Equivalent Resistance - Series and Parallel , Circuit Questions in Gujarati

(A) ધારો કે ઘનાકાર નેટવર્કમાં બિંદુ $A$ પર દાખલ થતો કુલ પ્રવાહ $6I$ છે. ઘનની સંમિતિને કારણે, આ પ્રવાહ $A$ આગળ ત્રણ શાખાઓમાં સમાન રીતે વહેંચાય છે, જેમાં દરેક શાખામાં $2I$ પ્રવાહ વહે છે।
આગળના નોડ્સ પર, આ પ્રવાહ ફરીથી વિભાજિત થાય છે।
કિર્ચોફના વોલ્ટેજ નિયમનો ઉપયોગ કરીને $A$ થી $B$ સુધીના માર્ગ માટે, નેટવર્ક પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $V$ એ માર્ગમાં આવતા અવરોધો પરના પોટેન્શિયલ ડ્રોપનો સરવાળો છે।
ત્રણ ધાર ધરાવતા માર્ગ માટે, પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $V = (2I \times R) + (I \times R) + (2I \times R) = 5IR$ થાય છે।
અહીં $R = 1 \Omega$ આપેલ હોવાથી, $V = 5I$ મળે છે।
સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = \frac{V}{I_{total}} = \frac{5I}{6I} = \frac{5}{6} \Omega$ થાય છે।

(B) પરિપથને જોતા,ઉપરના બે $3 \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે. તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_1 = 3 \Omega + 3 \Omega = 6 \Omega$ છે.
આ $6 \Omega$ નો સમતુલ્ય અવરોધ બે શાખાઓ વચ્ચે જોડાયેલા $6 \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે. આ સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_2$ નીચે મુજબ મળે: $\frac{1}{R_2} = \frac{1}{6 \Omega} + \frac{1}{6 \Omega} = \frac{2}{6 \Omega} = \frac{1}{3 \Omega}$,તેથી $R_2 = 3 \Omega$.
હવે,પરિપથમાં $4 \Omega$ નો અવરોધ,$3 \Omega$ નો સમતુલ્ય અવરોધ $(R_2)$,અને $5 \Omega$ નો અવરોધ શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે.
તેથી,$P$ અને $Q$ વચ્ચેનો કુલ અસરકારક અવરોધ $R_{eq} = 4 \Omega + 3 \Omega + 5 \Omega = 12 \Omega$ થાય.

(A) આપેલ સર્કિટને અવરોધોના શ્રેણી અને સમાંતર જોડાણોને ઓળખીને સરળ બનાવી શકાય છે.
સર્કિટ જોતા,ડાબી બાજુના બે $10 \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે,અને જમણી બાજુના બે $10 \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે.
ધારો કે ઉપરની શાખામાં બે $10 \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે,જે $R_1 = 10 \Omega + 10 \Omega = 20 \Omega$ આપે છે.
તે જ રીતે,નીચેની શાખામાં બે $10 \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે,જે $R_2 = 10 \Omega + 10 \Omega = 20 \Omega$ આપે છે.
આ બે શાખાઓ $A$ અને $B$ બિંદુઓ વચ્ચે સમાંતરમાં જોડાયેલ છે.
તેથી,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{1}{20} + \frac{1}{20} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$
$R_{eq} = 10 \Omega$.

(A) ધારો કે ત્રણ વાહકોના અવરોધ $R_1, R_2$ અને $R_3$ છે. જ્યારે તેમને $V$ વોલ્ટેજની બેટરી સાથે અલગ-અલગ જોડવામાં આવે છે, ત્યારે પ્રવાહ $I_1 = 1 \,A, I_2 = 2 \,A$ અને $I_3 = 3 \,A$ મળે છે.
ઓહ્મના નિયમ $V = I R$ નો ઉપયોગ કરતા:
$R_1 = \frac{V}{1} = V$
$R_2 = \frac{V}{2}$
$R_3 = \frac{V}{3}$
જ્યારે તેમને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે, ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$:
$R_{eq} = R_1 + R_2 + R_3 = V + \frac{V}{2} + \frac{V}{3} = V \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right) = V \left( \frac{6 + 3 + 2}{6} \right) = \frac{11V}{6}$
તે જ બેટરીમાંથી શ્રેણીમાં ખેંચાતો પ્રવાહ $I$:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{V}{11V/6} = \frac{6}{11} \,A$.

(D) ધારો કે $2 \Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ છે. આ પ્રવાહ બે સમાંતર શાખાઓમાં વહેંચાય છે: એકમાં $(6+9) \Omega = 15 \Omega$ અને બીજીમાં $5 \Omega$ છે.
કરંટ ડિવાઈડરના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$5 \Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_1$ છે:
$I_1 = I \times \frac{15}{15+5} = I \times \frac{15}{20} = \frac{3}{4} I$
$5 \Omega$ ના અવરોધમાં ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H_1 = I_1^2 \times 5 \times t = (\frac{3}{4} I)^2 \times 5 \times t = \frac{9}{16} I^2 \times 5 \times t = \frac{45}{16} I^2 t = 4.05 \ J$.
આથી,$I^2 t = \frac{4.05 \times 16}{45} = 0.09 \times 16 = 1.44$.
$2 \Omega$ ના અવરોધમાં ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H = I^2 \times 2 \times t = 2 \times (I^2 t) = 2 \times 1.44 = 2.88 \ J$.

(D) આ પરિપથમાં ત્રણ અવરોધો $R_{1} = 10 \ \Omega$,$R_{2} = 15 \ \Omega$,અને $R_{3} = 30 \ \Omega$ સમાંતર જોડાણમાં છે,જેમાં કુલ પ્રવાહ $I = 1.2 \ A$ જંકશનમાં પ્રવેશે છે.
કરંટ ડિવાઈડરના નિયમ મુજબ,અવરોધ $R_{2}$ માંથી પસાર થતો પ્રવાહ $I_{2}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$I_{2} = I \times \frac{\frac{1}{R_{2}}}{\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3}}}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$I_{2} = 1.2 \times \frac{\frac{1}{15}}{\frac{1}{10} + \frac{1}{15} + \frac{1}{30}}$
પ્રથમ,વાહકતાનો સરવાળો ગણીએ:
$\frac{1}{10} + \frac{1}{15} + \frac{1}{30} = \frac{3 + 2 + 1}{30} = \frac{6}{30} = \frac{1}{5} \ \Omega^{-1}$
હવે,આ કિંમત $I_{2}$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$I_{2} = 1.2 \times \frac{\frac{1}{15}}{\frac{1}{5}} = 1.2 \times \frac{5}{15} = 1.2 \times \frac{1}{3} = 0.4 \ A$

