Einstein's Photoelectric Equation and Energy Quantum of Radiation Questions in Hindi

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,निरोधी विभव $V_s$ को $eV_s = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\phi$ धातु का कार्य फलन (work function) है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए,निरोधी विभव $eV_1 = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ है --- $(1)$.
तरंगदैर्ध्य $\frac{\lambda}{2}$ के लिए,निरोधी विभव $eV_2 = \frac{hc}{\lambda/2} - \phi = \frac{2hc}{\lambda} - \phi$ है --- $(2)$.
समीकरण $(1)$ से,हमें $\frac{hc}{\lambda} = eV_1 + \phi$ प्राप्त होता है।
इस मान को समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$eV_2 = 2(eV_1 + \phi) - \phi$
$eV_2 = 2eV_1 + 2\phi - \phi$
$eV_2 = 2eV_1 + \phi$
चूंकि कार्य फलन $\phi > 0$ है,इसलिए $eV_2 > 2eV_1$ होगा,जिसका अर्थ है कि $V_2 > 2V_1$।

(A) अधिकतम गतिज ऊर्जा आइंस्टीन के फोटोइलेक्ट्रिक समीकरण द्वारा दी जाती है:
$K_{\max} = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$
जहाँ $\lambda_0 = 3250 \times 10^{-10} \, m$ थ्रेशोल्ड तरंगदैर्ध्य है और $\lambda = 2536 \times 10^{-10} \, m$ आपतित तरंगदैर्ध्य है।
दिया गया है $hc = (4.14 \times 10^{-15} \, eV \cdot s) \times (3 \times 10^8 \, m/s) = 12420 \, eV \cdot \mathring{A}$.
तरंगदैर्ध्य को एंगस्ट्रॉम में बदलने पर: $\lambda_0 = 3250 \, \mathring{A}$ और $\lambda = 2536 \, \mathring{A}$.
$K_{\max} = 12420 \left( \frac{1}{2536} - \frac{1}{3250} \right) \, eV = 12420 \left( \frac{3250 - 2536}{2536 \times 3250} \right) \, eV \approx 1.076 \, eV$.
$K_{\max}$ को जूल में बदलने पर: $K_{\max} = 1.076 \times 1.6 \times 10^{-19} \, J \approx 1.72 \times 10^{-19} \, J$.
$K_{\max} = \frac{1}{2}mv^2$ सूत्र का उपयोग करते हुए,जहाँ $m = 9.1 \times 10^{-31} \, kg$:
$v^2 = \frac{2 \times 1.72 \times 10^{-19}}{9.1 \times 10^{-31}} \approx 0.378 \times 10^{12} \, m^2/s^2$.
$v \approx 0.615 \times 10^6 \, m/s \approx 6 \times 10^5 \, m/s$.

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,$K_{max} = h\nu - W_0 = \frac{1}{2}mv^2$,जहाँ $W_0 = h\nu_0$ है।
$2\nu_0$ आवृत्ति के लिए:
$h(2\nu_0) = h\nu_0 + \frac{1}{2}mv_1^2$
$h\nu_0 = \frac{1}{2}mv_1^2$ ..... $(i)$
$5\nu_0$ आवृत्ति के लिए:
$h(5\nu_0) = h\nu_0 + \frac{1}{2}mv_2^2$
$4h\nu_0 = \frac{1}{2}mv_2^2$ ..... $(ii)$
समीकरण $(i)$ को $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{h\nu_0}{4h\nu_0} = \frac{\frac{1}{2}mv_1^2}{\frac{1}{2}mv_2^2}$
$\frac{1}{4} = \frac{v_1^2}{v_2^2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{1}{2}$
अतः,अनुपात $1:2$ है।

(C) दिया गया है,निरोधी विभव $V_{0} = 10 \ V$ और कार्य फलन $W = 2.75 \ eV$ है।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = h\nu = eV_{0} + W$ होती है।
मान रखने पर,$E = 10 \ eV + 2.75 \ eV = 12.75 \ eV$ ..... $(i)$.
हाइड्रोजन परमाणु के लिए,अवस्था $n$ से मूल अवस्था $(n=1)$ में संक्रमण के दौरान उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $h\nu = E_{n} - E_{1}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $E_{n} = -\frac{13.6}{n^{2}} \ eV$,इसलिए $h\nu = -\frac{13.6}{n^{2}} - (-13.6) = 13.6 \left(1 - \frac{1}{n^{2}}\right) \ eV$ है।
इसे समीकरण $(i)$ की ऊर्जा के बराबर रखने पर,$13.6 \left(1 - \frac{1}{n^{2}}\right) = 12.75$ प्राप्त होता है।
$1 - \frac{1}{n^{2}} = \frac{12.75}{13.6} = 0.9375$ है।
$\frac{1}{n^{2}} = 1 - 0.9375 = 0.0625$ है।
$n^{2} = \frac{1}{0.0625} = 16$ है।
अतः,$n = 4$ है।

(C) फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
फोटोइलेक्ट्रिक उत्सर्जन होने के लिए, आपतित फोटॉन की ऊर्जा धातु के कार्य फलन (work function) से अधिक या उसके बराबर होनी चाहिए $(E \ge \phi)$।
इसका अर्थ है कि आपतित प्रकाश की तरंगदैर्ध्य थ्रेशोल्ड तरंगदैर्ध्य $(\lambda \le \lambda_0)$ से कम या उसके बराबर होनी चाहिए।
यह दिया गया है कि हरा प्रकाश उत्सर्जन करता है लेकिन पीला प्रकाश नहीं, इसलिए थ्रेशोल्ड तरंगदैर्ध्य $\lambda_0$, हरे और पीले प्रकाश की तरंगदैर्ध्य के बीच स्थित है $(\lambda_{\text{green}} < \lambda_0 < \lambda_{\text{yellow}})$।
चूंकि प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $V < I < B < G < Y < O < R$ के क्रम में बढ़ती है, हरे प्रकाश से छोटी तरंगदैर्ध्य वाला कोई भी रंग अधिक ऊर्जावान होगा और फोटोइलेक्ट्रिक उत्सर्जन करेगा।
दिए गए विकल्पों में से, इंडिगो (नीला) की तरंगदैर्ध्य हरे प्रकाश से कम है।
इसलिए, इंडिगो फोटो-इलेक्ट्रॉन का उत्सर्जन कर सकता है।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,निरोधी विभव $V_0$ को $eV_0 = h\nu - W_0$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $W_0$ कार्य फलन है।
इसे $V_0 = \frac{h}{e}\nu - \frac{W_0}{e}$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।
$V_0$ और $\nu$ के बीच का ग्राफ $\frac{h}{e}$ की ढाल वाली एक सीधी रेखा है।
इस ग्राफ का $x$-अंतःखंड देहली आवृत्ति $\nu_0$ है,जहाँ $V_0 = 0$ होता है,इसलिए $h\nu_0 = W_0$।
ग्राफ से,देहली आवृत्तियों का क्रम इस प्रकार है: $(\nu_0)_{(iv)} > (\nu_0)_{(iii)} > (\nu_0)_{(ii)} > (\nu_0)_{(i)}$।
चूंकि कार्य फलन $W_0 = h\nu_0$ है,इसलिए कार्य फलन भी उसी क्रम का पालन करते हैं: $(W_0)_{(iv)} > (W_0)_{(iii)} > (W_0)_{(ii)} > (W_0)_{(i)}$।
अतः,सही क्रम $(iv) > (iii) > (ii) > (i)$ है।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,आपतित फोटॉन की ऊर्जा कार्य फलन $(W_0)$ और उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K_{max})$ के योग के बराबर होती है: $E = W_0 + K_{max}$।
तरंगदैर्ध्य $\lambda_1$ के लिए: $\frac{hc}{\lambda_1} = W_0 + E_1$ --- $(1)$
तरंगदैर्ध्य $\lambda_2$ के लिए: $\frac{hc}{\lambda_2} = W_0 + E_2$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ से,$hc = W_0 \lambda_1 + E_1 \lambda_1$। समीकरण $(2)$ से,$hc = W_0 \lambda_2 + E_2 \lambda_2$।
$hc$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $W_0 \lambda_1 + E_1 \lambda_1 = W_0 \lambda_2 + E_2 \lambda_2$।
$W_0$ के लिए हल करने पर: $W_0 (\lambda_1 - \lambda_2) = E_2 \lambda_2 - E_1 \lambda_1$।
$W_0 = \frac{E_2 \lambda_2 - E_1 \lambda_1}{\lambda_1 - \lambda_2} = \frac{E_1 \lambda_1 - E_2 \lambda_2}{\lambda_2 - \lambda_1}$।

