Einstein's Photoelectric Equation and Energy Quantum of Radiation Questions in Gujarati

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $K = E - \phi$ છે,જ્યાં $E$ એ ફોટોનની ઉર્જા છે અને $\phi$ એ કાર્ય વિધેય છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $K_{1} = E_{1} - \phi = 4 - \phi$.
બીજા કિસ્સા માટે: $K_{2} = E_{2} - \phi = 2.5 - \phi$.
કારણ કે $K = \frac{1}{2}mv_{max}^{2}$,ગતિ ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K_{1}}{K_{2}} = \left(\frac{v_{1}}{v_{2}}\right)^{2}$ થાય.
આપેલ છે કે $\frac{v_{1}}{v_{2}} = 2$,તેથી $\frac{K_{1}}{K_{2}} = 2^{2} = 4$,એટલે કે $K_{1} = 4K_{2}$.
$K_{1}$ અને $K_{2}$ ના સમીકરણો મૂકતા: $4 - \phi = 4(2.5 - \phi)$.
$4 - \phi = 10 - 4\phi$.
$3\phi = 6$.
$\phi = 2 \ eV$.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,આપાત ફોટોનની ઉર્જા નીચે મુજબ છે:
$E = \phi + K_{\max}$
$\frac{hc}{\lambda} = \frac{hc}{\lambda_0} + eV_s$
પ્રથમ કિસ્સા માટે,$\lambda_{\text{incident}} = \lambda$ અને $V_s = 3 \text{ V}$:
$\frac{hc}{\lambda} = \frac{hc}{\lambda_0} + 3e \quad \dots (i)$
બીજા કિસ્સા માટે,$\lambda_{\text{incident}} = 2\lambda$ અને $V_s = 1 \text{ V}$:
$\frac{hc}{2\lambda} = \frac{hc}{\lambda_0} + 1e \quad \dots (ii)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી સમીકરણ $(ii)$ બાદ કરતા:
$\frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{2\lambda} = (\frac{hc}{\lambda_0} - \frac{hc}{\lambda_0}) + (3e - 1e)$
$\frac{hc}{2\lambda} = 2e$
$e = \frac{hc}{4\lambda}$
$e$ ની કિંમત સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા:
$\frac{hc}{2\lambda} = \frac{hc}{\lambda_0} + \frac{hc}{4\lambda}$
$\frac{hc}{\lambda_0} = \frac{hc}{2\lambda} - \frac{hc}{4\lambda} = \frac{hc}{4\lambda}$
$\lambda_0 = 4\lambda$

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,$K_{max} = h\nu - \phi_0$,જ્યાં $K_{max} = eV_s$ છે.
આમ,$eV_s = h\nu - \phi_0$,જે દર્શાવે છે કે $V_s = \frac{h}{e}\nu - \frac{\phi_0}{e}$.
અહીં,$V_s$ એ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ છે,$h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$\nu$ એ આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ છે અને $\phi_0$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
જેহেতু $V_s$ એ $\nu$ નું સુરેખ વિધેય છે,તેથી સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ આપાત વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણની આવૃત્તિ પર આધાર રાખે છે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટો-ઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = hf - \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
પ્રથમ ફોટોકેથોડ માટે: $\frac{1}{2}mv_{1}^{2} = hf_{1} - \phi$ --- $(1)$
બીજા ફોટોકેથોડ માટે: $\frac{1}{2}mv_{2}^{2} = hf_{2} - \phi$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી સમીકરણ $(2)$ બાદ કરતા:
$\frac{1}{2}mv_{1}^{2} - \frac{1}{2}mv_{2}^{2} = (hf_{1} - \phi) - (hf_{2} - \phi)$
$\frac{1}{2}m(v_{1}^{2} - v_{2}^{2}) = h(f_{1} - f_{2})$
$v_{1}^{2} - v_{2}^{2} = \frac{2h}{m}(f_{1} - f_{2})$