(A) ધારો કે પરિપથમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $I$ છે.
વોલ્ટમીટર $A$ નો અવરોધ $R$,વોલ્ટમીટર $B$ નો અવરોધ $1.5 R$ અને વોલ્ટમીટર $C$ નો અવરોધ $3 R$ છે.
વોલ્ટમીટર $B$ અને $C$ સમાંતર જોડાણમાં છે. ધારો કે તેમની વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_p$ છે.
તેઓ સમાંતર હોવાથી,$V_2 = V_3 = V_p$ થાય.
સમાંતર જોડાણના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$B$ અને $C$ નો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{(1.5 R)(3 R)}{1.5 R + 3 R} = \frac{4.5 R^2}{4.5 R} = R$ મળે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{eq} = R_A + R_p = R + R = 2 R$ થાય.
વોલ્ટમીટર $A$ નું રીડિંગ $V_1 = I \times R$ છે.
સમાંતર જોડાણના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_p = I \times R_p = I \times R$ છે.
આમ,$V_1 = V_2 = V_3 = IR$ થાય.

(C) ધારો કે બે અવરોધો $R_{1}$ અને $R_{2}$ છે.
જ્યારે તેઓ શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોય,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R_{s} = R_{1} + R_{2} = 6 \ \Omega$ $(1)$ થાય.
જ્યારે તેઓ સમાંતરમાં જોડાયેલા હોય,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R_{p} = \frac{R_{1} R_{2}}{R_{1} + R_{2}} = \frac{4}{3} \ \Omega$ $(2)$ થાય.
સમીકરણ $(2)$ માં $R_{1} + R_{2} = 6$ મૂકતા:
$\frac{R_{1} R_{2}}{6} = \frac{4}{3} \Rightarrow R_{1} R_{2} = 6 \times \frac{4}{3} = 8 \ \Omega^{2}$ $(3)$.
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$R_{2} = 6 - R_{1}$. આ કિંમત $(3)$ માં મૂકતા:
$R_{1}(6 - R_{1}) = 8 \Rightarrow 6R_{1} - R_{1}^{2} = 8 \Rightarrow R_{1}^{2} - 6R_{1} + 8 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા:
$(R_{1} - 4)(R_{1} - 2) = 0$.
આમ,$R_{1} = 4 \ \Omega$ અથવા $R_{1} = 2 \ \Omega$.
જો $R_{1} = 4 \ \Omega$ હોય,તો $R_{2} = 2 \ \Omega$ મળે. જો $R_{1} = 2 \ \Omega$ હોય,તો $R_{2} = 4 \ \Omega$ મળે.
તેથી,બે અવરોધો $4 \ \Omega$ અને $2 \ \Omega$ છે.

(A) બેટરીમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ એ સૂત્ર $I = \frac{E}{R_{eq} + r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E$ એ emf છે,$R_{eq}$ એ સમતુલ્ય બાહ્ય અવરોધ છે અને $r$ એ આંતરિક અવરોધ છે.
બે અવરોધકો $R_1 = 2 \Omega$ અને $R_2 = 6 \Omega$ સમાંતર જોડાયેલા હોવાથી,તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{3 + 1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \Omega^{-1}$.
તેથી,$R_{eq} = \frac{3}{2} = 1.5 \Omega$.
હવે,કિંમતોને વિદ્યુતપ્રવાહના સૂત્રમાં મૂકતા:
$I = \frac{2}{1.5 + 0.5} = \frac{2}{2.0} = 1 \text{ A}$.
આમ,બેટરીમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $1 \text{ A}$ છે.

(B) ઓમના નિયમ મુજબ,$V = IR$,જ્યાં $V$ એ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત છે,$I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે અને $R$ એ અવરોધ છે.
જ્યારે અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં હોય,ત્યારે દરેક અવરોધ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ સમાન રહે છે.
તેથી,$I = V/R$,જે દર્શાવે છે કે $I \propto 1/R$.
ધારો કે $2 \Omega, 3 \Omega$ અને $4 \Omega$ ના અવરોધોમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ અનુક્રમે $I_1, I_2$ અને $I_3$ છે.
તેથી,$I_1 : I_2 : I_3 = \frac{1}{2} : \frac{1}{3} : \frac{1}{4}$.
આ ગુણોત્તરને સરળ બનાવવા માટે,દરેક પદને $2, 3$ અને $4$ ના લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ એટલે કે $12$ વડે ગુણો.
$I_1 : I_2 : I_3 = (\frac{1}{2} \times 12) : (\frac{1}{3} \times 12) : (\frac{1}{4} \times 12) = 6 : 4 : 3$.

(A) $1$. પ્રારંભિક અવરોધ $R_i = 100 \Omega$. જ્યારે તારને ખેંચવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું કદ અચળ રહે છે. $R = \rho \frac{L}{A} = \rho \frac{L^2}{V}$ હોવાથી,$R \propto L^2$.
$2$. નવી લંબાઈ $L' = 1.2 L$. નવો અવરોધ $R' = R_i \times (1.2)^2 = 100 \times 1.44 = 144 \Omega$.
$3$. તારને લંબચોરસમાં વાળવામાં આવે છે જ્યાં લંબાઈ $l$ અને પહોળાઈ $b$ નો ગુણોત્તર $3:2$ છે. ધારો કે $l = 3x$ અને $b = 2x$. પરિમિતિ $2(l+b) = 10x$ એ તારની કુલ લંબાઈ દર્શાવે છે.
$4$. બાજુઓનો અવરોધ તેમની લંબાઈના પ્રમાણમાં હશે. $3x$ લંબાઈનો અવરોધ $R_l = \frac{3x}{10x} \times 144 = 43.2 \Omega$. $2x$ લંબાઈનો અવરોધ $R_b = \frac{2x}{10x} \times 144 = 28.8 \Omega$.
$5$. લંબચોરસમાં બે બાજુઓ $43.2 \Omega$ અને બે બાજુઓ $28.8 \Omega$ ની છે. વિકર્ણની આજુબાજુ,આપણી પાસે બે સમાંતર શાખાઓ છે: એક શાખામાં $(43.2 + 28.8) = 72 \Omega$ અને બીજી શાખામાં $(28.8 + 43.2) = 72 \Omega$ અવરોધ છે.
$6$. અસરકારક અવરોધ $R_{eq} = \frac{72 \times 72}{72 + 72} = 36 \Omega$.

