Einstein's Photoelectric Equation and Energy Quantum of Radiation Questions in Gujarati

(C) એક આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{1240\,eV\cdot nm}{400\,nm} = 3.1\,eV$ છે.
આ ઉર્જાને જૂલમાં ફેરવતા: $E = 3.1 \times 1.6 \times 10^{-19}\,J = 4.96 \times 10^{-19}\,J$.
દર સેકન્ડે આપાત થતા ફોટોનની સંખ્યા $n = \frac{P}{E} = \frac{1.55 \times 10^{-3}\,W}{4.96 \times 10^{-19}\,J} = 3.125 \times 10^{15}\,\text{ફોટોન/સેકન્ડ}$.
માત્ર $10\%$ ફોટોન ફોટોઈલેક્ટ્રોન ઉત્પન્ન કરતા હોવાથી,દર સેકન્ડે ઉત્સર્જિત થતા ફોટોઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $N_e = 0.10 \times n = 0.10 \times 3.125 \times 10^{15} = 3.125 \times 10^{14}\,\text{ઈલેક્ટ્રોન/સેકન્ડ}$.
ફોટોઈલેક્ટ્રિક પ્રવાહ $I = N_e \times e = 3.125 \times 10^{14} \times 1.6 \times 10^{-19}\,A = 5.0 \times 10^{-5}\,A$.
$\mu A$ માં ફેરવતા: $I = 50\,\mu A$.

(D) સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_S$ એ મહત્તમ ગતિઊર્જા $KE_{\max}$ સાથે $V_S = \frac{KE_{\max}}{e}$ સમીકરણ દ્વારા સંબંધિત છે.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,$KE_{\max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$,જ્યાં $\lambda$ એ આપાત પ્રકાશની તરંગલંબાઈ છે અને $\phi$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
તેથી,$V_S = \frac{\frac{hc}{\lambda} - \phi}{e}$.
વિધાન $I$ સાચું છે કારણ કે સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ માત્ર આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ (અથવા તરંગલંબાઈ) પર આધાર રાખે છે અને તે પ્રકાશના સ્ત્રોતની તીવ્રતા કે પાવરથી સ્વતંત્ર છે.
વિધાન $II$ સાચું છે કારણ કે આપેલ ધાતુ માટે મહત્તમ ગતિઊર્જા $KE_{\max}$ એ આપાત તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું વિધેય છે.
આમ,બંને વિધાનો સાચા છે.

(D) ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન થવા માટે,આપાત વિકિરણની તરંગલંબાઈ $\lambda$ એ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ $\lambda_0$ કરતા ઓછી અથવા તેના જેટલી હોવી જોઈએ.
અહીં $\lambda_0 = 5500\,\mathring A$ આપેલ છે.
ઇન્ફ્રારેડ વિકિરણની તરંગલંબાઈ $7000\,\mathring A$ કરતા વધારે હોય છે,જે $5500\,\mathring A$ કરતા મોટી છે. તેથી,તે ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન કરી શકતું નથી.
અલ્ટ્રા-વાયોલેટ વિકિરણની તરંગલંબાઈ સામાન્ય રીતે $100\,\mathring A$ થી $4000\,\mathring A$ ની વચ્ચે હોય છે,જે $5500\,\mathring A$ કરતા ઓછી છે. તેથી,લેમ્પના પાવરને ધ્યાનમાં લીધા વગર તે ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન કરી શકે છે.
તેથી,$75\,W$ અને $10\,W$ બંને અલ્ટ્રા-વાયોલેટ લેમ્પ ઉત્સર્જન કરશે.
સાચો વિકલ્પ $D$ (માત્ર $C$ અને $D$) છે.

(D) આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$hc = 1240 \, eV \cdot nm$ અને $\lambda = 350 \, nm$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $E = \frac{1240}{350} \approx 3.54 \, eV$ મળે છે.
ફોટો-ઇલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન ત્યારે જ થાય છે જો આપાત ફોટોનની ઉર્જા ધાતુના વર્ક ફંક્શન કરતા વધારે હોય $(E > \Phi)$.
ધાતુ $A$ માટે: $\Phi_A = 4.8 \, eV$. $3.54 \, eV < 4.8 \, eV$ હોવાથી,ધાતુ $A$ ફોટો-ઇલેક્ટ્રોનનું ઉત્સર્જન કરશે નહીં.
ધાતુ $B$ માટે: $\Phi_B = 2.2 \, eV$. $3.54 \, eV > 2.2 \, eV$ હોવાથી,ધાતુ $B$ ફોટો-ઇલેક્ટ્રોનનું ઉત્સર્જન કરશે.
તેથી,ધાતુ $A$ ફોટો-ઇલેક્ટ્રોનનું ઉત્સર્જન કરશે નહીં.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{\max} = hf - \phi$ છે,જ્યાં $\phi = hf_0$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
આપાત આવૃત્તિ $f = 2f_0$ માટે:
$\frac{1}{2}mv_1^2 = h(2f_0) - hf_0 = hf_0$ --- $(1)$
આપાત આવૃત્તિ $f = 5f_0$ માટે:
$\frac{1}{2}mv_2^2 = h(5f_0) - hf_0 = 4hf_0$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને સમીકરણ $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{\frac{1}{2}mv_1^2}{\frac{1}{2}mv_2^2} = \frac{hf_0}{4hf_0}$
$\frac{v_1^2}{v_2^2} = \frac{1}{4}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{1}{2}$

