Einstein's Photoelectric Equation and Energy Quantum of Radiation Questions in Gujarati

(C) ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $K_{\max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$,જ્યાં $\phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
કારણ કે $K_{\max} = eV_s$,તેથી $V_s = \frac{hc}{e\lambda} - \frac{\phi}{e}$.
$\lambda_1 = 4000 \, \mathring{A}$ માટે,$V_{s1} = \frac{12400}{4000} - \frac{\phi}{e} = 3.1 - \frac{\phi}{e}$ ($hc \approx 12400 \, \text{eV} \mathring{A}$ નો ઉપયોગ કરતા).
$\lambda_2 = 3600 \, \mathring{A}$ માટે,$V_{s2} = \frac{12400}{3600} - \frac{\phi}{e} \approx 3.444 - \frac{\phi}{e}$.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલમાં ફેરફાર $\Delta V_s = V_{s2} - V_{s1} = (3.444 - \frac{\phi}{e}) - (3.1 - \frac{\phi}{e}) = 3.444 - 3.1 = 0.344 \, V \approx 0.34 \, V$.

(D) $1$. સંતૃપ્ત પ્રવાહ $(i_s)$ એ આપાત પ્રકાશની તીવ્રતાના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે। તીવ્રતા બમણી થવાથી, સંતૃપ્ત પ્રવાહ $2 \times 5\,mA = 10\,mA$ થશે.
$2$. સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $(V_s)$ આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $eV_s = h\nu - \Phi$, જ્યાં $\Phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
$3$. શરૂઆતમાં, $eV_{s1} = h\nu - \Phi = 10\,eV$.
$4$. જ્યારે આવૃત્તિ બમણી $(2\nu)$ કરવામાં આવે, ત્યારે નવું સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_{s2}$ એ $eV_{s2} = h(2\nu) - \Phi = 2h\nu - \Phi$ નું પાલન કરે છે.
$5$. કારણ કે $h\nu = 10 + \Phi$, તેથી $eV_{s2} = 2(10 + \Phi) - \Phi = 20 + 2\Phi - \Phi = 20 + \Phi$.
$6$. $\Phi > 0$ હોવાથી, $V_{s2} > 20\,V$ થશે.
$7$. તેથી, $i_s = 10\,mA$ અને $V_s > 20\,V$.

(B) આપેલ ફોટોનની ઉર્જા $E = 4\,eV$ છે.
ધાતુનું કાર્ય વિધેય $\phi = 2\,eV$ છે.
ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન થવા માટે,ફોટોનની ઉર્જા એ કાર્ય વિધેય અને ગોળાના પોટેન્શિયલ $V_0$ દ્વારા નિર્મિત પોટેન્શિયલ ઉર્જાના અવરોધના સરવાળા કરતા વધારે અથવા સમાન હોવી જોઈએ.
કોઈપણ ફોટોઈલેક્ટ્રોન ઉત્સર્જિત ન થાય તે માટેની શરત $E < \phi + eV_0$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $4\,eV < 2\,eV + eV_0$.
$2\,eV < eV_0$.
તેથી,$V_0 > 2\,V$.
આમ,ફોટોઈલેક્ટ્રોનનું ઉત્સર્જન અટકાવવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ પોટેન્શિયલ $2\,V$ છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, $K_{max} = h\nu - \Phi$, જ્યાં $h\nu$ એ આપાત ફોટોનની ઊર્જા છે અને $\Phi$ એ ધાતુની સપાટીનું કાર્ય વિધેય છે。
ફોટોઈલેક્ટ્રોન ધાતુની સપાટીની અંદરની વિવિધ ઊંડાઈએથી ઉત્સર્જિત થાય છે。
સપાટી પરથી ઉત્સર્જિત થતા ઈલેક્ટ્રોન મહત્તમ ગતિઊર્જા $(K_{max})$ ધરાવે છે。
ઊંડા સ્તરોમાંથી ઉત્સર્જિત થતા ઈલેક્ટ્રોન સપાટીની બહાર નીકળતા પહેલા અથડામણને કારણે કેટલીક ઊર્જા ગુમાવે છે。
તેથી, ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $0$ થી $K_{max}$ ની વચ્ચે હોય છે。
આમ, કોઈપણ ફોટોઈલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા હંમેશા મહત્તમ ગતિઊર્જા જેટલી અથવા તેનાથી ઓછી હોય છે $(K \le K_{max})$।

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,$KE_{\max} = hf - \Phi$,જ્યાં $\Phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
વિધાન $(A)$: $KE_{\max} = hf - \Phi$ હોવાથી,જો $f$ વધે,તો $KE_{\max}$ વધે છે. તેથી,$(A)$ સાચું છે.
વિધાન $(B)$: સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ માત્ર આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ અને ધાતુના વર્ક ફંક્શન પર આધાર રાખે છે. તે કેથોડ અને એનોડ વચ્ચેના અંતરથી સ્વતંત્ર છે. તેથી,$(B)$ ખોટું છે.
વિધાન $(C)$: સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s = \frac{KE_{\max}}{e} = \frac{hf - \Phi}{e}$. $V_s$ માત્ર $f$ અને $\Phi$ પર આધાર રાખતું હોવાથી,જો $I$ વધારવામાં આવે તો તે અચળ રહે છે. સેચ્યુરેશન કરંટ તીવ્રતા $I$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,તેથી તે વધે છે. તેથી,$(C)$ સાચું છે.
વિધાન $(D)$: $V_s = \frac{hf - \Phi}{e}$ હોવાથી,જો $\Phi$ ઘટાડવામાં આવે,તો $V_s$ વધે છે. તેથી,$(D)$ સાચું છે.
આમ,સાચા વિધાનો $(A), (C)$ અને $(D)$ છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
તરંગલંબાઈ $\lambda_1$ માટે,$K_1 = \frac{hc}{\lambda_1} - \phi$.
તરંગલંબાઈ $\lambda_2$ માટે,$K_2 = \frac{hc}{\lambda_2} - \phi$.
આપેલ છે કે $\lambda_1 = 2\lambda_2$,તેથી $K_1$ ના સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$K_1 = \frac{hc}{2\lambda_2} - \phi$.
અહીં $\lambda_1 > \lambda_2$ હોવાથી,આપાત ફોટોનની ઊર્જા $\frac{hc}{\lambda_1}$ એ $\frac{hc}{\lambda_2}$ કરતા ઓછી છે.
તેથી,$K_1 = \frac{hc}{2\lambda_2} - \phi < \frac{hc}{\lambda_2} - \phi = K_2$.
આમ,$K_1 < K_2$.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = \frac{1}{2} m_e v^2 = \frac{hc}{\lambda} - \Phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\Phi$ એ ધાતુનું કાર્ય વિધેય છે.
તરંગલંબાઈ ${\lambda _1}$ માટે:
$\frac{1}{2} m_e v_1^2 = \frac{hc}{\lambda_1} - \Phi$ --- $(1)$
તરંગલંબાઈ ${\lambda _2}$ માટે:
$\frac{1}{2} m_e v_2^2 = \frac{hc}{\lambda_2} - \Phi$ --- $(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$\frac{1}{2} m_e v_2^2 - \frac{1}{2} m_e v_1^2 = (\frac{hc}{\lambda_2} - \Phi) - (\frac{hc}{\lambda_1} - \Phi)$
$\frac{1}{2} m_e (v_2^2 - v_1^2) = hc (\frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{\lambda_1})$
બંને બાજુ $\frac{2}{m_e}$ વડે ગુણતા:
$v_2^2 - v_1^2 = \frac{2hc}{m_e} [\frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{\lambda_1}]$