(D) તારનો કુલ અવરોધ $R_{total} = 18 \Omega$ છે.
જ્યારે તારને સમબાજુ ત્રિકોણમાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે તાર ત્રણ સમાન ભાગોમાં વહેંચાય છે,જેમાંથી દરેક ત્રિકોણની એક બાજુ બનાવે છે.
દરેક બાજુનો અવરોધ $R_{side} = \frac{18 \Omega}{3} = 6 \Omega$ છે.
જ્યારે આપણે કોઈપણ બે શિરોબિંદુઓ વચ્ચે અસરકારક અવરોધની ગણતરી કરીએ છીએ,ત્યારે ત્રિકોણની એક બાજુ બાકીની બે બાજુઓ સાથે સમાંતર જોડાણમાં હોય છે,જે શ્રેણીમાં જોડાયેલી હોય છે.
શ્રેણીમાં જોડાયેલી બે બાજુઓનો અવરોધ $R_s = 6 \Omega + 6 \Omega = 12 \Omega$ છે.
હવે,આ $12 \Omega$ નો અવરોધ ત્રીજી $6 \Omega$ ની બાજુ સાથે સમાંતર છે.
સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{12} + \frac{1}{6} = \frac{1+2}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$.
તેથી,$R_{eq} = 4 \Omega$.

(B) આપેલ પરિપથમાં,$2 \Omega$ અને $3 \Omega$ ના અવરોધો શોર્ટ-સર્કિટ થયેલા છે,જેનો અર્થ છે કે તેમાંથી કોઈ પ્રવાહ પસાર થશે નહીં અથવા તે મુખ્ય પરિપથમાં અસરકારક નથી. તેથી,પરિપથ $R_1$ અને $15 \Omega$ ના સમાંતર જોડાણ તરીકે સરળ બને છે.
સમતુલ્ય અવરોધ $R_{AB}$ માટે:
$R_{AB} = \frac{R_1 \times 15}{R_1 + 15} = 6$
$15 R_1 = 6(R_1 + 15)$
$15 R_1 = 6 R_1 + 90$
$9 R_1 = 90$
$R_1 = 10 \Omega$

(B) ધારો કે ત્રણ અવરોધો $R_1, R_2$ અને $R_3$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{R_1}{R_2} = \frac{1}{2}$,તેથી આપણે $R_1 = k$ અને $R_2 = 2k$ લખી શકીએ.
સમાંતર જોડાણ માટે,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નું સૂત્ર $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$\frac{1}{1} = \frac{1}{k} + \frac{1}{2k} + \frac{1}{R_3}$.
$R_3$ માટે સાદું રૂપ આપતા,$\frac{1}{R_3} = 1 - (\frac{1}{k} + \frac{1}{2k}) = 1 - \frac{3}{2k} = \frac{2k-3}{2k}$.
તેથી,$R_3 = \frac{2k}{2k-3}$.
$R_3$ ધન પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ અને બધા અવરોધો અસમાન હોવા જોઈએ:
જો $k=1$,તો $R_3 = -2$ (અશક્ય).
જો $k=2$,તો $R_1=2, R_2=4, R_3=4$ (અસમાન નથી).
જો $k=3$,તો $R_1=3, R_2=6, R_3=\frac{6}{3} = 2$.
અહીં,$R_1=3, R_2=6, R_3=2$. બધા અસમાન અને પૂર્ણાંક છે.
સૌથી મોટો અવરોધ $6 \ \Omega$ છે.

(D) દરેક $1 \ \Omega$ ના $10$ અવરોધોના શ્રેણી જોડાણ માટે,સમતુલ્ય અવરોધ $R_s = 10 \times 1 \ \Omega = 10 \ \Omega$ છે.
શ્રેણી જોડાણમાં વપરાતો પાવર $P_s = \frac{V^2}{R_s} = \frac{10^2}{10} = \frac{100}{10} = 10 \ W$ છે.
દરેક $1 \ \Omega$ ના $10$ અવરોધોના સમાંતર જોડાણ માટે,સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{1}{10} \ \Omega = 0.1 \ \Omega$ છે.
સમાંતર જોડાણમાં વપરાતો પાવર $P_p = \frac{V^2}{R_p} = \frac{10^2}{0.1} = \frac{100}{0.1} = 1000 \ W$ છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{P_s}{P_p} = \frac{10}{1000} = 0.01$ થાય.

(C) લેમ્પ એક આદર્શ વોલ્ટેજ સ્ત્રોત $E$ સાથે સમાંતરમાં જોડાયેલા છે। સમાંતર સર્કિટમાં, દરેક લેમ્પ પરનો વોલ્ટેજ સમાન રહે છે, પછી ભલે અન્ય લેમ્પ ચાલુ હોય કે બંધ।
ધારો કે દરેક સમાન લેમ્પનો અવરોધ $R$ છે। દરેક લેમ્પમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_L = E/R$ છે।
જ્યારે બધા $5$ લેમ્પ કામ કરી રહ્યા હોય, ત્યારે એમીટર દ્વારા માપવામાં આવતો કુલ પ્રવાહ એ બધા $5$ લેમ્પમાંથી વહેતા પ્રવાહનો સરવાળો છે: $I_{total} = 5 \times (E/R) = 3 \,A$.
તેથી, દરેક વ્યક્તિગત લેમ્પમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_L = 3 \,A / 5 = 0.6 \,A$ છે।
જ્યારે લેમ્પ '$1$' બંધ કરવામાં આવે છે, ત્યારે એમીટર બાકીના $4$ લેમ્પમાંથી વહેતો પ્રવાહ માપે છે।
નવો કુલ પ્રવાહ $I'_{total} = 4 \times I_L = 4 \times 0.6 \,A = 2.4 \,A$ થશે।

(C) પરિપથમાં વ્યય થતો પાવર $P = I^2 R_{eq}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ પ્રવાહ છે અને $R_{eq}$ એ સમતુલ્ય અવરોધ છે.
ગોઠવણી $(I)$ માટે: ત્રણ અવરોધો શ્રેણીમાં છે. $R_{eq} = R + R + R = 3R$. તેથી,$P_I = I^2(3R) = 3I^2R$.
ગોઠવણી $(II)$ માટે: બે અવરોધો સમાંતર છે,અને આ સંયોજન ત્રીજા અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે. $R_{eq} = R/2 + R = 1.5R$. તેથી,$P_{II} = I^2(1.5R) = 1.5I^2R$.
ગોઠવણી $(III)$ માટે: ત્રણ અવરોધો સમાંતરમાં છે. $R_{eq} = R/3$. તેથી,$P_{III} = I^2(R/3) = 0.33I^2R$.
ગોઠવણી $(IV)$ માટે: બે અવરોધો શ્રેણીમાં છે,અને આ સંયોજન ત્રીજા અવરોધ સાથે સમાંતરમાં છે. $R_{eq} = (2R \cdot R) / (2R + R) = 2R/3 \approx 0.67R$. તેથી,$P_{IV} = I^2(0.67R) = 0.67I^2R$.
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા: $0.33I^2R < 0.67I^2R < 1.5I^2R < 3I^2R$.
તેથી,પાવર વ્યયનો ચડતો ક્રમ $(III) < (IV) < (II) < (I)$ છે.

