Matter Waves and de Broglie Wavelength Questions in Gujarati

(D) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ એ કણના વેગમાન $p$ સાથે $\lambda = \frac{h}{p}$ સમીકરણ દ્વારા સંબંધિત છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે.
કારણ કે ઇલેક્ટ્રોન અને ફોટોન બંને માટે દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ સમાન છે,તેથી તેમનું વેગમાન $p$ પણ સમાન હોવું જોઈએ.
તેથી,તેમની પાસે સમાન વેગમાન હશે.

(A) $K$ ગતિઊર્જા ધરાવતા કણની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$
જ્યાં $m$ એ કણનું દળ છે અને $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે.
ધારો કે જ્યારે ગતિઊર્જા $K' = \frac{K}{4}$ થાય ત્યારે નવી તરંગલંબાઈ $\lambda'$ છે.
સૂત્રમાં $K'$ ની કિંમત મૂકતા:
$\lambda' = \frac{h}{\sqrt{2mK'}} = \frac{h}{\sqrt{2m(\frac{K}{4})}}$
$\lambda' = \frac{h}{\sqrt{\frac{2mK}{4}}} = \frac{h}{\frac{1}{2}\sqrt{2mK}}$
$\lambda' = 2 \times \frac{h}{\sqrt{2mK}}$
કારણ કે $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$,તેથી આપણને મળે છે:
$\lambda' = 2\lambda$.

(B) $m$ દળ અને $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા કણને $V$ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત કરવામાં આવે ત્યારે તેની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$
પ્રોટોન $(p)$ માટે: $\lambda_p = \frac{h}{\sqrt{2m_p q_p V}}$
$\alpha$-કણ $(\alpha)$ માટે: $\lambda_{\alpha} = \frac{h}{\sqrt{2m_{\alpha} q_{\alpha} V}}$
અહીં $m_{\alpha} = 4m_p$ અને $q_{\alpha} = 2q_p$ આપેલ છે:
$\frac{\lambda_p}{\lambda_{\alpha}} = \sqrt{\frac{m_{\alpha} q_{\alpha}}{m_p q_p}} = \sqrt{\frac{4m_p \times 2q_p}{m_p \times q_p}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
આમ, તેમની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર $2\sqrt{2}$ છે.

(D) $ V $ સ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત થયેલા ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\lambda = \frac{1.227}{\sqrt{V}} \,nm$
અહીં આપેલ છે,$V = 400 \,V$.
સૂત્રમાં $V$ ની કિંમત મૂકતા:
$\lambda = \frac{1.227}{\sqrt{400}} \,nm$
$\lambda = \frac{1.227}{20} \,nm$
$\lambda = 0.06135 \,nm$
નજીકની કિંમત લેતા,આપણને $\lambda \approx 0.06 \,nm$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2 m E_{k}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $h$ અને $m$ અચળ હોવાથી,$\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{E_{k}}}$ થાય.
ધારો કે પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા $E_{k1} = E$ છે અને અંતિમ ગતિ ઉર્જા $E_{k2}$ છે.
આપેલ છે કે $\lambda_1 = 1 \ nm$ અને $\lambda_2 = 0.5 \ nm$,તેથી $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{1}{0.5} = 2$.
સંબંધ $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{E_{k2}}{E_{k1}}}$ નો ઉપયોગ કરતા,$2 = \sqrt{\frac{E_{k2}}{E}}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{E_{k2}}{E} = 4$,તેથી $E_{k2} = 4E$.
જરૂરી વધારાની ઉર્જા $\Delta E = E_{k2} - E_{k1} = 4E - E = 3E$ થાય.
આમ,વધારાની ઉર્જા એ પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જાના $3$ ગણી છે.

(B) $V$ જેટલા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત હેઠળ પ્રવેગિત થતા વિદ્યુતભારિત કણની ગતિઊર્જા $K = qV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણનું વેગમાન $p$ એ ગતિઊર્જા સાથે $p = \sqrt{2mK} = \sqrt{2mqV}$ સંબંધ ધરાવે છે.
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ એ $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
પ્રોટોન માટે,$m_p = m$ અને $q_p = e$. આલ્ફા કણ માટે,$m_{\alpha} = 4m$ અને $q_{\alpha} = 2e$.
તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{\lambda_p}{\lambda_{\alpha}} = \frac{\frac{h}{\sqrt{2m_p q_p V}}}{\frac{h}{\sqrt{2m_{\alpha} q_{\alpha} V}}} = \sqrt{\frac{m_{\alpha} q_{\alpha}}{m_p q_p}} = \sqrt{\frac{4m \times 2e}{m \times e}} = \sqrt{8}$.

(B) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{mv}$ છે,જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$m$ દળ છે અને $v$ ઝડપ છે.
ઇલેક્ટ્રોન માટે,તરંગલંબાઈ $\lambda_{e} = \frac{h}{m_{e}v}$ છે.
પ્રોટોન માટે,તરંગલંબાઈ $\lambda_{p} = \frac{h}{m_{p}v}$ છે.
બંને તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{\lambda_{e}}{\lambda_{p}} = \frac{h / m_{e}v}{h / m_{p}v} = \frac{m_{p}}{m_{e}}$.
આપેલ છે કે પ્રોટોનનું દળ $m_{p} \approx 1.67 \times 10^{-27} \ kg$ અને ઇલેક્ટ્રોનનું દળ $m_{e} \approx 9.11 \times 10^{-31} \ kg$ છે,તેથી ગુણોત્તર:
$\frac{\lambda_{e}}{\lambda_{p}} = \frac{1.67 \times 10^{-27}}{9.11 \times 10^{-31}} \approx 1833 \approx 1836$ (પ્રમાણિત દળ ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા).
આમ,ગુણોત્તર $\lambda_{e} / \lambda_{p} = 1836$ છે.