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $\frac{hc}{\lambda} = \phi + eV_s$,જ્યાં $\phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે અને $V_s$ એ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $\frac{1240}{491} = \phi + 0.71 \implies 2.525 = \phi + 0.71 \implies \phi = 1.815\, eV$.
બીજા કિસ્સા માટે: $\frac{1240}{\lambda} = \phi + 1.43$.
$\phi = 1.815\, eV$ મૂકતા: $\frac{1240}{\lambda} = 1.815 + 1.43 = 3.245\, eV$.
તેથી,$\lambda = \frac{1240}{3.245} \approx 382\, nm$.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $KE_{\max} = h\nu - \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
કારણ કે $KE_{\max} = \frac{1}{2}mv^2$,તેથી $v = \sqrt{\frac{2(h\nu - \phi)}{m}}$ મળે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,$h\nu_1 = 2\phi$. તેથી,$v_1 = \sqrt{\frac{2(2\phi - \phi)}{m}} = \sqrt{\frac{2\phi}{m}}$.
બીજા કિસ્સા માટે,$h\nu_2 = 10\phi$. તેથી,$v_2 = \sqrt{\frac{2(10\phi - \phi)}{m}} = \sqrt{\frac{18\phi}{m}}$.
મહત્તમ વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{2\phi}{18\phi}} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$ છે.
આપેલ ગુણોત્તર $x:y = 1:3$ હોવાથી,$x$ નું મૂલ્ય $1$ છે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનનું ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ $KE_{\max} = eV_S = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\lambda_1 = 280 \, nm$ માટે,આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E_1 = \frac{1240 \, eV \cdot nm}{280 \, nm} \approx 4.43 \, eV$ છે.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_{S1} = \frac{E_1 - \phi}{e} = 4.43 - 2.5 = 1.93 \, V$ મળે છે.
$\lambda_2 = 400 \, nm$ માટે,આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E_2 = \frac{1240 \, eV \cdot nm}{400 \, nm} = 3.10 \, eV$ છે.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_{S2} = \frac{E_2 - \phi}{e} = 3.10 - 2.5 = 0.60 \, V$ મળે છે.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલમાં થતો ફેરફાર $\Delta V = V_{S1} - V_{S2} = 1.93 - 0.60 = 1.33 \, V \approx 1.3 \, V$ છે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનનું ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ $eV_0 = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ છે,જ્યાં $\phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
પ્રથમ સ્ત્રોત માટે: $e(0.48) = \frac{1240}{670.5} - \phi$ --- $(1)$
બીજા સ્ત્રોત માટે: $eV_0' = \frac{1240}{474.6} - \phi$ --- $(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા:
$e(V_0' - 0.48) = 1240 \left( \frac{1}{474.6} - \frac{1}{670.5} \right)$
$V_0' - 0.48 = 1240 \left( \frac{670.5 - 474.6}{474.6 \times 670.5} \right)$
$V_0' - 0.48 = 1240 \left( \frac{195.9}{318223.26} \right)$
$V_0' - 0.48 \approx 1240 \times 0.0006156 \approx 0.763$
$V_0' = 0.48 + 0.763 = 1.243\, V$
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,$V_0' \approx 1.25\, V$.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $\frac{hc}{\lambda} = K_{\max} + \phi$.
અહીં વર્ક ફંક્શન $\phi$ અવગણ્ય હોવાથી,$\frac{hc}{\lambda} = K_{\max}$ મળે.
ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda_{d} = \frac{h}{\sqrt{2mK_{\max}}}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\lambda_{d}^{2} = \frac{h^{2}}{2mK_{\max}}$,જેનો અર્થ છે કે $K_{\max} = \frac{h^{2}}{2m\lambda_{d}^{2}}$.
$K_{\max}$ ની કિંમત ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{hc}{\lambda} = \frac{h^{2}}{2m\lambda_{d}^{2}}$.
$\lambda$ માટે સાદું રૂપ આપતા,$\lambda = \frac{hc \cdot 2m\lambda_{d}^{2}}{h^{2}} = \left(\frac{2mc}{h}\right) \lambda_{d}^{2}$ મળે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = eV_s = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે અને $\lambda_t$ એ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ છે જેથી $\phi = \frac{hc}{\lambda_t}$ થાય.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $e(3V_0) = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ --- $(i)$
બીજા કિસ્સા માટે: $eV_0 = \frac{hc}{2\lambda} - \phi$ --- (ii)
સમીકરણ (ii) ને $3$ વડે ગુણતા: $3eV_0 = \frac{3hc}{2\lambda} - 3\phi$ --- (iii)
$(i)$ અને (iii) ને સરખાવતા: $\frac{hc}{\lambda} - \phi = \frac{3hc}{2\lambda} - 3\phi$
$2\phi = \frac{3hc}{2\lambda} - \frac{hc}{\lambda} = \frac{hc}{2\lambda}$
$\phi = \frac{hc}{4\lambda}$
કારણ કે $\phi = \frac{hc}{\lambda_t}$,તેથી $\frac{hc}{\lambda_t} = \frac{hc}{4\lambda}$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda_t = 4\lambda$.
આમ,$n$ નું મૂલ્ય $4$ છે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે: $eV_s = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$,જ્યાં $\lambda_0$ એ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $e(4.8) = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$ --- $(1)$
બીજા કિસ્સા માટે: $e(1.6) = \frac{hc}{2\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી સમીકરણ $(2)$ બાદ કરતા:
$e(4.8 - 1.6) = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{2\lambda}$
$3.2e = \frac{hc}{2\lambda}$ --- $(3)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી,$\frac{hc}{2\lambda} = 3.2e$ મૂકતા:
$1.6e = 3.2e - \frac{hc}{\lambda_0}$
$\frac{hc}{\lambda_0} = 1.6e$
હવે,સમીકરણ $(3)$ ને આ પરિણામ વડે ભાગતા:
$\frac{hc/2\lambda}{hc/\lambda_0} = \frac{3.2e}{1.6e}$
$\frac{\lambda_0}{2\lambda} = 2$
$\lambda_0 = 4\lambda$.
આમ,થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ $4\lambda$ છે.

(C) તંત્રની પ્રારંભિક ઊર્જા એ ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા છે, $E_i = 3 \, eV$.
$n$ મી અવસ્થામાં હાઇડ્રોજન પરમાણુની ઊર્જા $E_n = -\frac{13.6 \, eV}{n^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
બીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા $n = 3$ ને અનુરૂપ છે। તેથી, $E_f = -\frac{13.6 \, eV}{3^2} = -\frac{13.6}{9} \, eV \approx -1.51 \, eV$.
ફોટોન તરીકે મુક્ત થતી ઊર્જા એ પ્રારંભિક અને અંતિમ ઊર્જા વચ્ચેનો તફાવત છે: $E_{photon} = E_i - E_f = 3 \, eV - (-1.51 \, eV) = 4.51 \, eV$.
ધાતુનું કાર્ય વિધેય $\phi = \frac{hc}{\lambda_{threshold}} = \frac{12400 \, eV \cdot Å}{4000 \, Å} = 3.1 \, eV$ છે।
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા, મહત્તમ ગતિઊર્જા $KE_{max} = E_{photon} - \phi = 4.51 \, eV - 3.1 \, eV = 1.41 \, eV$ મળે છે।

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ એ $eV_s = h\nu - h\nu_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\nu_0$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ છે.
આવૃત્તિ $\nu$ માટે,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $\frac{V_s}{2}$ છે. તેથી,$e(\frac{V_s}{2}) = h\nu - h\nu_0$ --- $(1)$
આવૃત્તિ $\frac{\nu}{2}$ માટે,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ છે. તેથી,$eV_s = h(\frac{\nu}{2}) - h\nu_0$ --- $(2)$
સમીકરણ $(2)$ પરથી,આપણને $eV_s = \frac{h\nu}{2} - h\nu_0$ મળે છે. આ કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$\frac{1}{2}(\frac{h\nu}{2} - h\nu_0) = h\nu - h\nu_0$
$\frac{h\nu}{4} - \frac{h\nu_0}{2} = h\nu - h\nu_0$
$h\nu_0 - \frac{h\nu_0}{2} = h\nu - \frac{h\nu}{4}$
$\frac{h\nu_0}{2} = \frac{3h\nu}{4}$
$\nu_0 = \frac{3}{2}\nu$.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = E - \Phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E$ એ ફોટોનની ઊર્જા છે અને $\Phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
પ્રથમ ફોટોન માટે,$E_1 = 3.8 \, eV$ અને $\Phi = 0.6 \, eV$. તેથી,$K_{max1} = 3.8 - 0.6 = 3.2 \, eV$.
બીજા ફોટોન માટે,$E_2 = 1.4 \, eV$ અને $\Phi = 0.6 \, eV$. તેથી,$K_{max2} = 1.4 - 0.6 = 0.8 \, eV$.
કારણ કે $K_{max} = \frac{1}{2} m v_{max}^2$,મહત્તમ ઝડપનો ગુણોત્તર $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{K_{max1}}{K_{max2}}}$ થશે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{3.2}{0.8}} = \sqrt{4} = 2$.
તેથી,ગુણોત્તર $2: 1$ છે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $h\nu = h\nu_{0} + K_{\text{max}}$,જ્યાં $K_{\text{max}} = \frac{1}{2}mv^{2}$.
કિસ્સો $1$: જ્યારે $\nu = 2\nu_{0}$:
$h(2\nu_{0}) = h\nu_{0} + \frac{1}{2}mv_{1}^{2}$
$h\nu_{0} = \frac{1}{2}mv_{1}^{2} \dots(1)$
કિસ્સો $2$: જ્યારે $\nu = 5\nu_{0}$:
$h(5\nu_{0}) = h\nu_{0} + \frac{1}{2}mv_{2}^{2}$
$4h\nu_{0} = \frac{1}{2}mv_{2}^{2} \dots(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને $(1)$ વડે ભાગતા:
$\frac{4h\nu_{0}}{h\nu_{0}} = \frac{\frac{1}{2}mv_{2}^{2}}{\frac{1}{2}mv_{1}^{2}}$
$4 = \left(\frac{v_{2}}{v_{1}}\right)^{2}$
$\frac{v_{2}}{v_{1}} = \sqrt{4} = 2$
$v_{2} = 2v_{1}$
આપેલ છે કે $v_{2} = xv_{1}$,તેથી $x = 2$.