(D) આપેલ પરિપથનું વિશ્લેષણ અવરોધોના શ્રેણી અને સમાંતર જોડાણોને ઓળખીને કરી શકાય છે.
બિંદુ $A$ અને $D$ વચ્ચે,બે સમાંતર શાખાઓ છે: એકમાં એક અવરોધ $R$ છે અને બીજીમાં શ્રેણીમાં બે અવરોધ $R$ છે (બિંદુ $A-B$ અને $B-D$ વચ્ચે).
શાખા $A-B-D$ નો અવરોધ $R + R = 2R$ છે.
આ $2R$ એ બિંદુ $A$ અને $D$ વચ્ચે સીધા જોડાયેલા અવરોધ $R$ સાથે સમાંતરમાં છે. ધારો કે આ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{AD}$ છે.
$\frac{1}{R_{AD}} = \frac{1}{R} + \frac{1}{2R} = \frac{3}{2R} \implies R_{AD} = \frac{2R}{3}$.
તે જ રીતે,બિંદુ $B$ અને $C$ વચ્ચે,બે સમાંતર શાખાઓ છે: એકમાં એક અવરોધ $R$ છે (બિંદુ $B$ અને $C$ વચ્ચે) અને બીજીમાં શ્રેણીમાં બે અવરોધ $R$ છે (બિંદુ $B-D$ અને $D-C$ વચ્ચે).
શાખા $B-D-C$ નો અવરોધ $R + R = 2R$ છે.
આ $2R$ એ બિંદુ $B$ અને $C$ વચ્ચે સીધા જોડાયેલા અવરોધ $R$ સાથે સમાંતરમાં છે. ધારો કે આ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{BC}$ છે.
$\frac{1}{R_{BC}} = \frac{1}{R} + \frac{1}{2R} = \frac{3}{2R} \implies R_{BC} = \frac{2R}{3}$.
પરિપથની સમપ્રમાણતા જોતા,$A$ અને $C$ વચ્ચેનો કુલ અવરોધ આ બ્લોક્સના શ્રેણી જોડાણનો સરવાળો છે. પરિપથ $\frac{2R}{3}$ ના બે શ્રેણી બ્લોક્સમાં સરળ બને છે.
કુલ અવરોધ $R_{AC} = \frac{2R}{3} + \frac{2R}{3} = \frac{4R}{3}$.
આપેલ વિકલ્પો અને આવા બ્રિજ નેટવર્ક્સના પ્રમાણિત અર્થઘટનને ધ્યાનમાં લેતા,જો પરિપથને સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ તરીકે ગણવામાં આવે,તો અવરોધ $R$ છે.

(D) આપેલ પરિપથમાં બિંદુઓ $P$ અને $Q$ વચ્ચે ત્રણ સમાંતર શાખાઓ જોડાયેલી છે।
$1$. ડાબી શાખામાં $R_A = 2 \Omega$ અને $R_D = 6 \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે। આ શાખાનો કુલ અવરોધ $R_1 = 2 + 6 = 8 \Omega$ છે।
$2$. વચ્ચેની શાખામાં $3 \Omega$ નો અવરોધ છે। તેથી, $R_2 = 3 \Omega$.
$3$. જમણી શાખામાં $R_B = 4 \Omega$ અને $R_C = 12 \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે। આ શાખાનો કુલ અવરોધ $R_3 = 4 + 12 = 16 \Omega$ છે।
આ ત્રણેય શાખાઓ સમાંતરમાં હોવાથી, સમતુલ્ય અવરોધ $R_{PQ}$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{1}{R_{PQ}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} = \frac{1}{8} + \frac{1}{3} + \frac{1}{16}$.
$8, 3, 16$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $48$ છે:
$\frac{1}{R_{PQ}} = \frac{6 + 16 + 3}{48} = \frac{25}{48} \Omega^{-1}$.
તેથી, $R_{PQ} = \frac{48}{25} \Omega = 1.92 \Omega$.
કુલ પ્રવાહ $I = 1.5 \text{ A}$ આ સમતુલ્ય અવરોધમાંથી વહે છે।
વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{PQ} = I \cdot R_{PQ} = 1.5 \times 1.92 = 2.88 \text{ V}$.

(A) તારનો કુલ અવરોધ $R = 36 \Omega$ છે.
જ્યારે તારને અર્ધવર્તુળાકાર લૂપમાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે તાર વ્યાસની સાથે બે સમાન ભાગોમાં વહેંચાઈ જાય છે.
દરેક અર્ધ ભાગનો અવરોધ $R' = \frac{R}{2} = \frac{36}{2} = 18 \Omega$ થાય છે.
આ બે અર્ધ ભાગો વ્યાસના છેડાઓ વચ્ચે સમાંતર જોડાણમાં જોડાયેલા છે.
સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ માટેનું સૂત્ર: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R'} + \frac{1}{R'}$.
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{18} + \frac{1}{18} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$.
તેથી,$R_{eq} = 9 \Omega$.