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $(KE_{max})$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$KE_{max} = h\nu - \phi$
જ્યાં $h\nu$ એ આપાત ફોટોનની ઉર્જા છે અને $\phi$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
આપેલ છે:
આપાત ફોટોનની ઉર્જા $(h\nu)$ = $4.2\,eV$
વર્ક ફંક્શન $(\phi)$ = $2.2\,eV$
આપણે જાણીએ છીએ કે મહત્તમ ગતિ ઉર્જા સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $(V_0)$ સાથે નીચેના સમીકરણ દ્વારા સંબંધિત છે:
$KE_{max} = eV_0$
કિંમતો મૂકતા:
$eV_0 = 4.2\,eV - 2.2\,eV$
$eV_0 = 2.0\,eV$
તેથી,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_0 = 2\,V$ છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $(KE)_{\max}$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$(KE)_{\max} = h\nu - \phi_0$
જ્યાં $\nu$ એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ છે અને $\phi_0$ એ ધાતુનું કાર્ય વિધેય (work function) છે.
આપેલ છે કે થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $\nu_0$ છે,તેથી કાર્ય વિધેય $\phi_0 = h\nu_0$ થાય.
આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ $\nu = 4\nu_0$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(KE)_{\max} = h(4\nu_0) - h\nu_0$
$(KE)_{\max} = 4h\nu_0 - h\nu_0$
$(KE)_{\max} = 3h\nu_0$.
આમ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $3h\nu_0$ થશે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{\max} = hf - \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$f$ એ આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ છે અને $\phi$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
કારણ કે $K_{\max} = eV_s$,જ્યાં $V_s$ એ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ છે,આપણે લખી શકીએ: $eV_s = hf - \phi$.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ માટે આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે: $V_s = (h/e)f - (\phi/e)$.
આ સમીકરણ સીધી રેખા $y = mx + c$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં ઢાળ $m = h/e$ છે.
કારણ કે $h$ (પ્લાન્કનો અચળાંક) અને $e$ (ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર) એ સાર્વત્રિક અચળાંકો છે,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ વિરુદ્ધ આવૃત્તિના આલેખનો ઢાળ ધાતુના પ્રકારથી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,ગોલ્ડ અને એલ્યુમિનિયમ માટે ઢાળ સમાન છે.
ઢાળનો ગુણોત્તર $1:1$ છે,જે $1$ છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_0$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$eV_0 = h\nu - \phi$
જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$\nu$ એ આવૃત્તિ છે,અને $\phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
આલેખ પરથી,થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $\nu_0$ (જ્યાં $V_0 = 0$) $5 \times 10^{14} \ Hz$ છે.
થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ પર,$h\nu_0 = \phi$.
$h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\phi = (6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s) \times (5 \times 10^{14} \ Hz)$
$\phi = 33.15 \times 10^{-20} \ J$
આને ઈલેક્ટ્રોન-વોલ્ટ $(eV)$ માં રૂપાંતરિત કરવા માટે,ઈલેક્ટ્રોનના વિદ્યુતભાર $(1.6 \times 10^{-19} \ C)$ વડે ભાગતા:
$\phi = \frac{33.15 \times 10^{-20}}{1.6 \times 10^{-19}} \ eV \approx 2.07 \ eV$.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_0$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$eV_0 = \frac{hc}{\lambda} - \phi_0 = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$ --- $(1)$
જ્યારે તરંગલંબાઈ બદલીને $2\lambda$ કરવામાં આવે છે,ત્યારે સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $\frac{V_0}{4}$ થાય છે:
$e\left(\frac{V_0}{4}\right) = \frac{hc}{2\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,આપણી પાસે $eV_0 = hc(\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0})$ છે. આ કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$\frac{hc}{4}(\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}) = \frac{hc}{2\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$
બંને બાજુ $hc$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{4\lambda} - \frac{1}{4\lambda_0} = \frac{1}{2\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}$
$\lambda_0$ માટે પદોને ગોઠવતા:
$\frac{1}{\lambda_0} - \frac{1}{4\lambda_0} = \frac{1}{2\lambda} - \frac{1}{4\lambda}$
$\frac{3}{4\lambda_0} = \frac{1}{4\lambda}$
તેથી,$\lambda_0 = 3\lambda$.

(B) થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઇ $\lambda_0$ એ વર્ક ફંક્શન $\phi$ સાથે નીચે મુજબ સંબંધિત છે: $\lambda_0 = \frac{hc}{\phi}$.
ધાતુની સપાટી $A$ માટે,જ્યાં $\phi_A = 9 \, eV$ છે:
$\lambda_A = \frac{1242 \, eV \, nm}{9 \, eV} = 138 \, nm$.
ધાતુની સપાટી $B$ માટે,જ્યાં $\phi_B = 4.5 \, eV$ છે:
$\lambda_B = \frac{1242 \, eV \, nm}{4.5 \, eV} = 276 \, nm$.
થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઇઓ વચ્ચેનો તફાવત:
$\Delta\lambda = \lambda_B - \lambda_A = 276 \, nm - 138 \, nm = 138 \, nm$.

(D) વર્ક ફંક્શન $\phi_0$ અને થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $\nu_0$ વચ્ચેનો સંબંધ: $\phi_0 = h \nu_0$ છે.
આપેલ છે,$\phi_0 = 6.63 \ eV = 6.63 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J$.
પ્લાન્કનો અચળાંક $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$.
કિંમતો મૂકતા: $6.63 \times 1.6 \times 10^{-19} = 6.63 \times 10^{-34} \times \nu_0$.
$\nu_0 = \frac{6.63 \times 1.6 \times 10^{-19}}{6.63 \times 10^{-34}}$.
$\nu_0 = 1.6 \times 10^{15} \ Hz$.

(B) ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન $(P.E.E.)$ માટે,શરત $\lambda \leq \frac{hc}{W_0}$ છે.
અહીં કાર્ય વિધેય $W_0 = 3.0 \ eV$ આપેલ છે.
સંબંધ $\lambda_{\max} = \frac{hc}{W_0}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $hc \approx 1240 \ eV \cdot nm$ છે.
$\lambda_{\max} = \frac{1240 \ eV \cdot nm}{3.0 \ eV}$.
$\lambda_{\max} \approx 413.33 \ nm$.
તેથી,સૌથી લાંબી તરંગલંબાઈ આશરે $414 \ nm$ છે.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $(E_{k})$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$E_{k} = h\nu - \phi$
જ્યાં $h$ એ પ્લાન્ક અચળાંક છે,$\nu$ એ આપાત ફોટોનની આવૃત્તિ છે,અને $\phi$ એ ધાતુનું કાર્ય વિધેય છે.
આ સમીકરણને સુરેખ રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = E_{k}$,$x = \nu$,$m$ એ ઢાળ છે,અને $c$ એ અંતઃખંડ છે:
આલેખનો ઢાળ $m = \tan \theta = h$ થાય છે.
તેથી,આલેખનો ઢાળ પ્લાન્ક અચળાંક આપે છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{\max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ છે,જ્યાં $\phi = \frac{hc}{\lambda_0}$ એ વર્ક ફંક્શન છે અને $\lambda_0$ એ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ છે.
$K_{\max} = eV_0$ હોવાથી,$eV_0 = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$ મળે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $8e = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0} \quad \dots (i)$
બીજા કિસ્સા માટે: $2e = \frac{hc}{3\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0} \quad \dots (ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને $3$ વડે ગુણતા: $6e = \frac{hc}{\lambda} - \frac{3hc}{\lambda_0} \quad \dots (iii)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $(iii)$ બાદ કરતા: $(8e - 6e) = (\frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda}) - (\frac{hc}{\lambda_0} - \frac{3hc}{\lambda_0})$
$2e = \frac{2hc}{\lambda_0}$
$e = \frac{hc}{\lambda_0} \implies \frac{hc}{\lambda_0} = e$
આ કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા: $8e = \frac{hc}{\lambda} - e \implies 9e = \frac{hc}{\lambda} \implies \frac{hc}{\lambda} = 9e$
$\frac{hc}{\lambda_0} = e$ અને $\frac{hc}{\lambda} = 9e$ હોવાથી,$\frac{hc}{\lambda_0} = \frac{1}{9} \frac{hc}{\lambda}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\lambda_0 = 9\lambda$.