(A) આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{12400 \; eV \cdot \mathring A}{4500 \; \mathring A} \approx 2.76 \; eV$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણની વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા $R = \frac{mv}{qB} = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ છે,જ્યાં $K$ એ ગતિ ઉર્જા છે.
$K$ માટે સૂત્ર: $K = \frac{(qBR)^2}{2m}$.
અહીં $q = 1.6 \times 10^{-19} \; C$,$B = 2 \times 10^{-3} \; T$,$R = 2 \times 10^{-3} \; m$,અને $m = 9.1 \times 10^{-31} \; kg$ આપેલ છે:
$K = \frac{(1.6 \times 10^{-19} \times 2 \times 10^{-3} \times 2 \times 10^{-3})^2}{2 \times 9.1 \times 10^{-31}} = \frac{(6.4 \times 10^{-25})^2}{18.2 \times 10^{-31}} \approx 2.25 \times 10^{-19} \; J$.
$eV$ માં રૂપાંતર કરતા: $K = \frac{2.25 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \approx 1.40 \; eV$.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $\phi = E - K = 2.76 \; eV - 1.40 \; eV = 1.36 \; eV$.

(D) આપાત ફોટોનની ઊર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $E = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{6630 \times 10^{-10}} = \frac{19.89 \times 10^{-26}}{6.63 \times 10^{-7}} = 3 \times 10^{-19} \; J$.
ઇલેક્ટ્રોન વોલ્ટમાં રૂપાંતર કરતા: $E = \frac{3 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \approx 1.875 \; eV$.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $E = \phi + eV_{0}$,જ્યાં $\phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે અને $V_{0}$ એ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ છે.
આપેલ છે $V_{0} = 0.42 \; V$,તેથી $eV_{0} = 0.42 \; eV$.
આમ,$\phi = E - eV_{0} = 1.875 \; eV - 0.42 \; eV = 1.455 \; eV$.
વર્ક ફંક્શનને જુલમાં રૂપાંતર કરતા: $\phi = 1.455 \times 1.6 \times 10^{-19} \; J = 2.328 \times 10^{-19} \; J$.
થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $\nu_{0}$ એ $\phi = h\nu_{0}$ દ્વારા મળે છે.
$\nu_{0} = \frac{\phi}{h} = \frac{2.328 \times 10^{-19}}{6.63 \times 10^{-34}} \approx 0.351 \times 10^{15} \; s^{-1} = 35.1 \times 10^{13} \; s^{-1}$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,$x = 35$.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
તરંગલંબાઈ $\lambda_{1}$ માટે,$K_{1} = \frac{hc}{\lambda_{1}} - \phi$.
તરંગલંબાઈ $\lambda_{2}$ માટે,$K_{2} = \frac{hc}{\lambda_{2}} - \phi$.
આપેલ છે કે $\lambda_{1} = 3 \lambda_{2}$,તેથી $K_{1}$ ના સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$K_{1} = \frac{hc}{3 \lambda_{2}} - \phi$.
બંને બાજુ $3$ વડે ગુણતા,$3 K_{1} = \frac{hc}{\lambda_{2}} - 3 \phi$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $K_{2} = \frac{hc}{\lambda_{2}} - \phi$,તેથી $\frac{hc}{\lambda_{2}} = K_{2} + \phi$.
આ કિંમત $3 K_{1}$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$3 K_{1} = (K_{2} + \phi) - 3 \phi = K_{2} - 2 \phi$.
કારણ કે વર્ક ફંક્શન $\phi > 0$ છે,તેથી $3 K_{1} < K_{2}$,જેનો અર્થ છે કે $K_{1} < \frac{K_{2}}{3}$.

(D) વિદ્યુતક્ષેત્ર બે તરંગોના સરવાળા તરીકે આપવામાં આવે છે જેની કોણીય આવૃત્તિઓ $\omega_1 = 6 \times 10^{15} \, rad/s$ અને $\omega_2 = 9 \times 10^{15} \, rad/s$ છે.
મહત્તમ ગતિઊર્જા શોધવા માટે,આપણે ઉચ્ચ આવૃત્તિ ધરાવતા ફોટોનને ધ્યાનમાં લઈશું,કારણ કે $K_{max} = hf - \phi$.
આવૃત્તિ $f$ એ $f = \frac{\omega}{2\pi}$ દ્વારા મળે છે.
ઉચ્ચ આવૃત્તિ ઘટક માટે,$f = \frac{9 \times 10^{15}}{2\pi} \, Hz$.
ફોટોનની ઊર્જા $E_{photon} = hf = (4.14 \times 10^{-15} \, eVs) \times \left( \frac{9 \times 10^{15}}{2 \times 3.14159} \right) \, Hz$.
$E_{photon} = \frac{37.26}{6.283} \approx 5.93 \, eV$.
મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = E_{photon} - \phi = 5.93 \, eV - 2.50 \, eV = 3.43 \, eV$.
આપેલ વિકલ્પોમાંથી સૌથી નજીકનો વિકલ્પ $3.42 \, eV$ છે.

