ) અચળ હોવાથી,આપણે કહી શકીએ કે $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{E}}$,જે $\lambda \propto E^{-\frac{1}{2}}$ ને સમાન છે.

(B) કણની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$m$ દળ અને $E$ ઊર્જા ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોન માટે,વેગમાન $p_e = \sqrt{2mE}$ થાય. તેથી,$\lambda_e = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$.
$E$ ઊર્જા ધરાવતા ફોટોન માટે,વેગમાન $p_p = \frac{E}{c}$ થાય. તેથી,$\lambda_p = \frac{h}{p_p} = \frac{hc}{E}$.
તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_e}{\lambda_p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}} \times \frac{E}{hc} = \frac{1}{c} \frac{E}{\sqrt{2mE}} = \frac{1}{c} \sqrt{\frac{E}{2m}} = \frac{1}{c} \left[\frac{E}{2m}\right]^{1/2}$ થાય.

(C) વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $V$ દ્વારા પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$.
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$.
ધારો કે પ્રારંભિક વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_1 = V$ છે અને અંતિમ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_2 = 2V$ છે.
તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{V_1}{V_2}} = \sqrt{\frac{V}{2V}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ થાય છે.
તેથી,ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\frac{1}{\sqrt{2}}$ ના અવયવ જેટલી ઘટે છે.

(B) વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત '$V$' દ્વારા પ્રવેગિત વીજભારિત કણની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$
'$m$' દળ અને '$q$' વીજભાર ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોન માટે:
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ ---$(1)$
'$M$' દળ અને '$q$' વીજભાર ધરાવતા પ્રોટોન માટે (કારણ કે ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોન પરના વીજભારનું મૂલ્ય સમાન હોય છે):
$\lambda_p = \frac{h}{\sqrt{2Mq(9V)}}$ ---$(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને સમીકરણ $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{\lambda}{\lambda_p} = \frac{\frac{h}{\sqrt{2mqV}}}{\frac{h}{\sqrt{2Mq(9V)}}} = \sqrt{\frac{2Mq(9V)}{2mqV}} = \sqrt{\frac{9M}{m}} = 3\sqrt{\frac{M}{m}}$
તેથી,પ્રોટોન સાથે સંકળાયેલી તરંગલંબાઇ:
$\lambda_p = \frac{\lambda}{3} \sqrt{\frac{m}{M}}$

(D) ગતિઊર્જા $K$ અને વેગમાન $P$ વચ્ચેનો સંબંધ $P = \sqrt{2mK}$ છે.
જો ગતિઊર્જા ત્રણ ગણી કરવામાં આવે,તો નવી ગતિઊર્જા $K' = 3K$ થાય.
નવું વેગમાન $P'$ એ $P' = \sqrt{2m(3K)} = \sqrt{3} \sqrt{2mK} = \sqrt{3}P$ દ્વારા મળે છે.
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ એ $\lambda = h/P$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,નવી તરંગલંબાઈ $\lambda'$ એ $\lambda' = h/P' = h/(\sqrt{3}P) = \lambda / \sqrt{3}$ થાય.
આમ,તરંગલંબાઈ $1/\sqrt{3}$ ના ગુણાંકમાં બદલાશે.

(B) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p}$ છે,જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $p$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું વેગમાન છે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{p^2}{2m}$ હોવાથી,વેગમાનને $p = \sqrt{2mK}$ તરીકે લખી શકાય.
આ કિંમત તરંગલંબાઈના સૂત્રમાં મૂકતા,$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ મળે છે.
આ દર્શાવે છે કે $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{K}}$.
જો ગતિઊર્જા $K$ ને બમણી કરીને $K' = 2K$ કરવામાં આવે,તો નવી તરંગલંબાઈ $\lambda' = \frac{h}{\sqrt{2m(2K)}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{h}{\sqrt{2mK}} = \frac{\lambda}{\sqrt{2}}$ થાય.
તેથી,તરંગલંબાઈ $\frac{1}{\sqrt{2}}$ ના અવયવથી બદલાય છે.

(A) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગતિ ઉર્જા $K = \frac{p^2}{2m} = qV$ હોવાથી,વેગમાન $p = \sqrt{2mqV}$ થાય.
આ કિંમતને તરંગલંબાઈના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}} = \left( \frac{h}{\sqrt{2mq}} \right) \left( \frac{1}{\sqrt{V}} \right)$ મળે છે.
આને સુરેખ રેખાના સમીકરણ $y = mx$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = \lambda$ અને $x = \frac{1}{\sqrt{V}}$,ઢાળ $\text{slope} = \frac{h}{\sqrt{2mq}}$ મળે છે.
અહીં $h$ અને $q$ અચળ હોવાથી,ઢાળ એ દળના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,એટલે કે $\text{slope} \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$.
તેથી,જેનો ઢાળ વધારે તેનું દળ ઓછું.
આલેખ પરથી જોઈ શકાય છે કે $m_4$ માટેની રેખાનો ઢાળ સૌથી વધારે છે.
આમ,$m_4$ એ સૌથી ઓછું દળ ધરાવતો કણ છે.