(D) પ્રકાશની તીવ્રતા $I = \frac{n h \nu}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ એકમ સમય દીઠ ફોટોનની સંખ્યા છે,$h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$\nu$ એ આવૃત્તિ છે અને $A$ એ ક્ષેત્રફળ છે.
આના પરથી,એકમ સમય દીઠ ફોટોનની સંખ્યા $n = \frac{IA}{h \nu}$ થાય છે.
જો તીવ્રતા $I$ અચળ રાખવામાં આવે,તો આવૃત્તિ $\nu$ વધારવાથી ફોટોનની સંખ્યા $n$ માં ઘટાડો થાય છે. તેથી,વિધાન $A$ ખોટું છે.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{\max} = h \nu - \phi$ છે,જ્યાં $\phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
જેમ આવૃત્તિ $\nu$ વધે છે,તેમ મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{\max}$ વધે છે. તેથી,કારણ $R$ સાચું છે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના પ્રકાશ-વિદ્યુત સમીકરણ મુજબ,$K_{max} = eV_0 = hv - \phi$,જ્યાં $\phi$ એ વર્ક ફંક્શન (કાર્ય વિધેય) છે.
આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે $V_0 = \frac{h}{e}v - \frac{\phi}{e}$.
આને સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,ઢાળ $\frac{h}{e}$ મળે છે,જે તમામ પદાર્થો માટે અચળ છે. આમ,વિધાન-$I$ સાચું છે.
આલેખ પરથી,આપેલી આવૃત્તિ $v$ માટે,$M_1$ માટેનું સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_0$ એ $M_2$ કરતા વધારે છે $(V_{0, M_1} > V_{0, M_2})$. કારણ કે $K_{max} = eV_0$,તેથી $M_1$ માંથી ઉત્સર્જિત ફોટોઇલેક્ટ્રોનની ગતિ ઊર્જા $M_2$ કરતા વધારે છે. તેથી,વિધાન-$II$ ખોટું છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $KE_{\max} = h\nu - \phi_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$\nu$ એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ છે અને $\phi_0$ એ પદાર્થનું વર્ક ફંક્શન છે.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_0$ એ સૌથી વધુ ઊર્જા ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોનને રોકવા માટે જરૂરી પોટેન્શિયલ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે,તેથી $eV_0 = KE_{\max}$.
તેથી,$V_0 = \frac{KE_{\max}}{e} = \frac{h\nu - \phi_0}{e}$.
$1$. $V_0$ એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ $\nu$ પર આધાર રાખે છે (વિકલ્પ $B$ સાચું છે).
$2$. $V_0$ એ વર્ક ફંક્શન $\phi_0$ પર આધાર રાખે છે,જે ઉત્સર્જક પદાર્થના સ્વભાવ પર આધાર રાખે છે (વિકલ્પ $A$ સાચું છે).
$3$. $V_0$ એ મહત્તમ ગતિઊર્જાના $1/e$ ગણું છે (વિકલ્પ $D$ સાચું છે).
$4$. $V_0$ એ આપાત પ્રકાશની તીવ્રતા પર આધાર રાખતું નથી,કારણ કે તીવ્રતા માત્ર ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યાને અસર કરે છે,તેમની વ્યક્તિગત ગતિઊર્જાને નહીં (વિકલ્પ $C$ ખોટું છે).

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ:
$K_{max} = h\nu - \phi$
જ્યાં $K_{max}$ એ ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઉર્જા છે,$h\nu$ એ આપાત ફોટોનની ઉર્જા છે,અને $\phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
આપેલ છે કે સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s = 0.5 V$,તેથી મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $K_{max} = e V_s = 0.5 eV$ થાય.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$0.5 eV = 2.48 eV - \phi$
વર્ક ફંક્શન $\phi$ માટે ગણતરી કરતા:
$\phi = 2.48 eV - 0.5 eV = 1.98 eV$
આમ,પદાર્થનું વર્ક ફંક્શન $1.98 eV$ છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા નીચે મુજબ છે:
$K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$
આપેલ છે:
$hc = 1240 \, eV \cdot nm$
$\lambda = 300 \, nm$
$\phi = 2.13 \, eV$
કિંમતો મૂકતા:
$K_{max} = \frac{1240}{300} \, eV - 2.13 \, eV$
$K_{max} = 4.133 \, eV - 2.13 \, eV$
$K_{max} = 2.003 \, eV$
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ અને મહત્તમ ગતિઊર્જા વચ્ચેનો સંબંધ $K_{max} = e V_s$ હોવાથી:
$e V_s = 2.003 \, eV$
$V_s \approx 2 \, V$

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,આપાત ફોટોનની ઊર્જા એ ધાતુના વર્ક ફંક્શન અને ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જાના સરવાળા જેટલી હોય છે.
$E_{\text{photon}} = \Phi + K.E_{\max}$
આપેલ છે:
આપાત ફોટોનની ઊર્જા $(E_{\text{photon}})$ = $4.13 eV$
વર્ક ફંક્શન $(\Phi)$ = $3.13 eV$
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$4.13 eV = 3.13 eV + K.E_{\max}$
$K.E_{\max} = 4.13 eV - 3.13 eV$
$K.E_{\max} = 1 eV$
તેથી,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $1 eV$ છે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $\frac{hc}{\lambda} - \phi = eV_0$, જ્યાં $\phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
$\lambda_1 = 0.3 \ \mu m$ અને $\lambda_2 = 0.4 \ \mu m$ માટેના ડેટાનો ઉપયોગ કરતા:
$1$) $\frac{hc}{0.3 \times 10^{-6}} - \phi = 2e$
$2$) $\frac{hc}{0.4 \times 10^{-6}} - \phi = 1e$
સમીકરણ $(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા:
$hc \left( \frac{1}{0.3 \times 10^{-6}} - \frac{1}{0.4 \times 10^{-6}} \right) = 2e - e = e$
$hc \left( \frac{0.4 - 0.3}{0.12 \times 10^{-6}} \right) = e$
$hc \left( \frac{0.1}{0.12 \times 10^{-6}} \right) = e$
$h = \frac{e \times 0.12 \times 10^{-6}}{c \times 0.1} = \frac{1.6 \times 10^{-19} \times 1.2 \times 10^{-6}}{3 \times 10^8}$
$h = \frac{1.92 \times 10^{-25}}{3 \times 10^8} = 0.64 \times 10^{-33} = 6.4 \times 10^{-34} \ J \ s$.