(B) ધાતુની સપાટી પરથી ઈલેક્ટ્રોનને મુક્ત કરવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ ઉર્જાને તે ધાતુનું વર્ક ફંક્શન $(W_0)$ કહેવામાં આવે છે.
જો આપાત વિકિરણની ઉર્જા $(h\nu)$ વર્ક ફંક્શન $(W_0)$ કરતા ઓછી હોય,તો ફોટોન પાસે સપાટીનો અવરોધ દૂર કરવા માટે પૂરતી ઉર્જા હોતી નથી,તેથી ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર થતી નથી. આમ,વિધાન $A$ સાચું છે.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $h\nu = W_0 + K.E._{\max}$.
જો આપાત ઉર્જા $h\nu = W_0$ હોય,તો $K.E._{\max} = h\nu - W_0 = 0$. આમ,કારણ $R$ સાચું છે.
જો કે,કારણ $R$ એ શૂન્ય ગતિ ઉર્જા માટેની સ્થિતિ સમજાવે છે,પરંતુ તે એ સમજાવતું નથી કે જ્યારે $h\nu < W_0$ હોય ત્યારે ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર કેમ થતી નથી. તેથી,$R$ એ $A$ ની સાચી સમજૂતી નથી.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ છે,જ્યાં $\phi$ એ કાર્ય વિધેય છે.
$\lambda_1 = 800 \, nm$ માટે,$K_1 = \frac{1230}{800} - \phi = 1.5375 - \phi$ --- $(1)$
$\lambda_2 = 500 \, nm$ માટે,$K_2 = \frac{1230}{500} - \phi = 2.46 - \phi$ --- $(2)$
આપેલ છે કે $K_2 = 2K_1$,તેથી કિંમતો મૂકતા:
$2.46 - \phi = 2(1.5375 - \phi)$
$2.46 - \phi = 3.075 - 2\phi$
$2\phi - \phi = 3.075 - 2.46$
$\phi = 0.615 \, eV$.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $\frac{1}{2}mv_{\max}^2 = hf - \phi$. કારણ કે $\frac{1}{2}mv_{\max}^2 = K_{\max}$,તેથી $K_{\max} = hf - \phi$. આમ,$v_{\max}^2$ એ આવૃત્તિ $f$ સાથે રેખીય રીતે બદલાય છે. વિધાન $A$ સાચું છે.
સેચ્યુરેશન પ્રવાહ પ્રકાશની તીવ્રતા પર આધાર રાખે છે. સ્ત્રોતને દૂર લઈ જવાથી તીવ્રતા ઘટે છે,તેથી સેચ્યુરેશન પ્રવાહ ઘટે છે. વિધાન $B$ ખોટું છે.
મહત્તમ ગતિઊર્જા આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ પર આધાર રાખે છે,પાવર (તીવ્રતા) પર નહીં. વિધાન $C$ ખોટું છે.
ત્વરિત ઉત્સર્જન પ્રકાશના કણ સ્વરૂપ (ફોટોન આંતરક્રિયા) દ્વારા સમજાવી શકાય છે,તરંગ સ્વરૂપ દ્વારા નહીં. વિધાન $D$ ખોટું છે.
તરંગ સિદ્ધાંત આગાહી કરે છે કે જો તીવ્રતા પૂરતી હોય તો કોઈપણ આવૃત્તિ માટે ઉત્સર્જન થવું જોઈએ,જે થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈના અસ્તિત્વ સાથે વિરોધાભાસ ધરાવે છે. વિધાન $E$ સાચું છે.
તેથી,વિધાનો $A$ અને $E$ સાચા છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $K_{max} = E - \phi$ છે,જ્યાં $E$ એ આપાત ફોટોનની ઉર્જા છે અને $\phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,$E_1 = 5\phi$. તેથી,$K_{max,1} = 5\phi - \phi = 4\phi$.
$K_{max,1} = \frac{1}{2}mv_1^2$ હોવાથી,$\frac{1}{2}mv_1^2 = 4\phi$ મળે.
બીજા કિસ્સા માટે,$E_2 = 10\phi$. તેથી,$K_{max,2} = 10\phi - \phi = 9\phi$.
$K_{max,2} = \frac{1}{2}mv_2^2$ હોવાથી,$\frac{1}{2}mv_2^2 = 9\phi$ મળે.
બંને સમીકરણોનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{\frac{1}{2}mv_1^2}{\frac{1}{2}mv_2^2} = \frac{4\phi}{9\phi}$
$\frac{v_1^2}{v_2^2} = \frac{4}{9}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$\frac{v_1}{v_2} = \frac{2}{3}$ મળે.
આમ,મહત્તમ વેગનો ગુણોત્તર $2:3$ છે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ગતિઊર્જા $E$ નીચે મુજબ છે:
$E = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ --- $(i)$
જ્યારે ગતિઊર્જા બમણી થઈને $2E$ થાય,ત્યારે નવી તરંગલંબાઈ $\lambda^{\prime}$ ધારો:
$2E = \frac{hc}{\lambda^{\prime}} - \phi$ --- (ii)
સમીકરણ (ii) માંથી સમીકરણ $(i)$ બાદ કરતા:
$(2E - E) = (\frac{hc}{\lambda^{\prime}} - \phi) - (\frac{hc}{\lambda} - \phi)$
$E = \frac{hc}{\lambda^{\prime}} - \frac{hc}{\lambda}$
$\lambda^{\prime}$ માટે પદોને ગોઠવતા:
$E + \frac{hc}{\lambda} = \frac{hc}{\lambda^{\prime}}$
$\frac{E\lambda + hc}{\lambda} = \frac{hc}{\lambda^{\prime}}$
$\lambda^{\prime} = \frac{hc\lambda}{E\lambda + hc}$

(C) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $R = 1 \,cm$,પ્રારંભિક સ્થિતિમાન $V_{i} = -0.5 \,V$,આપાત પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $\lambda = 290 \,nm$,અને થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઇ $\lambda_{0} = 332 \,nm$.
ઝિંકનું વર્ક ફંક્શન $\phi = \frac{hc}{\lambda_{0}} = \frac{1242 \,eV \cdot nm}{332 \,nm} \approx 3.74 \,eV$ છે.
આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{1242 \,eV \cdot nm}{290 \,nm} \approx 4.28 \,eV$ છે.
ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસર માટે મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $K_{max} = E - \phi = 4.28 \,eV - 3.74 \,eV = 0.54 \,eV$ છે.
જ્યારે બોલમાંથી ઇલેક્ટ્રોન ઉત્સર્જિત થાય છે,ત્યારે બોલનું સ્થિતિમાન વધે છે. ઉત્સર્જન ત્યાં સુધી ચાલુ રહેશે જ્યાં સુધી ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઉર્જા શૂન્ય ન થાય.
તેથી,અંતિમ સ્થિતિમાન $V_{f} = 0.54 \,V$ હશે.