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ:
$K_{\max} = h\nu - h\nu_0$
ઉત્સર્જન થવા માટે મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{\max}$ ધન હોવી જોઈએ,તેથી:
$h\nu - h\nu_0 > 0$
$h\nu > h\nu_0$
$\nu > \nu_0$
આમ,ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન ત્યારે જ થાય છે જ્યારે આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ એક ચોક્કસ લઘુત્તમ આવૃત્તિ કરતા વધારે હોય,જેને થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $(\nu_0)$ કહેવામાં આવે છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનનું ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ $K_{max} = h\nu - \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $K_{max}$ એ ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા છે, $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે, $\nu$ એ આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ છે, અને $\phi$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
આ સમીકરણ $y = mx + c$ ના સ્વરૂપમાં છે, જ્યાં $y = K_{max}$, $x = \nu$, $m = h$ (ઢાળ), અને $c = -\phi$ (y-આંતરછેદ).
જેમ કે ઢાળ $h$ ધન છે અને y-આંતરછેદ $-\phi$ ઋણ છે, તેથી આલેખ એક સીધી રેખા છે જે x-અક્ષ પર થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $\nu_0 = \phi/h$ થી શરૂ થાય છે અને તેનો ઢાળ ધન છે.
તેથી, આલેખ x-અક્ષ પર ધન આવૃત્તિ મૂલ્યથી શરૂ થાય છે.

(B) ધારો કે ધાતુ $A$ નું વર્ક ફંક્શન $\phi_A = \phi_0$ છે અને ધાતુ $B$ નું વર્ક ફંક્શન $\phi_B = 2\phi_0$ છે.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $E_K = h\nu - \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધાતુ $A$ માટે: $E_{K_A} = hf - \phi_0$.
ધાતુ $B$ માટે: $E_{K_B} = h(2f) - 2\phi_0 = 2(hf - \phi_0)$.
મહત્તમ ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{E_{K_A}}{E_{K_B}} = \frac{hf - \phi_0}{2(hf - \phi_0)} = \frac{1}{2}$.
આમ,ગુણોત્તર $1 : 2$ છે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $(KE)_{\max}$ નીચે મુજબ છે:
$(KE)_{\max} = hc \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right)$
જ્યાં $\lambda_0$ એ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ છે.
પ્રારંભિક કિસ્સા માટે:
$(KE)_1 = hc \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right)$ .........$(i)$
જ્યારે તરંગલંબાઈ ઘટાડીને $\frac{\lambda}{3}$ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવી ગતિઊર્જા પ્રારંભિક મૂલ્ય કરતાં $n$ ગણી થાય છે:
$(KE)_2 = n(KE)_1 = hc \left( \frac{1}{\lambda/3} - \frac{1}{\lambda_0} \right) = hc \left( \frac{3}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right)$ .........$(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને સમીકરણ $(i)$ વડે ભાગતા:
$n = \frac{\frac{3}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}}{\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}} = \frac{\frac{3\lambda_0 - \lambda}{\lambda \lambda_0}}{\frac{\lambda_0 - \lambda}{\lambda \lambda_0}} = \frac{3\lambda_0 - \lambda}{\lambda_0 - \lambda}$
$n(\lambda_0 - \lambda) = 3\lambda_0 - \lambda$
$n\lambda_0 - n\lambda = 3\lambda_0 - \lambda$
$n\lambda_0 - 3\lambda_0 = n\lambda - \lambda$
$\lambda_0(n - 3) = \lambda(n - 1)$
$\lambda_0 = \left( \frac{n - 1}{n - 3} \right) \lambda$