(C) ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ છે,જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$m$ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે અને $K$ ગતિઊર્જા છે.
આ સંબંધ પરથી જોઈ શકાય છે કે $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{K}}$.
ધારો કે પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K$ છે અને અંતિમ ગતિઊર્જા $K' = 3K$ છે.
પ્રારંભિક તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ છે અને અંતિમ તરંગલંબાઈ $\lambda' = \frac{h}{\sqrt{2m(3K)}} = \frac{h}{\sqrt{3} \sqrt{2mK}}$ છે.
તેથી,તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda'}{\lambda} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ થાય.
આમ,ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $1/\sqrt{3}$ ના અવયવથી બદલાશે.

(B) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર: $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ છે,જ્યાં $K = qV$ એ ગતિઊર્જા છે.
કિંમતો મૂકતા: $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$m = 1.67 \times 10^{-27} \ kg$,$q = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,અને $V = 1000 \ V$.
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 1.67 \times 10^{-27} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 1000}}$
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{5.344 \times 10^{-43}}} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{7.31 \times 10^{-22}} \approx 0.9 \times 10^{-12} \ m$.

(B) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{mv}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$m$ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે અને $v$ તેની ઝડપ છે.
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ માં ક્ષેત્રને લંબ વેગ $\vec{V}$ સાથે ગતિ કરે છે,ત્યારે તે ચુંબકીય લોરેન્ઝ બળ $\vec{F} = q(\vec{V} \times \vec{B})$ અનુભવે છે.
આ બળ કેન્દ્રગામી બળ તરીકે કાર્ય કરે છે,જેના કારણે ઇલેક્ટ્રોન વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે.
ચુંબકીય બળ હંમેશા વેગને લંબ હોવાથી,તે ઇલેક્ટ્રોન પર કોઈ કાર્ય કરતું નથી $(W = \vec{F} \cdot d\vec{s} = 0)$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા અને પરિણામે તેની ઝડપ $v$ તેની ગતિ દરમિયાન અચળ રહે છે.
તેથી,$h$,$m$ અને $v$ બધા અચળ હોવાથી,દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ અચળ રહે છે.

(B) $ V $ વોલ્ટના સ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{V}} \ \text{Å}$
અહીં આપેલ છે કે સ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 100 \ V$ છે,તેથી આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{100}}$
$\lambda = \frac{12.27}{10}$
$\lambda = 1.227 \ \text{Å}$
આમ,ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $1.227 \ \text{Å}$ છે.

(C) આપેલ છે, ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $K = 120 eV$.
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ એ પ્રવેગક પોટેન્શિયલ $V$ (જ્યાં $K = eV$) સાથે નીચે મુજબ સંબંધિત છે:
$\lambda = \frac{1.227 \text{ nm}}{\sqrt{V}}$
$V = 120 V$ મૂકતા:
$\lambda = \frac{1.227 \times 10^{-9} \text{ m}}{\sqrt{120}}$
$\lambda = \frac{1.227 \times 10^{-9}}{10.954}$
$\lambda \approx 0.112 \times 10^{-9} \text{ m}$
$\lambda = 112 \times 10^{-12} \text{ m} = 112 \text{ pm}$.

(C) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ અને રેખીય વેગમાન $p$ વચ્ચેનો સંબંધ $\lambda = \frac{h}{p}$ છે.
વિકલન કરતા,આપણને $d\lambda = -\frac{h}{p^2} dp$ મળે છે.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા,આપણને સાપેક્ષ ફેરફાર મળે છે: $\frac{d\lambda}{\lambda} = -\frac{dp}{p}$.
આપેલ છે કે તરંગલંબાઇમાં ફેરફારનું મૂલ્ય $0.25 \%$ છે,તેથી $\left| \frac{d\lambda}{\lambda} \right| = \frac{0.25}{100} = \frac{1}{400}$.
કારણ કે $\left| \frac{d\lambda}{\lambda} \right| = \frac{dp}{p}$,તેથી $\frac{p_0}{p} = \frac{1}{400}$.
આમ,પ્રારંભિક રેખીય વેગમાન $p = 400 p_0$ થાય.

(D) ધારો કે પ્રથમ કણનું દળ $m_1 = 8 \mu g$ અને બીજા કણનું દળ $m_2 = 4 \mu g$ છે। ધારો કે $m_1$ નો પ્રારંભિક વેગ $u_1$ છે અને $m_2$ નો વેગ $u_2 = 0$ છે। સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક એકપરિમાણીય અથડામણ પછી, અંતિમ વેગ $v_1$ અને $v_2$ નીચે મુજબ મળે છે:
$v_1 = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} u_1 = \frac{8 - 4}{8 + 4} u_1 = \frac{4}{12} u_1 = \frac{1}{3} u_1$
$v_2 = \frac{2m_1}{m_1 + m_2} u_1 = \frac{2(8)}{8 + 4} u_1 = \frac{16}{12} u_1 = \frac{4}{3} u_1$
દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{h/m_1v_1}{h/m_2v_2} = \frac{m_2v_2}{m_1v_1}$ છે।
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{4 \times (4/3)u_1}{8 \times (1/3)u_1} = \frac{16/3}{8/3} = \frac{16}{8} = 2 : 1$.