(D) ડી બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ અને ગતિ ઉર્જા $E$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$.
આના પરથી, ઉર્જાને $E = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
ધારો કે પ્રારંભિક તરંગલંબાઈ $\lambda_1 = 1 \,nm$ છે અને અંતિમ તરંગલંબાઈ $\lambda_2 = 0.5 \,nm$ છે.
પ્રારંભિક ઉર્જા $E_1 = \frac{h^2}{2m\lambda_1^2}$ છે.
અંતિમ ઉર્જા $E_2 = \frac{h^2}{2m\lambda_2^2} = \frac{h^2}{2m(0.5\lambda_1)^2} = \frac{h^2}{2m(0.25\lambda_1^2)} = 4E_1$ થાય.
જરૂરી વધારાની ઉર્જા $\Delta E = E_2 - E_1 = 4E_1 - E_1 = 3E_1$ છે.
આમ, આપવી પડતી વધારાની ઉર્જા તેની પ્રારંભિક ઉર્જા કરતા ત્રણ ગણી છે.

(C) $0 \leq x \leq 1$ વિસ્તારમાં,કણની સ્થિતિઊર્જા $U = E$ છે. કુલ ઊર્જા $E_{total} = nE$ છે.
$E_{total} = K.E. + P.E.$ હોવાથી,ગતિઊર્જા $K_1 = nE - E = (n-1)E$ થાય.
વેગમાન $p_1 = \sqrt{2mK_1} = \sqrt{2m(n-1)E}$ થાય.
દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda_1 = \frac{h}{p_1} = \frac{h}{\sqrt{2m(n-1)E}}$ છે.
$x > 1$ વિસ્તારમાં,સ્થિતિઊર્જા $U = 0$ છે.
તેથી,ગતિઊર્જા $K_2 = nE - 0 = nE$ થાય.
વેગમાન $p_2 = \sqrt{2mK_2} = \sqrt{2mnE}$ થાય.
દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda_2 = \frac{h}{p_2} = \frac{h}{\sqrt{2mnE}}$ છે.
ગુણોત્તર લેતા,$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{h / \sqrt{2m(n-1)E}}{h / \sqrt{2mnE}} = \sqrt{\frac{2mnE}{2m(n-1)E}} = \sqrt{\frac{n}{n-1}}$.

(B) વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $V$ દ્વારા પ્રવેગિત કણની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ છે.
અહીં,$h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$m$ કણનું દળ છે અને $q$ કણનો વીજભાર છે.
પ્રોટોન માટે,દળ $m_p = m$ અને વીજભાર $q_p = e$ લો.
આલ્ફા કણ માટે,દળ $m_{\alpha} = 4m$ અને વીજભાર $q_{\alpha} = 2e$ છે.
બંને સમાન વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $V$ માંથી પસાર થતા હોવાથી,તેમની તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર:
$\frac{\lambda_p}{\lambda_{\alpha}} = \frac{\frac{h}{\sqrt{2m_p q_p V}}}{\frac{h}{\sqrt{2m_{\alpha} q_{\alpha} V}}} = \sqrt{\frac{m_{\alpha} q_{\alpha}}{m_p q_p}}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\lambda_p}{\lambda_{\alpha}} = \sqrt{\frac{4m \times 2e}{m \times e}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
આમ,ગુણોત્તર $2\sqrt{2}: 1$ છે.

(A) ગતિઊર્જા $E$ ધરાવતા પ્રોટોન માટે,વેગમાન $p$ એ $E = \frac{p^2}{2m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ પ્રોટોનનું દળ છે.
તેથી,$p = \sqrt{2mE}$.
પ્રોટોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda_1 = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ છે.
ઊર્જા $E$ ધરાવતા ફોટોન માટે,તરંગલંબાઈ $\lambda_2$ એ $E = \frac{hc}{\lambda_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $\lambda_2 = \frac{hc}{E}$.
બંને તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{h}{\sqrt{2mE}} \cdot \frac{E}{hc} = \frac{1}{c} \sqrt{\frac{E}{2m}}$.
તેથી,$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} \propto E^{1/2}$.
આને $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} \propto E^n$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n = \frac{1}{2}$ મળે છે.