(C) ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ,વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ દ્વારા પ્રવેગિત થયા પછી ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઉર્જા નીચે મુજબ છે:
$K_{\max} = \left( \frac{hc}{\lambda_{\text{ph}}} - \phi \right) + eV = \frac{p_{\max}^2}{2m}$
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda_e = \frac{h}{p_{\max}}$ હોવાથી,આપણને $p_{\max}^2 = \frac{h^2}{\lambda_e^2}$ મળે છે.
આ કિંમતને ઉર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{hc}{\lambda_{\text{ph}}} - \phi + eV = \frac{h^2}{2m\lambda_e^2}$
મોટા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $(V \gg \phi/e)$ માટે,આપણે $\frac{hc}{\lambda_{\text{ph}}} - \phi + eV \approx eV$ લઈ શકીએ.
આમ,$eV \approx \frac{h^2}{2m\lambda_e^2}$,જે સૂચવે છે કે $\lambda_e \approx \frac{h}{\sqrt{2meV}}$.
આ સંબંધ પરથી,$\lambda_e \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$.
જો $V$ ને ચાર ગણું કરવામાં આવે,તો $\lambda_e$ તેના મૂળ મૂલ્યના $\frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}$ ગણું થાય છે,એટલે કે તે અડધું થાય છે.
તેથી,વિધાન $(C)$ સાચું છે.

(B) $n=4$ થી $n=3$ ના સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઊર્જા $E = 13.6 Z^2 \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \right) \ eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$E = 13.6 Z^2 \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right) = 13.6 Z^2 \left( \frac{7}{144} \right) \approx 0.661 Z^2 \ eV$.
ધાતુનું વર્ક ફંક્શન $W$ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઇ $\lambda_0 = 310 \ nm$ પરથી $W = \frac{hc}{\lambda_0} = \frac{1240 \ eV \cdot nm}{310 \ nm} = 4 \ eV$ મળે છે.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઇલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,$K_{\max} = E - W$.
$K_{\max} = 1.95 \ eV$ આપેલ હોવાથી,$1.95 = 0.661 Z^2 - 4$.
$0.661 Z^2 = 5.95$.
$Z^2 = \frac{5.95}{0.661} \approx 9$.
તેથી,$Z = 3$.

(C) $1$. વિનનો સ્થાનાંતરનો નિયમ $\lambda_m T = b$ છે, જ્યાં $b = 2.9 \times 10^{-3} \, m-K$. તેથી, $\lambda_m \propto 1/T$.
$2$. $(P)$ $2000 \, K$ માટે: $\lambda_m = (2.9 \times 10^{-3}) / 2000 = 1.45 \times 10^{-6} \, m = 1450 \, nm$. $\lambda_m$ એ $T$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી, સૌથી ઓછું તાપમાન $(2000 \, K)$ સૌથી મોટી $\lambda_m$ આપે છે. એક સ્લિટના વિવર્તનમાં મધ્યસ્થ અધિકતમની પહોળાઈ $\lambda$ ના પ્રમાણમાં હોય છે, તેથી $(P \rightarrow 3)$.
$3$. $(Q)$ $3000 \, K$ માટે: એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ ઉત્સર્જિત પાવર $E = \sigma T^4$. ગુણોત્તર $E_{3000}/E_{6000} = (3000/6000)^4 = (1/2)^4 = 1/16$. તેથી, $(Q \rightarrow 4)$.
$4$. $(R)$ $5000 \, K$ માટે: $\lambda_m = (2.9 \times 10^{-3}) / 5000 = 0.58 \times 10^{-6} \, m = 580 \, nm$. આ તરંગલંબાઇ દ્રશ્યમાન વર્ણપટમાં છે. તેથી, $(R \rightarrow 2)$.
$5$. $(S)$ $10000 \, K$ માટે: $\lambda_m = (2.9 \times 10^{-3}) / 10000 = 0.29 \times 10^{-6} \, m = 290 \, nm$. ફોટોનની ઉર્જા $E = hc/\lambda_m = (1.24 \times 10^{-6}) / (0.29 \times 10^{-6}) \approx 4.27 \, eV$. $4.27 \, eV > 4 \, eV$ હોવાથી, તે ફોટોઇલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન કરી શકે છે. તેથી, $(S \rightarrow 1)$.
$6$. મેચિંગ: $P \rightarrow 3, Q \rightarrow 4, R \rightarrow 2, S \rightarrow 1$. સાચો વિકલ્પ $(C)$ છે.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max}$ નીચે મુજબ છે:
$K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi_0$
$K_{max} = \frac{p^2}{2m}$ અને ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda_d = \frac{h}{p}$ હોવાથી,$p = \frac{h}{\lambda_d}$ મળે.
આ કિંમત ગતિઊર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{h^2}{2m \lambda_d^2} = \frac{hc}{\lambda} - \phi_0$
બંને બાજુ $\lambda$ અને $\lambda_d$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{d\lambda_d} \left( \frac{h^2}{2m \lambda_d^2} \right) d\lambda_d = \frac{d}{d\lambda} \left( \frac{hc}{\lambda} - \phi_0 \right) d\lambda$
$\frac{h^2}{2m} (-2 \lambda_d^{-3}) d\lambda_d = -hc \lambda^{-2} d\lambda$
$\frac{h^2}{m \lambda_d^3} d\lambda_d = \frac{hc}{\lambda^2} d\lambda$
ગુણોત્તર $\frac{d\lambda_d}{d\lambda}$ માટે ગોઠવતા:
$\frac{d\lambda_d}{d\lambda} = \frac{hc}{\lambda^2} \cdot \frac{m \lambda_d^3}{h^2} = \left( \frac{mc}{h} \right) \frac{\lambda_d^3}{\lambda^2}$
આમ,$\frac{\Delta \lambda_d}{\Delta \lambda} \propto \frac{\lambda_d^3}{\lambda^2}$.