(C) આઈન્સ્ટાઈનનું ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ $K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ છે.
શરૂઆતમાં,$5\,eV = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ ..........$(1)$
જ્યારે તરંગલંબાઈ $60\%$ ઘટાડવામાં આવે,ત્યારે નવી તરંગલંબાઈ $\lambda' = \lambda - 0.6\lambda = 0.4\lambda = \frac{2}{5}\lambda$ થાય.
આ કિંમત નવી ગતિઊર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$17\,eV = \frac{hc}{0.4\lambda} - \phi = \frac{2.5hc}{\lambda} - \phi$ ..........$(2)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$\frac{hc}{\lambda} = 5\,eV + \phi$ મળે.
આ કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$17\,eV = 2.5(5\,eV + \phi) - \phi$
$17\,eV = 12.5\,eV + 2.5\phi - \phi$
$17\,eV - 12.5\,eV = 1.5\phi$
$4.5\,eV = 1.5\phi$
$\phi = \frac{4.5}{1.5}\,eV = 3\,eV$.
આમ,ધાતુનું વર્ક ફંક્શન $3\,eV$ છે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે તરંગલંબાઈ $\lambda$ છે: $K_1 = \frac{hc}{\lambda} - \phi$.
બીજા કિસ્સા માટે તરંગલંબાઈ $\lambda/2$ છે: $K_2 = \frac{hc}{\lambda/2} - \phi = \frac{2hc}{\lambda} - \phi$.
આપેલ છે કે $K_2 = 3K_1$,તેથી કિંમતો મૂકતા:
$\frac{2hc}{\lambda} - \phi = 3 \left( \frac{hc}{\lambda} - \phi \right)$.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $\frac{2hc}{\lambda} - \phi = \frac{3hc}{\lambda} - 3\phi$.
$\phi$ માટે પદોને ગોઠવતા: $3\phi - \phi = \frac{3hc}{\lambda} - \frac{2hc}{\lambda}$.
$2\phi = \frac{hc}{\lambda}$.
તેથી,$\phi = \frac{hc}{2\lambda}$.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઊર્જા $E_k$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$E_k = hv - W$
જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$v$ એ આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ છે,અને $W$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
આ સમીકરણ એક સીધી રેખા $y = mx + c$ દર્શાવે છે,જ્યાં ઢાળ $m = h$ તમામ ધાતુઓ માટે સમાન રહે છે.
તેથી,વિવિધ ધાતુઓ માટેના આલેખ સમાન ઢાળ ધરાવતી સમાંતર સીધી રેખાઓ હોવા જોઈએ.
આપેલ છે કે વર્ક ફંક્શન $W_A > W_B > W_C$ ના ક્રમમાં છે,તેથી થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિઓ $v_0$ (જ્યાં $E_k = 0$) પણ સમાન ક્રમમાં હશે કારણ કે $W = hv_0$:
$(v_0)_A > (v_0)_B > (v_0)_C$
આનો અર્થ એ છે કે ધાતુ $A$ માટે $x$-અંતઃખંડ સૌથી મોટો છે,ત્યારબાદ $B$ અને પછી $C$ આવે છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,જે આલેખમાં રેખાઓ સમાંતર છે અને $x$-અંતઃખંડ $A > B > C$ ના ક્રમમાં છે તે સાચો છે. આપેલ આકૃતિઓ મુજબ,વિકલ્પ $B$ સાચો આલેખ દર્શાવે છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $\frac{hc}{\lambda} = \phi + eV_s$,જ્યાં $\phi = \frac{hc}{\lambda_{th}}$ એ વર્ક ફંક્શન છે અને $V_s$ એ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $\frac{hc}{\lambda} = \frac{hc}{\lambda_{th}} + e(3V_0)$ --- $(1)$
બીજા કિસ્સા માટે: $\frac{hc}{2\lambda} = \frac{hc}{\lambda_{th}} + eV_0$ --- $(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને $3$ વડે ગુણતા: $\frac{3hc}{2\lambda} = \frac{3hc}{\lambda_{th}} + 3eV_0$ --- $(3)$
સમીકરણ $(3)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$\frac{3hc}{2\lambda} - \frac{hc}{\lambda} = \frac{3hc}{\lambda_{th}} - \frac{hc}{\lambda_{th}}$
$\frac{hc}{2\lambda} = \frac{2hc}{\lambda_{th}}$
$\frac{1}{2\lambda} = \frac{2}{\lambda_{th}}$
$\lambda_{th} = 4\lambda$.

(C) આપાત ફોટોનની ઊર્જા $E = h\nu$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $h = 6.63 \times 10^{-34} \, Js$,$\nu = 6 \times 10^{14} \, Hz$.
$E = (6.63 \times 10^{-34}) \times (6 \times 10^{14}) \, J = 39.78 \times 10^{-20} \, J$.
આ ઊર્જાને $eV$ માં ફેરવવા માટે,આપણે તેને $1.6 \times 10^{-19} \, J/eV$ વડે ભાગીએ છીએ:
$E = \frac{39.78 \times 10^{-20}}{1.6 \times 10^{-19}} \, eV = 2.48625 \, eV \approx 2.49 \, eV$.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = E - \Phi$,જ્યાં $\Phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
આપેલ છે $\Phi = 2 \, eV$.
$K_{max} = 2.49 \, eV - 2 \, eV = 0.49 \, eV$.

(B) ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જકનું વર્ક ફંક્શન $\phi_0$ એ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ $\lambda_0$ સાથે $\phi_0 = \frac{hc}{\lambda_0}$ સમીકરણ દ્વારા સંબંધિત છે.
આપેલ છે કે ફોટોઈલેક્ટ્રોન માત્ર મુક્ત થાય છે,તેથી આપાત તરંગલંબાઈ એ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ જેટલી છે.
પ્રથમ ઉત્સર્જક માટે,$\lambda_{01} = 300 \ nm$.
બીજા ઉત્સર્જક માટે,$\lambda_{02} = 600 \ nm$.
વર્ક ફંક્શનનો ગુણોત્તર $\frac{\phi_{01}}{\phi_{02}} = \frac{hc / \lambda_{01}}{hc / \lambda_{02}} = \frac{\lambda_{02}}{\lambda_{01}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\phi_{01}}{\phi_{02}} = \frac{600 \ nm}{300 \ nm} = \frac{2}{1}$.
આમ,ગુણોત્તર $2 : 1$ છે.

(B) આપાત ફોટોનની ઊર્જા $E = \frac{12400}{\lambda (\text{in } Å)} \, eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\lambda = 1240 \, Å$ આપેલ છે, તેથી $E = \frac{12400}{1240} = 10 \, eV$.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, $E = W + K_{max}$, જ્યાં $K_{max} = e V_s$.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s = 8 \, V$ આપેલ છે, તેથી $K_{max} = 8 \, eV$.
તેથી, વર્ક ફંક્શન $W = E - K_{max} = 10 \, eV - 8 \, eV = 2 \, eV$.
થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઇ $\lambda_0$ એ $\lambda_0 = \frac{12400}{W (\text{in } eV)} \, Å$ દ્વારા મળે છે.
$\lambda_0 = \frac{12400}{2} = 6200 \, Å$.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,આપાત ફોટોનની ઊર્જા $E = h\nu$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\nu$ એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ છે.
ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ $E = \phi_0 + K_{\max}$ છે,જ્યાં $\phi_0 = h\nu_0$ એ વર્ક ફંક્શન છે અને $K_{\max}$ એ ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા છે.
અહીં,આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ $\nu = 4\nu_0$ અને થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $\nu_0$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$h(4\nu_0) = h\nu_0 + K_{\max}$
$K_{\max}$ માટે ઉકેલતા:
$K_{\max} = 4h\nu_0 - h\nu_0$
$K_{\max} = 3h\nu_0$