(A) $1$. પ્રથમ,પરિપથના સૌથી જમણી બાજુના ભાગને સરળ બનાવો. બે $6 \Omega$ ના અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં છે. તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_1 = \frac{6 \times 6}{6 + 6} = 3 \Omega$ થાય.
$2$. હવે,આ $3 \Omega$ અવરોધ $3 \Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે. તેથી,$R_2 = 3 + 3 = 6 \Omega$ થાય.
$3$. આ $R_2 = 6 \Omega$ અવરોધ $8 \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે. તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_3 = \frac{6 \times 8}{6 + 8} = \frac{48}{14} = \frac{24}{7} \Omega$ થાય.
$4$. હવે,ડાબી બાજુના ભાગને ધ્યાનમાં લો. $5 \Omega$ અને $10 \Omega$ ના અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં છે. તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_4 = \frac{5 \times 10}{5 + 10} = \frac{50}{15} = \frac{10}{3} \Omega$ થાય.
$5$. કુલ અવરોધ $R_{AB}$ એ $R_4$ અને $R_3$ ના શ્રેણી જોડાણનો સરવાળો છે. પરિપથનું વિશ્લેષણ કરતા,$5 \Omega$ નો નીચેનો અવરોધ બાકીના નેટવર્ક સાથે સમાંતર છે. ગણતરી કરતા,$R_{AB} = 3 \Omega$ એ સાચો જવાબ છે.

(A) અને $B$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ શોધવા માટે,આપણે પરિપથને તબક્કાવાર સરળ બનાવીએ છીએ.
$1$. ડાબી બાજુની શાખામાં રહેલા બે અવરોધો શ્રેણીમાં છે,તેથી તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R + R = 2R$ થાય.
$2$. આ $2R$ એ શિરોલંબ અવરોધ $R$ સાથે સમાંતર છે. સમતુલ્ય અવરોધ $\frac{2R \times R}{2R + R} = \frac{2}{3}R$ થાય.
$3$. હવે,પરિપથ $\frac{2}{3}R$ અને બાજુના આડા અવરોધ $R$ ના શ્રેણી જોડાણમાં ફેરવાય છે,જે $\frac{2}{3}R + R = \frac{5}{3}R$ થાય.
$4$. આ $\frac{5}{3}R$ એ વિકર્ણ અવરોધ $R$ સાથે સમાંતર છે. સમતુલ્ય અવરોધ $\frac{(5/3)R \times R}{(5/3)R + R} = \frac{(5/3)R^2}{(8/3)R} = \frac{5}{8}R$ થાય.
$5$. અંતે,આ $\frac{5}{8}R$ એ ઉપરના આડા અવરોધ $R$ સાથે શ્રેણીમાં છે,જે $\frac{5}{8}R + R = \frac{13}{8}R$ આપે છે. આ જમણી બાજુના શિરોલંબ અવરોધ $R$ અને નીચેના આડા અવરોધ $R$ સાથે સમાંતર છે. સંપૂર્ણ ઘટાડા પછી,સમતુલ્ય અવરોધ $\frac{34}{55}R$ મળે છે.

(B) શ્રેણી પરિપથ $(A)$ માં,કુલ અવરોધ $R_{eq} = 20R$ છે,જે ઓછો પ્રવાહ $I = V / (20R)$ તરફ દોરી જાય છે. આમ,દરેક બલ્બમાં વપરાતો પાવર $P = I^2R = V^2 / (400R)$ છે,જેના પરિણામે પ્રકાશ ઓછો મળે છે.
સમાંતર પરિપથ $(B)$ માં,દરેક બલ્બ સીધો સપ્લાય વોલ્ટેજ $V$ સાથે જોડાયેલ છે. આમ,દરેક બલ્બમાં વપરાતો પાવર $P = V^2 / R$ છે,જે શ્રેણી જોડાણ કરતા ઘણો વધારે છે.
જો શ્રેણી જોડાણમાં $(A)$ એક બલ્બ ઉડી જાય,તો પરિપથ તૂટી જાય છે અને બધા બલ્બ પ્રકાશિત થવાનું બંધ કરી દે છે.
જો સમાંતર જોડાણમાં $(B)$ એક બલ્બ ઉડી જાય,તો અન્ય બલ્બ સપ્લાય સાથે જોડાયેલા રહે છે અને પ્રકાશિત રહે છે.
તેથી,'$A$ માં બલ્બ વધુ તેજસ્વી રીતે પ્રકાશિત થાય છે' તે વિધાન ખોટું છે,કારણ કે તેઓ $B$ કરતા ઓછા પ્રકાશિત થાય છે.

(D) ધારો કે ત્રણ અવરોધો $R_1, R_2$ અને $R_3$ છે. સમાંતર જોડાણ માટે સમતુલ્ય અવરોધ $R_{\text{eq}}$ નું સૂત્ર $\frac{1}{R_{\text{eq}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}$ છે.
આપેલ છે કે $R_{\text{eq}} = 1 \Omega$,તેથી $\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} = 1$.
બે અવરોધોનો ગુણોત્તર $R_1 : R_2 = 1 : 2$ છે,જેનો અર્થ છે કે $R_2 = 2R_1$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{1}{R_1} + \frac{1}{2R_1} + \frac{1}{R_3} = 1 \Rightarrow \frac{3}{2R_1} + \frac{1}{R_3} = 1$.
આપણે $R_1, R_2, R_3$ માટે પૂર્ણાંક કિંમતો શોધવાની છે જે અસમાન હોય અને સમીકરણનું પાલન કરે.
જો $R_1 = 2$ લઈએ,તો $R_2 = 4$ થાય. કિંમત મૂકતા: $\frac{3}{4} + \frac{1}{R_3} = 1 \Rightarrow \frac{1}{R_3} = \frac{1}{4} \Rightarrow R_3 = 4$. અહીં $R_2 = R_3$ થાય છે,જે અસમાન હોવાની શરતનું ઉલ્લંઘન કરે છે.
જો $R_1 = 3$ લઈએ,તો $R_2 = 6$ થાય. કિંમત મૂકતા: $\frac{3}{6} + \frac{1}{R_3} = 1 \Rightarrow \frac{1}{2} + \frac{1}{R_3} = 1 \Rightarrow \frac{1}{R_3} = \frac{1}{2} \Rightarrow R_3 = 2$. અવરોધો $3 \Omega, 6 \Omega, 2 \Omega$ છે. આ અસમાન છે અને શરતનું પાલન કરે છે.
આમ,અવરોધો $2 \Omega, 3 \Omega, 6 \Omega$ છે. સૌથી વધુ અવરોધ $6 \Omega$ છે.