(A) આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{1240 \ eV \cdot nm}{200 \ nm} = 6.2 \ eV$ છે.
ઉત્સર્જિત ફોટોઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $K_{max} = E - \phi = 6.2 \ eV - 4.7 \ eV = 1.5 \ eV$ છે.
જેમ ગોળો ફોટોઇલેક્ટ્રોન ઉત્સર્જિત કરે છે,તેમ તે ધન વીજભારિત બને છે અને તેનું પોટેન્શિયલ $V$ વધે છે. ઉત્સર્જન ત્યારે અટકે છે જ્યારે પોટેન્શિયલ $V$ એવું હોય કે ઇલેક્ટ્રોનને દૂર કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા મહત્તમ ગતિ ઉર્જા જેટલી થાય,એટલે કે $eV = K_{max} = 1.5 \ eV$. તેથી,$V = 1.5 \ V$.
$R$ ત્રિજ્યા અને $q = ne$ વીજભાર ધરાવતા ગોળાનું પોટેન્શિયલ $V = \frac{kq}{R} = \frac{k(ne)}{R}$ છે,જ્યાં $n$ એ ફોટોઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા છે.
કિંમતો મૂકતા: $1.5 = \frac{(9 \times 10^9) \times n \times (1.6 \times 10^{-19})}{10^{-2}}$.
$1.5 = n \times 1.44 \times 10^{-7} \implies n = \frac{1.5}{1.44} \times 10^7 \approx 1.04 \times 10^7$.
આપેલ છે કે $n = A \times 10^Z$,તેથી $1.04 \times 10^7 = A \times 10^Z$. સરખામણી કરતા,$Z = 7$ મળે છે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા નીચે મુજબ છે:
$KE_{\text{max}} = h\nu - \phi$
અહીં $KE_{\text{max}} = eV_s$ છે,જ્યાં $V_s$ એ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ છે,તેથી:
$eV_s = h\nu - \phi$
$V_s = \left(\frac{h}{e}\right)\nu - \frac{\phi}{e}$
આ સમીકરણ $y = mx + c$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $y = V_s$,$x = \nu$,અને ઢાળ $m = \frac{h}{e}$ છે.
$h$ (પ્લાન્કનો અચળાંક) અને $e$ (ઈલેક્ટ્રોનનો વીજભાર) એ સાર્વત્રિક અચળાંકો હોવાથી,ઢાળ $\frac{h}{e}$ એ વપરાયેલી ધાતુ પર આધાર રાખતો નથી.
તેથી,સિલ્વર અને સોડિયમ બંને માટે ઢાળ સમાન છે.
આમ,ઢાળનો ગુણોત્તર $\frac{h/e}{h/e} = 1$ થાય છે.

(A) આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\lambda_1 = 248 \ nm$ માટે,$E_1 = \frac{1240}{248} = 5 \ eV$.
$\lambda_2 = 310 \ nm$ માટે,$E_2 = \frac{1240}{310} = 4 \ eV$.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $K.E. = E - W$ છે,જ્યાં $W$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
તેથી,$K.E._1 = 5 - W$ અને $K.E._2 = 4 - W$.
$K.E. = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી,ગતિ ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K.E._1}{K.E._2} = \left(\frac{u_1}{u_2}\right)^2 = \left(\frac{2}{1}\right)^2 = 4$ થાય.
તેથી,$\frac{5 - W}{4 - W} = 4$.
$5 - W = 4(4 - W) = 16 - 4W$.
$3W = 11$.
$W = \frac{11}{3} \approx 3.67 \ eV \approx 3.7 \ eV$.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
કારણ કે $K_{max} = eV_0$,તેથી $eV_0 = \frac{hc}{\lambda} - \phi$,જેનું સાદું રૂપ $V_0 = \left(\frac{hc}{e}\right) \frac{1}{\lambda} - \frac{\phi}{e}$ થાય છે.
$1$. $V_0$ નો $1/\lambda$ સાથેનો ફેરફાર: આ $y = mx + c$ સ્વરૂપનું એક સુરેખ સમીકરણ છે,જ્યાં $y = V_0$,$x = 1/\lambda$,ઢાળ $m = hc/e$,અને અંતઃખંડ $c = -\phi/e$ છે. આ આલેખ $(C)$ ને અનુરૂપ છે.
$2$. $V_0$ નો $\lambda$ સાથેનો ફેરફાર: જેમ $\lambda$ વધે છે,તેમ $1/\lambda$ ઘટે છે,તેથી $V_0$ ઘટે છે. સંબંધ $V_0 = \frac{hc}{e\lambda} - \frac{\phi}{e}$ છે. આ એક વક્ર છે જે ઘટે છે અને થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ $\lambda_0 = hc/\phi$ પર શૂન્ય થાય છે. આ આલેખ $(B)$ ને અનુરૂપ છે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,$K_{max} = h\nu - \Phi$,જ્યાં $\Phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
ધાતુઓ $P$ અને $Q$ માટે,આપાત ફોટોન ઊર્જા $E_1$ સમાન છે:
$E_P = E_1 - 4.0 \ eV$
$E_Q = E_1 - 4.5 \ eV$
આપેલ છે કે $E_P = 2E_Q$,તેથી:
$E_1 - 4.0 = 2(E_1 - 4.5)$
$E_1 - 4.0 = 2E_1 - 9.0$
$E_1 = 5.0 \ eV$
હવે,$E_Q$ ની ગણતરી કરીએ:
$E_Q = 5.0 - 4.5 = 0.5 \ eV$
આપેલ છે કે $E_Q = E_R$,તેથી $E_R = 0.5 \ eV$.
ધાતુ $R$ માટે,ધારો કે આપાત ફોટોન ઊર્જા $E_2$ છે:
$E_R = E_2 - \Phi_R$
$0.5 = E_2 - 5.5$
$E_2 = 6.0 \ eV$.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$,જ્યાં $K_{max} = eV_s$.
પ્રથમ સ્ત્રોત માટે: $\frac{hc}{\lambda} = \phi + 6.0 \ eV$ ... $(i)$
બીજા સ્ત્રોત માટે: $\frac{hc}{4\lambda} = \phi + 0.6 \ eV$ ... (ii)
સમીકરણ (ii) ને $4$ વડે ગુણતા: $\frac{hc}{\lambda} = 4\phi + 2.4 \ eV$ ... (iii)
$(i)$ અને (iii) ને સરખાવતા: $\phi + 6.0 = 4\phi + 2.4 \Rightarrow 3\phi = 3.6 \Rightarrow \phi = 1.2 \ eV$.
$(i)$ માં $\phi$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{hc}{\lambda} = 1.2 + 6.0 = 7.2 \ eV$.
આપેલ છે $hc = 1.24 \times 10^{-6} \ eV \ m$.
$\lambda = \frac{1.24 \times 10^{-6}}{7.2} \approx 1.72 \times 10^{-7} \ m$.