(D) આઈન્સ્ટાઈનનું ફોટોઇલેક્ટ્રિક સમીકરણ $K_{max} = h\nu - \phi_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $K_{max} = eV_s$ ($V_s$ એ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ છે).
$(I)$ ઉત્સર્જનની ત્વરિત પ્રકૃતિ સૂચવે છે કે ઉર્જાનું સ્થાનાંતરણ અલગ પેકેટો (ફોટોન) માં થાય છે,જે ક્વોન્ટમ સિદ્ધાંતને સમર્થન આપે છે.
$(II)$ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $(
u_0)$ નું અસ્તિત્વ સૂચવે છે કે ઇલેક્ટ્રોનને બહાર કાઢવા માટે ફોટોન પાસે લઘુત્તમ ઉર્જા $h\nu_0$ હોવી આવશ્યક છે,જે સીધી રીતે ફોટોન મોડેલને સમર્થન આપે છે.
$(III)$ કારણ કે $eV_s = h\nu - \phi_0$,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ એ આવૃત્તિ $\nu$ નું રેખીય વિધેય છે. આ $E = h\nu$ સંબંધની પુષ્ટિ કરે છે.
$(IV)$ જોકે ફોટોકરંટ તીવ્રતાના પ્રમાણમાં હોય છે,પરંતુ આ ફોટોનની સંખ્યાનો ગુણધર્મ છે અને તે ખાસ કરીને એક ફોટોનની ઉર્જા-આવૃત્તિના સંબંધને સાબિત કરતું નથી.
તેથી,વિધાનો $(I), (II),$ અને $(III)$ એ સૂચવે છે કે પ્રકાશ ક્વોન્ટાનો બનેલો છે જેની ઉર્જા આવૃત્તિના પ્રમાણમાં હોય છે.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{\max}$ નીચે મુજબ છે:
$K_{\max} = \frac{h c}{\lambda} - \phi_{0}$
તેથી,કાર્ય વિધેય $\phi_{0}$:
$\phi_{0} = \frac{h c}{\lambda} - K_{\max} \quad \dots(i)$
જ્યારે $q$ વિદ્યુતભાર અને $m$ દળ ધરાવતો ઇલેક્ટ્રોન $B$ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં $v$ વેગથી ગતિ કરે છે,ત્યારે તે $R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર પથ પર ફરે છે:
$R = \frac{m v}{q B} \implies v = \frac{q B R}{m}$
મહત્તમ ગતિઊર્જા:
$K_{\max} = \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{1}{2} m \left( \frac{q B R}{m} \right)^{2} = \frac{q^{2} B^{2} R^{2}}{2 m}$
$K_{\max}$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$\phi_{0} = \frac{h c}{\lambda} - \frac{q^{2} B^{2} R^{2}}{2 m}$
નોંધો કે વિકલ્પ $(d)$ આ પરિણામને સમાન છે:
$2 m \left( \frac{q B R}{2 m} \right)^{2} = 2 m \left( \frac{q^{2} B^{2} R^{2}}{4 m^{2}} \right) = \frac{q^{2} B^{2} R^{2}}{2 m}$
આમ,વિકલ્પ $(d)$ સાચો છે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{\max} = eV_0 = hf - \phi_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V_0$ એ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ છે,$f$ એ આવૃત્તિ છે અને $\phi_0$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
પ્રારંભિક કિસ્સા માટે:
$e(0.6) = hf - \phi_0 \quad \dots(i)$
જ્યારે આવૃત્તિમાં $10 \%$ નો વધારો થાય છે,ત્યારે નવી આવૃત્તિ $f' = f + 0.1f = 1.1f$ થાય છે. નવું સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_0' = 0.9 \, V$ છે.
$e(0.9) = h(1.1f) - \phi_0 \quad \dots(ii)$
સમીકરણ $(i)$ પરથી,આપણી પાસે $hf = e(0.6) + \phi_0$ છે. આ કિંમતને સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા:
$e(0.9) = 1.1(e(0.6) + \phi_0) - \phi_0$
$e(0.9) = 1.1(e(0.6)) + 1.1\phi_0 - \phi_0$
$e(0.9) = e(0.66) + 0.1\phi_0$
$0.1\phi_0 = e(0.9 - 0.66)$
$0.1\phi_0 = 0.24 \, eV$
$\phi_0 = 2.4 \, eV$.

(B) ફોટોઈલેક્ટ્રોન માટે,આઈન્સ્ટાઈનનું ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ આ મુજબ છે:
$e V_0 = h \nu - \phi_0 \Rightarrow V_0 = \frac{h}{e} \nu - \frac{\phi_0}{e}$
આને સુરેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,$V_0$ વિરુદ્ધ $\nu$ ના આલેખનો ઢાળ $\frac{h}{e}$ છે અને $V_0$-અક્ષ પરનો અંતઃખંડ $-\frac{\phi_0}{e}$ છે.
આપેલ આલેખ પરથી,આપણે બે બિંદુઓ $(0.8 \times 10^{15} \, Hz, 1 \, V)$ અને $(1.6 \times 10^{15} \, Hz, 4 \, V)$ લઈએ છીએ.
ઢાળ $= \frac{h}{e} = \frac{V_{0_2} - V_{0_1}}{\nu_2 - \nu_1} = \frac{4 - 1}{(1.6 - 0.8) \times 10^{15}} = \frac{3}{0.8 \times 10^{15}} = 3.75 \times 10^{-15} \, V \cdot s$.
હવે,$h = e \times \text{ઢાળ} = (1.6 \times 10^{-19} \, C) \times (3.75 \times 10^{-15} \, V \cdot s) = 6.0 \times 10^{-34} \, Js$.
આલેખ પરથી,$V_0$-અક્ષ પરનો અંતઃખંડ $-2 \, V$ છે. તેથી,$-\frac{\phi_0}{e} = -2 \, V$,જે વર્ક ફંક્શન $\phi_0 = 2 \, eV$ આપે છે.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = E - \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E$ એ આપાત ફોટોનની ઉર્જા છે અને $\phi$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
ધાતુ $A$ માટે: $K_A = 7 \,eV - 6 \,eV = 1 \,eV$.
ધાતુ $B$ માટે: $K_B = 7 \,eV - 3 \,eV = 4 \,eV$.
$K$ ગતિઊર્જા ધરાવતા ઈલેક્ટ્રોન સાથે સંકળાયેલ ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ છે.
તેથી,તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_A}{\lambda_B} = \frac{\frac{h}{\sqrt{2mK_A}}}{\frac{h}{\sqrt{2mK_B}}} = \sqrt{\frac{K_B}{K_A}}$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\lambda_A}{\lambda_B} = \sqrt{\frac{4 \,eV}{1 \,eV}} = \sqrt{4} = 2.0$.