(B) दिया गया है: अधिकतम वेग $v_{max} = 4 \times 10^8 \, cm/s = 4 \times 10^6 \, m/s$.
इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $m = 9 \times 10^{-31} \, kg$.
इलेक्ट्रॉन का आवेश $e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$.
अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = \frac{1}{2} m v_{max}^2$ द्वारा दी जाती है।
$K_{max} = \frac{1}{2} \times (9 \times 10^{-31} \, kg) \times (4 \times 10^6 \, m/s)^2$.
$K_{max} = 0.5 \times 9 \times 10^{-31} \times 16 \times 10^{12} \, J$.
$K_{max} = 72 \times 10^{-19} \, J$.
इसे इलेक्ट्रॉन-वोल्ट $(eV)$ में बदलने के लिए,$e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$ से विभाजित करें:
$K_{max} = \frac{72 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \, eV = 45 \, eV$.
निरोधी विभव $V_0$ को $K_{max} = e V_0$ के रूप में परिभाषित किया गया है,इसलिए $V_0 = 45 \, V$।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $hf = W_0 + \frac{1}{2}mv_{\max}^2$,जहाँ $W_0$ धातु का कार्य फलन (work function) है।
अतः,$v_{\max} = \sqrt{\frac{2(hf - W_0)}{m}} = V$.
जब आवृत्ति $4f$ हो जाती है,तो नया अधिकतम वेग $V'$ इस प्रकार होगा:
$V' = \sqrt{\frac{2(h(4f) - W_0)}{m}}$.
हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं: $V' = \sqrt{\frac{2(4hf - W_0)}{m}}$.
चूँकि $4hf - W_0 > 4(hf - W_0)$,इसलिए हमें $V' > \sqrt{\frac{2(4(hf - W_0))}{m}} = 2\sqrt{\frac{2(hf - W_0)}{m}} = 2V$ प्राप्त होता है।
अतः,$V' > 2V$।

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $\frac{hc}{\lambda} = \phi + K$ $...(1)$
जब तरंगदैर्ध्य को बदलकर $\lambda' = \frac{3\lambda}{4}$ कर दिया जाता है,तो नई गतिज ऊर्जा $K'$ इस प्रकार होगी:
$\frac{hc}{3\lambda/4} = \phi + K'$ $...(2)$
$\frac{4hc}{3\lambda} = \phi + K'$ $...(2)$
समीकरण $(1)$ से,$\phi = \frac{hc}{\lambda} - K$ है। इस मान को समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$\frac{4}{3} \left( \frac{hc}{\lambda} \right) = \left( \frac{hc}{\lambda} - K \right) + K'$
$\frac{4}{3} \left( \frac{hc}{\lambda} \right) - \frac{hc}{\lambda} = K' - K$
$\frac{1}{3} \left( \frac{hc}{\lambda} \right) = K' - K$
चूंकि $\frac{hc}{\lambda} = \phi + K$,इसे वापस रखने पर:
$K' = K + \frac{1}{3} (\phi + K) = K + \frac{\phi}{3} + \frac{K}{3} = \frac{4K}{3} + \frac{\phi}{3}$
चूंकि कार्य फलन (work function) $\phi > 0$ है,इसलिए $K' > \frac{4K}{3}$ होगा।

(C) फोटोइलेक्ट्रॉनों के लिए अधिकतम गतिज ऊर्जा आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण द्वारा दी जाती है: $K_{\max} = h\nu - \phi$,जहाँ $\nu$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति है और $\phi$ धातु का कार्य फलन (work function) है।
चूंकि $K_{\max} = eV_0$,हमारे पास है: $eV_0 = h\nu - \phi$ --- $(1)$
जब आवृत्ति को दोगुना किया जाता है $(\nu' = 2\nu)$,तो नया निरोधी विभव $V_0'$ इस प्रकार होगा:
$eV_0' = h(2\nu) - \phi = 2h\nu - \phi$
हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
$eV_0' = 2(h\nu - \frac{\phi}{2})$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर,चूंकि $h\nu - \frac{\phi}{2} > h\nu - \phi$,इसलिए $eV_0' > 2eV_0$ प्राप्त होता है। अतः,निरोधी विभव दोगुने से अधिक हो जाता है।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार, एक फोटॉन और एक इलेक्ट्रॉन के बीच की अंतःक्रिया एक-से-एक (one-to-one) प्रक्रिया है।
जब $E = h\nu$ ऊर्जा वाला एक फोटॉन धातु की सतह से टकराता है, तो यह पूरी तरह से एक ही इलेक्ट्रॉन द्वारा अवशोषित कर लिया जाता है।
यदि फोटॉन की ऊर्जा धातु के कार्य फलन $(\Phi)$ से अधिक है, तो यह एकल इलेक्ट्रॉन सतह के अवरोध को पार करने के लिए पर्याप्त गतिज ऊर्जा प्राप्त कर लेता है और एक फोटोइलेक्ट्रॉन के रूप में उत्सर्जित होता है।
इसलिए, एक फोटॉन अधिकतम एक इलेक्ट्रॉन को बाहर निकाल सकता है। यदि फोटॉन की ऊर्जा कार्य फलन से कम है, तो कोई इलेक्ट्रॉन उत्सर्जित नहीं होता है।
अतः, उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की संख्या आपतित फोटॉनों की संख्या और कार्य फलन के सापेक्ष उनकी ऊर्जा पर निर्भर करती है।