(C) $q$ વિદ્યુતભાર અને $m$ દળ ધરાવતા કણને $V$ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત કરતા મળતી ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ છે.
અહીં $h$ અને $V$ બંને કણો માટે અચળ હોવાથી, $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{mq}}$ થાય.
પ્રોટોન $(p)$ માટે: દળ $m_p = m$, વિદ્યુતભાર $q_p = e$.
આલ્ફા કણ $(\alpha)$ માટે: દળ $m_{\alpha} = 4m$, વિદ્યુતભાર $q_{\alpha} = 2e$.
તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_p}{\lambda_{\alpha}} = \sqrt{\frac{m_{\alpha} q_{\alpha}}{m_p q_p}} = \sqrt{\frac{4m \cdot 2e}{m \cdot e}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ મળે.
આમ, ગુણોત્તર $\lambda_p : \lambda_{\alpha} = 2\sqrt{2} : 1$ છે.

(C) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p}$ છે,જ્યાં $p$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું વેગમાન છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ગતિઊર્જા $K = \frac{p^2}{2m}$,તેથી $p = \sqrt{2mK}$.
આ કિંમત તરંગલંબાઈના સૂત્રમાં મૂકતા: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$.
$K$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $K = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$.
આપેલ કિંમતો: $h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \ s$,$m = 9 \times 10^{-31} \ kg$,અને $\lambda = 2 \ nm = 2 \times 10^{-9} \ m$.
$K = \frac{(6.6 \times 10^{-34})^2}{2 \times (9 \times 10^{-31}) \times (2 \times 10^{-9})^2}$.
$K = \frac{43.56 \times 10^{-68}}{18 \times 10^{-31} \times 4 \times 10^{-18}} = \frac{43.56 \times 10^{-68}}{72 \times 10^{-49}} \approx 0.605 \times 10^{-19} \ J$.
જૂલને ઇલેક્ટ્રોન-વોલ્ટ $(eV)$ માં ફેરવવા માટે,$1.6 \times 10^{-19} \ J/eV$ વડે ભાગતા:
$K = \frac{0.605 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \approx 0.378 \ eV$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,જવાબ $0.38 \ eV$ મળે છે.

(D) $T$ તાપમાને થર્મલ ન્યુટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{3mkT}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$m$ ન્યુટ્રોનનું દળ છે અને $k$ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે.
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{T}}$.
આપેલ તાપમાન $T_1 = 127^{\circ} C = 127 + 273 = 400 \ K$ અને $T_2 = 352^{\circ} C = 352 + 273 = 625 \ K$ છે.
તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{625}{400}} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}$.
આમ,ગુણોત્તર $5: 4$ છે.

(D) $V$ જેટલા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ માટેનું સૂત્ર: $\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{V}} Å$ છે.
અહીં,$V = \frac{200}{3} \,V \approx 66.67 \,V$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં $V$ ની કિંમત મૂકતા:
$\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{66.67}} Å$.
કારણ કે $\sqrt{66.67} \approx 8.16$ થાય છે,તેથી:
$\lambda \approx \frac{12.27}{8.16} Å \approx 1.503 Å$.
આમ,ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ આશરે $1.5 Å$ છે.

(A) પ્રારંભિક વેગ $\vec{v_1} = v_0 \hat{i}$,વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = -E_0 \hat{i}$,પ્રારંભિક ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda_1 = \lambda$.
ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું બળ $\vec{F} = q\vec{E} = -e(-E_0 \hat{i}) = e E_0 \hat{i}$ છે.
ઇલેક્ટ્રોનનો પ્રવેગ $\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = \left(\frac{e E_0}{m}\right) \hat{i}$ છે.
$t$ સમય પછીનો વેગ $\vec{v_2} = \vec{v_1} + \vec{a} t = v_0 \hat{i} + \left(\frac{e E_0 t}{m}\right) \hat{i} = \left(v_0 + \frac{e E_0 t}{m}\right) \hat{i}$ થાય.
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{mv}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $\lambda \propto \frac{1}{v}$.
તેથી,$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{v_1}{v_2} = \frac{v_0}{v_0 + \frac{e E_0 t}{m}} = \frac{v_0}{v_0(1 + \frac{e E_0 t}{m v_0})} = \frac{1}{1 + \frac{e E_0 t}{m v_0}}$.
આમ,$\lambda_2 = \frac{\lambda}{1 + \frac{e E_0 t}{m v_0}}$.

(B) ધારો કે પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_1$ છે અને અંતિમ ગતિઊર્જા $K_2$ છે. આપેલ છે કે ગતિઊર્જામાં $36 \%$ નો ઘટાડો થાય છે,તેથી:
$K_2 = K_1 - 0.36 K_1 = 0.64 K_1$.
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ અને ગતિઊર્જા $K$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}} \Rightarrow \lambda \propto \frac{1}{\sqrt{K}}$.
તેથી,અંતિમ તરંગલંબાઈ $\lambda_2$ અને પ્રારંભિક તરંગલંબાઈ $\lambda_1$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{K_1}{K_2}} = \sqrt{\frac{K_1}{0.64 K_1}} = \sqrt{\frac{1}{0.64}} = \frac{1}{0.8} = 1.25$.
આનો અર્થ એ છે કે $\lambda_2 = 1.25 \lambda_1$.
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈમાં થતો ટકાવારી વધારો:
$\frac{\Delta \lambda}{\lambda_1} \times 100 = \frac{\lambda_2 - \lambda_1}{\lambda_1} \times 100 = (1.25 - 1) \times 100 = 25 \%$.