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $KE_{\max} = h n - \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$n$ આવૃત્તિ છે અને $\phi$ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $\frac{1}{2} m v^2 = h n - \phi$ ..... $(i)$
$3n$ આવૃત્તિવાળા બીજા કિસ્સા માટે: $\frac{1}{2} m (v^{\prime})^2 = 3 h n - \phi$ ..... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ પરથી,$h n = \frac{1}{2} m v^2 + \phi$. આ કિંમત સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા:
$\frac{1}{2} m (v^{\prime})^2 = 3 (\frac{1}{2} m v^2 + \phi) - \phi$
$\frac{1}{2} m (v^{\prime})^2 = \frac{3}{2} m v^2 + 2 \phi$
$(v^{\prime})^2 = 3 v^2 + \frac{4 \phi}{m}$
કારણ કે $\phi > 0$,તેથી $(v^{\prime})^2 > 3 v^2$,જેનો અર્થ છે કે $v^{\prime} > \sqrt{3} v$.
તેથી,મહત્તમ વેગ $\sqrt{3} v$ કરતા વધારે હશે.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,આપાત ફોટોનની ઉર્જા એ વર્ક ફંક્શન અને મહત્તમ ગતિ ઉર્જાના સરવાળા જેટલી હોય છે,જે $eV_s$ છે,જ્યાં $V_s$ એ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ છે.
તરંગલંબાઈ $\lambda_1$ માટે: $\frac{hc}{\lambda_1} = \phi + eV$ ..... $(1)$
તરંગલંબાઈ $\lambda_2$ માટે: $\frac{hc}{\lambda_2} = \phi + 3eV$ ..... $(2)$
તરંગલંબાઈ $\lambda_3$ માટે: $\frac{hc}{\lambda_3} = \phi + eV'$ ..... $(3)$
$\phi$ ને દૂર કરવા માટે સમીકરણ $(2)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા:
$\frac{hc}{\lambda_2} - \frac{hc}{\lambda_1} = 2eV \implies eV = \frac{hc}{2} \left( \frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{\lambda_1} \right)$
હવે,સમીકરણ $(1)$ પરથી $\phi$ શોધો:
$\phi = \frac{hc}{\lambda_1} - eV = \frac{hc}{\lambda_1} - \frac{hc}{2} \left( \frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{\lambda_1} \right) = hc \left( \frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{2\lambda_2} + \frac{1}{2\lambda_1} \right) = hc \left( \frac{3}{2\lambda_1} - \frac{1}{2\lambda_2} \right)$
$\phi$ ની કિંમત સમીકરણ $(3)$ માં મૂકતા:
$eV' = \frac{hc}{\lambda_3} - \phi = \frac{hc}{\lambda_3} - hc \left( \frac{3}{2\lambda_1} - \frac{1}{2\lambda_2} \right)$
$V' = \frac{hc}{e} \left[ \frac{1}{\lambda_3} + \frac{1}{2\lambda_2} - \frac{3}{2\lambda_1} \right]$

(B) આપેલ છે: $\lambda_1 = 4972\,\mathring{A}$,$\lambda_2 = 6216\,\mathring{A}$,કુલ તીવ્રતા $I = 3.6 \times 10^{-3}\,\text{W/m}^2$,ક્ષેત્રફળ $A = 1\,\text{cm}^2 = 10^{-4}\,\text{m}^2$,વર્ક ફંક્શન $\phi = 2.3\,\text{eV}$.
દરેક તરંગલંબાઈ માટે તીવ્રતા $I' = I/2 = 1.8 \times 10^{-3}\,\text{W/m}^2$.
દરેક તરંગલંબાઈ માટે ફોટોનની ઉર્જા:
$E_1 = \frac{hc}{\lambda_1} = \frac{12400}{4972} \approx 2.49\,\text{eV} > 2.3\,\text{eV}$ (ઉત્સર્જન માટે સક્ષમ).
$E_2 = \frac{hc}{\lambda_2} = \frac{12400}{6216} \approx 1.99\,\text{eV} < 2.3\,\text{eV}$ (ઉત્સર્જન માટે સક્ષમ નથી).
માત્ર $\lambda_1$ ના ફોટોન જ ફોટોઇલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જનમાં ફાળો આપે છે.
$\lambda_1$ દ્વારા આપાત પાવર $P = I' \times A = 1.8 \times 10^{-3} \times 10^{-4} = 1.8 \times 10^{-7}\,\text{W}$.
પ્રતિ સેકન્ડ ફોટોનની સંખ્યા $n = \frac{P}{E_1} = \frac{1.8 \times 10^{-7}}{2.49 \times 1.6 \times 10^{-19}} \approx 4.5 \times 10^{11}\,\text{photons/s}$.
દરેક સક્ષમ ફોટોન એક ઇલેક્ટ્રોનનું ઉત્સર્જન કરતું હોવાથી,$2\,\text{s}$ માં મુક્ત થતા ફોટોઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $N = n \times 2 = 4.5 \times 10^{11} \times 2 = 9 \times 10^{11}$ થાય.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $eV_0 = \frac{hc}{\lambda} - \phi$,જ્યાં $\phi$ એ કાર્ય વિધેય છે.
આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે: $V_0 = \frac{hc}{e} \left(\frac{1}{\lambda}\right) - \frac{\phi}{e}$.
આ એક સીધી રેખાનું સમીકરણ $y = mx + c$ છે,જ્યાં ઢાળ $m = \frac{hc}{e}$ બંને ધાતુઓ માટે સમાન છે,અને x-અંતઃખંડ $\frac{1}{\lambda_0} = \frac{\phi}{hc}$ છે.
આલેખ પરથી,ધાતુ $A$ માટે x-અંતઃખંડ એ ધાતુ $B$ માટેના x-અંતઃખંડ કરતા નાનો છે. કારણ કે x-અંતઃખંડ એ કાર્ય વિધેય $\phi$ ના સમપ્રમાણમાં છે (એટલે કે,$\phi = hc \cdot (1/\lambda_0)$),તેથી નાનો x-અંતઃખંડ એ નાનું કાર્ય વિધેય સૂચવે છે.
તેથી,$\phi_A < \phi_B$,જેનો અર્થ છે કે ધાતુ $B$ નું કાર્ય વિધેય ધાતુ $A$ કરતા વધારે છે.