(B) फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K_{max})$ आइंस्टीन के फोटोइलेक्ट्रिक समीकरण द्वारा दी जाती है: $K_{max} = h\nu - \phi$,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$\nu$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति है,और $\phi$ सामग्री का कार्य फलन (work function) है।
जब आवृत्ति $\nu$ को दोगुना किया जाता है,तो $h\nu$ पद बढ़ जाता है,जिससे $K_{max}$ में वृद्धि होती है। हालाँकि,कार्य फलन $\phi$ के अचर होने के कारण $K_{max}$ केवल दोगुना नहीं होता है।
फोटोइलेक्ट्रिक धारा आपतित प्रकाश की तीव्रता के सीधे आनुपातिक होती है। जब तीव्रता को दोगुना किया जाता है,तो प्रति इकाई समय में आपतित फोटॉनों की संख्या दोगुनी हो जाती है,जो बदले में प्रति इकाई समय में उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की संख्या को दोगुना कर देती है,जिससे फोटोइलेक्ट्रिक धारा दोगुनी हो जाती है।
इसलिए,सही विवरण यह है कि गतिज ऊर्जा में वृद्धि होती है (लेकिन जरूरी नहीं कि यह दो गुना ही हो) और फोटोइलेक्ट्रिक धारा दो गुना बढ़ जाती है। दिए गए विकल्पों में से,विकल्प $B$ भौतिक घटनाओं का सबसे उपयुक्त विवरण है।

(D) कैथोड सतह का कार्य फलन $\phi = 4 \ eV$ है।
हाइड्रोजन डिस्चार्ज ट्यूब में,उच्च ऊर्जा स्तरों से निम्नतम स्तर $(n=1)$ में इलेक्ट्रॉन के संक्रमण के दौरान उत्सर्जित फोटॉन की अधिकतम ऊर्जा $13.6 \ eV$ होती है (जब संक्रमण $n = \infty$ से $n = 1$ होता है)।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K_{max})$ $K_{max} = E_{photon} - \phi$ होती है।
अधिकतम फोटॉन ऊर्जा का मान रखने पर,$K_{max} = 13.6 \ eV - 4 \ eV = 9.6 \ eV$ प्राप्त होता है।
फोटोकरंट को शून्य करने के लिए,स्टॉपिंग पोटेंशियल $(V_s)$ को इस प्रकार लागू किया जाना चाहिए कि $e|V_s| = K_{max}$ हो।
अतः,$|V_s| = 9.6 \ V$।
इलेक्ट्रॉनों को रोकने के लिए स्टॉपिंग पोटेंशियल को कैथोड के सापेक्ष ऋणात्मक होना चाहिए,इसलिए एनोड वोल्टेज कम से कम $-9.6 \ V$ होना चाहिए। दिए गए विकल्पों में से,$-10 \ V$ ही एकमात्र ऐसा मान है जो $-9.6 \ V$ से अधिक ऋणात्मक है,जो सभी फोटोइलेक्ट्रॉनों को प्रभावी ढंग से रोक देगा।

(C) प्रकाश-विद्युत प्रभाव में, आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण $eV_s = h\nu - \Phi$ के अनुसार, निरोधी विभव $(V_s)$ केवल आपतित विकिरण की आवृत्ति $(\nu)$ और धातु के कार्य फलन $(\Phi)$ पर निर्भर करता है।
स्रोत को दूर ले जाने से आपतित प्रकाश की तीव्रता कम हो जाती है, जिससे प्रति इकाई समय में उत्सर्जित होने वाले फोटोइलेक्ट्रॉनों की संख्या (प्रकाश-विद्युत धारा) कम हो जाती है।
हालाँकि, तीव्रता का प्रभाव उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा पर नहीं पड़ता है, क्योंकि प्रकाश की आवृत्ति अपरिवर्तित रहती है।
चूंकि निरोधी विभव केवल अधिकतम गतिज ऊर्जा द्वारा निर्धारित होता है, इसलिए स्रोत की दूरी के बावजूद यह स्थिर रहता है।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K = \frac{hc}{\lambda} - W$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $W$ धातु का कार्य फलन (work function) है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda_1$ के लिए,$K_1 = \frac{hc}{\lambda_1} - W$ $(i)$
तरंगदैर्ध्य $\lambda_2$ के लिए,$K_2 = \frac{hc}{\lambda_2} - W$ $(ii)$
दिया गया है कि $\lambda_1 = 2\lambda_2$,इसे समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$K_1 = \frac{hc}{2\lambda_2} - W$
$K_1 = \frac{1}{2} \left( \frac{hc}{\lambda_2} \right) - W$
समीकरण $(ii)$ से,हम जानते हैं कि $\frac{hc}{\lambda_2} = K_2 + W$।
इसे $K_1$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$K_1 = \frac{1}{2} (K_2 + W) - W$
$K_1 = \frac{K_2}{2} + \frac{W}{2} - W$
$K_1 = \frac{K_2}{2} - \frac{W}{2}$
चूँकि $W > 0$,इसलिए यह निष्कर्ष निकलता है कि $K_1 < \frac{K_2}{2}$।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max}$ इस प्रकार दी जाती है:
$K_{max} = hf - \phi$
जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$f$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति है और $\phi$ धातु का कार्य फलन है।
प्रकाश-विद्युत प्रभाव में,निरोधी विभव (stopping potential) $V$ का अधिकतम गतिज ऊर्जा के साथ संबंध $K_{max} = eV$ होता है,जहाँ $e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है।
अतः,$eV = hf - \phi$,या $V = \frac{h}{e}f - \frac{\phi}{e}$।
ग्राफ से,जब $f = f_0$ (देहली आवृत्ति),तो निरोधी विभव $V = 0$ है। इसलिए,$0 = \frac{h}{e}f_0 - \frac{\phi}{e}$,जिसका अर्थ है कि $\phi = hf_0$।
इस मान को आवृत्ति $f_1$ पर $K_{max}$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$K_{max} = hf_1 - hf_0 = h(f_1 - f_0)$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K.E._{max})$ इस प्रकार दी जाती है:
$K.E._{max} = E - W$,जहाँ $E$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है और $W$ कार्य फलन है।
पहली स्थिति के लिए,$E_1 = 2W$:
$\frac{1}{2} m v_1^2 = 2W - W = W$ --- $(1)$
दूसरी स्थिति के लिए,$E_2 = 5W$:
$\frac{1}{2} m v_2^2 = 5W - W = 4W$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ को समीकरण $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{v_1^2}{v_2^2} = \frac{W}{4W} = \frac{1}{4}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{1}{2}$
अतः,अधिकतम वेग का अनुपात $1 : 2$ है।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश विद्युत समीकरण के अनुसार,निरोधी विभव (stopping potential) $V$ इस प्रकार है: $eV = \frac{hc}{\lambda} - \phi$,जहाँ $\phi$ कार्य फलन है।
$V$ के लिए व्यवस्थित करने पर: $V = \frac{hc}{e\lambda} - \frac{\phi}{e}$.
दिया गया है कि $V_1, V_2, V_3$ समांतर श्रेणी ($A$.$P$.) में हैं,इसलिए $2V_2 = V_1 + V_3$.
$V$ का मान रखने पर:
$2\left(\frac{hc}{e\lambda_2} - \frac{\phi}{e}\right) = \left(\frac{hc}{e\lambda_1} - \frac{\phi}{e}\right) + \left(\frac{hc}{e\lambda_3} - \frac{\phi}{e}\right)$.
समीकरण को सरल करने पर:
$\frac{2hc}{e\lambda_2} - \frac{2\phi}{e} = \frac{hc}{e\lambda_1} + \frac{hc}{e\lambda_3} - \frac{2\phi}{e}$.
समान पदों को हटाने पर:
$\frac{2}{\lambda_2} = \frac{1}{\lambda_1} + \frac{1}{\lambda_3}$.
यह स्थिति दर्शाती है कि $\frac{1}{\lambda_1}, \frac{1}{\lambda_2}, \frac{1}{\lambda_3}$ समांतर श्रेणी ($A$.$P$.) में हैं,जिसका अर्थ है कि $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ हरात्मक श्रेणी ($H$.$P$.) में हैं।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max} = h\nu - \phi_0$ होती है,जहाँ $h\nu$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है और $\phi_0$ कार्य फलन (work function) है।
प्रथम स्थिति के लिए: $2\, eV = 5\, eV - \phi_0$,जिससे कार्य फलन $\phi_0 = 3\, eV$ प्राप्त होता है।
द्वितीय स्थिति के लिए: आपतित ऊर्जा $6\, eV$ है। उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max}' = 6\, eV - 3\, eV = 3\, eV$ होगी।
इन फोटोइलेक्ट्रॉनों को एनोड $A$ तक पहुँचने से रोकने के लिए,$C$ के सापेक्ष $A$ का विभव $(V_{AC})$ ऋणात्मक होना चाहिए और इसका परिमाण अधिकतम गतिज ऊर्जा के बराबर होना चाहिए। अतः,$V_{AC} = -3\, V$।