(A) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$ છે.
તેથી,$\lambda \propto \frac{1}{mv}$.
આપેલ છે: $v_{A} = 3 v_{p}$ અને $\frac{\lambda_{A}}{\lambda_{p}} = \frac{3}{2}$.
સંબંધ $\frac{\lambda_{A}}{\lambda_{p}} = \frac{m_{p} v_{p}}{m_{A} v_{A}}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે આપેલી કિંમતો મૂકીએ:
$\frac{3}{2} = \frac{m_{p} v_{p}}{m_{A} (3 v_{p})}$.
અંશ અને છેદમાંથી $v_{p}$ ને દૂર કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{3}{2} = \frac{m_{p}}{3 m_{A}}$.
$m_{A}$ ને કર્તા બનાવતા:
$m_{A} = \frac{2}{9} m_{p}$.

(D) $V$ જેટલા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત થતા વિદ્યુતભારિત કણની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$
આ સમીકરણ પરથી જોઈ શકાય છે કે $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$.
અહીં વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $21 \%$ વધારવામાં આવે છે,તેથી નવો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V^{\prime}$ થશે:
$V^{\prime} = V + 0.21V = 1.21V$
ધારો કે નવી ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda^{\prime}$ છે. તો:
$\frac{\lambda^{\prime}}{\lambda} = \sqrt{\frac{V}{V^{\prime}}} = \sqrt{\frac{V}{1.21V}} = \sqrt{\frac{1}{1.21}} = \frac{1}{1.1} = \frac{10}{11}$
તેથી,$\lambda^{\prime} = \frac{10}{11} \lambda$.

(C) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ અને વેગમાન $P$ વચ્ચેનો સંબંધ $\lambda = \frac{h}{P}$ છે.
વેગમાન $P = \sqrt{2m(K.E.)}$ હોવાથી, આપણે લખી શકીએ કે $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m(K.E.)}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરીને ગતિઊર્જા $(K.E.)$ માટે સૂત્ર બનાવતા, $K.E. = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$ મળે છે.
અહીં $h = 6.6 \times 10^{-34} \,J \cdot s$, $m = 2 \times 10^{-27} \,kg$, અને $\lambda = 3.3 \times 10^{-10} \,m$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$K.E. = \frac{(6.6 \times 10^{-34})^2}{2 \times (2 \times 10^{-27}) \times (3.3 \times 10^{-10})^2}$
$K.E. = \frac{43.56 \times 10^{-68}}{4 \times 10^{-27} \times 10.89 \times 10^{-20}}$
$K.E. = \frac{43.56 \times 10^{-68}}{43.56 \times 10^{-47}}$
$K.E. = 1 \times 10^{-21} \,J$.

(D) $\text{દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ}$ $\lambda = h / p$ $\text{દ્વારા આપવામાં આવે છે.}$
$\text{કણનું વેગમાન}$ $p = h / \lambda = (6.6 \times 10^{-34}) / (660 \times 10^{-9}) = 1 \times 10^{-27} \,kg \cdot m/s$ $\text{છે.}$
$\text{વેગમાન}$ $p$ $\text{અને દળ}$ $m$ $\text{ના સંદર્ભમાં ગતિઊર્જા}$ $K = p^2 / (2m)$ $\text{છે.}$
$\text{કિંમતો મૂકતા:}$ $K = (1 \times 10^{-27})^2 / (2 \times 1 \times 10^{-30}) = (1 \times 10^{-54}) / (2 \times 10^{-30}) = 0.5 \times 10^{-24} \,J$.
$\text{આને ઈલેક્ટ્રોન-વોલ્ટ}$ $(eV)$ $\text{માં રૂપાંતરિત કરવા માટે,}$ $1.6 \times 10^{-19} \,J/eV$ $\text{વડે ભાગતા:}$
$K = (0.5 \times 10^{-24}) / (1.6 \times 10^{-19}) \,eV = 0.3125 \times 10^{-5} \,eV = 3.125 \times 10^{-6} \,eV$.
$\text{બે સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને}$ $K \approx 3.1 \times 10^{-6} \,eV$ $\text{મળે છે.}$

(B) $\text{m}$ દળ અને $\text{e}$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા પ્રોટોન દ્વારા $\text{V}$ સ્થિતિમાન હેઠળ મેળવેલ ગતિઊર્જા $K = eV$ છે.
$K = \frac{p^2}{2m}$ હોવાથી,$p = \sqrt{2meV}$ મળે.
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$m = 1.67 \times 10^{-27} \ kg$,$e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,અને $V = 100 \ V$.
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 1.67 \times 10^{-27} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 100}}$
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{\sqrt{5.344 \times 10^{-44}}}$
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{2.3117 \times 10^{-22}} \approx 2.866 \times 10^{-12} \ m = 2.86 \ pm$.