(A) ઉત્સર્જિત ફોટો-ઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જા આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ દ્વારા મળે છે: $E_{max} = h\nu - \Phi_0$.
આપેલ છે,આપાત ફોટોન ઊર્જા $h\nu = 3 \,eV$ અને કાર્ય વિધેય $\Phi_0 = 2.3 \,eV$.
તેથી,મહત્તમ ગતિ ઊર્જા $E_{max} = 3 - 2.3 = 0.7 \,eV$.
આનો અર્થ એ છે કે જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન $0.7 \,V$ નો અવરોધક વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત અનુભવે ત્યારે તે પાછો ફરે છે.
બે પ્લેટો વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $5 \,mm$ ના અંતરે $1 \,V$ છે.
સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર ધારતા,વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો ઢાળ $\frac{1 \,V}{5 \,mm} = 0.2 \,V/mm$ છે.
$0.7 \,V$ ના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત સુધી પહોંચવા માટે જરૂરી અંતર $d = \frac{V_{stop}}{\text{gradient}} = \frac{0.7 \,V}{0.2 \,V/mm} = 3.5 \,mm$ છે.
આમ,ફોટો-ઇલેક્ટ્રોન $3.5 \,mm$ મુસાફરી કર્યા પછી પાછો ફરે છે.

(C) કટ-ઓફ વોલ્ટેજ (જેને સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ પણ કહેવાય છે) તે ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા પર આધાર રાખે છે.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,$K_{max} = h\nu - \Phi$,જ્યાં $h\nu$ એ આપાત ફોટોનની ઊર્જા છે અને $\Phi$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_0$ એ $eV_0 = K_{max}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે પ્રકાશના સ્ત્રોતની આવૃત્તિ $\nu$ અંતરને ધ્યાનમાં લીધા વગર અચળ રહે છે,તેથી ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા બદલાતી નથી.
સ્ત્રોતનું અંતર બદલવાથી માત્ર પ્રકાશની તીવ્રતા (એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ ફોટોનની સંખ્યા) પર અસર થાય છે,જે ફોટોઈલેક્ટ્રિક પ્રવાહમાં ફેરફાર કરે છે,પરંતુ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલમાં નહીં.
તેથી,કટ-ઓફ વોલ્ટેજ $V_0$ જ રહેશે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના પ્રકાશ-વિદ્યુત સમીકરણ મુજબ,આપાત ફોટોનની ઊર્જા $(E)$ એ વર્ક ફંક્શન $(\Phi)$ અને ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઊર્જા $(K.E._{\max})$ ના સરવાળા જેટલી હોય છે.
$E = \Phi + K.E._{\max}$
આપેલ છે:
ફોટોનની ઊર્જા $(E)$ = $3.8 \,eV$
વર્ક ફંક્શન $(\Phi)$ = $2.8 \,eV$
કિંમતો મૂકતા:
$3.8 \,eV = 2.8 \,eV + K.E._{\max}$
$K.E._{\max} = 3.8 \,eV - 2.8 \,eV = 1 \,eV$
વર્ક ફંક્શન એ સપાટી પરથી ઇલેક્ટ્રોનને દૂર કરવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ ઊર્જા હોવાથી,ઊંડા સ્તરોમાંથી ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની ગતિ ઊર્જા $0$ થી $1 \,eV$ ની મહત્તમ કિંમત સુધીની હોય છે.

(B) ફોટોઇલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન માટેની શરત એ છે કે આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલી હોવી જોઈએ,અથવા સમાન રીતે,તરંગલંબાઇ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઇ કરતા ઓછી અથવા તેના જેટલી હોવી જોઈએ.
અહીં થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઇ $\lambda_0 = 6 \times 10^{-7} \, m$ આપેલી છે.
ફોટોઇલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન થવા માટે,આપાત તરંગલંબાઇ $\lambda$ એ શરત $\lambda \leq \lambda_0$ નું પાલન કરવું જોઈએ.
તેથી,$\lambda \leq 6 \times 10^{-7} \, m$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $(b)$ એ ફોટોઇલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન માટેની શરત દર્શાવે છે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $K_{\max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$,જ્યાં $\phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે અને $K_{\max} = eV_0$ ($V_0$ એ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ છે).
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $\frac{hc}{\lambda} = \phi + ex$ --- $(1)$
બીજા કિસ્સા માટે: $\frac{hc}{2\lambda} = \phi + e(\frac{x}{3})$ --- $(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને $3$ વડે ગુણતા: $\frac{3hc}{2\lambda} = 3\phi + ex$ --- $(3)$
સમીકરણ $(3)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$\frac{3hc}{2\lambda} - \frac{hc}{\lambda} = (3\phi + ex) - (\phi + ex)$
$\frac{hc}{2\lambda} = 2\phi$
$\phi = \frac{hc}{4\lambda}$
થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ $\lambda_0$ ની વ્યાખ્યા મુજબ $\phi = \frac{hc}{\lambda_0}$ હોવાથી:
$\frac{hc}{\lambda_0} = \frac{hc}{4\lambda}$
$\lambda_0 = 4\lambda$.

(C) બિંદુવત ઉદગમમાંથી આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I$ એ ઉદગમથી અંતર $d$ ના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $I \propto 1/d^2$.
જ્યારે અંતર $d$ થી બદલીને $d/2$ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવી તીવ્રતા $I'$ એ $I' \propto 1/(d/2)^2 = 4/d^2 = 4I$ થાય છે.
ફોટોઈલેક્ટ્રોનના ઉત્સર્જનનો દર આપાત પ્રકાશની તીવ્રતાના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે. તેથી,નવો દર $4n$ થશે.
ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $E$ આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $E = h\nu - \phi$,જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$\nu$ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ છે અને $\phi$ ધાતુનું કાર્ય વિધેય છે.
મોનોક્રોમેટિક પ્રકાશ ઉદગમની આવૃત્તિ $\nu$ બદલાતી ન હોવાથી,મહત્તમ ગતિઊર્જા $E$ અચળ રહેશે.