(B) दिया गया है: कार्य फलन $\phi = 4.5\,eV$,तरंगदैर्ध्य $\lambda = 200\,nm$।
आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{1240\,eV\cdot nm}{200\,nm} = 6.2\,eV$।
उत्सर्जित प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = E - \phi = 6.2\,eV - 4.5\,eV = 1.7\,eV$।
संग्राहक प्लेट उत्सर्जक के सापेक्ष $+2.0\,V$ विभव पर है,जिसका अर्थ है कि यह इलेक्ट्रॉनों को त्वरित करती है।
संग्राहक तक पहुँचने वाले इलेक्ट्रॉनों की न्यूनतम गतिज ऊर्जा $K_{min} = K_{initial} + qV = 0 + 2.0\,eV = 2.0\,eV$।
संग्राहक तक पहुँचने वाले इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max}' = K_{max} + qV = 1.7\,eV + 2.0\,eV = 3.7\,eV$।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,निरोधी विभव $V$ को $eV = hf - \Phi$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$f$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति है,और $\Phi$ धातु का कार्य फलन है।
इसे $V = (h/e)f - (\Phi/e)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह एक सीधी रेखा का समीकरण $y = mx + c$ है,जहाँ ढाल $m = h/e$ सभी धातुओं के लिए स्थिर है।
y-अंतःखंड $c = -\Phi/e$ है।
चूंकि $Y$ का कार्य फलन $X$ से अधिक है $(\Phi_Y > \Phi_X)$,इसलिए $Y$ के लिए ऋणात्मक y-अंतःखंड का परिमाण $X$ से अधिक होगा।
इसका अर्थ है कि $Y$ के लिए देहली आवृत्ति $f_0 = \Phi/h$,$X$ से अधिक होगी $(f_{0,Y} > f_{0,X})$।
इसलिए,$Y$ के लिए ग्राफ आवृत्ति अक्ष पर $X$ के ग्राफ के दाईं ओर स्थानांतरित हो जाएगा,जबकि दोनों रेखाएं समानांतर बनी रहेंगी।
यह उस ग्राफ के अनुरूप है जहाँ $X$ बाईं ओर है और $Y$ दाईं ओर है,जैसा कि विकल्प $A$ में दिखाया गया है।

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार, उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = h\nu - \Phi$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है, $\nu$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति है, और $\Phi$ उत्सर्जक पदार्थ का कार्य फलन (work function) है।
चूंकि निरोधी विभव $V_s$ अधिकतम गतिज ऊर्जा से $K_{max} = eV_s$ द्वारा संबंधित है, इसलिए हमारे पास $eV_s = h\nu - \Phi$ है, जिसका अर्थ है $V_s = \frac{h\nu}{e} - \frac{\Phi}{e}$।
इस समीकरण से यह स्पष्ट है कि निरोधी विभव $V_s$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति $(\nu)$ और उत्सर्जक के गुणों (कार्य फलन $\Phi$) पर निर्भर करता है।
यह आपतित प्रकाश की तीव्रता पर निर्भर नहीं करता है।
इसलिए, सही उत्तर $(A)$ और $(C)$ दोनों है।

(C) कार्य फलन $\phi = 6.2 \ eV$ दिया गया है।
निरोधी विभव $V_0 = 5 \ V$ है,इसलिए अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = eV_0 = 5 \ eV$ है।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण का उपयोग करते हुए: $E = \phi + K_{max}$।
$E = 6.2 \ eV + 5 \ eV = 11.2 \ eV$।
आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ है।
$hc \approx 1240 \ eV \cdot nm$ का उपयोग करने पर,हमें $\lambda = \frac{1240 \ eV \cdot nm}{11.2 \ eV} \approx 110.7 \ nm$ प्राप्त होता है।
चूंकि पराबैंगनी क्षेत्र की तरंग दैर्ध्य सीमा लगभग $10 \ nm$ से $400 \ nm$ होती है,इसलिए आपतित विकिरण पराबैंगनी क्षेत्र में स्थित है।