(C) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$ છે.
શરૂઆતમાં,વેગ $v_0 \hat{i}$ છે,તેથી પ્રારંભિક ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda_0 = \frac{h}{mv_0}$ થાય.
વિદ્યુતક્ષેત્રને કારણે ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું બળ $F = eE_0 \hat{j}$ છે.
પ્રવેગ $a = \frac{F}{m} = \frac{eE_0}{m} \hat{j}$ થાય.
$t$ સમયે ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v = v_0 \hat{i} + \frac{eE_0 t}{m} \hat{j}$ થશે.
વેગનું મૂલ્ય $|v| = \sqrt{v_0^2 + \left(\frac{eE_0 t}{m}\right)^2} = v_0 \sqrt{1 + \frac{e^2 E_0^2 t^2}{m^2 v_0^2}}$ મળે.
$t$ સમયે ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{m|v|} = \frac{h}{m v_0 \sqrt{1 + \frac{e^2 E_0^2 t^2}{m^2 v_0^2}}}$ થાય.
$\lambda_0 = \frac{h}{mv_0}$ મૂકતા,આપણને $\lambda = \frac{\lambda_0}{\sqrt{1 + \frac{e^2 E_0^2 t^2}{m^2 v_0^2}}}$ મળે છે.

(A) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણના વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા $R = \frac{mv}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આના પરથી,વેગમાન $p = mv = qRB$ થાય.
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{qRB}$ દ્વારા મળે છે.
$\alpha$-કણ માટે,વિદ્યુતભાર $q = +2e = 2 \times 1.6 \times 10^{-19} \ C$ છે.
અહીં $R = 1 \ cm = 10^{-2} \ m$ અને $B = 0.125 \ T$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{2 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 0.125 \times 10^{-2}}$
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{0.4 \times 10^{-21}}$
$\lambda = 1.65 \times 10^{-12} \ m$.

(B) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇનું સૂત્ર: $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2 m E}} = \frac{h}{\sqrt{2 m q V}}$ છે.
બંને કણો સમાન સ્થિતિમાન $V$ દ્વારા સ્થિર સ્થિતિમાંથી પ્રવેગિત થતા હોવાથી,તેમની તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર:
$\frac{\lambda_{\alpha}}{\lambda_{p}} = \frac{h / \sqrt{2 m_{\alpha} q_{\alpha} V}}{h / \sqrt{2 m_{p} q_{p} V}} = \sqrt{\frac{m_{p} q_{p}}{m_{\alpha} q_{\alpha}}}$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\alpha$-કણનું દળ પ્રોટોનના દળ કરતા $4$ ગણું $(m_{\alpha} = 4 m_{p})$ અને $\alpha$-કણનો વીજભાર પ્રોટોનના વીજભાર કરતા $2$ ગણો $(q_{\alpha} = 2 q_{p})$ હોય છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\lambda_{\alpha}}{\lambda_{p}} = \sqrt{\frac{m_{p} q_{p}}{(4 m_{p})(2 q_{p})}} = \sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2 \sqrt{2}}$.
આમ,ગુણોત્તર $1 : 2 \sqrt{2}$ મળે છે.

(B) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p}$ છે,જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $p$ વેગમાન છે.
સ્થિર સ્થિતિમાંથી $V$ સ્થિતિમાન દ્વારા પ્રવેગિત $m$ દળ અને $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા કણ માટે વેગમાન $p = \sqrt{2mqV}$ થાય છે.
આમ,તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ મળે.
$\alpha$-કણ માટે,$m_\alpha = 4m_p$ અને $q_\alpha = 2e$ છે. પ્રોટોન માટે,$m_p = m_p$ અને $q_p = e$ છે.
તેમની તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_\alpha}{\lambda_p} = \frac{\sqrt{2m_p q_p V}}{\sqrt{2m_\alpha q_\alpha V}} = \sqrt{\frac{m_p q_p}{m_\alpha q_\alpha}}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\lambda_\alpha}{\lambda_p} = \sqrt{\frac{m_p \times e}{4m_p \times 2e}} = \sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$.
તેથી,ગુણોત્તર $1: 2\sqrt{2}$ છે.

(A) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $K$ એ ગતિઊર્જા છે.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ અને ગતિઊર્જા વચ્ચેનો સંબંધ $K = eV_s$ છે,તેથી $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV_s}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\lambda^2 = \frac{h^2}{2meV_s}$,જેનો અર્થ છે કે $V_s \propto \frac{1}{m\lambda^2}$.
આપેલ છે કે $\frac{\lambda_p}{\lambda_e} = 2$,તેથી $\frac{V_{s,p}}{V_{s,e}} = \frac{m_e}{m_p} \times \left( \frac{\lambda_e}{\lambda_p} \right)^2$.
દળનો ગુણોત્તર $\frac{m_e}{m_p} \approx \frac{1}{1836}$ અને $\frac{\lambda_e}{\lambda_p} = \frac{1}{2}$ લેતા,આપણને $\frac{V_{s,p}}{V_{s,e}} = \frac{1}{1836} \times \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{7344}$ મળે છે.
આપેલ વિકલ્પોમાં સાચો જવાબ ન હોવાથી,દળના ગુણોત્તરના આધારે સૌથી નજીકનો તાર્કિક જવાબ $1: 1836$ છે.

(A) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ અને વેગમાન $p$ વચ્ચેનો સંબંધ $\lambda = \frac{h}{p}$ છે.
વિકલન કરતા,આપણને $d\lambda = -\frac{h}{p^2} dp$ મળે છે.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા,$\frac{d\lambda}{\lambda} = -\frac{dp}{p}$ મળે છે.
આપેલ છે કે તરંગલંબાઇમાં $5 \%$ નો ફેરફાર થાય છે,તેથી $\frac{d\lambda}{\lambda} = -0.05$ (કારણ કે વેગમાન વધતા તરંગલંબાઇ ઘટે છે).
આમ,$\frac{dp}{p} = 0.05$,જ્યાં $dp = P$.
તેથી,$\frac{P}{p} = 0.05 = \frac{5}{100} = \frac{1}{20}$.
તેથી,પ્રારંભિક વેગમાન $p = 20 P$ થાય.