(A) આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{12400}{\lambda(\text{in } \mathring{A})} \, eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\lambda = 2500\, \mathring{A}$ મૂકતા,$E = \frac{12400}{2500} = 4.96\, eV$ મળે છે.
ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $K_{max} = E - \Phi$ છે,જ્યાં $\Phi = 4.47\, eV$ વર્ક ફંક્શન છે.
$K_{max} = 4.96 - 4.47 = 0.49\, eV$.
જેમ જેમ ગોળો ઇલેક્ટ્રોનનું ઉત્સર્જન કરે છે,તેમ તે ધન વીજભારિત બને છે,જે એક પોટેન્શિયલ $V$ ઉત્પન્ન કરે છે જે વધુ ઉત્સર્જનને અટકાવે છે. સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V = K_{max}/e$ હોવાથી,$V = 0.49\, V$ મળે છે.
વીજભારિત ગોળાનું પોટેન્શિયલ $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{r} = k \frac{Q}{r}$ છે,જ્યાં $k = 9 \times 10^9\, N\cdot m^2/C^2$ અને $r = 0.01\, m$ છે.
$0.49 = \frac{9 \times 10^9 \times Q}{0.01}$.
$Q = \frac{0.49 \times 0.01}{9 \times 10^9} = \frac{0.0049}{9 \times 10^9} \approx 5.44 \times 10^{-13}\, C$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,$Q = 5.5 \times 10^{-13}\, C$.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = hv - hv_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$v$ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ છે,અને $v_0$ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ છે.
જો આવૃત્તિ $v$ ને બમણી કરીને $2v$ કરવામાં આવે,તો નવી ગતિઊર્જા $K'_{max} = h(2v) - hv_0 = 2hv - hv_0$ થાય. આ $2K_{max} = 2(hv - hv_0) = 2hv - 2hv_0$ જેટલું નથી. આમ,મહત્તમ ગતિઊર્જા બમણી થતી નથી.
વધુમાં,ફોટોકરંટ એકમ સમયમાં આપાત થતા ફોટોનની સંખ્યા પર આધાર રાખે છે,જે પ્રકાશની તીવ્રતાના પ્રમાણમાં હોય છે,આવૃત્તિના નહીં. તેથી,વિધાન $1$ ખોટું છે.
વિધાન $2$ સાચી રીતે જણાવે છે કે $K_{max}$ આવૃત્તિ પર રેખીય રીતે આધાર રાખે છે અને ફોટોકરંટ તીવ્રતા પર આધાર રાખે છે. તેથી,વિધાન $2$ સાચું છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $(K.E_{max})$ નીચે મુજબ છે: $K.E_{max} = hv - W$,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$v$ એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ છે અને $W$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
વિકલ્પ $A$ સાચો છે કારણ કે જો $v < W/h$ હોય,તો $hv < W$ થાય,જેનો અર્થ છે કે આપાત ઉર્જા વર્ક ફંક્શનને દૂર કરવા માટે અપૂરતી છે.
વિકલ્પ $B$ સાચો છે કારણ કે ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર એ ત્વરિત પ્રક્રિયા છે.
વિકલ્પ $D$ સાચો છે કારણ કે $K.E_{max}$ માત્ર આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ પર આધાર રાખે છે,તેની તીવ્રતા પર નહીં.
વિકલ્પ $C$ ખોટો છે કારણ કે મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $hv - W$ છે,$hv$ નથી.

(A) ધારો કે વર્ક ફંક્શન $\phi$ છે. આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{1240}{\lambda} \ eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\lambda_1 = 350 \ nm$ માટે,$E_1 = \frac{1240}{350} \approx 3.543 \ eV$.
$\lambda_2 = 540 \ nm$ માટે,$E_2 = \frac{1240}{540} \approx 2.296 \ eV$.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,$KE_{max} = E - \phi$.
ધારો કે $v_1$ અને $v_2$ મહત્તમ ઝડપ છે. આપેલ છે કે $v_1 = 2v_2$,તેથી $KE_1 = 4 KE_2$.
$3.543 - \phi = 4(2.296 - \phi)$.
$3.543 - \phi = 9.184 - 4\phi$.
$3\phi = 9.184 - 3.543 = 5.641$.
$\phi = \frac{5.641}{3} \approx 1.88 \ eV$.
સૌથી નજીકની કિંમત $1.8 \ eV$ છે.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = B_0 [\sin(\omega_1 t) + \sin(\omega_2 t)]$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega_1 = 3.14 \times 10^7 c$ અને $\omega_2 = 6.28 \times 10^7 c$ છે.
$\omega = 2\pi \nu$ હોવાથી,આવૃત્તિઓ $\nu_1 = \frac{3.14 \times 10^7 c}{2\pi} = 0.5 \times 10^7 c$ અને $\nu_2 = \frac{6.28 \times 10^7 c}{2\pi} = 1.0 \times 10^7 c$ છે.
મહત્તમ આવૃત્તિ $\nu_{\max} = 1.0 \times 10^7 \times (3 \times 10^8) = 3 \times 10^{15} \ Hz$ છે.
ફોટોનની ઊર્જા $E = h\nu_{\max} = (6.63 \times 10^{-34} \ J\cdot s) \times (3 \times 10^{15} \ Hz) = 1.989 \times 10^{-18} \ J$ છે.
તેને $eV$ માં ફેરવતા: $E = \frac{1.989 \times 10^{-18}}{1.6 \times 10^{-19}} \approx 12.43 \ eV$ મળે છે.
મહત્તમ ગતિઊર્જા $KE_{\max} = E - \phi = 12.43 \ eV - 4.7 \ eV = 7.73 \ eV$ થાય. નજીકનો વિકલ્પ $7.72 \ eV$ છે.

(C) $1$. પ્રતિ સેકન્ડ આપાત ફોટોનની સંખ્યા $(N_i)$ શોધો:
તીવ્રતા $I = 16 \, mW/m^2 = 16 \times 10^{-3} \, W/m^2$.
ક્ષેત્રફળ $A = 1 \times 10^{-4} \, m^2$.
એક ફોટોનની ઊર્જા $E = 10 \, eV = 10 \times 1.6 \times 10^{-19} \, J = 1.6 \times 10^{-18} \, J$.
કુલ આપાત પાવર $P = I \times A = 16 \times 10^{-3} \times 10^{-4} = 16 \times 10^{-7} \, W$.
$N_i = P / E = (16 \times 10^{-7}) / (1.6 \times 10^{-18}) = 10^{12} \, \text{ફોટોન/સેકન્ડ}$.
$2$. પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $(N_e)$ શોધો:
$N_e = 10\% \text{ of } N_i = 0.1 \times 10^{12} = 10^{11} \, \text{ઈલેક્ટ્રોન/સેકન્ડ}$.
$3$. મહત્તમ ગતિ ઊર્જા $(K_{\max})$ શોધો:
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $K_{\max} = E - \phi = 10 \, eV - 5 \, eV = 5 \, eV$.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ:
$\frac{hc}{\lambda_{1}} = \phi + eV_{1}$ ...... $(i)$
$\frac{hc}{\lambda_{2}} = \phi + eV_{2}$ ...... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા:
$\frac{hc}{\lambda_{1}} - \frac{hc}{\lambda_{2}} = e(V_{1} - V_{2})$
$hc \left( \frac{1}{\lambda_{1}} - \frac{1}{\lambda_{2}} \right) = e \Delta V$
$\Delta V = \frac{hc}{e} \left( \frac{\lambda_{2} - \lambda_{1}}{\lambda_{1} \lambda_{2}} \right)$
અહીં $\frac{hc}{e} = 1240\, nm \cdot V$,$\lambda_{1} = 300\, nm$,અને $\lambda_{2} = 400\, nm$ આપેલ છે:
$\Delta V = 1240 \times \left( \frac{400 - 300}{300 \times 400} \right)$
$\Delta V = 1240 \times \left( \frac{100}{120000} \right)$
$\Delta V = \frac{1240}{1200} \approx 1.03\, V$
તેથી,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલમાં થતો ઘટાડો આશરે $1\, V$ છે.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ અને આવૃત્તિ $v$ વચ્ચેનો સંબંધ: $eV_s = hv - \phi$ છે,જ્યાં $\phi = hv_0$ એ વર્ક ફંક્શન છે અને $v_0$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $e(V_0/2) = hv - \phi$ ..... $(1)$
બીજા કિસ્સા માટે: $e(V_0) = h(v/2) - \phi$ ..... $(2)$
નોંધ: સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ ઋણ આપેલું છે,જે ઈલેક્ટ્રોનને રોકવા માટે જરૂરી પોટેન્શિયલનું મૂલ્ય દર્શાવે છે. તેથી,$eV_s = h(v - v_0)$.
$(1)$ પરથી: $eV_0/2 = hv - hv_0 \Rightarrow eV_0 = 2hv - 2hv_0$
$(2)$ પરથી: $eV_0 = hv/2 - hv_0$
$eV_0$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$2hv - 2hv_0 = hv/2 - hv_0$
$2hv - hv/2 = 2hv_0 - hv_0$
$3hv/2 = hv_0$
$v_0 = 3v/2$.