(A) दिया गया है: तरंगदैर्ध्य $\lambda = 400 \ nm$,ऊर्जा स्थिरांक $hc = 1240 \ eV \ nm$,गतिज ऊर्जा $K.E. = 1.68 \ eV$.
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $E = W + K.E._{max}$,जहाँ $E = \frac{hc}{\lambda}$.
मान रखने पर: $E = \frac{1240}{400} = 3.1 \ eV$.
अब,कार्य फलन $W$ की गणना करते हैं: $W = E - K.E._{max} = 3.1 \ eV - 1.68 \ eV = 1.42 \ eV$.
नोट: दिए गए विकल्पों में सबसे निकटतम विकल्प $1.41 \ eV$ (विकल्प $A$) है।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार, $eV_0 = K_{max} = h\nu - \phi$, जहाँ $\phi$ धातु की सतह का कार्य फलन (work function) है।
चूंकि $X$-किरणों की आवृत्ति $(\nu_X)$ पराबैंगनी प्रकाश की आवृत्ति $(\nu_{UV})$ से बहुत अधिक होती है, इसलिए जब $X$-किरणों का उपयोग किया जाता है तो अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = h\nu - \phi$ बढ़ जाती है।
परिणामस्वरूप, निरोधी विभव $V_0 = K_{max}/e$ भी बढ़ जाता है। अतः, कथन $-1$ सत्य है।
कथन $-2$ असत्य है क्योंकि फोटोइलेक्ट्रॉन शून्य से अधिकतम मान तक की गति के साथ उत्सर्जित होते हैं क्योंकि धातु के भीतर इलेक्ट्रॉन उत्सर्जित होने से पहले टक्करों के दौरान ऊर्जा खो देते हैं, न कि आपतित प्रकाश में आवृत्तियों की सीमा के कारण (जो एकवर्णी होता है)।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max}$ और निरोधी विभव $V_0$ इस प्रकार हैं: $K_{max} = eV_0 = hv - hv_0$.
यहाँ,$h$ प्लांक नियतांक है,$v$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति है और $v_0$ देहली आवृत्ति है।
समीकरण से,$K_{max} = hv - hv_0$. यदि आवृत्ति $v$ को दोगुना करके $2v$ कर दिया जाए,तो नई अधिकतम गतिज ऊर्जा $K'_{max} = h(2v) - hv_0 = 2hv - hv_0$ होगी।
चूंकि $2hv - hv_0$,$2(hv - hv_0)$ के बराबर नहीं है,इसलिए अधिकतम गतिज ऊर्जा दोगुनी नहीं होती है। परिणामस्वरूप,निरोधी विभव $V_0$ भी दोगुना नहीं होता है। अतः,कथन-$1$ असत्य है।
कथन-$2$ सत्य है क्योंकि $K_{max}$ और $V_0$ आवृत्ति $v$ के रैखिक फलन हैं (अर्थात,$y = mx + c$ रूप)।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $\frac{hc}{\lambda} = \phi + \frac{1}{2}mv^2$,जहाँ $\phi$ कार्य फलन है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए: $\frac{hc}{\lambda} = \phi + \frac{1}{2}mv^2$ --- $(1)$
तरंगदैर्ध्य $\lambda' = \frac{3\lambda}{4}$ के लिए: $\frac{hc}{\lambda'} = \frac{4hc}{3\lambda} = \phi + \frac{1}{2}mv'^2$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ से,$\frac{hc}{\lambda} = \phi + K$,जहाँ $K = \frac{1}{2}mv^2$ है। अतः,$\frac{hc}{3\lambda} = \frac{\phi + K}{3}$ होगा।
समीकरण $(2)$ में मान रखने पर: $\frac{4}{3}(\phi + K) = \phi + \frac{1}{2}mv'^2$ प्राप्त होता है।
$\frac{1}{2}mv'^2 = \frac{4}{3}\phi + \frac{4}{3}K - \phi = \frac{1}{3}\phi + \frac{4}{3}K$।
चूंकि $\phi > 0$,इसलिए $\frac{1}{2}mv'^2 > \frac{4}{3}K$ होगा।
$\frac{1}{2}mv'^2 > \frac{4}{3} \left( \frac{1}{2}mv^2 \right) \implies v'^2 > \frac{4}{3}v^2$।
अतः,$v' > v \left( \frac{4}{3} \right)^{1/2}$ होगा।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$,जहाँ $K_{max} = eV_s$ ($V_s$ निरोधी विभव है)।
प्रथम स्थिति के लिए: $\frac{hc}{\lambda} = 5eV_0 + \phi$ --- $(1)$
द्वितीय स्थिति के लिए: $\frac{hc}{3\lambda} = eV_0 + \phi$ --- $(2)$
समीकरण $(2)$ को $5$ से गुणा करने पर: $\frac{5hc}{3\lambda} = 5eV_0 + 5\phi$ --- $(3)$
समीकरण $(3)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$\frac{5hc}{3\lambda} - \frac{hc}{\lambda} = (5eV_0 + 5\phi) - (5eV_0 + \phi)$
$\frac{5hc - 3hc}{3\lambda} = 4\phi$
$\frac{2hc}{3\lambda} = 4\phi$
$\phi = \frac{2hc}{12\lambda} = \frac{hc}{6\lambda}$

(B) आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{1242 \ eV \ nm}{400 \ nm} = 3.105 \ eV$ है।
$(a)$ फोटोइलेक्ट्रिक प्रभाव के लिए,आपतित फोटॉन की ऊर्जा कार्य फलन $(\phi)$ से अधिक होनी चाहिए। यहाँ $E = 3.105 \ eV$ है,जो $Zn$ $(3.4 \ eV)$,$Fe$ $(4.8 \ eV)$ और $Ni$ $(5.9 \ eV)$ तीनों के कार्य फलनों से कम है। अतः,किसी भी धातु से कोई फोटोइलेक्ट्रॉन उत्सर्जित नहीं होगा। कथन $(a)$ गलत है।
$(b)$ चूंकि सभी धातुओं के लिए $E < \phi$ है,इसलिए $Ni$ से कोई फोटोइलेक्ट्रॉन उत्सर्जित नहीं होगा। कथन $(b)$ सही है।
$(c)$ आइंस्टीन के फोटोइलेक्ट्रिक समीकरण के अनुसार,$KE_{max} = E - \phi = h\nu - \phi$। यदि आवृत्ति $\nu$ दोगुनी की जाती है,तो $KE_{max}' = 2h\nu - \phi$। यह $2(h\nu - \phi)$ के बराबर नहीं है। कथन $(c)$ गलत है।
$(d)$ यदि $\lambda < 200 \ nm$ है,तो $E = \frac{1242}{\lambda} > \frac{1242}{200} = 6.21 \ eV$। चूंकि $6.21 \ eV$ तीनों धातुओं के कार्य फलनों $(3.4 \ eV, 4.8 \ eV, 5.9 \ eV)$ से अधिक है,इसलिए तीनों धातुओं से फोटोइलेक्ट्रॉन उत्सर्जित होंगे। कथन $(d)$ सही है।
अतः,सही कथन $(b)$ और $(d)$ हैं।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = E - \phi$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $E$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है और $\phi$ धातु की सतह का कार्य फलन है।
आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E$ की गणना $E = \frac{12400}{\lambda(\text{in } \mathring{A})} \ eV$ के रूप में की जाती है।
यहाँ $\lambda = 2000\ \mathring{A}$ दिया गया है,इसलिए $E = \frac{12400}{2000} = 6.2\ eV$ है।
कार्य फलन $\phi = 5.01\ eV$ है।
अतः,$K_{max} = 6.2\ eV - 5.01\ eV = 1.19\ eV \approx 1.2\ eV$ है।
निरोधी विभव (stopping potential) $V_S$ अधिकतम गतिज ऊर्जा से $K_{max} = eV_S$ द्वारा संबंधित है।
इस प्रकार,$eV_S = 1.2\ eV$,जिसका अर्थ है कि $V_S = 1.2\ V$ है।