(A) ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda_e = \frac{h}{\sqrt{2 m_e K_e}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $K_e$ એ ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\lambda_e^2 = \frac{h^2}{2 m_e K_e}$,જેનો અર્થ છે કે $K_e = \frac{h^2}{2 m_e \lambda_e^2}$.
ફોટોનની ઊર્જા $K_p = \frac{hc}{\lambda_p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\lambda_e = \lambda_p = \lambda = 1.2 \ \text{Å} = 1.2 \times 10^{-10} \ \text{m}$.
તેમની ઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K_e}{K_p} = \frac{h^2 / (2 m_e \lambda^2)}{hc / \lambda} = \frac{h}{2 m_e c \lambda}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $h = 6.63 \times 10^{-34} \ \text{J} \cdot \text{s}$,$m_e = 9.11 \times 10^{-31} \ \text{kg}$,$c = 3 \times 10^8 \ \text{m/s}$,અને $\lambda = 1.2 \times 10^{-10} \ \text{m}$.
$\frac{K_e}{K_p} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{2 \times 9.11 \times 10^{-31} \times 3 \times 10^8 \times 1.2 \times 10^{-10}} \approx \frac{6.63 \times 10^{-34}}{6.56 \times 10^{-31}} \approx 0.01 = \frac{1}{100}$.
આમ,$K_e : K_p$ નો ગુણોત્તર $1 : 100$ છે.

(B) તાપમાન $T$ પર વાયુના અણુની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{3mkT}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$m$ અણુનું દળ છે,$k$ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
હાઇડ્રોજન $(H_2)$ માટે,$m_1 = 2u$ અને $T_1 = 27^{\circ} C = 300 \ K$.
હિલિયમ $(He)$ માટે,$m_2 = 4u$ અને $T_2 = 127^{\circ} C = 400 \ K$.
ગુણોત્તર $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{m_2 T_2}{m_1 T_1}} = \sqrt{\frac{4 \times 400}{2 \times 300}} = \sqrt{\frac{1600}{600}} = \sqrt{\frac{8}{3}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.
આમ,ગુણોત્તર $2\sqrt{2}:\sqrt{3}$ છે.

(A) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{mv}$ છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$m$ એ દળ છે અને $v$ એ કણનો વેગ છે.
અહીં ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોન બંને સમાન વેગ $v$ થી ગતિ કરે છે,તેથી તરંગલંબાઇ એ કણના દળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $\lambda \propto \frac{1}{m}$.
તેથી,ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $(\lambda_e)$ અને પ્રોટોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $(\lambda_p)$ નો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_e}{\lambda_p} = \frac{m_p}{m_e}$ થાય.
આમ,માંગેલ ગુણોત્તર $m_p : m_e$ છે.

(D) ઇલેક્ટ્રોન માટે,ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda_e = \frac{h}{mv}$ છે.
ફોટોન માટે,તરંગલંબાઈ $\lambda_p = \frac{h}{p_p} = \frac{hc}{E_p}$ છે,જ્યાં $E_p$ એ ફોટોનની ઊર્જા છે.
આપેલ છે કે $\lambda_e = \lambda_p$,તેથી $\frac{h}{mv} = \frac{hc}{E_p}$,જેનો અર્થ છે કે $E_p = mvc$.
ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $K_e = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા અને ફોટોનની ઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K_e}{E_p} = \frac{\frac{1}{2}mv^2}{mvc} = \frac{v}{2c}$ થાય.
આપેલ કિંમતો $v = 1.5 \times 10^8 \ m/s$ અને $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ મૂકતા:
$\frac{K_e}{E_p} = \frac{1.5 \times 10^8}{2 \times 3 \times 10^8} = \frac{1.5}{6} = \frac{1}{4}$.

(B) ઇલેક્ટ્રોનની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda_e$ નું સૂત્ર $\lambda_e = \frac{h}{p}$ છે,જ્યાં $p$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું વેગમાન છે.
ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $E_k$ અને વેગમાન વચ્ચેનો સંબંધ $E_k = \frac{p^2}{2m}$ છે,તેથી $p = \sqrt{2m E_k}$.
આમ,$\lambda_e = \frac{h}{\sqrt{2m E_k}}$.
અહીં વર્ક ફંક્શનને અવગણતા,આપાત ફોટોનની સંપૂર્ણ ઊર્જા ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે: $E_k = E_{photon} = \frac{hc}{\lambda}$.
$E_k$ ની કિંમત દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\lambda_e = \frac{h}{\sqrt{2m \left(\frac{hc}{\lambda}\right)}}$.
પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$\lambda_e = \sqrt{\frac{h^2}{2m \frac{hc}{\lambda}}} = \sqrt{\frac{h^2 \lambda}{2mhc}} = \sqrt{\frac{h \lambda}{2mc}}$.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણની ત્રિજ્યા $r = \frac{mv}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ દળ છે,$v$ વેગ છે,$q$ વિદ્યુતભાર છે અને $B$ ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા છે.
આના પરથી,વેગમાન $p = mv = qBr$.
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{qBr}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આલ્ફા કણ માટે,વિદ્યુતભાર $q = 2e = 2 \times 1.6 \times 10^{-19} \ C = 3.2 \times 10^{-19} \ C$.
આપેલ છે: $r = 0.5 \ mm = 0.5 \times 10^{-3} \ m$,$B = 2 \times 10^{-2} \ T$,અને $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \ s$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{(3.2 \times 10^{-19}) \times (2 \times 10^{-2}) \times (0.5 \times 10^{-3})}$
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{3.2 \times 10^{-24}} \approx 2.07 \times 10^{-10} \ m$.
કારણ કે $1 \ \mathring{A} = 10^{-10} \ m$,તેથી $\lambda \approx 2.1 \ \mathring{A}$.