(C) $E$ ગતિઊર્જા ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોન માટે,વેગમાન $p$ નીચે મુજબ મળે: $E = \frac{p^2}{2m}$,તેથી $p = \sqrt{2mE}$.
ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda_e = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ થાય.
ફોટોન માટે,ઊર્જા $E$ અને તરંગલંબાઇ $\lambda_p$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = \frac{hc}{\lambda_p}$ છે,તેથી $\lambda_p = \frac{hc}{E}$ થાય.
તરંગલંબાઇઓનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_e}{\lambda_p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}} \times \frac{E}{hc} = \frac{1}{c} \sqrt{\frac{E}{2m}}$ મળે.

(A) $V$ જેટલા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતથી પ્રવેગિત થતા ઇલેક્ટ્રોન માટે ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનું સૂત્ર: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}} = \frac{1.228}{\sqrt{V}} \text{ nm}$ છે.
આ સંબંધ પરથી જોઈ શકાય છે કે $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$.
ધારો કે શરૂઆતની તરંગલંબાઈ $\lambda_1 = \lambda$ છે જ્યારે સ્થિતિમાન $V_1 = V$ છે.
ધારો કે નવી તરંગલંબાઈ $\lambda_2$ છે જ્યારે સ્થિતિમાન $V_2 = 4V$ છે.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{V_1}{V_2}} = \sqrt{\frac{V}{4V}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\lambda_2 = \frac{\lambda}{2}$.
આમ,તરંગલંબાઈ તેના મૂળ મૂલ્ય કરતા અડધી થઈ જાય છે.

(A) ગતિઊર્જા $K$ અને વેગમાન $p$ વચ્ચેનો સંબંધ $K = \frac{p^2}{2m}$ છે.
તેથી,$p = \sqrt{2mK}$.
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{K}}$.
ધારો કે પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_1$ છે અને અંતિમ ગતિઊર્જા $K_2 = 16K_1$ છે.
તેથી,$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{K_1}{K_2}} = \sqrt{\frac{K_1}{16K_1}} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$.
આમ,$\lambda_2 = 0.25 \lambda_1$.
તરંગલંબાઇમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{\lambda_1} \times 100\% = \frac{\lambda_1 - 0.25 \lambda_1}{\lambda_1} \times 100\% = 0.75 \times 100\% = 75\%$ છે.

(B) અહીં વર્ક ફંક્શન અવગણ્ય હોવાથી,ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા એ આપાત ફોટોનની ઊર્જા જેટલી હોય છે.
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{hc}{\lambda}$
બંને બાજુ $2m$ વડે ગુણતા,$m^2v^2 = \frac{2mhc}{\lambda}$ મળે છે.
વર્ગમૂળ લેતા,વેગમાન $p = mv = \sqrt{\frac{2mhc}{\lambda}}$.
દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda_e$ નું સૂત્ર $\lambda_e = \frac{h}{p}$ છે.
$p$ ની કિંમત મૂકતા:
$\lambda_e = \frac{h}{\sqrt{\frac{2mhc}{\lambda}}} = \sqrt{\frac{h^2 \lambda}{2mhc}} = \sqrt{\frac{h\lambda}{2mc}}$.

(D) $V$ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$.
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$.
ધારો કે પ્રારંભિક વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_1 = V$ છે અને પ્રારંભિક તરંગલંબાઇ $\lambda_1$ છે.
જ્યારે વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત બમણો કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_2 = 2V$ થાય છે.
નવી તરંગલંબાઇ $\lambda_2 = \frac{h}{\sqrt{2me(2V)}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{h}{\sqrt{2meV}}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$\lambda_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \lambda_1$.
આમ,ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $1/\sqrt{2}$ ના અવયવથી બદલાય છે.

(B) ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોન બંનેને સમાન વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $V$ દ્વારા પ્રવેગિત કરવામાં આવે છે,તેથી તેઓ સમાન ગતિઊર્જા $K = eV$ પ્રાપ્ત કરે છે.
કણનું વેગમાન $P$ તેની ગતિઊર્જા $K$ સાથે $P = \sqrt{2mK}$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે.
ઇલેક્ટ્રોન માટે,વેગમાન $P_{e} = \sqrt{2m_{e}K}$ છે.
પ્રોટોન માટે,વેગમાન $P_{p} = \sqrt{2m_{p}K}$ છે.
દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{P}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_{p}}{\lambda_{e}} = \frac{h/P_{p}}{h/P_{e}} = \frac{P_{e}}{P_{p}}$ થાય.
વેગમાનના સૂત્રો મૂકતા: $\frac{\lambda_{p}}{\lambda_{e}} = \frac{\sqrt{2m_{e}K}}{\sqrt{2m_{p}K}} = \sqrt{\frac{m_{e}}{m_{p}}} = \left(\frac{m_{e}}{m_{p}}\right)^{\frac{1}{2}}$.