(C) आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
$hc \approx 1240 \ eV \cdot nm$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है $E = \frac{1240 \ eV \cdot nm}{200 \ nm} = 6.2 \ eV$.
उत्सर्जित प्रकाशिक इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K_{\max})$ आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण द्वारा दी जाती है: $K_{\max} = E - \phi$,जहाँ $\phi$ कार्य फलन है।
$K_{\max} = 6.2 \ eV - 4.7 \ eV = 1.5 \ eV$.
गेंद द्वारा प्राप्त अधिकतम विभव $(V_{\max})$ निरोधी विभव (stopping potential) के बराबर होता है,जो $V_{\max} = \frac{K_{\max}}{e} = 1.5 \ V$ है।

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $eV = \frac{hc}{\lambda} - \phi$,जहाँ $\phi = \frac{hc}{\lambda_0}$ कार्य फलन है।
स्थिति $I$: $eV = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ --- $(i)$
स्थिति $II$: $e(V/3) = \frac{hc}{2\lambda} - \phi$ --- $(ii)$
समीकरण $(ii)$ को $3$ से गुणा करने पर: $eV = \frac{3hc}{2\lambda} - 3\phi$ --- $(iii)$
समीकरण $(i)$ और $(iii)$ की तुलना करने पर: $\frac{hc}{\lambda} - \phi = \frac{3hc}{2\lambda} - 3\phi$
$2\phi = \frac{3hc}{2\lambda} - \frac{hc}{\lambda} = \frac{hc}{2\lambda}$
$\phi = \frac{hc}{4\lambda}$
चूंकि $\phi = \frac{hc}{\lambda_0}$,इसलिए हमें $\lambda_0 = 4\lambda$ प्राप्त होता है।

(B) प्रकाश-विद्युत समीकरण $K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\phi = \frac{hc}{\lambda_0}$ है।
दिया गया है: $\lambda_0 = 400 \ nm = 4000 \ \mathring{A}$,$K_{max} = 0.9 \ eV$.
$E (\text{in } eV) = \frac{12400}{\lambda (\text{in } \mathring{A})}$ संबंध का उपयोग करते हुए,कार्य फलन $\phi = \frac{12400}{4000} = 3.1 \ eV$ है।
मानों को प्रकाश-विद्युत समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$0.9 = \frac{12400}{\lambda} - 3.1$
$0.9 + 3.1 = \frac{12400}{\lambda}$
$4.0 = \frac{12400}{\lambda}$
$\lambda = \frac{12400}{4} = 3100 \ \mathring{A} = 310 \ nm$.

(D) आइंस्टीन के फोटोइलेक्ट्रिक समीकरण के अनुसार, $K_{max} = h\nu - \phi$, जहाँ $K_{max}$ उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा है, $h$ प्लांक नियतांक है, $\nu$ आपतित विकिरण की आवृत्ति है और $\phi$ धातु का कार्य फलन है।
आपतित विकिरण की आवृत्ति $(\nu)$ बढ़ाने से उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K_{max})$ बढ़ जाती है। परिणामस्वरूप, निरोधी विभव $(V_s)$, जिसे $V_s = K_{max}/e$ के रूप में परिभाषित किया गया है, अधिक ऋणात्मक हो जाता है (विभव अक्ष पर बाईं ओर खिसक जाता है)।
आपतित विकिरण की तीव्रता प्रति इकाई समय में सतह से टकराने वाले फोटॉनों की संख्या के सीधे आनुपातिक होती है, जो संतृप्त फोटोधारा को निर्धारित करती है। तीव्रता को कम करने से प्रति इकाई समय में उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की संख्या कम हो जाती है, जिससे संतृप्त फोटोधारा कम हो जाती है।
दिए गए वक्रों की तुलना टूटी हुई रेखा वाले वक्र से करने पर: वक्र $D$ अधिक ऋणात्मक निरोधी विभव (बढ़ी हुई आवृत्ति के कारण) और कम संतृप्त धारा (घटी हुई तीव्रता के कारण) दर्शाता है। इसलिए, वक्र $D$ नई स्थिति का प्रतिनिधित्व करता है।

(B) निरोधी विभव $(V_s)$ केवल आपतित प्रकाश की आवृत्ति (या तरंगदैर्ध्य) और धातु की सतह के कार्य फलन (work function) पर निर्भर करता है,जैसा कि आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण $eV_s = h\nu - \phi$ द्वारा दिया गया है।
यह आपतित प्रकाश की तीव्रता पर निर्भर नहीं करता है।
जब स्रोत की दूरी $10\, \text{cm}$ से बढ़ाकर $20\, \text{cm}$ कर दी जाती है,तो व्युत्क्रम वर्ग नियम के कारण सतह पर आपतित प्रकाश की तीव्रता कम हो जाती है।
हालाँकि,आपतित फोटॉन की तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ और आवृत्ति $(\nu)$ अपरिवर्तित रहती है।
चूंकि निरोधी विभव तीव्रता से स्वतंत्र है,इसलिए यह समान रहेगा।
अतः,निरोधी विभव $1.5\, \text{V}$ ही रहेगा।

(B) फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है। $hc \approx 1240 \ eV \cdot nm$ का उपयोग करते हुए:
$\lambda_1 = 310 \ nm$ के लिए,$E_1 = \frac{1240}{310} = 4.0 \ eV$.
$\lambda_2 = 455 \ nm$ के लिए,$E_2 = \frac{1240}{455} \approx 2.72 \ eV$.
$\lambda_3 = 620 \ nm$ के लिए,$E_3 = \frac{1240}{620} = 2.0 \ eV$.
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,$K_{max} = E - \Phi$,जहाँ $\Phi = 1.2 \ eV$ है।
$\lambda_1 = 310 \ nm$ के लिए,$K_{max} = 4.0 - 1.2 = 2.8 \ eV$.
$\lambda_2 = 455 \ nm$ के लिए,$K_{max} = 2.72 - 1.2 = 1.52 \ eV$.
$\lambda_3 = 620 \ nm$ के लिए,$K_{max} = 2.0 - 1.2 = 0.8 \ eV$.
अधिकतम गतिज ऊर्जा इन मानों में सबसे अधिक है,जो $2.8 \ eV$ है।