(A) આપેલ વિદ્યુતક્ષેત્રનું સમીકરણ $\vec E = E_0 \cos(kx - \omega t)$ સ્વરૂપમાં છે.
સરખામણી કરતા,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2\pi \times 6 \times 10^{14} \, rad/s$ મળે છે.
આવૃત્તિ $f = \frac{\omega}{2\pi} = 6 \times 10^{14} \, Hz$ થાય.
ફોટોનની ઉર્જા $E = hf$ છે. $\lambda = \frac{c}{f} = \frac{3 \times 10^8}{6 \times 10^{14}} = 5000 \, \mathring{A}$.
તેથી,$E = \frac{12400}{5000} = 2.48 \, eV$.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $K_{max} = E - \phi$,જ્યાં $\phi = 2 \, eV$.
$eV_s = 2.48 - 2 = 0.48 \, eV$.
આમ,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s = 0.48 \, V$ મળે છે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{\max}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$K_{\max} = E - \phi$
જ્યાં $E$ એ આપાત ફોટોનની ઊર્જા છે અને $\phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
આપેલ છે કે $E = \frac{1237}{\lambda}$ અને $\phi = \frac{1237}{\lambda_0}$,જ્યાં $\lambda_0 = 380 \, nm$ અને $\lambda = 260 \, nm$.
$K_{\max} = \frac{1237}{260} - \frac{1237}{380}$
$K_{\max} = 1237 \times \left( \frac{380 - 260}{380 \times 260} \right)$
$K_{\max} = 1237 \times \left( \frac{120}{98800} \right)$
$K_{\max} \approx 1.5 \, eV$.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ:
$h\nu = \phi + eV_0$
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_0$ માટે સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા:
$V_0 = \frac{h\nu}{e} - \frac{\phi}{e}$
આપેલ આલેખ પરથી,થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $(\nu_0)$ એ એવી આવૃત્તિ છે જ્યાં સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_0$ શૂન્ય થાય છે. આલેખ જોતા,જ્યારે $\nu = 4 \times 10^{14} \, Hz$ હોય ત્યારે $V_0 = 0$ થાય છે.
આ બિંદુએ:
$0 = \frac{h\nu_0}{e} - \frac{\phi}{e}$
$\Rightarrow \phi = h\nu_0$
કિંમતો મૂકતા:
$\phi = (6.63 \times 10^{-34} \, Js) \times (4 \times 10^{14} \, Hz)$
$\phi = 26.52 \times 10^{-20} \, J$
વર્ક ફંક્શનને ઇલેક્ટ્રોન-વોલ્ટ $(eV)$ માં ફેરવવા માટે:
$\phi (eV) = \frac{26.52 \times 10^{-20} \, J}{1.6 \times 10^{-19} \, C}$
$\phi = 1.6575 \, eV \approx 1.66 \, eV$

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,$hf = \phi_0 + KE_{max}$.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $hf = \phi_0 + K_0$ --- $(1)$
બીજા કિસ્સા માટે,આવૃત્તિ $n_1$ ના ગુણાંકમાં વધે છે,તેથી નવી આવૃત્તિ $n_1f$ છે. નવો $KE_{max}$ એ $n_2K_0$ છે:
$n_1hf = \phi_0 + n_2K_0$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી $hf$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$n_1(\phi_0 + K_0) = \phi_0 + n_2K_0$
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા:
$n_1\phi_0 + n_1K_0 = \phi_0 + n_2K_0$
$\phi_0$ માટે ગોઠવતા:
$n_1\phi_0 - \phi_0 = n_2K_0 - n_1K_0$
$\phi_0(n_1 - 1) = K_0(n_2 - n_1)$
તેથી,વર્ક ફંક્શન:
$\phi_0 = \left( \frac{n_2 - n_1}{n_1 - 1} \right) K_0$

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ:
$4.25 = \phi_{A} + T_{A}$ --- $(1)$
$4.70 = \phi_{B} + T_{B}$ --- $(2)$
આપેલ છે: $T_{B} = T_{A} - 1.50 \, eV$
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$\frac{\lambda_{A}}{\lambda_{B}} = \sqrt{\frac{T_{B}}{T_{A}}}$.
આપેલ છે કે $\lambda_{B} = 2\lambda_{A}$,તેથી $\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{T_{B}}{T_{A}}} \Rightarrow \frac{1}{4} = \frac{T_{B}}{T_{A}} \Rightarrow T_{A} = 4T_{B}$.
$T_{A} = 4T_{B}$ ને આપેલ સંબંધમાં મૂકતા: $T_{B} = 4T_{B} - 1.50 \Rightarrow 3T_{B} = 1.50 \Rightarrow T_{B} = 0.50 \, eV$.
તેથી $T_{A} = 4 \times 0.50 = 2.0 \, eV$.
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$\phi_{A} = 4.25 - 2.0 = 2.25 \, eV$.
સમીકરણ $(2)$ પરથી,$\phi_{B} = 4.70 - 0.50 = 4.20 \, eV$.
તેથી,ધાતુ $B$ નું કાર્ય વિધેય $4.20 \, eV$ છે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ઈલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $K_{max} = h\nu - \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$\nu$ એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ છે અને $\phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
કારણ કે $K_{max} = eV_s$,જ્યાં $V_s$ એ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ છે અને $e$ એ ઈલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર છે,આપણે લખી શકીએ:
$eV_s = h\nu - \phi$
$V_s = (\frac{h}{e})\nu - \frac{\phi}{e}$
આને સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,ઢાળ $m$ એ $\frac{h}{e}$ બરાબર થાય છે.
આપેલ છે કે ઢાળ $4.12 \times 10^{-15} \, V-s$ છે અને ઈલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર $e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$ છે,તેથી:
$\frac{h}{e} = 4.12 \times 10^{-15}$
$h = (4.12 \times 10^{-15}) \times (1.6 \times 10^{-19})$
$h \approx 6.592 \times 10^{-34} \, J-s \approx 6.6 \times 10^{-34} \, J-s$.