(C) ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર ત્યારે જ થાય છે જ્યારે આપાત વિકિરણની તરંગલંબાઈ $\lambda$ એ ધાતુની સપાટીની થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ $\lambda_0$ કરતા ઓછી અથવા તેના જેટલી હોય.
આપેલ છે,થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ $\lambda_0 = 3300 \,\mathring{A}$.
આપેલ છે,આપાત તરંગલંબાઈ $\lambda = 1100 \,\mathring{A}$.
અહીં $\lambda < \lambda_0$ હોવાથી,આપાત ફોટોનની ઊર્જા ધાતુના વર્ક ફંક્શન કરતા વધારે છે.
આપાત ફોટોનની ઊર્જા $E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{12400 \,eV \cdot \mathring{A}}{1100 \,\mathring{A}} \approx 11.27 \,eV$.
વર્ક ફંક્શન $\phi = \frac{hc}{\lambda_0} = \frac{12400 \,eV \cdot \mathring{A}}{3300 \,\mathring{A}} \approx 3.76 \,eV$.
મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = E - \phi = 11.27 \,eV - 3.76 \,eV = 7.51 \,eV$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $KE_{\max} = h \nu - h \nu_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સમીકરણ સપાટીમાંથી ઉત્સર્જિત થતા સૌથી વધુ ઉર્જા ધરાવતા ઈલેક્ટ્રોનની ગતિ ઉર્જા દર્શાવે છે.
જો કે,ઈલેક્ટ્રોન સપાટીમાંથી બહાર નીકળતા પહેલા ધાતુની અંદર અથડામણને કારણે ઉર્જા ગુમાવી શકે છે.
તેથી,ઉત્સર્જિત ઈલેક્ટ્રોન $0$ થી લઈને $(h \nu - h \nu_0)$ સુધીની મહત્તમ કિંમત સુધીની ગતિ ઉર્જા ધરાવે છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના પ્રકાશ-વિદ્યુત સમીકરણ મુજબ:
$K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi_0$
અહીં $K_{max} = eV$,જ્યાં $V$ એ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ છે:
$eV = \frac{hc}{\lambda} - \phi_0$
$V = \left( \frac{hc}{e} \right) \frac{1}{\lambda} - \frac{\phi_0}{e}$
આ સમીકરણને સુરેખ રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,ઢાળ $m = \frac{hc}{e}$ મળે છે.
કારણ કે $h$,$c$ અને $e$ એ સાર્વત્રિક અચળાંકો છે,તેથી $V$ વિરુદ્ધ $\frac{1}{\lambda}$ ના આલેખનો ઢાળ બધી ધાતુઓ માટે સમાન રહે છે.
તેથી,રેખા દ્વારા $\frac{1}{\lambda}$ અક્ષ સાથે બનાવવામાં આવતો ખૂણો $\theta$ બધી ધાતુઓ માટે સમાન હોય છે,એટલે કે $\theta_1 = \theta_2$.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $(KE_{\max})$ નીચે મુજબ છે:
$KE_{\max} = E - \phi_0$
જ્યાં $E = 5.50 \, eV$ એ ફોટોનની ઉર્જા છે અને $\phi_0 = 4.50 \, eV$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
$KE_{\max} = 5.50 \, eV - 4.50 \, eV = 1.00 \, eV$.
ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $(\lambda)$ શોધવાનું સૂત્ર:
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}} = \frac{12.27}{\sqrt{E(eV)}} \, \mathring{A}$.
$E = 1.00 \, eV$ મુકતા:
$\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{1.00}} \, \mathring{A} = 12.27 \, \mathring{A}$.
આમ,સાચો જવાબ $12.27 \, \mathring{A}$ છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ છે,જ્યાં $\phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
$\lambda_1 = 3100 \mathring A$ માટે,$K_1 = \frac{1}{2} m v_1^2 = \frac{12400}{3100} - \phi = 4 - \phi$.
$\lambda_2 = 6200 \mathring A$ માટે,$K_2 = \frac{1}{2} m v_2^2 = \frac{12400}{6200} - \phi = 2 - \phi$.
ઝડપનો ગુણોત્તર $v_1 : v_2 = 2 : 1$ આપેલ છે,તેથી ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $K_1 : K_2 = v_1^2 : v_2^2 = 4 : 1$ થશે.
તેથી,$\frac{4 - \phi}{2 - \phi} = \frac{4}{1}$.
$4 - \phi = 4(2 - \phi) = 8 - 4\phi$.
$3\phi = 4 \implies \phi = 4/3 \, eV$.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = hv$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $v$ એ આવૃત્તિ છે.
ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ $hv = \phi + KE_{\max}$ છે,જ્યાં $\phi$ એ કાર્ય વિધેય છે અને $KE_{\max}$ એ ઉત્સર્જિત ફોટો-ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઉર્જા છે.
ફોટો-ઇલેક્ટ્રોન ઉત્સર્જન થવા માટે,આપાત ફોટોનની ઉર્જા કાર્ય વિધેય જેટલી અથવા તેનાથી વધુ હોવી જોઈએ,એટલે કે $hv \geq \phi$.
જો $hv < \phi$ હોય,તો $v < \frac{\phi}{h}$ થાય. આ કિસ્સામાં,આપાત ફોટોનની ઉર્જા ધાતુના કાર્ય વિધેયને પાર કરવા માટે અપૂરતી છે,તેથી કોઈ ફોટો-ઇલેક્ટ્રોનનું ઉત્સર્જન થતું નથી.
આમ,ઉત્સર્જન ન થવા માટેની શરત $v < \frac{\phi}{h}$ છે.

(B) ધાતુનું કાર્ય વિધેય $W_0 = 2.3 \,eV$ છે.
તરંગ સંખ્યા $\bar{\nu} = 2 \times 10^6 \,m^{-1}$ છે.
આપાત ફોટોનની ઊર્જા $E = hc\bar{\nu}$ છે.
$h = 6.63 \times 10^{-34} \,J \cdot s$,$c = 3 \times 10^8 \,m/s$ અને $1 \,eV = 1.6 \times 10^{-19} \,J$ લેતા:
$E = (6.63 \times 10^{-34}) \times (3 \times 10^8) \times (2 \times 10^6) \,J = 3.978 \times 10^{-19} \,J$.
$eV$ માં રૂપાંતર કરતા: $E = \frac{3.978 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \approx 2.486 \,eV$.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,$K.E_{\max} = E - W_0 = 2.486 \,eV - 2.3 \,eV = 0.186 \,eV \approx 0.18 \,eV$.
સૌથી ઝડપી ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $K.E_{\max} = 0.18 \,eV$ છે.
સૌથી ધીમા ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $0$ હોય છે (કારણ કે તે માત્ર કાર્ય વિધેય જેટલી ઊર્જા મેળવે છે).
આમ,ગતિઊર્જા $0.18 \,eV$ અને $0$ છે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = hf - hf_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ છે અને $f_0$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ છે.
પ્રથમ પ્રયોગ માટે: $K_1 = h(f_1 - f_0) = h(4 \times 10^{15} - f_0)$.
બીજા પ્રયોગ માટે: $K_2 = h(f_2 - f_0) = h(6 \times 10^{15} - f_0)$.
આપેલ ગુણોત્તર $K_1 : K_2 = 1 : 3$ હોવાથી,$3K_1 = K_2$ થાય.
સમીકરણો મૂકતા: $3h(4 \times 10^{15} - f_0) = h(6 \times 10^{15} - f_0)$.
$h$ વડે ભાગતા: $3(4 \times 10^{15} - f_0) = 6 \times 10^{15} - f_0$.
$12 \times 10^{15} - 3f_0 = 6 \times 10^{15} - f_0$.
$12 \times 10^{15} - 6 \times 10^{15} = 3f_0 - f_0$.
$6 \times 10^{15} = 2f_0$.
$f_0 = 3 \times 10^{15} \,Hz$.
આમ,થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $3 \times 10^{15} \,Hz$ છે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$,જ્યાં $K_{max} = eV_s$ ($V_s$ એ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ છે).
બે અલગ અલગ તરંગલંબાઈ $\lambda_1 = 4000 \mathring A$ અને $\lambda_2 = 3000 \mathring A$ માટે:
$eV_{s1} = \frac{hc}{\lambda_1} - \phi$
$eV_{s2} = \frac{hc}{\lambda_2} - \phi$
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલમાં થતો ફેરફાર $\Delta V_s = V_{s2} - V_{s1} = \frac{hc}{e} \left( \frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{\lambda_1} \right)$.
અહીં $hc = 12400 \, eV \cdot \mathring A$ લેતા:
$\Delta V_s = 12400 \left( \frac{1}{3000} - \frac{1}{4000} \right) = 12400 \left( \frac{4-3}{12000} \right) = \frac{12400}{12000} = 1.033 \, V$.
આમ,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલમાં થતો ફેરફાર આશરે $1.03 \, V$ છે.