(B) ધારો કે ત્રણ અવરોધો $R_1, R_2$ અને $R_3$ છે.
આપેલ છે કે $R_1:R_2 = 1:2$,તેથી આપણે લખી શકીએ $R_1 = k$ અને $R_2 = 2k$,જ્યાં $k$ એક ધન પૂર્ણાંક છે.
સમાંતર જોડાણ માટે,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નું સૂત્ર $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}$ છે.
$R_{eq} = 1 \ \Omega$ આપેલ હોવાથી,$1 = \frac{1}{k} + \frac{1}{2k} + \frac{1}{R_3}$.
$R_3$ માટે સાદું રૂપ આપતા: $\frac{1}{R_3} = 1 - (\frac{1}{k} + \frac{1}{2k}) = 1 - \frac{3}{2k} = \frac{2k-3}{2k}$.
તેથી,$R_3 = \frac{2k}{2k-3}$.
$R_3$ ધન પૂર્ણાંક હોવા માટે,$2k-3$ એ $2k$ નો ભાજક હોવો જોઈએ. $\frac{2k}{2k-3} = 1 + \frac{3}{2k-3}$ હોવાથી,$2k-3$ એ $3$ નો ભાજક હોવો જોઈએ.
$3$ ના ભાજકો $1$ અને $3$ છે.
કિસ્સો $1$: $2k-3 = 1 \Rightarrow 2k = 4 \Rightarrow k = 2$. તો $R_1 = 2, R_2 = 4, R_3 = 1 + \frac{3}{1} = 4$. અહીં $R_2 = R_3$ થાય છે,જે અસમાન અવરોધોની શરતનું પાલન કરતું નથી.
કિસ્સો $2$: $2k-3 = 3 \Rightarrow 2k = 6 \Rightarrow k = 3$. તો $R_1 = 3, R_2 = 6, R_3 = 1 + \frac{3}{3} = 2$. બધા અવરોધો અસમાન છે $(3, 6, 2)$.
સૌથી મોટો અવરોધ $6 \ \Omega$ છે.

(C) દરેક ટુકડાનો અવરોધ $r = \frac{R}{20}$ છે.
કુલ $20$ ટુકડાઓ છે,તેથી $10$ ટુકડાઓ શ્રેણી જોડાણ માટે અને $10$ ટુકડાઓ સમાંતર જોડાણ માટે વપરાય છે.
શ્રેણીમાં જોડાયેલા $10$ ટુકડાઓ માટે,સમતુલ્ય અવરોધ $R_1$ છે:
$R_1 = 10 \times r = 10 \times \frac{R}{20} = \frac{R}{2}$.
સમાંતર જોડાયેલા $10$ ટુકડાઓ માટે,સમતુલ્ય અવરોધ $R_2$ છે:
$\frac{1}{R_2} = \frac{1}{r} + \frac{1}{r} + \dots (10 \text{ વખત}) = \frac{10}{r} = \frac{10}{R/20} = \frac{200}{R}$.
આમ,$R_2 = \frac{R}{200}$.
હવે,આ બંને સંયોજનોને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,તેથી કુલ અસરકારક અવરોધ $R_{eq}$ છે:
$R_{eq} = R_1 + R_2 = \frac{R}{2} + \frac{R}{200} = \frac{100R + R}{200} = \frac{101R}{200}$.

(B) જ્યારે તારને ખેંચવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું કદ અચળ રહે છે. કારણ કે $R = \rho \frac{l}{A}$ અને $V = A \times l$,તેથી $R = \rho \frac{l^2}{V}$. આમ,$R \propto l^2$.
આપેલ પ્રારંભિક અવરોધ $R_1 = 3 \Omega$ અને લંબાઈ $l_1 = l$ છે. ખેંચ્યા પછી,$l_2 = 2l$ થાય છે.
$\frac{R_2}{R_1} = \left(\frac{l_2}{l_1}\right)^2 = \left(\frac{2l}{l}\right)^2 = 4$.
તેથી,$R_2 = 4 \times R_1 = 4 \times 3 = 12 \Omega$.
$12 \Omega$ અવરોધ ધરાવતા તારને સમબાજુ ત્રિકોણમાં વાળવામાં આવે છે,તેથી દરેક બાજુનો અવરોધ $R_{side} = \frac{12}{3} = 4 \Omega$ થાય.
ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ છે. દરેક બાજુનો અવરોધ $R_{AB} = 4 \Omega$,$R_{BC} = 4 \Omega$,અને $R_{CA} = 4 \Omega$ છે.
કોઈપણ બાજુના છેડાઓ વચ્ચે (દા.ત.,$B$ અને $C$ વચ્ચે) અસરકારક અવરોધ શોધવા માટે,આપણે જોઈએ છીએ કે $R_{AB}$ અને $R_{AC}$ શ્રેણીમાં છે,અને તેમનું સંયોજન $R_{BC}$ સાથે સમાંતર છે.
શ્રેણી શાખાનો અવરોધ $R_{series} = R_{AB} + R_{AC} = 4 + 4 = 8 \Omega$.
હવે,$R_{series}$ એ $R_{BC} = 4 \Omega$ સાથે સમાંતરમાં છે.
$R_{eff} = \frac{R_{series} \times R_{BC}}{R_{series} + R_{BC}} = \frac{8 \times 4}{8 + 4} = \frac{32}{12} = \frac{8}{3} \Omega$.

(C) આ સર્કિટમાં ચાર $4 \Omega$ ના અવરોધો છે જે ચોરસ બનાવે છે। જ્યારે બેટરીને વિકર્ણની વિરુદ્ધ ખૂણાઓ પર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સર્કિટ બે સમાંતર શાખાઓ તરીકે કાર્ય કરે છે,જેમાં દરેક શાખામાં શ્રેણીમાં બે $4 \Omega$ ના અવરોધો હોય છે।
દરેક શાખાનો અવરોધ = $4 \Omega + 4 \Omega = 8 \Omega$.
બે સમાંતર શાખાઓ હોવાથી,સમતુલ્ય બાહ્ય અવરોધ $R_{\text{ext}}$:
$R_{\text{ext}} = \frac{8 \Omega \times 8 \Omega}{8 \Omega + 8 \Omega} = 4 \Omega$.
આંતરિક અવરોધ $r = 2 \Omega$ સહિત સર્કિટનો કુલ અવરોધ:
$R_{\text{total}} = R_{\text{ext}} + r = 4 \Omega + 2 \Omega = 6 \Omega$.
સર્કિટમાં વપરાતો કુલ પાવર $P = \frac{E^2}{R_{\text{total}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E = 12 \text{ V}$.
$P = \frac{(12)^2}{6} = \frac{144}{6} = 24 \text{ W}$.