(C) ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસર ત્યારે થાય છે જ્યારે આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ કરતા વધારે હોય, અથવા સમાન રીતે, જ્યારે તરંગલંબાઇ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઇ $ (\lambda < \lambda_{th}) $ કરતા ઓછી હોય.
આપેલ છે કે લીલો પ્રકાશ ઉત્સર્જન કરે છે પરંતુ પીળો પ્રકાશ કરતો નથી, તેથી થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઇ $ (\lambda_{th}) $ લીલા અને પીળા પ્રકાશની તરંગલંબાઇની વચ્ચે આવેલી છે.
દ્રશ્યમાન વર્ણપટમાં, તરંગલંબાઇનો ક્રમ આ મુજબ છે: $ \lambda_{Red} > \lambda_{Orange} > \lambda_{Yellow} > \lambda_{Green} > \lambda_{Blue} > \lambda_{Indigo} > \lambda_{Violet} $.
જાંબલી (Indigo) પ્રકાશની તરંગલંબાઇ લીલા પ્રકાશ કરતા ઓછી હોવાથી, તેની આવૃત્તિ અને ઉર્જા વધારે હોય છે, તેથી તે ફોટો-ઇલેક્ટ્રોનનું ઉત્સર્જન કરી શકશે.

(A) આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$hc = 12375 \, eV \cdot \mathring{A}$ નો ઉપયોગ કરતા,$E = \frac{12375}{2000} \, eV = 6.1875 \, eV$ મળે છે.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,$E = W_0 + K_{\max}$,જ્યાં $W_0$ એ કાર્ય વિધેય છે અને $K_{\max}$ એ મહત્તમ ગતિ ઉર્જા છે.
$K_{\max} = E - W_0 = 6.1875 \, eV - 5.01 \, eV = 1.1775 \, eV$.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ એ મહત્તમ ગતિ ઉર્જા સાથે $K_{\max} = e V_s$ દ્વારા સંબંધિત છે.
તેથી,$V_s = 1.1775 \, V$,જે આશરે $1.2 \, V$ છે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, મહત્તમ ગતિઊર્જા $K = h v - \Phi$ છે, જ્યાં $\Phi = h v_0$ એ વર્ક ફંક્શન છે અને $v_0$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ છે.
આવૃત્તિ $v_1$ માટે, $K_1 = h v_1 - h v_0 = h(v_1 - v_0)$.
આવૃત્તિ $v_2$ માટે, $K_2 = h v_2 - h v_0 = h(v_2 - v_0)$.
ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $K_1 / K_2 = 1 / x$ આપેલ છે, તેથી $x K_1 = K_2$.
કિંમતો મૂકતા: $x h(v_1 - v_0) = h(v_2 - v_0)$.
$x v_1 - x v_0 = v_2 - v_0$.
$x v_1 - v_2 = x v_0 - v_0$.
$x v_1 - v_2 = v_0(x - 1)$.
આથી, થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $v_0 = \frac{x v_1 - v_2}{x - 1}$ મળે છે.

(C) આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{12375}{\lambda (\text{in } Å)} \, eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ તરંગલંબાઈ મૂકતા, $E = \frac{12375}{5000} = 2.475 \, eV$.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, $E = W_0 + K_{\max}$, જ્યાં $W_0$ એ વર્ક ફંક્શન છે અને $K_{\max}$ એ ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઉર્જા છે.
મહત્તમ ગતિ ઉર્જા એ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_0$ સાથે $K_{\max} = eV_0$ દ્વારા સંબંધિત છે.
$V_0 = 1.36 \, V$ આપેલ હોવાથી, $K_{\max} = 1.36 \, eV$ મળે.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $2.475 = W_0 + 1.36$.
$W_0$ માટે ઉકેલતા: $W_0 = 2.475 - 1.36 = 1.115 \, eV \approx 1.12 \, eV$.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,આપાત ફોટોનની ઉર્જા એ વર્ક ફંક્શન અને ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઉર્જાના સરવાળા જેટલી હોય છે:
$E = \phi + K_{max}$
$E = \frac{hc}{\lambda}$ અને $K_{max} = \frac{1}{2}mv^2$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\frac{hc}{\lambda} = \phi + \frac{1}{2}mv^2$
$v$ માટે પદોને ગોઠવતા:
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{hc}{\lambda} - \phi$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{hc - \lambda \phi}{\lambda}$
$v^2 = \frac{2(hc - \lambda \phi)}{m \lambda}$
$v = [\frac{2(hc - \lambda \phi)}{m \lambda}]^{1/2}$