(B) આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{1240}{\lambda (nm)} \ eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ તરંગલંબાઇ $\lambda = 550 \ nm$ મૂકતા,આપણને $E = \frac{1240}{550} \approx 2.25 \ eV$ મળે છે.
જો આપાત ફોટોનની ઉર્જા ધાતુના વર્ક ફંક્શન $(\Phi)$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલી હોય તો જ ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસર થાય છે.
$Cs$ માટે,$\Phi_{Cs} = 1.9 \ eV$. કારણ કે $2.25 \ eV > 1.9 \ eV$,તેથી $Cs$ માટે ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસર શક્ય છે.
$Li$ માટે,$\Phi_{Li} = 2.5 \ eV$. કારણ કે $2.25 \ eV < 2.5 \ eV$,તેથી $Li$ માટે ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસર શક્ય નથી.
તેથી,ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસર માત્ર $Cs$ માટે જ શક્ય છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, $K_{\max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$.
આપેલ છે કે, $\lambda$ તરંગલંબાઈ માટે, $K_{\max} = 2 \ \text{eV}$ અને કાર્ય વિધેય $\phi = 1 \ \text{eV}$.
આ કિંમતો મૂકતા: $2 = \frac{hc}{\lambda} - 1 \implies \frac{hc}{\lambda} = 3 \ \text{eV}$.
હવે, $\lambda' = \frac{\lambda}{2}$ તરંગલંબાઈ માટે, આપાત ફોટોનની નવી ઊર્જા $E' = \frac{hc}{\lambda'} = \frac{hc}{\lambda / 2} = 2 \times \frac{hc}{\lambda} = 2 \times 3 = 6 \ \text{eV}$ થશે.
નવી મહત્તમ ગતિઊર્જા $K'_{\max} = E' - \phi = 6 \ \text{eV} - 1 \ \text{eV} = 5 \ \text{eV}$ મળે છે.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ:
$K_{\text{max}} = E - \phi$
અહીં સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s = 2 \text{ V}$ હોવાથી, મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{\text{max}} = e V_s = 2 \text{ eV}$ થાય.
આપેલ વર્ક ફંક્શન $\phi = 2.14 \text{ eV}$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$2 \text{ eV} = E - 2.14 \text{ eV}$
$E = 2 + 2.14 = 4.14 \text{ eV}$
આપણે જાણીએ છીએ કે ફોટોનની ઊર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$E = 4.14 \text{ eV}$ અને $hc = 1242 \text{ eV nm}$ મૂકતા:
$4.14 = \frac{1242}{\lambda}$
$\lambda = \frac{1242}{4.14} \text{ nm} = 300 \text{ nm}$.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $h\nu = \phi_0 + KE_{\max}$.
$KE_{\max} = eV_0$ હોવાથી,આપણને મળે છે $eV_0 = h\nu - \phi_0$.
$V_0$ માટે ગોઠવતા,$V_0 = (\frac{h}{e})\nu - (\frac{\phi_0}{e})$.
$(A)$ આ સમીકરણ $y = mx + c$ ના સ્વરૂપમાં છે,જે રેખીય આલેખ દર્શાવે છે. તેથી,$(A)$ સાચું છે.
$(B)$ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,ઢાળ $m = \frac{h}{e}$ છે,$\frac{\phi_0}{h}$ નથી. તેથી,$(B)$ ખોટું છે.
$(C)$ ઢાળ $\frac{h}{e}$ હોવાથી,$h$ એ ઢાળ સાથે સંબંધિત છે. તેથી,$(C)$ સાચું છે.
$(D)$ ઢાળ પરથી $h$ શોધવા માટે,આપણને $e$ (ઈલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર) ના મૂલ્યની જરૂર પડે છે. તેથી,$(D)$ ખોટું છે.
$(E)$ $V_0$ અક્ષ પરના અંતઃખંડ પરથી (જ્યાં $\nu = 0$),અંતઃખંડ $-\frac{\phi_0}{e}$ છે. $h$ અથવા $e$ જાણ્યા વિના,આપણે માત્ર અંતઃખંડ પરથી $\phi_0$ નક્કી કરી શકતા નથી. જોકે,આપેલા વિકલ્પો મુજબ $(A), (C)$ અને $(E)$ સાચો વિકલ્પ છે.

(D) વિધાન $(A)$ સાચું છે. ઉત્સર્જક પ્લેટની સાપેક્ષમાં કલેક્ટર પ્લેટને પૂરતો ઋણ સ્થિતિમાન (સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ) આપીને, સૌથી વધુ ઉર્જા ધરાવતા ફોટોઇલેક્ટ્રોનને અપાકર્ષિત કરી શકાય છે, જેનાથી ફોટોઇલેક્ટ્રિક પ્રવાહ અટકી જાય છે.
કારણ $(R)$ સાચું છે. સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_0$ આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઇલેક્ટ્રિક સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $eV_0 = h\nu - \phi_0$, જ્યાં $V_0 = (h/e)\nu - (\phi_0/e)$. આ દર્શાવે છે કે સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ $\nu$ સાથે રેખીય રીતે બદલાય છે.
જોકે, કારણ $(R)$ એ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલના સ્વભાવને સમજાવે છે, પરંતુ તે એ સમજાવતું નથી કે ઋણ સ્થિતિમાન લાગુ કરવાથી ઉત્સર્જન કેમ અટકે છે (જે ઇલેક્ટ્રોનના સ્થિર વિદ્યુતીય અપાકર્ષણને કારણે છે). તેથી, $(R)$ એ $(A)$ ની સાચી સમજૂતી નથી.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઇલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,આપાત ફોટોનની ઊર્જા $E = \frac{hc}{\lambda} = W + K_{\max}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$W$ એ વર્ક ફંક્શન છે અને $K_{\max}$ એ ઉત્સર્જિત ફોટોઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા છે.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ ને સૌથી વધુ ઊર્જા ધરાવતા ફોટોઇલેક્ટ્રોનને રોકવા માટે જરૂરી પોટેન્શિયલ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જેથી $K_{\max} = eV_s$ થાય.
તેથી,$eV_s = K_{\max}$,જેનો અર્થ છે કે $V_s = \frac{K_{\max}}{e}$.
આમ,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ એ ઉત્સર્જિત ફોટોઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જાના $\left(\frac{1}{e}\right)$ ગણું હોય છે.