(D) એક ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $E = \frac{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{6600 \times 10^{-10}} = 3 \times 10^{-19} \, J$.
$24 \, W$ ના સ્ત્રોત દ્વારા દર સેકન્ડે ઉત્સર્જિત થતા ફોટોનની કુલ સંખ્યા $N_{total} = \frac{P}{E} = \frac{24}{3 \times 10^{-19}} = 8 \times 10^{18} \, \text{photons/s}$.
ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસરની કાર્યક્ષમતા $3 \%$ હોવાથી, દર સેકન્ડે ઉત્સર્જિત થતા ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $N_e = 0.03 \times N_{total}$ થશે.
$N_e = 0.03 \times 8 \times 10^{18} = 24 \times 10^{16} \, \text{electrons/s}$. આપેલા વિકલ્પો મુજબ, સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $h\nu = K_{max} + \phi_0$, જ્યાં $K_{max}$ એ મહત્તમ ગતિઊર્જા છે અને $\phi_0$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
શરૂઆતમાં, $K_1 = h\nu - \phi_0$.
જ્યારે આવૃત્તિ બમણી કરીને $2\nu$ કરવામાં આવે, ત્યારે નવી મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_2$ નીચે મુજબ મળે:
$K_2 = h(2\nu) - \phi_0 = 2h\nu - \phi_0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $h\nu = K_1 + \phi_0$, તેથી આ કિંમત $K_2$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$K_2 = 2(K_1 + \phi_0) - \phi_0 = 2K_1 + \phi_0$.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ અને ગતિઊર્જા વચ્ચેનો સંબંધ $K_{max} = eV_s$ છે, તેથી $eV_{s2} = 2eV_{s1} + \phi_0$, જેનો અર્થ છે કે $V_{s2} = 2V_{s1} + \frac{\phi_0}{e}$.
આમ, સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ (કટ-ઓફ વોલ્ટેજ) પ્રારંભિક મૂલ્ય કરતા બમણાથી વધુ થાય છે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, $K_{max} = h\nu - \Phi$, જ્યાં $K_{max} = eV_s$ ($V_s$ એ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ છે).
આમ, $eV_s = h\nu - \Phi$, જે સૂચવે છે કે $V_s = \frac{h\nu}{e} - \frac{\Phi}{e}$.
આપેલ તરંગલંબાઇ $\lambda$ માટે, આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ અચળ રહે છે.
સોડિયમનું વર્ક ફંક્શન $\Phi$ કોપર કરતા ઓછું હોય છે $(\Phi_{Na} < \Phi_{Cu})$.
જેમ કે $V_s$ એ વર્ક ફંક્શન $\Phi$ સાથે વ્યસ્ત સંબંધ ધરાવે છે, તેથી નાનું વર્ક ફંક્શન મોટું સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ આપે છે.
તેથી, સોડિયમ માટે સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ વધારે છે.

(B) થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ $\lambda_0 = \frac{hc}{\phi} = \frac{12420 \, eV \cdot \mathring A}{2.3 \, eV} = 5400 \, \mathring A$ છે.
માત્ર $\lambda_0$ કરતા ઓછી તરંગલંબાઈ ધરાવતા ફોટોન જ ફોટોઇલેક્ટ્રોન ઉત્સર્જિત કરી શકે છે. તેથી,માત્ર $\lambda_1 = 4144 \, \mathring A$ અને $\lambda_2 = 4972 \, \mathring A$ ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસર માટે જવાબદાર છે.
કુલ તીવ્રતા $I = 3.6 \times 10^{-5} \, W/m^2$ છે. સમાન વહેંચણીને કારણે,દરેક તરંગલંબાઈ માટે તીવ્રતા $I_i = 1.2 \times 10^{-5} \, W/m^2$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = 1 \, cm^2 = 10^{-4} \, m^2$ છે.
દરેક તરંગલંબાઈ માટે આપાત પાવર $P_i = I_i \times A = 1.2 \times 10^{-5} \times 10^{-4} = 1.2 \times 10^{-9} \, W$ છે.
$t = 2 \, s$ સમયમાં,દરેક તરંગલંબાઈ માટે આપાત ઉર્જા $E_i = P_i \times t = 1.2 \times 10^{-9} \times 2 = 2.4 \times 10^{-9} \, J$ છે.
દરેક તરંગલંબાઈ માટે ફોટોનની સંખ્યા $n_i = \frac{E_i \lambda_i}{hc}$ છે.
$\lambda_1 = 4144 \, \mathring A$ માટે: $n_1 = \frac{2.4 \times 10^{-9} \times 4144 \times 10^{-10}}{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8} \approx 0.5 \times 10^{12}$.
$\lambda_2 = 4972 \, \mathring A$ માટે: $n_2 = \frac{2.4 \times 10^{-9} \times 4972 \times 10^{-10}}{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8} \approx 0.6 \times 10^{12}$.
કુલ ફોટોઇલેક્ટ્રોન $N = n_1 + n_2 = 1.1 \times 10^{12} \approx 1.075 \times 10^{12}$.

(B) ફોટોઇલેક્ટ્રિક સમીકરણ $E_k = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $\lambda = 1800\; \mathring{A}$,$\lambda_0 = 2300\; \mathring{A}$.
$hc \approx 12400\; eV\cdot \mathring{A}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E_k = 12400 \left( \frac{1}{1800} - \frac{1}{2300} \right) eV$.
$E_k = 12400 \left( \frac{2300 - 1800}{1800 \times 2300} \right) eV$.
$E_k = 12400 \left( \frac{500}{4140000} \right) eV$.
$E_k = 12400 \times 0.00012077 \approx 1.5\; eV$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.