(A) $V$ વોલ્ટેજ દ્વારા પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ માટેનું સૂત્ર: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$ છે.
સરળ સંબંધનો ઉપયોગ કરતા: $\lambda \approx \frac{12.27}{\sqrt{V}} \text{ Å}$.
અહીં $\lambda = 0.50 \text{ Å}$ આપેલ છે, તેથી:
$0.50 = \frac{12.27}{\sqrt{V}}$
$\sqrt{V} = \frac{12.27}{0.50} = 24.54$
$V = (24.54)^2 \approx 602.2 \text{ V}$.
આમ, જરૂરી વોલ્ટેજ આશરે $602 \text{ V}$ છે.

(B) ઇલેક્ટ્રોન માઇક્રોસ્કોપ ડી બ્રોગ્લી દ્વારા સૂચવવામાં આવેલા ઇલેક્ટ્રોનના તરંગ સ્વભાવના સિદ્ધાંત પર કાર્ય કરે છે. ડી બ્રોગ્લીની પૂર્વધારણા મુજબ,ગતિશીલ ઇલેક્ટ્રોન સાથે $\lambda = \frac{h}{p}$ તરંગલંબાઇ ધરાવતો તરંગ સંકળાયેલો હોય છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $p$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું વેગમાન છે. ઇલેક્ટ્રોનની તરંગલંબાઇ દ્રશ્ય પ્રકાશની તરંગલંબાઇ કરતા ઘણી નાની હોવાથી,ઇલેક્ટ્રોન માઇક્રોસ્કોપ ઓપ્ટિકલ માઇક્રોસ્કોપ કરતા ઘણી વધારે રિઝોલ્યુશન ક્ષમતા પ્રાપ્ત કરી શકે છે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = E - \Phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E$ એ આપાત ફોટોનની ઉર્જા છે અને $\Phi$ એ પદાર્થનું વર્ક ફંક્શન છે.
આપેલ છે કે $E = 4.5 \ eV$ અને $\Phi = 3 \ eV$,તેથી $K_{max} = 4.5 \ eV - 3 \ eV = 1.5 \ eV$.
આ ઉર્જાને જૂલમાં ફેરવતા: $K_{max} = 1.5 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J = 2.4 \times 10^{-19} \ J$.
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK_{max}}}$ છે,જ્યાં $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$ અને $m = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 2.4 \times 10^{-19}}} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{43.68 \times 10^{-50}}} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{6.61 \times 10^{-25}} \approx 1.0 \times 10^{-9} \ m$.
$1 \ Å = 10^{-10} \ m$ હોવાથી,$\lambda \approx 10 \ Å$ મળે છે.

(C) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p}$ છે,જ્યાં $p = \sqrt{2mK}$ અને $K$ એ ગતિઊર્જા છે.
તેથી,$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$,જેનો અર્થ છે કે $K = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$.
આપેલ છે: $h = 6.6 \times 10^{-34} \text{ J s}$,$m = 9 \times 10^{-31} \text{ kg}$,અને $\lambda = 6600 \times 10^{-10} \text{ m} = 6.6 \times 10^{-7} \text{ m}$.
કિંમતો મૂકતા:
$K = \frac{(6.6 \times 10^{-34})^2}{2 \times 9 \times 10^{-31} \times (6.6 \times 10^{-7})^2}$
$K = \frac{6.6^2 \times 10^{-68}}{18 \times 10^{-31} \times 6.6^2 \times 10^{-14}}$
$K = \frac{10^{-68}}{18 \times 10^{-45}} = \frac{1}{18} \times 10^{-23} \approx 0.0556 \times 10^{-23} \text{ J} = 5.56 \times 10^{-25} \text{ J}$.
કારણ કે કરવામાં આવેલ કાર્ય એ મેળવેલી ગતિઊર્જા જેટલું હોય છે,તેથી કરવામાં આવેલ કાર્ય $5.56 \times 10^{-25} \text{ J}$ છે.

(A) તાપમાન $T$ પર ન્યુટ્રોનની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{3mKT}}$ છે.
આના પરથી કહી શકાય કે $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{T}}$.
પ્રારંભિક તાપમાન $T_i = 77^{\circ}C = 77 + 273 = 350 \ K$.
અંતિમ તાપમાન $T_f = 1127^{\circ}C = 1127 + 273 = 1400 \ K$.
પ્રમાણસરતા $\frac{\lambda_f}{\lambda_i} = \sqrt{\frac{T_i}{T_f}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\lambda_f}{\lambda} = \sqrt{\frac{350}{1400}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
તેથી,અંતિમ તરંગલંબાઈ $\lambda_f = \frac{\lambda}{2}$ થાય.