(A) ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ અને ઉર્જા $E$ વચ્ચેનો સંબંધ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ છે.
આ સંબંધ પરથી કહી શકાય કે $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{E}}$,તેથી $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{E_2}{E_1}}$.
અહીં $\lambda_1 = 10^{-10} \ m$ અને $\lambda_2 = 0.5 \times 10^{-10} \ m$ આપેલ છે,તેથી $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{10^{-10}}{0.5 \times 10^{-10}} = 2$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $2 = \sqrt{\frac{E_2}{E_1}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$4 = \frac{E_2}{E_1}$,એટલે કે $E_2 = 4E_1 = 4E$.
ઇલેક્ટ્રોનને આપેલી વધારાની ઉર્જા $\Delta E = E_2 - E_1 = 4E - E = 3E$ થાય.

(B) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ અને વેગમાન $p$ વચ્ચેનો સંબંધ $\lambda = \frac{h}{p}$ છે.
ગતિઊર્જા $K.E. = \frac{p^2}{2m}$ હોવાથી,વેગમાનને $p = \sqrt{2m(K.E.)}$ તરીકે લખી શકાય.
આ કિંમતને તરંગલંબાઈના સૂત્રમાં મૂકતા,$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m(K.E.)}}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\lambda^2 = \frac{h^2}{2m(K.E.)}$ મળે.
ગતિઊર્જા માટે સૂત્રને કર્તા બનાવતા,$K.E. = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$ મળે છે.

(C) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ એ સંબંધ $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mKE}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આના પરથી,ગતિઊર્જા $KE$ ને $KE = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
જ્યારે ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોન બંને માટે સમાન હોય,ત્યારે આપણને $KE \propto \frac{1}{m}$ મળે છે.
કારણ કે ઇલેક્ટ્રોનનું દળ $(m_e \approx 9.11 \times 10^{-31} \ kg)$ એ પ્રોટોનના દળ $(m_p \approx 1.67 \times 10^{-27} \ kg)$ કરતા ઘણું ઓછું છે,તેથી ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા પ્રોટોનની ગતિઊર્જા કરતા વધારે હશે.

(B) ફોટોન માટે,ઊર્જા $E = \frac{hc}{\lambda_p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$\lambda_p = \frac{hc}{E} \dots (i)$.
નોન-રિલેટિવિસ્ટિક ઇલેક્ટ્રોન માટે,ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda_e = \frac{h}{p}$ છે.
કારણ કે $E = \frac{p^2}{2m}$,તેથી $p = \sqrt{2mE}$.
આમ,$\lambda_e = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$,જેનો અર્થ છે કે $E = \frac{h^2}{2m\lambda_e^2}$.
સમીકરણ $(i)$ માં $E$ ની કિંમત મૂકતા:
$\lambda_p = \frac{hc}{(h^2 / 2m\lambda_e^2)} = \frac{2mc}{h} \lambda_e^2$.
તેથી,$\lambda_p \propto \lambda_e^2$.

(C) $m$ દળ અને $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા કણને $V$ સ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત કરવામાં આવે ત્યારે તેની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઇલેક્ટ્રોન માટે: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$.
$M$ દળ અને $e$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા પ્રોટોન માટે જ્યારે તેને $9V$ સ્થિતિમાન દ્વારા પ્રવેગિત કરવામાં આવે ત્યારે: $\lambda' = \frac{h}{\sqrt{2Me(9V)}} = \frac{h}{3\sqrt{2MeV}}$.
$\lambda'$ ને $\lambda$ વડે ભાગતા: $\frac{\lambda'}{\lambda} = \frac{\frac{h}{3\sqrt{2MeV}}}{\frac{h}{\sqrt{2meV}}} = \frac{1}{3} \sqrt{\frac{m}{M}}$.
તેથી,$\lambda' = \frac{\lambda}{3} \sqrt{\frac{m}{M}}$.

(B) $m$ દળ અને $E$ ગતિઊર્જા ધરાવતા કણ સાથે સંકળાયેલ ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નીચે મુજબ છે: $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{E}}$.
તેથી,જ્યારે ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $E$ વધારવામાં આવે છે,ત્યારે તરંગલંબાઈ $\lambda$ ઘટશે.