(C) दिए गए $I - V$ वक्र से,निरोधी विभव (stopping potential) $V_s = 5 \, V$ और संतृप्त धारा (saturation current) $I_s = 10 \, \mu A = 10^{-5} \, A$ है।
आपतित फोटॉनों की ऊर्जा आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण द्वारा दी जाती है:
$E = h\nu = eV_s + \phi_0$
$E = 5 \, eV + 2 \, eV = 7 \, eV$.
संतृप्त धारा और आपतित प्रकाश की शक्ति $P$ के बीच संबंध इस प्रकार है:
$I_s = \eta \times \left( \frac{P}{E} \right) \times e$
जहाँ $\eta$ प्रकाश-उत्सर्जन की दक्षता $= 10^{-3} \% = 10^{-5}$ है।
मान रखने पर:
$10^{-5} = 10^{-5} \times \left( \frac{P}{7 \, eV} \right) \times e$
$1 = \frac{P}{7 \, eV} \times e$
$1 = \frac{P}{7}$
$P = 7 \, W$.

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi = eV$.
प्रथम स्थिति के लिए: $\frac{hc}{\lambda} = \phi + eV$ .......$(1)$
द्वितीय स्थिति के लिए: $\frac{hc}{2\lambda} = \phi + \frac{eV}{3}$ .......$(2)$
समीकरण $(2)$ को $3$ से गुणा करने पर: $\frac{3hc}{2\lambda} = 3\phi + eV$ .......$(3)$
समीकरण $(3)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर: $(\frac{3}{2} - 1) \frac{hc}{\lambda} = (3\phi - \phi) + (eV - eV)$.
$\frac{1}{2} \frac{hc}{\lambda} = 2\phi$.
$\phi = \frac{hc}{4\lambda}$.
चूंकि $\phi = \frac{hc}{\lambda_{th}}$,इसलिए $\lambda_{th} = 4\lambda$.

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,प्लेट $1$ से उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = hv - \phi$ होती है।
जब इलेक्ट्रॉन प्लेट $1$ से प्लेट $2$ की ओर गति करता है,तो वह प्लेटों के बीच विभवांतर के कारण त्वरित होता है।
बैटरी इस प्रकार जुड़ी है कि प्लेट $1$,प्लेट $2$ की तुलना में निम्न विभव पर है (या परिपथ विन्यास एक त्वरित विभव प्रदान करता है)। संधारित्र पर विभवांतर $V$,बैटरी के $emf$ के बराबर है,जो $V = \frac{\phi}{e}$ है।
इलेक्ट्रॉन पर विद्युत क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य $W = eV = e \cdot \frac{\phi}{e} = \phi$ है।
प्लेट $2$ तक पहुँचने वाले इलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा उसकी प्रारंभिक अधिकतम गतिज ऊर्जा और विद्युत क्षेत्र द्वारा किए गए कार्य का योग है:
$K_{final} = K_{max} + W = (hv - \phi) + \phi = hv$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max}$ इस प्रकार है:
$K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$
जब एक आवेशित कण $B_0$ चुंबकीय क्षेत्र में $r$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ पर गति करता है,तो चुंबकीय बल अभिकेंद्र बल प्रदान करता है:
$evB_0 = \frac{mv^2}{r} \implies v = \frac{eB_0r}{m}$
गतिज ऊर्जा को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:
$K_{max} = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m \left( \frac{eB_0r}{m} \right)^2 = \frac{e^2 B_0^2 r^2}{2m}$
$K_{max}$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\frac{e^2 B_0^2 r^2}{2m} = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$
$\frac{1}{\lambda_0}$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{hc}{\lambda_0} = \frac{hc}{\lambda} - \frac{e^2 B_0^2 r^2}{2m}$
दोनों पक्षों को $hc$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{\lambda_0} = \frac{1}{\lambda} - \frac{e^2 B_0^2 r^2}{2mhc}$

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित फोटो-इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(KE_{\max})$ इस प्रकार दी जाती है:
$KE_{\max} = E - \phi$
जहाँ $E$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है और $\phi$ धातु का कार्य फलन है।
दिया गया है: $E = 6\, eV$ और $\phi = 4\, eV$।
$KE_{\max} = 6\, eV - 4\, eV = 2\, eV$।
उत्सर्जित फोटो-इलेक्ट्रॉनों की गतिज ऊर्जा $0$ से $KE_{\max}$ तक होती है।
अतः,उत्सर्जित फोटो-इलेक्ट्रॉनों की न्यूनतम गतिज ऊर्जा $(KE_{\min})$ $0\, eV$ है।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,गतिज ऊर्जा $K = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ है,जहाँ $\phi$ कार्य फलन है।
प्रारंभिक स्थिति के लिए: $K = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ --- $(1)$
अंतिम स्थिति के लिए,जहाँ गतिज ऊर्जा $2K$ है: $2K = \frac{hc}{\lambda'} - \phi$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ से,$\frac{hc}{\lambda} = K + \phi$। चूँकि $K > 0$,इसलिए $\frac{hc}{\lambda} > \phi$।
समीकरण $(2)$ से,$\frac{hc}{\lambda'} = 2K + \phi$। चूँकि $K > 0$,इसलिए $\frac{hc}{\lambda'} > \phi$।
$(1)$ को $(2)$ से विभाजित करने पर: $\frac{\lambda'}{\lambda} = \frac{K + \phi}{2K + \phi}$।
चूँकि $K + \phi < 2K + \phi$,इसलिए अनुपात $\frac{\lambda'}{\lambda} < 1$,जिसका अर्थ है $\lambda' < \lambda$।
साथ ही,$\frac{\lambda'}{\lambda} = \frac{K + \phi}{2K + \phi} = \frac{1}{2} \left( \frac{2K + 2\phi}{2K + \phi} \right) = \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{\phi}{2K + \phi} \right)$।
चूँकि $\frac{\phi}{2K + \phi} > 0$,कोष्ठक में दी गई राशि $1$ से बड़ी है। इसलिए,$\frac{\lambda'}{\lambda} > \frac{1}{2}$,जिसका अर्थ है $\lambda' > \lambda/2$।
अतः,$\lambda > \lambda' > \lambda/2$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया विद्युत क्षेत्र समीकरण $\varepsilon = (100 \text{ V/m}) [\sin(\omega_1 t) + \sin(\omega_2 t)]$ है, जहाँ $\omega_1 = 5 \times 10^{15} \text{ rad/s}$ और $\omega_2 = 8 \times 10^{15} \text{ rad/s}$ है।
अधिकतम गतिज ऊर्जा ज्ञात करने के लिए, हमें उच्चतम आवृत्ति वाले फोटॉन पर विचार करना चाहिए, क्योंकि $K.E._{\max} = h\nu - \phi$ होता है।
आवृत्ति $\nu = \frac{\omega}{2\pi}$ द्वारा दी जाती है। उच्च आवृत्ति घटक के लिए, $\nu = \frac{8 \times 10^{15}}{2\pi} \text{ Hz}$ है।
फोटॉन की ऊर्जा $E = h\nu = \frac{6.626 \times 10^{-34} \times 8 \times 10^{15}}{2 \times 3.1416} \text{ Joules}$ है।
इसे $1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$ से विभाजित करके $\text{eV}$ में बदलने पर:
$E = \frac{6.626 \times 10^{-34} \times 8 \times 10^{15}}{2 \times 3.1416 \times 1.6 \times 10^{-19}} \approx 5.27 \text{ eV}$।
अधिकतम गतिज ऊर्जा $K.E._{\max} = E - \phi = 5.27 \text{ eV} - 2 \text{ eV} = 3.27 \text{ eV}$ है।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार:
$hv_1 = hv_0 + \frac{1}{2}mv_1^2$ --- $(1)$
$hv_2 = hv_0 + \frac{1}{2}mv_2^2$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ में से समीकरण $(2)$ को घटाने पर:
$h(v_1 - v_2) = \frac{1}{2}m(v_1^2 - v_2^2)$
वेग के अंतर के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$v_1^2 - v_2^2 = \frac{2h}{m}(v_1 - v_2)$
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K_{max})$ इस प्रकार दी जाती है:
$K_{max} = E - \Phi$
जहाँ $E$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है और $\Phi$ पदार्थ का कार्य फलन है।
दिया गया है: $E = 25\, eV$ और $\Phi = 7\, eV$.
$K_{max} = 25\, eV - 7\, eV = 18\, eV$.
निरोधी विभव $(V_0)$ अधिकतम गतिज ऊर्जा से $K_{max} = eV_0$ समीकरण द्वारा संबंधित है।
अतः,$eV_0 = 18\, eV$,जिसका अर्थ है कि $V_0 = 18\, V$।