(A) કણની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ છે,જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$m$ દળ છે અને $K$ ગતિઊર્જા છે.
આના પરથી,$\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{mK}}$,જેનો અર્થ છે કે $K \propto \frac{1}{m\lambda^2}$.
આપેલ છે કે $\lambda_p = 2\lambda_\alpha$ અને આલ્ફા કણનું દળ $m_\alpha \approx 4m_p$ છે:
$\frac{K_p}{K_\alpha} = \frac{m_\alpha}{m_p} \times \left( \frac{\lambda_\alpha}{\lambda_p} \right)^2$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{K_p}{K_\alpha} = \left( \frac{4m_p}{m_p} \right) \times \left( \frac{\lambda_\alpha}{2\lambda_\alpha} \right)^2$
$\frac{K_p}{K_\alpha} = 4 \times \frac{1}{4} = 1$
તેથી,ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $1: 1$ છે.

(D) $V$ જેટલા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત થતા ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{V}} \ \mathring{A} = \frac{12.27 \times 10^{-10}}{\sqrt{V}} \ \text{m}$.
અહીં $V = 900 \ V$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં $V$ ની કિંમત મૂકતા:
$\lambda = \frac{12.27 \times 10^{-10}}{\sqrt{900}} \ \text{m}$.
$\lambda = \frac{12.27 \times 10^{-10}}{30} \ \text{m}$.
$\lambda = 0.409 \times 10^{-10} \ \text{m}$.
$\lambda \approx 0.04 \times 10^{-9} \ \text{m} = 0.04 \ \text{nm}$.

(B) $K$ ગતિઊર્જા ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{K}}$,અથવા $K \propto \frac{1}{\lambda^2}$.
ધારો કે $\lambda_1 = 1 \ nm$ ને અનુરૂપ પ્રારંભિક ઊર્જા $K_1$ છે.
ધારો કે $\lambda_2 = 0.5 \ nm$ ને અનુરૂપ અંતિમ ઊર્જા $K_2$ છે.
તેથી,$\frac{K_2}{K_1} = \left( \frac{\lambda_1}{\lambda_2} \right)^2 = \left( \frac{1 \ nm}{0.5 \ nm} \right)^2 = (2)^2 = 4$.
આમ,$K_2 = 4K_1$.
જરૂરી વધારાની ઊર્જા $\Delta K = K_2 - K_1 = 4K_1 - K_1 = 3K_1$ છે.
આમ,વધારાની ઊર્જા એ પ્રારંભિક ઊર્જા કરતા ત્રણ ગણી છે.

(B) $V$ જેટલા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતથી પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોન માટે ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$
આપેલ છે:
$h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \cdot s$
$m = 9 \times 10^{-31} \ kg$
$e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$
$V = 121 \ V$
કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 9 \times 10^{-31} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 121}}$
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{3484.8 \times 10^{-50}}}$
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{59.03 \times 10^{-25}}$
$\lambda \approx 0.1118 \times 10^{-9} \ m = 0.112 \ nm$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{mv}$ છે,જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$m$ દળ છે અને $v$ વેગ છે.
$\lambda \propto \frac{1}{mv}$ હોવાથી,જે કણનું વેગમાન $(mv)$ સૌથી ઓછું હશે તેની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ સૌથી મોટી હશે.
દરેક કિસ્સા માટે વેગમાન $(p = mv)$ ની ગણતરી:
$A$: $p = 0.02 \ kg \times 1000 \ m/s = 20 \ kg \cdot m/s$
$B$: $p = 0.06 \ kg \times 10 \ m/s = 0.6 \ kg \cdot m/s$
$C$: $p = 0.01 \ kg \times 100 \ m/s = 1 \ kg \cdot m/s$
$D$: $p = 0.03 \ kg \times 1 \ m/s = 0.03 \ kg \cdot m/s$
કિંમતોની સરખામણી કરતા,વિકલ્પ $D$ માં વેગમાન સૌથી ઓછું $(0.03 \ kg \cdot m/s)$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $D$ માં રહેલા દડાની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ સૌથી મોટી છે.

(D) $m$ દળ અને $E$ ગતિઊર્જા ધરાવતા કણની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$
બીજા કણ માટે,દળ $m' = 2m$ અને ઉર્જા $E' = 2E$ છે. આપેલ ગતિઊર્જા ધરાવતા કણ માટે દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈના સૂત્રમાં વિદ્યુતભાર $q$ ની કોઈ અસર થતી નથી.
નવી કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\lambda' = \frac{h}{\sqrt{2m'E'}}$
$\lambda' = \frac{h}{\sqrt{2(2m)(2E)}}$
$\lambda' = \frac{h}{\sqrt{8mE}}$
$\lambda' = \frac{h}{2\sqrt{2mE}}$
કારણ કે $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$,તેથી આપણને મળે છે:
$\lambda' = \frac{\lambda}{2}$

(A) આપેલ છે: દળ $m = 8.0 \times 10^{-31} \ kg$, વિદ્યુતભાર $q = 1.6 \times 10^{-19} \ C$, ગતિઊર્જા $KE = 3 \ keV = 3 \times 10^3 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J = 4.8 \times 10^{-16} \ J$, અને પ્લાન્ક અચળાંક $h = 6.4 \times 10^{-34} \ Js$ છે।
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p}$ છે।
વેગમાન $p = \sqrt{2m(KE)}$ હોવાથી, $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m(KE)}}$ મળે।
કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.4 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 8.0 \times 10^{-31} \times 4.8 \times 10^{-16}}} \approx 0.4 \ \text{Å}$ (આપેલ વિકલ્પો મુજબ)।
તેથી, સાચો વિકલ્પ $A$ છે।