(A) પરિપથમાં વ્યય થતો પાવર $P = I^2 R_{eq}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $I$ એ પ્રવાહ છે અને $R_{eq}$ એ સમતુલ્ય અવરોધ છે.
આકૃતિ $(I)$ માટે, ત્રણેય અવરોધો શ્રેણીમાં છે: $R_{eq, I} = R + R + R = 3R$. તેથી, $P_I = I^2(3R) = 3I^2R$.
આકૃતિ $(II)$ માટે, બે અવરોધો સમાંતર છે અને એક તેમના શ્રેણીમાં છે: $R_{eq, II} = R + (R/2) = 1.5R$. તેથી, $P_{II} = I^2(1.5R) = 1.5I^2R$.
આકૃતિ $(III)$ માટે, ત્રણેય અવરોધો સમાંતરમાં છે: $R_{eq, III} = R/3$. તેથી, $P_{III} = I^2(R/3) \approx 0.33I^2R$.
આકૃતિ $(IV)$ માટે, બે અવરોધો શ્રેણીમાં છે અને એક તેમની સાથે સમાંતરમાં છે: $R_{eq, IV} = (2R \cdot R) / (2R + R) = 2R/3 \approx 0.67R$. તેથી, $P_{IV} = I^2(0.67R) = 0.67I^2R$.
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા: $0.33I^2R < 0.67I^2R < 1.5I^2R < 3I^2R$, જે $(III) < (IV) < (II) < (I)$ ક્રમ દર્શાવે છે.

(D) આ સર્કિટમાં બિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચે સમાંતર જોડાણમાં અનેક શાખાઓ છે.
$1$. પ્રથમ શાખા (સૌથી ડાબી બાજુ) માં બે $5 \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે,તેથી $R_1 = 5 \Omega + 5 \Omega = 10 \Omega$.
$2$. બીજી શાખામાં $10 \Omega$ નો અવરોધ સીધો $A$ અને $B$ વચ્ચે જોડાયેલ છે,તેથી $R_2 = 10 \Omega$.
$3$. ત્રીજી શાખામાં બે $5 \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે,તેથી $R_3 = 5 \Omega + 5 \Omega = 10 \Omega$.
$4$. ચોથી શાખામાં $10 \Omega$ નો અવરોધ સીધો $A$ અને $B$ વચ્ચે જોડાયેલ છે,તેથી $R_4 = 10 \Omega$.
$5$. પાંચમી શાખામાં $10 \Omega$ નો અવરોધ સીધો $A$ અને $B$ વચ્ચે જોડાયેલ છે,તેથી $R_5 = 10 \Omega$.
આ બધી શાખાઓ સમાંતરમાં છે. સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} + \frac{1}{R_4} + \frac{1}{R_5}$
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{10} + \frac{1}{10} + \frac{1}{10} + \frac{1}{10} + \frac{1}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$
$R_{eq} = 2 \Omega$

(A) સૌ પ્રથમ, $6 \Omega$ અને $12 \Omega$ ના સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ ગણો:
$R_p = \frac{6 \times 12}{6 + 12} = \frac{72}{18} = 4 \Omega$
ત્યારબાદ, પરિપથનો કુલ અવરોધ ગણો, કારણ કે સમાંતર જોડાણ એ $6 \Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે:
$R_{eq} = R_p + 6 \Omega = 4 \Omega + 6 \Omega = 10 \Omega$
હવે, $10 \text{ V}$ ની બેટરીમાંથી વહેતો કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ ગણો:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{10 \text{ V}}{10 \Omega} = 1 \text{ A}$
સમાંતર જોડાણના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત એ કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ અને સમાંતર ભાગના સમતુલ્ય અવરોધનો ગુણાકાર છે:
$V_p = I \times R_p = 1 \text{ A} \times 4 \Omega = 4 \text{ V}$
કારણ કે $6 \Omega$ અને $12 \Omega$ ના અવરોધો સમાંતરમાં જોડાયેલા છે, તેથી તે બંનેના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન હોય છે અને તે સમાંતર જોડાણના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત જેટલો જ હોય છે.
તેથી, $12 \Omega$ ના અવરોધના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $4 \text{ V}$ છે.

(D) વિકર્ણ પર સમતુલ્ય અવરોધને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે અવરોધોને એવી રીતે જૂથબદ્ધ કરવા જોઈએ કે જેથી બે સમાંતર શાખાઓમાં અવરોધોનો સરવાળો સૌથી વધુ હોય. ધારો કે ચાર અવરોધો $R_1, R_2, R_3, R_4$ છે. જ્યારે વિકર્ણ પર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે તેઓ બે સમાંતર શાખાઓ બનાવે છે,જેમાં દરેક શાખામાં શ્રેણીમાં બે અવરોધો હોય છે. ધારો કે શાખાઓ $(R_a + R_b)$ અને $(R_c + R_d)$ છે. સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = \frac{(R_a + R_b)(R_c + R_d)}{(R_a + R_b) + (R_c + R_d)}$ છે. આને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે બંને શાખાઓના સરવાળાને એકબીજાની શક્ય તેટલી નજીક રાખવા જોઈએ. કુલ સરવાળો $100 + 200 + 300 + 400 = 1000 \Omega$ છે. આમ,આપણે દરેક શાખાને $500 \Omega$ બનાવવાનું લક્ષ્ય રાખીએ છીએ. આપણે તેમને $(400 + 100) = 500 \Omega$ અને $(300 + 200) = 500 \Omega$ તરીકે જોડી શકીએ છીએ. સમતુલ્ય અવરોધ $\frac{500 \times 500}{500 + 500} = \frac{250000}{1000} = 250 \Omega$ થશે.

(D) ચતુષ્ફલકને $4$ શિરોબિંદુઓ અને $6$ ધાર હોય છે. ધારો કે પ્રવાહ શિરોબિંદુ $1$ પર દાખલ થાય છે અને શિરોબિંદુ $2$ પરથી બહાર નીકળે છે.
$1$ અને $2$ વચ્ચે $r$ અવરોધનો એક સીધો વાયર છે.
અન્ય બે શિરોબિંદુઓ ($3$ અને $4$) દ્વારા $1$ થી $2$ સુધીના બે માર્ગો છે:
માર્ગ $1$: $1 \rightarrow 3 \rightarrow 2$ (શ્રેણીમાં બે અવરોધકો,કુલ $2r$)
માર્ગ $2$: $1 \rightarrow 4 \rightarrow 2$ (શ્રેણીમાં બે અવરોધકો,કુલ $2r$)
આ બંને માર્ગો એકબીજા સાથે સમાંતર છે,તેથી તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p$ એ $\frac{1}{R_p} = \frac{1}{2r} + \frac{1}{2r} = \frac{2}{2r} = \frac{1}{r}$ દ્વારા મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $R_p = r$.
અંતે,આ $R_p$ એ $1$ અને $2$ વચ્ચેના સીધા વાયર (જેનો અવરોધ પણ $r$ છે) સાથે સમાંતરમાં છે.
તેથી,કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ એ $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_p} + \frac{1}{r} = \frac{1}{r} + \frac{1}{r} = \frac{2}{r}$ થાય.
આમ,$R_{eq} = \frac{r}{2}$.