(B) ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન માટેની શરત એ છે કે આપાત ફોટોનની ઉર્જા ધાતુના કાર્ય વિધેય કરતા વધારે હોવી જોઈએ: $E = \frac{hc}{\lambda} > \phi$.
અહીં કાર્ય વિધેય $\phi = 3 \ eV$ આપેલ છે અને $hc \approx 1240 \ eV \cdot nm$ લેતા,થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઇ $\lambda_0$ નીચે મુજબ મળે:
$\lambda_0 = \frac{hc}{\phi} = \frac{1240 \ eV \cdot nm}{3 \ eV} \approx 413.3 \ nm$.
ઉત્સર્જન થવા માટે,આપાત તરંગલંબાઇ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઇ કરતા ઓછી હોવી જોઈએ: $\lambda < 413.3 \ nm$.
દ્રશ્ય પ્રકાશની તરંગલંબાઇ આશરે $400 \ nm$ (જાંબલી/વાદળી) થી $700 \ nm$ (લાલ) સુધીની હોય છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,વાદળી પ્રકાશની ઉર્જા અન્ય વિકલ્પો (લીલો,પીળો,લાલ) કરતા વધારે છે,તેથી તે ઉત્સર્જન માટે સૌથી યોગ્ય વિકલ્પ છે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $(K.E.)$ આ મુજબ છે: $K.E. = E - W$,જ્યાં $E = \frac{hc}{\lambda_i}$ એ આપાત ફોટોનની ઊર્જા છે અને $W = \frac{hc}{\lambda_0}$ એ પદાર્થનું કાર્ય વિધેય છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે: $K.E. = \frac{hc}{\lambda_i} - \frac{hc}{\lambda_0} = hc \left(\frac{1}{\lambda_i} - \frac{1}{\lambda_0}\right)$.
$K.E.$ ગતિઊર્જા ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda_c = \frac{h}{\sqrt{2m(K.E.)}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\lambda_c^2 = \frac{h^2}{2m(K.E.)}$,જેનો અર્થ થાય છે $K.E. = \frac{h^2}{2m\lambda_c^2}$.
$K.E.$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{h^2}{2m\lambda_c^2} = hc \left(\frac{1}{\lambda_i} - \frac{1}{\lambda_0}\right)$.
$\lambda_c$ માટે ઉકેલતા: $\lambda_c^2 = \frac{h^2}{2mhc \left(\frac{1}{\lambda_i} - \frac{1}{\lambda_0}\right)} = \frac{h}{2mc \left(\frac{1}{\lambda_i} - \frac{1}{\lambda_0}\right)}$.
તેથી,$\lambda_c = \sqrt{\frac{h}{2mc \left(\frac{1}{\lambda_i} - \frac{1}{\lambda_0}\right)}}$.

(C) $1$. સંતૃપ્ત ફોટોઈલેક્ટ્રિક પ્રવાહ એ આપાત વિકિરણની તીવ્રતાના સમપ્રમાણમાં હોય છે. તેથી,તીવ્રતા ઘટાડવાથી,નવી સ્થિતિ માટે સંતૃપ્ત પ્રવાહ મૂળ (તૂટક રેખા) આલેખ કરતા ઓછો હોવો જોઈએ.
$2$. સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ એ આપાત વિકિરણની આવૃત્તિના સમપ્રમાણમાં હોય છે. તેથી,આવૃત્તિ વધારવાથી,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલનું મૂલ્ય વધવું જોઈએ (એટલે કે,તે વધુ ઋણ બને છે).
$3$. આપેલા વિકલ્પોની સરખામણી કરતા,આલેખ $C$ તૂટક રેખા વાળા આલેખની સરખામણીમાં ઓછો સંતૃપ્ત પ્રવાહ અને સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલનું વધુ મૂલ્ય દર્શાવે છે. તેથી,આલેખ $C$ નવી સ્થિતિનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{\max}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$K_{\max} = h\nu - \phi_0$
જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક $(6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s)$ છે,$\nu$ એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ છે,અને $\phi_0$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
આપેલ છે: $\phi_0 = 3.2 \times 10^{-19} \ J$ અને $\nu = 8 \times 10^{14} \ Hz$.
સૌ પ્રથમ,આપાત ફોટોનની ઊર્જા $(E = h\nu)$ ગણો:
$E = (6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s) \times (8 \times 10^{14} \ Hz) = 53.04 \times 10^{-20} \ J = 5.304 \times 10^{-19} \ J$.
હવે,કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકો:
$K_{\max} = 5.304 \times 10^{-19} \ J - 3.2 \times 10^{-19} \ J$
$K_{\max} = 2.104 \times 10^{-19} \ J \approx 2.1 \times 10^{-19} \ J$.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V$ એ $eV = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi = \frac{hc}{\lambda_0}$ એ વર્ક ફંક્શન છે અને $\lambda_0$ એ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ છે.
શરૂઆતમાં,$eV = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0} \quad ...(1)$
અંતે,$e(V/4) = \frac{hc}{3\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0} \quad ...(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને $4$ વડે ગુણતા,આપણને $eV = \frac{4hc}{3\lambda} - \frac{4hc}{\lambda_0} \quad ...(3)$ મળે છે.
સમીકરણ $(1)$ અને $(3)$ ને સરખાવતા,$\frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0} = \frac{4hc}{3\lambda} - \frac{4hc}{\lambda_0}$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,$\frac{4hc}{\lambda_0} - \frac{hc}{\lambda_0} = \frac{4hc}{3\lambda} - \frac{hc}{\lambda}$.
$\frac{3hc}{\lambda_0} = \frac{hc}{3\lambda}$.
તેથી,$\lambda_0 = 9\lambda$.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,$K_{max} = hf - \phi_0$,જ્યાં $K_{max}$ એ મહત્તમ ગતિઊર્જા છે,$f$ એ આવૃત્તિ છે અને $\phi_0$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $1.2 = hf - \phi_0$ ......$(i)$
જ્યારે આવૃત્તિમાં $50 \%$ નો વધારો થાય છે,ત્યારે નવી આવૃત્તિ $f' = 1.5f$ થાય છે.
બીજા કિસ્સા માટે: $3.6 = 1.5hf - \phi_0$ ......(ii)
સમીકરણ $(i)$ ને $1.5$ વડે ગુણતા: $1.8 = 1.5hf - 1.5\phi_0$ ......(iii)
સમીકરણ (ii) માંથી સમીકરણ (iii) બાદ કરતા: $3.6 - 1.8 = (1.5hf - \phi_0) - (1.5hf - 1.5\phi_0)$
$1.8 = 0.5\phi_0$
$\phi_0 = \frac{1.8}{0.5} = 3.6 \ eV$.