(B) ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસરમાં,ઈલેક્ટ્રોન એમિટર પ્લેટમાંથી ઉત્સર્જિત થાય છે અને કલેક્ટર પ્લેટ તરફ ગતિ કરે છે.
જ્યારે શિરોલંબ નીચેની દિશામાં વિદ્યુતક્ષેત્ર લાગુ કરવામાં આવે છે,ત્યારે ઈલેક્ટ્રોન (ઋણ વીજભારિત હોવાથી) ઉપરની દિશામાં (વિદ્યુતક્ષેત્રની વિરુદ્ધ) સ્થિત-વિદ્યુત બળ અનુભવે છે.
કલેક્ટર પ્લેટ એમિટર પ્લેટની ઉપર હોવાથી,આ ઉપરની તરફનું બળ ઈલેક્ટ્રોનની ગતિની દિશામાં જ લાગે છે.
પરિણામે,ઈલેક્ટ્રોન પ્રવેગિત થાય છે,જેનાથી કલેક્ટર પ્લેટ સુધી પહોંચતી વખતે તેમની ગતિઊર્જામાં વધારો થાય છે.
ઉત્સર્જિત ઈલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા વધતી હોવાથી,તેમને રોકવા માટે વધુ રિટાર્ડિંગ પોટેન્શિયલ (સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ) ની જરૂર પડે છે.
તેથી,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ વધે છે,જ્યારે સંતૃપ્ત ફોટોકરંટ અને થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = e V_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V_0$ એ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ છે.
આઈન્સ્ટાઈનનું સમીકરણ $K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ છે,જ્યાં $\phi$ એ કાર્ય વિધેય છે.
આપેલ છે: $\phi = 2.14\, eV$,$V_0 = 0.60\, V$,તેથી $K_{max} = 0.60\, eV$.
કિંમતો મૂકતા: $0.60\, eV = \frac{1240\, eV \cdot nm}{\lambda} - 2.14\, eV$.
$0.60 + 2.14 = \frac{1240}{\lambda}$.
$2.74 = \frac{1240}{\lambda}$.
$\lambda = \frac{1240}{2.74} \approx 452.55\, nm$.
આમ,$452.55\, nm$ વિકલ્પોમાં ન હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = h\nu - \Phi$ છે,જ્યાં $\nu$ એ આવૃત્તિ અને $\Phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
શરૂઆતમાં,$K_0 = h\nu - \Phi$ --- $(1)$
જ્યારે આવૃત્તિમાં $n_1$ ના ગુણાંકનો વધારો થાય,ત્યારે નવી આવૃત્તિ $\nu' = n_1\nu$ થાય છે. નવી મહત્તમ ગતિઊર્જા $n_2K_0$ છે.
તેથી,$n_2K_0 = h(n_1\nu) - \Phi$ --- $(2)$
$(1)$ પરથી,$h\nu = K_0 + \Phi$. આ કિંમત $(2)$ માં મૂકતા:
$n_2K_0 = n_1(K_0 + \Phi) - \Phi$
$n_2K_0 = n_1K_0 + n_1\Phi - \Phi$
$n_2K_0 - n_1K_0 = \Phi(n_1 - 1)$
$K_0(n_2 - n_1) = \Phi(n_1 - 1)$
$\Phi = \left( \frac{n_2 - n_1}{n_1 - 1} \right) K_0$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{1240 \, eV \cdot nm}{400 \, nm} = 3.1 \, eV$ છે.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $K_{max} = E - \phi$,જ્યાં $\phi = 2.5 \, eV$ છે.
$K_{max} = 3.1 \, eV - 2.5 \, eV = 0.6 \, eV$.
$K_{max}$ ને જૂલમાં ફેરવતા: $K_{max} = 0.6 \times 1.6 \times 10^{-19} \, J = 0.96 \times 10^{-19} \, J$.
વેગમાન $p$ અને ગતિ ઉર્જા $K$ વચ્ચેનો સંબંધ $p = \sqrt{2mK}$ છે.
$p = \sqrt{2 \times (9.1 \times 10^{-31} \, kg) \times (0.96 \times 10^{-19} \, J)}$.
$p = \sqrt{17.472 \times 10^{-50}} \approx 4.18 \times 10^{-25} \, kg \cdot m/s$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,મૂલ્ય આશરે $4 \times 10^{-25} \, kg \cdot m/s$ છે.

(B) આપાત ફોટોનની ઊર્જા $E = hf$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉત્સર્જકનું કાર્ય વિધેય $\phi = hf_0$ છે,જ્યાં $f_0$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ છે.
આઈન્સ્ટાઈનના પ્રકાશ-વિદ્યુત સમીકરણ મુજબ,આપાત ફોટોનની ઊર્જા એ કાર્ય વિધેય અને ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $(K_{max})$ ના સરવાળા જેટલી હોય છે:
$hf = \phi + K_{max}$
કાર્ય વિધેયની કિંમત મૂકતા:
$hf = hf_0 + K_{max}$
$K_{max}$ માટે સમીકરણને ગોઠવતા:
$K_{max} = hf - hf_0$
$K_{max} = h(f - f_0)$

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઇલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, $K_{max} = h\nu - \Phi$, જ્યાં $\nu$ એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ છે અને $\Phi$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
કિસ્સો $1$: $K_0 = h\nu - \Phi$ --- $(1)$
કિસ્સો $2$: $3K_0 = h(2\nu) - \Phi = 2h\nu - \Phi$ --- $(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા:
$(3K_0 - K_0) = (2h\nu - \Phi) - (h\nu - \Phi)$
$2K_0 = h\nu$
સમીકરણ $(1)$ માં $h\nu = 2K_0$ મૂકતા:
$K_0 = 2K_0 - \Phi$ implies $\Phi = K_0$
કિસ્સો $3$: જો આવૃત્તિ ત્રણ ગણી કરવામાં આવે, તો $\nu' = 3\nu$.
$K_{max}' = h(3\nu) - \Phi = 3(h\nu) - \Phi$
$h\nu = 2K_0$ અને $\Phi = K_0$ મૂકતા:
$K_{max}' = 3(2K_0) - K_0 = 6K_0 - K_0 = 5K_0$.
તેથી, જવાબ $5$ છે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{\max}$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$K_{\max} = E - \phi_0$
જ્યાં $E$ એ આપાત ફોટોનની ઊર્જા છે અને $\phi_0$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
આપેલ છે કે થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $v$ છે,તેથી વર્ક ફંક્શન $\phi_0 = hv$ થાય.
$4v$ આવૃત્તિ ધરાવતા આપાત પ્રકાશની ઊર્જા $E = h(4v) = 4hv$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$K_{\max} = 4hv - hv = 3hv$.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,જ્યારે $v$ આવૃત્તિ ધરાવતો ફોટોન ધાતુની સપાટી પર અથડાય છે,ત્યારે ફોટોનની ઊર્જાનો ઉપયોગ કાર્યવિધેય $\phi$ ને દૂર કરવા માટે થાય છે અને બાકીની ઊર્જા ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનને મહત્તમ ગતિઊર્જા $(KE)_{\max}$ તરીકે મળે છે.
આપાત ફોટોનની ઊર્જા $E = hv$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે.
ધાતુનું કાર્યવિધેય $\phi = hv_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v_0$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$hv = (KE)_{\max} + \phi$
$\phi$ ની કિંમત મૂકતા:
$hv = (KE)_{\max} + hv_0$
મહત્તમ ગતિઊર્જા માટે સમીકરણને ગોઠવતા:
$(KE)_{\max} = hv - hv_0$
$(KE)_{\max} = h(v - v_0)$
અહીં $h$ અચળાંક હોવાથી,મહત્તમ ગતિઊર્જા એ $(v - v_0)$ ના સમપ્રમાણમાં છે.