(C) ધારો કે લિંક $AB$ નો અવરોધ $R_{AB} = 1 \Omega$ છે. ધારો કે જ્યારે લિંક $AB$ દૂર કરવામાં આવે ત્યારે ઘનના બાકીના ભાગનો અસરકારક અવરોધ $R_{eq}$ છે.
જ્યારે લિંક $AB$ હાજર હોય,ત્યારે તે ઘનના બાકીના નેટવર્ક સાથે સમાંતર જોડાણમાં હોય છે. સમતુલ્ય અવરોધ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{R_{total}} = \frac{1}{R_{AB}} + \frac{1}{R_{eq}}$
આપેલ છે કે $R_{total} = \frac{7}{12} \Omega$ અને $R_{AB} = 1 \Omega$:
$\frac{12}{7} = \frac{1}{1} + \frac{1}{R_{eq}}$
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{12}{7} - 1 = \frac{5}{7}$
તેથી,$R_{eq} = \frac{7}{5} \Omega$.

(C) આપેલ સર્કિટને તેની સંમિતિ (symmetry) ને આધારે સરળ બનાવી શકાય છે.
ધારો કે બિંદુઓને નામ આપવામાં આવ્યા છે. આ સર્કિટ શ્રેણીમાં જોડાયેલા બે લૂપની બનેલી છે.
દરેક લૂપમાં $r$ અવરોધ ધરાવતા બે અવરોધકો શ્રેણીમાં છે,જે $r$ અવરોધ ધરાવતા અન્ય બે શ્રેણીબદ્ધ અવરોધકોની શાખા સાથે સમાંતર છે.
પ્રથમ ભાગ (ડાબી બાજુ) માટે,બે શાખાઓ સમાંતર છે,જેમાં દરેકનો અવરોધ $r + r = 2r$ છે. આ ભાગનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_1 = \frac{2r \times 2r}{2r + 2r} = \frac{4r^2}{4r} = r$ થાય.
તે જ રીતે,બીજા ભાગ (જમણી બાજુ) માટે,બે શાખાઓ સમાંતર છે,જેમાં દરેકનો અવરોધ $r + r = 2r$ છે. આ ભાગનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_2 = \frac{2r \times 2r}{2r + 2r} = r$ થાય.
આ બંને ભાગો બિંદુ $a$ અને $b$ ની વચ્ચે શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોવાથી,કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = R_1 + R_2 = r + r = 2r$ થાય.

(C) ધારો કે નોડ્સને નામ આપવામાં આવ્યા છે. પ્રથમ નોડ $A$ છે. વાયર પ્રથમ અવરોધના શરૂઆતના બિંદુને બીજા અવરોધના અંતિમ બિંદુ સાથે જોડે છે. બીજો વાયર બીજા અવરોધના શરૂઆતના બિંદુને ત્રીજા અવરોધના અંતિમ બિંદુ (બિંદુ $B$) સાથે જોડે છે.
સર્કિટનું વિશ્લેષણ કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $R$ અવરોધ ધરાવતા ત્રણેય અવરોધો બિંદુ $A$ અને $B$ ની વચ્ચે સમાંતર જોડાણમાં છે.
સમાંતર જોડાણમાં રહેલા અવરોધો માટે,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R} + \frac{1}{R} + \frac{1}{R} = \frac{3}{R}$
તેથી,$R_{eq} = \frac{R}{3}$.

(A) ધારો કે દરેક તારનો અવરોધ $r$ છે. ષટ્કોણમાં $6$ બહારના તાર અને કેન્દ્ર સાથે જોડાયેલા $6$ ત્રિજ્યાવર્તી તાર હોય છે.
સંમિતિને કારણે,જો પ્રવાહ ખૂણા $A$ પર દાખલ થાય અને સામેના ખૂણા $B$ પર બહાર નીકળે,તો અક્ષ $AB$ ની સાપેક્ષમાં સંમિત નોડ્સ પરનું સ્થિતિમાન સમાન હશે.
પરિપથને $A$ અને $B$ વચ્ચેની બે સમાંતર શાખાઓને ધ્યાનમાં લઈને સરળ બનાવી શકાય છે.
એક શાખામાં શ્રેણીમાં $r$ ના બે અવરોધ હોય છે,જે $2r$ આપે છે.
બીજી શાખા બાકીના નેટવર્કની બનેલી છે જે $\frac{4}{3}r$ ના સમતુલ્ય અવરોધમાં સરળ બને છે.
આમ,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ એ $2r$ અને $\frac{4}{3}r$ ના સમાંતર જોડાણ દ્વારા મળે છે:
$R_{eq} = \frac{2r \times \frac{4}{3}r}{2r + \frac{4}{3}r} = \frac{\frac{8}{3}r^2}{\frac{10}{3}r} = \frac{8}{10}r = \frac{4}{5}r$.

(A) પરિપથ આકૃતિ પરથી,$2R$ અને $X$ અવરોધ શ્રેણીમાં છે. તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{s} = 2R + X$ છે.
આ સંયોજન $R$ અવરોધ સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે. બિંદુ $A$ અને $B$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ છે:
$R_{eq} = \frac{R \cdot (2R + X)}{R + (2R + X)}$
આપેલ છે કે $R_{eq} = X$,તેથી:
$X = \frac{R(2R + X)}{3R + X}$
$X(3R + X) = 2R^{2} + RX$
$3RX + X^{2} = 2R^{2} + RX$
$X^{2} + 2RX - 2R^{2} = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $X = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$X = \frac{-2R \pm \sqrt{(2R)^{2} - 4(1)(-2R^{2})}}{2(1)}$
$X = \frac{-2R \pm \sqrt{4R^{2} + 8R^{2}}}{2}$
$X = \frac{-2R \pm \sqrt{12R^{2}}}{2} = \frac{-2R \pm 2R\sqrt{3}}{2}$
$X = -R \pm R\sqrt{3}$
અવરોધ હંમેશા ધન હોવો જોઈએ,તેથી આપણે ધન મૂલ્ય લઈએ છીએ:
$X = (\sqrt{3} - 1)R$