(B) વિદ્યુતક્ષેત્રનું સમીકરણ $E = 100 [\sin(7 \omega t) + \cos(10 \omega t) + \cos(15 \omega t)]$ છે.
તરંગમાં રહેલી આવૃત્તિઓ $\omega_1 = 7 \omega$,$\omega_2 = 10 \omega$ અને $\omega_3 = 15 \omega$ છે.
કોણીય આવૃત્તિ અને રેખીય આવૃત્તિ વચ્ચેનો સંબંધ $\omega = 2 \pi \nu$ છે,તેથી $\nu = \frac{\omega}{2 \pi}$.
આવૃત્તિઓ $\nu_1 = \frac{7 \omega}{2 \pi}$,$\nu_2 = \frac{10 \omega}{2 \pi}$ અને $\nu_3 = \frac{15 \omega}{2 \pi}$ છે.
મહત્તમ આવૃત્તિ $\nu_{max} = \frac{15 \omega}{2 \pi}$ છે.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = h \nu_{max} - \phi$ છે.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ એ $K_{max} = e V_s$ દ્વારા મળે છે,તેથી $V_s = \frac{K_{max}}{e} = \frac{h \nu_{max} - \phi}{e}$.
$\nu_{max}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $V_s = \frac{h}{e} \left( \frac{15 \omega}{2 \pi} \right) - \frac{\phi}{e}$ મળે છે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે: $eV_s = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$,જ્યાં $\lambda_0$ એ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $eV = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$ --- $(1)$
બીજા કિસ્સા માટે: $e(\frac{V}{3}) = \frac{hc}{2\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$ --- $(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને $3$ વડે ગુણતા: $eV = \frac{3hc}{2\lambda} - \frac{3hc}{\lambda_0}$ --- $(3)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(3)$ ને સરખાવતા: $\frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0} = \frac{3hc}{2\lambda} - \frac{3hc}{\lambda_0}$
પદોને ગોઠવતા: $\frac{3hc}{\lambda_0} - \frac{hc}{\lambda_0} = \frac{3hc}{2\lambda} - \frac{hc}{\lambda}$
$\frac{2hc}{\lambda_0} = \frac{hc}{2\lambda}$
$\frac{2}{\lambda_0} = \frac{1}{2\lambda}$
$\lambda_0 = 4\lambda$.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઇલેક્ટ્રિક સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$E_k = hv - \phi_0$,જ્યાં $\phi_0 = hv_0$ એ વર્ક ફંક્શન છે અને $v_0$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ છે.
બે આવૃત્તિઓ $v_1$ અને $v_2$ માટે,મહત્તમ ગતિઊર્જા નીચે મુજબ છે:
$E_{K_1} = h(v_1 - v_0)$
$E_{K_2} = h(v_2 - v_0)$
આપેલ ગુણોત્તર $\frac{E_{K_1}}{E_{K_2}} = \frac{1}{x}$ પરથી:
$\frac{h(v_1 - v_0)}{h(v_2 - v_0)} = \frac{1}{x}$
$x(v_1 - v_0) = v_2 - v_0$
$xv_1 - xv_0 = v_2 - v_0$
$xv_1 - v_2 = xv_0 - v_0$
$xv_1 - v_2 = v_0(x - 1)$
$v_0 = \frac{xv_1 - v_2}{x - 1}$

(D) $n^{\text{મી}}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = \frac{-13.6}{n^2} \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધરા સ્થિતિ $(n=1)$ માટે, $E_1 = \frac{-13.6}{1^2} = -13.6 \text{ eV}$.
ત્રીજી કક્ષા $(n=3)$ માટે, $E_3 = \frac{-13.6}{3^2} = \frac{-13.6}{9} \approx -1.51 \text{ eV}$.
ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $\Delta E = E_3 - E_1 = -1.51 - (-13.6) = 12.09 \text{ eV}$ છે.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $K_{\text{max}} = \Delta E - \phi$ છે, જ્યાં $\phi$ એ કાર્ય વિધેય છે.
આપેલ છે કે $\phi = 4.1 \text{ eV}$, તેથી $K_{\text{max}} = 12.09 - 4.1 = 7.99 \text{ eV}$.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ એ $K_{\text{max}}$ સાથે $K_{\text{max}} = e V_s$ દ્વારા સંબંધિત છે, તેથી $V_s \approx 8 \text{ V}$.

(B) જ્યારે ઇલેક્ટ્રોનને વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $V$ દ્વારા પ્રવેગિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેની ગતિઊર્જા $K = eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી,આપણી પાસે છે:
$\frac{1}{2}mv^2 = eV$
$V$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$V = \frac{mv^2}{2e}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$m = 9 \times 10^{-31} \ kg$,$v = 1.6 \times 10^7 \ m/s$,$e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$
$V = \frac{(9 \times 10^{-31}) \times (1.6 \times 10^7)^2}{2 \times 1.6 \times 10^{-19}}$
$V = \frac{9 \times 10^{-31} \times 2.56 \times 10^{14}}{3.2 \times 10^{-19}}$
$V = \frac{23.04 \times 10^{-17}}{3.2 \times 10^{-19}}$
$V = 7.2 \times 10^2 \ V$

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - W$ છે,જ્યાં $W$ એ કાર્ય વિધેય છે.
તરંગલંબાઈ $\lambda_1$ માટે,$E_1 = \frac{hc}{\lambda_1} - W$ --- $(1)$
તરંગલંબાઈ $\lambda_2$ માટે,$E_2 = \frac{hc}{\lambda_2} - W$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$hc = \lambda_1(E_1 + W)$.
સમીકરણ $(2)$ પરથી,$hc = \lambda_2(E_2 + W)$.
$hc$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\lambda_1(E_1 + W) = \lambda_2(E_2 + W)$
$\lambda_1 E_1 + \lambda_1 W = \lambda_2 E_2 + \lambda_2 W$
$\lambda_1 E_1 - \lambda_2 E_2 = W(\lambda_2 - \lambda_1)$
$W = \frac{\lambda_1 E_1 - \lambda_2 E_2}{\lambda_2 - \lambda_1}$