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $\frac{hc}{\lambda} = W_0 + \frac{1}{2}mv_{\max}^2$।
मान लीजिए प्रारंभिक तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = \lambda$ और अंतिम तरंगदैर्ध्य $\lambda_2 = 4\lambda$ है।
अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max} = \frac{hc}{\lambda} - W_0$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $K_{\max} = \frac{1}{2}mv_{\max}^2$,इसलिए $v_{\max} = \sqrt{\frac{2}{m} (\frac{hc}{\lambda} - W_0)}$।
जब $\lambda$ बढ़कर $4\lambda$ हो जाता है,तो आपतित फोटॉन की ऊर्जा $\frac{hc}{4\lambda}$ कम हो जाती है।
चूंकि $K_{\max}$ कम हो जाता है,इसलिए $v_{\max}$ भी कम हो जाता है।
मान लीजिए नया वेग $v'$ है। तो $v' = \sqrt{\frac{2}{m} (\frac{hc}{4\lambda} - W_0)}$।
$v'$ की $v_{\max}$ के साथ तुलना करने पर: $v' = \sqrt{\frac{1}{4} \frac{2hc}{\lambda} - \frac{2W_0}{m}} = \sqrt{\frac{1}{4} v_{\max}^2 - \frac{3W_0}{2m}}$।
चूंकि $\frac{1}{4} v_{\max}^2 - \frac{3W_0}{2m} < \frac{1}{4} v_{\max}^2$,इसलिए $v' < \frac{1}{2} v_{\max}$ प्राप्त होता है।
अतः,वेग में परिवर्तन का कारक $\frac{1}{2}$ से कम है।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार, उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = eV_0$ होती है, जहाँ $V_0$ निरोधी विभव है।
आइंस्टीन का समीकरण $K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ है।
$K_{max} = eV_0$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $eV_0 = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ प्राप्त होता है।
दिया गया है: कार्य फलन $\phi = 2.14 \ eV$, निरोधी विभव $V_0 = 0.60 \ V$.
संबंध $\frac{hc}{\lambda} \approx \frac{12400 \ eV \cdot \mathring{A}}{\lambda}$ का उपयोग करते हुए, $0.60 \ eV = \frac{12400 \ eV \cdot \mathring{A}}{\lambda} - 2.14 \ eV$.
$0.60 + 2.14 = \frac{12400}{\lambda}$.
$2.74 = \frac{12400}{\lambda}$.
$\lambda = \frac{12400}{2.74} \approx 4525.5 \ \mathring{A}$.
नैनोमीटर में बदलने पर, $\lambda \approx 452.55 \ nm$, जो $454 \ nm$ के निकट है।

(B) दिए गए ग्राफ से, निरोधी विभव (stopping potential) $V_{0}$ वह ऋणात्मक वोल्टेज है जिस पर फोटोकरंट शून्य हो जाता है।
ग्राफ को देखने पर, वक्र वोल्टेज अक्ष को $V = -4\,V$ पर काटता है।
अतः, निरोधी विभव का परिमाण $|V_{0}| = 4\,V$ है।
उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max}$ सूत्र $K_{\max} = e|V_{0}|$ द्वारा दी जाती है।
$|V_{0}|$ का मान रखने पर, हमें $K_{\max} = e \times 4\,V = 4\,eV$ प्राप्त होता है।

(C) प्रकाश स्रोत की शक्ति $P = 5 \times 10^{-3} \, W$ है और प्रति सेकंड उत्सर्जित फोटॉनों की संख्या $n = 8 \times 10^{15} \, s^{-1}$ है।
एक फोटॉन की ऊर्जा $E$ का मान $E = \frac{P}{n}$ द्वारा दिया जाता है।
$E = \frac{5 \times 10^{-3}}{8 \times 10^{15}} \, J = 6.25 \times 10^{-19} \, J$.
इस ऊर्जा को इलेक्ट्रॉन-वोल्ट $(eV)$ में बदलने के लिए,इलेक्ट्रॉन के आवेश $e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$ से विभाजित करें:
$E = \frac{6.25 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \, eV = 3.90625 \, eV \approx 3.9 \, eV$.
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K.E)_{\max}$ और स्टॉपिंग पोटेंशियल $V_s$ के बीच संबंध $(K.E)_{\max} = e V_s = 2.0 \, eV$ है।
प्रकाश-विद्युत समीकरण $E = \phi + (K.E)_{\max}$ है,जहाँ $\phi$ कार्य फलन है।
$\phi = E - (K.E)_{\max} = 3.9 \, eV - 2.0 \, eV = 1.9 \, eV$.
अतः,धातु का कार्य फलन $1.9 \, eV$ है।