(D) સ્થિર સ્થિતિમાંથી $V$ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત થતા વિદ્યુતભારિત કણનું વેગમાન $p = \sqrt{2mqV}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $q$ એ કણનો વિદ્યુતભાર છે.
ઇલેક્ટ્રોન માટે,$m = m_{e}$ અને $q = e$.
$\alpha$-કણ માટે,$m = m_{\alpha}$ અને $q = 2e$.
વેગમાનનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{p_{e}}{p_{\alpha}} = \frac{\sqrt{2 m_{e} e V}}{\sqrt{2 m_{\alpha} (2e) V}}$
$\frac{p_{e}}{p_{\alpha}} = \sqrt{\frac{2 m_{e} e V}{4 m_{\alpha} e V}}$
$\frac{p_{e}}{p_{\alpha}} = \sqrt{\frac{m_{e}}{2 m_{\alpha}}}$

(A) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{mv}$ છે.
આપેલ છે:
દળ $m = 0.12 \ kg$
વેગ $v = 20 \ m \ s^{-1}$
પ્લાન્કનો અચળાંક $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \ s$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{0.12 \times 20}$
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{2.4}$
$\lambda = 2.7625 \times 10^{-34} \ m$
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $\lambda = 2.76 \times 10^{-34} \ m$ મળે છે.

(B) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ માટેનું સૂત્ર: $\lambda = \frac{h}{mv}$ છે.
આપેલ કિંમતો: $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$m_{e} = 9.11 \times 10^{-31} \ kg$,અને $v = 6.4 \times 10^{6} \ m/s$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{9.11 \times 10^{-31} \times 6.4 \times 10^{6}}$
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{58.304 \times 10^{-25}}$
$\lambda \approx 0.1137 \times 10^{-9} \ m$
કારણ કે $1 \ nm = 10^{-9} \ m$,તેથી $\lambda \approx 0.114 \ nm$ મળે છે.

(D) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $\lambda = \frac{h}{mv}$.
ઝડપ $v$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$v = \frac{h}{m \lambda}$.
આપેલ કિંમતો:
$h = 6.625 \times 10^{-34} \,J \,s$
$m = 1.0 \times 10^{-9} \,kg$
$\lambda = 3 \times 10^{-25} \,m$
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$v = \frac{6.625 \times 10^{-34}}{(1.0 \times 10^{-9}) \times (3 \times 10^{-25})}$
$v = \frac{6.625 \times 10^{-34}}{3.0 \times 10^{-34}}$
$v = 2.2083... \,m \,s^{-1} \approx 2.2 \,m \,s^{-1}$.
આમ, સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ઇલેક્ટ્રોન માઇક્રોસ્કોપ ઇલેક્ટ્રોનની તરંગ પ્રકૃતિના સિદ્ધાંત પર કાર્ય કરે છે.
ડી-બ્રોગ્લીના અધિતર્ક મુજબ,ગતિમાન ઇલેક્ટ્રોન સાથે એક તરંગ સંકળાયેલ હોય છે,જેને દ્રવ્ય તરંગો કહેવામાં આવે છે.
આ દ્રવ્ય તરંગોની તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $p$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું વેગમાન છે.
ઇલેક્ટ્રોનની તરંગલંબાઇ દ્રશ્ય પ્રકાશની તરંગલંબાઇ કરતા ઘણી નાની હોવાથી,ઇલેક્ટ્રોન માઇક્રોસ્કોપ ઓપ્ટિકલ માઇક્રોસ્કોપ કરતા ઘણી વધારે રિઝોલ્યુશન મેળવી શકે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(A)$ છે.

(D) ડી-બ્રોગ્લી સમીકરણ મુજબ,કણની તરંગલંબાઈ $\lambda$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$\lambda = \frac{h}{mv}$
જ્યારે કોઈ કણને $H$ ઊંચાઈ પરથી નીચે પાડવામાં આવે છે,ત્યારે તેનો વેગ $v$ ગતિના સમીકરણ મુજબ નીચે મુજબ મળે છે:
$v = \sqrt{2gH}$
વેગનું આ સૂત્ર ડી-બ્રોગ્લી સમીકરણમાં મૂકતા:
$\lambda = \frac{h}{m\sqrt{2gH}}$
અહીં $h$,$m$,અને $g$ અચળાંકો હોવાથી,આપણે લખી શકીએ:
$\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{H}}$
તેથી,કણની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ ઊંચાઈ પર $H^{-\frac{1}{2}}$ મુજબ આધાર રાખે છે.